固体物理测试卷（3）一、（6题，每题5分，共30分）简要回答下列问题：1. 解释费米面（Ferimi surface ） 【解答】绝对零度下（T=0k ）,晶体中电子在k 空间中占据态与未占据态的分界面。
在非零温度下指电子占据几率为1/2的状态所构成的面。
2. 解释布里渊区和第一布里渊区（Brillourin Zone, First Brillourin Zone ） 【解答】在倒格子空间，以一格点为原点，此格子与其余格点连线的垂直平分面所围成的区域称为布里渊区。
其中包含原点在内的最小封闭区域（WS 原胞）为第一布里渊区，与第一布里渊区连通的区域（三维时面连通，二维时线连通）为第二布里渊区。
3. 试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点。
【解答】金属或导体中的价电子没有把价带（最高填充带）填满，此为导带。
绝缘体中的价电子正好把价带填满，且更高的许可带（空带）与价带间相隔较宽的禁带。
半导体和绝缘体相似，但禁带较窄。
4. 解释朗道能级（Landan level ） 【解答】在垂直与恒定磁场的平面内，电子的圆周运动对应于以一种简谐运动，其能量是量子化的：c v v ωεη)+=21((v=1,2,3...........)meB c =ω 这些量子化的能级称为朗道能级。
5. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何区别？ 【解答】长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。
长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。
任何晶体都存在声学支格波，但见到晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。
6. 为什么价电子的浓度越高，电导率越高？ 【解答】电导σ是金属导电能力的量度。
导电能力取决于单位时间内通过切面积的电子数。
但并不是所有价电子对导电都有贡献，对导电有贡献的是费米面附件的电子。
费米球越大，对导电有贡献的电子数目就越多。
费米球的大小取决于费米半径31)3(2=πn k F可见电子浓度n 越高，费米球越大，对导电有贡献的电子数目就越多，该金属的电导率就越高。
二、（15分）图B3-1表示一个由两种不同元素的原子所形成的二维层状晶体，其中正三边形的边长为a 。
请分析并找出其基元，画出其Bravais 格子、初基元胞和W-S 元胞，并写出基矢在适当直角坐标系中的表达式。
【解答】基矢：()()()yx y x e a e a e a e a a ρρρρρ232330cos 230sin 30cos 2)30(cos 00002+=+=！！！注意：从第三 .1题和第三 .2题中选做其中一个题三、1（10分）He 3原子是具有自旋1/2的费米子。
在绝对零度附件，液体He 3的密度为3081.0-⋅cm g 。
计算费米能量F ε和费米温度F T 。
He 3原子的质量为g m 24105-⨯≈。
【解答】He 3的自旋为1/2，是费米子，其质量g m 24105-⨯≈。
在密度3081.0-⋅=cm g ρ的液体He 3中，单位体积中的He 3数目为:3283221062.11062.1--⨯≈⨯≈=m cm mn ρ其费米能为：()32222322nmm k F F 2==πεηη将n , m 值带入；得到:J F 23108.6-⨯≈ε其费米温度为：()K K k T B FF 9.41038.1108.62323≈⨯⨯≈=--ε 三．2（10分）求出bcc Bravais 格子（110）晶面族的晶面上的格点数密度和面距离。
四、(15分)考虑晶格常数为a 和c 的三维简单六角晶体的第一布里渊区。
令c G ρ为平行于晶格c 轴的最短倒格矢。
（１） 证明对于六角密堆积结构，晶体势场()r V ρ的傅里叶分量()c G V ρ为零。
（２）()cG V ρ 是否也为零？（３） 为什么二价原子构成的简单六角晶格在原则上有可能是绝缘体？ （４） 为什么不可能得到由单价原子六角密堆积形成的绝缘体？ 【解答】 （1）证：由教材p61(3.2.30)和（3.2.31）两式，对于基元中原子数p>1的复式晶格，且由同种原子组成的基元，有：∑⋅-=jj h Gd G i f S h)exp(ρρρ①()fS G V G V hGh h ρρρ)(1=②hG ρ的傅里其中：()cG V ρ是复式晶格的某一倒格矢叶分量。
hGS ρ是同种原子组成的基元的几何结构因子。
h G ρ，如结构由②式可知，对于复式晶格的某一倒格矢因子为零，则周期势()r V ρ相应的傅里叶分量也为零。
0=cG S ρ因此，来计算对于六角密堆积结构：六角密堆积结构的布喇菲点阵是简单六角，相应的基1=d ，元包括两个同种原子，它们的坐标是3212213132a a a d ρρρρ++=，如图所示：将以上关系代入结构因子的表达式①中，得：[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=⋅++-=⋅-=∑∑321332*********2exp 1)(exp )exp(h h h i f d b h b h b h i f d G i f Sjjjj h G hπρρρρρρρ ③据题意，本题中 1,010*******===⇒++=h h h b b b G c ρρρρ代入③得:()[]0exp 1=-+=πi f S cG ρ故对于六角密堆积结构，晶体势场()r V ρ的傅里叶分量()c G V ρ为零。
（2）解：2,020********===⇒⋅++=h h h b b b G c ρρρρ代入（1）问③式中，得：()[]022exp 12≠=-+=f i f S cG πρ故：()cG V ρ2不为零。
