2018年长郡理科实验班数学招生试题(七)含答案

长郡中学2017～2018学年新高三实验班选拔考试理科数学试卷本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，时量120分钟，满分150分第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若复数（其中，为虚数单位）的虚部为1，则A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】,的虚部为，，故选C.2. 已知集合，集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】,,故选B.3. 长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】由古典概型概率公式，可得选取的人恰为一男一女的概率为，故选B.4. 已知等差数列的前项和为，若，则A. 23B. 96C. 224D. 276【答案】D【解析】是等差数列，可设首项为，公差为，由，可得，，故选D.5. 已知为双曲线的一个焦点，其关于双曲线的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为A. B.C. 2D.【答案】C【解析】设右焦点关于渐近线：的对称点为，则在上交于，由点到直线距离公式可得，为直角三角形，三边分别为，由对称性知，，，故选C.6. 下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是A. B.C. D.【答案】C【解析】对于.函数是奇函数，在为整数）上递增，则不满足；对于.函数为奇函数，由于，则在上递增，则满足；对于.函数为偶函数，则不满足；对于.函数既不是奇函数，也不是偶函数，则不满足，故选C.。

湖南省长郡中学2017-2018学年高一入学分班考试数学试题一、选择题1．已知方程组7{13x y ax y a+=---=+的解x 为非正数，y 为非负数，则a 的取值范围是（ ） A. 23a -<≤ B. 23a -≤< C. 23a -<< D. 2a ≤- 【答案】D【解析】由方程组7{ 13x y a x y a +=---=+可解得3{ 28x a y a =-=--，由题设可得30{ 2280a a a -≤⇒≤---≥，应选答案D 。

2．已知226a b ab +=，且0a b >>，则a ba b+-的值为（ ）A.B. C. 2 D. 2±【答案】A【解析】由226a b ab +=可解得3a b -=±，又0a b >>，故(3a b =+，则(4a b b +=+， (2a b b -=+，故a ba b+=-，应选答案A 。

3．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（ ） A.13 B. 23 C. 19 D. 16【答案】C【解析】由题设每辆汽车的直行的概率是13，因此两辆汽车行驶彼此独立，故两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为111339⨯=，应选答案C 。

4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便，原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =， 9y =时，则各个因式的值是： 0x y -=， 18x y +=， 22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式32x xy -，取20x =，10y =时，用上述方法产生的密码不可能是（ ）A. 201010B. 203010C. 301020D. 201030 【答案】A【解析】由于()()32x xy x x y x y -=+-，所以取20x =， 10y =，则30,10x y x y +=-=，所以用上述方法产生的密码可以是203010， 301020， 201030，应选答案A 。

2018年湖南省长沙市长郡中学高中理实班招生拔尖试题（时间:90分钟满分:120分）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1．对于任意的有理数a ，方程0)43()1(222=+--++b a a x a x 的根总是有理数，则b 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．02．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”根据上述定义，有以下几个结论:①“距离坐标”是（0，1）的点有1个；②“距离坐标”是（5，6）的点有4个；iM （p ，q ）③“距离坐标”是（a ，a ）（a 为非负实数）的点有4个其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 3．一张等腰三角形纸片，底边长13cm ，底边上的高为32.5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为5cm 的矩形纸条，如图所示已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）A ．第3张B ．第4张C ．第5张D ．第6张 4．如图，正方形ABCD 的边长为1，点M ，N 分别在BC ，CD 上，且△CMN 的周长为2，则△MAN的面积的最小值为 （ ）A ．12-B ．222-C ．22D ．122-5．如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形，根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断正确的是（ ）A ．