上海市高考数学试卷含复习资料

上海市（新版）2024高考数学统编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）下列说法错误错误的是（）A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率第(2)题某市为了解全市12000名高一学生的的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（）A．图中的值为0.020；B．同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则这1000名学生的平均成绩约为80.5；C．估计样本数据的75%分位数为88；D．由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为5000人．第(3)题有下列四个命题：①“若，则互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若，则有实数解”的逆否命题;④“若，则”的逆否命题．其中真命题为（）A．①②B．②③C．④D．①②③第(4)题生物中DNA转录为RNA时服从碱基互补配对原则，即：，但许多化学因子能修饰碱基，使其转录出不同的产物，比如X标记处理后的碱基互补配对原则变为：，现在小明将2个A，2个C，2个G，2个T其中1个X标记组成一个DNA分子，则其转录出的RNA有（）种A．8400B．6720C．5880D．4200第(5)题设集合，则（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题已知实数满足约束条件则的最大值是（）A ．3B ．C ．D ．第(8)题已知函数，且在区间上单调递增，则的最小值为（ ）A．0B ．C ．D ．-1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在平面四边形中，点D 为动点，的面积是面积的2倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则（ ）A ．为等比数列B ．为递减数列C ．为等差数列D ．第(2)题已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．的图象关于直线对称B ．的图象关于点对称C ．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是第(3)题已知抛物线的焦点为F ，动直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 向直线引垂线，垂足分别为，，点M 在上，且MAMB ，设O 为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）A ．M 为线段的中点B ．是与的等比中项C ．A ，O ，三点共线D ．MA 与抛物线C 有两个公共点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．第(2)题若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球的表面上，则此球的表面积为__________．第(3)题已知为单位向量，若，则__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知动圆（为圆心）过定点，且与定直线相切．(1)求动圆圆心的轨迹方程；(2)设过点且斜率为的直线与（1）中的曲线交于、两点，求；(3)设点是轴上一定点，求、两点间距离的最小值．第(2)题以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，（为参数，），曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值.第(3)题如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求证：平面平面．第(4)题在中，角所对边分别为的面积为6.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值.第(5)题如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，E为PD的中点，.(1)求证：PB平面AEC；(2)求平面PAC与平面AEC所成角的余弦值.。

高考数学试题上海题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的值域为[0, +∞)，则该函数的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：函数f(x) = x^2 - 4x + 3可以写成f(x) = (x - 2)^2 - 1，其最小值为-1，因此值域为[-1, +∞)。

由于值域为[0, +∞)，所以函数的零点个数为2。

2. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R）满足|z| = √2，且z的实部与虚部的和为0，则a和b的值分别为：A. a = 1, b = -1B. a = -1, b = 1C. a = 1, b = 1D. a = -1, b = -1答案：A解析：由|z| = √2，得√(a^2 + b^2) = √2，即a^2 + b^2 = 2。

又因为z的实部与虚部的和为0，即a + b = 0。

解得a = 1, b = -1。

3. 若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为：A. 0B. 1D. √2答案：B解析：直线的倾斜角为45°，根据斜率的定义，斜率k = tan(45°) = 1。

4. 若向量a = (3, -2)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的数量积为：A. 1B. -1C. 3D. -3答案：D解析：向量a与向量b的数量积为a·b = 3*(-1) + (-2)*2 = -3 - 4 = -7。

5. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图象是开口向上的抛物线，且f(1) = f(3)，则该函数的对称轴为：A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B解析：由于抛物线开口向上，且f(1) = f(3)，根据抛物线的对称性，对称轴为x = (1 + 3) / 2 = 2。

6. 若等比数列{an}的前n项和为S_n，且S_3 = 7，S_6 = 28，则该数列的公比q为：B. 4C. 3D. 1/2答案：A解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，则S_3 = a1(1 - q^3) / (1 - q) = 7，S_6 = a1(1 - q^6) / (1 - q) = 28。

