数学：3.3.2《简单的线性规划》测试题(新人教必修5).

3.3.2 简单的线性规划问题 第1课时 简单的线性规划问题(一)题型一 求线性目标函数的最值例1 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，求2x ＋3y 的最大值．跟踪训练1 若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是．题型二 已知线性目标函数的最值求参数例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 ．跟踪训练2 在本例条件下，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，求a 的值．题型三 求非线性目标函数的最值例3 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．引申探究1.把目标函数改为z ＝3y ＋12x ＋1，求z 的取值范围．2.把目标函数改为z ＝2x ＋y ＋1x ＋1，求z 的取值范围．跟踪训练3 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，则y ＋2x ＋2的最大值为( ) A ．1 B.45 C.12 D.23类比：思想方法的迁移方式之一典例 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则z ＝2|x |＋y 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．[1,11]C ．[1,3]D ．[－1,11] 【课堂练习】1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53 D.522．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．233．已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b <4.，那么b ＋1a ＋1的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫15，3B.⎝⎛⎭⎫13，2C.⎝⎛⎭⎫15，2D.⎝⎛⎭⎫13，3 4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，求目标函数z ＝3x －y 的取值范围．5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，求z ＝y －1x －1的最大值．1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤 (1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；(3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解． 3．对于非线性约束条件，仍然用“方程定界，特殊点定域”． 【巩固提升】 一、选择题1．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域内，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2 2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．453．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,35．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为( )A.10 B ．2 2 C ．8 D ．10 6．实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝x ＋y －1x的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,2)C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1) 7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y －8≤0，2x －y －4≥0，如果目标函数z ＝y ＋2x －a的取值范围为[0,2)，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥1B ．a ≤2C ．a <2D ．a <18．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14B.12 C ．1 D ．2 二、填空题9．在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，z ＝2x －y 的最小值是 ．10．已知x 2＋y 2<1，则w ＝y －1x ＋1的取值范围是 ． 11．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，y ≥0，x ＋y －a ≤0.若z ＝y －1x ＋1的最大值为1，则正数a 的值为 ．12．已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，b ≥a ＋c ，则ba 的最大值为________．三、解答题13．已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围．14．等差数列{a n }中，a 3<1，a 4＞1.求a 7的取值范围．15．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，求z ＝y x ＋xy的取值范围．3．3.2 第1课时 简单的线性规划问题(一)答案例1解 设区域内任一点P (x ，y )，z ＝2x ＋3y ， 则y ＝－23x ＋z3，这是斜率为－23，在y 轴上的截距为z3的直线，如图．由图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z 3经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z3的值最大，此时2x ＋3y ＝14.跟踪训练1 若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是． 答案 3解析 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为． 答案 (1，＋∞)解析 作出不等式组表示的平面区域，即可行域(如图阴影部分含边界所示)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即C (3,1)，目标函数为z ＝ax ＋y (a >0)，由题意可知，当直线y ＝－ax ＋z 经过点C 时，z 取得最大值， ∴－a <k CD ，即－a <－1，则a 的取值范围为(1，＋∞)．跟踪训练2 在本例条件下，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，求a 的值．解 如上例中图形，若使z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，则必有直线z ＝ax ＋y 与直线x ＋y ＝4重合，所以－a ＝k CD ，即－a ＝－1，此时a ＝1. 例3 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值． 解 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示， 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)， 故z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值， 由图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，又∵B (0,2)，C (1,0)，∴z max ＝k MB ＝3，z min ＝k MC ＝12.∴z 的最大值为3，最小值为12.引申探究1．把目标函数改为z ＝3y ＋12x ＋1，求z 的取值范围．解 z ＝32·y ＋13x ＋12，其中k ＝y ＋13x ＋12的几何意义为点(x ，y )与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－13连线的斜率．由图易知，k NC ≤k ≤k NB ，即29≤k ≤143，∴13≤32k ≤7，∴z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，7.2．把目标函数改为z ＝2x ＋y ＋1x ＋1，求z 的取值范围．解 z ＝2(x ＋1)＋y －1x ＋1＝y －1x ＋1＋2.设k ＝y －1x ＋1，仿例1解得－12≤k ≤1.∴z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3. 反思感悟 对于形如cx ＋dy ＋fax ＋b的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题．跟踪训练3 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，则y ＋2x ＋2的最大值为( ) A ．1B.45C.12D.23答案 B解析 画出可行域如图(阴影部分含边界)所示：联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝23，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23.y ＋2x ＋2表示可行域内的点(x ，y )与C (－2，－2)连线的斜率，从图象可以看出，经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23时，y ＋2x ＋2有最大值45.类比：思想方法的迁移方式之一典例 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则z ＝2|x |＋y 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．[1,11]C ．[1,3]D ．[－1,11] 答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，当x ≥0时，z ＝2x ＋y ，即y ＝－2x ＋z ，由图象可知其经过A (0，－1)时，z min ＝－1，经过B (6，－1)时，z max ＝11；当x ≤0时，y ＝2x ＋z ，由图象可知其经过C (－2，－1)时，z max ＝3，经过A (0，－1)时，z min ＝－1，综上所述，－1≤z ≤11.[课堂练习]1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0C.53D.52答案 C解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．设z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z 2过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max ＝53.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．23 答案 B解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7. 3．已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b <4.，那么b ＋1a ＋1的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3 答案 A解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2<a ＋2b <4，a >0，b >0表示的平面区域，如图阴影部分所示(不含边界).b ＋1a ＋1的几何意义是可行域内的点M (a ，b )与点P (－1，－1)连线的斜率，由图得，当点M 与点B (0,2)重合时，b ＋1a ＋1最大；当点M 与点A (4,0)重合时，b ＋1a ＋1最小．由图知k PB ＝2＋10＋1＝3，k PA＝0＋14＋1＝15，因为a ，b 是正数，且点A ，B 不在可行域内，所以15<b ＋1a ＋1<3，故选A. 4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，求目标函数z ＝3x －y 的取值范围．解 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，由z ＝3x －y ，可得y ＝3x －z ，则－z 为直线y ＝3x －z 在y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合图形可知，当直线y ＝3x －z 平移到B 时，z 最小，平移到C 时，z 最大，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，z min ＝－32，C (2,0)，z max ＝6，∴－32≤z ≤6. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，求z ＝y －1x －1的最大值． 解 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．z ＝y －1x －1可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连线的斜率． 由图可知z ＝y －1x －1的最大值为k AB ＝3. [巩固提升] 一、选择题1．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域内，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6B ．－2C ．0D ．2 答案 A解析 如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分(含边界)所示，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ， 当经过点A (－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6.2．(2018·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( ) A ．6B ．19C ．21D ．45 答案 C解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y ＝－35x ，平移该直线，当经过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝1，x ＋y ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即C (2,3)，所以z max＝3×2＋5×3＝21，故选C.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 答案 A解析 可行域如图阴影部分(含边界)所示，令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知， 当直线l 0过D 点时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，得D (5,3)．∴z min ＝3－2×5＝－7，故选A.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3答案 A解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时，z 有最小值，经过点B 时，z 有最大值．易求得A (3,5)，B (5,3)． ∴z max ＝3×5－4×3＝3，z min ＝3×3－4×5＝－11.5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为( )A.10B ．