乙>丙>甲B ．丙>乙>甲C ．甲>丙>乙D ．无法判断6．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a 第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=+223y x by ax ，只有正数解的概率为（ ） A ．121 B ．92 C ．185 D ．3613 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）7．计算：24066312305941--+++= .8．已知||x-2|-b |=a 有四个不同的解，则||||||||b b a a a b a b b a b a ++--+++= . 9．若抛物线1422++-=p px x y 中不管p 取何值时都通过定点，则定点坐标为 .10．如图，半径为r 的圆O 沿折线ABCDE 作无滑动的滚动，如果AB =BC =CD =DE =r π2，∠ABC =∠CDE =150°，∠BCD=120°，那么，圆O 自点A 至点E 转动了 周.11．二次函数a ax x y ++=22在21≤≤-x 上有最小值-4，则a 的值为.12．在平面直角坐标系中，已知P 1的坐标为（1，0），将其绕着原点按逆时针方向旋转30°得到P 2，延长OP 2到P 3使OP 3=2OP 2，再将P 3绕原点按逆时针方向旋转30°得到P 4，延长OP 4到P 5，使OP 5=2OP 4，如此继续下去，则点P 2010的坐标为 .三、解答题（本大题共5小题，第13题10分，第14-16题各12分，第17题14分，共60分）13．已知m ，n 是方程0132=++x x 的两根.（1）求mm m m m 23102)5165(---⋅--+的值； （2）求mn n m 33+的值.14．甲、乙两人从A 地到B 地，甲骑自行车，乙步行，已知甲每小时比乙每小时多走8千米，甲、乙同时出发，甲比乙早到5小时，若甲到B 地后立即沿原路返回，则在距B 地15千米处与乙相遇，求A ，B 两地间的距离及甲、乙两人的速度.15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D，P分别是AC，BC的中点，△ADE是等腰三角形，∠AED=90°，连接BE，EC.（1）判断线段BE和EC的关系，并证明你的结论；（2）连接P A，PE，过点A作AM∥PE，过点E作EM∥P A，AM和EM相交于点M，在图中先补充图形，再判断四边形P AME的形状，并证明你的结论.16．如图，在 ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足∠ECD =∠ACB ，AC 的延长线与△ABD的外接圆交于点F ，证明:∠DFE =∠AFB .17．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A ，B 的坐标分别是(5，0)，(3，2)，点D在线段OA 上，BD =BA ，点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0，3)，设直线PQ 的解析式为y =kx +b（1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线ax ax y 52-=的顶点在直线PQ ，OA ，AB ，BC围成的四边形内部，求a 的取值范围.。

长郡中学2018-2019学年度高二第二学期入学考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量90分钟.满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若222x y +>，则1x >或1y >的否命题是（ ） A. 若222x y +<，则1x ≤或1y ≤ B. 若222x y +<，则1x ≤且1y ≤ C. 若222x y +<，则1x <或1y <D. 若222x y +≤，则1x ≤且1y ≤2.在复平面内，复数(1)(1)z a a i =-++（a R ∈，i 为虚数单位），对应的点在第四象限的充要条件是（ ） A. 1a ≥- B. 1a >-C. 1a ≤-D. 1a <-3.已知{}n a 等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差为（ ）A.23B.32C. 23-D. 32-4.设函数()sin (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向左平移3π个单位长度后，所得图象与原函数的图象重合，则ω的最小值是（ ） A.13B. 3C. 6D. 95.已知x y 、满足2213xy +=，则2432u x y x y =+-+--的取值范围为（ ）A. []112， B. []06，C. []012， D. []113， 6.已知点P 是椭圆221168x y +=上非顶点的动点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M是12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=u u u u r u u u r，则OM u u u u r 的取值范围是（ ） A. [)0,3B. (0,C. )⎡⎣D. (]0,4 7.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为2670，则判断框中的条件可以为（ ）是A. 5?i <B. 6?i <C. 7?i <D. 8?i <8.