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§7.3 估计量的评选标准由点估计提法可以看出,估计的概念相当广泛,并且用不同的估计方法往往会得出不同的估计.如果不对估计的好坏加以明确,估计是没有意义的.评价估计量的优劣并不简单，这首先需要明确衡量优良性的标准.这些标准不是唯一的，也不是绝对的.从不同角度出发可以提出不同的标准.下面我们讨论评价估计优劣的一些常用的标准. （一）均方误差同一参数的估计有多种，那么什么样的估计算是好的甚至是最好的？这就涉及优良性标准.从直观上看，估计量与被估计量越接近越好.当我们用)(ˆX θ估计θ时,评价该估计好坏的一个自然的度量是|)(ˆ|θθ-X ,但由于θ是未知的,样本又具有随机性,因而这种自然度量在实际中是不可行的,为了消除随机性的影响,可以考虑对它求平均|)(ˆ|θθ-X E ,出于数学处理上的方便,最常用的标准是由下式给出的均方误差.2))(ˆ()ˆ(θθθθ-=X E MSE 例7.3.1设n X X ,,1 为来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本， (1) 若μ已知,考虑2σ的两个估计量:∑=---=n i i X n 1221)(11ˆμσ,∑=-=n i i X n 1220)(1ˆμσ, 求这两个估计量的均方误差,并比较它们的大小; (2)若μ未知,考虑2σ的两个估计量:∑=---=n i i X X n 1221)(11ˆσ,∑=-=n i i X X n 1220)(1ˆσ, 求这两个估计量的均方误差, 并比较它们的大小.解:(1)先求20ˆσ的均方误差,由于220)ˆ(σσ=E ,所以])([1)ˆ()ˆ(1222022∑=-==n i i X D n D M S E μσσσ, 又∑=-ni iX122)(1μσ～)(2n χ,故n XD ni i2])(1[122=-∑=μσ,即得4122])([σμn X D ni i =-∑=,从而知nMSE 4202)ˆ(2σσσ=,或])([1)ˆ()ˆ(1222022∑=-==ni i X D n D MSE μσσσ n X D nni i 41222)(1σμ=-=∑=, (这里用到了:若X ～),(2σμN ,则⎩⎨⎧-=-为奇数，为偶数，k k k X E k k0,!)!1()(σμ从而422)(σμ=-X D )再求21ˆ-σ的均方误差,}])({)1(1)ˆ(212222212∑=-+---=ni i n X E n MSE σσμσσ 424122)1(12}])([{)1(1σσμ-+=+--=∑=n n X D n ni i , 易见对任意的02>σ,总有>-)ˆ(212σσMSE )ˆ(202σσMSE , 思考题：考虑∑=-+=n i i kX k n 122)(1ˆμσ（k 为整数），计算)ˆ(22k MSE σσ并找出k 为何值时均方误差最小.（2）先求21ˆ-σ的均方误差,由于221)ˆ(σσ=-E ,所以 ])([)1(1)ˆ()ˆ(12221212∑=----==ni i X X D n D MSE σσσ又∑=-ni i X X122)(1σ～)1(2-n χ,故)1(2])(1[122-=-∑=n X XD ni iσ, 即得412)1(2])([σ-=-∑=n X X D ni i ,从而知12)ˆ(4212-=-n MSE σσσ,再求20ˆσ的均方误差,}])1()({1)ˆ(21222222∑=----=ni i n X X E n MSE σσσσ 42412212}])([{1σσn n X X D n ni i -=+-=∑=, 易见对任意的02>σ,总有>-)ˆ(212σσMSE )ˆ(202σσMSE . 