湘教版】八年级数学下：第1章《直角三角形》单元试卷(含答案)

第1章直角三角形一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)1.如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AC≠AB,AD是斜边BC上的高,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,则图中与∠C相等的角有()A.3个B.4个C.5个D.6个图1图22.如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠A=30°,BD=2,则AD的长度是()A.6B.8C.12D.163.我国是最早了解勾股定理的国家之一,下面四幅图中,不能证明勾股定理的是()图34.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AB=10,用尺规作图的方法作线段AD和线段DE,保留作图痕迹如图4所示,认真观察作图痕迹,则△BDE的周长是()A.8B.5C.D.10图4图55.如图5,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,点P在四边形ABCD 的边上.若点P到BD的距离为,则符合题意的点P有()A.2个B.3个C.4个D.5个6.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几?”译文:“有一架秋千,当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推送10尺(水平距离)时,秋千的踏板就和人一样高,这个人的身高为5尺,秋千的绳索始终拉得很直,试问绳索有多长?”则绳索长为()A.12.5尺B.13.5尺C.14.5尺D.15.5尺二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)7.若一个直角三角形斜边上的中线长为20,则斜边长为.8.如图6,∠AOB=30°,P是∠AOB的平分线上一点,PC∥OB,交OA于点C,CD⊥OB于点D.若PC=3,则CD的长为.9.若一个三角形的三边长之比为5∶12∶13,且周长为60 cm,则它的面积为cm2.图6图710.如图7,在△ABC和△ABD中,∠C=∠D=90°,若利用“HL”证明△ABC≌△ABD,则需要添加的条件是(写出一个即可).11.如图8,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,点E在BC边上,将△ABC沿AE折叠,点B 恰好落在AC边上的点B'处,则BE的长为.图8图912.如图9,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,M为AB边的中点,连接ME,MD,ED.设AB=4,∠DBE=30°,则△EDM的面积为.三、解答题(本大题共5小题,共52分)13.(8分)如图10,∠ACB=∠CDE=90°,B是CE的中点,∠DCE=30°,AC=CD.求证:AB//DE.图1014.(10分)如图11,在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破.已知点C 与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,为了安全起见,爆破点C周围250米范围内不得进入.问在进行爆破时,公路AB段是否有危险而需要暂时封锁,请说明理由.图1115.(10分)如图12,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BE是△ABC的角平分线,ED⊥BC于点D,连接AD.(1)请你写出图中所有的等腰三角形;(2)若BC=10,求AB+AE的长.图1216.(10分)如图13所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M是AB边的中点,CH⊥AB于点H,CD平分∠ACB.(1)求证:∠1=∠2;(2)过点M作AB的垂线交CD的延长线于点E,连接AE,BE.求证:CM=EM.图1317.(14分)如图14,将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图14①方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.(1)求证:AF+EF=DE.(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转α,且0°<α<60°,其他条件不变,请在图②中画出旋转后的图形,并直接写出(1)中的结论是否仍然成立.(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转β,且60°<β<180°,其他条件不变,如图③.你认为(1)中的结论还成立吗?若成立,请写出证明过程;若不成立,请写出AF,EF与DE之间的关系,并说明理由.图14详解详析1.[解析] A∵∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,DE⊥AC,DF⊥AB,∴∠C+∠B=90°,∠BDF+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°,∴∠C=∠BDF=∠BAD.∵∠DAC+∠C=90°,∠DAC+∠ADE=90°,∴∠C=∠ADE,∴图中与∠C相等的角有3个. 故选A.2.[解析] A∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠BCD+∠ACD=90°,∠A+∠ACD=90°,∴∠BCD= ∠A=30°.∵BD=2,∴BC=2BD=4,∴AB=2BC=2×4=8,∴AD=AB-BD=8-2=6.故选A.3.D4.[解析] D∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠B=45°.由尺规作图可知,AD平分∠CAB,DE⊥AB.又∵∠ACB=90°,∴ED=CD.在Rt△ACD和Rt△AED中,∵AD=AD,CD=ED,∴Rt△ACD≌Rt△AED,∴AC=AE,∴△BDE的周长=BD+ED+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10.故选D.5.[解析] A如图,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.∵∠BAD=90°,AB=AD=2,∴BD=4,∠ADB=45°,∴AE=BD=2>.∵∠ADC=90°,∴∠FDC=90°-∠ADB=45°,∴△CDF是等腰直角三角形.又∵CD=,∴CF=1<.∵点P到BD的距离为,∴这样的点P有两个,它们分别在AB,AD边上.6.C7.[答案] 40 [解析] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.8.[答案] [解析] ∵P是∠AOB的平分线上一点,PC//OB,∴∠CPO=∠POB=∠COP,∴PC=OC.∵CD⊥OB,∠AOB=30°,∴CD=OC=PC=.9.[答案] 120 [解析] 设该三角形的三边长分别为5x cm,12x cm,13x cm.由题意,得5x+12x+13x=60,解得x=2,则该三角形的三边长分别为10 cm,24 cm,26 cm.∵102+242=262,∴这是一个直角三角形,∴S=×10×24=120(cm2).10.AC=AD(答案不唯一)11.[答案] [解析] 根据折叠的性质可知BE=B'E,AB=AB'=3.在Rt△ABC中,由勾股定理可得BC=4.设BE=x.在Rt△B'EC中,由勾股定理可得B'E2+B'C2=EC2,即x2+22=(4-x)2,解得x=.12.[答案] [解析] ∵在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,∴△ABE,△ABD都是直角三角形.∵M为AB边的中点,∴EM,DM分别是△ABE,△ABD斜边上的中线,∴EM=DM=AB.∵EM=AB=MA,∴∠MAE=∠MEA,∴∠BME=2∠MAE.同理,DM=AB=MA,∴∠MAD=∠MDA,∴∠BMD=2∠MAD,∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD= 2∠DAC.∵BE⊥AC,∠DBE=30°,∴∠C=60°.又∵AD⊥BC,∴∠DAC=30°,∴∠EMD=60°, ∴△DEM是边长为2的等边三角形,∴S△EDM=.13.证明:∵∠CDE=90°,∠DCE=30°,∴ED=CE.∵B是CE的中点,∴BC=CE,∴BC=ED.在△ABC和△CED中,∵AC=CD,∠ACB=∠CDE=90°,BC=ED,∴△ABC≌△CED(SAS), ∴∠ABC=∠CED,∴AB//DE.14.解:公路AB需要暂时封锁.理由:如图,过点C作CD⊥AB于点D.因为BC=400米,AC=300米,∠ACB=90°,所以AB=500米.因为S△ABC=AB·CD=BC·AC,所以CD===240(米).因为240米<250米,所以有危险,因此AB段公路需要暂时封锁.15.解:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠C=45°.又∵ED⊥BC,∴∠EDC=90°,∴∠DEC=∠C=45°,∴DE=DC,故△DCE为等腰直角三角形.∵BE是△ABC的角平分线,∠BAC=∠BDE=90°,∴AE=DE,∴△ADE为等腰三角形.∵AE=DE,BE=BE,∴Rt△ABE≌Rt△DBE,∴AB=DB,∴△ABD为等腰三角形.故图中所有的等腰三角形为△ABC,△DCE,△ADE,△ABD,共4个.(2)由(1)可知AB=DB,AE=DE=DC,∴AB+AE=DB+DC=BC=10.16.证明:(1)∵∠ACB=90°,CD平分∠ACB,∴∠BCD=∠ACD=45°,∴∠1=45°-∠BCH,∠2=45°-∠ACM.∵在Rt△ABC中,M是AB边的中点,∴AM=MC,∴∠BAC=∠ACM.又∵CH⊥AB,∴∠BCH+∠ABC=∠ABC+∠BAC=90°,∴∠BCH=∠BAC=∠ACM,∴∠1=∠2.(2)∵CH⊥AB,EM⊥AB,∴CH//EM,∴∠1=∠MED,∴∠MED=∠2,∴CM=EM.17.解:(1)证明:如图①,连接BF.∵△ABC≌△DBE,∴BC=BE,AC=DE.∵∠ACB=∠DEB=90°, ∴∠BCF=∠BEF=90°.在Rt△BFC和Rt△BFE中,∵BF=BF,BC=BE,∴Rt△BFC≌Rt△BFE,∴CF=EF.∵AF+CF=AC,∴AF+EF=DE.(2)画出正确图形如图②.(1)中的结论AF+EF=DE仍然成立.(3)(1)中的结论不成立.此时AF,EF与DE之间的关系为AF-EF=DE.理由:如图③,连接BF.∵△ABC≌△DBE,∴BC=BE,AC=DE.∵∠ACB=∠DEB=90°,∴∠BCF=∠BEF=90°.在Rt△BFC和Rt△BFE中,∵BF=BF,BC=BE,∴Rt△BFC≌Rt△BFE,∴CF=EF.∵AF-CF=AC,∴AF-EF=DE,∴(1)中的结论不成立,正确的结论是AF-EF=DE.。

