高三数学上册 14.4《空间平面与平面的位置关系》教案(1) 沪教版

一、教学内容：空间平面与平面的位置关系二、学习目标1. 了解空间平面与平面的位置关系；2. 掌握空间平面间位置关系的判定定理及其简单应用，了解定理的证明；3. 掌握空间平面间位置关系的性质定理及其简单应用，掌握定理的证明；4. 通过一些典型题，掌握空间位置关系证明的常用方法；5. 了解二面角求解的一些方法。

三、知识要点1. 空间平面与平面的位置关系（1）平面与平面平行（无公共点），记作α//β；（2）平面与平面相交（有且仅有一条公共直线），记作α∩β=a；它们的图形表示如下：2、平面和平面平行的判定（1）判定定理：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；（2）判定定理（推论）：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面内两条相交直线分别平行，则这两个平面平行。

3、两个平面平行的性质（1）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.（2）性质定理：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.（3）性质：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

（4）性质：夹在两个平行平面间的平行线段相等。

4、两个平行平面间的距离定义：夹在两个平行平面间的垂线段的长5、两个平面垂直的判定（1）定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面；（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

（3）判定定理：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

6、两个平面垂直的性质（1）性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

（2）性质：两个相交平面都和第三个平面垂直，则它们的交线也和第三个平面垂直。

7、二面角（1）二面角的定义：从同一条直线出发的两个半平面所形成的图形；（2）二面角的平面角：过棱上任意一点分别在两个面内作棱的垂线，则垂线所形成的角称为二面角的平面角，α∈[0，π]。

14．4空间平面与平面的位置关系教学目标：1． 掌握二面角的概念，深刻理解二面角的本质和与平面角的区别；2． 知道二面角的平面角的概念，会作出简单的二面角的平面角，并进行计算；3． 掌握两个平面平行的判定定理。

教学重点：正确作出二面角的平面角；能简单证明两个平面的平行。

教学难点：正确作出二面角的平面角教学过程：一、教学引入我们学过角这个概念，知道角是由两条共顶点的射线所夹的平面部分。

取一本书翻开作演示，发现在两个半平面之间也有一块类似的“区域”，它是空间的一部分，是立体的，在立体几何中叫做“二面角”。

二、教学展开1、 二面角的概念设两个平面,αβ相交于直线AB ，只线AB 将,αβ分别分割成两个半平面，由,αβ的半平面及其交线AB 所组成的空间图形叫做二面角，记作AB αβ--，这两个半平面叫做二面角的面，交线AB 叫做二面角的棱。

也可记作P AB Q --，其中,P Q 分别在两个半平面上（但不在棱上）。

2、 二面角的平面角的概念为了刻画二面角的大小，我们引入二面角的平面角的概念：在二面角的棱上任取一点O ，过O 点向两个半平面内分别作两条与棱垂直的射线,OM ON ，则,OM ON 所成的角叫做二面角AB αβ--的平面角，二面角的大小就用它的平面角的大小来刻画，即平面角是n ，就说二面角是n 。

注：二面角的大小取值范围为[0,]π，极端位置为两个半平面重合和两个半平面构成一整个平面 例1：如图，已知,AB AC BD CD ==，作出二面角A BC D --的平面角。

作法1：在棱BC 上任取一点M ，在平面ABC 内作MN BC ⊥，在平面BCD 内作MP BC ⊥，则NMP ∠即为二面角的平面角。

作法2：取BC 中点Q ，连接,AQ DQ ， ,AB AC AQ BC =∴⊥，,BD CD DQ BC =∴⊥则AQD ∠即为二面角的平面角。

例2：课本P18/例1 解略A BCD例3：一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成的二面角的度数）是60，斜坡上有一直道，它和坡脚水平线成30角. 沿这条直道向上行走 100 米后上升了多少米？（精确到1米）练习：P18/ 1，23、 平面与平面平行的判定定理课本P19例2：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