22C ．8D ．10 答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．因为(x ＋3)2＋y 2的几何意义是点A (－3,0)与可行域上点(x ，y )间距离的平方，显然|AC |最小，所以(x ＋3)2＋y 2的最小值为|AC |2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，故选D.6．实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝x ＋y －1x的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,2) C ．[－1，＋∞) D．[－1,1) 答案 B解析 作出可行域，如图(阴影部分)所示，x ＋y －1x ＝1＋y －1x ，k ＝y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行， ∴k l <1.综上，k ∈[－1,1)，k ＋1∈[0,2)．7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y －8≤0，2x －y －4≥0，如果目标函数z ＝y ＋2x －a的取值范围为[0,2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥1 B ．a ≤2 C ．a <2 D ．a <1答案 D解析 画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y －8≤0，2x －y －4≥0表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，因为目标函数z ＝y ＋2x －a的取值范围为[0,2)， 所以可行域内的点与点(a ，－2)连线的斜率的取值范围是[0,2)．又直线2x －y －4＝0的斜率为2，所以由图可知点(a ，－2)在直线BA 上，且在A (1，－2)的左侧，所以a <1.故选D.8．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14B.12C ．1D ．2 答案 B解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示．易知直线z ＝2x ＋y 过交点B 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B.二、填空题9．在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，z ＝2x －y 的最小值是．答案 －7解析 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下的可行域，包含边界．三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一族与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z .即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7. 10．已知x 2＋y 2<1，则w ＝y －1x ＋1的取值范围是． 答案 (－∞，0)解析 可行域为单位圆(阴影部分)内部，不包含边界．w ＝y －1x ＋1的几何意义为点(x ，y )与点(－1,1)连线的斜率． 由图知w ∈(－∞，0)．11．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，y ≥0，x ＋y －a ≤0.若z ＝y －1x ＋1的最大值为1，则正数a 的值为． 答案 4解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，z ＝y －1x ＋1表示可行域内的点(x ，y )与定点B (－1,1)连线的斜率， 由图可知，点A 与点B 连线的斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y －a ＝0，得A (1，a －1)．∴z 的最大值为a －22＝1，解得a ＝4.12已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，b ≥a ＋c ，则b a的最大值为________． 答案 7解析 题设条件可转化为⎩⎪⎨⎪⎧3a c ＋bc ≥5，a c ＋bc ≤4，b c －a c ≥1，记x ＝a c ，y ＝bc，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥5，x ＋y ≤4，y －x ≥1表示第一象限内三直线围成的如图所示的三角形及其内部．且目标函数为z ＝yx，它表示区域内的点与坐标原点连线的斜率．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝5，x ＋y ＝4，得交点坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72， 此时z max ＝7，即b a的最大值为7.三、解答题13已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围．解 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方， 过M 作AC 的垂线，易知垂足N 在AC 上， 故|MN |＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322. ∴|MN |2＝⎝⎛⎭⎪⎫3222＝92，∴z 的最小值为92. (2)z ＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －(－1)表示可行域内的点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍，∵k QA ＝74，k QB ＝38，∴z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，72. 14等差数列{a n }中，a 3<1，a 4＞1.求a 7的取值范围． 解 设a n ＝kn ＋b .则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝3k ＋b <1，a 4＝4k ＋b ＞1，可行域如图阴影部分．a 7＝7k ＋b .当k ＝0，b ＝1时最小，但(0,1)取不到．∴a 7∈(1，＋∞)．15．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，求z ＝y x ＋x y 的取值范围． 解 令k ＝y x ，则y ＝kx (因为x ≠0，所以k 存在)，直线y ＝kx 恒过原点，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，当直线y ＝kx 过点A (1,2)时，斜率有最大值2；当直线y ＝kx 过点B (3,1)时，斜率有最小值13，所以斜率k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，又z ＝y x ＋x y ＝k ＋1k ，当k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1时，z ＝k ＋1k 为减函数；当k ∈[1,2]时，z ＝k ＋1k 为增函数，可得z 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.。

3.3.2简单的线性规划问题(2)一、选择题1．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )A ．z ＝6x ＋4yB ．z ＝5x ＋4yC ．z ＝x ＋yD ．z ＝4x ＋5y解析：设需x 辆6吨汽车，y 辆4吨汽车．则运输货物的吨数为z ＝6x ＋4y ，即目标函数z ＝6x ＋4y .答案：A2．某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N z ＝20x ＋40yB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥10，2x ＋y ≥10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N z ＝20x ＋40yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，z ＝20x ＋40y D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈Nz ＝40x ＋20y解析：由题意可知选A. 答案：A3．当x ，y 满足条件|x |＋|y |＜1时，变量u ＝xy －3的取值范围是( )A ．(－3，3)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 解析：不等式|x |＋|y |＜1表示的平面区域如右图所示：令k ＝y －3x，则k 表示区域内的点P (x ，y )与A (0，3)的连线的斜率，|k |＞3，1|k |＜13.又x ＝0时，u ＝0， 因为|u |＜13⇒－13＜u ＜13.答案：B4．已知a ＞0，x ，y 满足结束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 解析：作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a （x －3），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，所以z min ＝2－2a ＝1，所以a ＝12.答案：B5．某学校用800元购买A 、B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少， A 、B 两种用品应各买的件数为( )A ．2，4B ．3，3C ．4，2D ．不确定解析：设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧100x ＋160y ≤800，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N *.求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3，3)． 答案：B 二、填空题6．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：2石的最少费用为________(百万元)．解析：设购买铁矿石A 、B 分别为x ，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝3x ＋6y ，由⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. 记P (1，2)，画出可行域，如图所示，当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1，2)时，z 取到最小值，且最小值为z min ＝3×1＋6×2＝15.答案：157．某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费．第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1 800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买________台，第二种机器应购买________台．解析：设第一种机器购买x 台，第二种机器购买y 台，总的年利润为z 万日元，则 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ≤135，50x ＋20y ≤1 800，x ，y ∈N ，目标函数为z ＝9x ＋6y .不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点．当直线z ＝9x ＋6y 经过点M ⎝⎛⎭⎪⎫63019，13519，即到达l 1位置时，z 取得最大值，但题目要求x ，y 均为自然数，故进行调整，调整到与M 邻近的整数点(33，7)，此时z ＝9x ＋6y 取得最大值，即第一种机器购买33台，第二种机器购买7台获得年利润最大．答案：33 78．某公司计划用不超过50万元的资金投资A ，B 两个项目，根据市场调查与项目论证，A ，B 项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A 项目________万元，投资B 项目________万元．解析：设投资者对A ，B 两个项目的投资分别为x ，y 万元，则由题意得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，0.4x ＋0.1y ≤8，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋y ≤80，x ≥0，y ≥0.投资者获得的利润设为z ，则有z ＝0.8x ＋0.4y .作出可行域如图所示，由图可知，当直线经过点B 时，z 取得最大值．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，4x ＋y ＝80，得B (10，40)．所以，当x ＝10，y ＝40时，获得最大利润，最大利润为24万元． 答案：10 40 三、解答题9．某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A ，B ，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能是多少？解：设“神十一”宇宙飞船搭载产品A ，B 的件数分别为x ，y ，最大收益为z ，则目标函数为z ＝80x ＋60y ，根据题意可知，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤300，10x ＋5y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤30，2x ＋y ≤22，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域如图阴影部分所示，作出直线l ：80x ＋60y ＝0，并平移直线l ，由图可知，当直线过点M 时，z 取得最大值，解⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝30，2x ＋y ＝22，得M (9，4)， 所以z max ＝80×9＋60×4＝960，即搭载A 产品9件，B 产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元．10．某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：解：设空调和冰箱的月供应量分别为x ，y 台，月总利润为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧3 000x ＋2 000y ≤30 000，500x ＋1 000y ≤11 000，x ，y ∈N *，z ＝600x ＋800y ，作出可行域(如图所示)．因为y ＝－34x ＋z 800，表示纵截距为z 800，斜率为k ＝－ 34的直线，当z 最大时z800最大，此时，直线y ＝－34x ＋z800必过四边形区域的顶点．由⎩⎪⎨⎪⎧3 000x ＋2 000y ＝30 000，500x ＋1 000y ＝11 000，得交点(4，9)，所以x ，y 分别为4，9时，z ＝600x ＋800y ＝9 600(元)．所以空调和冰箱的月供应量分别为 4台、9台时，月总利润最大，最大值为9 600元．。

简单的线性规划
一、复习巩固：找出下面不等式组表示平面区域内的整点：
242y x x y y <⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
二、例题分析：
例1、设z =2x +y ，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x 求z 的最大值和最小值.