湘教版八年级下册数学第1章直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（）A.S1=S2B.S1＜S2C.S1＞S2D.无法确定2、定义：△ABC中，一个内角的度数为，另一个内角的度数为，若满足，则称这个三角形为“准直角三角形”.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8，BC=6，D是BC上的一个动点，连接AD，若△ABD是“准直角三角形”，则CD的长是（）A. B. C. D.3、如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（）A.1B.2C.12 ﹣6D.6 ﹣64、如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（）A.2B.4C.D.5、把一副三角板如图(1)放置，其中，，，斜边，．把三角板绕着点C顺时针旋转得到(如图2)，此时AB与交于点O，则线段的长度为（）A. B. C. D.46、在中，，，把绕点A顺时针旋转后，得到，如图所示，则点B所走过的路径长为A. B. C. D.7、如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R，S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的序号为（）A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④8、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图（3），则三角板的最大边的长为（）A. B. C. D.9、下列各组数中，能构成直角三角形的是( )A.4，5，6B.1，1，C.6，8，11D.5，12，1510、圆的一条弦长为6，其弦心距为4，则圆的半径为（）A.5B.6C.8D.1011、如图，在中，将绕点逆时针旋转得到使点落在边上，连接，则的长度是（）A. B. C. D.12、如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是线段BC边上的动点,则AP长不可能是( )A.3.5B.4.2C.5.8D.713、在△ABC中，BC=a，AB=c，AC=b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件是（）.A.∠A=∠B-∠CB.∠A：∠B：∠C=2：5：3C.a：b：c=7：24：25 D.a：b：c=4：5：614、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A.4B.3C.2D.115、在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，OF⊥AD于F，若BE：ED=1：3，OF=3cm，则BD的长是（）cm．A.6B.8C.10D.12二、填空题(共10题，共计30分)16、①三角形的三条角平分线交于一点，这点到三条边的距离相等；②三角形的三条中线交于一点；③三角形的三条高线所在的直线交于一点；④三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等．以上说法中正确的是________．17、如图，已知：在ABCD中，AB=AD=2，∠DAB=60°，F为AC上一点，E 为AB中点，则EF+BF的最小值为________．18、长方形中，边的长为, 边的长为, 是长方形边上的一个动点，当三点构成的三角形为等腰三角形时，的长为________.19、如图，已知中，，，，现将进行折叠，使顶点、重合，则的周长为________ ，的面积为________ ．20、如图，在中、，BE平分交AC于点E.、垂足为D、若，，则的周长为________.21、如图，在中，，则的度数是________.22、如图，正方形ABCD的边长为1，点E为AB的中点，以E为圆心，1为半径作圆，分别交AD、BC于M、N两点，与DC切于点P，则图中阴影部分的面积是________。

湘教版八年级数学下册《第一章直角三角形》测试卷-带参考答案一、选择题(每题3分，共30分)1.下列各组数中，以它们为边长能构成直角三角形的是()A.1，3，4B.2，3，4C.1，1，√3D.5，12，132.如图，已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是()(第2题)A.40°B.45°C.50°D.60°3.如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A，B，C，D，且每个小正方形的边长都是1，下列选项中的线段长度为√13的是()(第3题)A.线段ABB.线段BCC.线段CDD.线段AD4.(母题：教材P16习题T2)在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边.下列条件中，不能得出△ABC是直角三角形的是()A.b2＝a2－c2B.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5C.∠C＝∠A－∠BD.a∶b∶c＝1∶√3∶√25.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AC，交AB于点D，E是垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是()(第5题)A.2√3B.2C.4√3D.46.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分别是BD，BC上的动点，当CP＋PQ取得最小值时，BQ的长是()(第6题)A.8B.10C.12D.167.若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋｜a2＋b2－c2｜＝0，则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.无法确定8.如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝√3，则△AOB 与△BOC的面积之和为()(第8题)A.√34B.√32C.3√34D.√39.如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P.若PM＝PC，则AM的长为()(第9题)A.3(√3－1)B.3(3√3－2)C.6(√3－1)D.6(3√3－2)10.“春节”是我国最重要的传统节日，在春节期间有很多习俗，贴对联、剪窗花、挂彩灯、吃饺子、守岁、放鞭炮等，为了增添节日的气氛，某同学家买了一串长52 cm的彩灯，按如图方式(从A绕到B)缠绕在圆柱体的柱子上，且柱子的底面周长为10 cm，则柱子高()(第10题)A.2√651 cmB.√69 cmC.12 cmD.48 cm二、填空题(每题3分，共24分)11.如图，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线，若∠BPC＝130°，则∠A＝.(第11题)12.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为.(第12题)13.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB于点M，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为.(第13题)14.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则此三角形的周长为.15.如图所示的象棋棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为.(第15题)16.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为dm2.(第16题)17.如图，边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A，B分别在两条射线OM，ON 上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是.(第17题)18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，P是HI上一点，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝16，S2＝25，则四边形ACBP的面积等于.(第18题)三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，CD＝3.(1)求DE的长；(2)若AC＝6，BC＝8，求△ADB的面积.20.(母题：教材P16习题T2)如图，在边长为1的小正方形组成的网格图中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题：(1)求△ABC的周长；(2)试判断△ABC的形状.21.海绵城市是新一代城市雨洪管理概念，下雨时吸水、蓄水、渗水、净水，需要时将蓄存的水释放并加以利用.某市是全国首批16个海绵城市建设试点城市之一，其中位于梦溪路与滨水路交界处的海绵主题公园，既是周边汇水区雨洪管理的一个有机模块，也是立体化展示海绵技术的科普公园，园区内有一块下沉式绿地(四边形ABCD，如图)，经测量，AB∥CD，AB＝BC＝20米，∠B＝60°，∠D＝45°，求该绿地的周长(结果保留根号).22.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB 于点E.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数.23.如图，学习了勾股定理后，数学兴趣小组的小红和小明对离教室不远的一个直角三角形空地斜边上的高进行了探究：两人在直角边AB上距离直角顶点B为9米远的点D处同时开始测量，点C为终点，小明沿D→B→C的路径测得所经过的路程为18米，小红沿D→A→C的路径测得所经过的路程为18米，这时小明说：“我能求出这个直角三角形空地斜边上的高了.”小红说：“我也知道怎么求出这个直角三角形空地斜边上的高了.”你能求出这个直角三角形空地斜边上的高吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由.24.如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB＋BD.(1)写出AB与BD的数量关系；(2)延长BC到点E，使CE＝BC，延长DC到点F，使CF＝DC，连接EF，求证：EF⊥AB；(3)在(2)的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH.答案一、1.D 2.C3.B 【点拨】由题意得AB＝√12＋22＝√5，BC＝√22＋32＝√13，CD＝√12＋12＝√2，AD＝√12＋32＝√10，故选B.4.B 【点拨】根据三角形内角和等于180°判断B，C；根据勾股定理的逆定理判断A，D，即可得出答案.5.A6.C 【点拨】作点Q关于BD的对称点H，易知点H在直线AB上，连接PH，则PQ＝PH，BH＝BQ，∴CP＋PQ＝CP＋PH，∴当C，H，P三点在同一直线BC 上，且CH⊥AB时，CP＋PQ＝CH为最短.易得此时∠BCH＝30°，∴BH＝12×24＝12，∴BQ＝12.故选C.＝127.C8.C9.C 【点拨】∵四边形ABCD是边长为6的正方形∴AD＝CD＝6，∠ADC＝90°，∠ADM＝∠CDM＝45°.又∵DM＝DM∴△ADM≌△CDM(SAS)∴∠DAM＝∠DCM.∵PM＝PC，∴∠CMP＝∠DCM∴∠APD＝∠CMP＋∠DCM＝2∠DCM＝2∠DAM.又∵∠APD＋∠DAM＝180°－∠ADC＝90°∴∠DAM＝30°.设PD＝x，则AP＝2PD＝2x，PM＝PC＝CD－PD＝6－x∴AD＝√AP2－PD2＝√3x＝6，解得x＝2√3∴PM＝6－x＝6－2√3，AP＝2x＝4√3∴AM＝AP－PM＝4√3－(6－2√3)＝6(√3－1).10.D二、11.80°【点拨】∵∠BPC＝130°∴∠CBP＋∠BCP＝180°－∠BPC＝50°.∵BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线∴∠ABC＝2∠CBP，∠ACB＝2∠BCP∴∠ABC＋∠ACB＝2(∠CBP＋∠BCP)＝100°∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝80°.12.4 【点拨】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°.