初二一次函数压轴题复习精讲(优选.)

八上数学复习专题之压轴题（一次函数）一、二条直线的交点问题：1．如图，平面直角坐标系中，函数3y x b =-+的图象与y 轴相交于点B ，与函数43y x =-的图象相交于点A ，且OB =5． （1）求点A 的坐标；（2）求函数3y x b =-+、43y x =-的图象与x 轴所围成的三角形的面积．2．如图，已知直线l 1经过点A （0，﹣1）与点P （2，3），另一条直线l 2经过点P ，且与y 轴交于点B （0，m ）．（1）求直线l 1的解析式；（2）若△APB 的面积为3，求m 的值．3. 已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，B （0，1），OB =OC =OA ，A 、C 分别在x 轴的正负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E．（1）求∠OAB的度数及直线AB的解析式；（2）若△OCD与△BDE的面积相等，求点D的坐标．4. 如图，直线l1的解析式为443y x=+，与x轴，y轴分别交于A，B；直线l2与x轴交于点C（2，0）与y轴交于点D3(0,)2，两直线交于点P．（1）求点A，B的坐标及直线l2的解析式；（2）求证：△AOB≌△APC；（3）若将直线l2向右平移m个单位，与x轴，y轴分别交于点C'、D'，使得以点A、B、C'、D'为顶点的图形是轴对称图形，求m的值？二、与等腰三角形结合的问题1．如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿路线O →C →B 运动． （1）求直线AB 的解析式；（2）当△OPB 的面积是△OBC 的面积的14时，求出这时点P 的坐标； （3）是否存在点P ，使△OBP 是直角三角形？若存在，直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线l 1的解析式为y =﹣x ，直线l 2与l 1交于点A （a ，﹣a ），与y轴交于点B （0，b ），其中a ，b 满足2(2)0a ++=． （1）求直线l 2的解析式；（2）在平面直角坐标系中第二象限有一点P （m ，5），使得S △AOP =S △AOB ，请求出点P 的坐标； （3）已知平行于y 轴且位于y 轴左侧有一动直线，分别与l 1，l 2交于点M 、N ，且点M 在点N 的下方，点Q 为y 轴上一动点，且△MNQ 为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点Q 的坐标．3. 在平面直角坐标系中，直线l 1的函数关系式为2y x b =+，直线l 2过原点且与直线l 1交于点P （﹣1，﹣5）．（1）试问（﹣1，﹣5）可以看作是怎样的二元一次方程组的解？（2）设直线l1与直线y x=交于点A，求△APO的面积；（3）在x轴上是否存在点Q，使得△AOQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图，直线l：122y x=-+与x轴，y轴分別交于点A，B，在y轴上有一点C（0，4），动点M从点A出发以毎秒1个単位长度的速度沿x轴向左运动，设运动的时间为t秒．（1）求点A的坐标；（2）请从A，B两题中任选一题作答．A．求△COM的面积S与时间t之间的函数表达式；B．当△ABM为等腰三角形时，求t的值．5．在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x轴、y轴分别交于B、A两点，点C在x轴的正半轴，且OB=OC，点D为AC的中点．（1）求直线AC的解析式；（2）点P 从点B 出发，沿射线BD t 秒，△APD 的面积为S ，求S 与t 的函数关系，并直接写出自变量的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接AP 、CP ，当△ACP 是以PC 为腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．三、面积问题：1. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =﹣x ﹣1分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，将直线l 1向上平移3个单位长度，得直线l 2．经过点A 的直线l 3与直线l 2交于第一象限的点C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ，且AD =2CD （1）求直线l 3的解析式． （2）连接BC ，求△ABC 的面积．2. 如图，直线l 1：3y x =+分别与直线2:(0)l y kx b k =+≠、直线3111:(0)l y k x b k =+≠交于A 、B 两点，直线l 1交y 轴于点E ，直线l 2与x 轴和y 轴分别交于C 、D 两点，已知点A 的纵坐标为32，B 的横坐标为1，l 2∥l 3，OD =1，连BD ．（1）求直线l 3的解析式； （2）求△ABD 的面积．3. 当m ，n 是正实数，且满足m n mn +=时，就称点(,)mP m n为“完美点”． （1）若点E 为完美点，且横坐标为2，则点E 的纵坐标为 ；若点F 为完美点，且横坐标为3，则点F 的纵坐标为 ；（2）完美点P 在直线 （填直线解析式）上；（3）如图，已知点A （0，5）与点M 都在直线5y x =-+上，点B ，C 是“完美点”，且点B 在直线AM 上．若MC =AM = △MBC 的面积．4. 如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线y =kx +3与x 轴相交于点A （2，0），与y 轴交于点B ．（1）求k 的值及△AOB 的面积；（2）点C 在x 轴上，若△ABC 是以AB 为腰的等腰三角形，直接写出点C 的坐标；（3）点M（3，0）在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当△PBM的面积与△AOB的面积相等时，求点P的坐标．5. 图（1），在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4交坐标轴于A、B两点，过点C（﹣4，0）作CD⊥AB于D，交y轴于点E．（1）求证：△COE≌△BOA；（2）如图2，点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN．①判断△OMN的形状．并证明；②当△OCM和△OAN面积相等时，求点N的坐标．6．在直角坐标系中，点P（a，b）的“变换点”的坐标定义如下：当a≥b时，点P1的坐标为（a，﹣b）；当a＜b时，点P1的坐标为（b，﹣a）．（1）直接写出点A（5，6）、B（3，2）、C（4，4）的变换点A1、B1、C1的坐标；（2）P（a，b）为直线y=﹣2x+6上的任一点，当a＜b时，点P（a，b）的变换点在一条直线M上，求点M的函数解析式并写出自变量的取值范围；（3）直线y =﹣2x +6上所有点的变换点组成一个新的图形L ，直线y =kx +1与图形L 有两个公共点，求k 的取值范围．答案：一、 两直线交点问题：1. 解：（1）由OB =5可得B （0，﹣5），把（0，﹣5）代入3y x b =-+，可得b =﹣5， ∴函数关系式为y =﹣3x ﹣5，求两直线的交点坐标得：点A 的坐标为（﹣3，4）； （2）设直线AB 与y 轴交于点C ，则点C 的坐标为5(,0)3-，CO =53，所围成的三角形即为△ACO ，过A 作AE ⊥x 轴于E ，由A （﹣3，4）可得AE =4，∴S △ACO =103． 2. 解：（1）设直线l 1的表达式为y =kx +b ，2,1k b ==-∴直线l 1的函数关系式为：y =2x ﹣1． （2）过P 作PH ⊥y 轴于H ，则PH =2，∵S △APB =3，∴AB =3，∵A （0，﹣1），∴B （0，2）或（0，﹣4），∴m =2或﹣4．3. 解：（1）∵OB =OC =OA ，∠AOB =90°，∴∠OAB =45°；∵B （0，1），∴A （1，0）， 设直线AB 的解析式为y =kx +b ． ∴直线AB 的解析式为y =﹣x +1；（2）∵S △COD =S △BDE ，1,1k b =-=∴S △COD +S 四边形AODE =S △BDE +S 四边形AODE ，即S △ACE =S △AOB ， ∵点E 在线段AB 上，∴点E 在第一象限，且y E ＞0，点E 的纵坐标是12∴直线AB 的解析式得：=﹣x +1，设直线CE 的解析式是：y =mx +n ，∵C （﹣1，0），11(,)22E 代入得：解得：11,33m n ==， ∴直线CE 的解析式为1133y x =+，∴D 的坐标为1(0,)3．5. （1）解：当0x =时，4y =，∴点B 的坐标为（0，4）； 当y =0时， 解得：x =﹣3，∴点A 的坐标为（﹣3，0）． 设直线l 2的解析式为y kx b =+，将C （2，0）、D （0，）代入y kx b =+，得：33,42k b =-= ∴直线l 2的解析式为3342y x =-+． （2）证明：连接两直线解析式成方程组，解得点P 的坐标为612(,)55-． ∵A （﹣3，0），C （2，0），B （0，4）， ∴AO =3，AC =5，AB =5，AP =3， ∴AO =AP ，AB =AC ．在△AOB 和△APC 中，,,AO AP BAO CAP AB AC =∠=∠=， ∴△AOB ≌△APC （S A S ）． （3）解：连接BC ′，如图所示．∵平移后直线C ′D ′的解析式为333442y x m =-++， ∴点C ′的坐标为（m +2，0），点D ′的坐标为33(0,)42m +．∵以点A 、B 、C '、D '为顶点的图形是轴对称图形，∴△ABC′≌△D′BC′，∴AB=D′B，AC′=D′C′．∵A（﹣3，0），B（0，4），∴D′B=3542m-，AC′=m+5，D′C′=5(2)4m+，∴3554255(2)4mm m⎧-=⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩解得：m=10．∴当以点A、B、C'、D'为顶点的图形是轴对称图形时，m的值为10．二、与等腰三角形结合问题1. 解：（1）∵点A的坐标为（0，6），∴设直线AB的解析式为y=kx+6，∵点C（2，4）在直线AB上，∴2k+6=4，∴k=﹣1，∴直线AB的解析式为y=﹣x+6；（2）由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x+6，令y=0，∴﹣x+6=0，∴x=6，∴B（6，0），∴S△OBC=12，∵△OPB的面积是△OBC的面积的14，∴S△OPB=3，设P的纵坐标为m，∴S△OPB=3m=3，∴m=1，∵C（2，4），∴直线OC的解析式为y=2x，当点P在OC上时，12x=，∴1(,1)2P，当点P在BC上时，x=6﹣1=5，∴P（5，1），即：点1(,1)2P或（5，1）；（3）∵△OBP是直角三角形，∴∠OPB=90°，当点P在OC上时，由（2）知，直线OC的解析式为y=2x①，∴直线BP的解析式的比例系数为12 -，∵B（6，0），∴直线BP的解析式为132y x=-+②，联立①②，可求得612 (,) 55 P，当点P在BC上时，由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x+6③，∴直线OP的解析式为y=x④，联立③④解得，可求得P（3，3），即：点P的坐标为612(,)55P或（3，3）．2. 解：（1）由条件得a+2=0，b﹣3=0，∴a=﹣2，b=3，∴点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（0，3）．设直线l2的解析式为y=kx+c（k≠0），将A（﹣2，2）、B（0，3）代入y=kx+c，得：1,32k c==∴直线l2的解析式为132y x=+．（2）∵S△AOP=S△AOB，∴点P到AO的距离与点B到AO的距离相等，且点P位于l1两侧．①当点P在l1的右侧时，设点P为P1，则P1B∥l1，∴直线P1B的解析式为：y=﹣x+3，当y=5时，有﹣x+3=5，解得：x=﹣2，∴点P1的坐标为（﹣2，5）；②当点P在l1的左侧时，设点P为P2，点P2的坐标为（﹣8，5）．综上所述：点P的坐标为（﹣2，5）或（﹣8，5）．（3）设动直线为x=t，由题可得﹣2＜t＜0，则点M的坐标为（t，﹣t），点N的坐标为1(,3)2t t+，∴332MN t=+．①当∠NMQ=90°时，有MN=MQ，65t=-，∴点M的坐标为66(,)55-．∵MQ∥x轴，∴点Q的坐标为6 (0,)5；②当∠MNQ=90°时，有MN=NQ，即t+3=﹣t，t=﹣，∴点Q的坐标为12 (0,)5；③当∠MQN=90°时，点Q的坐标为12 (0,)7．综上所述：点Q的坐标为6(0,)5或12(0,)5或12(0,)7．3. 解：（1）∵点P（﹣1，﹣5）在直线l1上，∴﹣2+b=﹣5，∴b=﹣3∴直线l1的解析式为y=2x﹣3，设直线l2的解析式为y=kx，则有﹣k=﹣5，∴k=5，∴直线l2的解析式为y=5x，∴（﹣1，﹣5）可以看成二元一次方程组235y xy x=-⎧⎨=⎩的解．（2）A（3，3），∵点P（﹣1，5）在直线y=2x﹣3上，直线P A交y轴于C（0，﹣3），∴S△AOP=S△POC+S△AOC=6．（3）∵A（3，3），∴OA=①当OA=OQ时，可得Q1（﹣0），Q2（，0）；②当QA =QO 时，Q 3（3，0）；② 当AO =AQ 时，Q 4（6，0），综上所述，满足条件的点Q 坐标为（﹣0）或（3，0）或（，0）或（6，0）．4. 解：（1）对于直线AB ：122y x =-+，当x =0时，y =2；当y =0时，x =4，则A 、B 两点的坐标分别为A （4，0）、B （0，2）；（2）A 、∵C （0，4），A （4，0）∴OC =OA =4，当0≤t≤4时，OM =OA ﹣AM =4﹣t ，S △OCM =×4×（4﹣t ）=8﹣2t ；当t ＞4时，OM =AM ﹣OA =t ﹣4，S △OCM =×4×（t ﹣4）=2t ﹣8；B 、△ABM 是等腰三角形，有三种情形：①当BM =AM 时，设BM =AM =x ，则OM =4﹣x ，在Rt △OBM 中，∵OB 2+OM 2=BM 2，∴2222(4)x x +-=，∴ 2.5x =，∴AM =2.5，∴t=2.5时，△ABM 是等腰三角形．③ 当AM ′=AB =t =△ABM 是等腰三角形．③当BM ″=BA 时，∵OB ⊥AM ″，∴OM ″=OA =4，∴AM ″=8，∴t=8时，△ABM 是等腰三角形．综上所述，满足条件的t 的值为52或8s ．5. 解：（1）令y =x +6中x =0，则y =6，∴A （0，6）；令y =x +6中y =0，则x =﹣6，∴B （﹣6，0）．∵点C 在x 轴的正半轴，且OB =OC ，∴C （6，0）．设直线AC 的解析式为y =kx +b ，将A （0，6）、C （6，0）代入y =kx +b 中，得1,6k b =-=∴直线AC 的解析式为6y x =-+；（2）∵点D 为AC 的中点，∴点D 的坐标为（3，3），设BD 的直线解析式为：y =mx +n ，把B （﹣6，0），D （3，3）代入解析式可得：1,23m n ==， 所以直线BD 的解析式为：123y x =+①， ∴G （0，2），∵A （0，6），∴AG =4．∵直线AC 的解析式为6y x =-+②，联立①②解得，x =3，y =3，∴D （3，3），设BP 时，P 点坐标为（﹣6+3t ，t ），当点P 在线段BD 上时，△APD 的面积S=12AG ×（x D ﹣x P ）=18﹣6t （0＜t ＜3）； 当点P 在BD 的延长线上时， △APD 的面积S=12×4×（﹣6+3t ﹣3）=6t ﹣18（t ＞3） （3）要使△APC 是等腰三角形，且以PC 为腰，如备用图1，有两种情况：①AP =PC ，∴点P 是线段AC 的垂直平分线上，∵点D 是AC 的中点，∴点P 和点D 重合，不符合题意，②AC =PC =，可得：222(63t 6)t +-++=， 可得：126,65t t ==， 所以点P 的坐标为126(,)55-，（12，6）．三、面积问题1. 解：（1）由直线l 1：y =﹣x ﹣1可知：A （﹣1，0），B （0，﹣1），将直线l 1向上平移3个单位长度，得直线l 2：y =﹣x +2，设C （m ，n ），∵AD =2CD ，∴1+m =2n ，∵点C 在直线l 2：y =﹣x +2上，∴n =﹣m +2，∴C （1，1），设直线l 3的解析式为y =kx +b ，把A （﹣1，0）和C （1，1）代入得12k b ==， ∴直线l 3的解析式为1122y x =+． （2）令x =0，则y =12，S △ABC =12． 2. 解：（1）在y =x +3中，令32y =，则32x =-，∴33(,)22A -， ∵OD =1，∴D （0，﹣1），把点A ，D 的坐标代入l 2：y =kx +b ，可得5,13k b =-=-∴25:13l y x =--， 在y =x +3中，令x =1，则y =4，∴B （1，4），∵l 2∥l 3，∴153k =-，∴直线l 3的解析式为51733y x =-+； （2）在y =x +3中，令x =0，则y =3，∴E （0，3），∴DE =3+1=4，∴S △ABD =DE （|x A |+|x B |）=5．3.解：（1）把m =2代入m +n =mn 得：2+n =2n ，解得：n =2，即1m n =， 所以E 的纵坐标为1；把m =3代入m +n =mn 得：3+n =3n ，解得32n =，即2m n=，所以F 的纵坐标为2； （2）设直线AB 的解析式为y =kx +b ， 从图象可知：与x 轴的交点坐标为（1，0）A （0，5），得：k =﹣1，b =5，即直线AB 的解析式是y =﹣x +5，设直线BC 的解析式为y =ax +c ，从图象可知：与y 轴的交点坐标为（0，﹣1），与x 轴的交点坐标为（1，0），得：a =1，c =﹣1， 即直线BC 的解析式是y =x ﹣1，∵P (,)m m n，m +n =mn 且m ，n 是正实数， ∴除以n 得：1m m n +=∴P （m ，m ﹣1）即“完美点”P 在直线y =x ﹣1上；故答案为：y =x ﹣1；（3）∵直线AB 的解析式为：y =﹣x +5，直线BC 的解析式为y =x ﹣1，∴B （3，2），∵一、三象限的角平分线y =x 垂直于二、四象限的角平分线y =﹣x ，而直线y =x ﹣1与直线y =x 平行，直线y =﹣x +5与直线y =﹣x 平行，∴直线AM 与直线y =x ﹣1垂直，∵点B 是直线y =x ﹣1与直线AM 的交点，∴垂足是点B ，∵点C 是“完美点”，∴点C 在直线y =x ﹣1上，∴△MBC 是直角三角形，∵B （3，2），A （0，5），∴AB =AM =MB =∴BC =1，∴S △MBC =12BC ×BM ．4. 解：（1）将点A（2，0）代入直线y=kx+3，得0=2k+3，解得32k=-，∴332y x=-+．当x=0时，y=3．∴B（0，3），OB=3．∴A（2，0），OA=2，∴S△AOB=12OA•OB=3．（2）如图2，①当AB=BC时，点C与点A（2，0）关于y轴对称，故C（﹣2，0）符合题意；②当AB=AC时，由A（2，0），B（0，3）得到AB AC=AC C′，0）、C″2，0）．综上所述，符合条件的点C的坐标是（﹣2，0，02，0）；（3）∵M（3，0），∴OM=3，∴AM=3﹣2=1．由（1）知，S△AOB=3，∴S△PBM=S△AOB=3；①当点P在x轴下方时，S△PBM=S△PBM+S△APM=3，∴|y P|=3，∵点P在x轴下方，∴y P=﹣3．当y=﹣3时，代入332y x=-+得x=4．∴P（4，﹣3）；②当点P在x轴上方时，S△PBM=S△PBM﹣S△APM=3，∴|y P|=9，∵点P在x轴上方，∴y P=3．当y=9时，代入y=﹣x+3得，9=﹣x+3，解得x=﹣4．∴P（﹣4，9）．5. 解：（1）把x=0代入443y x=-+，解得：y=4，∴OB=4，把y=0代入443y x=-+，解得：x=3，∴OA=3，∵C（﹣4，0），∴OC=4，∴OB=OC，∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵∠ACD+∠OEC=90°，∴∠CAD=∠OEC，∴△COE≌△BOA（AA S）；（2）①∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠COM+∠AON=90°，∵∠AON+∠BON=90°，∴∠COM=∠BON，∵△COE≌△BOA，∴∠OCM=∠OBN，∴△COM≌△BON（A S A），∴OM=ON，∠COM=∠BON，∵∠COM+∠MOE=90°，∴∠BON+∠MOE=90°，即∠MON=90°，∴△MON是等腰直角三角形；②∵△COM≌△BON，△OCM与△OAN面积相等，∴△BON与△OAN面积相等，即△OAN面积是△AOB面积的一半，得y N=2，解得：x=1.5，∴点N的坐标为（1.5，2）6. 解：（1）A（5，6）的变换点坐标是（6，﹣5），B（3，2）的变换点坐标是（3，﹣2），C（4，4）的变换点坐标是（4，﹣4）；（2）当a=b时，a=b=2，∵（2，2）的变换点为（2，﹣2），∵当a＜b时，点P（a，b）的变换点坐标为（b，﹣a），∴x＜2，∵（0，6）的变换点为（6，0），∴点P（a，b）的变换点经过（2，﹣2）和（6，0），设点M的函数解析式为y=kx+m，1,32k b==-∴13(2)2y x x=-<．（3）由题意，新的图形L的函数解析式为13(2)226(2)x xyx x⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩新图形L的拐点坐标为（2，﹣2），画出图形如图所示．当y=kx+1过点（2，﹣2）时，有﹣2=2k+1，解得：32k=-；当y=kx+1与y=2x﹣6平行时，k=2；当y=kx+1与132y x=-平行时，12k=．结合图形可知：直线y=kx+1与图形L有且只有两个公共点时，322k-<<且12k≠．。