平面与平面平行的性质一新知学习文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言二试一试1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线平行．()(2)若直线a∥平面α，则平面α内有唯一一条直线与直线a平行．()(3)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面．()答案：(1)×(2)×(3)×2．如果平面α平行于平面β，那么()A．平面α内任意直线都平行于平面βB．平面α内仅有两条相交直线平行于平面βC．平面α内任意直线都平行于平面β内的任意直线D．平面α内的直线与平面β内的直线不能垂直答案：A3．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是________．答案：平行三解疑答惑1．应用线面平行性质定理主要是证明线线平行，应用时，需要经过直线找平面或作平面，即以平面为媒介证明两线平行，具体做法是经过已知直线作一个平面和已知平面相交，交线和已知直线平行．2．面面平行的性质定理给出了证明线线平行的一种方法，同时该定理还可推出：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面”，即“面面平行⇒线面平行”．3．三种平行关系的转化三种平行关系是紧密相连的，可以任意转化，其相互转化关系如图所示：4．证明线线、线面、面面平行的一般思路“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析问题和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．四线面平行性质定理的应用例1. (1)如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，EH ∥FG .则EH 与BD 的位置关系是________．[解析] 因为EH ∥FG ，FG ⊂平面BCD ，EH ⊄平面BCD ，所以EH ∥平面BCD .因为EH ⊂平面ABD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以EH ∥BD . [答案] 平行(2)如图，已知AB 与CD 是异面直线，且AB ∥平面α，CD ∥平面α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝G ，BC ∩α＝H .求证：四边形EFGH 是平行四边形． [证明] 因为AB ∥平面α，AB ⊂平面ABC ， 平面ABC ∩平面α＝EH ， 所以AB ∥EH ，因为AB ∥平面α，AB ⊂平面ABD ， 平面ABD ∩平面α＝FG ，所以AB ∥FG ，所以EH ∥FG ， 同理由CD ∥平面α可证EF ∥GH ， 所以四边形EFGH 是平行四边形． 【方法归纳】利用线面平行的性质定理解题的步骤： ①确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；②确定(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面； ③确定交线；④由定理得出结论．练习：1.如图所示，四边形EFGH 为空间四面体A -BCD 的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ；(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围． 解：(1)证明：∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥HG ，∵HG ⊂平面ABD ， ∴EF ∥平面ABD . ∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ， ∴EF ∥AB .∴AB ∥平面EFGH .同理可证，CD ∥平面EFGH .(2)设EF ＝x (0<x <4)，由(1)知，CF CB ＝x4，则FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC ＝1－x 4. 从而FG ＝6－32x .∴四边形EFGH 的周长l ＝2(x ＋6－32x )＝12－x ，又0<x <4，则有8<l <12.即四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．五面面平行性质定理的应用例2.已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面α.[证明]①若AB、CD在同一平面内，则平面ABDC与α、β的交线为AC、BD.∵α∥β，∴AC∥BD，又M、N为AB、CD的中点，∴MN∥BD.又BD⊂平面α，∴MN∥平面α.②若AB、CD异面，如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP、PN、BE、ED.∵AE∥CD，∴AE、CD确定平面AEDC.则平面AEDC与α、β的交线为ED、AC，∵α∥β，∴AC∥ED.又P、N分别为AE、CD的中点，∴PN∥ED，∴PN∥平面α.同理可证MP∥BE.∴MP∥平面α.又MP∩PN＝P，∴平面MPN∥平面α.又MN⊂平面MPN，∴MN∥平面α.【方法归纳】(1)利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：①先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；②判定这两个平面平行；③再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；④由性质定理得出线线平行．(2)应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．练习：2．