全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)数学试卷（理工农医类）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．2．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间20分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若复数z 满足(1)1z i i +=-(i 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ ． 2．已知集合}|{},1|{a x x B x x A ≥=≤=，且A B R =，则实数a 的取值范围是________．3．若行列式4513789xx 中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是___________．4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是 ．5．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）． 6．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ ．7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ____________（结果用最简分数表示）． 8．已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足12323R R R +=，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________．9．已知F 1、F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一个点，且21PF PF ⊥．若△21F PF 的面积为9，则b = ． 10．在极坐标系中，由三条直线0,,cos sin 13πθθρθρθ==+=围成圆形的面积是 ．11．当0≤x ≤1时，不等式sin2xkx π≥成立，则实数k 的取值范围是 ．12．已知函数x x x f tan sin )(+=．项数为27的等差数列}{n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππn a ，且公差d ≠0．若0)()()(2721=+⋅⋅⋅++a f a f a f ，则当=k 时，0)(=k a f ． 13．某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4）， （-2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外） 为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短． 14．将函数2642--+=x x y （]6,0[∈x ）的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θαθ≤≤0，得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为 ．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 15．“22≤≤-a ”是“实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的 （ ）（A ）必要不充分条件． （B ）充分不必要条件． （C ）充要条件．（D ）既不充分也不必要条件．16．若事件E 与F 相互独立，且41)()(==F P E P ，则)(F E P 的值等于（ ） （A ）0．（B ）161． （C ）41． （D ）21．17．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）（A ）甲地：总体均值为3，中位数为4． （B ）乙地：总体均值为1，总体方差大于0． （C ）丙地：中位数为2，众数为3．（D ）丁地：总体均值为2，总体方差为3．18．过圆1)1()1(:22=-+-y x C 的圆心，作直线分别交 x 、y 正半轴于点A 、B ，△AOB 被圆分成四部分（如图）．若这四部分图形面积满足ⅢⅡⅣⅠS S S S +=+，则 这样的直线AB 有 （ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分14分） 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AB BC AA ，AB ⊥BC ，求二面角111C C A B --的大小．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．有时可用函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤-+=6,44.4,6,ln 151.0)(x x x x xa a x f描述学习某学科知识的掌握程度．其中x 表示某学科知识的学习次数)(*N ∈x ，)(x f 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．（1）证明：当7≥x 时，掌握程度的增长量)()1(x f x f -+总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(](](]133,127,127,121,121,115．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．21．（本题满分16分）本题共有12个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．已知双曲线,12:22=-y x C 设过点)0,23(-A 的直线l 的方向向量),1(k =． （1）当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时，求直线l 的方程及l 与m 距离； （2）证明：当22>k 时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为.6 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 已知函数)()(1x f y x fy ==-是的反函数，定义：若对给定的实数)0(≠a a ，函数)(')(1a x f y a x f y +=+=-与互为反函数，则称)(x f y =满足“a 和性质”；若函数)(ax f y =与)(1ax fy -=互为反函数，则称)(x f y =满足“a 积性质”．（1）判断函数)0(1)(2>+=x x x g 是否满足“1和性质”，并说明理由； （2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数)0)((>=x x f y 对任何0>a ，满足“a 积性质”．求)(x f y =表达式． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知}{n a 是公差为d 的等差数列，}{n b 是公比为q 的等比数列．（1）若13+=n a n ，是否存在k m m a a a N k m =+∈+*1,,有？说明理由；（2）找出所有数列}{n a 和}{n b ，使对一切n nn b a a N n =∈+*1,，并说明理由； （3）若3,4,511====q b d a ，试确定所有的p ，使数列}{n a 中存在某个连续p 项的和是数列}{n b 中的一项，请证明．全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）答案及解读一．填空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1． i .【解读与点评】由(1)1z i i +=-，得11iz i i-==-+，从而z i =，故答案为：i . 点评：熟记一些常用的复数运算，如2211(1)2,(1)2,,1i i i i i i i i i ++=-=-=-=-，11i ii-=-+等．2． (,1]-∞．【解读与点评】利用数形结合的方法，易知实数a 的取值范围是1a ≤，故答案为：(,1]-∞．3． 8(,)3+∞．【解读与点评】依题意可知元素4的代数余子式为 38 9x ，即为898303x x -⨯>⇒>，故答案为：8(,)3+∞．4． 2,12,1x x y x x ⎧≤=⎨->⎩．【解读与点评】依题意，可知程序框的判定语句，当1x >时，是将2x -赋予y ，否则1x ≤时，2x赋予y ． 从而可知输出量y 与输入量x 满足的关系式是：2,12,1x x y x x ⎧≤=⎨->⎩．5． ．【解读与点评】解析：因为11//A D AD ，所以直线11A D 与1BD 所成的角即为异面直线1BD 与AD 所成角因为正四棱柱底面边长为2，高为4，所以在11Rt A D B ∆中，112A D =，1A B ==所以11111tan A BD A B D A ∠==11D A B arc ∠=arc6．1-．【解读与点评】解析：依题意有22cos sin 21cos 2sin 2)14y x x x x x π=+=++=++当2242x k πππ+=-，即3,8x k k Z ππ=-∈时，sin(2)14x π+=-，此时有函数22cos sin 2y x x =+的最小值是：1，故答案为：1-7．47．【解读与点评】依题意可知随机变量ξ值可为0,1,2, 252710(0)21C P C ξ===，11522710(1)21C C P C ξ===，22271(2)21C P C ξ===． 所以10101124012212121217E ξ=⨯+⨯+⨯==，故答案为：47． 8．=．【解读与点评】依题意可知2221122334,4,4S R S R S R πππ===，从而123R R R =12323R R R +=， 23= 9． 3．【解读与点评】解法一：由已知条件可设12,PF m PF n ==,则9,22,mnm n a ⎧=⎪⎨⎪+=⎩则22222212()24364m n m n mn a F F c +=+-=-==, 得2229b a c =-=,∴3b =．解法二：利用结论：122212tan 2PF F b S F PF ∆=∠，从而有1222212991tan 2PF F b b S F PF ∆==⇒=∠，又0b >，所以3b =，故答案为：3． ．【解读与点评】解析：方法一：依题意，因为cos sin 1ρθρθ+=，从而方法二：依题意在极坐标系中三条直线0,,cos sin 13πθθρθρθ==+=，转化为直角坐标系方程即为：0y =，,1y x y =+=，在直角坐标系画出图象如图所示：可知1AB =，3CAB π∠=，4ABC π∠=，从而512ACB π∠=，由正弦定理得：sin 1554sin sin sin 124124AB AC AB AC ππππ=⇒===三条直线所围成的图形的面积为113sin 1)123224S AC AB π=⨯⨯=⨯⨯⨯=，故答案为：34-． 11． (,1]-∞．【解读与点评】方法一：当0x =时,不等式sin2x kx π≥恒成立；当0x ≠时,不等式sin2x kx π≥恒成立,等价于sin2xk xπ≤((0,1]x ∈),令sin2()xf x x π=,则2cossin222()x x xf x x πππ-'=, ∵(0,1)x ∈时,(0,)22x ππ∈, tan 22x x ππ>,即可得cos sin 0222x x x πππ-<,从而()0f x '<,又(1)0f '<,∴()f x 在(0,1]x ∈上为减函数, 即可得()(1)1f x f ==最小值,∴1k ≤．故答案为：(,1]-∞． 方法二：利用性质：当[0,]2πα∈，2sin 1απα≤≤．所以当0≤x ≤1，[0,]22xππ∈，所以不等式sin 2x kx π≥恒成立,等价于sin sin2222x xk xxππππ≤=，又当[0,]22x ππ∈时，sin222x x πππ的最小值为1，所以1k ≤， 故答案为：(,1]-∞．12． 14．【解读与点评】依题意可知：函数()sin tan f x x x =+为(,)22ππ-上的奇函数且单调递增,又(0)0f =,且等差数列{n a a }满足1227()()()0f a f a f a ++⋅⋅⋅+=,则必有127226325,,,a a a a a a =-=-=-⋅⋅⋅且140a =, 即得14k =时,14()0f a =． 故答案为：14．13． (3,3)．【解读与点评】设零售点坐标为(x ,y ),则6个零售点沿街道到发行站之间的路程为(|2||2|)(|2||3|)(|3||1|)(|3||4|)(|4||5|)(|6||6|)x y x y x y x y x y x y ++-+++-+-+-+-+-+-+-+-+-即为2|2|2|3||4||6||1||2||3||4||5||6|x x x x y y y y y y ++-+-+-+-+-+-+-+-+-， 不难知横坐标(2,4)x ∈时,横坐标差的绝对值之和较小,纵坐标[3,4]y ∈时,纵坐标差的绝对值之和较小,去掉绝对值可得142|3|8|3||4|x y y +-++-+-,当3x =时,去掉不可取的零售点(3,4)外可取3y =,此时最小路程为23, 故可以确定(3,3)为发行站． 故答案为：(3,3)． 14． 2tan3arc ．【解读与点评】将函数变形为方程可得 22(3)(2)13x y -++=, [0,6],0x y ∈≥,其图象如右图所示,过点O 作该圆的切线OA,将该函数的图象绕原点逆时针旋转时,其最大的旋转角为AOy ∠，此时曲线C 都是一个函数的图象（理解好函数的概念：一个x 值只能对应一个y 的值） ∵132OA OC k k =-=, ∴12tan 3OA AOy k ∠==, ∴其最大的角α的为2tan3arc ．故答案为：2tan 3arc ． 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 15． A ．【解读与点评】由实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根,可得240a ∆=-<, 即可得(2,2)a ∈-,∵(2,2)[2,2]-⊆-, ∴“22a -≤≤”是“实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根”的必要不充分条件, 故应选A ．16． B ．【解读与点评】∵事件E 与F 相互独立, ∴1()()()16P E F P E P F =⨯=, 故应选B ．17． D ．【解读与点评】甲地取0,0,0,0,4,4,4,4,4,10,该组数据均值为3,中位数为4,显然不符合该该标志；乙地取0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,该组数据均值为1,总体方差大于0,显然也不符合该标志； 丙地取0,0,1,1,2,2,3,3,3,10,该组数据中位数为2,众数为3,显然也不符合该标志； 丁地的均值为2,则样本总和为20,由于总体方差为3,可知该组每一个数据与2的差的平方和为30,若该组数据中有一个超过7则,其方差必大于3,于是可得丁地一定符合该标志, 故应选D ．18． B ．【解读与点评】解析：如右图所示,设圆与两坐标轴的切点分别为E ，F ,BAO α∠=,((0,)2πα∈),则11tan ,1tan OB OA αα=+=+, 由S Ⅰ+S Ⅳ12AOB S ∆=，可得111112(1t a n)(1)2t a n 222tanπαπααπα+⋅+⨯=⨯⨯++, 整理可知得1tan 22tan απαα-=-+,(0,)2πα∈,此方程可化为(22)sin 22cos 20πααα-++=, 令()(22)sin 22cos 2f απααα=-++,(0,)2πα∈,由(0)20,()202f f π=>=-<，可知函数()f x 与x 轴必有一个交点,即上述上程必有一解,所以这样的直线AB 有1条, 故应选B ．三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．【解读与点评】如图，建立空间直角坐标系．则A （2，0，0），C （0，2，0），A 1（2，0，2）， B 1（0，0，2），C 1`（0，2，2），设AC 的中点为M ，,,1CC BM AC BM ⊥⊥)0,1,1(11=⊥∴C ，C A BM 即平面是平面A 1C 1C的一个法向量．设平面A 1B 1C 的一个法向量是),,(z y x =，)0,0,2(),2,2,2(11-=--=B A AC,0222,02111=-+-=⋅=-=⋅∴z y x C A n x B A n令z=1，解得x=0，y=1．)1,1,0(=∴， 设法向量与的夹角为ϕ，二面角B 1—A 1C —C 1的大小为θ，显然θ为锐角．111||1cos |cos |,.23||||.3n BM n BM B AC C πθφθπ⋅====⋅∴--解得二面角的大小为20．【解读与点评】证明：（1）当.)4)(3(4.0)()1(,7--=-+≥x x x f x f x 时而当)4)(3(,7--=≥x x y x 函数时单调递增，且.0)4)(3(>--x x故)()1(x f x f -+单调递减．7≥∴x 当，掌握程度的增长量)()1(x f x f -+总是下降．解（2）由题意知.85.06ln151.0=-+a a整理得05.06c a a =-，解得(]127,1210.123,0.123650.206135.035.0∈=⨯≈⋅-=e e a 由此可知，该学科是乙学科． 21．【解读与点评】（1）双曲线C 的渐近线02,02:=±=±y x y x m 即l 直线∴的方程,0232=+±y x l 直线∴与m 的距离.62123=+=d（2）证法一：设过原点且平行于l 的直线,0:=-y kx b则直线l 与b 的距离21||23k k d +=，当.6,22>>d k 时 又双曲线C 的渐近为 .02=±y x ∴ 双曲线C 右支在直线D 的右下方∴双曲线右支上的任意点到l 的距离大于6．故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l． [证法二] 假设双曲线C 右支上存在点),.(00y x Q 到直线l 的距离为.6则⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-)2(,22)1(,61|23|2020200y x k k y kx 由（1）得2001623k k kx y +⋅±+=设21623k k t +⋅±=,当22>k 时， 016232>+⋅+=k k t , .01312616232222>++-⨯=+⋅-=k k k k k t将t kx y +=00代入（2）得 0)1(24)21(20202=+---t ktx x k （*）0,22>>t k ， .0)1(2,04,02122<+-<-<-∴t kt k∴方程（*）不存在正根，即假设不成立， 故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l．22．【解读与点评】（1）函数)0(1)(2>+=x x x g 的反函数是)1(1)(1>-=-x x x g)0()1(1>=+∴-x x x g ．而)1(1)1()1(2->++=+x x x g ， 其反函数为)1(11>--=x x y , 故函数)0(1)(2>+=x x x g 不满足“1和性质” ．（2）设函数)()(R x b kx x f ∈+=满足“2和性质”，0≠k ， )()(1R x k b x x f ∈-=∴-， ∴k bx x f -+=+-2)2(1．而)()2()2(R x b x k x f ∈++=+，得反函数k kb x y 2--= ,由“2和性质”定义可知k kb x k b x 22----+对R x ∈恒成立．R b k ∈-=∴,1，即所求一次函数为)()(R b b x x f ∈+-=．（3）设0,00>>x a ，且点),(00y x 在)(ax f y =在图像上，则),(00x y 在函数)(1ax f y -=图像上， 故⎩⎨⎧==-,)(,)(00100x ay f y ax f可得),()(000ax af x f ay ==令x ax -0， 则0x xa =， )()(00x f x xx f =∴， 即.)()(00xx f x x f =综上所述，)0()(≠=k x kx f ，此时ax kax f =)(，其反函数就是,ax ky =而,)(1ax kax f =-故)()(1ax f y ax f y --==与互为反函数．23．【解读与点评】（1）由k m m a a a =++1，得,1356+=+k m 整理后，可得,342=-m k,,*N k m ∈ m k 2-∴为整数，*,N k m ∈∴不存在，使等式成立．（2）解法一：若n n n b a a =+1，即1111)1(-=-+-n q b dn a nd a （*）（i ）若0=d ，则.111n n b q b ==-当}{n a 为非零常数列，}{n b 为恒等于1的常数列，满足要求．（ii ）若0≠d ，（*）式等号左边取极限和1)1(lim 11=-+∞→d n a nda a ，（*）式等号右边的极限只有当1=q 时，才可能等于1，此时等号左边是常数，,0=∴d 矛盾．综上所述，只有当}{n a 为非零常数列，}{n b 为恒等于1的常数列，满足要求 10分 解法二：设,c nd a n +=若n n n b a a =+1， 对*N n ∈都成立，且}{n b 为等比数列， 则q a a a a nn n n =+++112/，对*N n ∈都成立，即212++=n n n qa a a ． *2)()2)((N n c d dn q c d dn c dn ∈++-+++∴对都成立，22qd d =∴．（i ）若0=d ，则0≠=c a n ，*,1N n b n ∈=∴． （ii ）若0≠d ，则,1=q m b n =∴（常数），即m c dn c d dn =+++，则0=d ，矛盾． 综上所述，有1,0=≠=n n b c a ，使对一切n nn b a a N n =∈+1*,． （3）*,3,14N n b n a n n n ∈=+=设.,,,3*21N m N k p b a a a k k p m m m ∈∈==++++++ ,321)(41)1(4k p p m m =+++++ 93324k p m =++∴． N p N k p ∈=∴∈δδ,3,,* ,取03)14(2)14(33234,232222≥--⨯--=-⨯-=+=+-s s s s m s k ．由二项展开式可得正整数M 1、M 2，使得,114)14(22+=-+M s,2)1(8)14(22s N M -+=-⨯ 2)1)1(()2(4421+---=∴s M M m ，∴存在整数m 满足要求．故当且仅当N s p s∈=,3时，命题成立．说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分） 若p 为偶数，则p m m m a a a ++++++ 21为偶数，但k 3为奇数，故此等式不成立，∴p 一定为奇数．当1=p 时，则k m b a =+1，即k m 354=+．而kk )14(3-=当k 为偶数时，存在m ，使k m 354=+成立．当3=p 时， 则k m m m b a a a =+++++321，即k m b a -+23也即k m 3)94(3=+， 1135)1(4,394--=++=+∴k k m m由已证可知，当1-k 为偶数即k 为奇数时，存在k m m 394,=+成立．当5=p 时， 则k m m m b a a a =++++++521 ，即k m b a =+35 也即，而k 3不是5的倍数， ∴当5=p 时，所要求的m 不存在．故不是所有奇数都成立试卷综合解读与评析——上海秋季高考数学试卷评析：基础与能力是立足点上海秋季高考数学卷立足于科学性，考查考生对基本数学思想和基本数学方法的掌握程度，鼓励中学数学教学围绕基本内容，提高对数学概念的本质认识，提高学生分析问题的能力．试卷保持了2007、2008年的风格，从宏观上看基本上是稳定的，即“在稳定中前行，在变化中发展”，这是今年高考的特点．试卷的题型结构不变，在题量、背景、方法、思维方式上有一些变化．难易梯度上保持循序渐进，基础题1—10题比较容易，但整卷有三个波浪：理科数学选择题后四题、填空题后两题难度较大，解答题后三题坡度比较高．今年数学卷的基本特点是：1．题型变化大．本卷共23道试题，填空题改为14道是意料之外的变化，解答题5道是在意料之中．也许填空题若设置5分一道，对考生压力较大，再加上《考试说明》中对“主客观题的分值约为1:1”的规定，因而增加了三道填空题，将减少一道解答题的分值分散在2～3道填空题中．2．知识点覆盖全．上海高考坚持能力立意以来，对知识点的考查不再求全．但本试卷较全面地考查了知识点，尤其是新增内容，基本都涉及到了，部分试题要求较高，如行列式、算法、期望、独立事件、旋转体、统计初步、矩阵等．3．新题数量较多．填空题中第12、13、14题，选择题中第17、18题，解答题中第20、22、23题给人耳目一新的感觉．有些问题的表述比较陌生，考生需要较强的数学理解和化归能力，有些试题的提问方式新颖，对考生的综合数学能力要求较高．4．提倡理性思维，强化数学思想的考查要求．数学科学的特点之一就是理性思维，在高考考试目标中对理科考生尤其如此．理性思维要求考生在问题解决中，运用所学的基本知识和基本概念，会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点，会正确而简明地表述推理过程，而不是都以算为手段，用算解决问题．例如理科第17、20题，依据统计中的有关基本概念、函数单调性的概念等对问题作出判断．如果只是用计算器将所有情形算一遍，虽然得分不低，但可能损失时间，不利于考生的整体发挥．又如理科第21（2）题，将含有点的方程代入双曲线方程，由演绎推理得到所设方程不成立即可，如果用判别式和韦达定理则要大算一通，这道题考查对于数学思想方法本质的理解．本卷较多地考查了对数形结合思想．不仅有代数对应几何图形的准确快速作图要求，还有对图形变化以及图形中代数性质概括的要求，如第10、11、13、14、18、21等．第10题，将三条直线围成的图形做出后，就转化为一个解斜三角形的问题，若无较强的平面几何知识，按部就班计算，问题变得复杂．第13、14题作为提高区分度试题，要求很高，要想完全弄清题意，给出充分解释，并非易事．第17题，选项中同时出现了均值、中位数、众数、方差等概念，而且需要对选项逐一检验．四个选项，无论是肯定还是否定，学生都不容易，再加上大多少学生对上述统计量并没有深刻理解，因而，猜的成份更大．第18题，需要将图形从静止到运动，才能体会其中的关系．第21(2)题的解答表述比较困难，从图形分析，学生容易理解，但难以说清楚，对考生的表达能力要求较高．第23(3)题，需要考生有一定的数论整除知识．对大多少的考生甚至教师而言，都非常欠缺数论知识．5．源于教材，注重过程．试卷没有一道题目直接来自教材，但从教材改编的题目很多．这些源于教材，又不同于教材的题目，目的在于鼓励师生钻研教材，不远离课本，减轻学生负担．例如理科第13题，源于高三的“统计案例”一章，教材分析了在一维条件下到有限点距离最短的结论，试题在此基础上，利用它的思想方法考查学生在二维条件下的结论是什么．由于这里横坐标、纵坐标可以独立考虑，因此并不需除教材例题之外的方法．又如理科第17题，源于高三统计基本方法一章，教材对具体数学对象中的中位数、众数和平均值作了详尽的说明，试题结合社会实际现象，设计的问题落在考查准确把握上述统计内容中的基本概念，以及如何解释它的实际意义上．再如理科第20题，源于高一（二）对数函数例3“学习曲线”的描述，第（2）题的问题是要验证参数的区间，相当于对模型的应用和检验．由于每年的应用题得分率都不高，失分大多是因为未能建立数学模型，今年的应用题（理科第20题）改编自课本，题目给出了数学模型，从某种意义上说扫清了“拦路虎”．由上述3题考试目标的阐述可见数学教学应注重学习过程，准确把握基本概念内涵，要从“教题”转化到“教书”，而不是从“题型”出发，把学生淹没在题海中．有些试题考生可能第一眼看上去像新面孔，但分析一下会有“他乡遇故知”的感觉．6．体现“二期”课改理念和要求．今年在全面推行“二期”课改的前提下，试卷体现了“二期”课改的理念和要求：一，注重过程与方法；二，体现新增内容的基本要求，如代数余子式、框图、球、独立事件等均要考查知识和基本技能，立体几何以向量为工具解决问题．7．夯实基础，着眼能力．从理科试卷的几个能力型问题考查目标分析，尽管试题体现了一定的能力要求，但落脚点都在基础知识上．如理科第14题，将一个函数图像旋转以后仍然是函数的图像，关键是对函数基本定义的理解，即对任何自变量，函数值必须是唯一的．又如第22（3）题，虽然是一个自主学习能力的试题，但是考查的重点还是反函数的概念和互为反函数的图像是关于对称的基本要求．再如第23（3）题，它有一定深度的探究能力，然而从研究问题的一般方法入手，可以从具体到一般地层层深入，对p的开始几个值上的试探，即可获得这小题的部分分值是我们对不少考生的期望．对比往年的数学试题，今年的知识点较多，没有“挖陷阱”的题目．但拿到题目时不要计算器当家，应有所分析，让大脑指挥手．只要对题目给出的提示信息获取充分，试题本身并不难．8．导向良好：教会学生思考．上海市高考理科数学，不少学生说题目难．因为许多题目都是“新面孔”，所以不会做．“新面孔”题目比例的提升，传递出一个信号：高考越来越注重对学生能力的考察，应试教育下的“条件反射”日渐失灵．在今年的试卷面前，考生的能力高下很容易区分．对于能力强的考生来说，有些题目第一眼看上去像“新面孔”，但分析一下就会有“他乡遇故知”的感觉，落脚点还是在基础知识上．如理科第14题，将一个函数图像旋转以后仍然是函数的图像，关键是对函数基本定义的理解，即对任何自变量，函数值必须是唯一的．中学教学过程中有一个误区：学理科归根到底就是做题目．老师、学生一起苦战“题海”，以机械操练代替对数学基本概念、基本原理的理解，甚至有学生认为学习概念浪费时间，不如多做几道题痛快，这是舍本求末的表现．还有学生学习时往往看一遍题目，再翻到答案部分看一遍解法就“懂了”，如此囫囵吞枣，跳过对解题思路的琢磨，只能就题论题，无法举一反三．如果靠大量简单重复训练形成条件反射，在未来的高考中可能会事倍功半．同时，学习时不但要重视解题，更应重视概念的形成、论证过程，解题思路的探究过程．教师在教学过程中，不应简单把学生淹没在题海中，而是要考虑中学数学教育如何从“教题”（教会学生做题）回归到“教书”“教思考”，掌握数学的本质，培养更多“有想法”的学生．对于高中数学教学的导向，体现在“品、做、悟”．要学会品数学，所谓“品”，就是从不同角度欣赏她的美感，就会热爱她，热爱她就会关注她，就能够极大地激发学生学习数学的兴趣、主动性．第二，在多思指导下的精练，不是多做，更不是背．第三要“悟”，学会归纳、发现、创新，以数学的目光看问题能不能变化，能不能发展，能不能进行总结，能不能发现新的规律．全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)数学试卷（文史类）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．2．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间20分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数1)(3+=x x f 的反函数)(1x f -＝ _____________．2．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且AB R =，则实数a 的取值范围是______________________ ． 3．若行列式4513789x x中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是___________ ． 4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是_____________ ．5．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）．6． 若球O 1、O 2表示面积之比421=S S ，则它们的半径之比21R R =_____________． 7． 已知实数x 、y 满足223y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则目标函数2Z x y =-的最小值是___________．8． 若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 ．9． 过点(1,0)A 作倾斜角为4π的直线，与抛物线22y x =交于M N 、两点，则 MN = ．10． 函数2()2cos sin 2f x x x =+的最小值是 ．11． 若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）． 12．已知F 1、F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一个点，且 21PF PF ⊥．若△21F PF 的面积为9，则b = ．13． 已知函数x x x f tan sin )(+=．项数为27的等差数列}{n a 满足⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππn a ，且公差d ≠0．若0)()()(2721=+⋅⋅⋅++a f a f a f ，则当=k 时，0)(=k a f ．14． 某地街道呈现东—西、南—北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使5个零售点沿街道发行站之间路程的和最短．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．已知直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=平行，则K 得值是（ ）（A ） 1或3 （B ）1或5 （C ）3或5 （D ）1或216．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是4 4 4 3 3 4 45 (D)(C) (B) (A)17． 点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是 （ ）（A ）22(2)(1)1x y -++= （B ）22(2)(1)4x y -++=（C ）22(4)(2)4x y ++-= （D ）22(2)(1)1x y ++-=18． 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”． 根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 （ ）（A ）甲地：总体均值为3，中位数为4 ．（B ）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 ．（C ）丙地：中位数为2，众数为3 ．（D ）丁地：总体均值为2，总体方差为3 ．三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分14分）已知复数z a bi =+（a 、b R +∈）(I 是虚数单位)是方程2450x x -+=的根 ． 复数3w u i =+（u R ∈）满足w z -< u 的取值范围 ．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- ．（1） 若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形；（2） 若m ⊥p ，边长c = 2，角C = 3π，求ΔABC 的面积 ． 21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 ．有时可用函数 0.115ln ,6,() 4.4,64a x a x f x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩ 描述学习某学科知识的掌握程度．其中x 表示某学科知识的学习次数（*x N ∈），()f x。