一次函数综合压轴题型一次函数综合压轴题型一次函数作为高中数学中必须掌握的基础知识之一，往往是各种数学题型的基础。

特别是在高考中，往往会出现一些综合性的题目，需要考生在一次函数的基础上，综合运用知识点来解答问题。

本文将介绍一道典型的一次函数综合压轴题型，并详细阐述解题思路，帮助读者更好地掌握一次函数的知识点。

【题目】已知函数$f(x)=kx+b$，其中$k>0$，$b>0$。

已知直线$y=kx$与曲线$y=f(x)$在点$P(3,5)$处相切，且直线$y=b$与曲线$y=f(x)$在点$Q$处相交。

若点$Q$到$x$轴的距离为$8$，求$k$和$b$的值。

【解题思路】1. 求函数$f(x)$在点$P(3,5)$处的导数，即为直线$y=kx$的斜率。

由相切条件可知，曲线在点$P(3,5)$处的切线与直线$y=kx$重合，因此二者的斜率相等。

函数$f(x)$在点$P(3,5)$处的导数可以表示为：$$f'(3)=k$$2. 利用函数$f(x)$在点$Q$处的函数值求解$b$的值。

函数$f(x)$在点$Q$处的函数值为直线$y=b$的纵坐标，因此可以利用函数$f(x)$与直线$y=b$的交点求解。

设$x_{Q}$为点$Q$的横坐标，则有：$$\begin{cases}f(x_{Q})=b\\kx_{Q}+b=b\end{cases}$$化简得到$x_{Q}=-\dfrac{b}{k}$，代入已知条件$Q$到$x$轴的距离为$8$中，可得：$$\left|-\dfrac{b}{k}\right|=8$$注意到题目中给定$k>0$，$b>0$，因此有$b=-8k$。

3. 利用函数$f(x)$在点$P$处的函数值求解$k$的值。

函数$f(x)$在点$P$处的函数值为$5$，因此可以利用函数$f(x)$和直线$y=b$的交点坐标求解。

设交点坐标为$(x_{1},-8k)$，则有：$$\begin{cases}f(x_{1})=-8k\\kx_{1}-8k=-8k\end{cases}$$化简得到$k=\dfrac{5}{3}$。

八级下册一次函数压轴题解析修订版IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】八年级下册----一次函数压轴题一．选择题（共17小题）1．（2013?平塘县二模）如图，是一个下底小而上口大的圆台形容器，将水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入，设注水时间为t，容器内对应的水高度为h，则h与t的函数图象只可能是（）A．B．C．D．2．（2014?河南）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1cm，BC=2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动，最终回到点A，设点P的运动时间为x（s），线段AP的长度为y（cm），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．3．（2013秋?宁波期末）如图所示．直线y=x+2与y轴相交于点A，OB1=OA，以OB1为底边作等腰三角形A1OB1，顶点A1在直线y=x+2上，△A1OB1记作第一个等腰三角形；然后过B1作平行于OA1的直线B1A2与直线y=x+2相交于点A2，再以B1A2为腰作等腰三角形A2B1B2，记作第二个等腰三角形；同样过B2作平行于OA1的直线B2A3与直钱y=x+2相交于点A3，再以B2A3为腰作等腰三角形A3B2B3，记作第三个等腰三角形；依此类推，则等腰三角形A10B9B10的面积为（）A．3?48B．3?49C．3?410D．3?4114．（2014春?海曙区校级期中）如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴交于A，B两点．点P 是线段OB上的一动点（能与点O，B重合），若能在斜边AB上找到一点C，使∠OCP=90°．设点P的坐标为（m，0），则m的取值范围是（）A．3≤m≤4B．2≤m≤4C．0≤m≤D．0≤m≤35．（2013?北京）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP 的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．6．（2013?大城县校级模拟）如图，M是边长为4的正方形AD边的中点，动点P自A点起，由A?B?C?D匀速运动，直线MP扫过正方形所形成面积为y，点P运动的路程为x，则表示y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．7．（2013?河北模拟）如图，直线l是菱形ABCD和矩形EFGH的对称轴，C点在EF边上，若菱形ABCD沿直线l从左向右匀速运动，运动到C在GH边上为止，在整个运动的过程中，菱形与矩形重叠部分的面积（S）与运动的路程（x）之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．8．（2012?温岭市校级三模）如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（）A．y=﹣2x+1B．y=﹣x+2C．y=﹣3x﹣2D．y=﹣x+29．（2011?延庆县一模）如图：已知P是线段AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；点C、D在线段AB上且AC=BD，当点P从点C运动到点D时，设点G到直线AB的距离为y，则能表示y与P点移动的时间x之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．10．（2011?浙江二模）某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资w （吨）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（）A．4.5小时B．4.75小时C．5小时D．5小时11．（2011?房山区一模）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．12．（2011?黑龙江模拟）已知四条直线y=kx﹣3，y=﹣1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，则k的值为（）A．1或2B．1或﹣2C．﹣1或2D．﹣1或﹣213．（2011?东城区一模）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分别是AB、AD的中点．动点R从点B出发，沿B→C→D→F方向运动至点F处停止．设点R运动的路程为x，△EFR的面积为y，当y取到最大值时，点R应运动到（）A．B C的中点处B．C点处C．C D的中点处D．D点处14．（2011?江西模拟）某人匀速上坡一段时间后，由于有急事，又以更快的速度匀速地沿原路返回；这一情境中，速度V与时间t的关系，用图象可大致表示为（）A．B．C．D．15．（2011?江干区模拟）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：相交于点P（﹣1，0）．直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，Bn，An，…则当动点C到达An处时，运动的总路径的长为（）A．n2B．2n﹣1C．2n﹣1+1D．2n+1﹣216．（2010?东阳市）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）A．B．C．D．17．（2010?新城区校级模拟）甲、乙两人分别从相距25千米的A、B两地同时相向而行．甲步行，每小时行5千米，乙骑自行车，每小时行15千米，乙到达A地后立即原路返回，追上甲为止，他们所行时间x（小时），与离A地的距离y（千米）的函数图象大致是（）A．B．C．D．二．选择题（共5小题）18．（2007?随州）在四边形ABCD中，AB边的长为4，设动点P沿折线B?C?D?A由点B向点A运动，设点P运动的距离为x，△PAB的面积为y，y与x的函数图象如图所示．给出下列四个结论：①四边形ABCD的周长为14；②四边形ABCD是等腰梯形；③四边形ABCD是矩形；④当△PAB面积为4时，点P移动的距离是2．你认为其中正确的结论是．（只填所有正确结论的序号例如①）19．（2007?衢州）一个水池有2个速度相同的进水口，1个出水口，单开一个进水口每小时可进水10立方米，单开一个出水口每小时可出水20立方米．某天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图所示（至少打开一个进水口）．给出以下三个论断：（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水，（3）4点到6点不进水也不出水．则错误的论断是．（填序号）20．（2007?开封）已知函数y=，则x的取值范围是；若x 是整数，则此函数的最小值是．21．（2008?昌平区二模）当光线射到x轴的点C后进行反射，如果反射的路径经过点A （0，1）和点B（3，4），如图，则入射线所在直线的解析式为．22．（2009?萧山区模拟）当k取不同整数时，经过第一、二、四象限的所有直线y=（2k ﹣1）x+k+2与坐标轴在第一象限围成一个多边形，这个多边形的面积等于．三．解答题（共8小题）23．（2015?建邺区二模）小林家、小华家与图书馆依次在一条直线上．小林、小华两人同时各自从家沿直线匀速步行到图书馆借阅图书，已知小林到达图书馆花了20分钟．设两人出发x（分钟）后，小林离小华家的距离为y（米），y与x的函数关系如图所示．（1）小林的速度为米/分钟，a= ，小林家离图书馆的距离为米；（2）已知小华的步行速度是40米/分钟，设小华步行时与家的距离为y1（米），请在图中画出y1（米）与x（分钟）的函数图象；（3）小华出发几分钟后两人在途中相遇？24．（2015?峄城区校级模拟）甲船从A港出发顺流匀速驶向B港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B港．乙船从B港出发逆流匀速驶向A港．已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同．甲、乙两船到A港的距离y1、y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．（1）写出乙船在逆流中行驶的速度；（2）求甲船在逆流中行驶的路程；（3）求甲船到A港的距离y1与行驶时间x之间的函数关系式；（4）求救生圈落入水中时，甲船到A港的距离．25．（2015?大连模拟）一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲、乙两车同时从B地出发，匀速驶往C地．乙车直接驶往C地，甲车先到A地取一物件后立即调转方向追赶乙车（甲车取物件的时间忽略不计）．已知两车间距离y（km）与甲车行驶时间x（h）的关系图象如图1所示．（1）求两车的速度分别是多少？（2）填空：A、C两地的距离是：，图中的t=（3）在图2中，画出两车离B地距离y（km）与各自行驶时间x（h）的关系图象，并求两车与B地距离相等时行驶的时间．26．（2015春?晋安区期末）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA．模型应用：（1）已知直线l1：y=x+4与y轴交与A点，将直线l1绕着A点顺时针旋转45°至l2，如图2，求l2的函数解析式．（2）如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P 是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限，且是直线y=2x﹣6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出点D的坐标．27．（2014?天津）在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ 时，试用含t的式子表示m．28．（2014?江阴市二模）如图，A、B两点分别在x轴和y轴上，且OA=OB=，动点P、Q 分别在AB、OB上运动，运动时，始终保持∠OPQ=45°不变，设PA=x，OQ=y．（1）求y与x的函数关系式．（2）已知点M在坐标平面内，是否存在以P、Q、O、M为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．（3）已知点D在AB上，且AD=，试探究：当点P从点A出发第一次运动到点D时，点Q 运动的路径长为多少？29．（2013?绥化）为了迎接“十?一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：甲乙运动鞋价格进价（元/双）m m﹣20售价（元/双）240160已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？30．（2013?常州）某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含0.6千克A种果汁，含0.3千克B种果汁；每千克乙种饮料含0.2千克A种果汁，含0.4千克B种果汁．饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共650千克，设该厂生产甲种饮料x（千克）．（1）列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；（2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是每1千克4元，那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？八年级下册----一次函数压轴题参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．（2013?平塘县二模）如图，是一个下底小而上口大的圆台形容器，将水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入，设注水时间为t，容器内对应的水高度为h，则h与t的函数图象只可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：计算题；压轴题．分析：本题需先根据容器下底小而上口大的特点得出容器内对应的水高度h随时间t的增加而增加，但增加的速度越来越慢即可得出正确答案．解答：解：∵容器下底小而上口大，∴将水以恒速注入，则容器内对应的水高度h随时间t的增加而增加，但增加的速度越来越慢∴h与t的函数图象只可能是D故选D点评：本题主要考查了函数的图象问题，在解题时要结合题意找出正确的函数图象是本题的关键．2．（2014?河南）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1cm，BC=2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动，最终回到点A，设点P的运动时间为x（s），线段AP的长度为y（cm），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题．分析：这是分段函数：①点P在AC边上时，y=x，它的图象是一次函数图象的一部分；②点P在边BC上时，利用勾股定理求得y与x的函数关系式，根据关系式选择图象；③点P在边AB上时，利用线段间的和差关系求得y与x的函数关系式，由关系式选择图象．解答：解：①当点P在AC边上，即0≤x≤1时，y=x，它的图象是一次函数图象的一部分；②点P在边BC上，即1＜x≤3时，根据勾股定理得 AP=，即y=，则其函数图象是y随x的增大而增大，且不是一次函数．故B、C 、D错误；③点P 在边AB上，即3＜x≤3+时，y=+3﹣x=﹣x+3+，其函数图象是直线的一部分．综上所述，A选项符合题意．故选：A．点评：本题考查了动点问题的函数图象．此题涉及到了函数y=的图象问题，在初中阶段没有学到该函数图象，所以只要采取排除法进行解题．3．（2013秋?宁波期末）如图所示．直线y=x+2与y轴相交于点A，OB1=OA，以OB1为底边作等腰三角形A1OB1，顶点A1在直线y=x+2上，△A1OB1记作第一个等腰三角形；然后过B1作平行于OA1的直线B1A2与直线y=x+2相交于点A2，再以B1A2为腰作等腰三角形A2B1B2，记作第二个等腰三角形；同样过B2作平行于OA1的直线B2A3与直钱y=x+2相交于点A3，再以B2A3为腰作等腰三角形A3B2B3，记作第三个等腰三角形；依此类推，则等腰三角形A10B9B10的面积为（）A．3?48B．3?49C．3?410D．3?411考点：一次函数综合题．专压轴题；规律型．题：分析：令x=0求解得到点A的坐标，然后求出OA的长，过点A1作A1C1⊥x轴于C1，根据等腰三角形三线合一的性质求出OC1，再根据直线解析式求出A1C1，然后判断出△A2B1B2∽△A1OB1，过点A2作A2C2⊥x轴于C2，根据相似三角形的性质用B1C2表示出A2C2，再根据A2在直线上列式求解得到第二个等腰三角形的底边与高，同理求出第三个等腰三角形的底边与高，然后根据规律判断出△A10B9B10的底边与高，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：令x=0，则y=2，∴点A的坐标为（0，2），∴OA=2，∴OB1=OA=2，过点A1作A1C1⊥x轴于C1，则OC1=OB1=×2=1，∵A1在直线y=x+2上，∴A1C1=x+2=1+2=3，∴A1C1=3OC1，由题意得，△A2B1B2∽△A1OB1，过点A2作A2C2⊥x轴于C2，则A2C2=3B1C2，设B1C2=a，则A2C2=3a，∵A2在直线y=x+2上，∴A2C2=x+2=（2+a）+2=3a，解得a=2，∴B1B2=2×2=4，同理可得B2B3=8=23，A2C3=12=3×22，…，△A10B9B10的底边B9B10=210，高为3×29，∴△A10B9B10的面积=×210×3×29，=3?49．故选B．点本题是一次函数综合题型，主要考查了等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，求出等腰三角形底边上的高等于底边一半的3倍是解题的关键，也是本题评：的难点．4．（2014春?海曙区校级期中）如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴交于A，B两点．点P 是线段OB上的一动点（能与点O，B重合），若能在斜边AB上找到一点C，使∠OCP=90°．设点P的坐标为（m，0），则m的取值范围是（）A ．3≤m≤4B．2≤m≤4C．0≤m≤D．0≤m≤3考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：令y=0求出点B的坐标，过点C作CD⊥x轴于D，设点C的坐标横坐标为a，则OD=a，PD=m﹣a，求出△OCD和△CPD相似，利用相似三角形对应边成比例列式表示出m，然后求出m的最小值，再根据点P在线段OB上判断出OC⊥AB时，点P 、B重合，m最大，然后写出m的取值范围即可．解答：解：令y=0，则﹣x+3=0，解得x=4，所以，点B的坐标为（4，0），过点C作CD⊥x轴于D，设点C的坐标横坐标为a，则OD=a，PD=m﹣a，∵∠OCP=90°，∴△OCD∽△CPD，∴=，∴CD 2=OD?DP，∴（﹣a+3）2=a（m﹣a），整理得，m=a+﹣，所以，m≥2﹣=3，∵点P是线段OB上的一动点（能与点O，B重合），∴OC⊥AB时，点P、B重合，m最大，∴m的取值范围是3≤m≤4．故选A．点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求法，相似三角形的判定与性质，难点在于列不等式求出m的最小值．5．（2013?北京）如图，点P 是以O为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP 的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B ．C．D．动点问题的函数图象．考点：压轴题．专题：分作OC⊥AP，根据垂径定理得AC=AP=x，再根据勾股定理可计算出OC=，析：然后根据三角形面积公式得到y=x?（0≤x≤2），再根据解析式对四个图形进行判断．解解：作OC⊥AP，如图，则AC=AP=x，答：在Rt△AOC中，OA=1，OC===，所以y=OC?AP=x?（0≤x≤2），所以y与x的函数关系的图象为A选项．故选：A．排除法：很显然，并非二次函数，排除B选项；采用特殊位置法；当P点与A点重合时，此时AP=x=0，S△PAO=0；当P点与B点重合时，此时AP=x=2，S△PAO=0；当AP=x=1时，此时△APO为等边三角形，S△PAO=；排除B、C、D选项，故选：A．点评：本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．6．（2013?大城县校级模拟）如图，M是边长为4的正方形AD边的中点，动点P自A点起，由A?B?C?D匀速运动，直线MP扫过正方形所形成面积为y，点P运动的路程为x，则表示y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．考动点问题的函数图象．点：专压轴题；动点型．题：分分别求出P在AB段，BC段，CD段的函数解析式或判断函数的类型，即可判断．析：解解：点P在AB段时，函数解析式是：y=AP?AM=×2x=x，是正比例函数；答：点P在BC段时：y=2x﹣4；这段的直线的斜率大于AB段的斜率．故A，B选项错误；点P在CD段时，面积是梯形ABCM的面积加上△MCP面积，梯形ABCM的面积不变，而△MCP中CP边上的高一定，因而面积是CP长的一次函数，因而此段的面积是x的一次函数，应是线段．故C错误，正确的是D．故选D．点本题主要考查了函数的性质，注意分段讨论是解决本题的关键．评：7．（2013?河北模拟）如图，直线l是菱形ABCD和矩形EFGH的对称轴，C点在EF边上，若菱形ABCD沿直线l从左向右匀速运动，运动到C在GH边上为止，在整个运动的过程中，菱形与矩形重叠部分的面积（S）与运动的路程（x）之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题；分段函数．分析：要找出准确反映s与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中S随x变化的情况，解答：解：当0＜x＜2时，S=x2，当2≤x≤4时，S=×2×4﹣（4﹣x）×（4﹣x），=﹣x 2+4x﹣4，由分析可知，故选D．点本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰三角形，具有很强的评：综合性．8．（2012?温岭市校级三模）如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（）A．y=﹣2x+1B．y=﹣x+2C．y=﹣3x﹣2D．y=﹣x+2考点：一次函数综合题．专题：计算题；压轴题．分析：抓住两个特殊位置：当BC与x轴平行时，求出D的坐标；C与原点重合时，D在y 轴上，求出此时D的坐标，设所求直线解析式为y=kx+b，将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出所求直线解析式．解答：解：当BC与x轴平行时，过B作BE⊥x轴，过D作DF⊥x轴，交BC于点G，如图1所示，∵等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），∴AO=4，∴BC=BE=AE=EO=GF=OA=2，OF=DG=BG=CG=BC=1，DF=DG+GF=3，∴D坐标为（﹣1，3）；当C与原点O重合时，D在y轴上，此时OD=BE=2，即D（0，2），设所求直线解析式为y=kx+b（k≠0），将两点坐标代入得：，解得：．则这条直线解析式为y=﹣x+2．故选D点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，熟练运用待定系数法是解本题的关键．9．（2011?延庆县一模）如图：已知P是线段AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；点C、D在线段AB上且AC=BD，当点P从点C运动到点D时，设点G到直线AB的距离为y，则能表示y与P点移动的时间x之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题；数形结合．分析：分别延长AE，BF交于点H，则可证得四边形EPFH为平行四边形，利用平行四边形的性质：对角线相互平分，可得G为EF的中点，也是PH的中点，所以G的运动轨迹是三角形HCD的中位线，所以点G到直线AB的距离为y是一个定值，问题得解．解答：解：如图，分别延长AE，BF交于点H，∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF，∵∠B=∠EPA=60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分，∴G为HP的中点，∵EF的中点为G，∴P从点C运动到点D时，G始终为PH的中点，∴G运动的轨迹是三角形HCD的中位线MN，又∵MN∥CD，∴G到直线AB的距离为一定值，∴y与P点移动的时间x之间函数关系的大致图象是一平行于x轴的射线（x≥0）．故选D．点评：本题考查了动点问题的函数图象，利用到的是三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半．对于此类问题来说是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．10．（2011?浙江二模）某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资w （吨）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（）A．4.5小时B．4.75小时C．5小时D．5小时考点：函数的图象．专题：应用题；压轴题．分析：通过分析题意和图象可求调进物资的速度，调出物资的速度；从而可计算最后调出物资20吨所花的时间．解答：解：调进物资的速度是50÷2=25（吨/时）；当在第4小时时，库存物资应该有100吨，从图象上可知库存是20吨，所以调出速度是80÷2=40（吨/时），所以剩余的20吨完全调出需要20÷40=0.5（小时）．故这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是4+0.5=4.5（小时）．故选A．点评：主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．11．（2011?房山区一模）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题；数形结合．分析：过点P作PF⊥BC于F，若要求△PBE的面积，则需要求出BE，PF的值，利用已知条件和正方形的性质以及勾股定理可求出BE，PF的值．再利用三角形的面积公式得到y与x的关系式，此时还要考虑到自变量x的取值范围和y的取值范围．解答：解：过点P作PF⊥BC于F，∵PE=PB，∴BF=EF，∵正方形ABCD的边长是1，∴AC==，∵AP=x，∴PC=﹣x ，∴PF=FC=（﹣x）=1﹣x ，∴BF=FE=1﹣FC=x，∴S△PBE=BE?PF=x（1﹣x）=﹣x2+x，即y=﹣x2+x（0＜x＜），∴y是x的二次函数（0＜x＜），故选A．点评：本题考查了动点问题的函数图象，和正方形的性质；等于直角三角形的性质；三角形的面积公式．对于此类问题来说是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．12．（2011?黑龙江模拟）已知四条直线y=kx﹣3，y=﹣1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，则k的值为（）A．1或2B．1或﹣2C．﹣1或2D．﹣1或﹣2考一次函数的性质．点：专题：压轴题；探究型．分析：首先根据四条直线的解析式画出示意图，从而发现四边形是梯形，求得梯形的四个顶点的坐标，再进一步根据梯形的面积公式进行计算．解答：解：如图所示，根据题意，得A（1，3），B（1，﹣1），C （，﹣1），D（，3）．显然ABCD是梯形，且梯形的高是4，根据梯形的面积是12，则梯形的上下底的和是6，则有①当k＜0时，1﹣+1﹣=6，∴2﹣=6，∴=﹣4，解得k=﹣2；②当k＞0时，﹣1+﹣1=6，∴=8，解得k=1．综上所述，则k=﹣2或1．故选B．点评：此题考查了用图象法表示函数、两条直线的交点坐标和梯形的面积公式，注意此题的两种情况．13．（2011?东城区一模）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分别是AB、AD的中点．动点R从点B出发，沿B→C→D→F方向运动至点F处停止．设点R运动的路程为x，△EFR的面积为y，当y取到最大值时，点R应运动到（）A．B C的中点处B．C点处C．C D的中点处D．D点处考点：一次函数的应用．专题：几何动点问题；压轴题．分根据题意，△EFR的面积=边EF×其对应的高，当△EFR的面积最大时，边EF对应的析：高最大，从而转化为求点R运动到何处时，到线段EF的距离最大．解：根据题意，△EFR的面积=边EF×其对应的高，解答：当△EFR的面积最大时，边EF对应的高最大，从而将问题转化为求点R运动到何处时，到线段EF的距离最大．由所给图形可以看出当点R运动到C点时，点R到线段EF的距离最大．故选B．本题考查了一次函数的应用，难度不大，将问题适当的转化是解答该题的关键．点评：14．（2011?江西模拟）某人匀速上坡一段时间后，由于有急事，又以更快的速度匀速地沿原路返回；这一情境中，速度V与时间t的关系，用图象可大致表示为（）A．B．C．D．函数的图象．考点：专压轴题．题：分析：根据行驶速度是匀速，可知v在两段时间内分别不变，是一条平行于t轴的直线，可知匀速上坡后，又沿原路返回，所以路程是相等的，根据s=vt，由于返回是速度更快了，所以所用时间就短了．解答：解：∵某人匀速上坡一段时间，∴v在这段时间不变，是一条平行于t轴的直线，∵又以更快的速度匀速地沿原路返回，∴此时v增大，仍然是一条平行于t轴的直线，而且所用时间缩短，故选：A，点评：此题主要考查了实际问题与函数图象的结合，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．15．（2011?江干区模拟）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：相交于点P（﹣1，0）．直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，Bn，An，…。