练习：（1）求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y
（2）求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x
例2、求z =600x +300y 的最大值，使式中的x ,y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,025023003y x y x y x 的整数值
三、课时小结：求线性规划的步骤
四、作业：
1、求y x z 3+=的最大值，式中的y x ,
2、求y x z 257+=的最小值，式中的y x , 满足约束条件： 满足约束条件：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤-≤+0
,0672432y x y y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0,01051552y x y x y x
3、求y x z 3+=的最大值，式中的y x ,满足约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤+11
010********y x y x y x 欢迎您的下载，资料仅供参考！。

一、本节学习目标1．会利用“数形结合法”求目标函数的最优解；2．经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力． 二、重难点指引重点：线性规划问题的图解法． 难点：建立线性约束条件． 三、学习指导本节最常用的数学思想方法就是：数形结合法，因此，做出的每条直线的相对位置关系必须准确，否则观察结果时就可能有误． 四、教材多维研读 ▲ 一读教材1．线性约束条件：由y x 、的__________不等式（或方程）组成的条件组； 2．线性目标函数：关于y x 、的__________解析式；3．一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的__________或__________的问题，统称为线性规划问题．4．可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的__________叫可行解．由所有可行解组成的__________叫做可行域．5．使目标函数取得_______或________的可行解叫线性规划问题的最优解． ▲ 二读教材1．已知41,31≤≤-≤≤y x ,则y x 23+的取值范围是 ．2．求满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>++<++<016340440y x y x x 的整数解()y ,x 是__________．▲ 三读教材1．目标函数y x z -=2,将其看成直线方程时，z 的意义是 ( )A ．该直线的截距B ． 该直线的纵截距C ．该直线纵截距的相反数D ．该直线的横截距 2．设E 为平面上以A （4，1），B （-1，-6），C （-3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x-3y 的最大值与最小值分别为 .3．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+,y x ,y x ,y x 3213则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．234．在约束条件：102,632,1052≤+-≥-≥+y x y x y x 下，求22y x z +=的最小值． 五、典型例析例1 已知关于x 、y 的二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤+,02,1,42x y x y x(Ⅰ)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (Ⅱ)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．例2 要将大小不同甲、乙的两种钢板截成A 、B 、C 三种不同规格的钢板，每种钢板可同甲、乙每张钢板的面积分别为1平方米、2平方米.现在需要A 、B 、C 三种钢板各12、15、27块，问各截甲、乙两种钢板各多少张，能满足需要且使所使用的甲、乙两种钢板面积和最小？ 例3 (2009·陕西高考)若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ,目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是 ( )A ．(－1,2)B ．(－4,2)C ．(－4,0]D ．(－2,4)例4 如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( ) A.5－1 B.45－1 C ．22－1 D.2－1六、课后自测 ◆ 基础知识自测1．下列命题正确的是 （ ）A ．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x 或y 的值B ．线性规划中最优解指的是使目标函数的最大值或最小值C ．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域D ．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解2．已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z=2x+4y 的最小值为 ( )A ．5B ．－6C ．10D ．－103．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种4．已知⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+10101y y x y x 且84422+--+=y x y x u ，则u 的最小值是 ．5．非负实数x 、y 满足y x y x y x 3,03042+⎩⎨⎧≤-+≤-+则的最大值为 ．◆ 能力提升训练1．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例是2：3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的约束条件是 ( )A ．⎩⎨⎧∈≤+N y x y x 、532 B. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=≤+N y x y x y x 、3220004050 C ．⎪⎩⎪⎨⎧=≤+321004050y x y x D ．⎪⎩⎪⎨⎧=≤+3220004050y x y x 2．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分包括周界），目标函数z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为（ ） A ．3-B ． 3C ．1-D ．13．4枝牡丹花与5枝月季花的价格之和小于22元，而6枝牡丹花 与3枝月季花的价格之和大于24元，则2枝牡丹花与3枝月季 花的价格比较结果是（ ）A ．2枝牡丹花贵B ． 3枝月季花贵C ．相同D ．不确定 4．△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A （2，4）B （-1，0）C （1，0），当点P （x,y ）在△ABC 的内部及边界上运动时，z=x-y 的最大值与最小值分别是 .5．满足约束条件,0,0625⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+y x y x y x 的点（x,y ）中使目标函数z=6x+8y 取得最大值的点的坐标是 ．6．设M 为平面上不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥+-≥++≤-+020204340634y x y x y x y x 表示的平面区域.求点(x ，y )在M 上变动时，y －2x 的最大值.◆ 智能拓展训练1．设f(x)=ax 2＋bx ，且－1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．2.在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x ，(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 ( ) A ．－5 B ．1 C ．2 D ．3xyA(1,1)B(5,1)C(4,2)3.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 121，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3 4.某食物营养研究所想用x 千克甲种食物，y 千克乙种食物，z 千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素A 和63000单位维生素B ． （Ⅰ）用x 、y 表示混合物成本C ．（Ⅱ）确定x 、y 、z 的值，使成本最低．5．已知O 为坐标原点，A(2,1)，P(x ，y)满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-012553034x y x y x ,则| |·cos ∠AOP 的最大值等于______．3.3.2简单的线性规划问题答案▲ 一读教材1．一次；.2．一次；3．最大值、最小值； 4．解（x ,y ）、集合；5．最大值、最小值． ▲ 二读教材 1．[1,17]2．整数解有:(－1,－1)、( －1,－2)、()3,1--( －2,－1)、( －2,－2)、( －3,－1) ▲ 三读教材1．C ； 2；14，-18 3． B ； 4．29100． 课后自测◆ 基础知识自测1. D ；2.B ；3.C ；4. 29； 5.9 ． ◆ 能力提升自测1.B ；2.A ；3.A ；4.1,－2 ；5.(0,5) ；6. 724． ◆ 智能拓展训练 1. 解 依题：⎩⎨⎧≤+≤≤-≤-4221b a b a 而()b a f 242-=-设)()()2(b a n b a m f ++-=-则⎩⎨⎧-=+-=+24n m n m ⎩⎨⎧==∴13n m10)()(31≤++-≤-∴b a b a)2(-∴f 的取值范围是：[]10,1-2. 解析：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x 所围成的区域如图所示．则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )且a >－1，∵ABC S ∆＝2，∴12(1＋a )×1＝2，解得a ＝3.答案：D3. 解析：选B.将直线y ＝x ＋1与y ＝2x －1联立解得A (2,3)，据题意即为最优解，又点A 必在直线x ＋y ＝m 上，代入求得m ＝5.4. 解 （Ⅰ）依题意：x 、y 、z 满足x+y+z=100可化为z=100-x-y ∴ 成本C=11x+9y+4z=7x+5y+400（元）（Ⅱ）依题意⎩⎨⎧≥++≥++6300050040080056000400700600z y x z y x∵ y x z --=100∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≥+0,0130316032y x y x y x作出不等式组所对应的可行域，如图所示． 联立⎩⎨⎧=-=+130316032y x y x 的交点)20,50(A 作直线C y x =++40057则易知该直线截距越小，C 越小，所以该直线过)20,50(A 时，直线在y 轴截距最小，从而C 最小，此时7×50＋5×20＋400＝C ＝850元 ∴ x=50千克，z=30千克时成本最低．5. 解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域(如图)，由于|OP |·cos ∠AOP＝OAAOPCOS OA OP ∠⋅＝OAOAOP ⋅，而OA ＝(2,1)，OP ＝(x ，y )，所以|OP |·cos ∠AOP ＝2x ＋y5，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，即z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由图形可知，当直线经过可行域中的点M 时，z 取到最大值，由⎩⎨⎧=+=+-2553034y x y x 得M (5,2)，这时z ＝12，所以|OP |·cos ∠AOP ＝125＝1255，故|OP |·cos ∠AOP 的最大值等于1255.答案：1255。

[ 课时作业 ][A组基础稳固 ]1．在△ ABC 中，三极点分别为A(2,4)， B(－ 1,2)， C(1,0)，点 P(x， y)在△ABC 内部及其边界上运动，则 m＝y－ x 的取值范围为 ()A ． [1,3]B ． [－3,1]C． [－ 1,3] D ．[－3，－ 1]分析：直线 m＝ y－ x 的斜率 k ＝ 1≥k ＝2，且 k ＝ 1＜kAC＝ 4，∴直线经过点C(1,0)时 m 最1AB31小，为－ 1，经过点 B(－1,2)时 m 最大，为 3.答案：Cx＋ y≥12．若变量 x、 y 知足拘束条件y－ x≤1，则 z＝ 2x－ y 的最小值为 ()x≤1A．－ 1 B ． 0C． 1 D ．2分析：由拘束条件作出可行域如下图，由图可知，目标函数在点 A 处获得最小值．联立x＋ y＝ 1 y－ x＝ 1，解得x＝ 0y＝ 1，∴ A(0,1)，因此z＝ 2x－ y 在点 A 处获得最小值为2×0－ 1＝－ 1.答案： Ax－y＋ 5≥0，3．已知 x，y 知足 x≤3，且 z＝ 2x＋ 4y 的最小值为－ 6，则常数 k＝ ()x＋y＋ k≥ 0.A ． 2B ． 9C．3 10 D ．0分析：由题意知，当直线z＝ 2x＋ 4y 经过直线 x＝ 3 与 x＋ y＋ k＝0 的交点 (3，－ 3－ k)时， z 最小，因此－ 6＝ 2×3＋ 4×(－ 3－ k)，解得 k＝ 0.答案： Dx－ 2y＋ 4≤0，4．已知变量 x， y 知足 x≥2，则 x2＋ y2的取值范围是 ()x＋ y－ 8≤0，A ． [13,40]B ． [13,40)C． (13,40) D ．(13,40]分析：作出可行域如图暗影部分所示．x2＋ y2能够当作点 (0,0)与点 (x，y)距离的平方，联合图形可知，点 (0,0)与可行域内的点 A(2,3) 连线的距离最小，即 x2＋y2最小，最小值为 13；点 (0,0) 与可行域内的点 B(2,6)连线的距离最大，即 x2＋ y2最大，最大值为40.因此 x2＋ y2的取值范围为[13,40] ．答案：A5．已知 ?ABCD 的三个极点为A(－ 1,2)， B(3,4) ，C(4，－ 2)，点 (x， y)在 ?ABCD 的内部，则z＝2x－ 5y 的取值范围是()A ． (－ 14,16)B ． (－14,20)C． (－ 12,18) D ．(－12,20)分析：如图，由 ?ABCD 的三个极点A(－ 1,2)， B(3,4)，C(4，－ 2)可知 D 点坐标为 (0，－ 4)，由 z＝ 2x－ 5y 知2z，y＝5x－52z∴当直线y＝5x－5过点 B(3,4)时，z min＝－ 14.2z当直线 y＝5x－5过点 D (0，－ 4)时， z max＝ 20.