思考题：考虑∑=-+=n i i kX X k n 122)(1ˆσ（k 为整数），计算)ˆ(22k MSE σσ并找出k 为何值时均方误差最小.（二） 无偏性均方误差可分解成两部分:2))(ˆ()ˆ(θθθθ-=X E MSE 2ˆˆ]-)(E [)(r Va θθθ+= 若偏差0ˆ==θθθ-)(E )b(，那么均方误差就等于方差.这样的估计量叫做无偏估计量.因此有如下义.定义 设θ为待估参数,参数空间为Θ,),,,(ˆˆ21nX X X θθ=为θ的估计量,若对于任意Θ∈θ,总有θθθ=)ˆ(E ， 则称),,,(ˆˆ21n X X X θθ=为θ的无偏估计量,或者说),,,(ˆˆ21n X X X θθ=作为θ的估计量具有无偏性.又若0=∞→)b(lim n θ，称θˆ是θ的渐近无偏估计.例7.3.2 设总体X 的均值为μ，方差为2σ，n X X ,,1 是来自该总体的简单随机样本.则（i ）样本均值X 为总体均值μ的无偏估计； （ii ）样本均值2S 为总体均值2σ的无偏估计;思考题:样本标准差S 是否是总体标准差σ的无偏估计?如果不是，在正态模型下如何修改使之为无偏估计.例7.3.3 设n X X ,,1 是来自总体),(2σμN 的简单随机样本，求解下面问题(1)2σ的两个常用估计量∑=-=n i i nX X n S 122)(1,∑=--=n i i X X n S 122)(11中哪个是无偏估计?(2) 若22bS X a T +=为2μ的无偏估计,确定b a ,. 解:(1)略(2) 2222222)()1()()()(σμσσμna b a b n a S bE X aE T E ++=++=+=， 由无偏性定义知 对2,σμ∀，有 222)(μσμ=++na b a 从而得nb a 1,1-==。
概率与统计中的点估计与区间估计概率与统计是一门应用广泛的学科，通过对数据的收集、整理和分析，可以得到对现实世界的认知和预测。
在概率与统计中，点估计与区间估计是两个重要的概念，它们在估计参数值和确定参数范围上起到了关键的作用。
一、点估计点估计是利用样本数据来估计总体参数值的方法。
总体是研究对象的全体，而样本是总体的部分表现。
通过对样本数据的分析，我们可以得到对总体特征的估计值。
点估计的目标是找到一个统计量，使得它的期望值等于待估参数，即使得样本平均值等于总体均值、样本方差等于总体方差。
点估计的常见方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是在给定样本下，选择参数值使得观测到的样本出现的概率最大化。
而矩估计是利用样本矩和总体矩之间的关系，通过求解方程来得到参数的估计值。
这两种方法在实际应用中具有很好的性质和效果。
二、区间估计区间估计是对总体参数的取值范围进行估计。
与点估计不同，区间估计提供了参数可能的取值范围，而不仅仅是一个估计值。
通过给出置信区间，我们可以以一定的置信水平确定参数的范围。
在区间估计中，置信水平是一个很重要的概念。
置信水平是指在重复抽样的情况下，估计参数的置信区间包含真实参数的比例。
常见的置信水平有95%和99%，其含义是在100次重复抽样中，有95次（99次）的置信区间包含真实参数值。
确定置信区间的方法有多种，其中最常见的是基于正态分布的方法。
当样本容量较大时，根据中心极限定理，可以使用正态分布近似总体分布，以样本统计量的抽样分布来确定置信区间。
此外，还有基于t分布的方法，对于小样本情况，使用t分布更准确。
三、点估计与区间估计的关系点估计与区间估计是概率与统计中密切相关的两个概念。
它们相辅相成，点估计提供了参数的单个估计值，而区间估计提供了参数的取值范围。
点估计通常是区间估计的基础，通过点估计得到的估计值可以用于构建置信区间。