∵BC＝6，∴BD＝CD＝3.在Rt△ABD中，根据勾股定理得AD＝√AB2－BD2＝√52－32＝4.13.314.12或7＋√715.√2【点拨】如图，第一步到①，第二步到②.故走两步后的落点与出发点间的最短距离为√12＋12＝√2.16.2 【点拨】如图所示AD＝2√2 dm依题意，得OD＝√22OD＝√2 dm.OE＝12∴阴影部分的面积为OE2＝(√2)2＝2(dm2).17.1＋√3【点拨】取AB中点D，连接OD，DC∴OC≤OD＋DC，当O，D，C三点共线时，OC有最大值，最大值是OD＋CD.∵△ABC为边长为2的等边三角形，点D为AB中点∴AB＝BC＝2，BD＝1，CD⊥AB∴CD＝√BC2－BD2＝√3.∵△AOB 为直角三角形，点D 为斜边AB 的中点 ∴OD ＝12AB ＝1，∴OD ＋CD ＝1＋√3 即OC 的最大值为1＋√3.18.18.5 【点拨】∵正方形ACDE 和正方形AHIB 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝16，S 2＝25∴AC ＝4，AB ＝5.易得正方形CBGF 的面积＝CB 2＝AB 2－AC 2＝25－16＝9，∴BC ＝3.∴四边形ACBP 的面积＝S △ABC ＋S △ABP ＝12×3×4＋12×5×5＝18.5.三、19.【解】(1)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E ，∴DE ＝CD .∵CD ＝3，∴DE ＝CD ＝3.(2)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8 ∴AB ＝√62＋82＝10. ∵由(1)知，DE ＝CD ＝3∴S △ABD ＝12AB ·DE ＝12×10×3＝15.20.【解】(1)∵AB ＝√22＋12＝√5，AC ＝√22＋42＝2√5，BC ＝√32＋42＝5，∴AB ＋AC ＋BC ＝√5＋2√5＋5＝3√5＋5，即△ABC 的周长为3√5＋5. (2)∵AB 2＋AC 2＝(√5)2＋(2√5)2＝25，BC 2＝52＝25，∴AB 2＋AC 2＝BC 2. ∴△ABC 是直角三角形.21.【解】连接AC ，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E ，如图.∵AB ＝BC ＝20米，∠B ＝60° ∴△ABC 是等边三角形. ∴AC ＝AB ＝20米，∠BAC ＝60°. ∵AB ∥CD∴∠ACE ＝∠BAC ＝60°.又∵∠AEC ＝90°，∴∠CAE ＝30°.∴CE ＝12AC ＝10米.∴AE ＝√AC 2－CE 2＝10√3米.∵∠AED ＝90°，∠D ＝45°，∴∠EAD ＝45°. ∴DE ＝AE ＝10√3米.由勾股定理得AD ＝√AE 2＋DE 2＝10√6米. ∴该绿地的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝20＋20＋10＋10√3＋10√6 ＝50＋10√3＋10√6(米).22.(1)【证明】∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ∴∠ABD ＝∠CBD .∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠CBD . ∴∠EBD ＝∠EDB .∴BE ＝DE .(2)【解】∵∠A ＝80°，∠C ＝40°，∴∠ABC ＝60°. ∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ∴∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ＝30°. 由(1)知∠BDE ＝∠EBD ，∴∠BDE ＝30°. 23.【解】能.设BC ＝a 米，AC ＝b 米，AD ＝x 米，斜边AC 上的高为h 米，则9＋a ＝x ＋b ＝18，∴a ＝9，b ＝18－x .在Rt △ABC 中，由勾股定理得(9＋x )2＋a 2＝b 2 ∴(9＋x )2＋92＝(18－x )2，解得x ＝3，即AD ＝3米. ∴AB ＝AD ＋DB ＝3＋9＝12(米)，AC ＝15米. ∴12×9×12＝12×15h ，解得h ＝365.答：这个直角三角形空地斜边上的高为365米. 24.(1)【解】∵∠A ＝90°，AB ＝AC ，∴BC ＝√2AB . ∵BC ＝AB ＋BD ，∴√2AB ＝AB ＋BD 即(√2－1)AB ＝BD .第 11 页 共 11 (2)【证明】如图①，∵CE ＝BC ，∠2＝∠1，CF ＝DC ，∴△CEF ≌△CBD①∴∠E ＝∠DBC ，∴EF ∥BD ，∵BD ⊥AB ，∴EF ⊥AB .(3)【证明】如图②，延长BA ，EF 交于点M ，延长CH 交ME 于点G .②∵EF ⊥AB ，AC ⊥AB∴ME ∥AC ，∴∠CGE ＝∠ACG .∵CH 是∠ACE 的平分线∴∠ACG ＝∠ECG ，∴∠CGE ＝∠ECG∴EG ＝EC ＝BC ＝AB ＋BD .∵△CBD ≌△CEF∴EF ＝BD ，∴EG ＝AB ＋BD ＝AC ＋EF即FG ＋EF ＝AC ＋EF ，∴AC ＝FG .在△AHC 和△FHG 中{∠ACH ＝∠FGH∠AHC ＝∠FHG AC ＝FG∴△AHC ≌△FHG (AAS)∴AH ＝HF.。

湘教版2017—2018学年八年级数学下学期第一章直角三角形单元测试题（时限：100分钟总分：100分）班级姓名总分一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分)1.下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是( )C. 6，8，11D.A. 4，5，6B.1，15，12，232.一个正方形的面积为216cm，则它的对角线长为( )C.cmA. 4 cmB.D. 6cm3如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD＝PE，则△APD与△APE全等的理由是（）A．SAS B.AASC. SSSD.HL4. 三角形内到三边的距离相等的点是（）A. 三条中线的交点B. 三条高的交点C.三条角平分线的交点D. 以上均不对5. 如果梯子的底端离建筑物5 米，13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是( )A . 12 米 B. 13 米 C. 14 米D. 15 米6. 等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为( )C.A.D. 37. 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于( )A．315°B．270°C．180°D．135°8. 在△ABC 中，∠C ＝90°，角平分线AD 交BC 于点D ，若BC ＝32，BD ∶CD ＝9∶7，则D 点到AB 边的距离为（）A . 18 B. 16 C. 14D. 12二、 填空题(本题共8小题，每小题4分，共32分)9. 已知△ABC 的三边长分别为12，则△ABC是三角形.10. 等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为. 11. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的周长是.12.在直角三角形中，两锐角之比为2:1，则两锐角的度数分别为．13. 如图，以Rt △ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为1S ，2S ，3S 且14S =，28S =， 则3S =；以Rt ∆ABC 的三边向A 第11题外作等边三角形，其面积分别为S，2S，3S，1则S，2S，3S三者之间的关系为.114. 如图，△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，DE⊥AB于E，且AE=EB，DE=DC，则∠B的度数为．15. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，BD=3.5，BC=6，则△ABC的周长是．16. 如图，在△ABC中，∠A=90，BD是角平分线，若AD=m，BC=n，则△BDC的面积为．三、解答题(本题共5小题，共36分)17.（本小题满分7分）如图，90∠=︒，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断C△ABD的形状，并说明理由.18. （本小题满分7分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC且交AC于D，若AP平分∠BAC交BD于点P，求∠APB的度数.19.（本小题满分7分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC. 过点C作一条射线CE⊥AE于点E，再过点B作BD⊥CE于点D. 试证明AE=BD+DE.20.（本小题满分7分）如图，一个梯子AB长10 米，顶端A靠在墙上的AC上，这时梯子下端B与墙角c距离为6 米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1 米，求梯子顶端A下落了多少米？（精确到0.01 )1 21.（本小题满分8分）小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，若已知AC CD的长.参考答案第一章直角三角形一、 选择题：1.B ；2.B ；3. D ；4.C ；5.A ；6.B ；7.B ；8 C.二、填空题：9. 直角； 10. 16； 11.12.30︒，60︒； 13. 12；S1+S 2=S 3 14. 30︒； 15. 20.5或12+16. mn DE BC S ABC 2121=⨯⨯=∆.三、解答题：17.△ABD 为直角三角形. 理由如下： 90C ∠=︒，AC=3，BC=4，5AB ∴=.22251213+=,222AB AD BD ∴+=. 90BAD ∴∠=︒.18. 135APB ∠=︒.19. 利用“AAS ”判定△ACE ≌△CBD ， ,AE CD CE BD ∴==.AE CD CE DE BD DE ∴==+=+.20.梯子顶端A 下落了0.86米.21. 2．。