∵点 (x， y)在 ?ABCD 的内部不包含界限，∴z的取值范围为 (－ 14,20)．答案：B6．某公司生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、 B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨．销售每吨甲产品可获取收益 5 万元、每吨乙产品可获取收益 3 万元，该公司在一个生产周期内耗费 A 原料不超出13 吨、 B 原料不超出18吨，那么该公司可获取的最大收益是________万元．分析：设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获取的收益为z＝ 5x＋3y.由题意得x≥0，y≥0，3x＋ y≤13，2x＋ 3y≤18，可行域如图暗影所示．由图可知当x、 y 在 A 点取值时， z 获得最大值，此时 x＝ 3，y＝ 4， z＝ 5×3＋ 3×4＝ 27(万元 )．答案：27x＋ y－2≤07．若 x， y 知足拘束条件x－ 2y＋1≤0，则 z＝ 3x＋ y 的最大值为 ________．2x－ y＋2≥0分析：作出可行域如图中暗影部分所示，作出直线l 0： 3x＋y＝ 0，平移直线l0，当直线l ： z＝ 3x＋ y 过点A 时， z 取最大值，由x＋ y－ 2＝0解得 A(1,1)，∴ z＝3x＋ y 的最大值为 4.x－ 2y＋1＝ 0答案： 4x≥1，8．已知 x，y 知足拘束条件x－ y＋1≤0，则 x2＋y2的最小值是 ________．2x－ y－ 2≤0，分析：画出知足条件的可行域如图中暗影部分所示，依据x2＋ y2表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋ y2的最小值是 |AO|2. 由x＝ 1，得 A(1,2)，因此 |AO |2＝ 5.x－ y＋ 1＝ 0，答案：5y≤2x9．已知实数x， y 知足y≥－ 2x.x≤3(1)求不等式组表示的平面地区的面积；(2)若目标函数为 z＝x－ 2y，求 z 的最小值．分析：画出知足不等式组的可行域如下图：(1)易求点 A、 B 的坐标为：A(3,6)， B(3，－ 6)，因此三角形OAB 的面积为：1S△OAB＝2×12×3＝ 18.1 1(2)目标函数化为： y＝2x－2z，作图知直线过 A 时 z 最小，可得 A(3,6)，∴z min＝－ 9.10．某工厂制造 A 种仪器 45 台， B 种仪器 55 台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积 2 m2，每张可作 A 种仪器外壳 3 个和 B 种仪器外壳 5 个，乙种钢板每张面积 3 m2，每张可作 A 种仪器外壳 6 个和B 种仪器外壳 6 个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？( “用料最省”是指所用钢板的总面积最小)分析：设用甲种钢板x 张，乙种钢板y 张，x， y∈N *依题意3x＋ 6y≥45，5x＋ 6y≥55钢板总面积z＝ 2x＋ 3y.作出可行域如下图．由图可知当直线z＝ 2x＋3y 过点 P 时，最小．3x＋ 6y＝ 45，x＝ 5由方程组得.5x＋ 6y＝ 55，y＝ 5因此，甲、乙两种钢板各用 5 张．[B 组能力提高]x2＋ y2－ 2x－ 2y＋ 1≥0，→→1．设 O 为坐标原点，A(1,1)，若点B(x， y)知足1≤x≤2，则OA·OB获得最1≤y≤2，小值时，点 B 的个数是 ()A ． 1B ． 2C． 3 D ．无数个分析：如图，暗影部分为点B(x， y)所在的地区．→ →∵OA·OB＝ x＋y，令 z＝ x＋ y，则 y＝－ x＋ z.由图可知，当点 B 在 C 点或 D 点时， z 取最小值，故点 B 的个数为 2.答案： B2．已知 a， b 是正数，且知足2<a＋ 2b<4.那么 a2＋ b2的取值范围是 ()416B ． (4，16)A．( ，5)55 C． (1,16)16， 4) D．( 52<a＋ 2b分析：原不等式组等价为，做出不等式组对应的平面地区如图暗影部分，a＋ 2b<4a2＋ b2表示地区内的动点P(a， b)到原点距离的平方，由图象可知当P 在 D 点时， a2＋ b2最大，此时 a2＋b2＝ 42＝ 16，原点到直线 a＋ 2b－ 2＝ 0 的距离最小，即d＝ |－ 2|2＝2，因此1＋25 222422422a＋ b＝d ＝，即 a＋ b的取值范围是 <a ＋ b <16，选 B.55答案： B3．已知实数x， y 知足不等式组x－ y＋ 2≥0，x＋ y－ 4≥0，目标函数z＝ y－ ax(a∈ R)．若取最大值时的独一最优解是(1,3)，则实数a 2x－ y－ 5≤0，的取值范围是 ________．分析：如下图，依题意直线x＋ y－ 4＝0 与x－ y＋2＝ 0 交于A(1,3)，此时取最大值，故a＞1.答案： (1，＋∞)x＋ 4y≥4，4．给定地区 D ： x＋ y≤4，令点集 T＝ {( x0， y0 )∈D |x0， y0∈ Z ，(x0， y0)是 z＝ x＋ y 在 D x≥0，上获得最大值或最小值的点} ，则 T 中的点共确立 ________条不一样的直线．分析：画出平面地区 D ，如图中暗影部分所示．作出 z ＝ x ＋ y 的基本直线l 0： x ＋ y ＝ 0.经平移可知目标函数z ＝ x ＋ y 在点A(0,1) 处获得最小值，在线段BC处获得最大值．而会合T 表示z ＝ x ＋y 获得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段 BC 上共有5 个整点，分别为 (0,4)， (1,3)， (2,2) ， (3,1)， (4,0)，故 T 中的点共确立 6 条不一样的直线．答案：6x － y ＋ 2≥0，5．已知 x ＋ y － 4≥0，求：2x － y － 5≤0，(1) z ＝ x 2＋ y 2－ 10y ＋25 的最小值；y ＋ 1(2) z ＝ 的范围．分析 ：作出可行域如图，并求出极点的坐标 A(1,3)、 B(3,1)、 C(7,9)．(1) z ＝ x 2＋ (y － 5)2 表示可行域内任一点 (x ， y)到定点 M(0,5)的距离的平方，过 M 作直线 AC的垂线，易知垂足N 在线段 AC 上，故 z 的最小值是 |MN|2＝ 9.2(2) z ＝y －－表示可行域内任一点 ( x ， y)与定点 Q(－1，－ 1)连线的斜率，由于k QA ＝ 2，x － －1k QB ＝ ，故 z 的范围为 12， 2 .6．已知－ 1＜ x ＋ y ＜ 3，且 2＜ x －y ＜ 4，求 2x ＋ 3y 的范围．分析：在直角坐标系中作出直线x＋ y＝ 3， x＋ y＝－ 1， x－ y＝ 4，x－ y＝ 2，则不等式组－1＜ x＋y＜ 3表示的平面地区是矩形ABCD 地区内的部分．2＜ x－ y＜4设 2x＋ 3y＝ z，变形为平行直线系l ：2zy＝－3x＋3.由图可知，当 l 趋近于 A、C 两点时，截距z趋近于最大值与最小值，即z 趋近于最大值与最3小值．x－ y＝ 2，51由求得点 A( ， )．x＋ y＝ 3，22因此 z＜5113 2×＋3×＝2.22x－ y＝ 4，35由求得点 C(，－)．x＋ y＝－ 1，22因此 z＞35)＝－9. 2×＋3×(－2 22因此－9＜ 2x＋ 3y＜13 2 2.。

3.3.2简单的线性规划问题(2)一、选择题1．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )A ．z ＝6x ＋4yB ．z ＝5x ＋4yC ．z ＝x ＋yD ．z ＝4x ＋5y2．某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈Nz ＝20x ＋40yB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥10，2x ＋y ≥10，x ＋y ≤6，x ，y ∈Nz ＝20x ＋40yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，z ＝20x ＋40y D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈Nz ＝40x ＋20y3．当x ，y 满足条件|x |＋|y |＜1时，变量u ＝x y －3的取值范围是( )A ．(－3，3) B.⎝⎛⎭⎫－13，13 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－13，0∪⎝⎛⎭⎫0，13 4．已知a ＞0，x ，y 满足结束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．25．某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数为() A．2，4 B．3，3C．4，2 D．不确定二、填空题6．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：2的最少费用为________(百万元)．7．某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费．第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1 800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买________台，第二种机器应购买________台．8．某公司计划用不超过50万元的资金投资A，B两个项目，根据市场调查与项目论证，A，B项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A项目________万元，投资B项目________万元．三、解答题9．某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能是多少？10．某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：。

3.3.2 简单的线性规划问题(1)一、选择题1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．82．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6 B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C.[]－1，6 D.⎣⎡⎦⎤－6，32 3．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为 ( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1 4．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2.求得m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－53 二、填空题6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最小值是________．7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0.则x 2＋y 2的最小值是________．8．若点P (m ，n )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －2y ＋5≤0，2x －y ＋1≥0所确定的区域内，则n －m 的最大值为________．三、解答题9．已知f (x )＝(3a －1)x ＋b －a ，x ∈[0，1]，若f (x )≤1恒成立，求a ＋b 的最大值．10．某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于15吨．已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个．甲产品每1吨利润7万元，乙产品每1吨利润12万元，但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？。

吉林省吉林市第一中学校高中数学 3.3.2简单的线性计划问题练习新人教A 版必修5一、本节学习目标1．会利用“数形结合法”求目标函数的最优解；2．经历从实际情境中抽象出简单的线性计划问题的进程，提高数学建模能力． 二、重难点指引重点：线性计划问题的图解法． 难点：成立线性约束条件． 三、学习指导本节最常常利用的数学思想方式就是：数形结合法，因此，做出的每条直线的相对位置关系必需准确，不然观察结果时就可能有误． 四、教材多维研读 ▲ 一读教材1．线性约束条件：由y x 、的__________不等式（或方程）组成的条件组； 2．线性目标函数：关于y x 、的__________解析式；3．一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的__________或__________的问题，统称为线性计划问题．4．可行解、可行域和最优解：知足线性约束条件的__________叫可行解．由所有可行解组成的__________叫做可行域．5．使目标函数取得_______或________的可行解叫线性计划问题的最优解． ▲ 二读教材1．已知41,31≤≤-≤≤y x ,则y x 23+的取值范围是 ．2．求知足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>++<++<016340440y x y x x 的整数解()y ,x 是__________．▲ 三读教材1．目标函数y x z -=2,将其看成直线方程时，z 的意义是 ( )A ．该直线的截距B ． 该直线的纵截距C ．该直线纵截距的相反数D ．该直线的横截距 2．设E 为平面上以A （4，1），B （-1，-6），C （-3，2）为极点的三角形区域（包括边界），则z=4x-3y 的最大值与最小值别离为 .3．设变量x 、y 知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+,y x ,y x ,y x 3213则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．234．在约束条件：102,632,1052≤+-≥-≥+y x y x y x 下，求22y x z +=的最小值．五、典型例析例1 已知关于x、y的二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤+,02,1,42xyxyx(Ⅰ)求函数u＝3x－y的最大值和最小值；(Ⅱ)求函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值．例2 要将大小不同甲、乙的两种钢板截成A、B、C三种不同规格的钢板，每种钢板可同1二、1五、27块，问各截甲、乙两种钢板各多少张，能知足需要且使所利用的甲、乙两种钢板面积和最小？例3 (2009·陕西高考)若x，y知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211yxyxyx,目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)例4 若是点P在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-21222yxyxyx上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为()－1 －1 C．