比如，当我们对某总体的均值进行点估计时，可以使用样本均值作为参数的估计值，并结合样本标准差构建置信区间。
§7.4 区间估计参数的区间估计与参数的点估计一样，是参数估计的重要方法。
参数的点估计给出了一个具体值，但这个具体值不会是参数的精确值，而是一个近似值。
尽管近似的精度可以用均方误差给出评估，但我们还是无法知道估计值与真值相差多少。
区间估计在一定程度上解决了这个问题。
区间估计就是通过两个统计量及覆盖概率给出参数的另一种形式的估计。
当有样本值后，可以把未知参数估计在一定的范围内，并且可以给出这种估计的可信程度。
在某些具体问题中区间估计可能比点估计更具实用价值，并且区间估计还是度量点估计精度的最直观的方法。
因此区间估计是一种应用非常广泛的估计形式。
7.4.1 区间估计的概念设θ是未知参数，n x x x ,...,,21是样本，所谓区间估计就是要找两个统计量),...,,(ˆˆ21n L L x x x θ=θ和),...,,(ˆˆ21n U U x x x θ=θ，使得),...,,(ˆ21n L x x x θ),...,,(ˆ21n U x x x θ<，并构造一个随机区间)ˆ,ˆ(U L θθ，在有了样本值后把θ估计在区间)ˆ,ˆ(U L θθ内。
由于样本的随机性，随机区间)ˆ,ˆ(U L θθ覆盖θ有一定的概率，自然要求随机区间)ˆ,ˆ(U L θθ覆盖θ的概率)ˆˆ(UL P θθθ<<尽可能大，但这必然导致区间长度增大，而过长的区间又会导致给出的区间估计无意义。
为解决此矛盾，Neyman 建议采取一种折中方案:在使得覆盖θ的概率达到一定要求的前提下,寻找“精确度”尽量高的区间估计. 因此我们把)ˆ,ˆ(U L θθ覆盖θ的的概率事先指定，这就引入置信区间的概念。
定义 设θ是总体的一个参数，假设有两个统计量),...,,(ˆˆ21n L L x x x θ=θ和),...,,(ˆˆ21n U U x x x θ=θ，若对任意Θ∈θ，有 )ˆˆ(UL P θθθ<<α-≥1 则称随机区间),ˆ(U L θθ为θ的置信水平为α-1的置信区间，UL θθ,ˆ分别称为θ的置信水平为α-1的（双侧）置信下限和置信上限。
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对于计算机、通信工程等专业的考生来说，概率论和数理统计是必备的数学基础。
4.《计算机组成原理》：这本书主要介绍计算机的组成和工作原理，对于计算机专业的考生来说必不可少。
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5.《数据结构》：数据结构是计算机专业的基础课程之一，也是考研中的重点。
这本书主要介绍数据结构的基本概念和常用数据结构的实现方法，包括数组、链表、栈、队列、树、图等。
6.《操作系统》：操作系统是计算机专业的重点课程，也是考研中的重点。
这本书主要介绍操作系统的基本原理和设计方法，包括进程管理、内存管理、文件管理、设备管理等。
7.《计算机网络》：计算机网络是计算机专业的重点课程之一，也是考研中的重点。
这本书介绍计算机网络的基本概念和协议，包括网络体系结构、传输层协议、网络层协议、应用层协议等。
8.《软件工程》：软件工程是计算机专业的重要课程之一，也是考研中的重点。
这本书介绍软件工程的基本概念和方法，包括需求分析、软件设计、软件测试、软件维护等。
9.《通信原理》：通信原理是通信工程专业的重点课程，也是考研中的重点。
这本书主要介绍通信原理的基本概念和方法，包括信号与系统、调制解调、多路复用、编码等。
10.《数字信号处理》：数字信号处理是电子工程专业的重点课程之一，也是考研中的重点。
概率论与数理统计第七章参数估计演示文档参数估计是概率论与数理统计中的重要内容之一，是通过样本数据来推断总体参数的方法。