一次函数综合题选讲及练习例1．如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式；（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=，求BN的长；（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．变式练习：1．已知：如图1，一次函数y=mx+5m的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=﹣x的图象交于点C，点C的横坐标为﹣3．（1）求点B的坐标；（2）若点Q为直线OC上一点，且S△QAC=3S△AOC，求点Q的坐标；（3）如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD=∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等．①在图2中，只利用圆规作图找到点P的位置；（保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．）②求点P的坐标．例2．如图1，已知一次函数y=﹣x+6分别与x、y轴交于A、B两点，过点B的直线BC 交x轴负半轴与点C，且OC=OB．（1）求直线BC的函数表达式；（2）如图2，若△ABC中，∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F，求证：∠AFC=∠ABC；（3）在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．变式练习：2．如图，直线l：y=x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO．（1）点A坐标是，BC=．（2）当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由．（3）当△PQB为等腰三角形时，求点P的坐标．课后作业：1．已知，如图直线y=2x+3与直线y=﹣2x﹣1相交于C点，并且与两坐标轴分别交于A、B两点．（1）求两直线与y轴交点A，B的坐标及交点C的坐标；（2）求△ABC的面积．2．如图①，直线y=﹣x+1分别与坐标轴交于A，B两点，在y轴的负半轴上截取OC=OB（1）求直线AC的解析式；（2）如图②，在x轴上取一点D（1，0），过D作DE⊥AB交y轴于E，求E点坐标．3．如图，直线L：y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．（1）求A、B两点的坐标；（2）当M在x轴正半轴移动并靠近0点时，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；当M在O点时，△COM的面积如何？当M在x轴负半轴上移动时，求△COM 的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；请写出每个关系式中t的取值范围；（3）当t为何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标．参考答案：例1．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）当y=0时，x=﹣5；当x=0时，y=5m，得出A（﹣5，0），B（0，5m），由OA=OB，解得：m=1，即可得出直线L的解析式；（2）由勾股定理得出OM的长，由AAS证明△AMO≌△ONB，得出BN=OM，即可求出BN的长；（3）作EK⊥y轴于K点，由AAS证得△ABO≌△BEK，得出对应边相等OA=BK，EK=OB，得出EK=BF，再由AAS证明△PBF≌△PKE，得出PK=PB，即可得出结果．【解答】解：（1）∵对于直线L：y=mx+5m，当y=0时，x=﹣5，当x=0时，y=5m，∴A（﹣5，0），B（0，5m），∵OA=OB，∴5m=5，解得：m=1，∴直线L的解析式为：y=x+5；（2）∵OA=5，AM=，∴由勾股定理得：OM==，∵∠AOM+∠AOB+∠BON=180°，∠AOB=90°，∴∠AOM+∠BON=90°，∵∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BON=∠OAM，在△AMO和△OBN中，，∴△AMO≌△ONB（AAS）∴BN=OM=；（3）PB的长是定值，定值为；理由如下：作EK⊥y轴于K点，如图所示：∵点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，∴AB=BE，∠ABE=90°，BO=BF，∠OBF=90°，∴∠ABO+∠EBK=90°，∵∠ABO+∠OAB=90°，∴∠EBK=∠OAB，在△ABO和△BEK中，，∴△ABO≌△BEK（AAS），∴OA=BK，EK=OB，∴EK=BF，在△PBF和△PKE中，，∴△PBF≌△PKE（AAS），∴PK=PB，∴PB=BK=OA=×5=．【点评】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结果．变式练习：1．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）把点C的横坐标代入正比例函数解析式，求得点C的纵坐标，然后把点C的坐标代入一次函数解析式即可求得m的值，则易求点B的坐标；（2）由S△QAC=3S△AOC得到点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的3倍或点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍；（3）①如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与x轴的交点即为P；②如图3，作P1F⊥CD于F，P1E⊥OC于E，作P2H⊥CD于H，P2G⊥OC于G．利用△CAO∽△DAC，求出AD的长，进而求出D点坐标，再用待定系数法求出CD解析式，利用点到直线的距离公式求出公式，=，解出a的值即可．【解答】解：（1）把x=﹣3代入y=﹣x得到：y=2．则C（﹣3，2）．将其代入y=mx+5m，得：2=﹣3m+5m，解得m=1．则该直线方程为：y=x+5．令x=0，则y=5，即B（0，5）；（2）由（1）知，C（﹣3，2）．如图1，设Q（a，﹣a）．∵S△QAC=3S△AOC，∴S△QAO=4S△AOC，或S△QAO=2S△AOC，①当S△QAO=4S△AOC时，OA•y Q=4×OA•y C，∴y Q=4y C，即|﹣a|=4×2=8，解得a=﹣12（正值舍去），∴Q（﹣12，8）；②当S△QAO=2S△AOC时，OA•y Q=2×OA•y C，∴y Q=2y C，即|﹣a|=2×2=4，解得a=6（舍去负值），∴Q′（6，﹣4）；综上所述，Q（﹣12，8）或（6，﹣4）．（3）①如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与x轴的交点即为P；②如图3，作P1F⊥CD于F，P1E⊥OC于E，作P2H⊥CD于H，P2G⊥OC于G．∵C（﹣3，2），A（﹣5，0），∴AC==2，∵∠ACD=∠AOC，∠CAO=∠DAC，∴△CAO∽△DAC，∴=，∴AD=，∴OD=5﹣=，则D（﹣，0）．设CD解析式为y=kx+b，把C（﹣3，2），D（﹣，0）分别代入解析式得，解得，函数解析式为y=5x+17，设P点坐标为（a，0），根据点到直线的距离公式，=，两边平方得，（5a+17）2=2×4a2，解得a=﹣5±2，∴P1（﹣5﹣2，0），P2（﹣5+2，0）．【点评】本题考查了一次函数综合题，涉及坐标与图象的关系、待定系数法求函数解析式、角平分线的性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等知识，综合性较强，值得关注．法二：例2．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C点的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据角平分线的性质，可得∠FCA=∠BCA，∠FAE=∠BAE，根据三角形外角的关系，可得∠BAE=∠ABC+∠BCA，∠FAE=∠F+∠FCA，根据等式的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，分类讨论：AB=AP=10，AB=BP=10，BP=AP，根据线段的和差，可得AB=AP=10时P点坐标，根据线段垂直平分线的性质，可得AB=BP=10时P点坐标；根据两点间的距离公式，可得BP=AP 时P点坐标．【解答】解：（1）当x=0时，y=6，即B（0，6），当y=0时，﹣x+6=0，解得x﹣8，即A （8，0）；由OC=OB，得OC=3，即C（﹣3，0）；设BC的函数解析式为，y=kx+b，图象过点B、C，得，解得，直线BC的函数表达式y=2x+6；（2）证明：∵∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F，∴∠FCA=∠BCA，∠FAE=∠BAE．∵∠BAE是△ABC的外角，∠FAE是△FAC的外角，∴∠BAE=∠ABC+∠BCA，∠FAE=∠F+∠FCA．∴∠ABC+∠BCA=∠F+∠BCA，∠ABC=∠F；（3）当AB=AP=10时，8﹣10=﹣2，P1（﹣2，0），8+10=18，P2（18，0）；当AB=BP=10时，AO=PO=8，即P3（﹣8，0）；设P（a，0），当BP=AP时，平方，得BP2=AP2，即（8﹣a）2=a2+62化简，得16a=28，解得a=，P4（，0），综上所述：P1（﹣2，0），P2（18，0），P3（﹣8，0）；P4（，0）．【点评】本题考查了一次函数综合题，（1）利用了函数值与自变量的关系求出A、B、C的值又利用了待定系数法求函数解析式；（2）利用了角平分线的性质，三角形外角的性质，（3）利用了等腰三角形的定义，分类讨论是解题关键．变式练习：2．【考点】一次函数综合题。

一次函数易错题压轴题题型归纳及方法一次函数易错题压轴题题型归纳及方法一、基础概念梳理1.1 一次函数的定义和性质一次函数是指函数 f(x) = ax + b，其中 a 不等于 0。

其图像为一条直线，斜率为 a，截距为 b。

在直角坐标系中，表现为直线过原点或不过原点。

一次函数的性质包括斜率和截距等。

1.2 一次函数的图像和特征一次函数的图像呈线性关系，表现为直线。

斜率决定了直线的斜率和方向，截距决定了直线和 y 轴的交点。

掌握一次函数的图像和特征是解题的关键。

二、易错题分析2.1 斜率与线性关系易错点：部分学生对斜率的计算和理解存在困难，无法准确求解斜率或理解斜率的意义。

解决方法：要重点训练学生如何计算斜率，以及斜率对线性关系的影响。

可以通过练习题和实例来加深理解。

2.2 截距的求解易错点：学生在求解截距时常常出错，或者无法正确理解截距的含义。

解决方法：通过大量的实例练习，加深学生对截距的理解和运用能力。

可以设计一些生活中的例子来帮助学生理解截距的含义。

2.3 点斜式方程易错点：学生在转化为一般式方程时，容易出错或混淆概念。

解决方法：通过举例和练习，让学生掌握点斜式方程和一般式方程之间的转化，加深对一次函数的理解和掌握能力。

三、高级拓展题3.1 一次函数的应用在生活中，一次函数的应用非常广泛，包括经济学、物理学和工程学等领域。

这些应用题往往涉及到实际问题的建模和解决，需要学生有较强的数学建模和解题能力。

3.2 特殊题型及解法除了基本的一次函数题，还有一些特殊的题型需要引起重视，包括两条直线的关系、两个一次函数的综合运用等。

这些题型需要学生拓展思维，掌握各种解题方法。

四、总结回顾在学习一次函数这一题型时，学生需要注重基本概念的理解和掌握，加强实例练习，培养解题思维，拓展应用能力。

重点关注易错点，并采取有效的方法加以解决，提高学生对一次函数的理解和应用能力。

个人观点及理解对于一次函数的学习和掌握，我认为重在理解和应用。

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一次函数压轴题训练典型例题题型一、A卷压轴题一、A卷中涉及到的面积问题例1、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数122 3y x=-+与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线2 (0)y kx b k=+≠经过点C（1，0）且与线段AB交于点P，并把△ABO 分成两部分．（1）求△ABO的面积；（2）若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式。

练习1、如图，直线1l 过点A （0，4），点D （4，0），直线2l ：121+=x y 与x 轴交于点C ，两直线1l ，2l 相交于点B 。

（1）、求直线1l 的解析式和点B 的坐标； （2）、求△ABC 的面积。

二、A 卷中涉及到的平移问题例2、 正方形ABCD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB 边落在X 轴的正半轴上，且A 点的坐标是（1，0）。

①直线y=43x-83经过点C ，且与x 轴交与点E ，求四边形AECD 的面积；②若直线l 经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分求直线l 的解析式，③若直线1l 经过点F ⎪⎭⎫⎝⎛-0.23且与直线y=3x平行,将②中直线l 沿着y 轴向上平移32个单位交x 轴于点M ,交直线1l 于点N ,求NMF ∆的面积.练习1、如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：x y 34=与直线2l ：b kx y += 相交于点A ，点A 的横坐标为3，直线2l 交y 轴于点B ，且OB OA 21=。