湘教版八年级下册数学第1章直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在中，，，的对边分别是，，，下列说法错误的是（）A.若，则是直角三角形B.若，则△是直角三角形 C.若，则是直角三角形 D.若，则不是直角三角形2、在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（）A. B. C. D.3、△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则cosA的值是（）A. B. C. D.4、如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,若CD=3,则BD的长是( )A.7B.6C.5D.45、在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan∠A的值为（）A. B. C. D.6、如图所示，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，可以推得Rt△ABC≌Rt△DCB，所用的判断定理简称是（）A.SASB.HLC.ASAD.AAS7、使两个直角三角形全等的条件是（）A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等C.一条边对应相等D.两条直角边对应相等8、如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（）A.PC⊥OA，PD⊥OBB.OC=ODC.∠OPC=∠OPDD.PC=PD9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，则AB的长为（）A.13cmB.12cmC.10cmD.8cm10、在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，若OP=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A.P在⊙O内B.P在⊙O上C.P在⊙O外D.P与A或B重合11、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A. B.2 C.3 D. +212、如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为A. B. C. D.13、如图，菱形ABCD的边长等于2，∠CDA= 120°，则对角线AC的长为( )A. B.2 C.2 D.114、Rt△ABC中，已知∠C=90°, ∠A=30°，BD是∠B的平分线，AC=18，则BD 的值为（）A.4.9B.9C.12D.1515、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，若EA=2，则BE=（）A.3B.4C.6D.8二、填空题(共10题，共计30分)16、在半径为2的⊙O中，弦AB＝2 ，连接OA，OB．在直线OB上取一点K，使tan∠BAK＝，则△OAK的面积为________．17、在平面直角坐标系中，，，，直线与分别交于点，若为四边形边上一点（不与点重合），且，则点的坐标为________．18、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为________．19、如图，有正方形ABCD，把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置.其中AD=4，AE=5，则BF=________.20、矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，于，若，，则________.21、如图，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x 轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（1，2），若点P是第一象限内的一点，且∠OPC=45°，则线段AP最长时的P点坐标为________.22、如图，在纸片△ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长________；23、如图，在矩形ABCD中，AD=4，E为线段DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在BC的垂直平分线上时，DE的长为________.24、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为________厘米．25、如图，一棵大树在离地3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是________米.三、解答题(共5题，共计25分)26、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c．若a∶c＝15∶17，b＝24，求a.27、已知等腰三角形的腰为2 cm，底边为4 cm，求这个等腰三角形的面积．28、如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC=1m，NC= m，BN= m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长．29、如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，求BF．30、如图，，求证：．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C3、A4、B5、A6、A7、D8、D9、A10、A11、C12、B13、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、29、30、。

湘教版八年级下册数学第1章直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、直角三角形两直角边边长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为( )A.10cmB.3cmC.4cmD.5cm2、下列说法中正确的是（）A.已知a，b，c是三角形的三边，则a 2+b 2=c 2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a 2+b 2=c 2D.在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a 2+b 2=c 23、如图是的角平分线，于E，点F，G分别是，上的点，且，与的面积分别是10和3，则的面积是（）A.4B.5C.6D.74、如图，在四边形中，，和的延长线交于点，若平面内动点满足，则满足此条件的点有（）A.1个B.2个C.4个D.无数个5、已知直角三角形的一个锐角为60度，斜边长为2，那么此直角三角形的周长是（）A.2.5B.3C. +2D. +36、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A.a：b：c=3：4：5B.a=9，b=40，c=41C.a=11，b=12，c=13 D.a=b=5，c=57、若是三角形的三边长，则满足下列条件的不能构成直角三角形的是（）A. ，，B. ，C. D. ，，8、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是经过A点的一条直线，且B，C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=2，BD=6，则DE的长为（）A.2B.3C.5D.49、下列各组数据中,能做为直角三角形三边长的是（）。

A.1、2、3B.3、5、7C.3 2， 4 2， 5 2D.5、12、1310、如图，已知直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为（）A. B. C. D.11、如图，在中，，是的平分线，，的面积为12，则的长度为（）A.3B.4C.5D.612、如图，在矩形ABCD中，AD=10，AB=6，点E为BC上的一点，ED平分∠AEC，则BE的长为( )A.10B.8C.6D.413、要在数轴上作出表示的点，可以通过构造直角三角形的方法，下列各组数值中，可以作为这个直角三角形两条直角边长的是（）A.5，5B.3，1C.1，9D.2，614、在数学活动课上，老师要求学生在4×4的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在各点上，而且三边与AB或AD 都不平行，则画出的形状不同的直角三角形有（）种．A.3B.4C.5D.615、如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，且AB= ，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD+CE=（）A. B. C.2 D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD且BC＞AB，BD=8．给出以下判断：①AC垂直平分BD；②四边形ABCD的面积S=AC•BD；③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形；④当A，B，C，D四点在同一个圆上时，该圆的半径为；⑤将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，点F到直线AB的距离为．其中正确的是________．（写出所有正确判断的序号）17、如图，优弧纸片所在的半径为2，，点为优弧上一点（点不与，重合），将图形沿折叠，得到点的对称点．当与相切时，则折痕的长________．18、如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是________.19、如图，AD是△ABC的角平分线，AB：AC=3：2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为________．20、如图，点A是双曲线y= 在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为________．21、如图，在中，，以A为圆心、适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，交于点E.已知，若P为上一点，当时，线段的长为________.22、平面直角坐标系中，点M（x，y），N（x-2ky，y-3kx），MN=7OM，当点M 在y轴正半轴上时，k=________.23、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，若S△ABD ：S△ACD＝3：2，则AB：AC＝________．24、如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2 米的等宽的直角通道，平板车的长不能超过________米．25、如图，以正六边形ABCDEF的中心O为原点建立平面直角坐标系，过点A作AP1⊥OB于点P1，再过P1作P1P2⊥OC于点P2，再过P2作P2P3⊥OD于点P3，依次进行……若正六边形的边长为1，则点P2019的横坐标为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．27、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，E为△ABC外一点，连接DE，AE和BE，AD=DE，BE∥AC.求证：∠BED=∠DAB.28、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，求点D到直线AB的距离．29、如图，在四边形ABCD中，已知AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°．求四边形ABCD的面积．30、如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C3、A4、D5、D6、C7、D8、D9、D10、B11、A12、B13、B14、C15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)28、30、。