上海市（新版）2024高考数学部编版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题经过第一、二、三象限的直线：与圆：相交于，两点，若，则的最大值是（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1第(2)题已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(3)题已知E ，F 分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（ ）A ．截面多边形不可能是平行四边形B ．截面多边形的周长是定值C ．截面多边形的周长的最小值是D ．截面多边形的面积的取值范围是第(4)题已知函数，若关于的方程恰好有3个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．第(5)题已知定义在上的函数满足：，都有，且，当时，恒有，则＝（ ）A．B ．C ．D ．第(6)题设全集，集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(7)题已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，则双曲线的离心率是（ ）A．B ．C ．D ．第(8)题已知集合，，则下列式子正确的是A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知、是椭圆：上两个不同的动点（不关于两坐标轴及原点对称），是左焦点，为离心率.则下列结论正确的是（ ）A ．直线的斜率为1时，在轴上的截距小于B ．周长的最大值是C ．当直线过点，且中点纵坐标的最大值为时，则D．当时，线段的中垂线与两坐标轴所围成三角形面积的取值范围是第(2)题关于函数，，下列说法正确的是（ ）A ．若过点可以作曲线的两条切线，则B ．若在上恒成立，则实数的取值范围为C．若在上恒成立，则D．若函数有且只有一个零点，则实数的范围为第(3)题已知函数恰有三个零点，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，其中，为参变数，且．若是一个与无关的定值，则______，______．第(2)题已知复数，的共轭复数为，则________.第(3)题设平面向量，，若与的夹角为，则_____________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数的最小正周期为．（I）求函数的解析式；（II）若先将函数的图象向左平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的零点个数．第(2)题第22届世界杯足球赛在卡塔尔举办，各地中学掀起足球热．甲、乙两名同学进行足球点球比赛，每人点球3次，射进点球一次得50分，否则得0分．已知甲每次射进点球的概率为，且每次是否射进点球互不影响；乙第一次射进点球的概率为，从第二次点球开始，受心理因素影响，若前一次射进点球，则下一次射进点球的概率为，若前一次没有射进点球，则下一次射进点球的概率为．(1)设甲3次点球的总得分为X，求X的概率分布列和数学期望；(2)求乙总得分为100分的概率．第(3)题若函数有两个零点，且.(1)求a的取值范围；(2)若在和处的切线交于点，求证：.第(4)题第十届中国花博会于2021年5月21日在崇明举办，其标志建筑——世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度280米，屋面板只有250毫米，相当于一张2米长的桌子，其桌面板的厚度不到2毫米.图1为馆建成后的世纪馆图：图2是建设中的世纪馆；图3是场馆的简化图.如（图3）是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，，其中米；圆心距米：半径米：椭圆中心与圆心的距离米，、为直线与半圆的交点，.（1）设，计算的值；（2）计算的大小（精确到1°）.第(5)题已知数列的前项和满足：．数列满足，且．(1)求数列和的通项公式；(2)令，记数列的前项积为，证明：．。