（1）试求直线2l 函数表达式。

（6分）（2）若将直线1l 沿着x 轴向左平移3个单位，交 y 轴于点C ，交直线2l 于点D ；试求 △BCD 的面积。

数学初二一次函数提高练习与常考题和培优难题压轴题(含解析)一．选择题（共9小题）1．已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为y（cm），腰长为x（cm），y与x 的函数关系式为y=20﹣2x，那么自变量x的取值范围是（）A．x＞0 B．0＜x＜10 C．0＜x＜5 D．5＜x＜102．如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a3．函数的自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≥2且x≠3 C．x≥2 D．x≤2且x≠34．关于函数y=﹣x﹣2的图象，有如下说法：①图象过点（0，﹣2）②图象与x轴的交点是（﹣2，0）③由图象可知y随x的增大而增大④图象不经过第一象限⑤图象是与y=﹣x+2平行的直线，其中正确说法有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个5．一辆慢车以50千米/小时的速度从甲地驶往乙地，一辆快车以75千米/小时的速度从乙地驶往甲地，甲、乙两地之间的距离为500千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B．C．D．6．下列语句不正确的是（）A．所有的正比例函数肯定是一次函数B．一次函数的一般形式是y=kx+bC．正比例函数和一次函数的图象都是直线D．正比例函数的图象是一条过原点的直线7．已知x关于的一次函数y=mx+n的图象如上图，则|n﹣m|﹣可化简（）A．n B．n﹣2m C．m D．2n﹣m8．如果一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，﹣1≤y≤7，则kb的值为（）A．10 B．21 C．﹣10或2 D．﹣2或109．若函数y=（2m+1）x2+（1﹣2m）x+1（m为常数）是一次函数，则m的值为（）A．m B．m=C．m D．m=﹣二．填空题（共9小题）10．直线y=kx向下平移2个单位长度后恰好经过点（﹣4，10），则k=．11．已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=﹣bx+k经过第象限．12．已知点A（﹣4，a）、B（﹣2，b）都在直线y=x+k（k为常数）上，则a 与b的大小关系是a b．（填“＞”“＜”或“=”）13．已知正比例函数y=（1﹣m）x|m﹣2|，且y随x的增大而减小，则m的值是．14．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B（a，a），当线段AB最短时，点B的坐标为．15．已知一次函数y=（﹣3a+1）x+a的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＞y2，且图象不经过第四象限，则a的取值范围是．16．如图1，在等腰Rt△ABC中，D为斜边AC边上一点，以CD为直角边，点C 为直角顶点，向外构造等腰Rt△CDE．动点P从点A出发，以1个单位/s的速度，沿着折线A﹣D﹣E运动．在运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（s）的函数图象如图2所示，则BC的长是．17．如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为a的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在同一条直线上，则点A2015的坐标是．18．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点坐标C（﹣1，0）、B（0，2），点A在第二象限．直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD 沿x轴向右平移m个单位．当点A落在MN上时，则m=．三．解答题（共22小题）19．已知：函数y=（m+1）x+2m﹣6（1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式．（2）若函数图象与直线y=2x+5平行，求其函数的解析式．（3）求满足（2）条件的直线与直线y=﹣3x+1的交点．20．如图，直线l1的函数关系式为，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A（4，0），B（﹣1，5），直线l1与l2相交于点C，（1）求直线l2的解析式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上存在一点F（不与C重合），使得△ADF和△ADC的面积相等，请求出F点的坐标；（4）在x轴上是否存在一点E，使得△BCE的周长最短？若存在请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0）、B（0，4），直线l经过点B，并且与直线AB垂直．点P在直线l上，且△ABP是等腰直角三角形．（1）求直线AB的解析式；（2）求点P的坐标；（3）点Q（a，b）在第二象限，且S=S△PAB．△QAB①用含a的代数式表示b；②若QA=QB，求点Q的坐标．22．某仓库甲、乙、丙三辆运货车，每辆车只负责进货或出货，每小时的运输量丙车最多，乙车最少，乙车的运输量为每小时6吨，下图是从早晨上班开始库存量y（吨）与时间x（小时）的函数图象，OA段只有甲、丙车工作，AB段只有乙、丙车工作，BC段只有甲、乙工作．（1）甲、乙、丙三辆车中，谁是进货车？（2）甲车和丙车每小时各运输多少吨？（3）由于仓库接到临时通知，要求三车在8小时后同时开始工作，但丙车在运送10吨货物后出现故障而退出，问：8小时后，甲、乙两车又工作了几小时，使仓库的库存量为6吨．23．如图，直线l1的解析表达式为：y=3x﹣3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求△ADC的面积；（2）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，则点P的坐标为；（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣5，1），B（﹣2，4），C（5，4），点D在第一象限．（1）写出D点的坐标；（2）求经过B、D两点的直线的解析式，并求线段BD的长；（3）将平行四边形ABCD先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？并求出平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积．25．已知点A、B分别在x轴，y轴上，OA=OB，点C为AB的中点，AB=12（1）如图1，求点C的坐标；（2）如图2，E、F分别为OA上的动点，且∠ECF=45°，求证：EF2=OE2+AF2；（3）在条件（2）中，若点E的坐标为（3，0），求CF的长．26．如图1，点A的坐标是（﹣2，0），直线y=﹣x+4和x轴、y轴的交点分别为B、C点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；并求当t等于多少时，S的值等于？②在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．27．如图，一次函数y=﹣x+6的图象分别与y轴、x轴交于点A、B，点P从点B出发，沿BA以每秒1个单位的速度向点A运动，当点P到达点A时停止运动，设点P的运动时间为t秒．（1）点P在运动的过程中，若某一时刻，△OPA的面积为12，求此时P点坐标；（2）在（1）的基础上，设点Q为y轴上一动点，当PQ+BQ的值最小时，求Q 点坐标；（3）在整个运动过程中，当t为何值时，△AOP为等腰三角形？28．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、D（﹣2，0），作直线AD 并以线段AD为一边向上作正方形ABCD．（1）填空：点B的坐标为，点C的坐标为．（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线DA向上平移，直至正方形的顶点C落在y轴上时停止运动．在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为S，求S关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．29．有一根直尺，短边的长为2cm，长边的长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm．如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图②．设平移的长度为x cm，且满足0≤x≤10，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积（即图中阴影部分）为Scm2．（1）当x=0时，S=；当x=4时，S=；当x=10时，S=．（2）是否存在一个位置，使阴影部分的面积为11cm2？若存在，求出此时x的值．30．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A（0，m）、C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+=0，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求A、C两点的坐标；（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；（3）当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标并求t的值；若不存在，请说明理由．31．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，将△AOC沿直线AC折叠，点O落在直线AD上的点E处，直线AD的解析式为，则（1）AO=；AD=；OC=；（2）动点P以每秒1个单位的速度从点B出发，沿着x轴正方向匀速运动，点Q是射线CE上的点，且∠PAQ=∠BAC，设P运动时间为t秒，求△POQ的面积S 与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，直线CE上是否存在一点Q，使以点Q、A、D、P为顶点的四边形是平等四边形？若存在，求出t值及Q点坐标；若不存在，说明理由．32．已知在平面直角坐标系中，A（a、o）、B（o、b）满足+|a﹣3|=0，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO=PD，DE⊥AB于E．（1）求a、b的值．（2）当P点运动时，PE的值是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE的值．（3）若∠OPD=45°，求点D的坐标．33．如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求AB的长；（2）求CD的所在直线的函数关系式；（3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A方向运动，过P=，求此时点P的坐标．作x轴的垂线交x轴于点E，若S△PBE34．在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q 为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y=x+3上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．35．对于两个已知图形G1、G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为图形G1、G2的“密距”；当线段PQ的长度最大值时，我们称这个最大的长度为图形G1、G2的“疏距”．请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题；在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣3，4），点B的坐标为（3，4），矩形ABCD的对称中心为点O．（1）线段AD和BC的“密距”是，“疏距”是；（2）设直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点E、F，若线段EF与矩形ABCD的“密距”是1，求它们的“疏距”；（3）平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN，将矩形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为7，①旋转过程中，它与四边形KLMN的“密距”的取值范围是；②求四边形KLMN的面积的最大值．36．在平面直角坐标系中，已知A，B两点分别在x轴，y轴上，OA=OB=4，C在线段OA上，AC=3，过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于E，直线AE交y轴于D．（1）求点D坐标．（2）动点P从点A出发，沿射线AO方向以每秒1个单位长度运动，设点P的运动时间为t秒，△POB的面积为y，求y与t之间的函数关系式并直接写出自变量的取值范围．（3）在（2）问的条件下，当t=1，PB=5时，在y轴上是否存在一点Q，使△PBQ 为以PB为腰的等腰三角形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，四边形OABC中，CB∥OA，∠OCB=90°，CB=1，OA=OC，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，直线过A点，且与y轴交于D点．（1）求出A、点B的坐标；（2）求证：AD=BO且AD⊥BO；（3）若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，一次函数y=﹣x+的图象与坐标轴分别交于点A和B两点，将△AOB沿直线CD折起，使点A与点B重合，直线CD交AB于点D．（1）求点C的坐标；（2）在射线DC上求一点P，使得PC=AC，求出点P的坐标；（3）在坐标平面内，是否存在点Q（除点C外），使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ACD全等？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理．39．已知，如图，在平面直角坐标系中，点A、B的横坐标恰好是方程x2﹣4=0的解，点C的纵坐标恰好是方程x2﹣4x+4=0的解，点P从C点出发沿y轴正方向以1个单位/秒的速度向上运动，连PA、PB，D为AC的中点．1）求直线BC的解析式；2）设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直且相等？3）如图2，若PA=AB，在第一象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且∠PQA=60°，问：当Q在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ的度数和是否会发生改变？若不变，请说明理由并求其值．40．方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t 的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h，甲出发0.5h与乙相遇，…请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；（3）分别求出甲、乙行驶的路程S甲、S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象．数学初二一次函数提高练习与常考题和培优难题压轴题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2016春•农安县月考）已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为y（cm），腰长为x（cm），y与x的函数关系式为y=20﹣2x，那么自变量x的取值范围是（）A．x＞0 B．0＜x＜10 C．0＜x＜5 D．5＜x＜10【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得则0＜20﹣2x＜2x，由20﹣2x＞0，解得x＜10，由20﹣2x＜2x，解得x＞5，则5＜x＜10．故选D．【点评】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的解法，正确列出不等式组是解题的关键．2．（2012秋•镇赉县校级月考）如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】根据所在象限判断出a、b、c的符号，再根据直线越陡，则|k|越大可得答案．【解答】解：∵y=ax，y=bx，y=cx的图象都在第一三象限，∴a＞0，b＞0，c＞0，∵直线越陡，则|k|越大，∴c＞b＞a，故选：B．【点评】此题主要考查了正比例函数图象的性质，y=kx中，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x 的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大．3．（2016春•重庆校级月考）函数的自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≥2且x≠3 C．x≥2 D．x≤2且x≠3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：2﹣x≥0且x﹣3≠0，解得：x≤2且x≠3，自变量的取值范围x≤2，故选A．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．4．（2016春•南京校级月考）关于函数y=﹣x﹣2的图象，有如下说法：①图象过点（0，﹣2）②图象与x轴的交点是（﹣2，0）③由图象可知y随x的增大而增大④图象不经过第一象限⑤图象是与y=﹣x+2平行的直线，其中正确说法有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】根据一次函数的性质和图象上点的坐标特征解答．【解答】解：①将（0，﹣2）代入解析式得，左边=﹣2，右边=﹣2，故图象过（0，﹣2）点，正确；②当y=0时，y=﹣x﹣2中，x=﹣2，故图象过（﹣2，0），正确；③因为k=﹣1＜0，所以y随x增大而减小，错误；④因为k=﹣1＜0，b=﹣2＜0，所以图象过二、三、四象限，正确；⑤因为y=﹣x﹣2与y=﹣x的k值（斜率）相同，故两图象平行，正确．故选B．【点评】本题考查了一次函数的性质和图象上点的坐标特征，要注意：在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．5．（2016春•重庆校级月考）一辆慢车以50千米/小时的速度从甲地驶往乙地，一辆快车以75千米/小时的速度从乙地驶往甲地，甲、乙两地之间的距离为500千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B．C．D．【分析】分三段讨论，①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小，②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加，③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大，结合实际选符合的图象即可．【解答】解：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地这段时间两车距迅速增加；③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；结合图象可得C选项符合题意．故选：C．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题关键是分段讨论，要结合实际解答，明白每条直线所代表的实际含义及拐点的含义．6．（2015春•浠水县校级月考）下列语句不正确的是（）A．所有的正比例函数肯定是一次函数B．一次函数的一般形式是y=kx+bC．正比例函数和一次函数的图象都是直线D．正比例函数的图象是一条过原点的直线【分析】分别利用一次函数和反比例函数的定义以及其性质分析得出即可．【解答】解：A、所有的正比例函数肯定是一次函数，正确，不合题意；B、一次函数的一般形式是y=kx+b（k≠0），故此选项错误，符合题意；C、正比例函数和一次函数的图象都是直线，正确，不合题意；D、正比例函数的图象是一条过原点的直线，正确，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了一次函数和反比例函数的定义，正确把握其性质是解题关键．7．（2016春•无锡校级月考）已知x关于的一次函数y=mx+n的图象如上图，则|n﹣m|﹣可化简（）A．n B．n﹣2m C．m D．2n﹣m【分析】根据一次函数图象与系数的关系，确定m、n的符号，然后由绝对值、二次根式的化简运算法则解得即可．【解答】解：根据图示知，关于x的一次函数y=mx+n的图象经过第一、二、四象限，∴m＜0，n＞0；∴|n﹣m|﹣=n﹣m﹣（﹣m）+（n﹣m）=2n﹣m．故选D．【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，二次根式的性质与化简，绝对值的意义．一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0）的图象，当k＜0，b＞0时，经过第一、二、四象限．8．（2015秋•盐城校级月考）如果一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，﹣1≤y≤7，则kb的值为（）A．10 B．21 C．﹣10或2 D．﹣2或10【分析】由一次函数的性质，分k＞0和k＜0时两种情况讨论求解．【解答】解：由一次函数的性质知，当k＞0时，y随x的增大而增大，所以得，解得．即kb=10；当k＜0时，y随x的增大而减小，所以得，解得．即kb=﹣2．所以kb的值为﹣2或10．故选D．【点评】此题考查一次函数的性质，要注意根据一次函数图象的性质分情况讨论．9．（2015秋•西安校级月考）若函数y=（2m+1）x2+（1﹣2m）x+1（m为常数）是一次函数，则m的值为（）A．m B．m=C．m D．m=﹣【分析】根据一次函数的定义列出算式计算即可．【解答】解：由题意得，2m+1=0，解得，m=﹣，故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．二．填空题（共9小题）10．（2014春•邹平县校级月考）直线y=kx向下平移2个单位长度后恰好经过点（﹣4，10），则k=﹣3．【分析】根据一次函数与正比例函数的关系可得直线y=kx向下平移2个单位后得y=kx﹣2，然后把（﹣4，10）代入y=kx﹣2即可求出k的值．【解答】解：直线y=kx向下平移2个单位后所得解析式为y=kx﹣2，∵经过点（﹣4，10），∴10=﹣4k﹣2，解得：k=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．11．（2016春•南京校级月考）已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=﹣bx+k经过第二、三、四象限．【分析】根据直线y=kx+b经过第一、二、四象限可以确定k、b的符号，则易求﹣b的符号，由﹣b，k的符号来求直线y=﹣bx+k所经过的象限．【解答】解：∵直线y=kx+b经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∴﹣b＜0，∴直线y=﹣bx+k经过第二、三、四象限．故答案是：二、三、四．【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y 轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．12．（2016春•大丰市校级月考）已知点A（﹣4，a）、B（﹣2，b）都在直线y=x+k（k为常数）上，则a与b的大小关系是a＜b．（填“＞”“＜”或“=”）【分析】先根据一次函数的解析式判断出一次函数的增减性，再根据﹣4＜﹣2即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y=x+k（k为常数）中，k=＞0，∴y随x的增大而增大，∵﹣4＜﹣2，∴a＜b．故答案为：＜．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．13．（2015春•建瓯市校级月考）已知正比例函数y=（1﹣m）x|m﹣2|，且y随x 的增大而减小，则m的值是3．【分析】先根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组，求出k取值范围，再根据此正比例函数y随x的增大而减小即可求出k的值．【解答】解：∵此函数是正比例函数，∴，解得m=3，故答案为：3．【点评】本题考查的是正比例函数的定义及性质，根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组是解答此题的关键．14．（2016春•天津校级月考）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B（a，a），当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．【分析】过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，先根据垂线段最短得出当点B与点D重合时线段AB最短，再根据直线OB的解析式为y=x得出△AOD是等腰直角三角形，故OE=OA=，由此可得出结论．【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，∵垂线段最短，∴当点B与点D重合时线段AB最短．∵直线OB的解析式为y=x，∴△AOD是等腰直角三角形，∴OE=OA=1，∴D（﹣，﹣）．故答案为：（﹣，﹣）．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．15．（2015春•宜兴市校级月考）已知一次函数y=（﹣3a+1）x+a的图象上两点A （x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＞y2，且图象不经过第四象限，则a的取值范围是0≤a＜．【分析】根据y随x的增大而增大可得x的系数大于0，图象不经过第四象限，那么经过一三或一二三象限，那么此函数的常数项应为非负数．【解答】解：∵x1＞x2时，y1＞y2，∴﹣3a+1＞0，解得a＜，∵图象不经过第四象限，∴经过一三或一二三象限，∴a≥0，∴0≤a＜．故答案为：0≤a＜．【点评】考查了一次函数图象上的点的坐标的特点；得到函数图象可能经过的象限是解决本题的关键．16．（2015秋•靖江市校级月考）如图1，在等腰Rt△ABC中，D为斜边AC边上一点，以CD为直角边，点C为直角顶点，向外构造等腰Rt△CDE．动点P从点A出发，以1个单位/s的速度，沿着折线A﹣D﹣E运动．在运动过程中，△BCP 的面积S与运动时间t（s）的函数图象如图2所示，则BC的长是2．【分析】由函数的图象可知点P从点A运动到点D用了2秒，从而得到AD=2，当点P在DE上时，三角形的面积不变，故此DE=4，从而可求得DC=2，于是得到AC=2+2，从而可求得BC的长为2+．【解答】解：由函数图象可知：AD=1×2=2，DE=1×（6﹣2）=4．∵△DEC是等腰直角三角形，∴DC===2．∴AC=2+2．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC===．故答案为：．【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，由函数图象判断出AD、DE的长度是解题的关键．17．（2016春•盐城校级月考）如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为a的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在同一条直线上，则点A2015的坐标是（a，a）．【分析】根据题意得出直线BB1的解析式为：y=x，进而得出A，A1，A2，A3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．【解答】解：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，由题意可得：A（a，0），AO∥A1B1，∠B1OC=60°，∴OC=a，CB1=OB1sin60°=a，∴B1的坐标为：（a，a），∴点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，∵B1（a，a），∴A1（a，a），∴A2（2a，a），…A n（a，）．∴A2015（a，a）．故答案为．【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类，得出A 点横纵坐标变化规律是解题关键．18．（2016春•泰兴市校级月考）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点坐标C（﹣1，0）、B（0，2），点A在第二象限．直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位．当点A落在MN上时，则m=3．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分表示出点A的坐标，再根据直线解析式求出点A移动到MN上时的x的值，从而得到m的取值范围，再根据各选项数据选择即可．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点C（﹣1，0），点B（0，2），∴点A的坐标为（﹣1，4），当y=4时，﹣x+5=4，解得x=2，∴点A向右移动2+1=3时，点A在MN上，∴m的值为3，故答案为3．【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，比较简单．三．解答题（共22小题）19．（2016春•武城县校级月考）已知：函数y=（m+1）x+2m﹣6（1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式．（2）若函数图象与直线y=2x+5平行，求其函数的解析式．（3）求满足（2）条件的直线与直线y=﹣3x+1的交点．【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把（﹣1，2）代入y=（m+1）x+2m﹣6求出m的值即可得到一次函数解析式；（2）根据两直线平行的问题得到m+1=2，解出m=1，从而可确定一次函数解析式．（3）两直线的解析式联立方程，解方程即可求得．【解答】解：（1）把（﹣1，2）代入y=（m+1）x+2m﹣6得﹣（m+1）+2m﹣6=2，解得m=9，所以一次函数解析式为y=10x+12；（2）因为函数y=（m+1）x+2m﹣6的图象与直线y=2x+5平行，所以m+1=2，解得m=1，所以一次函数解析式为y=2x﹣4．（3）解得，∴两直线的交点为（1，﹣2）．【点评】本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．20．（2015秋•兴化市校级月考）如图，直线l1的函数关系式为，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A（4，0），B（﹣1，5），直线l1与l2相交于点C，（1）求直线l2的解析式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上存在一点F（不与C重合），使得△ADF和△ADC的面积相等，请求出F点的坐标；（4）在x轴上是否存在一点E，使得△BCE的周长最短？若存在请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可直接求得l2的函数解析式；（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；（3）△ADF和△ADC的面积相等，则F的纵坐标与C的总坐标一定互为相反数，代入l2的解析式即可求解；（4）求得C关于x轴的对称点，然后求得经过这个点和B点的直线解析式，直线与x轴的交点就是E．【解答】解：（1）设l2的解析式是y=kx+b，根据题意得：，解得：，则函数的解析式是：y=﹣x+4；（2）在中令y=0，解得：x=﹣2，则D的坐标是（﹣2，0）．。