在实际应用中，参数估计广泛应用于市场调查、医学研究、经济预测等领域。
本文将以一些常用的参数估计方法为例，进行演示说明。
首先，我们介绍最常见的点估计方法，矩估计。
矩估计是通过样本矩来估计总体矩。
以正态分布的均值和方差为例，假设我们有一个样本数据集，通过计算样本均值和样本方差，可以分别得到正态分布的均值和方差的矩估计值。
接下来我们介绍第二种常见的点估计方法，最大似然估计。
最大似然估计是通过找到使得观察到的样本数据出现的概率最大的参数值。
以二项分布的成功概率为例，假设我们有一组二项分布的观察数据，通过计算二项分布的似然函数，并求导得到其极大值点，可以得到二项分布的成功概率的最大似然估计值。
此外，假设检验是参数估计的重要应用。
在进行参数估计时，我们常常需要进行假设检验来判断参数估计是否具有统计意义。
以均值的假设检验为例，假设我们有两组样本数据，通过计算样本均值和样本方差，可以得到均值的矩估计值。
然后，我们可以利用假设检验的方法，比较这两个样本的均值，从而判断两个样本是否具有统计意义上的差异。
最后，我们介绍一种常用的参数区间估计方法，置信区间估计。
置信区间估计是通过样本数据得到一个区间，该区间内的参数值有一定的置信度。
以总体均值的置信区间估计为例，假设我们有一组样本数据，通过计算样本均值和样本标准差，可以得到总体均值的点估计值。
然后，我们可以利用参数估计的理论知识，计算得到总体均值的置信区间，从而对总体均值进行估计。
综上所述，参数估计是概率论与数理统计中的重要内容，应用广泛。
通过点估计方法可以从样本数据中推断总体参数的值，通过假设检验可以判断参数估计的统计意义，通过置信区间估计可以得到参数值的置信区间。
这些参数估计方法为我们提供了在实际问题中进行估计和推断的依据，使我们能够更好地理解和分析数据。
点估计量是有不足之处的，因为点估计量是一个随机变量，每给一个样本观测值点估计的值就会发生变化。
虽然这些点估计的值都在真值附近波动，但是因为真值是未知的，所以这些点估计，他与真值之间到底有多近，这是不得而知的，因此点估计不能反映估计的精度。
因此我们就想能不能给岀未知参数的一个估计范围，并使苴包含增值的可靠性，达到一泄的要求，这就是我们今天要给大家介绍的区间估计。
二、讲授新课：引例，估计一下某人的年龄范围。
第一种你可能会选择1岁到100岁，第二种区间估计，20岁到21岁。
很明显，第一种区间长，他的可信度高，也就是说，真值100%都在这个区间里而，但是精确度却很低。
第二种区间短，这时可信度就低，也就是说，真值是不是在这个区间里而呢？因为区间太短可能性就很低了，它的精确度却很髙。
因此，我们发现可信度和精确度是一对矛盾，提高了可信度，精确度就下降了，提高了精确度，可信度就会下降，那么在他们两者之间，我们应该如何取舍呢？统计学家奈曼提出了处理原则，先确左可以接受的可信度的前提下，尽屋的提髙我们的精确度。
因此，我们首先来确龙区间估计的可信度，区间估计的可信度也被称为苣信度，我们用1-Q来表示。
1-&我们经常90%, 95%, 99%等,表示这个区间可信的程度。
1、区间估计的槪念：设总体的未知参数为<9,也就是我们要估计的参数。
由样本xl到xn确泄了两个统计量,R和玄对于给定的实数a(Ovavl)满足<0<O2)>\-a我们就称随机区间(&,玄)为&置信度为1 - a的置信区间，其中1 - a又称为置信水平或置信槪率，a显著性水平。
1-a这个宜信水平反映了区间的可信度。
0.-0.这个区间长度反映了区间的精确度。
（在左义中，我们要特别注意定义式的理解&是貞. 值，它不是一个随机变呈:，而是一个数，它要么在这个区间范用里而，要么不在这个区间范用里而，那么这个1-a的概率又从何谈起呢？我们可以这样理解，比如我们令1-等于0.95,那么就相当于抽取了100次样本，其中有约95个包含真值，而另外的5个不包含真值。