理数高考试题答案及解析-上海亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！那今天就来小试牛刀吧！注意哦：在答卷的过程中一要认真仔细哦！不交头接耳，不东张西望！不紧张！养成良好的答题习惯也要取得好成绩的关键！祝取得好成绩！一次比一次有进步！上海高考数学试题（理科）答案与解析一．填空题 1．计算：3-i=1+i （ i 为虚数单位）. 【答案】 1-2i 【解析】3-i (3-i)(1-i) 2-4i= = =1-2i1+i (1+i)(1-i) 2. 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可. 2．若集合 } 0 1 2 | { + = x x A ， } 2 | 1 || { = x x B ，则 = B A . 【答案】3 ,21 【解析】根据集合 A 2 1 0 x+ ，解得12x ，由 1 2, , 1 3 x x 得到，所以 = 3 ,21B A . 【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决. 3．函数 1 sincos 2) (= xxx f 的值域是 . 【答案】 23,25 【解析】根据题目 2 2 sin212 cos sin ) ( = = x x x x f ，因为1 2 sin 1 x ，所以23) (25 x f . 【点评】本题主要考查1/ 18行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质. 4．若 ) 1 , 2 ( = n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）. 【答案】 2 arctan 【解析】设直线的倾斜角为，则 2 arctan , 2 tan = = . 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5．在6)2(xx 的二项展开式中，常数项等于 . 【答案】160 【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是 3 3 34 62C ( ) 160 T xx= = . 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题. 6．有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，nV V V2 1，则= + + + ) ( lim2 1 nnV V V . 【答案】78 【解析】由正方体的棱长组成以 1 为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以 1 为首项，81为公比的等比数列，因此，788111) ( lim21== + + + nnV V V . 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合. 7．已知函数| |) (a xe x f= （ a 为常数）.若 ) (x f 在区间 ) ,1 [ + 上是增函数，则 a 的取值范围是 . 【答案】 ( ] 1 , 【解析】根据函数,( ),x ax ax ae x af x ee x a += =看出当 a x 时函数增函数，而已知函数 ) (x f 在区间 [ ) + , 1上为增函数，所以 a 的取值范围为：( ] 1 , . 【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中. 8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆面，则该圆锥的体积为 . 【答案】33 【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为 r ，母线长为 l ，根据条件得到 2212=l ，解得母线长 2 = l ，1 , 2 2 = = = r l r 所以该圆锥的体积为：331 231S312 2= = = h V 圆锥 . 【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题. 9．已知2) ( x x f y + = 是奇函数，且 1 ) 1 ( = f ，若 2 ) ( ) ( + = x f x g ，则 = ) 1 ( g . 【答案】 1 】【解析】因为函数2) ( x x f y + = 为奇函数，所以 , 3 ) 1 ( , 1 ) 1 ( , 2 ) 1 ( ) 1 ( = = + =g f f g 所以，又 1 2 3 2 ) 1 ( ) 1 ( , 3 ) 1 ( = + = + = = f g f . ( 1) (1). f f = 【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数 ) ( x f y = 为奇函数，所以有) ( ) ( x f x f = 这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.3/ 1810．如图，在极坐标系中，过点 ) 0 , 2 ( M 的直线 l 与极轴的夹角 6 = ，若将 l 的极坐标方程写成 ) ( f = 的形式，则 = ) ( f . 【答案】)6sin(1 【解析】根据该直线过点 ) 0 , 2 ( M ，可以直接写出代数形式的方程为：) 2 (21 = x y ，将此化成极坐标系下的参数方程即可，化简得)6sin(1) (= f . 【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中. 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）. 【答案】32 【解析】一共有 27 种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有 18 种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32. 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题. 12．在平行四边形 ABCD 中，3= A ，边 AB 、 AD 的长分别为 2、1，若 M 、 N 分别是边 BC 、CD 上的点，且满足| || || || |CDCNBCBM= ，则 AN AM 的取值范围是 . 【答案】 [ ] 5 , 2 【解析】以向量 AB 所在直线为 x 轴，以向量 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1 , 2 = = AD AB ，所以 5 1(0,0), (2,0), ( ,1) ( ,1).2 2A B C D 设1 5 1 5 5 1 5 1 5 1( ,1)( ), , - , - , (2 ,( )sin ).2 2 2 2 4 2 8 4 4 2 3N x x BM CN CN x BM x M x x = = = + 则根据题意，有 )83 2 3 5,4 821( ), 1 , (x xAM x AN = = . 所以83 2 3 5)4 821(x xx AN AM+ = 2521x ，所以 2 5. AM AN 64224610 5 5 10ADCBMN 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中. 13．已知函数 ) ( x f y = 的图象是折线段 ABC ，其中 ) 0 , 0 ( A 、 ) 5 ,21( B 、 ) 0 , 1 ( C ，函数 ) ( x xf y = （ 1 0 x ）的图象与 x 轴围成的图形的面积为 . 【答案】45 【解析】根据题意得到，110 ,02( )110 10, 12x xf xx x = + 从而得到22110 ,02( )110 10 , 12x xy xf xx x x = = +所以围成的面积为45) 10 10 ( 101212210= + + =dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为45 . 【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14．如图， AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱， 2 = BC ，若 c AD 2 = ，且 a CD AC BD AB 2 = + = + ，其中 a 、 c 为常数，则四面体 ABCD 的体积的最大值是 . 【答案】 1322 2 c a c 【解析】据题 a CD AC BD AB 2 = + = + ，也就是说，线段 CD AC BD AB + + 与线段的长度是定值，因为棱AD 与棱 BC 互相垂直，当 ABD BC 平面时，此时有最大值，此时5/ 18最大值为：1322 2 c a c . 【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题. 二、选择题（20 分） 15．若 i 2 1+ 是关于 x 的实系数方程 02= + + c bx x 的一个复数根，则（） A． 3 , 2 = = c b B． 3 , 2 = = c b C． 1 , 2 = = c b D． 1 , 2= = c b 【答案】 B 【解析】根据实系数方程的根的特点 1 2 i 也是该方程的另一个根，所以 b i i = = + + 2 2 1 2 1 ，即 2 =b ，c i i = = + 3 ) 2 1 )( 2 1 ( ，故答案选择 B. 【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意. 16．在 ABC 中，若 C B A2 2 2sin sin sin + ，则 ABC的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】C 【解析】由正弦定理，得 , sin2, sin2, sin2CRcBRbARa= = = 代入得到2 2 2a b c + ，由余弦定理的推理得2 2 2cos 02a b cCab+ = ，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择 A. 【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 17．设44 3 2 110 10 xx x x ，5510 = x ，随机变量1 取值5 4 3 2 1x x x x x 、、、、的概率均为 2 . 0 ，随机变量2 取值2 2 2 2 21 5 5 4 4 3 3 2 21x x x x x x x x x x + + + + +、、、、的概率也均为 2 . 0 ，若记2 1 D D 、分别为2 1 、的方差，则（） A．2 1 D D B．2 1 D D = C．2 1 D D D．1 D 与2 D 的大小关系与4 3 2 1x x x x 、、、的取值有关【答案】 A 【解析】由随机变量2 1 , 的取值情况，它们的平均数分别为：1 1234 51( ),5x x x x x x = + + + + ，2 3 3 4 45 5 1 122 11,5 2 2 2 2 2x x x x x x x x x xx x+ + + + + = + + ++ =且随机变量 2 1 , 的概率都为 2 . 0 ，所以有 1 D ＞2 D . 故选择 A. 【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题. 18．设25sin1 nna n = ，n na a a S + + + = 2 1，在100 2 1, , , S S S 中，正数的个数是（） A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】C 【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项. 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的 14 项的和为 0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力. 三、解答题（74分）：19．（6+6=12 分）如图，在四棱锥 ABCD P 中，底面 ABCD 是7/ 18矩形， PA 底面 ABCD ， E 是 PC 的中点，已知 2 = AB ， 2 2 = AD ， 2 = PA ，求：（1）三角形 PCD 的面积；（2）异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小. 【答案及解析】所以三角形 PCD 的面积为 3 2 3 2 221= ................6 分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修 2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题． 20．（6+8=14 分）已知函数 ) 1 lg( ) ( + = x x f ．（1）若 1 ) ( ) 2 1 ( 0 x f x f ，求 x 的取值范围；（2）若 ) ( x g 是以 2 为周期的偶函数，且当 1 0 x 时，有 ) ( ) ( x f x g = ，求函数 ) ( x g y = （ ] 2 , 1 [ x ）的反函数. 【答案及解析】，3132 x 【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题． 21．（6+8=14 分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y = ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发 t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7 ．（1）当 5 . 0 = t 时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（4+6+6=16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线1C ：1 22 2= y x ．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及 x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为 1 的直线 l 交1C 于 P 、 Q 两点，若 l 与圆 12 2= + y x 相切，求证：OQ OP ；（3）设椭圆2C ：1 42 2= + y x ，若 M 、 N 分别是1C 、2C 上的动点，且 ON OM ，求证：O 到直线 MN 的距离是定值. 【答案及解析】过点 A与渐近线 x y 2 = 平行的直线方程为22 , 2 1.2y x y x= + = +即 1 = ON ，22= OM ,则 O 到直线 MN 的距离为33. 设 O 到直线 MN 的距离为 d . 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为 2 ，它的渐近线为 x y = ，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题． 23．（4+6+8=18 分）对于数集 } 1 {2 1 nx x x X ，，，， = ，其中nx x x 2 10 ， 2 n ，定义向量集} , ), , ( |9/ 18{ X t X s t s a a Y = = ，若对任意 Y a 1，存在 Y a 2，使得02 1= a a ，则称 X 具有性质 P ．例如 } 2 , 1 , 1 { 具有性质P ．（1）若 2 x ，且 } , 2 , 1 , 1 { x 具有性质 P ，求 x 的值；（2）若 X 具有性质 P ，求证：X 1 ，且当 1 nx 时， 11= x ；（3）若 X 具有性质 P ，且 11= x 、 q x =2（ q 为常数），求有穷数列nx x x ，，， 2 1的通项公式. 【答案及解析】必有形式 ) , 1 ( b 显然有2a 满足 02 1= a a 【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义 X 具有性质 P 这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！成绩肯定会很理想的，在以后的学习中大家一定要用学到的知识让知识飞起来，学以致用！在考试的过程中也要养成仔细阅读，认真审题，努力思考，以最好的状态考出好成绩！你有没有做到这些呢？是不是又忘了检查了？快去再检查一下刚完成的试卷吧！怎样调整好考试心态心态就是一个人的心情。