(1)如图，在三棱锥P-ABC中，O，Q分别是AB，P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.证明：连接OG，并延长交AC于点M，连接QM，QO.由G为△AOC的重心，知M为AC的中点，由于Q为P A的中点，则QM∥PC.又因为QM⊄平面PBC，PC⊂平面PBC.所以QM∥平面PBC.由于O为AB的中点，则OM∥BC，同理可证，OM∥平面PBC.因为QM∩OM＝M，QM⊂平面QMO，OM⊂平面QMO，所以，平面QMO∥平面PBC，又QG⊂平面QMO，故QG∥平面PBC.(2)如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，D1是B1C1的中点，设平面A1D1B∩平面ABC＝l1，平面ADC1∩平面A1B1C1＝l2，求证：l1∥l2.证明：连接D1D(图略)，因为D与D1分别是BC与B1C1的中点，所以DD1綊BB1，又BB1綊AA1，所以DD1綊AA1，所以四边形A1D1DA为平行四边形，所以AD∥A1D1，又平面A1B1C1∥平面ABC，且平面A1B1C1∩平面A1D1B＝A1D1，平面A1D1B∩平面ABC＝l1，所以A1D1∥l1，同理可证：AD∥l2，因为A1D1∥AD，所以l1∥l2.六平行性质定理在探索性问题中的应用例3.已知正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是AA′上的点，E是B′C′的中点，且A′E ∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明．[解]D点为AA′的中点．证明如下：取BC的中点F，连接AF，EF，设EF与BC′交于点O，连接OD，易证A′E∥AF，A′E＝AF.易知A′，E，F，A共面于平面A′EF A，因为A′E∥平面DBC′，A′E⊂平面A′EF A，且平面DBC′∩平面A′EF A＝DO，所以A′E∥DO.在平行四边形A′EF A中，因为O是EF的中点(因为EC′∥BF，且EC′＝BF)，所以D点为AA′的中点．【方法归纳】解答有关平行问题的探索性题目①有中点这一条件时，一般试探性的以中点为基础作辅助线或面，然后再证明是否满足条件．②关于平行的性质定理是作证算的理论依据．③一般步骤：取点、连线、成形→探索论证→计算(作答)．练习：3．如图，四边形ABCD 与ADEF 都是平行四边形，M ，N 分别是CA 与DF 的中点．MN ⊂平面α，试确定平面α，使得平面α∥平面ABF.解：取DA 的中点P ，连接MP 与NP . ∵M ，N 分别是CA 与DF 的中点． ∴MP ∥CD ，又CD ∥BA .∴MP ∥BA ，BA ⊂平面ABF ，MP ⊄平面ABF . ∴MP ∥平面ABF .同理NP ∥平面ABF ，又MP ∩NP ＝P ，∴平面MNP ∥平面ABF ，即平面MNP 即为所要求作的平面α.课后作业[A.基础达标]1．有一正方体木块如图所示，点P 在平面A ′C ′内，棱BC 平行于平面A ′C ′，要经过P 和棱BC 将木料锯开，锯开的面必须平整，有N 种锯法，则N 为( )A ．0B ．1C ．2D ．无数答案：B2．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，E ，F ，G 分别在AB ，BC ，PC 上，且PG ＝2GC ，AC ∥平面EFG ，PB ∥平面EFG ，则AEEB＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 答案：A3．(2015·牡丹江高一检测)如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH 为截面，长方形ABCD 为底面，则四边形EFGH 的形状为( ) A ．梯形B ．平行四边形C ．可能是梯形也可能是平行四边形D ．不确定 答案：B 4．(2015·瑞安高一检测)已知直线a ⊂α，给出以下三个命题： ①平面α∥平面β，则直线a ∥平面β； ②直线a ∥平面β，则平面α∥平面β；③若直线a 不平行于平面β，则平面α不平行于平面β. 其中正确的命题是( ) A ．② B ．③ C ．①② D ．①③ 答案：D5．在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，当BD ∥平面EFGH 时，下面选项正确的是( ) A ．E 、F 、G 、H 必是各边中点 B ．G 、H 必是CD 、DA 的中点C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GCD ．AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC 解析：选D.∵BD ∥平面EFGH . ∴BD ∥EH ，BD ∥FG ， ∴AE EB ＝AH HD ，BF FC ＝DG GC. 6．如果一条直线与一个平面平行，夹在直线和平面间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是________． 解析：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1∥平面ABCD ，AB 1与A 1B 相交，AA 1∥BB 1，A 1B与B 1C 异面．答案：相交、平行或异面 7．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′S △ABC＝________.解析：由平面α∥平面ABC ，得AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，AC ∥A ′C ′，由等角定理得∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠BCA ＝∠B ′C ′A ′，∠CAB ＝∠C ′A ′B ′， 从而△ABC ∽△A ′B ′C ′，△P AB∽△P A′B′.S△A′B′C′S△ABC ＝⎝⎛⎭⎫A′B′AB2＝⎝⎛⎭⎫P A′P A2＝425.答案：4258．