（3） 对处于简单六角点阵阵点上的二价原子构成的晶体，每个单胞有两个价电子，N 个单胞有2N 个价电子，刚好可以填满第一布里渊区（一个能带），故原则上可以形成绝缘体（如果没有能带交迭）。
（4） 对于单价原子的六角密堆积结构，虽然每个单胞也有两个价电子，N 个单胞有2N 个价电子，但由于第一布里渊区一个边界面上能隙消失，和第二布里渊区连通，形成一个复合区，可以容纳4N 个电子，2N 个电子只能填充这个复合区的一半，于是，在外加电场下可以导电。
因而单价原子的六角密堆积原则上不可能形成绝缘体。
五、（15分）用紧束缚近似求出面心立方金属和体心立方金属中与s 态原子能级对应的能带的)(k ρε函数。
【解答】（1）面心立方结构晶体具有12个第一近邻，它们的格矢如下422→±±y x e a e a ρρ个，422→±±z y e a e a ρρ个，422→±±x z e a e a ρρ个 于是⎪⎭⎫ ⎝⎛±+±⎪⎭⎫ ⎝⎛±±⎪⎭⎫ ⎝⎛±±⋅++=∑x z z y y x k a k ai k a k ai k a k ai nn k i eeee222222,ρ其中：⎪⎭⎫⎝⎛=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛±±y x k a k ai k a k ai k a k ai k a k ai k a k ai k a k a eeeeey x y x y x y x y x 2cos )2cos(42222222222同理可得：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+±z y z y k a k a k a k a i 2cos 2cos 422exp⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛±±x z k a k ai k a k a ex z 2cos 2cos 422由教材（3.3.10）式及（3.3.13）式可知， S 态能带为：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x z z y y x i k a k a k a k a k a k a J J k 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 410εερ（2）体心立方结构晶体具有8个第一近邻，它们的格矢如下z y x e a e a e a ρρ222±±±仿照面心立方结构的情形有：S 态能带为：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--=z y x i k a k a k a J J k 2cos 2cos 2cos 810εερ！！！注意：从第六 .1题和第六 .2题中选做其中一个题六、1（15分）计算一维单原子链的动量()q P 。
应用周期性边界条件，证明波矢0≠q 时，()0≡q P ，即声子不携带动量。
证明：对于波矢为q,频率为ω的一维单原子链的格波：()wt qna i n Ae u -=⑴ 原子链上第n 个原子的动量为: ()t qna i n MAei u M ωω--=&⑵原子链的总动量为：()∑∑=-=-==Nn iqnati Nn n e MAei u M q p 11ωω& ⑶式中N 是原子链上的原子数。
由周期性边界条件:()ΛΛ2,1,02±±==l N l q απ式⑶化为：∑=--=Nn Nnl iti eMAei q p 12)(πωω ⑷利用公式：x x x NNn n--=∑=111式⑷化为：()Nilil ti ee MAei q p ππωω2211--=- ⑸当0≠l 时（即0≠q ）时，式⑸中的012=-ileπ，因而有()0≡q p0≠q 的模式是描写晶体中所有原子的相对运动的，由于每个原子有一定位相差，原子链的总动量为零，这表明声子0≠q 是不携带物理动量的。
六、2（15分）对于原子间距为a ，由N 个原子组成的一维单原子链，在德拜近似下（1）计算晶格振动频谱；（2）证明低温极限下，比热正比于温度T 【解答】（1）按照德拜模型，格波的色散关系，即振动频谱为cq =ω ⑴对于原子间距a 为一维单原子链色散曲线如图示：由色散曲线的对称性可以看出，ωd 区间对应两个同样大小的波矢区间dq ，aπ2区间对应N 个振动模式，单位波矢区间对应有π2aN个振动模式。
ωd 范围则包含：dq aNdq aN dz ππ==22⑵个振动模式则有N d d dzd=⎰ωωω0⑶其中ωd dz是单位频率区间包含的振动模式数目，即模式密度()ωD 。
由⑵式有ωπωd dqaN d dz =由⑴式有cd dq 1=ωa-dqa上两式联合得出()caNd dz D πωω==⑷将⑷式代入⑶，得ac N c aN D D πωωπ=⇒= （2）证明：N 个原子构成的一维单原子链，晶格振动总的热振动能为()⎰-=dB Tk ed D E ωωωωω01ηη其中()c aN d dz D πωω==叫做模式密度，acD πω= 热容量()⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=DB B DB B T k Tk B B T k Tk B B V v e d e T k c aN k e d D e T k k T E C ωωωωωωωωπωωω02202211ηηηηηη作变量代换Tk x B ωη=得()⎰Θ-=Txx B V D edxx e cTaNk C 02221ηπ其中BD D k ωη=Θ在低温极限下∞→⎪⎭⎫⎝⎛ΘT D ，V C 中的被积函数按二项式定理展开成级数 ()()∑∞=--=-=-12222211n nxx x xx ne x ee x ex e。