普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式的值为2.双曲线的渐近线方程为______3.的二项展开式中的系数为(结果用数值表示)4.设常数,函数,若的反函数的图像经过点,则=5.已知复数满足,(是虚数单位),则6.记等差数列的前项和为,若,则7.已知.若函数为奇函数,且在上递减,则8.在平面直角坐标系中,已知点是轴上的两个动点,且,则最小值为9.有编号互不相同的五个砝码,期中5克,3克,1克砝码各两个,从中随机挑选三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率为___________(结果用最简分数表示)10.设等比数列的通项公式为,前项和为,若,则___________11.已知常数,函数的图像经过点,若,则=12.已知实数1212,,,x x y y 满足:22221122121211,1,2x y x y x x y y +=+=+=,则+的最大值为_____二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设p 是椭圆22153x y +=上的动点,则p 到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A. B. C. D.14.已知a R ∈,则“1a >”是“11a<”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。

数学复习卷(附参考答案)班级 姓名 学号内容：第三轮复习 A 卷：基础题与中档题 B 卷：较难题 两卷题量总合与高考卷一致 A 卷1.已知复数1z i =,i z +=12, 则21z z 在复平面内对应的点位于第_________象限. 2.卖花姑娘手持100支玫瑰叫卖：“卖花，卖花，1元一支，买20支以上的优惠，超过部分只收半价”，我上前买花x (支)，花费y (元)，则y 作为x 的函数关系式是 .3.函数2()cos sin cos f x x x x =+的图象相邻的两条对称轴之间的距离是__________. 4.在52()2xx-的展开式中x 的系数等于__________.5.ABC ∆中，a b c 、、分别为A B C 、、对边，已知2a c ==，且sin sin 0020cos 01C B b c A -=，则ABC ∆的面积= .6.若数据*123,,,,()n a a a a n N ∈L 的方差是2，则数据*1232,2,2,,2()n a a a a n N ∈L 的方差是 .7.过点(3,4)P 作圆221x y +=的两条切线，与圆的切点分别是M 、N ，则直线MN 的方程的一般式为 .8.甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为m ,再由乙猜甲刚才所想的数字，猜得的数字记为n ，且m 、n ∈{0，1，2，3，…，9}．若|m n -|≤1，则称甲乙“默契”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“默契”的概率为 .9.设1F 、2F 分别是椭圆22916144x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，若12F F P ∆是直角三角形，则P 到x 轴的距离为 .10.(理)球半径为1，其内接正四面体的两个端点在其表面的球面距离等于 . (文)球半径为1，其大圆．．的内接正三角形的两个顶点在其表面的球面距离等于 . 11.(理)平行六面个体1111ABCD A B C D -中，11=3BAD BAA DAA π∠∠=∠=，且=3AB ，2AD =，1=1AA ，则1AC = .(文)设向量,a b r r 满足||||1,a b a b m ==⋅=r r r r ，则||()a tb t R +∈r r的最小值为 .12.(理)如图，点,M N 是等速螺线a ρθ=的图像上两点， 若6MOx π∠=，2NOx π∠=，根据图像，可得,M N 两点间的距离是 .(文)设实数,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z ax by =+(0,0)a b >>的最大值为2，则23a b +的值为 . 13.(理)如左下图，正方体1111ABCD A B C D -中，面11ABB A 上的点P 到异面直线AB 、11A D的距离相等，且PA PB =，则AC 与AP 所成角的余弦值．．．是 。

数学复习卷140(理)班级 姓名 学号 内容：第三轮复习 高考模拟卷V 满分150分 时间 120分钟一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．１．i 为虚数单位，复数11i -的虚部是＿＿＿＿． 2．设函数2log , 0,()4, 0,x x x f x x >⎧=⎨⎩≤ 若函数()()g x f x k =-存在两个零点，则实数k 的取值范围是＿＿．3 4.56点点7其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，-1代表“生活不能自理”.按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位.则被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率是_____（用分数作答）.8．已知数列{n a }的通项公式为131n n a -=+，则01n C a +12n C a +23n a C ++nn n C a 1+的最简表达式为_____.9 ．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是_________________.10．祖暅原理对平面图形也成立，即夹在两条平行线间的两个平面图形被任意一条平行于这两条直线的直线截得的线段总相等，则这两个平面图形面积相等.利用这个结论解答问题：函数()2xf x =、()21xg x =-与直线0,1x x ==所围成的图形的面积为_______.11．对于任意正整数，定义“n 的双阶乘n!!”如下：对于n 是偶数时，n!!=n〃(n－2)〃(n－4)……6×4×2；对于n 是奇数时，n!!=n〃(n－2)〃(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2013!!)〃(2014!!)=2014!；②2014!!=21007〃1007!；③2014!!的个位数是0；④2015!!的个位数不是5．正确的命题是________．开始 结束输入n 输出n i =0n 是奇数n =3n +1i<3i =i +12n n =是否12．已知关于t 的一元二次方程),(0)(2)2(2R y x i y x xy t i t ∈=-++++.当方程有实根时，则t 的取值范围______.13．已知P 是ABC !内部一点，230PA PB PC ++=，记PBC !、PAC !、PAB !的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123::S S S =________.14. 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,n A A A A 与()B n ：123,,,,n B B B B ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =-，则称()A n 与()B n 互为正交点列. 则(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列(3)B 为二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．15．已知集合*{|5|23|}A x x N =--∈，则集合A 的非空真子集数为 （ ） （A ）14 （B ） 512 （C ）511 （D ）51016．已知函数*()21,f x x x =+∈N .若存在*0,x n ∈N ，使00()(1)f x f x ++++0()63f x n +=成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有 （ ）（Ａ） 1个 （Ｂ）2个 （Ｃ）3个 （Ｄ）4个17. 如图，梯形ABCD 中，AD BC ,1AD AB ==,AD AB ⊥,45BCD ∠= ,将ABD ∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，使二面角A BD C '--为直二面角.给出下面四个命题：①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为2； ③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是( )（A ）①② （B ）③④ （C ）①③ （D ）②④18．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（ ）（Ｂ）3 （Ｃ）125（Ｄ）1三、解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 19．（本题12分）圆形广场的有南北两个大门在中轴线上，东、西各有一栋建筑物与北门的距离分别为30米和40米，且以北门为顶点（视大门和建筑物为点）的角为060，求广场的直径（保留两位小数）.BA DCB A20．（本题14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 设底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为O . （1）求球O 的体积和表面积；（2）与底面距离为1的平面和球的截面圆为M ，AB 是圆M内的一条弦，其长为求AB 两点间的球面距离. 21．（本题14分）本题共有3小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.如图，设椭圆()222210y x a b a b+=>>两顶点(,0),(,0)A b B b -，短轴长为4，焦距为2，过点(4,0)P 的直线l 与椭圆交于,C D 两点．设直线AC 与直线BD 交于点1Q .（1）求椭圆的方程；（2）求线段,C D 中点Q 的轨迹方程； （3）求证：点1Q 的横坐标为定值.22．（本题16分）本题共有3小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ,且12a =，n S 是n a 的前n 和. （1）求2345678,,,,,,a a a a a a a ；（2）求n a ；（3）求n S .23．（本题18分）本题共有3小题，第1小题满分4 分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()(1|1|)f x a x =--，a 为常数，且1a >. （1）证明函数()f x 的图象关于直线1x =对称； （2）当2a =时，讨论方程(())f f x m =解的个数；（3）若0x 满足00(())f f x x =，但00()f x x ≠，则称0x 为函数()f x 的二阶周期点，则()f x 是否有两个二阶周期点，说明理由.参考答案与评分标准（理科）1、12；2、(0,1] ；3、2；4、5；5、12k πθπ=+或5()12k k Z πθπ=+∈；6、(1)(01)y x x x =-≤≤；7、3/5；8、24n n+；9、直线；10、1；11、①②③；12、[4,0]-；13、1：2：3；14、123(0,2),(2,5),(5,2)B B B DBBA 19．设南、北门分别为点A 、B ，东、西建筑物分别为点C 、D.在BCD !中，2220304023040cos601300CD =+-⋅⋅⋅=，CD = 5分由于AB 为BCD!的外接圆直径，所以sin 603CD AB ===41.63≈. 所以广场直径约为41.63米. 12分20． （1）3432233V π=⋅π⋅=球，…… 3分24216S =π⋅=π表面积 …… 6分（2）23AOB π∠=， …… 12分 所以AB 两点间的球面距离为43π. …… 14分21．（1）椭圆方程为22154y x +=. …… 3分 （2）设11(,)C x y ，22(,)D x y ，(,)Q x y ，则2211154y x +=①，2222154y x +=② ①-②得 21212121()()5()()4y y y y x x x x -⋅+=--⋅+， …… 5分 因21212121,4y y y y y y x x x x x x-+==--+， 所以544y y x x ⋅=--，即2252040x x y -+= （01x ≤≤）. ……8分 用代入法求解酌情给分。

绝密★启用前2023年上海市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共4小题，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知P={1,2}，Q={2,3}，若M={x|x∈P,x∉Q}，则M=( )A. {1}B. {2}C. {3}D. {1,2,3}2.根据所示的散点图，下列说法正确的是( )A. 身高越大，体重越大B. 身高越大，体重越小C. 身高和体重成正相关D. 身高和体重成负相关3.已知a∈R，记y=sinx在[a,2a]的最小值为s a，在[2a,3a]的最小值为t a，则下列情况不可能的是( )A. s a>0，t a>0B. s a<0，t a<0C. s a>0，t a<0D. s a<0，t a>04.已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q使得|MP|⋅|MQ|=1，则称曲线Γ是“自相关曲线”.现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则( )A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立第II卷（非选择题）二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.不等式|x −2|<1的解集为______ ．6.已知向量a ⃗=(−2,3)，b ⃗⃗=(1,2)，则a ⃗⋅b⃗⃗= ______ ． 7.已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n 项和为S n ，则S 6= ______ ．8.已知tanα=3，则tan2α= ______ ．9.已知函数f(x)={1,x ≤0,2x ,x >0，则函数f(x)的值域为______ ． 10.已知复数z =1−i(i 为虚数单位)，则|1+iz|= ______ ．11.已知圆x 2+y 2−4x −m =0的面积为π，则m = ______ ．12.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边a =4，b =5，c =6，则sinA = ______ ．13.现有某地一年四个季度的GDP(亿元)，第一季度GDP 为232(亿元)，第四季度GDP 为241(亿元)，四个季度的GDP 逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP 为______ ．14.已知(1+2023x)100+(2023−x)100=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 99x 99+a 100x 100，若存在k ∈{0,1,2,⋯,100}使得a k <0，则k 的最大值为______ ．15.某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ.行人每沿着斜坡向上走1m 消耗的体力为(1.025−cosθ)，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ= ______ ．16.空间中有三个点A 、B 、C ，且AB =BC =CA =1，在空间中任取2个不同的点，使得它们与A 、B 、C 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______ 种.三、解答题：本题共5小题，共78分。