22－1 －1六、课后自测◆基础知识自测1．下列命题正确的是（）A．线性计划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x或y的值B．线性计划中最优解指的是使目标函数的最大值或最小值C．线性计划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域D．线性计划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解2．已知x、y知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-35xyxyx，则z=2x+4y的最小值为( )A．5 B．－6 C．10 D．－103．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价别离为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．按照需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种4．已知⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+10101y y x y x 且84422+--+=y x y x u ，则u 的最小值是 ． 5．非负实数x 、y 知足y x y x y x 3,03042+⎩⎨⎧≤-+≤-+则的最大值为 ．◆ 能力提升训练1．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例是2：3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的约束条件是 ( )A ．⎩⎨⎧∈≤+Ny x y x 、532 B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=≤+Ny x y x y x 、3220004050 C ．⎪⎩⎪⎨⎧=≤+321004050y x y xD ．⎪⎩⎪⎨⎧=≤+3220004050y x y x2．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部份包括周界），目标函数z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为（ ） A ．3- 3 C ．1-D ．13．4枝牡丹花与5枝月季花的价钱之和小于22元，而6枝牡丹花 与3枝月季花的价钱之和大于24元，则2枝牡丹花与3枝月季 花的价钱比较结果是（ ）A ．2枝牡丹花贵B ． 3枝月季花贵C ．相同D ．不肯定 4．△ABC 中，三个极点的坐标别离为A （2，4）B （-1，0）C （1，0），当点P （x,y ）在△ABC 的内部及边界上运动时，z=x-y 的最大值与最小值别离是 .5．知足约束条件,0,0625⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+y x y x y x 的点（x,y ）中使目标函数z=6x+8y 取得最大值的点的坐标是 ．6．设M 为平面上不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥+-≥++≤-+020*********y x y x y x y x 表示的平面区域.求点(x ，y)在M 上变更时，y －xyA(1,1)B(5,1)C(4,2)2x的最大值.◆智能拓展训练1．设f(x)=ax2＋bx，且－1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．2.在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+111yaxxyx，(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为() A．－5 B．1 C．2 D．33.已知实数x，y知足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥myxxyy121，若是目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于()A．7 B．5 C．4 D．34.甲乙丙维生A素（单位/千克）600 700 400维生素B（单位/千克）800 400 500成本（元/千克）11 9 4某食物营养研究所想用x千克甲种食物，y千克乙种食物，z千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素A和63000单位维生素B．（Ⅰ）用x、y表示混合物本钱C．（Ⅱ）肯定x、y、z的值，使本钱最低．5．已知O为坐标原点，A(2,1)，P(x，y)知足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-1255334xyxyx,则|OP|·cos∠AOP的最大值等于______．3.3.2简单的线性计划问题答案▲ 一读教材1．一次；.2．一次；3．最大值、最小值； 4．解（x,y ）、集合；5．最大值、最小值． ▲ 二读教材 1．[1,17]2．整数解有:(－1,－1)、( －1,－2)、()3,1--( －2,－1)、( －2,－2)、( －3,－1) ▲ 三读教材1．C ； 2；14，-18 3． B ； 4．29100．课后自测◆ 基础知识自测D ； ； ； 4. 29； ．◆ 能力提升自测； ； ； ,－2 ； 5.(0,5) ； 6. 724．◆ 智能拓展训练1. 解 依题：⎩⎨⎧≤+≤≤-≤-4221b a b a 而()b a f 242-=-设)()()2(b a n b a m f ++-=-则⎩⎨⎧-=+-=+24n m n m ⎩⎨⎧==∴13n m 10)()(31≤++-≤-∴b a b a )2(-∴f 的取值范围是：[]10,1-2. 解析：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x 所围成的区域如图所示．则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)且a>－1，∵ABC S ∆＝2，∴12(1＋a)×1＝2，解得a ＝3.答案：D3. 解析：选B.将直线y ＝x ＋1与y ＝2x －1联立解得A(2,3)，据题意即为最优解，又点A 必在直线x ＋y ＝m 上，代入求得m ＝5.4. 解 （Ⅰ）依题意：x 、y 、z 知足x+y+z=100可化为z=100-x-y ∴ 本钱C=11x+9y+4z=7x+5y+400（元）（Ⅱ）依题意⎩⎨⎧≥++≥++6300050040080056000400700600z y x z y x∵ y x z --=100∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≥+0,0130316032y x y x y x作出不等式组所对应的可行域，如图所示． 联立⎩⎨⎧=-=+130316032y x y x 的交点)20,50(A作直线C y x =++40057则易知该直线截距越小，C 越小，所以该直线过)20,50(A 时，直线在y 轴截距最小，从而C 最小，此时7×50＋5×20＋400＝C ＝850元 ∴ x=50千克，z=30千克时本钱最低．5. 解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域(如图)， 由于|OP |·cos ∠AOP＝OAAOPCOS OA OP ∠⋅＝OAOAOP ⋅，而OA ＝(2,1)，OP ＝(x ，y)，所以|OP |·cos ∠AOP ＝2x ＋y 5，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，即z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由图形可知，当直线通过可行域中的点M 时，z 取到最大值，由⎩⎨⎧=+=+-2553034y x y x 得M(5,2)，这时z ＝12，所以|OP |·cos ∠AOP ＝125＝1255，故|OP |·cos ∠AOP 的最大值等于1255.答案：1255。

3.3.2 简单的线性规划问题(特色训练)一、实际应用中的最优解问题例1某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？解►变式训练 1 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品吨，乙产品吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．二、实际应用中的最优整数解问题例2要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张规模类型A规格B规格C规格钢板类型第一种钢板21 1第二种钢板12 3今需要块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？分析解决简单线性规划应用题的关键是：(1)找出线性约束条件和目标函数；(2)准确画出可行域；(3)利用几何意义，求出最优解．解►变式训练2 某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是________．3.3.2 简单的线性规划问题(特别训练)参考答案例1解方木料(m 3)五合板(m 2)利润(元) 书桌(个) 0.1 2 80 书橱(个)0.21120(1)设只生产书桌x 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1x ≤902x ≤600z ＝80x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900x ≤300⇒x ≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．(2)设只生产书橱y 个，可获利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤901·y ≤600z ＝120y⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450y ≤600⇒y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤902x ＋y ≤600x ≥0y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线l ：80x+120y=0，即直线l ：2x+3y=0.把直线l 向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z=80x+120y 取得最大值．由2900,2600,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得点M的坐标为(100,400)．所以当x=100，y=400时，zmax=80×100+120×400=56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大． ►变式训练1答案 20 24 解析设每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，总利润为S 万元， 依题意约束条件为： 目标函数为S=7x+12y从图中可以看出，当直线S ＝7x ＋12y 经过点A 时，直线的纵截距最大，所以S 也取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y －200＝03x ＋10y －300＝0得A (20,24)，故当x ＝20，y ＝24时，S max ＝7×20＋12×24＝428(万元)例2解 设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张． 作出可行域(如图)：(阴影部分) 目标函数为z=x+y 作出一组平行直线x+y=t ，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A 1839,55⎛⎫⎪⎝⎭，直线方程为x+y=575.由于185和395都不是整数，而最优解(x ，y)中，x ，y 必须都是整数，所以可行域内点1839,55⎛⎫⎪⎝⎭不是最优解．经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=12，经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解．答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．►变式训练2答案 90 解析该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x ，y ∈N*，计算区域内与点119,22⎛⎫⎪⎝⎭最近的整点为(5,4)，当x=5，y=4时，z 取得最大值为90.。