数理统计区间估计总结数理统计是一门研究数据分析和概率推断的学科，而区间估计是数理统计中的一个重要方法。
在实际应用中，我们常常需要根据样本数据来推断总体参数的取值范围。
区间估计的目的就是通过样本数据来估计总体参数，并给出一个置信水平，表示我们对估计结果的信心程度。
区间估计的基本思想是根据样本数据的统计量来构造一个区间，使得总体参数有一定的概率落在这个区间内。
常见的区间估计方法包括正态分布的区间估计、t分布的区间估计等。
其中，正态分布的区间估计是应用最广泛的一种方法。
在进行区间估计时，我们首先需要确定置信水平。
置信水平是指在重复抽样的条件下，该区间估计方法能够包含总体参数的真值的概率。
常见的置信水平有90%、95%和99%等。
一般情况下，置信水平越高，估计的区间范围就越宽，我们对估计结果的信心程度也更高。
接下来，我们需要选择一个合适的统计量来进行区间估计。
常见的统计量有样本均值、样本比例、样本方差等。
根据不同的总体分布和参数类型，我们选择相应的统计量来构造区间估计。
我们根据区间估计的方法和统计量的抽样分布来计算区间的上下限。
以样本均值的区间估计为例，当总体服从正态分布时，我们可以使用z分布进行区间估计；当总体的标准差未知时，我们可以使用t 分布进行区间估计。
区间估计的优点是能够给出一个范围，而不是一个点估计，使我们对总体参数的估计更加准确。
同时，区间估计还能够给出一个置信水平，告诉我们估计结果的可靠程度。
然而，区间估计也存在一定的局限性，例如需要满足一些假设条件，样本量要求较大等。
区间估计是数理统计中一种重要的推断方法。
通过构造一个区间来估计总体参数，并给出一个置信水平，我们可以在实际应用中对未知参数进行推断。
区间估计的方法和步骤需要根据不同的问题进行选择和应用，以确保估计结果的准确性和可靠性。
数理统计区间估计总结数理统计是一门研究数据收集、整理、分析和解释的学科，而区间估计是其中一种重要的方法。
区间估计是通过样本数据来推断总体参数的取值范围，它能够提供关于总体参数的不确定性程度的信息。
本文将对区间估计的概念、应用以及优缺点进行探讨，以期帮助读者更好地理解和运用这一统计方法。
一、区间估计的概念区间估计是一种基于样本数据的统计推断方法，通过计算得到一个包含未知总体参数的区间范围。
这个区间的上限和下限是根据样本数据计算出来的，并且具有一定的置信水平，代表了对总体参数的估计精度。
二、区间估计的应用区间估计广泛应用于各个领域的研究中，特别是在市场调研、医学实验、经济学研究等方面。
例如，在市场调研中，通过对样本数据的分析，可以得到某一产品销售量的置信区间，以评估其市场潜力。
在医学实验中，可以利用区间估计来确定某种药物的有效剂量范围，以指导临床应用。
三、区间估计的优缺点区间估计具有以下优点：首先，它能够提供对总体参数的估计精度信息，使得决策者能够更加准确地评估风险和不确定性。
其次，区间估计不依赖于总体分布的假设，适用于各种类型的数据。
最后，区间估计可以较好地处理样本量较小的情况，提供对总体参数的合理估计。
然而，区间估计也存在一些缺点。
首先，区间估计只能提供对总体参数的范围估计，无法给出具体的点估计。
其次，区间估计的置信水平不一定能够准确反映总体参数的真实情况，存在一定的误差。
最后，区间估计对样本数据的分布和总体参数的假设要求较高，如果假设不满足，估计结果可能会失真。
区间估计是一种重要的统计推断方法，可以提供对总体参数的估计范围和置信水平信息。
它在各个领域的研究中有着广泛的应用，并具有一定的优点和缺点。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的区间估计方法，并结合其他统计方法进行综合分析，以获得更加准确的结论。