已知点P ,Q 为圆C :x 2+y 2=25上任意两点,且|PQ|<6,若PQ 中点组成的区域为M ,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M 上的概率为( )A.35 B.925 C. 1625D. 259.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ( )A. 4B.203C.263D. 810.已知函数224log ,02(){1512,22x x f x x x x <<=-+≥，若存在实数a b c d 、、、，满足()()()()f a f b f c f d ===，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ ） A. (16,21)B. (16,24)C. (17,21)D. (18,24)11.三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r，则三角形ABC的形状是（ ） A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 上述均不的12.设函数2()ln 2f x x x x =-+，若存在区间1[,][,)2a b ⊆+∞，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[(2),(2)]k a k b ++，则k 的取值范围是（ ）A. 92ln 2[1,]4+ B. 92ln 2(1,)4+ C. 92ln 2[1,]10+ D. 92ln 2(1,]10+ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题纸上.13.设{}1,0,1,3a ∈-，{}2,4b ∈-，则以(),a b 为坐标的点落在第四象限的概率为___________.14.已知向量,a b rr 满足：13a =r ,1b =r ,512a b -≤r r ，则b r 在a r 上的投影的取值范围是 ．15.曲线sin y x =与直线,32x x ππ=-=及x 轴所围成的图形的面积是________．16.如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点()1,0处标数字1，点(11)-，处标数字2，点(01)-，处标数字3，点(11)，--处标数字4，点(10)-，处标数字5，点()11-，处标数字6，点(01)，处标数字7，…以此类推：记格点坐标为()m n ，的点（m n ，均为正整数）处所标的数字为()f m n =，，若n m >，则()f m n =， ．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.通过市场调查,得到某种产品的资金投入x (单位:万元)与获得的利润y (单位:万元)的数据,如表所示: 资金投入x 2 3 4 5 6 利润y 23569(1)画出数据对应的散点图;(2)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程y bx a =+$$$; (3)现投入资金10万元,求获得利润的估计值为多少万元?参考公式：1122211ˆ()ˆ)(()nni i i ii i n nii i i x x y y x y nxyax x x nx b y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑ 18.在数列{}n a 中，11a =，()1121n n n a ca c n ++=++()n *∈N ，其中实数0c ≠．(1)求23,a a ，并由此归纳出{}n a 的通项公式； (2) 用数学归纳法证明(Ⅰ)的结论．19.已知(2cos ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-v v，且m n ⊥u v v． (1)将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的单调递增区间；(2)已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角A,B,C 的对边，若()32Af =，且2a =，4b c +=，求ABC ∆的面积．.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂中为G ，G 在AD 上，且14,,,23PG AG GD BG GC GB GC ==⊥==，E 是BC 的中点．（1）求异面直线GE 与PC 所成角余弦值；（2）若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求PFFC的值． 21.已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线的距离为322．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．(1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值． 22.已知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈. （1）若(1)0f =，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数a 的最小值数学（理科）参考答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量90分钟.满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.D3.A4.C5.D6.B7.B8.B9.B10.B11.B12.D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题纸上..13. 