用一次函数解决问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一一次函数的应用——分配方案问题】 (1)【考点二一次函数的应用——最大利润问题】 (5)【考点三一次函数的应用——行程问题】 (8)【考点四一次函数的应用——几何问题】 (12)【过关检测】 (16)【典型例题】【考点一一次函数的应用——分配方案问题】【答案】(1)() 504500010120y x x=+≤≤；(2)见解析【分析】（1）根据A市的120吨物资运往甲乡x吨，运往乙乡()120x−吨，B市的130吨物资运往甲乡()140x−吨，运往乙乡()110120x−+吨的费用求和，即可确定y与x的函数关系式；（2）根据一次函数的性质即可确定运费最低的运送方案和最低运费．【详解】（1）解：由题意可得，()()()3001501202001401001101205045000y x x x x x =+−+−+−+=+， 0x ≥，1200x −≥，1400x −≥，1101200x −+≥，x ∴的取值范围是10120x ≤≤，y ∴与x 的函数解析式为()504500010120y x x =+≤≤；（2）500>，y ∴随着x 增大而增大，当10x =时，y 取得最小值，最小值为50104500045500(⨯+=元)，此时从A 市往甲乡运送10吨物资，从A 市往乙乡运送110吨物资，从B 市往甲乡运送130吨物资物资，从B 市往乙乡运送0吨物资，答：运费最低的运送方案是：从A 市往甲乡运送10吨物资，从A 市往乙乡运送110吨物资，从B 市往甲乡运送130吨物资物资，从B 市往乙乡运送0吨物资，最低运费为45500元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意建立一次函数关系式是解题的关键．【变式训练】【答案】(1)小明用方案一购书更划算；计算见解析；(2)120.5,0.650y x y x ==+；(3)见解析．【分析】（1）当150x =时，根据方案一和方案二计算出实际花费，然后比较即可；（2）根据题意给出的等量关系即可求出答案；（3）根据y 关于x 的函数解析式，求出两种方案所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱．【详解】（1）解：当150x =时，方案一：1500.8120⨯=（元），方案二：501500.80.755090140+⨯⨯=+=（元），∵120140<，∴小明用方案一购书更划算；（2）解：由题意得：方案一：10.8y x =；方案二：2500.80.750.650y x x =+⨯=+；∴1y 与x 的函数关系式为10.8y x =；2y 与x 的函数关系式为20.650y x =+；（3）解：当12y y >时，即0.80.650x x >+，解得250x >；当12y y <时，即0.80.650x x <+，解得250x <；当12y y =时，即0.80.650x x =+，解得250x =．∴当250x <时，方案一更划算，当250x >时，方案二更划算，当250x =时，方案一和方案二一样划算．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 2.（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x （次），按照方案一所需费用为1y （元），且11y k x b =+；按照方案二所需费用为2y （元），且22y k x =．其函数图象如图所示．(1)求k 1和b 的值，并说明它们的实际意义；(2)求打折前的每次健身费用和2k 的值；(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由．【答案】(1)k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元．b 的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元(2)打折前的每次健身费用为25（元），220k =(3)选择方案一所需费用更少．理由见解析【分析】(1)直接根据函数的图象结合实际意义进行解答；(2)根据方案一打折后每次健身费用是15元，因为是打六折，故可求打折前的费用；然后根据方案二再打八折即可求得k2 ；(3)根据（1）（2）即可得到1122y k x b y k x =+=，，当12y y =时，解得：6x =．即可得到答案． 【详解】（1）解：11y k x b =＋的图象过点()030，和点()10180，，∴130,18010.b k b =⎧⎨=+⎩∴115,30.k b =⎧⎨=⎩．k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元．b 的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元．（2）打折前的每次健身费用为150.625÷=（元）2250.820k =⨯=．（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：由（1）知11530k b ==，， ∴11530y x =+．由（2）知220k =，∴2．当12y y =时，153020x x +=，解得：6x =．结合函数图象可知，小华暑期前往该俱乐部健身7次，选择方案一所需费用更少．【点睛】本题考查了一次函数的应用，看懂图象，理解题意，理解两种优惠方案之间的关键是解题的关键．【考点二 一次函数的应用——最大利润问题】【答案】(1)5500y x =+(2)当购进甲种商品20件，乙种商品70件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大为600元【分析】(1)设购进甲商品x 件，则购进乙商品()100x −件，根据题意即可列出y 与x 之间的函数关系式；(2)根据购进乙商品的件数不少于甲商品件数的4倍，可得当20x =时，y 取得最大值，即可求解．【详解】（1）解：由题意可得：()()()504015*********y x x x =+−−=+－，∴y 与x 之间的函数关系式为5500y x =+；（2）解：由题意，得1004x x −≥，解得20x ≤．∵5500y x =+，∴，∴y 随x 增大而增大，∴当20x =时，y 的值最大，520500600y =⨯+=，此时1002070−=，答：当购进甲种商品20件，乙种商品70件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大为600元．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．【变式训练】(1)第一次小冬用550元购进了A ，B 两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；(2)第二次小冬进货时，网店规定A 款玩偶进货数量不得超过B 款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)A 款玩偶购进20个，B 10个(2)按照A 款玩偶购进15个、B 款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；（2）根据题意，可以写出利润与购进A 款玩偶数量的函数关系式，再根据网店规定A 款玩偶进货数量不得超过B 款玩偶进货数量的一半，可以得到A 款玩偶数量的取值范围，然后根据一次函数的增减性分析，即可得到答案．【详解】（1）解：设A 款玩偶购进x 个，B 款玩偶购进()30x −个， 由题意得：()201530550x x +−=，解得：20x =，30x ∴−=302010−=（个），答：A 款玩偶购进20个，B 款玩偶购进10个；（2）解：设A 款玩偶购进a 个，B 款玩偶购进()45a −个，获利y 元， 由题意得：()()()28202015453225y a a a =−+−−=+， A 款玩偶进货数量不得超过B 款玩偶进货数量的一半．()1452a a ∴≤−，解得15a ≤，3225y a =+，由30k =>，可知y 随a 的增大而增大，∴当15a =时，315225270y =⨯+=最大（元），B ∴款玩偶为：451530−=（个），答：按照A 款玩偶购进15个、B 款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元．【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．【答案】(1)A 、B 两种模型每件分别需要25元，150元(2)800090w b =−，购进A 模型226件，B 模型29件利润最大为5390元【分析】（1）设购进A ，B 两种模型每件分别需要x 元，y 元，列方程组求解即可．（2）设购买A 种模型a 件，购买B 种模型b 件，由题意列出方程组，求出b 的范围，再列出W 与b 的函数关系式，求最值即可．【详解】（1）设购进A 、B 两种模型每件分别需要x 元，y 元，由题意得：105100043550x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得25150x y =⎧⎨=⎩答：A 、B 两种模型每件分别需要25元，150元．（2）设购买A 种模型a 件，B 种模型b 件，25150100008a b a b +=⎧⎨≤⎩， 解得2007b ≥则购买A 种模型为1000015025b−件，即(4006)b −件，则20(4006)30w b b −+⨯=，即800090w b =−∵900−<，∴当b 取最小值时总利润最大，由（2）得2007b ≥，b 为整数，∴当29b =时，800090295390w =−⨯=，∴购进A 模型226件，B 模型29件利润最大为5390元【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出方程组，函数关系式，不等式组是解题的关键．【考点三 一次函数的应用——行程问题】 (1)求线段CD 对应的函数解析式．(2)货车从甲地出发后多长时间被轿车追上？此时离甲地的距离是多少千米？(3)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米．【答案】(1)线段CD 对应的函数解析式为110195y x =−(2)货车从甲地出发后3.9小时被轿车追上，此时离甲地的距离是234千米(3)轿车到达乙地后，货车距乙地30千米【分析】（1）设线段CD 对应的函数解析式为y kx b =+，由待定系数法求出其解即可；（2）设OA 的解析式为1y k x =货，由待定系数法求出解析式，由一次函数与一元一次方程的关系建立方程求出其解即可．（3）先由函数图象求出货车在轿车到达乙地是时需要的时间，由路程=速度⨯时间就可以求出结论．【详解】（1）解：设线段CD 对应的函数解析式为y kx b =+，由题意，得 80 2.5300 4.5k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：110195k b =⎧⎨=−⎩．则110195y x =−．答：线段CD 对应的函数解析式为110195y x =−；（2）设OA 的解析式为1y k x =货，由题意，得 13005k =，解得：160k =，60y x ∴=货．∴当y y =货时，11019560x x −=，解得： 3.9x =．离甲地的距离是：3.960234⨯=千米．答：货车从甲地出发后3.9小时被轿车追上，此时离甲地的距离是234千米；（3）由题意，得()605 4.530⨯−=千米．答：轿车到达乙地后，货车距乙地30千米．【点睛】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键．【变式训练】 1.（2023·河北沧州·校考模拟预测）航模兴趣小组在操场上进行航模试验，甲型航模从距离地面20米处出发，以a 米/分的速度匀速上升，乙型航模从距离地面50米处同时出发，以15米/分的速度匀速上升，经过6分钟，两架航模距离地面高度都是b 米，两架航模距离地面的高度y 米与时间x 分钟的关系如图．两架航模都飞行了20分钟．(1)直接写出a 、b 的值；(2)求出两架航模距离地面高度y 甲、y 乙（米）与飞行时间x （分钟）的函数关系式；(3)直接写出飞行多长时间，两架航模飞行高度相差25米？【答案】(1)20a =，140b =；(2)2020y x =+甲，1550y x =+乙；(3)飞行1分钟或者11分钟时，两架航模飞行高度相差25米【分析】（1（2）根据一次函数中一次项系数和常数项的实际意义直接列函数关系式即可．（3）令25y y −=乙甲，解方程得到x 的值，即可得到答案．【详解】（1）6分钟时，乙型航模距离地面高度为：50156140+⨯=（米)，140b ∴=．14020206a −∴==．20a ∴=，140b =．（2）由题意可得：1550y x =+乙，设20y kx =+甲，把(6,140)代入得，620140k +=，解得20k =，2020y x ∴=+甲．（3）()20201550530y y x x x −=+−+=−乙甲， 令25y y −=乙甲，则53025x −=，或53025x −=−，解得11x =，或1x =．答：飞行1分钟或者11分钟时，两架航模飞行高度相差25米．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，理解函数图象表示的意义是解题的关键．【答案】(1)80，6(2)120600y x =−+(3)甲车出发经过1.7h ，2.3h ，3.5h ，两车相距60千米．【分析】（1）结合题意，利用速度=路程÷时间，可得乙的速度、行驶时间；（2）找到甲车到达C 地和返回A 地时x 与y 的对应值，利用待定系数法可求出函数解析式；（3）分三种情况，甲和乙相距前，甲和乙相距后，甲返回A 地时，根据甲、乙两车相距60千米分情况讨论即可求解．【详解】（1）∵乙车比甲车先出发1小时，由图象可知乙行驶了80千米，∴乙车速度为：80千米/时，乙车行驶全程的时间480806t =÷=（小时）；故答案为：80，6；（2）根据题意可知甲从出发到返回A地需5小时，∵甲车到达C地后因立即按原路原速返回A地，∴结合函数图象可知，当52x=时，300y=；当5x=时，=0y；设甲车从C地按原路原速返回A地时，即552≤≤x，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y kx b=+，将5(,300),(5,0)2函数关系式得：5+=30025+=0k bk b⎧⎪⎨⎪⎩，解得：120600kb=−⎧⎨=⎩，故甲车从C地按原路原速返回A地时，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：120600y x=−+；（3）由题意可知甲车的速度为：6001205=（千米/时），设甲出发经过m小时两车相距60千米，有以下三种情况：①()12080160480m m+++=，解得 1.7m=②()12080148060m m++=+，解得 2.3m=③()()120 2.560 2.5100m m−+=−+，解得 3.5m=综上，甲车出发经过1.7h，2.3h，3.5h，两车相距60千米，【点睛】本题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要理解分段函数图象所表示的实际意义，准确找到等量关系．【考点四一次函数的应用——几何问题】例题：（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是D C B A→→→，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据动点从点D 出发，首先向点C 运动，此时y 随x 的增加而增大，当点P 在DC 上运动时，y 不变，当点P 在AB 上运动时，y 随着x 的增大而减小，据此作出选择即可．【详解】解：当点P 由点D 向点C 运动，即04x ≤≤时，114222y AD x x x ==⨯=； 当点P 在BC 上运动，即48x <≤时，14482y =⨯⨯=，是一个定值；当点P 在BA 上运动，即812x <≤时，y 随x 的增大而减小．故选：B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y 随x 的变化而变化的趋势．【变式训练】1.（2021春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，已知动点P 从B 点出发，以每秒2cm 的速度在图①的边（相邻两边互相垂直）上按B C D E F A →→→→→的路线移动，相应的ABP 的面积()2cm S 与点P 的运动时间()t s 的图象如图②所示，且6cm AB =．当230cm S =时，t = ．【答案】7s 或11s【分析】从图象上分析可知，由于速度是2cm/s ，图中04~的过程为P 点在线段BC 上，故428cm BC =⨯=，46~为4CD =，69为6DE =，910~为2EF =，10到b 为FA ，14FA BC DE =+=，1014217b =+÷=，根据ABP ∆的面积为230cm ，底边6cm AB =可知高为10cm ，也就是P 点距离AB 的距离是10cm ，从数据上可知，P 在线段DE 上有一个符合条件的点，在线段AF 上有一个符合条件的点，求出对应的t 值．【详解】解：由图可知， P 点的运动速度为2cm/s ， ()428cm BC ∴=⨯=，()224cm CD =⨯=，()326cm DE =⨯=，()122cm EF =⨯=，()14cm FA BC DE =+=， 2cm 30S =，6cm AB =，∴点P 到AB 的距离为()302610cm ⨯÷=，故可知P 在线段DE 上和线段AF 上各有一个P 点满足条件，当1P 在线段DE 上时：110PD BC +=，()11082cm PD ∴=−=，1()27(s)t BC CD DP ∴=++÷=，当1P 在线段AF 上时：210P F AF =−， ()214104cm P F ∴=−=，2()211(s)t BC CD DE EF FP =++++÷=， 故答案为：7s 或11s ．