2020-2021学年湘教新版八年级下册《第1章直角三角形》单元测试卷一．选择题1．直角三角形的两条直角边分别12cm和16cm，斜边为20cm，则斜边上的高为（）A．8cm B．10cm C．9.1cm D．9.6cm2．直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长（）A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm3．下面的三角形中：①△ABC中，∠C＝∠A﹣∠B；②△A BC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③△ABC中，a：b：c＝3：4：5；④△ABC中，三边长分别为8，15，17、其中是直角三角形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列各组数是勾股数的为（）A．2，4，5B．8，15，17C．11，13，15D．4，5，65．现有两根木棒，长度分别为30cm和40cm，若要订成一个直角三角形框架，那么所需的第三根木棒的长度可以是（）A．30cm B．40cm C．50cm D．以上都不对6．如果一个等腰直角三角形的面积为2，则斜边长为（）A．2B．4C．D．7．把一个平角三等分，则两旁两个角的角平分线所构成的角为（）A．90°B．120°C．135°D．150°8．如果三角形的一个角的平分线也是中线，则该三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．任意三角形9．如（1）图，由已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE可证得AC⊥CE，若将CD 沿CB方向平移到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，则这四种情况下，结论AC1⊥C2E仍然成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，△ABC为等边三角形，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，OE∥AB交BC于点E，OF∥AC交BC于点F，图中等腰三角形共有（）A．6个B．5个C．4个D．3个二．填空题11．如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，则DE与DC的关系是．12．三角形的三条中线，三条角平分线，三条高，其中直角三角形的高线交点为直角三角形的，钝角三角形三条高的交点在．13．如图所示，O是直线AB上一点，∠AOD＝∠BOF＝120°，∠AOC＝90°，OE平分∠BOD，则图中与∠COD相等的角有个．14．底角等于顶角一半的等腰三角形是三角形，画出此三角形斜边上的高，这时图中有个等腰三角形．15．如图，台风过后，琼岛小学的旗杆在B处折断，旗杆顶部A落在离旗杆底部8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在离底部米处断裂．16．在△ABC中，∠C＝90°，AC+BC＝17．AB边上中线为6.5，则S＝．△ABC17．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠B﹣∠A＝10°，则∠B＝．18．请写出三组以整数为边长的直角三角形的三边长：，，．19．如果一个三角形的内角比为1：2：3，它的最大边为a，那么它的最小边是．20．在△ABC中，D为AB的中点，且CD＝AD＝BD，那么∠ACB＝度．三．解答题21．一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？22．已知∠AOB＝50°，∠BOD＝3∠AOB，OC平分∠AOB，OM平分∠AOD，求∠MOC 的度数．23．根据三角形的三边a，b，c的长，判断三角形是不是直角三角形：（1）a＝11，b＝60，c＝61 （2）a＝，b＝1，c＝．24．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD⊥AC，CE⊥AB，D、E分别为垂足，那么△BCD 与△CBE全等吗？为什么？25．在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求AD的长．26．如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AB＝2AC，求证：△ABC是直角三角形．27．如图，已知M是Rt△ABC斜边AB的中点，CD＝BM，DM与CB的延长线交于点E．求证：∠E＝∠A．参考答案与试题解析一．选择题1．解：直角三角形面积＝×一直角边长×另一直角边长＝×斜边长×斜边的高，代入题中条件，即可得：斜边高＝9.6cm．故选：D．2．解：设斜边长为x，则直角边为（x﹣2）cm，由勾股定理得，x2＝（x﹣2）2+62，解得x＝10，所以，它的斜边长为10cm．故选：C．3．解：①∵△A BC中，∠C＝∠A﹣∠B，∴∠C+∠B＝∠A，∵∠C+∠A+∠B＝180°，∴2（∠B+∠C）＝180°，∴∠B+∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，∴x+2x+3x＝180°，∴x＝30°，∴∠C＝3x＝3×30°＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵△ABC中，a：b：c＝3：4：5，∴设a＝3x，则b＝4x，c＝5x，∴a2+b2+c2＝（3x）2+（4x）2＝（5x）2，∴△ABC是直角三角形；④∵△AB C中，三边长分别为8，15，17，∴82+152＝289＝172，∴△ABC是直角三角形．故选：D．4．解：A、22+42＝20≠52，故不是；B、82+152＝289＝172，故是勾股数；C、112+132＝290≠152，故不是；D、42+52＝41≠62，故不是；故选：B．5．解：两根木棒的长度分别为40cm和30cm，若要做一个直角三角形的框架，则：若40cm和30cm木棒作为直角边，则第三边为斜边，它的长为＝50cm；若30cm的木棒为直角边，40cm的木棒为斜边，则第三边为直角边，它的长为＝10cm．故选：C．6．解：设等腰直角三角形一个直角边为x，则x×x×＝2，解得x＝2，由勾股定理得斜边长为2．故选：C．7．解：根据已知OE，OF是平角的三等分线，则∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，又∵OE，OF是∠AOC与∠BOD的平分线．∴∠COE＝∠DOF＝30°，∴∠EOF＝∠COE+∠COD+∠DOF＝120°．故选：B．8．解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，∵AD是中线，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC，∠E＝∠CAD，∵AD是角平分线，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠E＝∠BAD，∴AB＝BE，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．故选：C．9．解：由题意可得，△ABC≌△CDE，∠ECD+∠ACB＝90°，而（2），（3），（4），（5）均满足∠EC2D+∠AC1B＝90°∴（2），（3），（4），（5）均成立故选：D．10．解：∵△ABC为正三角形，∴△ABC为等腰三角形；∵OB，OC为角平分线，∴∠OBC＝∠OCB，∴△BOC为等腰三角形；∵OE∥AB，∴∠ABO＝∠BOE＝∠OBE，∴△BOE为等腰三角形；同理，△COF为等腰三角形；∠OEF＝∠OFE，∴△EOF为等腰三角形．所以题中共有5个等腰三角形故选：B．二．填空题11．解：利用角平分线的性质可得：相等．故填：相等．12．解：三角形的三条中线，三条角平分线，三条高分别各交于一点，其中直角三角形的高线交点为直角三角形的直角顶点，钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形的外部，故本题答案为：分别各交于一点；直角顶点；三角形的外部．13．解：∵∠AOD＝120°，∠AOC＝90°∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝30°，∠BOD＝180﹣∠AOD＝60°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE＝30°，∴∠COD＝∠BOE＝∠DOE．又∠COF＝∠BOF﹣∠BOC＝30°，∴图中与∠COD相等的角有3个．14．解：设等腰三角形的底角为x，则该等腰三角形的三个内角分别是x、x、2x，由三角形的内角和定理知，x+x+2x＝180°，解得，x＝45°，故该等腰三角形的三个内角是45°、45°、90°，故该等腰三角形是等腰直角三角形．如图，AD是等腰直角三角形斜边上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∵∠B＝∠C＝45°，∴∠B＝∠BAD＝45°，∴△BAD是等腰三角形，同理，△CAD是等腰三角形．故作高后有3个等腰三角形．15．解：设旗杆未折断部分长为x米，则折断部分的长为（16﹣x）m，根据勾股定理得：x2+82＝（16﹣x）2，可得：x＝6m，即距离地面6米处断裂，故答案为：6．16．解：∵∠C＝90°，AB边上中线为6.5，∴AB＝2×6.5＝13，∴AC2+BC2＝AB2＝132＝169，∵AC+BC＝17，∴AC2+2AC•BC+BC2＝289，∴AC•BC＝60，∴Rt△ABC的面积＝AC•BC＝30．故答案为：30．17．解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝180°﹣90°＝90°，∵∠B﹣∠A＝10°，∴2∠B＝100°，∴∠B＝50°，故答案为：50°．18．解：三组以整数为边长的直角三角形的三边长可以是：3，4，5；6，8，10；5，12，13．故答案为：3，4，5；6，8，10；5，12，13．19．解：设三角形的三个内角分别为k、2k、3k，根据题意得，k+2k+3k＝180°，解得k＝30°，3k＝3×30°＝90°，∵最大边为a，∴它的最小边是．故答案为：．20．解：已知D为AB的中点，即CD为AB边的中线，CD＝AD＝BD＝AB，因为直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，则∠ACB＝90°，故填90．三．解答题21．解：如图所示，直角三角形的两条直角边分别是OA＝20×＝40km，OB＝15×2＝30km．再根据勾股定理，得两条船相距AB＝＝50km．22．解：①如图1，∵∠AOB＝50°，∠BOD＝3∠AOB，∴∠BOD＝150°．∴∠AOD＝150°﹣50°＝100°．∵OC平分∠AOB，OM平分∠AOD，∴∠AOC＝∠AOB＝25°，∠AOM＝∠AOD＝50°，∴∠MOC＝∠AOC+∠AOM＝75°；②如图2，∵∠AOB＝50°，∠BOD＝3∠AOB，∴∠BOD＝150°．∴∠AOD＝360°﹣50°﹣150°＝160°．∵OC平分∠AOB，OM平分∠AOD，∴∠AOC＝∠AOB＝25°，∠AOM＝∠AOD＝80°，∴∠MOC＝∠AOM+∠AOC＝105°；综上所述，∠MOC的度数是75°或105°．23．解：（1）112+602＝612，故是直角三角形；（2）（）2+12＝≠（）2，故不是直角三角形．24．解：△BCD≌△CBE．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC＝∠CDB＝90°．又∵BC＝BC，∠ABC＝∠ACB，∴△BCD≌△CBE．25．解：方法1：由题意知：AB+AC+BC＝34，AB+AD+BD＝30，∵AB＝AC，BD＝BC，∴②×2得：2AB+2AD+BC＝60③，③﹣①得：2AD＝26，∴AD＝13cm．方法2：∵AB＝AC，D是中点，且AB+AC+BC＝34，∴BD＝BC，AB＝（AB+AC），∴AB+BD＝（AB+AC）+BC＝（AB+AC+BC）＝17cm（周长的一半）．∵AB+BD+AD＝30cm，AD＝30﹣17＝13cm．26．证明：如图，作线段AB的垂直平分线，垂足为D，且与BC相交于点E，易证△AED ≌△BED．∴AD＝AB＝×2AC＝AC，∠B＝∠EAD．∵∠BAC＝2∠B，∠EAD+∠EAC＝∠BAC，∴∠EAC＝∠EAD．在△AEC和△AED中，AE＝AE，∠EAC＝∠EAD，AC＝AD，∴△AEC≌△AED．∴∠C＝∠EDA．∵∠EDA＝90°，∴∠C＝90°．故△ABC是直角三角形．27．证明：∵M是Rt△ABC斜边AB的中点，∴AM＝BM，∵CD＝BM，∴CD＝AM．∵CM是ABC的中线，∴CD＝CM＝BM，∴△CDM是等腰三角形，∠MCB＝∠MBC，∠CDM＝∠CMD．∵∠CDM＝∠A+∠AMD，∠CMD＝∠MCB+∠E＝∠BME+2∠E，即∠A+∠AMD＝∠BME+∠E+∠E，∴∠A＝2∠E．即∠E＝∠A．。