(2015·石家庄高一检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为________．解析：由题意知，因平面α∥平面BC1E，所以A1F綊BE，所以Rt△A1AF≌Rt△BB1E，所以B1E＝F A＝1.答案：19．如图所示，在三棱台ABC-A1B1C1中，M、N分别是AC、CB的中点，过MN作平面β交平面A1B1C1于直线DE，求证：DE∥A1B1.证明：∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MN∥AB.又AB∥A1B1，∴MN∥A1B1，又∵MN⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，∴MN∥平面A1B1C1.又MN⊂β，平面A1B1C1∩β＝DE，∴MN∥DE.∴DE∥A1B1.10．已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1上的点，且AE＝C1F.求证：四边形EBFD1是平行四边形．证明：如图，在棱BB1上取一点G，使得B1G＝C1F＝AE，连接A1G，GF，则GF∥B1C1∥A1D1，且GF＝B1C1＝A1D1，所以四边形GFD1A1为平行四边形，所以A1G∥D1F，且A1G＝D1F.因为A1E＝AA1－AE，BG＝B1B－B1G，所以A1E∥BG，且A1E＝BG，所以四边形EBGA1为平行四边形，所以A1G∥EB，且A1G＝EB，所以D1F∥EB，且D1F＝EB，所以四边形EBFD1是平行四边形．[B.能力提升]1．过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为( ) A ．都平行B ．都相交于同一点C ．都相交但交于不同的点D ．都平行或交于同一点解析：选D.若l ∥α，则l ∥a ，l ∥b ，l ∥c ，…，∴a ∥b ∥c ….若l ∩α＝P ，则a ，b ，c ，…交于点P .2．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C ( ) A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面 解析：选D.如图，A ′、B ′分别是A 、B 两点在α、β上运动后的两点，此时AB 中点变成A ′B ′中点C ′，连接A ′B ，取A ′B 中点E ，连接CE 、C ′E 、AA ′、BB ′. 则CE ∥AA ′，∴CE ∥α， C ′E ∥BB ′，∴C ′E ∥β. 又∵α∥β，∴C ′E ∥α. ∵C ′E ∩CE ＝E ，∴平面CC ′E ∥平面α. ∴CC ′∥α.∴不论A 、B 如何移动，所有的动点C 都在过C 点且与α、β平行的平面上．3．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________． 解析：由于在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 的中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.答案： 24．用一个截面去截正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，交A 1C 1，B 1C 1，BC ，AC 分别于E ，F ，G ，H ，已知A 1A >A 1C 1，则截面的形状可以为________(把你认为可能的结果的序号填在横线上)．①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形解析：由题意知，当截面平行于侧棱时，所得截面为矩形，当截面与侧棱不平行时，所得截面是梯形，即EF ∥HG 且EH 不平行于FG . 答案：②⑤5．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是边长为2的正三角形，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2，当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF .解：如图，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ ，则PQ ∥AE .因为EC ＝2FB ＝2，所以PE ＝BF .所以四边形BFEP 为平行四边形，所以PB ∥EF .又AE ，EF ⊂平面AEF ，PQ ，PB ⊄平面AEF ， 所以PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF .又PQ ∩PB ＝P ，所以平面PBQ ∥平面AEF .又BQ ⊂平面PBQ ，所以BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，即点M 为AC 的中点时，BM ∥平面AEF .6．如图所示，要在呈空间四边形的支撑架上安装一块矩形太阳能吸光板，矩形EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的边上，已知AC ＝a ，BD ＝b ，问EFGH 在什么位置时，吸光板的吸光量最大？解：设EH ＝x ，EF ＝y ，则在矩形EFGH 中，有EH ∥FG . 又EH ⊄平面BCD ，FG ⊂平面BCD ，∴EH ∥平面BCD . 又EH ⊂平面ABD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴EH ∥BD .同理可证得EF ∥AC ，∴x b ＝AE AB ，y a ＝BEBA.两式相加，得x b ＋ya＝1.矩形EFGH 的面积S ＝xy . 将x b ＋y a ＝1代入S ＝xy ，得S ＝－abx 2＋ax (0<x <b )． 由此可得，当x ＝a －2×⎝⎛⎭⎫－a b ＝b2时，S 有最大值，此时y ＝a －a b ×b 2＝a2.∴当E、F、G、H依次为AB、BC、CD、DA的中点时，吸光板的吸光量最大．。

