上海中考数学复习4因式分解
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中考复习之因式分解
知识考点:
因式分解是代数的重要内容,它是整式乘法的逆变形,在通分、约分、解方程以及三角函数式恒等变形中有直接应用。重点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法。难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解,以提高综合解题能力。
精典例题:
【例1】分解因式:
(1)3
3xy y x -
(2)x x x 2718323+-
(3)()112---x x (4)()()3
224x y y x --- 分析:①因式分解时,无论有几项,首先考虑提取公因式。提公因式时,不仅注意数,也要注意字母,字母可能是单项式也可能是多项式,一次提尽。
②当某项完全提出后,该项应为“1”
③注意()()n n a b b a 22-=-,()()1212++--=-n n a b b a
④分解结果(1)不带中括号;(2)数字因数在前,字母因数在后;单项式在前,多项式在后;(3)相同因式写成幂的形式;(4)分解结果应在指定范围内不能再分解为止;若无指定范围,一般在有理数范围内分解。
答案:(1)()()y x y x xy -+; (2)()2
33-x x ; (3)()()21--x x ; (4)()()y x y x -+-222
【例2】分解因式:
(1)22103y xy x --
(2)32231222xy y x y x -+
(3)()222164x x -+
分析:对于二次三项齐次式,将其中一个字母看作“末知数”,另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后,由余下因式的项数为3项,可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解;如果项数为2,可考虑平方差、立方差、立方和公式。(3)题无公因式,项数为2项,可考虑平方差公式先分解开,再由项数考虑选择方法继续分解。
答案:(1)()()y x y x 52-+;(2)()()y x y x xy 232-+;(3)()()2
222+-x x 【例3】分解因式:
(1)2
2244z y xy x -+-;
(2)b a b a a 2322-+-
(3)322222--++-y x y xy x
分析:对于四项或四项以上的多项式的因式分解,一般采用分组分解法,。四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组,五项式一般采用“三、二”分组,分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。 答案:(1)()()z y x z y x --+-22(三、一分组后再用平方差)
(2)()()()112-+-a a b a (三、二分组后再提取公因式)
(3)()()13--+-y x y x (三、二、一分组后再用十字相乘法)
【例4】在实数范围内分解因式:
(1)44-x ;
(2)1322-+x x
答案:(1)()()()
2222-++x x x (2)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--417341732x x 【例5】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边,且满足ac bc ab c b a ++=++222,求证:△ABC 为等边三角形。
分析:此题给出的是三边之间的关系,而要证等边三角形,则须考虑证c b a ==,从已知给出的等式结构看出,应构造出三个完全平方式()()()02
22=-+-+-a c c b b a ,即可得证,将原式两边同乘以2即可。 略证:0222=---++ac bc ab c b a
022*******=---++ac bc ab c b a
()()()02
22=-+-+-a c c b b a ∴c b a ==
即△ABC 为等边三角形。
探索与创新:
【问题一】
(1)计算:⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-22221011911311211 分析:此题先分解因式后约分,则余下首尾两数。
解:原式=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
-10111011911911311311211211
=
10
111099108943322321⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯ =2011 (2)计算:22222221219981999200020012002-+⋅⋅⋅-+-+-
分析:分解后,便有规可循,再求1到2002的和。
解:原式=()()()()()()121219992000199920002001200220012002-+⋅⋅⋅+-++-+
=2002+2001+1999+1998+…+3+1
=()2
200212002⨯+ =2 005 003
【问题二】如果二次三项式82--ax x (a 为整数)在整数范围内可以分解因式,那么a 可以取那些值? 分析:由于a 为整数,而且82--ax x 在整数范围内可以分解因式,因此可以肯定82--ax x 能用形如()pq x q p x +++2型的多项式进行分解,其关键在于将-8分解为两个数的积,且使这两个数的和等于a -,由此可以求出所有可能的a 的值。
答案:a 的值可为7、-7、2、-2
跟踪训练:
一、填空题:
1、()229=n ;()222=a ;c a b a m m ++1= 。
2、分解因式:
222y xy x -+-= ;
1872--xy x = ;
()()25102++-+y x y x = 。
3、计算:1998×2002= ,2223274627+⨯-= 。
4、若012=++a a ,那么199920002001a a a ++= 。
5、如果n 222108++为完全平方数,则n = 。
6、m 、n 满足042=-++n m ,分解因式()()n mxy y
x +-+22= 。
二、选择题:
1、把多项式b a ab -+-1因式分解的结果是( ) A 、()()11++b a B 、()()11--b a C 、()()11-+b a D 、()()11+-b a
2、如果二次三项式12-+ax x 可分解为()()b x x +-2,则b a +的值为( )