沪教版高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，每题5分，共60分）1. 已知集合A = {xx^2-3x + 2 = 0}，B={1, 2, 3}，则A∩ B=_{1, 2}。

2. 复数z = 3 + 4i（i为虚数单位）的模| z|=_5。

3. 在(1 + x)^5的展开式中，x^2的系数为_10。

4. 函数y=log_2(x - 1)的定义域是_(1,+∞)。

5. 已知向量→a=(1,2)，→b=( - 1,k)，若→a⊥→b，则k=_(1)/(2)。

6. 若sinα=(3)/(5)，α∈<=ft(0,(π)/(2))，则cosα=_(4)/(5)。

7. 双曲线frac{x^2}{9}-frac{y^2}{16}=1的渐近线方程为_y = ±(4)/(9)x。

8. 若函数y = f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)=2^x，则f(-(5)/(2))=_-2。

9. 在ABC中，a = 3，b = 5，sin A=(1)/(3)，则sin B=_(5)/(9)。

10. 若圆柱的底面半径为1，高为3，则圆柱的侧面积为_6π。

11. 若直线l过点(1,0)且与直线2x - y - 1 = 0平行，则直线l的方程为_2x - y - 2 = 0。

12. 已知x,y满足约束条件x≥slant0 y≥slant0 x + y≤slant1，则z = x + 2y的最大值为_2。

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a∈ R，则“a>1”是“a^2>1”的（）A. 充分非必要条件。

B. 必要非充分条件。

C. 充要条件。

D. 既非充分也非必要条件。

答案：A。

14. 函数y = sin(2x+(π)/(3))的图象可由函数y=sin2x的图象（）A. 向左平移(π)/(3)个单位得到。

B. 向右平移(π)/(3)个单位得到。

C. 向左平移(π)/(6)个单位得到。

数学复习卷115班级 学号 容：第二轮复习 高一~高三全部教材容一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）1.已知向量)1,1(),,2(-==→→b m a ，若向量→a 与b 垂直，则m 等于 .2.已知3(,2),cot 2,2παπαα∈=-则sin = . 3.不等式1111x x+-1≤的解集为 .4.已知球的表面积为20π2cm ，则该球的体积为 3cm . ._______5.函数)(x f y =的反函数为)0(1)1(log 2>++=x x y ，则=)(x f .6.圆的极坐标方程为θθρsin cos 2-=，则该圆的半径为 .7.二项式5⎪⎭⎫ ⎝⎛+x m x 的展开式中3x 的系数为10，则实数m 等于 .8.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222b c a bc +=-，4AC AB ⋅=-且，则ABC ∆的面积等于 .9.在半径为r 的圆作接正六边形，再作正六边形的切圆，又在此切圆作接正六边形，如此无限继续下去，设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n n S →∞= .10.已知关于x 的实系数一元二次方程01||2=+-x z x )(C z ∈有实数根，则|1|i z +-的最小值为 .11.对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：①若)(x f 是奇函数，则)1(-x f 的图象关于点A （1，0）对称 ②若函数)1(-x f 的图象关于直线1=x 对称，则)(x f 为偶函数 ③若对R x ∈，有则),()1(x f x f -=-2是)(x f 的一个周期为 ④函数)1()1(x f y x f y -=-=与的图象关于直线1=x 对称. 其中正确的命题是 .（写出所有正确命题的序号） 12.从集合{}2,1,1-=A 中随机选取一个数记为k ，从集合{}2,1,2-=B 中随机选取一个数记为b ，则直线b kx y +=不经过第三象限的概率为 . 13.设定义域为R 的函数⎩⎨⎧≤-->=,0,20|,lg |)(2x x x x x x f 若关于x 的函数1)(3)(22+-=x f x f y 的零点的个数为 .14.如上图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且3,2,1PA PB PC ===.设M 是底面ABC 一点,定义()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积.若1()(,,)2f M x y =,且18ax y+≥恒成立,则正实数a 的最小值为 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分)15.设R x ∈，则“1|1|>-x ”是“3>x ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16.如图给出的是计算11113519S =++++的一个程序框图，其中判断框应填入的条件是( )A ．10>iB ．10<iC ．9i >D ．9i < 17.已知向量(2,0)OB =,2||=→CA ，(2,2)OC =,则OA与OB 夹角的最小值和最大值依次是( ) A.4,0πB.125,4ππ C.125,12ππ D.2,125ππ 18、已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆)1(122>=+m y mx 和双曲线)0(122>=-n y n x ，P 是它们的一个交点，则ΔF 1PF 2的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随n m ,变化而变化三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19.小明购买一种叫做“买必赢”的彩票，每注售价10元，中奖的概率为2％，如果每注奖的奖金为300元，那么小明购买一注彩票的期望收益是多少元？20.如图，已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 为矩形，AB AD AB PA 2,2===，PA ⊥平面ABCD ， E ，F 分别是BC ，PC 的中点. (1)求异面直线PB 与AC 所成的角的余弦值； (2)求三棱锥EFD A -的体积.P A DCBEF21.已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足111+-=n n n a a b ，n T 为数列{}n b 的前n 项和． (1)求1a 、d 和n T ；(2)若对任意的n *N ∈，不等式8(1)nn T n λ<+⋅-恒成立，数λ的取值围；22.定义：对函数)(x f y =，对给定的正整数k ，若在其定义域存在实数0x ，使得)()()(00k f x f k x f +=+，则称函数)(x f 为“k 性质函数”。