芯衣州星海市涌泉学校第76课时平面与平面的位置关系考点讲解理解空间面面平行、垂直的有关概念;能正确地判断面面位置关系.理解两个平面平行、垂直的断定定理和性质定理;能用图形语言和符号语言表述这些定理;能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.理解二面角及其平面角的概念;理解两个平行平面间的间隔的概念.一、根底自测1.假设三个平面把空间分成6个部分,那么这三个平面的位置关系是.2.平面//α平面β,P 是,αβ外一点,过P 点的直线分别交α于,A B ,交β于,C D ,且6,9,8PA AC AB ===,那么CD 的长为.3.设,αβ为两个不同的平面,,,l m n 是三条不同的直线,给出以下命题:(1)假设//,l αβα⊂,那么//l β;(2)假设,,//,//m n m n ααββ⊂⊂,那么//αβ;(3)假设//,l l αβ⊥,那么αβ⊥;(4)假设,m n 是异面直线,//,//m n αα且,l m l n ⊥⊥,那么l α⊥.其中真命题的序号是.4.以下命题正确的选项是.(1)平面α内的两条相交直线分别平行于平面β内的两条相交直线,那么α平行于β;(2)两个平面分别经过两条平行直线,那么这两个平面平行;(3)假设平面α平行于平面β,平面β平行于平面γ,那么平面α平行于平面γ;(4)假设,αγβγ⊥⊥,那么//αβ;(5)假设,αββγ⊥⊥,那么αγ⊥.5.二面角l αβ--成60︒,直线,a b 满足,a b αβ⊥⊥,那么,a b 所成角为.6.两平行平面,αβ之间的间隔为点,A D α∈且3AD =,点C 是点D 在面β上的射影,点B β∈,直线AB 和平面β所成角为60︒,那么BC 长度最大值为,最小值为.7.设α和β为不重合的两个平面,给出以下命题:(1)假设α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,那么α平行于β;(2)假设α外一条直线l 与α内的一条直线平行,那么l 和α平行;(3)设α和β相交于直线l ,假设α内有一条直线垂直于l ,那么α和β垂直;(4)直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直.上面命题中,真命题的序号是.8.给定以下四个命题:①假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面互相平行;②假设一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直;③垂直于同一直线的两条直线互相平行;④假设两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中为真命题的是.二、例题讲解例1.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ,,,M N P 分别是11111,,C C B C C D 的中点.(1)求证:平面//MNP 平面1A BD ;(2)求证:AP MN ⊥. 例2.如图,四棱锥P ABCD -的底面是正方形,PA ⊥底面ABCD ,2,45PA PDA ︒=∠=,点,E F 分别为,AB PD 的中点.(1)求证://AF 平面PCE ;(2)平面PCE ⊥平面PCD .例3.如图,在四面体ABCD 中,,CBCD AD BD =⊥,点,E F 分别是,AB BD 的中点.求证:(1)直线//EF 平面ACD ;(2)平面EFC ⊥平面BCD .例4.如图,在梯形ABCD 中//,,AB CD AD DC CB a ===60ABC ︒∠=,平面ACFE ⊥平面ABCD .四边形ACEF 是矩形,AE a =,点M在线段EF 上.(1)求证:BC⊥平面ACFE ;(2)当EM 为何值时,//AM 平面BDF 证明你的结论.板书设计教后感 三、课后作业班级姓名学号等第1.假设平面α内有三个不一一共线的点到平面β的间隔相等,那么,αβ的位置关系是.2.设,m n 是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面.给出以下四个命题,其中正确的命题的序号是.(1)假设,//m n αα⊥,那么m n ⊥;(2)假设//,//,m αββγα⊥,那么m γ⊥;(3)假设//,//m n αα,那么//m n ;(4)假设,αγβγ⊥⊥,那么//αβ.3.两个平面垂直,以下命题 (1)一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线;(2)一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线;(3)一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面;(4)过一个平面内任意一点作交线的垂线,那么垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是.4.设P 是60︒二面角l αβ--内一点,PA ⊥平面α,PB ⊥平面β,,A B 为垂足,4PA =,2PB =,那么AB 的长为.5.如下列图,点P 是平面ABC 外一点,且满足,,PA PB PC 两两垂直,PE BC ⊥,那么该图中两两垂直的平面一一共有对.6.,l m αβ⊥⊂,有以下命题:(1)//l m αβ⇒⊥;(2)//l m αβ⊥⇒;(3)//l m αβ⇒⊥;(4)//l m αβ⊥⇒.其中真命题的序号是.7.平面α⊥平面β,l αβ=,点A α∈,A l ∉,直线AB l ∥,直线AC l ⊥,直线,m m αβ∥∥,那么以下四种位置关系中,一定成立的是.(1)AB m ∥;(2)AC m ⊥;(3)AB β∥;(4)AC β⊥8.平面,,αβγ及直线,l m 满足,,,lm m l αγγαγβ⊥⊥==,那么由此可推出(1)βγ⊥,(2)l α⊥,(3)m β⊥,(4)βα⊥中的.9.如图,直三棱柱111ABC A B C -中,90,,ACB M N ︒∠=分别为111,A B B C 的中点.(1)求证://BC 平面1MNB ;(2)求证:平面1ACB ⊥平面11ACC A . 10.如图,在四棱锥V ABCD -中,底面ABCD 是正方形,侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD .证明AB ⊥平面VAD .11.1111ABCD A B C D -中,P 为侧面11ADD A 的中心,F 为底面ABCD 的中心,E 为PC 的中点.(1)求证://EF 平面11ADD A ;(2)求证:平面PDC ⊥平面PAC .12.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且PA PD =,假设,E F 分别为,PC BD 的中点.求证:(1)//EF 平面PAD ;(2)平面PDC ⊥平面PAD .13.〔选做题〕如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,,DB BC DB AC =⊥,点M 是棱1BB 上一点.(1)求证:11//B D 面1A BD ;(2)求证:MD AC ⊥;(3)试确定点M 的位置,使得平面1DMC ⊥平面11CC D D .。