简单的线性计划问题(二)一、选择题1．某电脑用户计划利用不超过500元的资金购买单价别离为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．按照需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种2．若x 、y 知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是 ( )A ．(－1,2)B ．(－4,2)C ．(－4,0]D ．(－2,4)3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每一个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可取得万元的利润，对项目乙每投资1万元可取得万元的利润，该公司正确计划投资后，在这两个项目上共可取得的最大利润为( )A ．36万元B ．万元C ．万元D ．24万元4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需花费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料花费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间天天共能完成最多70箱原料的加工，天天甲、乙两车间花费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间天天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱5．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只输送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，输送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，输送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z 等于( ) A ．4 650元 B ．4 700元 C ．4 900元D ．5 000元二、填空题6．实数x ，y 知足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是________． 7．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备天天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备天天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲天天的租赁费为200元，设备乙天天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．三、解答题8．某投资人打算投资甲、乙两个项目，按照预测，甲、乙项目可能的最大盈利率别离为100%和50%，可能的最大亏损率别离为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？9.两类药片有效成份如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28四、探讨与拓展10．某工厂要制造A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2 m 2，可做A 、B 的外壳别离为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m 2，可做A 、B 的外壳别离为6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小．答案1．C 3008．投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过万元的前提下，使可能的盈利最大9．解 设A ，B 两种药品别离为x 片和y 片，则有，两类药片的总数为z=x+y ，两类药片的价钱 和为k=+.如图所示，作直线l ：x+y=0，将直线l 向右上方平移至l1位置时，直线 通过可行域上一点A ，且与原点最近． 解方程组，得交点A 坐标.由于A 不是整点，因此不是z 的最优解，结合图形可知，通过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x+y=11，通过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z 的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x=3，y=8时，k 取最小值， 因此当A 类药品3片、B 类药品8片时，药品价钱最低．10．解 设用甲种薄钢板x 张，乙种薄钢板y 张，则可做A 种产品外壳3x ＋6y 个，B 种产品外壳5x ＋6y 个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ≥0，y ≥0，所有的薄钢板的总面积是z ＝2x ＋3y .可行性区域如图所示的阴影部份，其中l1：3x+6y=45；l2：5x+6y=55，l1与l2的交点为A(5,5)，因目标函数z=2x+3y 在可行域上的最小值在区域边界的A(5,5)处取得，此时z 的最小值为2×5+3×5=25.即甲、乙两种板各5张，能保证制造A 、B 的两种外壳的用量，同时又能利用料总面积最小．。

简单的线性规划
、复习巩固：找出下面不等式组表示平面区域内的整点：
y :：x
x 2y _4
y - -2
二、例题分析：
\-4y <-3
例1、设z=2x+y，式中变量x、y满足下列条件3x 5y <25求z的最大值和最小值
x _ 1
」-y乞x, 练习：(1)求z=2x+y 的最大值，使式中的x、y满足约束条件x • y乞1,
y --1.
5 x 3 y _ 15,
(2)求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件《y兰x + 1,
x - 5 y 兰3.
3x y 空300
例2、求z=600x+300y的最大值，使式中的x, y满足约束条件x 2 250的整数值
x-O, y - 0
三、课时小结：求线性规划的步骤
四、作业：
1、求z=x 3y的最大值，式中的x, y
2、求z = 7 x 25 y的最小值，式中的x, y 满足约束条件：满足约束条件：
'2 x+ 3 y < 24「
f2 x + 5 y> 15
x-y < 7
{ < x + 5 y > 10
y兰6
丨x> 0, y> 0
20,八0 L
x+ 2 y< 24
3 x + 2 y <36
3、求z = x + 3y的最大值，式中的x, y满足约束条件：｛(10
0 - y - 11。

3. 3 二元一次不等式（组）与简单嘚线性规划问题第1题. 已知x y ，满足约束条件5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≥，≤．则24z x y =+嘚最大值为（ ）Ａ．5 Ｂ．38-Ｃ．10Ｄ．38答案：Ｄ第2题. 下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示嘚平面区域嘚是（ ）Ａ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≥Ｂ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≤Ｃ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≤Ｄ．1022x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≥0答案：Ａ第3题. 已知点1(00)P ，，231(11)03P P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，则在3210x y +-≥表示嘚平面区域内嘚点是（ ） Ａ．1P ，2P Ｂ．1P ，3PＣ．2P ，3PＤ．2P答案：Ｃxy 11- 2-O第4题. 若222x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≤，≤，≥，则目标函数2z x y =+嘚取值范围是（ ）Ａ．[26]，Ｂ．[25]，Ｃ．[36]，Ｄ．[35]，答案：Ａ第5题. 设a 是正数，则同时满足下列条件：22ax a ≤≤；22a y a ≤≤；x y a +≥；x a y +≥；y a x +≥嘚不等式组表示嘚平面区域是一个凸 边形．答案：六第6题. 原点(00)O ，与点集{()|2102250}A x y x y y x x y =+-++-，≥，≤，≤所表示嘚平面区域嘚位置关系是 ，点(11)M ，与集合A 嘚位置关系是 ．答案：O 在区域外，M 在区域内第7题. 点(3)P a ，到直线4310x y -+=嘚距离等于4，且在不等式23x y +<表示嘚平面区域内，则P 点坐标是 ．答案：(33)-，第8题. 给出下面嘚线性规划问题：求35z x y =+嘚最大值和最小值，使x ，y 满足约束条件5315153x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪-⎩≤，≤，≤．要使题目中目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中一个不等式，那么新嘚约束条件是 ．答案：30153x y y x x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩≤，≤，≤．第9题. 某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t 支援物资嘚任务．该公司有8辆载重6t 嘚A 型卡车与4辆载重为10t 嘚B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返嘚次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返嘚成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花嘚成本费最低？若只安排A 型或B 型卡车，所花嘚成本费分别是多少？答案：解：设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆．列表分析数据．A 型车B 型车 限量车辆数 x y10 运物吨数 24x30y 180费用320x504yz由表可知x ，y 满足嘚线性条件：1024301800804x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≤≤≤≤，且320504z x y =+． 作出线性区域，如图所示，可知当直线320504z x y =+过(7.50)A ，时，z 最小，但(7.50)A ，不是整点，继续向上平移直线320504z x y =+可知，(52)，是最优解．这时min 320550422608z =⨯+⨯= （元），即用5辆A 型车，2辆B 型车，成本费最低．若只用A 型车，成本费为83202560⨯=（元），只用B 型车，成本费为180504302430⨯=（元）．第10题. 有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机嘚运输效果见表．xyCDB A8O 4轮船运输量／t飞机运输量／t粮食 300 150 石油250 100现在要在一天内运输至少2000t 粮食和1500t 石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？ 答案：解：设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则3001502000250100150000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≥ ，≥ ，≥，≥．即6340523000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≥，≥，≥，≥． 目标函数为z x y =+．作出可行域，如图所示．作出在一组平行直线x y t +=（t 为参数）中经过可行域内某点且和原点距离最小嘚直线，此直线经过直线63400x y +-=和0y =嘚交点2003A ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线方程为：203x y +=． 由于203不是整数，而最优解()x y ，中x y ，必须都是整数，所以，可行域内点2003⎛⎫⎪⎝⎭，不是最优解．经过可行域内嘚整点（横、纵坐标都是整数嘚点）且与原点距离最近嘚直线经过嘚整点是(70)，， 即为最优解．则至少要安排7艘轮船和0架飞机．第11题. 用图表示不等式(3)(21)0x y x y +--+<表示嘚平面区域． 答案：解：方式效果 种类 30x y +-=yx O 1-1 23321210x y -+=yx52300x y +-=第12题. 求22z x y =+嘚最大值和最小值，使式中嘚x ，y 满足约束条件27043120230x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+-⎩≥≤≥．答案：解：已知不等式组为27043120230x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+-⎩≥≤≥． 在同一直角坐标系中，作直线270x y -+=，43120x y --=和230x y +-=，再根据不等式组确定可行域△ABC （如图）． 由27043120x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得点(56)A ，．所以22222max ()||5661x y OA +==+=；因为原点O 到直线BC 嘚距离为|003|355+-=， 所以22min 9()5x y +=．第13题. 预算用2000元购买单价为50元嘚桌子和20元嘚椅子，并希望桌椅嘚总数尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数嘚1.5倍．问：桌、椅各买多少才合适？ 答案：解：设桌椅分别买x ，y 张，由题意得502020001.500x y y x x y x y +⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤，≤，≤，≥，≥．由50202000x y x y =⎧⎨+=⎩，，解得20072007x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，． AyxB327243120x y --=270x y -+=O 3C 230x y +-=4-7-∴点A 嘚坐标为20020077⎛⎫⎪⎝⎭，． 由 1.550202000y x x y =⎧⎨+=⎩，，解得25752x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，．∴点B 嘚坐标为75252⎛⎫ ⎪⎝⎭，以上不等式所表示嘚区域如图所示， 即以20020077A ⎛⎫⎪⎝⎭，，75252B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(00)O ，为顶点嘚△AOB 及其内部．对△AOB 内嘚点()P x y ，，设x y a +=，即y x a =-+为斜率为1-，y 轴上截距为a 嘚平行直线系． 只有点P 与B 重合，即取25x =，752y =时，a 取最大值． y ∈Z ∵，37y =∴．∴买桌子25张，椅子37张时，是最优选择．第14题. 画出不等式组200112x x y y x ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪-⎩≤≥≥表示嘚平面区域，并求出此不等式组嘚整数解．答案：解：不等式组表示嘚区域如图所示，其整数解为22x y =-⎧⎨=-⎩，；0001x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩，，；；1122210210x x x x x y y y y y =====⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎩⎩，，，，，；；；；．yO2-2y x =2x =1-x112y x =-xy1.50x y -=0x y -=0x y +=Ox y a +=50202000x y +=AB第15题. 如图所示，(21)(3)0x y x y -++-<表示嘚平面区域是（ ）答案：C第16题. 已知点(31)，和(46)-，在直线320x y a -+=嘚两侧，则a 嘚取值范围是（ ） Ａ．7a <-或24a > Ｂ．7a =或24a =Ｃ．724a -<< Ｄ．247a -<<答案：Ｃ第17题. 给出平面区域如图所示，若使目标函数z ax y =+(0)a >取得最大值嘚最优解有无穷多个，则a 嘚值为（ ）Ａ．14Ｂ．35Oy 1- O2 3x33y 1- 2 3xy x O1- 2 3 31- O2 3 xy 3ＡＢＣＤ2215C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (52)A ，(11)B ，OyxＣ．