高考复习试卷习题资料之上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）不等式＜0的解为．2．（4分）在等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=．3．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=．4．（4分）已知，，则y=．5．（4分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是．6．（4分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．7．（4分）设常数 a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则 a=．8．（4分）方程的实数解为．9．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=．10．（4分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．11．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）12．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．13．（4分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为．14．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值是（）A．B．C．1+D．1﹣16．（5分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）17．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件18．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则Mn=（）A．0 B．C．2 D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（12分）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω=1，判断函数的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上的零点个数的所有可能．22．（16分）已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{an}满足an+1=f（an），n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．23．（18分）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）不等式＜0的解为0＜x＜．【分析】根据两数相除商为负，得到x与2x﹣1异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．【解答】解：原不等式化为或，解得：0＜x＜，故答案为：0＜x＜【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本试题．2．（4分）在等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=15．【分析】根据给出的数列是等差数列，由等差数列的性质可得a1+a4=a2+a3，结合已知条件可求a2+a3．【解答】解：因为数列{an}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，由a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30，则a2+a3=15．故答案为：15．【点评】本题考查了等差中项概念，在等差数列中，若m，n，p，q，t∈N*，且m+n=p+q=2t，则am+an=ap+aq=2at，此题是基础题．3．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=﹣2．【分析】根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值．【解答】解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查复数的基本概念，得到m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题．4．（4分）已知，，则y=1．【分析】利用二阶行列式的运算法则，由写出的式子化简后列出方程，直接求解y即可．【解答】解：由已知，，所以x﹣2=0，x﹣y=1所以x=2，y=1．故答案为：1．【点评】本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题．5．（4分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：∵a2+ab+b2﹣c2=0，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC===﹣，∵C为三角形的内角，∴C=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（4分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为78．【分析】设该年级男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据“平均成绩×人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数．【解答】解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知：75x+80y=（x+y）×a，且=40%．所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为78．故答案为：78．【点评】本题主要考查了平均数．解答此题的关键：设该班男生有x人，女生有y人，根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题．7．（4分）设常数a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．【解答】解：的展开式的通项为Tr+1=C5rx10﹣2r（）r=C5rx10﹣3rar令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴aC51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．8．（4分）方程的实数解为log34．【分析】用换元法，可将方程转化为一个二次方程，然后利用一元二次方程根，即可得到实数x的取值．【解答】解：令t=3x（t＞0）则原方程可化为：（t﹣1）2=9（t＞0）∴t﹣1=3，t=4，即x=log34可满足条件即方程的实数解为 log34．故答案为：log34．【点评】本题考查的知识点是根的存在性，利用换元法将方程转化为一个一元二次方程是解答本题的关键，但在换元过程中，要注意对中间元取值范围的判断．9．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=﹣．【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（x﹣y）的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos（x﹣y）的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=cos（x﹣y）=，∴cos（2x﹣2y）=cos2（x﹣y）=2cos2（x﹣y）﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（4分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．【分析】过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD为．在直角三角形ODA中，直接由得到答案．【解答】解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．在直角三角形ODA中，因为，所以．则．故答案为【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题．11．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）【分析】从7个球中任取2个球共有=21种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有=15种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案．【解答】解：从7个球中任取2个球共有=21种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率计算公式，属基础题，其计算公式为：P（A）=，其中n（A）为事件A所包含的基本事件数，m为基本事件总数．12．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．13．（4分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为[，+∞）．【分析】由题设数a＞0，若9x+对一切正实数x成立可转化为（9x+）min≥a+1，利用基本不等式判断出9x+≥6a，由此可得到关于a的不等式，解之即可得到所求的范围【解答】解：常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+）min≥a+1，又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立故必有6a≥a+1，解得a≥故答案为[，+∞）【点评】本题考查函数的最值及利用基本不等式求最值，本题是基本不等式应用的一个很典型的例子14．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是﹣5．【分析】如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．再分类讨论当i，j，k，l取不同的值时，利用向量的坐标运算计算的值，从而得出的最小值．【解答】解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．如图建立坐标系．（1）当i=1，j=2，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；（2）当i=1，j=2，k=1，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；（3）当i=1，j=2，k=2，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；（4）当i=1，j=3，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（0，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；同样地，当i，j，k，l取其它值时，=﹣5，﹣4，或﹣3．则的最小值是﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值是（）A．B．C．1+D．1﹣【分析】根据反函数的性质，求f﹣1（2）的问题可以变为解方程2=x2﹣1（x≥0）．【解答】解：由题意令2=x2﹣1（x≥0），解得x=所以f﹣1（2）=．故选：A．【点评】本题考查反函数的定义，解题的关键是把求函数值的问题变为解反函数的方程问题．16．（5分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．17．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若p⇒q为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论．故“好货”是“不便宜”的充分条件．故选：A．【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．18．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则Mn=（）A．0 B．C．2 D．2【分析】先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．【解答】解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：（θ为参数），∴x+y=2cosθ+sinθ，∴（x+y）max==．∴Mn==2．故选：D．【点评】本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（12分）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．【分析】根据题意画出图形，结合正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，由此入手，能够求出此三棱锥的体积及表面积．【解答】解：∵O﹣ABC是正三棱锥，其底面三角形ABC是边长为2的正三角形，其面积为，∴该三棱锥的体积==；设O′是正三角形ABC的中心，则OO′⊥平面ABC，延长AO′交BC于D．则AD=，O′D=，又OO′=1，∴三棱锥的斜高OD=，∴三棱锥的侧面积为×=2，∴该三棱锥的表面积为．【点评】本题考查三棱锥的体积、表面积的求法，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题．20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【分析】（1）由题意可得生产a千克该产品所用的时间是小时，由于每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，即可得到生产a千克该产品所获得的利润；（2）利用（1）的结论可得生产1千克所获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）生产a千克该产品所用的时间是小时，∵每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，∴获得的利润为100（5x+1﹣）×元．因此生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元．（2）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．设f（x）=，1≤x≤10．则f（x）=，当且仅当x=6取得最大值．故获得最大利润为=457500元．因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元．【点评】正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键．21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω=1，判断函数的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上的零点个数的所有可能．【分析】（1）特值法：ω=1时，写出f（x）、F（x），求出F（）、F（﹣），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；（2）根据图象平移变换求出g（x），令g（x）=0可得g（x）可能的零点，而[a，a+10π]恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值；【解答】解：（1）f（x）=2sinx，F（x）=f（x）+f（x+）=2sinx+2sin（x+）=2（sinx+cosx），F（）=2，F（﹣）=0，F（﹣）≠F（），F（﹣）≠﹣F（），所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）f（x）=2sin2x，将y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+）+1．令g（x）=0，得x=kπ+或x=kπ+（k∈z），因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．综上，y=g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断，考查数形结合思想，结合图象分析是解决（2）问的关键23．（18分）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．【解答】（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．22．（16分）已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{an}满足an+1=f（an），n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．【分析】（1）由题意代入式子计算即可；（2）把a2，a3表示为a1的式子，通过对a1的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据a1，a2，a3成等比数列可得关于a1的方程，解出即可；（3）假设这样的等差数列存在，则a1，a2，a3成等差数列，即2a2=a1+a3，亦即2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|（*），分情况①当a1＞2时②当0＜a1≤2时③当a1≤0时讨论，由（*）式可求得a1进行判断；③当a1≤0时，由公差d＞2可得矛盾；【解答】解：（1）由题意，代入计算得a2=2，a3=0，a4=2；（2）a2=2﹣|a1|=2﹣a1，a3=2﹣|a2|=2﹣|2﹣a1|，①当0＜a1≤2时，a3=2﹣（2﹣a1）=a1，所以，得a1=1；②当a1＞2时，a3=2﹣（a1﹣2）=4﹣a1，所以，得（舍去）或．综合①②得a1=1或．（3）假设这样的等差数列存在，那么a2=2﹣|a1|，a3=2﹣|2﹣|a1||，由2a2=a1+a3得2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|（*），以下分情况讨论：①当a1＞2时，由（*）得a1=0，与a1＞2矛盾；②当0＜a1≤2时，由（*）得a1=1，从而an=1（n=1，2，…），所以{an}是一个等差数列；③当a1≤0时，则公差d=a2﹣a1=（a1+2）﹣a1=2＞0，因此存在m≥2使得am=a1+2（m﹣1）＞2，此时d=am+1﹣am=2﹣|am|﹣am＜0，矛盾．综合①②③可知，当且仅当a1=1时，a1，a2，…，an，…成等差数列．【点评】本题考查数列的函数特性、等差关系等比关系的确定，考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力、分析解决问题的能力，综合性强，难度较大．高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 【重点知识梳理】 1．函数的概念 (1)函数的定义：一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作y ＝f(x)，x ∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么称对应f ：A→B 为集合A 到集合B 的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．【高频考点突破】 考点一、函数的基本概念 例1、有以下判断：(1)f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≥0，－1，x<0表示同一函数；(2)函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f(x)＝x2－2x ＋1与g(t)＝t2－2t ＋1是同一函数；(4)若f(x)＝|x －1|－|x|，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0.其中正确判断的序号是________．【特别提醒】两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x 表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x －1，g(t)＝2t －1，h(m)＝2m －1均表示同一函数．【变式探究】试判断以下各组函数是否表示同一函数． (1)y ＝1，y ＝x0；(2)y ＝x －2·x ＋2，y ＝x2－4； (3)y ＝x ，y ＝3t3； (4)y ＝|x|，y ＝(x)2. 考点二、求函数的解析式例2、(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x2＋1x2，求f(x)的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，求f(x)． 【方法技巧】函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得f(x)的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))； (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f(x)与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)(如A 级T6)．【变式探究】(1)已知f(x ＋1)＝x ＋2x ，求f(x)的解析式；(2)设y ＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x ＋2，求f(x)的解析式． 考点三、分段函数例3、设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈－∞，1，x2，x ∈[1，＋∞，若f(x)>4，则x 的取值范围是______．【方法技巧】求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．【变式探究】已知f(x)的图象如图，则f (x)的解析式为________．考点四 函数的定义域 例4、(1)函数y ＝ln x ＋1－x2－3x ＋4的定义域为______________．(2)若函数y ＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx －1的定义域是()A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)【拓展提高】(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．(2)已知f(x)的定义域是[a ，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b 的x 的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域是[a ，b]，指的是x ∈[a ，b]．【变式探究】(1)若函数f(x)＝x －4mx2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________．(2)已知f(x)的定义域是[0,4]，则f(x ＋1)＋f(x －1)的定义域是__________． 【真题感悟】1.【高考湖北，文6】函数256()4||lg 3x x f x x x -+=-+-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4] D ．(1,3)(3,6]-3.【高考重庆，文3】函数22(x)log (x 2x 3)f 的定义域是（）(A) [3,1] (B) (3,1)(C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞3.【高考四川，文8】某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系kx b y e +=( 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)21小时1．（·安徽卷）若函数f(x)(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝。