【点睛】本题考查了动点问题的图象，一次函数和动点问题的应用，三角形的面积公式．2.（2023春·安徽宿州·七年级校考期中）如图，在长方形ABCD 中，8BC =，6CD =，点E 为边AD 上一动点，连接CE ，随着点E 的运动，DCE △的面积也发生变化．(1)写出DCE △的面积y 与AE 的长()08x x <<之间的关系式；(2)当3x =时，求y 的值．【答案】(1)324y x =−+(2)15【分析】（1）可求8DE x =−，由12y CD DE =⋅即可求解；（2）将3x =代入解析式即可求解．【详解】（1）解：由题意得：8DE x =−，∴12y CD DE =⋅16(8)2x =⨯⨯−324x =−+．答：DCE △的面积y 与AE 的长()08x x <<之间的关系式为324y x =−+．（2）解：当3x =时，92415y =−+=， 答：当3x =时，15y =．【点睛】本题主要考查了一次函数在动点问题中的应用，掌握“化动为静”的方法解决动点问题的方法是解题的关键．【过关检测】一、单选题 1．（2023秋·安徽亳州·八年级校考阶段练习）甲，乙两车在笔直的公路AB 上行驶，乙车从AB 之间的C 地出发，到达终点B 地停止行驶，甲车从起点A 地与乙车同时出发到达B 地休息半小时后立即以另一速度返回C 地并停止行驶，在行驶过程中，两车均保持匀速，甲、乙两车相距的路程(y 千米)与乙车行驶的时间(x 小时)之间的关系如图所示，下列说法中正确的有（ ）①甲车行驶的速度为每小时20千米；②AB 两地之间的距离为420千米；③甲车返回C 地的速度为每小时80千米；④甲车返回C 地比乙车到B 地时间晚2小时．【答案】B【分析】根据第三段函数图象甲车到达B 地后休息半小时，求出乙车的速度，然后根据第一段函数图象，求出甲去B 地速度；求出甲车从A 到B 所用的时间，即可求出AB 的长度；根据返回时，两车在870.50.5−−=小时内行驶的路程为60千米，算出甲返回C 的速度，求出BC 间的长度，即可求出返回C 地时甲用的时间，算出乙到达目的地B 比甲到达B 地多用的时间，即可求出甲车返回C 地比乙车到B 地时间晚3小时．【详解】解：乙车速度80604012−=（千米/时）， 甲车去B 地的速度为：40360603⨯+=（千米/时），甲车去B 地时，两车速度差，60203=（千米/时），第一次相遇后甲车到达B 地时间，80420=（小时），∴甲车从A 地到B 地所用时间为347+=（小时），∴AB 两地之间的距离为607420⨯=（千米），故②正确； 甲车返回时速度，604080870.5−=−−（千米/时），故①错误，故③正确；∴A 、B 两地距离420千米，∴B 、C 两地相距，42060360−=（千米），甲车返回C 地用时，3609802=（小时），乙车比甲车晚到达B 地时间，80240=（小时）， 甲车比乙车晚到达目的地时间，192322+−=（小时），故④错误；综上分析可知，正确的有2个，故选：B ．【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，解决行程问题，解决问题的关键是熟练掌握甲、乙两车行驶路程与速度、时间的关系． AB DC ，B Ð，ABP 的面积为所示，则ACD 面积为 A ．10B ．16C ．18D ．20【答案】A 【分析】由题意知：49455BC DC AD ==−==，，，进而根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】解：根据图2可知当点P 在CD 上运动时，ABP 的面积不变，与ABC 面积相等；且不变的面积是在4x =，9x =之间；所以在直角梯形ABCD 中4BC =，5CD =，5AD =．连接AC ，∴ACD 面积为11541022CD BC ⨯=⨯⨯=故选：A ．【点睛】考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是读懂图意，得到相应的直角梯形中各边之间的关系．此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．A ．第25天的销售量为200件B ．第6天销售一件产品的利润是19元C ．第20天和第30天的日销售利润相等D ．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润【答案】C【分析】根据函数图象分别求出当020t ≤≤，一件产品的销售利润w （单位：元）与时间t （单位：天）的函数关系为25w t =−+，当025t ≤≤时，产品日销售量y （单位：件）与时间t （单位；天）的函数关系为4100y t =+，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．【详解】A 、根据图①可得第25天的销售量为200件，故此选项正确，不符合题意；B 、设当020t ≤≤，一件产品的销售利润w （单位：元）与时间t （单位：天）的函数关系为w kt b =+，把025205（，），（，）代入得：252020b k b =⎧⎨+=⎩，解得：125k b =−⎧⎨=⎩，∴25w t =−+，当6t =时，62519w =−+=，故此选项正确，不符合题意；C 、当025t ≤≤时，设产品日销售量y （单位：件）与时间t （单位；天）的函数关系为11y k t b =+， 把010025200（，），（，）代入得：11110025200b k b =⎧⎨+=⎩，解得：114100k b =⎧⎨=⎩，∴4100y x =+，当20t =时，日销售利润为5420100900wy =⨯⨯+（）=（元）；当30t =时，日销售利润为5150750⨯=（元），∴第20天和第30天销售利润不相等，故此选项错误，符合题意；D 、当18t =时，日销售利润为18254181001204wy =−+⨯+（）（）=（元），当25t =时，日销售利润为52001000⨯=（元）．∴第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润，故此选项正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．二、填空题 4．（2023秋·山东青岛·八年级统考期末）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 元．【答案】6000【分析】设该公司当月零售这种农产品m 箱，则批发这种农产品()800m −箱，该公司获得利润为y 元，进而得到y 关于m 的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解．【详解】解：设该公司当月零售这种农产品m 箱，则批发这种农产品()800m −箱，依题意得：0300m <≤，设该公司获得利润为y 元，依题意得：()106800y m m =+−，即44800y m =+，∵40>，y 随着m 的增大而增大，∴当300m =时，y 取最大值，此时430048006000y =⨯+=（元），答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元．故答案为：6000．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键．【答案】 2400 1248【分析】设日销售量y 与上市时间t 之间的函数关系式为()0y kt k =≠，把()3060，代入得6030k =，解得2k =，则()2030y t t =<≤，再求出4w t b =+的b 值，然后把26t =代入算得48024w t =−=，根据日销售利润＝单件产品的利润×销售量进行计算即可．【详解】解：由题图①知，当天数30t =天时，市场日销售量达到最大60件，由题图②知，当天数30t =天时，每件产品销售利润达到最大40元，所以当天数30t =天时，市场的日销售利润最大，最大利润为2400元；设日销售量y 与上市时间t 之间的函数关系式为()0y kt k =≠， 把()3060，代入得6030k =，解得2k =，∴日销售量y 与上市时间t 之间的函数关系式为()2030y t t =<≤， 将点()3040，代人4w t b =+，解得80b =−，所以当2530t ≤≤时，单件产品的销售利润w 与t 之间的函数关系式为()4802530w t t =−≤≤， 当26t =时，48024w t =−=，将26t =时252y t ==，∴此时日销售利润为52241248⨯=（元）．故答案为：2400，1248．【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是读懂图中信息，利用函数的性质进行解答．【答案】 9,2,9 11680【分析】设x 辆汽车装运食品，y 辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为()20x y −−，根据三种物资共100吨列出等式，求出220y x =−+，再根据每种物资至少装运1辆车，求出x 的取值范围，最后列出总费用w 与x 的函数关系式，利用函数的性质即可解决问题．【详解】解：设x 辆汽车装运食品，y 辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为()20x y −−， 由题意，得：()20651040x x y y −−=++，∴220y x =−+．∴()2020220x y x x x −−=−−−+=．∵每种物资至少装运1辆车，∴12201x x ≥⎧⎨−+≥⎩． 解得：1912x ≤≤，设总费用为w ，则()12061605220100448016000w x x x x =⨯+⨯−++⨯=−+，∵4800k =−<，∴w 随x 的增大而减小． ∵1912x ≤≤，且为整数， ∴当9x =时，总费最少，最少费用为48091600011680w =−⨯+=元．此时2202y x =−+=．故答案为：9,2,9；11680．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，用两个未知数表示出运送生活用品的车辆数是列出方程的关键，三、应用题 7．（2023秋·安徽淮北·八年级校联考阶段练习）如图，在长方形ABCD 中，2cm AB =，4cm BC =，点P从点B 出发，以1cm/s 的速度沿着B →C →D →A 的方向移动到点A ，设移动过程中三角形PAB 的面积为S （2cm ），移动时间为t （s ）．(1)写出S 与t 之间的函数关系式；(2)①当 1.5s t =时，求三角形PAB 的面积；②当三角形PAB 的面积为23cm 时，求t 的值．【答案】(1)()()(),044,4610,610t t S t t t ⎧<≤⎪=<≤⎨⎪−+<≤⎩(2)①21.5cm ；②3t =或7t =【分析】（1）根据题意可分当点P 在BC 上，当点P 在DC 上，当点P 在DA 上，然后分别求出函数解析式即可；（2）①由（1）可进行求解；②根据（1）中函数解析式，然后把三角形PAB 的面积为23cm 代入进行求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：①当点P 在BC 上，即04t <≤， ∴11222S AB PB t t =⋅=⨯=；②当点P 在DC 上，即46t <≤，此时三角形PAB 的面积为长方形面积的一半，即为12442S =⨯⨯=； ③当点P 在DA 上，即610t <≤，此时10AP t =-， ∴()112101022S AB AP t t =⋅=⨯−=−+；综上所述：S 与t 之间的函数关系式为()()(),044,4610,610t t S t t t ⎧<≤⎪=<≤⎨⎪−+<≤⎩；（2）解：①当 1.5s t =时，则 1.5cm BP =， ∴21 1.5cm 2S AB BP =⋅=；②由（1）可知：当三角形PAB 的面积为23cm 时，则有：3t =或103t −+=，∴3t =或7t =．【点睛】本题主要是考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． 8．（2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考期中）合肥某校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，野生动物园的门票价格为教师票每张36元，学生票半价，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二，按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．假如学生人数为x （人），师生门票总金额为y （元）．(1)分别写出两种优惠方案中y 与x 的函数表达式；(2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少；(3)若选择最优惠的方案后，共付款288元，则学生有多少人？【答案】(1)方案一：1854y x =+；方案二：14.486.4y x =+(2)当9x =时，两种方案一样多；当39≤<x 时，方案一更优惠；当9x >时，方案二更优惠(3)学生人数为14人【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由（1）中函数关系式及一次函数的性质可进行求解；（3）由（2）可进行求解．【详解】（1）解：方案一：()133636318542y x x =⨯+⨯−=+；方案二：13363680%14.486.42y x x ⎛⎫=⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭；（2）解：由（1）可知：当两种方案的费用一样多时，则有：185414.486.4x x +=+，解得：9x =，∴当9x =时，两种方案一样多；当39≤<x 时，方案一更优惠；当9x >时，方案二更优惠；（3）解：由（2）可知：当学生人数为9人时，方案一和方案二的费用一样多，费用即为18954216⨯+=（元）， ∵288216>，∴应选择方案二更优惠，∴14.486.4288x +=，解得：14x =；答：学生人数为14人．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 9．（2023春·河南新乡·九年级校联考开学考试）河南某景区为了发展旅游，吸引游客，推出了两种优惠方案（设购买门票的张数为x 张，费用为y 元）方案一：充值500元购买年卡，每张门票80元．方案二：每张门票的单价按图中的折线OAB 所表示的函数关系确定．某单位准备组织员工到该景区旅游．(1)当购买15张门票时，按方案一和方案二分别应花费多少钱？(2)求方案二中y 关于x 的函数关系式，并写出折线OAB 所表示的实际意义．(3)该单位选择哪种购买方案更划算？【答案】(1)按方案一应花费1700元；按方案二应花费1500元(2)()10001590150(15)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩；折线OAB 所表示的实际意义见解析 (3)见解析【分析】（1）方案一：用每张门票的费用乘以购买的数量再加上年卡的费用计算即可，方案二：根据图象作答即可；（2）当015x ≤≤时，设y ax =；当15x >时，设y kx b =+．由待定系数法即可求解；（3）分类讨论当0x ≤15≤和15x >的情况，即可求解．【详解】（1）解：当购买15张门票时，按方案一应花费50080151700+⨯=（元）；按方案二应花费：1500元．（2）解：当015x ≤≤时，设y ax =．将(15,1500)代入，得150015a =．解得100a =．∴100y x =．当15x >时，设y kx b =+．将(15,1500)，(30,2850)代入，得151500302850k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得90150k b =⎧⎨=⎩．∴90150y x =+．∴方案二中y 关于x 的函数关系式为()10001590150(15)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩ 折线OAB 所表示的实际意义为若购买门票的张数不大于15时，则每张的价格是100元；若购买门票的张数大于15时，则每张的价格是90元．（3）解：方案一中:150080y x =+．当0x ≤15≤时，50080100x x +>．∴选择方案二划算．当15x >时，令500+8090150x x >+，解得35x <．∴1535x <<时，选择方案二更划算．令5008090150x x +=+，解得35x =．∴35x =时，选择两种购买方案一样划算．令50080x +<90150x +，解得35x >．∴35x >时，选择方案一更划算．∴当购买门票张数35x <时，该单位选择购买方案二更划算；当购买门票张数35x =时，该单位选择两种购买方案一样划算；当购买门票张数35x >时，该单位选择购买方案一更划算．10．（2023秋·山东济南·八年级山东省济南稼轩学校校考期中）在A、B 两地之间有服务区C ，甲车由A 地驶往服务区C ，乙车由B 地驶往A 地，两车同时出发，匀速行驶，如图是甲、乙两车分别距离服务区C 的路程1y 、2y （单位：千米）与乙车行驶时间x （单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题：(1)甲车的速度是________千米/时；。