14,1]14 [51315 3216. (2n+1)2+m−n−1三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)依次画出图中所对应的五个点，（2）根据上表提供数据，先求平均数和，然后根据所给的第二个公式，计算，和，代入公式求出以后，再根据回归直线过点，代入直线方程求，得到回归直线方程；（3）当时，代入回归直线方程，得到利润的预报值.试题解析：（1）（2）x̅=2+3+4+5+65=4，y̅=2+3+5+6+95=5b=∑x i y i−nx̅y̅ni=1∑x i2−nx̅2ni=1=2×3+3×3+4×5+5×6+6×9−5×4×54+9+16+25+36−5×16=1.7∴a=y̅−bx̅=−1.8，∴ŷ=1.7x−1.8（3）当x=10（万元），ŷ=15.2（万元）18.(1) 由a1=1，及a n+1=ca n+c n+1(2n+1)(n∈N∗)得a2=ca1+c2⋅3=(22−1)c2+c，a3=ca2+c3(2×2+1)=c[(22−1)c2+c]+c3(2×2+1)=(32−1)c3+c2于是猜测:a n=(n2−1)c n+c n−1(n∈N∗)(2)下面用数学归纳法予以证明:10当n=1时，由a1=1=(12−1)c+c1−1显然结论成立．20假设n=k时结论成立，即a k=(k2−1)c k+c k−1那么，当n=k+1时，由a k+1=ca k+c k+1(2k+1)=c[(k2−1)c k+c k−1]+c k+1(2k+1)=(k2+2k)c k+1+c k=[(k+1)2−1]c k+1+c k显然结论成立．由10、20知，对任何n∈N∗都有a n=(n2−1)c n+c n−1(n∈N∗)19.（1）∵，∴，，由，得kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z，∴函数的递增区间为[kπ−π3,kπ+π6],k∈Z．（2）由（1）得，∴，，，∴．在中，由余弦定理得，，∴，∴．20.（1）以G点为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(0,2,0),P(0,0,4)，故∵，∴GE与PC所成角的余弦值为√1010．（2）解：设F(0,y,z)，则，∵，∴，即(32,y −32,z)⋅(0,2,0)=2y −3=0，∴y =32， 又，即(0,32,z −4)=λ(0,2,−4)，∴z =1，故F(0,32,1)，，∴PFFC =3√52√52=321.解：（1）依题意，设拋物线C 的方程为x 2=4cy ，由√2=3√22结合c >0，解得c =1，所以拋物线C 的方程为x 2=4y .（2）拋物线C 的方程为x 2=4y ，即y =14x 2，求导得y ′=12x ， 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(其中y 1=x 124,y 2=x 224)则切线PA,PB 的斜率分别为12x 1,12x 2，所以切线PA 的方程为y −y 1=x 12(x −x 1)，即y =x 12x −x 122+y 1，即x 1x −2y −2y 1=0，同理可得切线PB方程为x 2x −2y −2y 2=0，因为切线PA,PB 均过点P(x 0,y 0)，所以x 1x 0−2y 0−2y 1=0，x 2x 0−2y 0−2y 2=0， 所以(x 1,y 1),(x 2,y 2)为方程x 0x −2y 0−2y =0的两组解， 所以直线AB 的方程为x 0x −2y −2y 0=0.（3）由拋物线定义可知|AF|=y 1+1,|BF|=y 2+1，联立方程{x 0x −2y −2y 0=0x 2=4y，消去x 整理得y 2+(2y 0−x 02)y +y 02=0. 由一元二次方程根与系数的关系可得y 1+y 2=x 02−2y 0,y 1y 2=y 02， 所以|AF|⋅|BF|=y 1y 2+(y 1+y 2)+1=y 02+x 02−2y 0+1又点P(x 0,y 0)在直线l 上，所以x 0=y 0+2，所以y 02+x 02−2y 0+1=2y 02+2y 0+5=2(y 0+12)2+92， 所以当y 0=−12时，|AF|⋅|BF|取得最小值,且取得最小值为92. 22.（1）因为f(1)=1−a2=0，的所以a=2，故f(x)=lnx−x2+x,x>0，所以f′(x)=1x −2x+1=−2x2+x+1x=−(x−1)(2x+1)x(x>0)，由f′(x)<0，解得x>1，所以f(x)的单调减区间为(1,+∞)．（2）令g(x)=f(x)−(ax−1)=lnx−12ax2+(1−a)x+1，x>0，由题意可得g(x)<0在(0,+∞)上恒成立．又g′(x)=1x −ax+(1−a)=−ax2+(1−a)x+1x．①当a≤0时，则g′(x)>0．所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，又因为g(1)=ln1−12a×12+(1−a)+1=−32a+2>0，所以关于x的不等式f(x)≤ax−1不能恒成立．②当a>0时，g′(x)=−ax2+(1−a)x+1x =−a(x−1a)(x+1)x，令g′(x)=0，得x=1a．所以当x∈(0,1a)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x∈(1a,+∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．故当x=1a 时，函数g(x)取得极大值，也为最大值，且最大值为g(1a)=ln1a−12a×(1a)2+(1−a)×1a+1=12a−lna．令ℎ(a)=12a−lna,a>0，则ℎ(a)在(0,+∞)上单调递减，因为ℎ(1)=12>0，ℎ(2)=14−ln2<0．所以当a≥2时，ℎ(a)<0，所以整数a的最小值为2．。