湘教版八年级数学下册第1章《直角三角形》单元检测含答案一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，//EF AB ，39B ∠=︒，则1∠的度数为( ) A ．38︒B ．39︒C ．51︒D ．52︒2．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，15A ∠=︒，60DBC ∠=︒，1BC =，则AD 的长 为( ) A ．1.5B ．2C ．3D ．43．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CM 是高，30MCA ∠=︒，若4AC =，则AB 的长度为( ) A ．8B ．6C ．4D ．54．如图，在Rt ABC ∆中，CE 是斜边AB 上的中线，CD AB ⊥，若5CD =，6CE =，则ABC ∆的面积是( ) A ．24B ．25C ．30D ．365．如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么斜边上的中线长为( ) A ．4B ．5C ．3或5D ．4或56．若直角三角形的三边a ，b ，c 满足2222220a ab b a c -+-，那么这个三角形 是( ) A ．等边三角形B ．有一角是36︒的等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个角是30︒的直角三角形 7．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是( )A ．两个锐角分别对应相等B ．两条直角边分别对应相等第1题图第2题图第3题图第4题图C ．一条直角边和斜边分别对应相等D ．一个锐角和一条斜边分别对应相等 8．如图，AC BC =，AC OA ⊥，CB OB ⊥，则Rt AOC Rt BOC ∆≅∆的理由是( ) A ．SSSB ．ASAC ．SASD ．HL9．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是ABC ∆的一条角平分线．若6AC =，10AB =，则点D 到AB 边的距离为( )A ．2B ．2.5C ．3D ．410．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥，垂足为E ，2CD =，则(AC = )A ．4B ．43C ．6D ．63二．填空题（共8小题，每小题3分，共4分）11．如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，132ACD ∠=︒，A ∠= ．12．如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，F 为BC 的中点，5DE =，8BC =，则DEF ∆的周长是 ．13．如图，ABC ∆为等边三角形，BD AB ⊥，BD AB =，则DCB ∠= ︒．14．如图，AC BC ⊥，AD BD ⊥，垂足分别是C 、D ，若要用“HL ”得到Rt ABC Rt BAD ∆≅∆，则你添加的条件是 ．（写一种即可）第8题图 第9题图第10题图第11题图第12题图第13题图15．如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，AE 平分BAC ∠，若130∠=︒，220∠=︒，则B ∠= ． 16．如图，点M 是AOB ∠平分线上一点，60AOB ∠=︒，ME OA ⊥于E ，3OM =，如果P 是OB 上一动点，则线段MP 的取值范围是 ．17．如图，CA AB ⊥，垂足为点A ，8AB =，4AC =，射线BM AB ⊥，垂足为点B ，一动点E 从A 点出发以2/秒的速度沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED CB =，当点E 运动 秒时，DEB ∆与BCA ∆全等．18．如图，OAB ∆是腰长为1的等腰直角三角形，90OAB ∠=︒，延长OA 至1B ，使1AB OA =，以1OB 为底，在OAB ∆外侧作等腰直角三角形11OA B ，再延长1OA 至2B ，使121A B OA =，以2OB 为底，在△11OA B 外侧作等腰直角三角形22OA B ，⋯⋯，按此规律作等腰直角三角形(1n n OA B n …，n 为正整数），回答下列问题：（1）33A B 的长是 ； （2）△20202020OA B 的面积是 ． 三．解答题（共6小题）19．请在下面括号里补充完整证明过程：已知：如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ，且CEF CFE ∠=∠．求证：CD AB ⊥．证明：AF Q 平分CAB ∠（已知）12∴∠=∠CEF CFE ∠=∠Q ，又3CEF ∠=∠（对顶角相等） 3CFE ∴∠=∠（等量代换）第14题图第15题图第16题图第17题图第18题图Q 在ACF ∆中，90ACF ∠=︒（已知）∴ 90CFE +∠=︒12∠=∠Q ，3CFE ∠=∠（已证）∴ + 90=︒（等量代换）在AED ∆中，90ADE ∠=︒（三角形内角和定理） CD AB ∴⊥ ．20．初二两个班的学生分别在M 、N 两处劳动，现要在道路AB 、AC 的交叉区域内设一个茶水供应点P ，使P 到两条道路的距离相等，且使PM PN =，尺规作图找出符合条件的点P ．21．如图，四边形ABCD 中，90C ∠=︒，AD DB ⊥，点E 为AB 的中点，//DE BC ． （1）求证：BD 平分ABC ∠；（2）连接EC ，若30A ∠=︒，23DC =，求EC 的长．22．如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =． （1）求证：AE CF ⊥；（2）若25BAE ∠=︒，求ACF ∠的度数．23．问题情境在综合与实践课上，同学们以“一个含30︒的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a ，b 且//a b 和直角三角形ABC ，90BCA ∠=︒，30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒． 操作发现：（1）在图1中，146∠=︒，求2∠的度数；（2）如图2，创新小组的同学把直线a 向上平移，并把2∠的位置改变，发现21120∠-∠=︒，说明理由； 实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC 平分BAM ∠，此时发现1∠与2∠又存在新的数量关系，请直接写出1∠与2∠的数量关系．24．已知ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点．（1）如图，若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE AF =．求证：DEF ∆为等腰直角三角形； （2）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE AF =，其他条件不变，那么DEF ∆是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．湘教版八年级数学下册第1章《直角三角形》单元检测含答案一．选择题（共10小题）1．C ． 2．B ． 3．A ． 4．C ． 5．D ． 6．C ． 7．A ． 8．D ． 9．C ． 10．C ． 二．填空题（共8小题）11． 42︒ ． 12． 13 ． 13． 15 ︒． 14． AC BD = ． 15． 50︒ ． 16． 1.5MP … ． 17． 0，2，6，8 ． 18．（1） 22 ； （2） 20192 ． 三．解答题（共6小题）19．请在下面括号里补充完整证明过程：已知：如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ，且CEF CFE ∠=∠．求证：CD AB ⊥．证明：AF Q 平分CAB ∠（已知）12∴∠=∠ （角平分线的定义）CEF CFE ∠=∠Q ，又3CEF ∠=∠（对顶角相等） 3CFE ∴∠=∠（等量代换）Q 在ACF ∆中，90ACF ∠=︒（已知）∴ 90CFE +∠=︒12∠=∠Q ，3CFE ∠=∠（已证）∴ + 90=︒（等量代换）在AED ∆中，90ADE ∠=︒（三角形内角和定理） CD AB ∴⊥ ．【证明】：AF Q 平分CAB ∠（已知）12∴∠=∠（角平分线的定义）CEF CFE ∠=∠Q ，又3CEF ∠=∠（对顶角相等）3CFE ∴∠=∠（等量代换）Q 在ACF ∆中，90ACF ∠=︒（已知）190CFE ∴∠+∠=︒（直角三角形的性质）12∠=∠Q ，3CFE ∠=∠（已证）(2)(3)90∴∠+∠=︒（等量代换）在AED ∆中，90ADE ∠=︒（三角形内角和定理） CD AB ∴⊥（垂直的定义）． 故答案为：（角平分线的定义）；1∠；（直角三角形的性质）；2∠；3∠；（垂直的定义）．20．初二两个班的学生分别在M 、N 两处劳动，现要在道路AB 、AC 的交叉区域内设一个茶水供应点P ，使P 到两条道路的距离相等，且使PM PN =，尺规作图找出符合条件的点P ．【解】：如图，点P 即为所求．21．如图，四边形ABCD 中，90C ∠=︒，AD DB ⊥，点E 为AB 的中点，//DE BC ． （1）求证：BD 平分ABC ∠；（2）连接EC ，若30A ∠=︒，23DC =，求EC 的长．【解】：（1）证明：AD DB ⊥Q ，点E 为AB 的中点， 12DE BE AB ∴==． 12∴∠=∠．//DE BC Q ， 23∴∠=∠． 13∴∠=∠．BD ∴平分ABC ∠．（2）解：AD DB ⊥Q ，30A ∠=︒ 160∴∠=︒． 3260∴∠=∠=︒． 90BCD ∠=︒Q ， 430∴∠=︒．2490CDE ∴∠=∠+∠=︒．在Rt BCD ∆中，360∠=︒，23DC =，4DB ∴=．DE BE =Q ，160∠=︒， 4DE DB ∴==．2222(23)427EC DE CD ∴=+=+=．22．如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =． （1）求证：AE CF ⊥；（2）若25BAE ∠=︒，求ACF ∠的度数．【解】：（1）证明：延长AE 交CF 于点H ，如图所示： 90ABC ∠=︒Q ， 90CBF ∴∠=︒，在Rt ABE ∆与Rt CBF ∆中，AE CFAB BC =⎧⎨=⎩，Rt ABE Rt CBF(HL)∴∆≅∆， BAE BCF ∴∠=∠， 90F BCF ∠+∠=︒Q ， 90BAE F ∴∠+∠=︒， 90AHF ∴∠=︒， AE CF ∴⊥；（2）AB BC =Q ，90ABC ∠=︒， 45ACB BAC ∴∠=∠=︒，由（1）得：ABE CBF ∆≅∆， 25BAE BCF ∴∠=∠=︒， 452570ACF ∴∠=︒+︒=︒．23．问题情境在综合与实践课上，同学们以“一个含30︒的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a ，b 且//a b 和直角三角形ABC ，90BCA ∠=︒，30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒． 操作发现：（1）在图1中，146∠=︒，求2∠的度数；（2）如图2，创新小组的同学把直线a 向上平移，并把2∠的位置改变，发现21120∠-∠=︒，说明理由； 实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC 平分BAM ∠，此时发现1∠与2∠又存在新的数量关系，请直接写出1∠与2∠的数量关系．