4 Ｄ．53答案：Ｂ第18题. 能表示图中阴影部分嘚二元一次不等式组是（ ）Ａ．01220y x y ⎧⎨-+⎩≤≤≤Ｂ．1220y x y ⎧⎨-+⎩≤≥Ｃ．012200y x y x ⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≤≤≤Ｄ．10220y x x y ⎧⎪⎨⎪-+⎩≤≤≤答案：Ｃ第19题. 已知目标函数2z x y =+中变量x y ，满足条件4335251x y x y x --⎧⎪+<⎨⎪⎩≤，，≥．则（ ）Ａ．max min 123z z ==， Ｂ．max 12z =，无最小值 Ｃ．min 3z =，无最大值Ｄ．z 无最大值，也无最小值答案：Ｃ第20题. 下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示嘚平面区域嘚是（ ）yx1y =O1-1-112220x y +-=yx2-1- O13 211-2Ａ．10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-<⎪⎨--⎪⎪-+⎩≥≤Ｂ．10236010220x y x y x y x y +-<⎧⎪+-⎪⎨--⎪⎪-+<⎩≥≥Ｃ．10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-⎪⎨--⎪⎪-+>⎩≤≤Ｄ．10236010220x y x y x y x y +-⎧⎪+-<⎪⎨--<⎪⎪-+⎩≥≥答案：Ｃ第21题. 已知x ，y 满足约束条件5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≥，≤．则24z x y =+嘚最小值为（ ）Ａ．5 Ｂ．6- Ｃ．10 Ｄ．10-答案：Ｂ第22题. 满足||||2x y +≤嘚整点（横、纵坐标为整数）嘚个数是（ ） Ａ．11 Ｂ．12 Ｃ．13 Ｄ．14答案：Ｃ第23题. 不等式260x y -+>表示嘚平面区域在直线260x y -+=嘚（ ） Ａ．右上方 Ｂ．右下方Ｃ．左上方Ｄ．左下方答案：Ｂ第24题. 在ABC △中，三顶点(24)A ，，(12)B -，，(10)C ，，点()P x y ，在△ABC 内部及边界运动，则z x y =-最大值为（ ） Ａ．1Ｂ．3-Ｃ．1-Ｄ．3答案：Ａ第25题. 不等式组(5)()003x y x y x -++⎧⎨⎩≥≤≤表示嘚平面区域是一个（ ）Ａ．三角形 Ｂ．直角梯形Ｃ．梯形Ｄ．矩形答案：Ｃ第26题. 不在326x y +<表示嘚平面区域内嘚点是（ ） Ａ．(00)，Ｂ．(11)，Ｃ．(02)，Ｄ．(20)，答案：Ｄ第27题. ABC △中，三个顶点嘚坐标分别为(24)A ，，(12)B -，，(10)C ，，点()P x y ，在ABC △内部及边界运动，则z x y =-嘚最大值及最小值分别是 和 ．答案：1，3-第28题. 已知集合{()|||||1}A x y x y =+，≤，{()|()()0}B x y y x y x =-+，≤，M A B =，则M 嘚面积是 ． 答案：1。

3.3.2简单的线性规划问题(2)一、选择题1．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )A ．z ＝6x ＋4yB ．z ＝5x ＋4yC ．z ＝x ＋yD ．z ＝4x ＋5y2．某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈Nz ＝20x ＋40yB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥10，2x ＋y ≥10，x ＋y ≤6，x ，y ∈Nz ＝20x ＋40yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，z ＝20x ＋40y D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈Nz ＝40x ＋20y3．当x ，y 满足条件|x |＋|y |＜1时，变量u ＝x y －3的取值范围是( )A ．(－3，3) B.⎝⎛⎭⎫－13，13 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－13，0∪⎝⎛⎭⎫0，13 4．已知a ＞0，x ，y 满足结束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．25．某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数为() A．2，4 B．3，3C．4，2 D．不确定二、填空题6．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：2的最少费用为________(百万元)．7．某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费．第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1 800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买________台，第二种机器应购买________台．8．某公司计划用不超过50万元的资金投资A，B两个项目，根据市场调查与项目论证，A，B项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A项目________万元，投资B项目________万元．三、解答题9．某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能是多少？10．某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：。

3.3.2第2课时 简单的线性规划问题(二)题型一 求目标函数的最优整数解例1 画出2x －3<y ≤3表示的平面区域，并求出所有横坐标、纵坐标都为正整数的点．跟踪训练1 若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C .－1D ．0 题型二 生活中的线性规划问题例2 某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A ，B ，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体安排．通过调查，有关数据如下表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？跟踪训练2 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为 .如何从实际问题中建立线性规划模型从实际问题中建立线性规划模型一般有3个步骤 1．根据影响目标的因素找到决策变量． 2．由决策变量与目标的关系确定目标函数． 3．由决策变量所受限制确定约束条件．典例 某人准备投资1200万兴办一所民办中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)：因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜，试用数学关系式表示上述的限制条件．【课堂练习】1．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 2．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，则满足x ＋y ≤3的点P 有( ) A ．10个 B ．9个 C ．3个 D ．无数个3．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用为400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用为300元，可装洗衣机10台．若每辆货车至多运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2000元 B ．2200元 C ．2400元 D ．2800元 4．若目标函数z ＝x ＋y ＋1在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≤0，y ≤n ，x ≥－3下取得最大值的最优解有无穷多个，则n 的取值范围是 ． 5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值有无数个最优解，求实数a 的值．1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题. 【巩固提升】 一、选择题1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为( )A.43 B ．2 C.32 D ．－322.如图所示，已知x ，y 满足的可行域为四边形OACB (含边界)，若C ⎝⎛⎭⎫23，45是目标函数z ＝ax －y 的一个最优解所对的点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－103，－512B.⎝⎛⎭⎫－125，－310 C.⎝⎛⎭⎫310，125D.⎝⎛⎭⎫－125，310 3．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y确定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．3 2 D ．4 2 4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，则目标函数z ＝⎝⎛⎭⎫122x ＋y的最大值为( )A.14B.16C.18D.125．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工1箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工1箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间共能完成至多70箱原料的加工，且两车间耗费工时总和不得超过480小时，则使甲、乙两车间总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 6．已知变量x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是( )A ．a >12B ．a >13C ．0<a <12D ．a >07．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( ) A ．36万元 B ．31.2万元 C ．30.4万元D ．24万元8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ≤0，x ＋2y ＋3>0，5x ＋3y －5<0表示的平面区域内整点的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题9．给出平面区域如图所示，其中A (5,3)，B (1,1)，C (1,5)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a ＝ .10．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．11．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ，y ∈N *，则z＝10x ＋10y 的最大值是 ． 三、解答题12．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，求z ＝x ＋y 的取值范围．13．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t 支援物资的任务．该公司有8辆载重为6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？14．设非负实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，2x ＋y ≤5，(2,1)是目标函数z ＝ax ＋3y (a >0)取最大值时的最优解，求a 的取值范围．第2课时 简单的线性规划问题(二)答案例1 画出2x －3<y ≤3表示的平面区域，并求出所有横坐标、纵坐标都为正整数的点．解 所给不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y >2x －3，y ≤3，其表示的平面区域如图(1)．对于2x －3<y ≤3的正整数解，再画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y >2x －3，y ≤3，x >0，y >0表示的平面区域，如图(2)所示．由图可知，在该区域内的横坐标、纵坐标都为正整数的点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)．跟踪训练1 若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( ) A ．－3B ．－2C ．－1D ．0 答案 C解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，5个整点． 再加上a ＝0时的四个整点，共9个整点，故选C.例2 某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A ，B ，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体安排．通过调查，有关数据如下表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？ 解 设搭载A 产品x 件，B 产品y 件，预计总收益为z 万元，则目标函数为z ＝80x ＋60y .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤300，10x ＋5y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤30，2x ＋y ≤22，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．将z ＝80x ＋60y 变形为y ＝－43x ＋z60.作出直线l 0：4x ＋3y ＝0，并将其向右上方平移，由图象可知， 当直线l 0经过点M (整点)时，z 能取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝30，2x ＋y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝4，即M (9,4)．所以z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)．即搭载9件产品A,4件产品B ，可使得总预计收益最大，最大为960万元．跟踪训练2 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为.