一次函数压轴题精选（含详细答案答案）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B．直线l⊥x轴负半轴于点C，点D是直线l上一点且位于x轴上方．已知CO=CD=4．（1）求经过A，D两点的直线的函数关系式和点B的坐标；（2）在直线l上是否存在点P使得△BDP为等腰三角形，若存在，直接写出P 点坐标，若不存在，请说明理由．2．如图，直线L：y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点N（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动．（1）点A的坐标：；点B的坐标：；（2）求△NOM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）在y轴右边，当t为何值时，△NOM≌△AOB，求出此时点M的坐标；（4）在（3）的条件下，若点G是线段ON上一点，连结MG，△MGN沿MG的坐标．折叠，点N恰好落在x轴上的点H处，求点G3．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y 轴上，一次函数y=x+3的图象经过点B、C．第1页（共99页）的坐标为 ；（1）点C的坐标为的坐标为 ，点B的坐标为（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．①求证：△CMD是等腰三角形；②当CD=5时，求直线l的函数表达式．4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB=，BC=，AC=；（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．两题中任选一题作答，我选择 题．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择A：①求线段AD的长；②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．B：①求线段DE的长；②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，一次函数y=x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB=6，点A的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是▱ABCD边上的一个动点．（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标．（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x﹣1上，求点P的坐标．（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P 作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM 沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）7．如图1，在直角坐标系中放入一个边长AB长为6，BC长为10的矩形纸片ABCD，B点与坐标原点O重合．将纸片沿着折痕AE翻折后，点D恰好落在x轴上，记为F．（1）求折痕AE所在直线与x轴交点的坐标；（2）求过D，F的直线解析式；（3）将矩形ABCD水平向右移动m个单位，则点B坐标为（m，0），其中m＞0．如图2所示，连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值．8．阅读理解：运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立，这种解决问题的方法我们称之为面积法．如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC 边上的高为h，点M为底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2，连接AM，利用S△ABC=S△ABM+S△ACM，可以得出结论：h=h1+h2．类比探究：在图1中，当点M在BC的延长线上时，猜想h、h1、h2之间的数量关系并证明你的结论．拓展应用：如图2，在平面直角坐标系中，有两条直线l1：y=x+3，l2：y=﹣3x+3，若l2上一点M到l1的距离是1，试运用“阅读理解”和“类比探究”中获得的结论，求出点M的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为正方形，A点坐标为（0，2），点P为x轴负半轴上一动点，以AP为直角作等腰直角三角形APD，∠APD=90°（点D落在第四象限）（1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求点D的坐标；（2）点P在移动的过程中，点D是否在直线y=x﹣2上？请说明理由；（3）连接OB交AD于点G，求证：AG=DG．10．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A （﹣，0）的两条直线分别交y轴于B 、C 两点，且B 、C 两点的纵坐标分别是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个根（Ⅰ）试问：直线AC 与直线AB 是否垂直？请说明理由；（Ⅱ）若点D 在直线AC 上，且DB=DC ，求点D 的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在直线BD 上寻找点P ，使以A 、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P 点的坐标．11．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，CB=CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于D ，过B 作BE ⊥ED 于E ．求证△BEC ≌△CDA ；（2）模型应用：①已知直线y=x +4与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90度，得到线段BC ，过点A ，C 作直线，求直线AC 的解析式；②如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为（8，6），A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，已知点D 在第一象限，且是直线y=2x ﹣6上的一点，若△APD 是不以A 为直角顶点的等腰Rt △，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．12．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，3），点O（0，0）（1）过边OB上的动点D（点D不与点B，O重合）作DE丄OB交AB于点E，沿着DE折叠该纸片，点B落在射线BO上的点F处．①如图，当D为OB中点时，求E点的坐标；②连接AF，当△AEF为直角三角形时，求E点坐标；（2）P是AB边上的动点（点P不与点B重合），将△AOP沿OP所在的直线折叠，得到△AʹOP，连接BAʹ，当BAʹ取得最小值时，求P点坐标（直接写出结果即可）．13．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（4，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）点M是坐标轴上的一个点，若AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标；（3）如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC﹣OD的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．14．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B 分别在x轴与y轴上，已知OA=6，OB=10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P 与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点Bʹ恰好落在AC边上，求点P 的坐标．（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点C是x轴上的一个动点，当点C移动到点O时，得是等边三角形，当点始终保持△ACP是等边三角形，轴上移动时，始终保持△点C在x轴上移动时，到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．（1）直线AB：y=mx+n与直线OB：y=kx相交于点B，不解关于x，y的方程组，请你求出它的解；（2）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？（3）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．16．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4交x轴，y轴分别于点A，点B，将△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，直线CD交直线AB于点E，如图1：（1）求：直线CD的函数关系式；（2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，如图2，①求证：∠OEF=45°；②求：点F的坐标；（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ和△DOC全等时，直接写出点P的坐标．17．已知，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，如图1，A，B坐标分别为（﹣2，0），（0，4），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD，连接AC、BD交于点E．（1）求证：△ABE≌△DCE．（2）M为直线BD上动点，N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标．（3）如图2，过E点作y轴的平行线交x轴于点F，在直线EF上找一点P，使△PAC的周长最小，求P点坐标和周长的最小值．18．平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y=kx+2k与x轴交于点C，与直线l1交于点P．（1）当k=1时，求点P的坐标；（2）如图1，点D为P A的中点，过点D作DE⊥x轴于E，交直线l2于点F，若DF=2DE，求k的值；（3）如图2，点P在第二象限内，PM⊥x轴于M，以PM为边向左作正方形PMNQ，NQ的延长线交直线l1于点R，若PR=PC，求点P的坐标．19．如图，直线y=kx+k交x轴，y轴分别于A，C，直线BC过点C交x轴于B，OC=3OA，∠CBA=45°．（1）求直线BC的解析式；（2）动点P从A出发沿射线AB匀速运动，速度为2个单位/秒，连接CP，设△PBC的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在AB的延长线上运动时，过点O作OD⊥PC于D，交BC于点E，连接AE，当∠EAB=∠CPA时，在坐标轴上有点K，且KC=KP，求点K的坐标．20．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A（0，1），交x 轴于点B，过点E（1，0）作x轴的垂线EF交AB于点D，点P从D出发，沿着射线ED的方向向上运动，设PD=n．（1）求直线AB的表达式；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）若以P为直角顶点，PB为直角边在第一象限作等腰直角△BPC，请问随着点P的运动，点C是否也在同一直线上运动？若在同一直线上运动，请求出直线解析式；若不在同一直线上运动，请说明理由．21．如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，若点E是边BC的中点，M是边AB的中点，连接EM，求证：AE=EF．（2）如图2，若点E在射线BC上滑动（不与点B，C重合）．①在点E滑动过程中，AE=EF是否一定成立？请说明理由；②在如图所示的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在直线y=﹣2x+6上，求此时点F的坐标．22．如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与，与 对角线AC交于Q点（Ⅰ）若点P的坐标为（1，），求点M的坐标；（Ⅱ）若点P的坐标为（1，t）①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）（Ⅲ）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由．23．如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，为坐标原点，点点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．记CD的长为t．（1）当t=时，求直线DE的函数表达式：（2）如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当OD 2+DE2取最小值时，求点E的坐标．24．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC （1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC 上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，直线OA的函数表达式为y=2x，直线AB的函数表达式为y=﹣3x+b，点B的坐标为．点P沿折线OA﹣AB运动，且不与点O和点B重合．设点P的横坐标为m，△OPB的面积为S．（1）请直接写出b的值．（2）求点A的坐标．（3）求S与m之间函数关系，并直接写出对应的自变量m的取值范围．（4）过点P作OB边的高线把△OPB分成两个三角形，当其中一个是等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的m的值．26．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a 2﹣2ab+b2=0．（1）判断△AOB的形状；（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，D点在AB上，点E在BC上，且AD=BE，试问：线段OD、OE是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；（3）将（2）中∠DOE绕点O旋转，使D、E分别落在AB，BC延长线上（如图③），∠BDE与∠COE有何关系？直接说出结论，不必说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，①求直线AB的解析式；②若QO=QA，求P点的坐标．（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．28．如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，平面直角坐标系中，已知直线连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B；直线AB与直线y=x交于点A，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q．（1）求证：OB=OC；（2）当点C坐标为（0，3）时，求点Q的坐标；（3）当△OPC≌△ADP时，直接写出C点的坐标．29．如图1，直线AB：y=﹣x﹣b分别与x，y轴交于A（6，0）、B两点，过点B 的直线交x轴负半轴与C，且OB：OC=3：1．（1）求直线BC的函数表达式；（2）直线EF：y=x﹣k（k≠0）交直线AB于E，交直线BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD=S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．（3）如图2，P为x轴上A点右侧的一动点，以P为直角顶点，BP为一腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，n）（n＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为Pʹ（点Pʹ不在y轴上），连接PPʹ，PʹA，PʹC．设点P的横坐标为m．（1）若点P在第一象限，记直线AB与PʹC的交点为D．当PʹD：DC=5：13时，求m的值；（2）若∠ACPʹ=60°，试用m的代数式表示n；（3）若点P在第一象限，是否同时存在m，n，使△PʹCA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的m，n的值；若不存在，请说明理由．31．如图①所示，直线L：y=m（x+10）与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）当OA=OB时，试确定直线L的解析式；（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=8，BN=6，求MN的长；（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y 轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．32．如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°；（1）如果点P（m，）在第二象限内，试用含m的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；（2）如果△QAB是等腰三角形并且点Q在坐标轴上，请求出点Q所有可能的坐标；（3）是否存在实数a，b使一次函数和y=ax+b的图象关于直线y=x 对称？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B．直线l⊥x轴负半轴于点C，点D是直线l上一点且位于x轴上方．已知CO=CD=4．（1）求经过A，D两点的直线的函数关系式和点B的坐标；（2）在直线l上是否存在点P使得△BDP为等腰三角形，若存在，直接写出P 点坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）对于y=2x+2，分别令x与y为0求出A与B坐标，根据CO=CD=4，求出D坐标，确定出直线AD解析式即可；（2）存在，如图所示，设出P（﹣4，p），分三种情况考虑：当BD=P1D时；当BP3=BD时；当BP4=DP4，分别求出P坐标即可．【解答】解：（1）对于直线y=2x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=﹣1，∴点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣1，0），又∵CO=CD=4，∴点D的坐标为（﹣4，4），设直线AD的函数表达式为y=kx+b，则有，解得：，∴直线AD的函数表达式为y=﹣x+2；（2）存在，设P（﹣4，p），分三种情况考虑：当BD=P1D时，可得（﹣1+4）2+（0﹣4）2=（p﹣4）2，解得：p=9或p=﹣1，此时P1（﹣4，9），P2（﹣4，﹣1）；当BP3=BD时，则有（﹣1+4）2+（0﹣p）2=（﹣1+4）2+（0﹣4）2，解得：p=﹣4，此时P 3（﹣4，﹣4）；当BP 4=DP 4时，（﹣1+4）2+（0﹣p ）2=（p ﹣4）2，解得：p=，此时P 4（﹣4，），综上，共有四个点满足要求．分别是P 1（﹣4，9），P 2（﹣4，﹣4），P 3（﹣4，﹣1），P 4（﹣4，）．【点评】此题属于一次函数综合题，此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：涉及的知识有：涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键．2．如图，直线L ：y=﹣x +2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点N （0，4），动点M 从A 点以每秒1个单位的速度匀速沿x 轴向左移动． （1）点A 的坐标：的坐标： （4，0） ；点B 的坐标：的坐标： （0，2） ；（2）求△NOM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；（3）在y 轴右边，当t 为何值时，△NOM ≌△AOB ，求出此时点M 的坐标； （4）在（3）的条件下，若点G 是线段ON 上一点，连结MG ，△MGN 沿MG 折叠，点N 恰好落在x 轴上的点H 处，求点G 的坐标．【分析】（1）在y=﹣x+2中，令别令y=0和x=0，则可求得A、B的坐标；（2）利用t可表示出OM，则可表示出S，注意分M在y轴右侧和左侧两种情况；（3）由全等三角形的性质可得OM=OB=2，则可求得M点的坐标；（4）由折叠的性质可知MG平分∠OMN，利用角平分线的性质定理可得到=，则可求得OG的长，可求得G点坐标．【解答】解：（1）在y=﹣x+2中，令y=0可求得x=4，令x=0可求得y=2，∴A（4，0），B（0，2），故答案为：（4，0）；（0，2）；（2）由题题意可知AM=t，①当点M在y轴右边时，OM=OA﹣AM=4﹣t，∵N（0，4），∴ON=4，∴S=OM•ON=×4×（4﹣t）=8﹣2t；②当点M在y轴左边时，则OM=AM﹣OA=t﹣4，∴S=×4×（t﹣4）=2t﹣8；（3）∵△NOM≌△AOB，∴MO=OB=2，∴M（2，0）；（4）∵OM=2，ON=4，∴MN==2，∵△MGN沿MG折叠，∴∠NMG=∠OMG，∴=，且NG=ON﹣OG，∴=，解得OG=﹣1，∴G（0，﹣1）．【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及函数与坐标轴的交点、三角形的面积、全等三角形的性质、角平分线的性质定理及分类讨论思想等知识．在（1）中注意求函数图象与坐标轴交点的方法，在（2）中注意分两种情况，在（3）中注意全等三角形的对应边相等，在（4）中利用角平分线的性质定理求得关于OG的等式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，但难度不大．3．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数y=x+3的图象经过点B、C．的坐标为 （﹣4，2）；（1）点C的坐标为的坐标为 （0，3），点B的坐标为（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．①求证：△CMD是等腰三角形；②当CD=5时，求直线l的函数表达式．【分析】（1）设点C的坐标为（0，y），把x=0代入y=x+3中得y=3，即可求出C点的坐标；设点B的坐标为（﹣4，y），把x=﹣4代入y=x+3中得y=2，即可求出B点的坐标；（2）①根据对称的性质和平行线的性质，推知∠CMD=∠MCD，故MD=CD，所以CMD是等腰三角形；②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．利用勾股定理求得CP的长度，然后结合坐标与图形的性质求得点M的坐标，利用待定系数法求得直线l的解析式即可．【解答】解：（1）如图①，∵A（﹣4，0），AB∥y轴，直线y=x+3经过点B、C，设点C的坐标为（0，y），把x=0代入y=x+3x+3中得y=3，∴C（0，3）；设点B的坐标为（﹣4，y），把x=4代入y=x+3中得y=2，∴B（﹣4，2）；故答案是：（0，3）；（﹣4，2）；（2）①证明：∵AB∥y轴，∴∠OCM=∠CMD．∵∠OCM=∠MCD，∴∠CMD=∠MCD，∴MD=CD，∴CMD是等腰三角形；②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．在直角△DCP中，由勾股定理得到：CP==3，∴OP=AD=CO+CP=3+3=6，∴AB=AD﹣DM=6﹣5=1，∴点M的坐标是（﹣4，1）．设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）．把M（﹣4，1）、C（0，3）分别代入，得，解得，故直线l的解析式为y=x+3．【点评】此题考查了一次函数综合题，此题考查了一次函数综合题，需要综合利用勾股定理，需要综合利用勾股定理，需要综合利用勾股定理，等腰三角形的判等腰三角形的判定与性质，对称的性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识点，难度不是很大，但是需要学生对所学知识有一个系统的掌握．4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x +8的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，点C ，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点A ，过点C 作CB ⊥y 轴，垂足为点C ，两条垂线相交于点B ．（1）线段AB ，BC ，AC 的长分别为AB= 8 ，BC= 4 ，AC= 4 ；（2）折叠图1中的△ABC ，使点A 与点C 重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，如图2． 请从下列A 、B 两题中任选一题作答，我选择两题中任选一题作答，我选择 A 题． A ：①求线段AD 的长；②在y 轴上，是否存在点P ，使得△APD 为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． B ：①求线段DE 的长；②在坐标平面内，是否存在点P （除点B 外），使得以点A ，P ，C 为顶点的三角形与△ABC 全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先确定出OA=4，OC=8，进而得出AB=8，BC=4，利用勾股定理即可得出AC ；（2）A 、①利用折叠的性质得出BD=8﹣AD ，最后用勾股定理即可得出结论； ②分三种情况利用方程的思想即可得出结论；B 、①利用折叠的性质得出AE ，利用勾股定理即可得出结论； ②先判断出∠APC=90°，再分情况讨论计算即可．【解答】解：（1）∵一次函数y=﹣2x +8的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，点C ，∴A （4，0），C （0，8）， ∴OA=4，OC=8，∵AB ⊥x 轴，CB ⊥y 轴，∠AOC=90°， ∴四边形OABC 是矩形， ∴AB=OC=8，BC=OA=4，在Rt △ABC 中，根据勾股定理得，AC==4，故答案为：8，4，4；（2）A 、①由（1）知，BC=4，AB=8， 由折叠知，CD=AD ，在Rt △BCD 中，BD=AB ﹣AD=8﹣AD ， 根据勾股定理得，CD 2=BC 2+BD 2， 即：AD 2=16+（8﹣AD ）2， ∴AD=5，②由①知，D （4，5）， 设P （0，y ）， ∵A （4，0），∴AP 2=16+y 2，DP 2=16+（y ﹣5）2， ∵△APD 为等腰三角形， ∴Ⅰ、AP=AD ， ∴16+y 2=25，∴y=±3，∴P （0，3）或（0，﹣3） Ⅱ、AP=DP ， ∴16+y2=16+（y ﹣5）2，∴y=， ∴P （0，），Ⅲ、AD=DP ，25=16+（y ﹣5）2， ∴y=2或8，∴P （0，2）或（0，8）．B 、①、由A ①知，AD=5， 由折叠知，AE=AC=2，DE ⊥AC 于E ，在Rt △ADE 中，DE==，②、∵以点A ，P ，C 为顶点的三角形与△ABC 全等， ∴△APC ≌△ABC ，或△CPA ≌△ABC ， ∴∠APC=∠ABC=90°， ∵四边形OABC 是矩形，∴△ACO ≌△CAB ，此时，符合条件，点P 和点O 重合， 即：P （0，0）， 如图3，过点O 作ON ⊥AC 于N ， 易证，△AON ∽△ACO ， ∴，∴， ∴AN=，过点N 作NH ⊥OA ， ∴NH ∥OA ，∴△ANH ∽△ACO ， ∴，∴，∴NH=，AH=， ∴OH=， ∴N （，），而点P 2与点O 关于AC 对称， ∴P 2（，），同理：点B 关于AC 的对称点P 1，同上的方法得，P 1（﹣，）， 即：满足条件的点P 的坐标为：（0，0），（，），（﹣，）．【点评】此题是一次函数综合题，此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质和判定，主要考查了矩形的性质和判定，主要考查了矩形的性质和判定，相似三角形的相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，对称的性质，解（1）的关键是求出AC ，解（2）的关键是利用分类讨论的思想解决问题．5．如图，一次函数y=x +6的图象交x 轴于点A 、交y 轴于点B ，∠ABO 的平分线交x 轴于点C ，过点C 作直线CD ⊥AB ，垂足为点D ，交y 轴于点E ． （1）求直线CE 的解析式；（2）在线段AB 上有一动点P （不与点A ，B 重合），过点P 分别作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足为点M 、N ，是否存在点P ，使线段MN 的长最小？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出AB=10，进而判断出Rt△BCD≌Rt△BCO，和△ACD∽△ABO，确定出点C（﹣3，0），再判断出△EBD≌△ABO，求出OE=BE﹣OB=4，即可得出点E坐标，最后用待定系数法即可；（2）设P（﹣m，﹣m+6），∴PN=m，PM=﹣m+6，根据勾股定理得，MN 2 =（m﹣）2+，即可得出点P横坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得点B的横坐标为0，点A的纵坐标为0，∴B（0，6），A（﹣8，0），∴OA=8，OB=6，∴AB==10，∵CB平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，∴CD=CO，∵BC=BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO，∴BD=BO=6，∴AD=AB﹣BD=4，∵∠ADC=∠AOB=90°，∠CAD=∠BAO，∴△ACD∽△ABO，∴，∴，∴AC=5，∴OC=OA ﹣AC=3， ∴C （﹣3，0），∵∠EDB=∠AOB=90°，BD=BO ，∠EBD=∠ABO ， ∴△EBD ≌△ABO ， ∴BE=AB=10， ∴OE=BE ﹣OB=4， ∴E （0，﹣4），设直线CE 的解析式为y=kx ﹣4， ∴﹣3k ﹣4=0， ∴k=﹣，∴直线CE 的解析式为y=﹣x ﹣4，（2）解：存在，（﹣，），如图，∵点P 在直线y=x +6上，∴设P （﹣m ，﹣m +6），∴PN=m ，PM=﹣m +6，根据勾股定理得，MN 2=PN2+PM2=m2+（﹣m +6）2=（m ﹣）2+，∴当m=时，MN 2有最小值，则MN 有最小值，当m=时，y=﹣x +6=﹣×+6=，∴P （﹣，）．【点评】此题是一次函数综合题，此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，主要考查了待定系数法，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是求出点C 的坐标，解（2）的关键是得出MN 2的函数关系式，是一道中等难度的中考常考题．6．如图1，已知▱ABCD ，AB ∥x 轴，AB=6，点A 的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（﹣3，4），点B 在第四象限，点P 是▱ABCD 边上的一个动点． （1）若点P 在边BC 上，PD=CD ，求点P 的坐标．（2）若点P 在边AB ，AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线y=x ﹣1上，求点P 的坐标．（3）若点P 在边AB ，AD ，CD 上，点G 是AD 与y 轴的交点，如图2，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P 的坐标．（直接写出答案）【分析】（1）由题意点P 与点C 重合，可得点P 坐标为（3，4）；（2）分两种情形①当点P 在边AD 上时，②当点P 在边AB 上时，分别列出方程即可解决问题；（3）分三种情形①如图1中，当点P 在线段CD 上时．②如图2中，当点P 在AB 上时．③如图3中，当点P 在线段AD 上时．分别求解即可； 【解答】解：（1）∵CD=6， ∴点P 与点C 重合， ∴点P 坐标为（3，4）．（2）①当点P 在边AD 上时， ∵直线AD 的解析式为y=﹣2x ﹣2， 设P （a ，﹣2a ﹣2），且﹣3≤a ≤1，若点P关于x轴的对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x﹣1上，∴2a+2=a﹣1，解得a=﹣3，此时P（﹣3，4）．若点P关于y轴的对称点Q3（﹣a，﹣2a﹣2）在直线y=x﹣1上时，∴﹣2a﹣2=﹣a﹣1，解得a=﹣1，此时P（﹣1，0）②当点P在边AB上时，设P（a，﹣4）且1≤a≤7，若等P关于x轴的对称点Q2（a，4）在直线y=x﹣1上，∴4=a﹣1，解得a=5，此时P（5，﹣4），若点P关于y轴的对称点Q4（﹣a，﹣4）在直线y=x﹣1上，∴﹣4=﹣a﹣1，解得a=3，此时P（3，﹣4），综上所述，点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）．（3）①如图1中，当点P在线段CD上时，设P（m，4）．在Rt△PNMʹ中，∵PM=PMʹ=6，PN=4，∴NMʹ==2，在Rt△OGMʹ中，∵OG 2+OMʹ2=GMʹ2，∴22+（2+m）2=m2，解得m=﹣， ∴P （﹣，4）根据对称性可知，P （，4）也满足条件．②如图2中，当点P 在AB 上时，易知四边形PMGMʹ是正方形，边长为2，此时P （2，﹣4）．③如图3中，当点P 在线段AD 上时，设AD 交x 轴于R ．易证∠MʹRG=∠MʹGR ，推出MʹR=MʹG=GM ，设MʹR=MʹG=GM=x ．∵直线AD 的解析式为y=﹣2x ﹣2， ∴R （﹣1，0），在Rt △OGMʹ中，有x 2=22+（x ﹣1）2，解得x=，。