【解】：（1）90Q，∠=︒BCA∴∠=︒-∠=︒，390144a bQ，//∴∠=∠=︒；2344（2）理由如下：过点B作//BD a，如图2则1802∠=︒-∠，ABDBD a，//∴，BD bQ，////a b∴∠=∠，1DBCQ，∠=︒60ABC∴︒-∠+∠=︒，1802160∴∠-∠=︒；21120（3）12∠=∠，理由如下：AC∠，Q平分BAM∴∠=∠=︒，260BAM BAC过点C作//CE a，如图32BCE ∴∠=∠，//a b Q ，//CE a ，//CE b ∴，160BAM ∠=∠=︒， 30ECA CAM ∴∠=∠=︒， 260BCE ∴∠=∠=︒，12∴∠=∠．24．已知ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点．（1）如图，若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE AF =．求证：DEF ∆为等腰直角三角形；（2）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE AF =，其他条件不变，那么DEF ∆是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．【解】：（1）证明：连接ADAB AC =Q ，90A ∠=︒，D 为BC 中点 2BC AD BD CD ∴=== 且AD 平分BAC ∠45BAD CAD ∴∠=∠=︒在BDE ∆和ADF ∆中，45BD AD B DAF BE AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()BDE ADF SAS ∴∆≅∆DE DF ∴=，BDE ADF ∠=∠ 90BDE ADE ∠+∠=︒Q90ADF ADE ∴∠+∠=︒即：90EDF ∠=︒EDF ∴∆为等腰直角三角形．（2）解：仍为等腰直角三角形．理由：AFD BEDQ∆≅∆∠=∠∴=，ADF BDE DF DEQ∠+∠=︒ADF FDB90∴∠+∠=︒90BDE FDB即：90EDF∠=︒∴∆为等腰直角三角形．EDF。

八年级数学下册第1章《直角三角形》单元检测与简答一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，//EF AB ，39B ∠=︒，则1∠的度数为( ) A ．38︒B ．39︒C ．51︒D ．52︒2．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，15A ∠=︒，60DBC ∠=︒，1BC =，则AD 的长 为( ) A ．1.5B ．2C ．3D ．43．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CM 是高，30MCA ∠=︒，若4AC =，则AB 的长度为( ) A ．8B ．6C ．4D ．54．如图，在Rt ABC ∆中，CE 是斜边AB 上的中线，CD AB ⊥，若5CD =，6CE =，则ABC ∆的面积是( ) A ．24B ．25C ．30D ．365．如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么斜边上的中线长为( ) A ．4B ．5C ．3或5D ．4或56．若直角三角形的三边a ，b ，c 满足2222220a ab b a c -+-，那么这个三角形 是( ) A ．等边三角形B ．有一角是36︒的等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个角是30︒的直角三角形 7．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是( )A ．两个锐角分别对应相等B ．两条直角边分别对应相等C ．一条直角边和斜边分别对应相等D ．一个锐角和一条斜边分别对应相等第1题图第2题图第3题图第4题图8．如图，AC BC =，AC OA ⊥，CB OB ⊥，则Rt AOC Rt BOC ∆≅∆的理由是( ) A ．SSSB ．ASAC ．SASD ．HL9．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是ABC ∆的一条角平分线．若6AC =，10AB =，则点D 到AB 边的距离为( )A ．2B ．2.5C ．3D ．410．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥，垂足为E ，2CD =，则(AC = )A ．4B ．43C ．6D ．63二．填空题（共8小题，每小题3分，共4分）11．如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，132ACD ∠=︒，A ∠= ．12．如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，F 为BC 的中点，5DE =，8BC =，则DEF ∆的周长是 ．13．如图，ABC ∆为等边三角形，BD AB ⊥，BD AB =，则DCB ∠= ︒．14．如图，AC BC ⊥，AD BD ⊥，垂足分别是C 、D ，若要用“HL ”得到Rt ABC Rt BAD ∆≅∆，则你添加的条件是 ．（写一种即可）第8题图 第9题图第10题图第11题图第12题图第13题图第14题图第15题图第16题图15．如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，AE 平分BAC ∠，若130∠=︒，220∠=︒，则B ∠= ． 16．如图，点M 是AOB ∠平分线上一点，60AOB ∠=︒，ME OA ⊥于E ，3OM =，如果P 是OB 上一动点，则线段MP 的取值范围是 ．17．如图，CA AB ⊥，垂足为点A ，8AB =，4AC =，射线BM AB ⊥，垂足为点B ，一动点E 从A 点出发以2/秒的速度沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED CB =，当点E 运动 秒时，DEB ∆与BCA ∆全等．18．如图，OAB ∆是腰长为1的等腰直角三角形，90OAB ∠=︒，延长OA 至1B ，使1AB OA =，以1OB 为底，在OAB ∆外侧作等腰直角三角形11OA B ，再延长1OA 至2B ，使121A B OA =，以2OB 为底，在△11OA B 外侧作等腰直角三角形22OA B ，⋯⋯，按此规律作等腰直角三角形(1n n OA B n …，n 为正整数），回答下列问题：（1）33A B 的长是 ； （2）△20202020OA B 的面积是 ． 三．解答题（共6小题）19．请在下面括号里补充完整证明过程：已知：如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ，且CEF CFE ∠=∠．求证：CD AB ⊥．证明：AF Q 平分CAB ∠（已知）12∴∠=∠CEF CFE ∠=∠Q ，又3CEF ∠=∠（对顶角相等） 3CFE ∴∠=∠（等量代换）Q 在ACF ∆中，90ACF ∠=︒（已知）∴ 90CFE +∠=︒12∠=∠Q ，3CFE ∠=∠（已证）∴ + 90=︒（等量代换）在AED ∆中，90ADE ∠=︒（三角形内角和定理）第17题图第18题图CD AB ∴⊥ ．20．初二两个班的学生分别在M 、N 两处劳动，现要在道路AB 、AC 的交叉区域内设一个茶水供应点P ，使P 到两条道路的距离相等，且使PM PN =，尺规作图找出符合条件的点P ．21．如图，四边形ABCD 中，90C ∠=︒，AD DB ⊥，点E 为AB 的中点，//DE BC ． （1）求证：BD 平分ABC ∠；（2）连接EC ，若30A ∠=︒，23DC =，求EC 的长．22．如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =． （1）求证：AE CF ⊥；（2）若25BAE ∠=︒，求ACF ∠的度数．23．问题情境在综合与实践课上，同学们以“一个含30︒的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a ，b 且//a b 和直角三角形ABC ，90BCA ∠=︒，30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒． 操作发现：（1）在图1中，146∠=︒，求2∠的度数；（2）如图2，创新小组的同学把直线a 向上平移，并把2∠的位置改变，发现21120∠-∠=︒，说明理由； 实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC 平分BAM ∠，此时发现1∠与2∠又存在新的数量关系，请直接写出1∠与2∠的数量关系．24．已知ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点．（1）如图，若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE AF =．求证：DEF ∆为等腰直角三角形； （2）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE AF =，其他条件不变，那么DEF ∆是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．八年级数学下册第1章《直角三角形》单元检测参考简答一．选择题（共10小题）1．C ． 2．B ． 3．A ． 4．C ． 5．D ． 6．C ． 7．A ． 8．D ． 9．C ． 10．C ． 二．填空题（共8小题）11． 42︒ ． 12． 13 ． 13． 15 ︒． 14． AC BD = ． 15． 50︒ ． 16． 1.5MP … ． 17． 0，2，6，8 ． 18．（1） 22 ； （2） 20192 ． 三．解答题（共6小题）19．请在下面括号里补充完整证明过程：已知：如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ，且CEF CFE ∠=∠．求证：CD AB ⊥．证明：AF Q 平分CAB ∠（已知）12∴∠=∠ （角平分线的定义）CEF CFE ∠=∠Q ，又3CEF ∠=∠（对顶角相等） 3CFE ∴∠=∠（等量代换）Q 在ACF ∆中，90ACF ∠=︒（已知）∴ 90CFE +∠=︒12∠=∠Q ，3CFE ∠=∠（已证）∴ + 90=︒（等量代换）在AED ∆中，90ADE ∠=︒（三角形内角和定理） CD AB ∴⊥ ．【证明】：AF Q 平分CAB ∠（已知）12∴∠=∠（角平分线的定义）CEF CFE ∠=∠Q ，又3CEF ∠=∠（对顶角相等） 3CFE ∴∠=∠（等量代换）Q 在ACF ∆中，90ACF ∠=︒（已知）190CFE ∴∠+∠=︒（直角三角形的性质）12∠=∠Q ，3CFE ∠=∠（已证）(2)(3)90∴∠+∠=︒（等量代换）在AED ∆中，90ADE ∠=︒（三角形内角和定理） CD AB ∴⊥（垂直的定义）． 故答案为：（角平分线的定义）；1∠；（直角三角形的性质）；2∠；3∠；（垂直的定义）．20．初二两个班的学生分别在M 、N 两处劳动，现要在道路AB 、AC 的交叉区域内设一个茶水供应点P ，使P 到两条道路的距离相等，且使PM PN =，尺规作图找出符合条件的点P ．【解】：如图，点P 即为所求．21．如图，四边形ABCD 中，90C ∠=︒，AD DB ⊥，点E 为AB 的中点，//DE BC ． （1）求证：BD 平分ABC ∠；（2）连接EC ，若30A ∠=︒，23DC =，求EC 的长．【解】：（1）证明：AD DB ⊥Q ，点E 为AB 的中点， 12DE BE AB ∴==． 12∴∠=∠．//DE BC Q ， 23∴∠=∠．13∴∠=∠．BD ∴平分ABC ∠．（2）解：AD DB ⊥Q ，30A ∠=︒ 160∴∠=︒． 3260∴∠=∠=︒． 90BCD ∠=︒Q ， 430∴∠=︒．2490CDE ∴∠=∠+∠=︒．在Rt BCD ∆中，360∠=︒，23DC =，4DB ∴=．DE BE =Q ，160∠=︒， 4DE DB ∴==．2222(23)427EC DE CD ∴=+=+=．22．如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =． （1）求证：AE CF ⊥；（2）若25BAE ∠=︒，求ACF ∠的度数．