2023年上海市高考数学试卷一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)1.(4分)不等式|x -2|<1的解集为．【答案】(1，3)．【解析】由|x -2|<1可得，-1<x -2<1，解得1<x <3，即不等式的解集为(1，3)．故答案为：(1，3)．2.(4分)已知向量a =(-2，3)，b =(1，2)，则a •b =．【答案】4．【解析】∵向量a =(-2，3)，b =(1，2)，∴a •b=-2×1+3×2=4．故答案为：4．3.(4分)已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n 项和为S n ，则S 6=．【答案】189．【解析】∵等比数列的首项为3，公比为2，∴S 6=3×(1-26)1-2=189．故答案为：189．4.(4分)已知tan α=3，则tan2α=．【答案】-34．【解析】∵tan α=3，∴tan2α=2tan α1-tan 2α=2×31-32=-34．故答案为：-34．5.(4分)已知函数f (x )=1，x ≤0，2x ，x >0，则函数f (x )的值域为．【答案】[1，+∞)．【解析】当x ≤0时，f (x )=1，当x >0时，f (x )=2x >1，所以函数f (x )的值域为[1，+∞)．故答案为：[1，+∞)．6.(4分)已知复数z =1-i (i 为虚数单位)，则|1+iz |=．【答案】5．【解析】∵z =1-i ，∴|1+iz |=|1+i (1-i )|=|2+i |=5．故答案为：5．7.(5分)已知圆x 2+y 2-4x -m =0的面积为π，则m =．【答案】-3．【解析】圆x 2+y 2-4x -m =0化为标准方程为：(x -2)2+y 2=4+m ，∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，∴4+m=1，∴m=-3．故答案为：-3．8.(5分)已知△ABC中，角A，B，C所对的边a=4，b=5，c=6，则sin A=．【答案】7 4．【解析】a=4，b=5，c=6，由余弦定理得，cos A=b2+c2-a22bc=25+36-162×5×6=34，又∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A=1-cos2A=1-34 2=74．故答案为：7 4．9.(5分)现有某地一年四个季度的GDP(亿元)，第一季度GDP为232(亿元)，第四季度GDP为241(亿元)，四个季度的GDP逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP为．【答案】946(亿元)．【解析】设第二季度GDP为x亿元，第三季度GDP为y亿元，则232<x<y<241，∵中位数与平均数相同，∴x+y2=232+x+y+2414，∴x+y=473，∴该地一年的GDP为232+x+y+241=946(亿元)．故答案为：946(亿元)．10.(5分)已知(1+2023x)100+(2023-x)100=a0+a1x+a2x2+⋯+a99x99+a100x100，若存在k∈{0，1，2，⋯，100}使得a k<0，则k的最大值为．【答案】49．【解析】二项式(1+2023x)100的通项为T r+1=C r100(2023x)r=C r100•2023r•x r，r∈{0，1，2，⋯，100}，二项式(2023-x)100的通项为T r+1=C r1002023100-r(-x)r=C r100•2023100-r•(-1)r•x r，r∈{0，1，2，⋯，100}，∴a k=C k100⋅2023k+C k100⋅2023100-k⋅(-1)k=C k100[2023k+2023100-k•(-1)k]，k∈{0，1，2，⋯，100}，若a k<0，则k为奇数，此时a k=C k100(2023k-2023100-k)，∴2023k-2023100-k<0，∴k<100-k，∴k<50，又∵k为奇数，∴k的最大值为49．故答案为：49．11.(5分)某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为(1.025-cosθ)，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ=．【答案】arccos 40 41．【解析】斜坡的长度为l=4sinθ，上坡所消耗的总体力y=4sinθ×(1.025-cosθ)=4.1-4cosθsinθ，函数的导数y′=4sinθ⋅sinθ-(4.1-4cosθ)cosθsin2θ=4-4.1cosθsin2θ，由y′=0，得4-4.1cosθ=0，得cosθ=4041，θ=arccos4041，由f′(x)>0时cosθ<4041，即arccos4041<θ<π2时，函数单调递增，由f′(x)<0时cosθ>4041，即0<θ<arccos4041时，函数单调递减，即θ=arccos 4041，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小．故答案为：θ=arccos 40 41．12.(5分)空间中有三个点A、B、C，且AB=BC=CA=1，在空间中任取2个不同的点D，E(不考虑这两个点的顺序)，使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有种．【答案】9．【解析】如图所示，设任取2个不同的点为D、E，当△ABC为正四棱锥的侧面时，如图，平面ABC的两侧分别可以做ABDE作为圆锥的底面，有2种情况，同理以BCED、ACED为底面各有2种情况，所以共有6种情况；当△ABC为正四棱锥的截面时，如图，D、E位于AB两侧，ADBE为圆锥的底面，只有一种情况，同理以BDCE、ADCE为底面各有1种情况，所以共有3种情况；综上，共有6+3=9种情况．故答案为：9．二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.(4分)已知P={1，2}，Q={2，3}，若M={x|x∈P，x∉Q}，则M=()A.{1}B.{2}C.{3}D.{1，2，3}【答案】A【解析】∵P={1，2}，Q={2，3}，M={x|x∈P，x∉Q}，∴M={1}．故选：A．14.(4分)根据所示的散点图，下列说法正确的是()A.身高越大，体重越大B.身高越大，体重越小C.身高和体重成正相关D.身高和体重成负相关【答案】C【解析】根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关．故选：C ．15.(5分)已知a ∈R ，记y =sin x 在[a ，2a ]的最小值为s a ，在[2a ，3a ]的最小值为t a ，则下列情况不可能的是()A.s a >0，t a >0B.s a <0，t a <0C.s a >0，t a <0D.s a <0，t a >0【答案】D【解析】由给定区间可知，a >0．区间[a ，2a ]与区间[2a ，3a ]相邻，且区间长度相同．取a =π6，则[a ，2a ]=π6，π3 ，区间[2a ，3a ]=π3，π2 ，可知s a >0，t a >0，故A 可能；取a =5π12，则[a ，2a ]=5π12，5π6 ，区间[2a ，3a ]=5π6，5π4 ，可知s a >0，t a <0，故C 可能；取a =7π6，则[a ，2a ]=7π6，7π3，区间[2a ，3a ]=7π3，7π2 ，可知s a <0，t a <0，故B 可能．结合选项可得，不可能的是s a <0，t a >0．故选：D ．16.(5分)已知P ，Q 是曲线Γ上两点，若存在M 点，使得曲线Γ上任意一点P 都存在Q 使得|MP |•|MQ |=1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则()A.①成立，②成立B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立【答案】B【解析】∵椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M 点，使得|MP |•|MQ |=1成立，故①正确，在双曲线中，|PM |max →+∞，而|QM |min 是个固定值，则无法对任意的P ∈C ，都存在Q ∈C ，使得|PM ||QM |=1，故②错误．故选：B ．三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.(14分)已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB =2，AD =3，CD =4．(1)证明：直线A 1B ∥平面DCC 1D 1；(2)若该四棱柱的体积为36，求二面角A 1-BD -A 的大小．【答案】(1)证明见解答；(2)arctan2133．【解析】(1)证明：根据题意可知AB ∥DC ，AA 1∥DD 1，且AB ∩AA 1=A ，∴可得平面A 1ABB 1∥平面DCC 1D 1，又直线A 1B ⊂平面A 1ABB 1，∴直线A 1B ∥平面DCC 1D 1；(2)设AA 1=h ，则根据题意可得该四棱柱的体积为12×(2+4)×3×h =36，∴h =4，∵A 1A ⊥底面ABCD ，在底面ABCD 内过A 作AE ⊥BD ，垂足点为E ，则A 1E 在底面ABCD 内的射影为AE ，∴根据三垂线定理可得BD ⊥A 1E ，故∠A 1EA 即为所求，在Rt △ABD 中，AB =2，AD =3，∴BD =4+9=13，∴AE =AB ×AD BD =2×313=613，又A 1A =h =4，∴tan ∠A 1EA =A 1A AE=4613=2133，∴二面角A 1-BD -A 的大小为arctan 2133．18.(14分)已知a ，c ∈R ，函数f (x )=x 2+(3a +1)x +cx +a．(1)若a =0，求函数的定义域，并判断是否存在c 使得f (x )是奇函数，说明理由；(2)若函数过点(1，3)，且函数f (x )与x 轴负半轴有两个不同交点，求此时c 的值和a 的取值范围．【答案】(1)a =0时，f (x )的定义域为{x |x ≠0}，不存在c 使得f (x )是奇函数．(2)13，12 ∪12，+∞ ．【解析】(1)若a =0，则f (x )=x 2+x +c x =x +cx+1，要使函数有意义，则x ≠0，即f (x )的定义域为{x |x ≠0}，∵y =x +cx是奇函数，y =1是偶函数，∴函数f (x )=x +cx+1为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c ，使得f (x )是奇函数．(2)若函数过点(1，3)，则f (1)=1+3a +1+c 1+a =3a +2+c1+a=3，得3a +2+c =3+3a ，得c =3-2=1，此时f (x )=x 2+(3a +1)x +1x +a，若数f (x )与x 轴负半轴有两个不同交点，即f (x )=x 2+(3a +1)x +1x +a=0，得x 2+(3a +1)x +1=0，当x <0时，有两个不同的交点，设g (x )=x 2+(3a +1)x +1，则Δ=(3a +1)2-4>0x 1x 2=1>0x 1+x 2=-(3a +1)<0-3a +12<0 ，得3a +1>2或3a +1<-23a +1>0 ，得a >13或a <-1a >-13 ，即a >13，若x +a =0即x =-a 是方程x 2+(3a +1)x +1=0的根，则a 2-(3a +1)a +1=0，即2a 2+a -1=0，得a =12或a =-1，则实数a 的取值范围是a >13且a ≠12且a ≠-1，即13，12 ∪12，+∞ ．19.(14分)2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观蓝色外观棕色内饰128米色内饰23(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A 为小明取到红色外观的模型，事件B 为小明取到棕色内饰的模型，求P (B )和P (B |A )，并判断事件A 和事件B 是否独立；(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；请你分析奖项对应的结果，设X 为奖金额，写出X 的分布列并求出X 的数学期望．【答案】(1)P (A )=1425，P (B )=45．P (B |A )=67．事件A 和事件B 不独立．(2)EX =277(元)．【解析】(1)若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率P (A )=12+225=1425，若小明取到棕色内饰，分红色外观12，蓝色外观8，则对应的概率P (B )=12+825=2025=45．取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即P (AB )=1225，则P (B |A )=P (AB )P (A )=12251425=1214=67．∵P (A )P (B )=1425×45=56125≠1225，∴P (A )P (B )≠P (AB )，即事件A 和事件B 不独立．(2)由题意知X =600，300，150，则外观和内饰均为同色的概率P =C 212+C 28+C 23+C 22C 225=66+28+3+1300=98300=49150，外观和内饰都异色的概率P =C 12′C 13+C 12C 18C 225=52300，仅外观或仅内饰同色的概率P =1-49150-52300=150300，∵150300>49150>52300，∴P (X =150)=150300，P (X =300)=98300=49150，P (X =600)=52300，则X 的分布列为：X 150300600P1503004915052300则EX =150×150300+300×49150+600×52300=277(元)．20.(18分)已知抛物线Γ：y 2=4x ，在Γ上有一点A 位于第一象限，设A 的纵坐标为a (a >0)．(1)若A 到抛物线Γ准线的距离为3，求a 的值；(2)当a =4时，若x 轴上存在一点B ，使AB 的中点在抛物线Γ上，求O 到直线AB 的距离；(3)直线l ：x =-3，抛物线上有一异于点A 的动点P ，P 在直线l 上的投影为点H ，直线AP 与直线l 的交点为Q ．若在P 的位置变化过程中，|HQ |>4恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)a =22；(2)41313；(3)(0，2]．【解析】(1)抛物线Γ：y 2=4x 的准线为x =-1，由于A 到抛物线Γ准线的距离为3，则点A 的横坐标为2，则a 2=4×2=8(a >0)，解得a =22；(2)当a =4时，点A 的横坐标为424=4，则A (4，4)，设B (b ，0)，则AB 的中点为b +42，2 ，由题意可得22=4×b +42，解得b =-2，所以B (-2，0)，则k AB =4-04+2=23，由点斜式可得，直线AB 的方程为y =23(x +2)，即2x -3y +4=0，所以原点O 到直线AB 的距离为422+32=41313；(3)如图，设P t 24，t ，A a 24，a ，H (-3，t )(t ≠a >0)，则k AP =t -a t 24-a24=4t +a ，故直线AP 的方程为y -a =4t +a x -a 24，令x =-3，可得y =a -a 24+3 ⋅4t +a ，即Q -3，a -a 24+3 ⋅4t +a，则|HQ |=t -a +a 24+3 ⋅4t +a ，依题意，t -a +a 24+3 ⋅4t +a>4恒成立，又t +a +a 24+3 ⋅4t +a -2a ≥4a 24+3-2a >0，则最小值为4a 24+3-2a >4，即2a 24+3>2+a ，即a 2+12>2+a ，则a 2+12>a 2+4a +4，解得0<a <2，又当a =2时，t +2+16t +2-4≥2(t +2)⋅16t +2-4=4，当且仅当t =2时等号成立，而a ≠t ，即当a =2时，也符合题意．故实数a 的取值范围为(0，2]．21.(18分)已知f (x )=ln x ，在该函数图像Γ上取一点a 1，过点(a 1，f (a 1))做函数f (x )的切线，该切线与y 轴的交点记作(0，a 2)，若a 2>0，则过点(a 2，f (a 2))做函数f (x )的切线，该切线与y 轴的交点记作(0，a 3)，以此类推a 3，a 4，⋯，直至a m ≤0停止，由这些项构成数列{a n }．(1)设a m (m ≥2)属于数列{a n }，证明：a m =ln a m -1-1；(2)试比较a m 与a m -1-2的大小关系；(3)若正整数k ≥3，是否存在k 使得a 1、a 2、a 3、⋯、a k 依次成等差数列？若存在，求出k 的所有取值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明过程见解答；(2)a m ≤a m -1-2；(3)k =3．【解析】(1)证明：f ′(x )=1x，则过点(a m -1，f (a m -1))的切线的斜率为1a m -1，由点斜式可得，此时切线方程为y -ln a m -1=1a m -1(x -a m -1)，即y =1a m -1x +ln a m -1-1，令x =0，可得y =ln a m -1-1，根据题意可知，a m =ln a m -1-1，即得证；(2)先证明不等式ln x ≤x -1(x >0)，设F (x )=ln x -x +1(x >0)，则F ′(x )=1x -1=1-xx，易知当0<x <1时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，当x >1时，F ′(x )<0，F (x )单调递减，则F (x )≤F (1)=0，即ln x ≤x -1(x >0)，结合(1)可知，a m =ln a m -1-1≤a m -1-1-1=a m -1-2；(3)假设存在这样的k 符合要求，由(2)可知，数列{a n }为严格的递减数列，n =1，2，3，⋯，k ，由(1)可知，公差d =a n -a n -1=ln a n -1-a n -1-1，2≤n ≤k ，先考察函数g (x )=ln x -x -1，则g ′(x )=1x -1=1-xx，易知当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，则g (x )=d 至多只有两个解，即至多存在两个a n -1，使得g (a n -1)=d ，若k ≥4，则g (a 1)=g (a 2)=g (a 3)=d ，矛盾，则k =3，当k =3时，设函数h (x )=ln (ln x -1)-2ln x +x +1，由于h (e 1.1)=ln0.1-2.2+e 1.1+1=e 1.1-ln10-1.2<0，h (e 2)=-3+e 2>0，则存在x 0∈(e 1.1，e 2)，使得h (x 0)=0，于是取a 1=x 0，a 2=ln a 1-1，a 3=ln a 2-1，它们构成等差数列．综上，k =3．。