专题16 压轴：一次函数综合典例1．（2018秋•太仓市期末）如图所示，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，连接AC，且AC＝4，．（1）求AC所在直线的解析式；（2）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分的面积．（3）求EF所在的直线的函数解析式．【答案】见解析【解析】解：（1）∵，∴可设OC＝x，则OA＝2x，在Rt△AOC中，由勾股定理可得OC2+OA2＝AC2，∴x2+（2x）2＝（4）2，解得x＝4（x＝﹣4舍去），∴OC＝4，OA＝8，∴A（8，0），C（0，4），设直线AC解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AC解析式为y x+4；（2）由折叠的性质可知AE＝CE，设AE＝CE＝y，则OE＝8﹣y，在Rt△OCE中，由勾股定理可得OE2+OC2＝CE2，∴（8﹣y）2+42＝y2，解得y＝5，∴AE＝CE＝5，∵∠AEF＝∠CEF，∠CFE＝∠AEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF＝5，∴S△CEF CF•OC5×4＝10，即重叠部分的面积为10；（3）由（2）可知OE＝3，CF＝5，∴E（3，0），F（5，4），设直线EF的解析式为y＝k′x+b′，∴，解得，∴直线EF的解析式为y＝2x﹣6．【点睛】（1）设OC＝x，由条件可得OA＝2x，在Rt△OAC中，由勾股定理可列方程，则可求得OC的长，可得出A、C的坐标，利用待定系数法可求得直线AC的解析式；（2）可设AE＝CE＝y，则有OE＝8﹣x，在Rt△OEC中，可求得x的值，再由矩形的性质可证得CE＝CF，则可求得△CEF的面积；（3）由（2）可求得E、F的坐标，利用待定系数法即可求得直线EF的函数解析式．本题为一次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、勾股定理及方程思想等知识．在（1）中求得A、C的坐标是解题的关键，在（2）中求得CF的长是解题的关键，在（3）中确定出E、F的坐标是解题的关键．典例2 ．（2018春•黄陂区期末）如图，直线y＝2x+6交x轴于A，交y轴于B．（1）直接写出A（____，___），B（___，___）；（2）如图1，点E为直线y＝x+2上一点，点F为直线y x上一点，若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点E，F的坐标（3）如图2，点C（m，n）为线段AB上一动点，D（﹣7m，0）在x轴上，连接CD，点M为CD的中点，求点M的纵坐标y和横坐标x之间的函数关系式，并直接写出在点C移动过程中点M的运动路径长．【答案】见解析【解析】解：（1）对于直线y＝2x+6，令x＝0，得到y＝6，令y＝0，得到x＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（0，6），故答案为﹣3，0，0，6；（2）∵A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，∴AB＝EF，AB∥EF，设E（m，m+2），则F（m+3，m+8）或（m﹣3，m﹣4），把F（m+3，m+8）代入y x，得到m+8（m+3），解得m＝﹣13，∴E（﹣13，﹣11），F（﹣10，﹣5），把F（m﹣3，m﹣4）代入y x中，m﹣4（m﹣3），解得m＝5，∴E（5，7），F（2，1），当AB为对角线时，设E（m，m+2），则F（m﹣3，6﹣m），把F（﹣m﹣3，4﹣m）代入y x中，4﹣m（﹣m﹣3），解得m＝11，∴E（11，13），F（﹣14，﹣7）．（3）∵C（m，n）在直线y＝2x+6上，∴n＝2m+6，∴C（m，2m+6），∵D（﹣7m，0），CM＝MD，∴M（﹣3m，m+3），令x＝﹣3m，y＝m+3，∴y x+3，当点C与A重合时，m＝﹣3，可得M（9，0），当点C与B重合时，m＝0，可得M（0，3），∴点C移动过程中点M的运动路径长为：3．【点睛】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）因为A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，推出AB＝EF，AB∥EF，设E（m，m+2），则F （m+3，m+8）或（m﹣3，m﹣4），再利用待定系数法求出m即可；（3）求出点M的坐标（用m表示），即可解决问题，利用特殊位置求出点M的坐标，可以解决点C移动过程中点M的运动路径长；本题考查一次函数综合题、平行四边形的判定和性质、中点坐标公式、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．典例3．（2018春•高新区期末）在直角坐标系中，点P（a，b）的“变换点”的坐标定义如下：当a≥b时，点P1的坐标为（a，﹣b）；当a＜b时，点P1的坐标为（b，﹣a）．（1）直接写出点A（5，6）、B（3，2）、C（4，4）的变换点A1、B1、C1的坐标；（2）P（a，b）为直线y＝﹣2x+6上的任一点，当a＜b时，点P（a，b）的变换点在一条直线M上，求点M的函数解析式并写出自变量的取值范围；（3）直线y＝﹣2x+6上所有点的变换点组成一个新的图形L，直线y＝kx+1与图形L有两个公共点，求k的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（1）A（5，6）的变换点坐标是（6，﹣5），B（3，2）的变换点坐标是（3，﹣2），C（4，4）的变换点坐标是（4，﹣4）；（2）当a＝b时，a＝b＝2，∵（2，2）的变换点为（2，﹣2），∵当a＜b时，点P（a，b）的变换点坐标为（b，﹣a），∴x＜2，∵（0，6）的变换点为（6，0），∴点P（a，b）的变换点经过（2，﹣2）和（6，0），设点M的函数解析式为y＝kx+m，则有解得，∴y x﹣3（x＜2）.（3）由题意，新的图形L的函数解析式为y新图形L的拐点坐标为（2，﹣2），画出图形如图所示．当y＝kx+1过点（2，﹣2）时，有﹣2＝2k+1，解得：k；当y＝kx+1与y＝2x﹣6平行时，k＝2；当y＝kx+1与y x﹣3平行时，k．结合图形可知：直线y＝kx+1与图形L有且只有两个公共点时，k．【点睛】（1）根据“变换点”的定义解答即可；（2）根据“变换点”的定义得出（2，2），（0，6）的变换点的坐标，进而得出解析式即可；（3）首先确定求出新的图形L的函数解析式，依照题意画出图形，并找出直线y＝kx+1与图形L有且只有两个公共点的临界点，结合图形即可得出结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质以及一次函数图象，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．典例4．（2018春•郾城区期末）已知：直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求△AOB的面积；（2）若点B关于x轴的对称点为C，点D为线段OA上一动点，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，求直线CE的解析式；（3）在（2）的条件下，直线CE与x轴交于点F，与直线AB交于点P，当点D在OA上移动时，直线AB上是否存在点Q，使以F，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出Q，D的坐标；若不存在，说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）∵直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∴S△AOB•OA•OB2×4＝4；（2）过E作EG⊥x轴于点G，如图，∵点B关于x轴的对称点为C，∴C（0，﹣4），∴可设直线CE解析式为y＝kx﹣4，由题意可知BD＝ED，∠EDB＝90°，且∠DOB＝∠EGA＝90°，∴∠BDO+∠OBD＝∠BDO+∠EDG＝90°，∴∠OBD＝∠EDG，在△BDO和△DEG中∴△BDO≌△DEG（AAS），∴GD＝OB＝4，EG＝OD，设OD＝a，则EG＝a，OG＝4+a，∴E（﹣a﹣4，a），∵点E在直线CE上，∴a＝k（﹣a﹣4）﹣4，解得k＝﹣1，∴直线CE解析式为y＝﹣x﹣4；（3）要使以F、P、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，则有DA＝F A，P A＝QA，即A为FD和PQ的中点，在y＝﹣x﹣4中，令y＝0可得x＝﹣4，∴F（﹣4，0），且A（﹣2，0），∴D（0，0），联立直线AB和CE解析式可得，解得，∴P（，），∴Q（，）．【点睛】（1）由直线解析式可求得A、B坐标，则可求得△AOB的面积；（2）过E作EG⊥x轴于点G，由C点坐标可设出CE的解析式，再由条件可证得△DEG≌△BDO，设OD＝a，则可表示出EG和OG的长，则可表示出E点坐标，把E点坐标代入直线CE解析式可求得k 的值，则可求得直线CE的解析式；（3）由条件可知当四边形为平行四边形时，可得到DA＝F A，P A＝QA，则可求得D、Q的坐标．本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、全等三角形的判定和性质、待定系数法、平行四边形的性质等知识．在（1）中求得A、B坐标即可，在（2）中用OD的长表示出E点坐标是解题的关键，在（3）中确定出A为平行四边形的中心是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．典例5．（2018春•随县期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OBEC的顶点E坐标为（12，6），直线l：y＝x与对角线BC交于点A．（1）求出点A的坐标；（2）如果点D是线段OA上一动点，当△COD的面积为12时，求直线CD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）∵直线l：y x，E（12，6）∴直线l经过点E∴点A是BC与OE的交点即点A是矩形OBEC对角线的交点∴A点的坐标是（6，3）．（2）C（0，6），设D（a，a）∵S△COD6•a＝12∴a＝4∴D（4，2），设直线CD的函数表达式为y＝kx+b∵C（0，6），D（4，2）∴，解得，∴直线CD的函数表达式为y＝﹣x+6．（3）存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形．如图所示，分三种情况考虑：①四边形OP1Q1C为菱形时，由∠COP1＝90°，得到四边形OP1Q1C为正方形，此时OP1＝OC＝6，即P1（6，0）．②当四边形OP2CQ2为菱形时，由C坐标为（0，6），得到P2纵坐标为3，把y＝3代入直线直线CD的解析式y＝﹣x+6中，可得3＝﹣x+6，解得x＝3，此时P2（3，3）．③当四边形OQ3P3C为菱形时，则有OQ3＝OC＝CP3＝P3Q3＝6，设P3（x，﹣x+6），∴x2+（﹣x+6﹣6）2＝62解得x＝3或x＝﹣3（舍去），此时P3（3，﹣36），综上可知存在满足条件的点P坐标为（6，0）或（3，3）或（3，﹣36）．【点睛】（1）只要证明点A是矩形的对角线的交点即可解决问题；（2）设D（a，a），利用三角形的面积公式构建方程求出a，可得点D坐标，再利用待定系数法即可解决问题；（3）分三种情形分别讨论求解即可；本题考查一次函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.典例6.（2018春•武昌区期末）在平面直角坐标系xoy中，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P在直线AB上．（1）如图1，若m1，点P在线段AB上，∠POA＝60°，求点P的坐标；（2）如图2，以OP为对角线作正方形OCPD（O，C，P，D按顺时针方向排列），当点P在直线AB上运动时，的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由；（3）如图3，在（1）的条件下，Q为y轴上一动点，连AQ，以AQ为边作正方形AQEF（A，Q，E，F 按顺时针方向排列），连接OE，AE，则OE+AE的最小值为_________．【答案】见解析【解析】解：（1）如图1所示：过点P作PG⊥OA，垂足为G．∵y＝﹣x+m，∴A（m，0），B（0，m）．∴OB＝OA＝m1．∴∠P AG＝45°．又∵∠PGA＝90°，∴PG＝GA．∵∠POG＝60°，∠PGO＝90°∴PG OG．∴（1）OG1．∴OG＝1，∴PG．∴点P的坐标为（1，）．（2）的值不变．如图2所示，过点O作OM⊥OP交PC的延长线与M，连接BM．∵四边形OCPD是正方形，∴OC＝PC，∠OCP＝90°，∴∠OPC＝45°．∵∠MOP＝90°，∴∠OMP＝∠OPM＝45°，∴OP＝OM．∵A（m，0）、B（0，m），∴OA＝OB＝m．∵∠BOA＝∠MOP＝90°，∴∠POA＝∠MOB．∵OA＝OB，∠POA＝∠MOB，OP＝OM，∴△POA≌△MOB，∴∠OAP＝∠OBM＝135°，∴∠MBP＝90°，∵C为PM的中点，∴BC＝CP OP，∴．（3）如图3所示：过E作EK垂直y轴与K，设A（0，a）．可证明△OAQ≌△KQE．∴OQ＝KE＝a，AO＝KQ1．∴E（a，a1）．∴点E在直线y＝x1上运动，∴点B在直线y＝x1上．设直线y＝x1交x轴与N．∴N（1，0）．∴∠BNO＝45°．作点O关于直线y＝x1的对称点O1，连接AO1，交直线y＝x1与E1，连接OE1、O1N、O1E．∴OE1＝O1E1．∴OE1+AE1＝O1A≤O1E+AE，∴OE+AE的最小值为线段O1A的长．∵∠BNO＝∠BNO1＝45°，ON＝O1N，∴∠ANO1＝90°在Rt△O1NA中，O1A．故答案为：．【点睛】（1）过点P作PG⊥OA，垂足为G．则OB＝OA＝m1，然后可证明PG＝AG，然后再由特殊锐角三角函数值可知PG OG，最后由OG+AG＝OA可求得OG的值，从而可求得点P的坐标；（2）过点O作OM⊥OP交PC的延长线与M，连接BM．接下来，再证明△POA≌△MOB，依据全等三角形的性质可得到∠OAP＝∠OBM＝135°，接下来，再证明∠MBP＝90°，依据直角三角斜边上中线的性质可证明BC＝CP，然后依据OP与CP的比值为定值可得到问题的答案；（3）过E作EK垂直y轴与K，设A（0，a）．可证明△OAQ≌△KQE，则E（a，a1），设直线y＝x1交x轴与N，则∠BNO＝45°，作点O关于直线y＝x1的对称点O1，连接AO1，交直线y＝x1与E1，连接OE1、O1N、O1E，则OE+AE的最小值为线段O1A的长，最后，在Rt △O1NA中依据勾股定理求得O1A的长即可．本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、轴对称的性质，确定出OE+AE取得最小值的条件是解题的关键．巩固练习1．（2018春•岚山区期末）在如图平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于点A（3，0）、B（0，4）两点，动点P从点O开始沿OA向点A以每秒个单位长度运动，动点Q从点B开始沿BO向点O以每秒个单位长度运动，过点P作y轴的平行线交直线AB于点M，连接PQ．且点P、Q分别从点O、B 同时出发，运动时间为t秒．（1）请直接写出直线AB的函数解析式：______；（2）当t＝4时，四边形BQPM是否为菱形？若是，请说明理由；若不是，请求出当t为何值时，四边形BQPM是菱形．【答案】见解析【解析】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b（k≠0）．把点A（3，0）、B（0，4）分别代入，得解得．故直线AB的函数解析式是：y x+3．故答案是：y x+3．（2）当t＝4时，四边形BQPM是菱形．理由如下：当t＝4时，BQ4，则OQ＝4．当t＝4时，OP，则AP．由勾股定理求得PQ BQ．∵PM∥OB，∴△APM∽△AOB，∴，即，解得PM．∴四边形BQPM是平行四边形，∴当t＝4时，四边形BQPM是菱形．2．（2018春•中山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线AB上有一点C（m，4）．点D（0，n）是y轴上任意一点，连结CD，以CD为边在直线CD下方，作正方形CDEF．（1）填空：m＝___；（2）若正方形CDEF的面积为S，求S关于n的函数关系式；（3）点A关于y轴的对称点为A′，连接A′B，是否存在n的值，使正方形的顶点E或F落在△ABA′的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）∵C（m，4）在直线y x+8上，∴4m+8，∴m＝3，故答案为3．（2）∵D（0，n），C（3，4），∴S＝CD2＝32+（n﹣4）2＝n2﹣8n+25．（3）①如图1中，当点F在直线BA′上时，作CN⊥y轴于N，FM⊥CN于M．则△CND≌△FMC，∴CN＝FM＝3，DN＝CM＝n﹣4，∴F（7﹣n，1），∵直线A′B的解析式为y x+8，∴1（7﹣n）+8，∴n．②如图2中，当点E落在直线A′B上时，连接EC交OB于R，此时点F在y轴上，DR＝CR＝3，OR ＝4，OD＝7，∴n＝7．③如图3中，当点E落在AA′上时，作CR⊥OB于R．则△CRD≌△DOE，∴DO＝CR＝3，∴n＝3．④如图4中，当点F落在直线AB上时，作CR⊥OB于R，FN⊥CR于N．则△CRD≌△FNC，∴FN＝CR＝3，CN＝DR＝4﹣n，∴F（7﹣n，1），把F（7﹣n，1）代入y x+8得到，1（7﹣n）+8，∴n，综上所述，满足条件的n的值为或7或3或．3．（2018春•南安市期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（12，0）、C（0，9），将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D．（1）线段OB的长度为____；（2）求直线BD所对应的函数表达式；（3）若点Q在线段BD上，在线段BC上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∵OA＝12，AB＝9，∴OB15．故答案为15．（2）如图，设AD＝x，则OD＝OA＝AD＝12﹣x，根据轴对称的性质，DE＝x，BE＝AB＝9，又OB＝15，∴OE＝OB﹣BE＝15﹣9＝6，在Rt△OED中，OE2+DE2＝OD2，即62+x2＝（12﹣x）2，解得x，∴OD＝OA﹣AD＝12，∴点D（，0），设直线BD所对应的函数表达式为：y＝kx+b（k≠0）则，解得，∴直线BD所对应的函数表达式为：y＝2x﹣15．（3）过点E作EP∥BD交BC于点P，过点P作PQ∥DE交BD于点Q，则四边形DEPQ是平行四边形，再过点E作EF⊥OD于点F，由•OE•DE•DO•EF，得EF，即点E的纵坐标为，又点E在直线OB：y x上，∴x，解得x，∴E（，），由于PE∥BD，所以可设直线PE：y＝2x+n，∵E（，），在直线EP上∴2n，解得n＝﹣6，∴直线EP：y＝2x﹣6，令y＝9，则9＝2x﹣6，解得x，∴P（，9）．4．（2018春•汶上县期末）已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+8，与x轴交于点A，与y 轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF，问：①若△P AO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；②是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）令x＝0，则y＝8，∴B（0，8），令y＝0，则﹣2x+8＝0，∴x＝4，∴A（4，0），（2）连接OP．∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点，∴﹣2m+8＝n，∵A（4，0），∴OA＝4，∴0＜m＜4∴S△P AO OA×PE4×n＝2（﹣2m+8）＝﹣4m+16，（0＜m＜4）；（3）存在，理由：∵PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，OA⊥OB，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，当OP⊥AB时，此时EF最小，∵A（4，0），B（0，8），∴AB＝4∵S△AOB OA×OB AB×OP，∴OP，∴EF的最小值＝OP．5．（2018春•涵江区期末）已知：如图，直线y＝﹣x+6与坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上的一个动点，连接OC，以OC为边在它的左侧作正方形OCDE连接BE、CE．（1）当点C横坐标为4时，求点E的坐标；（2）若点C横坐标为t，△BCE的面积为S，请求出S关于t的函数解析式；（3）当点C在线段AB上运动时，点E相应随之运动，请求出点E所在的函数解析式．【答案】见解析【解析】解：（1）作CF⊥OA于F，EG⊥x轴于G．∴∠CFO＝∠EGO＝90°，令x＝4，y＝﹣4+6＝2，∴C（4，2），∴CF＝2，OF＝4，∵四边形OCDE是正方形，∴OC＝OE，OC⊥OE，∵OC⊥OE，∴∠COF+∠EOG＝90°，∠COF+∠OCF＝90°，∴∠EOG＝∠OCF，∴△CFO≌△OGE，∴OG＝OF＝4，OG＝CF＝2，∴G（﹣2，4）．（2）∵直线y＝﹣x+6交y轴于B，∴令x＝0得到y＝6，∴B（0，6），令y＝0，得到x＝6，∴A（6，0），∴OA＝OB＝6，∠OAB＝∠OBA＝45°，∵∠AOB＝∠EOC＝90°，∴∠EOB＝∠COA，∵OE＝OC，∴△EOB≌△COA，∴BE＝AC，∠OBE＝∠OAC＝45°，∴∠EBC＝90°，即EB⊥AB，∵C（t，﹣t+6），∴BC t，AC＝BE（6﹣t），∴S•BC•EB t•（6﹣t）＝﹣t2+6t．（3）当点C在线段AB上运动时，由（1）可知E（t﹣6，t），设x＝6﹣t，y＝t，∴t＝x+6，∴y＝x+6．6．（2018春•广元期末）如图1，四边形ABCD是正方形，点A、B分别在两条直线y＝﹣2x和y＝kx上，点C、D是x轴上两点．（1）若正方形ABCD的边长为2，试求k的值；（2）若正方形ABCD的边长为m，则k的值是否会发生变化？若不会发生变化，请说明理由；若发生变化，试求出k的值；（3）如图2，在（1）的条件下直线y＝kx沿y轴向下平移得到直线l：y＝ax+b，使直线1经过点C，点P是直线l上的一个动点，当|P A﹣PB|的值最大时，求点P的坐标．【答案】见解析【解析】解：（1）∵正方形ABCD的边长为2，∴AD＝CD＝BC＝AB，∴点A的横坐标为2，针对于直线y＝﹣2x，令y＝2，∴x＝﹣1，∴点D（﹣1，0），∴C（﹣3，0），∴B（﹣3，2），将点B（﹣3，2）代入y＝kx中，﹣3k＝2，∴k；（2））k的值不会发生变化，理由：∵正方形ABCD的边长为m，∴AD＝CD＝BC＝AB，∴点A的横坐标为m，针对于直线y═2x，令y＝m，∴x m，∴点D（m，0），∴C（m，0），∴B（m，2m），将点B（m，2m）代入y＝kx中，mk＝m，∴k，∴k的值不会会发生变化；（3）由（1）知，k，∵直线1经过点C（﹣3，0），由平移知，直线l的解析式为y x﹣2，当|P A﹣PB|的值最大时，点，A，B，P在同一条直线上，∵AB∥x轴，B（﹣3，2），∴点P的纵坐标为2，∵点P是直线l上的一个动点，直线l的解析式为y x﹣2，∴x﹣2＝2，∴x＝﹣6，∴P（﹣6，2）．。