答案 4,1解析 设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x ，y ，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .目标函数z ＝20x ＋10y ，画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝13，5x ＋4y ＝24，得A (4,1)．易知当直线z ＝20x ＋10y 平移经过点A 时，z 取得最大值，即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润．如何从实际问题中建立线性规划模型从实际问题中建立线性规划模型一般有3个步骤 1．根据影响目标的因素找到决策变量． 2．由决策变量与目标的关系确定目标函数． 3．由决策变量所受限制确定约束条件．典例 某人准备投资1200万兴办一所民办中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)：因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜，试用数学关系式表示上述的限制条件． 解 设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20至30之间，所以有20≤x ＋y ≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x ＋54y ＋2×2x ＋2×3y ≤1200，即x ＋2y ≤40. 另外，开设的班数应为自然数，则x ∈N ，y ∈N .把上面的四个不等式合在一起，得到⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，x ＋2y ≤40，x ∈N ，y ∈N .[课堂练习]1．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 答案 B解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)．因为直线2x ＋y －10＝0过点A (5,0)，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y ＝20的斜率－43，所以只有一个公共点(5,0)，故选B.2．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，则满足x ＋y ≤3的点P 有( ) A ．10个B ．9个C ．3个D ．无数个 答案A解析 作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x ，y ∈N所表示的平面区域，如图中阴影部分的整点所示，由图知，符合要求的点P 有10个，故选A.3．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用为400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用为300元，可装洗衣机10台．若每辆货车至多运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2000元B ．2200元C ．2400元D ．2800元 答案 B解析 设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用为z 元，根据题意，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，0≤y ≤8，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为z ＝400x ＋300y ，画出可行域(图略)可知，当x ＝4，y ＝2时z 取得最小值，z min ＝2200，故选B.4．若目标函数z ＝x ＋y ＋1在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≤0，y ≤n ，x ≥－3下取得最大值的最优解有无穷多个，则n 的取值范围是． 答案 (2，＋∞)解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≤0，x ≥－3所表示的可行域，如图中阴影部分所示，要使目标函数z ＝x ＋y ＋1取得最大值的最优解有无穷多个，只需使目标函数对应的直线能平移到与可行域的边界直线x ＋y －2＝0重合，所以当n >2时，目标函数的最优解有无穷多个．5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值有无数个最优解，求实数a 的值．解 约束条件所表示的平面区域如图(阴影部分)，由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .当a ＝0时，最优解只有一个，过A (1,1)时取得最大值；当a ＞0，y ＝－ax ＋z 与x ＋y ＝2重合时，最优解有无数个，此时a ＝1； 当a <0，y ＝－ax ＋z 与x －y ＝0重合时，最优解有无数个，此时a ＝－1. 综上，a ＝1或a ＝－1. [巩固提升] 一、选择题1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为( )A.43B ．2C.32D ．－32 答案 B解析 画出满足约束条件的平面区域，如图所示．由题意可得A (1,0)．由图可知，当直线z＝2x ＋y 过A (1,0)时，z 取得最大值，最大值是2.故选B.2.如图所示，已知x ，y 满足的可行域为四边形OACB (含边界)，若C ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，45是目标函数z ＝ax －y 的一个最优解所对的点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－512B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，－310C.⎝⎛⎭⎪⎫310，125D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，310 答案 B解析 ∵y ＝ax －z 在C 点取最优解，∴目标函数z ＝ax －y 在点C 处取得最小值．∵k AC ＝－125，k BC ＝－310，∴－125<a <－310，故选B.3．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y确定．若M (x ，y )为D上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．3B ．4C ．32D ．4 2 答案 B解析 由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，当目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，则目标函数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＋y的最大值为( )A.14B.16C.18D.12 答案 C解析 作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6所表示的可行域，如图(阴影部分)所示．设m ＝2x ＋y ，由图可知，当直线2x ＋y ＝m 过点B 时，m 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，得B (1,1)，所以m min ＝2×1＋1＝3，则目标函数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＋y 的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.5．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工1箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工1箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间共能完成至多70箱原料的加工，且两车间耗费工时总和不得超过480小时，则使甲、乙两车间总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案 B解析 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，总获利为z 元，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ∈N ，y ∈N ，甲、乙两车间总获利为z ＝280x ＋200y ，画出可行域如图中阴影部分(包括边界)内的整点所示．点M (15,55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点，由图知在点M (15,55)处z 取得最大值，故选B.6．已知变量x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是( ) A ．a >12B ．a >13C ．0<a <12D ．a >0答案 A解析 依据约束条件，画出可行域．∵直线x ＋2y －3＝0的斜率k 1＝－12，目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)对应直线的斜率k 2＝－a ， 若符合题意，则需k 1＞k 2.即－12＞－a ，得a ＞12.7．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( ) A ．36万元 B ．31.2万元 C ．30.4万元D ．24万元考点 线性目标函数的最值问题 题点 求线性目标函数的最值 答案 B解析 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，可获得利润z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5，z ＝0.4x ＋0.6y .可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图象知，目标函数z ＝0.4x ＋0.6y 在A 点取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝60，y ＝32x ，得A (24,36)，∴z max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ≤0，x ＋2y ＋3>0，5x ＋3y －5<0表示的平面区域内整点的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ≤0，x ＋2y ＋3>0，5x ＋3y －5<0表示的平面区域是如图所示的阴影部分．由图可知，满足条件的平面区域中的整点为(0,0)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－2)，共有4个．二、填空题9．给出平面区域如图所示，其中A (5,3)，B (1,1)，C (1,5)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a ＝.考点 线性规划中的参数问题 题点 无数个最优解问题 答案 12解析 直线y ＝－ax ＋z (a >0)的斜率为－a <0，当直线y ＝－ax 平移到直线AC 位置时取得最大值的最优解有无穷多个．∵k AC ＝－12，∴－a ＝－12，即a ＝12.10．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元． 答案 216000解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2100x ＋900y . 作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，z max ＝2100×60＋900×100＝216000(元)．11．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ，y ∈N *，则z ＝10x ＋10y 的最大值是．答案 90解析 原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当直线10x ＋10y －z ＝0过点⎝ ⎛⎭⎪⎫112，92时z 有最大值，由于x ，y ∈N *，可行域内与点⎝ ⎛⎭⎪⎫112，92最接近整点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值，为90.三、解答题12．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，求z ＝x ＋y 的取值范围．解 作出约束条件表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，z ＝x ＋y 表示直线y ＝－x ＋z 过可行域时在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域内的A 点时，z 有最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2,0)．z min＝2，z无最大值．∴x＋y∈[2，＋∞)．13．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t支援物资的任务．该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？解设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆．列表分析数据.由表可知x，y满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤10，24x＋30y≥180，0≤x≤8，0≤y≤4，x，y∈N，且目标函数z＝320x＋504y.作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．可知当直线z＝320x＋504y过A(7.5,0)时，z最小，但A (7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y ，可知点(8,0)是最优解．这时z min ＝320×8＋504×0＝2560(元)，即用8辆A 型车，成本费最低． 所以公司每天调出A 型卡车8辆时，花费成本最低．14．设非负实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，2x ＋y ≤5，(2,1)是目标函数z ＝ax ＋3y (a >0)取最大值时的最优解，求a 的取值范围． 考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题解 作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分含边界)，由z ＝ax ＋3y (a >0)，得y ＝－a 3x ＋z3，因为当直线z ＝ax ＋3y (a >0)过P (2,1)时，z 取最大值，所以由图可知－a3≤－2，所以a ≥6，所以a 的取值范围是[6，＋∞)．。