【解】：（1）证明：延长AE 交CF 于点H ，如图所示： 90ABC ∠=︒Q ， 90CBF ∴∠=︒，在Rt ABE ∆与Rt CBF ∆中，AE CF AB BC =⎧⎨=⎩，Rt ABE Rt CBF(HL)∴∆≅∆，BAE BCF ∴∠=∠， 90F BCF ∠+∠=︒Q ， 90BAE F ∴∠+∠=︒， 90AHF ∴∠=︒， AE CF ∴⊥；（2）AB BC =Q ，90ABC ∠=︒， 45ACB BAC ∴∠=∠=︒，由（1）得：ABE CBF ∆≅∆， 25BAE BCF ∴∠=∠=︒， 452570ACF ∴∠=︒+︒=︒．23．问题情境在综合与实践课上，同学们以“一个含30︒的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a ，b 且//a b 和直角三角形ABC ，90BCA ∠=︒，30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒． 操作发现：（1）在图1中，146∠=︒，求2∠的度数；（2）如图2，创新小组的同学把直线a 向上平移，并把2∠的位置改变，发现21120∠-∠=︒，说明理由； 实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC 平分BAM ∠，此时发现1∠与2∠又存在新的数量关系，请直接写出1∠与2∠的数量关系．【解】：（1）90BCA ∠=︒Q ，390144∴∠=︒-∠=︒， //a b Q ， 2344∴∠=∠=︒；（2）理由如下：过点B 作//BD a ，如图2则1802ABD ∠=︒-∠，//a b Q ，//BD a ， //BD b ∴， 1DBC ∴∠=∠，60ABC ∠=︒Q ， 1802160∴︒-∠+∠=︒， 21120∴∠-∠=︒；（3）12∠=∠，理由如下：AC Q 平分BAM ∠， 260BAM BAC ∴∠=∠=︒，过点C 作//CE a ，如图32BCE ∴∠=∠，//a b Q ，//CE a ，//CE b ∴，160BAM ∠=∠=︒，30ECA CAM ∴∠=∠=︒， 260BCE ∴∠=∠=︒，12∴∠=∠．24．已知ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点．（1）如图，若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE AF =．求证：DEF ∆为等腰直角三角形；（2）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE AF =，其他条件不变，那么DEF ∆是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．【解】：（1）证明：连接ADAB AC =Q ，90A ∠=︒，D 为BC 中点 2BC AD BD CD ∴=== 且AD 平分BAC ∠45BAD CAD ∴∠=∠=︒在BDE ∆和ADF ∆中，45BD AD B DAF BE AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()BDE ADF SAS ∴∆≅∆DE DF ∴=，BDE ADF ∠=∠ 90BDE ADE ∠+∠=︒Q90ADF ADE ∴∠+∠=︒即：90EDF ∠=︒EDF ∴∆为等腰直角三角形．（2）解：仍为等腰直角三角形． 理由：AFD BED ∆≅∆QDF DE ∴=，ADF BDE ∠=∠ 90ADF FDB ∠+∠=︒Q90BDE FDB ∴∠+∠=︒即：90EDF ∠=︒EDF为等腰直角三角形．。

第1章直角三角形一、选择题(每小题3分，共24分)1．如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B都是格点，则线段AB的长度为( )图1A．5 B．6 C．7 D．252．如图2，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则下列结论不正确的是( )图2A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，其中的一个锐角为30°，最短边的长为5 cm，则最长边上的中线长为( )A．5 cm B．15 cm C．10 cm D．2.5 cm4．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是( )A．8，15，17 B．11，60，61 C．2，3，4 D．7，24，255．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则△ABC是( ) A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．无法判断6．如图3，直线AB，CD相交于点O，PE⊥CD于点E，PF⊥AB于点F.若PE＝PF，∠AOC＝50°，则∠AOP的度数为( )图3A．65° B．60° C．40° D．30°7．如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，∠BCD＝20°，则∠ACE的度数为( )图4A．20° B．30° C．45° D．60°8．有一长、宽、高分别为5 cm，4 cm，3 cm的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( )A.41 cmB.34 cm C．5 2 cm D．5 3 cm二、填空题(每小题4分，共24分)9．若直角三角形的一个锐角为25°，则另一个锐角等于________°.10．如图5，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O是BD的中点，且OA＝5 cm，那么OC的长等于________ cm.图511．如图6，△ABC是等边三角形，AB＝4 cm，则BC边上的高AD等于________ cm.图612．在△ABC和△MNP中，已知AB＝MN，∠A＝∠M＝90°.如果直接用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△MNP，那么应添加的条件是________．13．如图7，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC.若AD＝6，则CD＝________．图714．如图8，在△ABC中，BC＝18，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F，G分别为BC，DE的中点．若ED＝10，则FG的长为________．图8三、解答题(共52分)15．(12分)将一副三角尺(在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，在Rt △DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°)按图9所示摆放，D为AB的中点，DE交AC 于点P，DF经过点C.求∠ADE的度数．图916．(12分)如图10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E.若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积．图1017．(14分)交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图11，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点O，B，使得OP⊥l，OP＝100米，∠PBO ＝45°.测得某轿车在公路l上由点B向点A匀速行驶所用时间为3秒，并测得∠APO＝60°.已知此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速，并说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图1118．(14分)如图12，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.(1)若点B，C在DE的同侧(如图①所示)且AD＝CE，求证：AB⊥AC.(2)若点B，C在DE的两侧(如图②所示)，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．图121．A 2.D 3.A 4.C 5.A 6.A7．A [解析] ∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∵∠BCD＝20°，∴∠B＝90°－∠BCD＝70°.同理∠A＝20°.∵∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，∴CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝20°.故选A.8．C 9.65 10.5 11.2 3 12.BC＝NP13．3 [解析] 由∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，可知∠A＝30°，∠ABD＝∠DBC＝30°，所以∠A＝∠ABD，所以AD＝BD＝6.在Rt△BDC中，∠DBC ＝30°，DB＝6，所以CD＝3.14．2 14 [解析] 如图，连接EF，DF.∵BD⊥AC，CE⊥AB，F是BC的中点，∴在Rt△CEB中，EF＝12 BC.在Rt△BDC中，DF＝12 BC，∴EF＝DF＝9，∴△EFD为等腰三角形．又∵G是DE的中点，∴FG是等腰三角形EFD的中线，∴FG⊥DE，EG＝DG＝5.在Rt△GDF中，FG＝DF2－DG2＝92－52＝2 14. 15．解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AD＝BD＝12 AB，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠ADC＝180°－30°×2＝120°，∴∠ADE＝∠ADC－∠EDF＝120°－90°＝30°. 16．解：(1)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC⊥CD.又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE＝CD.又∵CD＝3，∴DE＝3.(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10，∴S△ADB＝12AB·DE＝12×10×3＝15.17．解：此车超速．理由：∵∠POB＝90°，∠PBO＝45°，∴△POB是等腰直角三角形，∴OB＝OP＝100米．∵∠APO＝60°，∴∠OAP＝30°，∴AP＝2OP＝200米，∴OA＝2002－1002≈173(米)，∴AB＝OA－OB≈73米，73÷3≈24(米/秒)≈86千米/时＞80千米/时，∴此车超速．18．解：(1)证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°.在Rt△ABD和Rt△CAE中，∵AB＝AC，AD＝CE，∴Rt△ABD≌Rt△CAE，∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC.∵∠EAC＋∠ECA＝90°，∴∠EAC＋∠DAB＝90°，∴∠BAC＝180°－(∠DAB＋∠EAC)＝90°，∴AB⊥AC.(2)AB与AC仍垂直．证明：同(1)可得Rt△ABD≌Rt△CAE，∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC.∵∠EAC＋∠ECA＝90°，∴∠EAC＋∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC.。