绝密★启用前长郡中学2017～2018学年新高三实验班选拔考试理科数学试卷本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，时量120分钟，满分150分第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数（其中，为虚数单位）的虚部为1，则A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】,的虚部为，，故选C.2.已知集合，集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】,,故选B.3.长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】由古典概型概率公式，可得选取的人恰为一男一女的概率为，故选B.4.已知等差数列的前项和为，若，则A. 23B. 96C. 224D. 276【答案】D【解析】是等差数列，可设首项为，公差为，由，可得，，故选D.5.已知为双曲线的一个焦点，其关于双曲线的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为A. B.C. 2D.【答案】C【解析】设右焦点关于渐近线：的对称点为，则在上交于，由点到直线距离公式可得，为直角三角形，三边分别为，由对称性知，，，故选C.6.下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是A. B.C. D.【答案】C【解析】对于.函数是奇函数，在为整数）上递增，则不满足；对于.函数为奇函数，由于，则在上递增，则满足；对于.函数为偶函数，则不满足；对于.函数既不是奇函数，也不是偶函数，则不满足，故选C.7.执行如图所示的程序框图，若输，则输出的结果为（）A. 7B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】执行程序框图，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；结束循环，输出，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8.若二项式展开式的各项系数之和为，则含项的系数为A. 560B.C. 280D.【答案】A【解析】因为二项式展开式的各项系数之和为，所以，的通项为，令项的系数为，故选A.9.某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是A. B.C. D.【答案】C【解析】依题意，由几何体的三视图可知，此几何体为一个直三棱柱和一个半圆柱组成的组合体，且直三棱柱底面为两直角边为和的直角三角形，高为，半圆柱的底面半径为，高为，所以该几何体的体积为，故选C.10.已知椭圆，若直线经过，与椭圆交于两点，且，则直线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线斜率为，，，由与联立可得，，则，解得，故选B.11.已知三棱锥的每个顶点都在球的表面上，底面，且二面角的正切值为4，则球的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】设中点为，可得，则是“二面角”的平面角，由于“二面角” 的正切值为，，由余弦定理知，，由正弦定理知，外接圆直径，设外接球半径为，则，球的表面积为，故选D. 【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.12.已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】函数在区间上有两个零点，等价于与的图象有两个交点，设与的图象相切，切点为，则，解得，因为关于的方程，与有两个交点，，故选A.【方法点睛】判断方程零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法③.第Ⅱ卷（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若实数满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】画出表示的可行域如图，由图知，直线平移经过点时，有最小值为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.设，，且，则__________．【答案】【解析】由，可得，故答案为.15.已知，，则__________．【答案】【解析】，，故答案为.16.在数列中，首项不为零，且，为的前项和．令，则的最大值为__________．【答案】【解析】数列首项，所以数列是公比为的等比数列，，，，所以，设，令,当且时取等号，，即的最大值为，故答案为.三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在锐角中，分别为角的对边，且．（Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，求面积的取值范围．【答案】(1) ；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由，根据二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简可得，从而可得结果；（Ⅱ）在中，由正弦定理得，又，∴，∴， 又∵，从而可得结果. 试题解析：（Ⅰ）∵，∴①，又∵，∴②，又③， 将①，②，③代入已知得：，整理得，即，又∵，∴，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∵为锐角三角形，∴且，解得，在中，由正弦定理得：，∴，又，∴，∴，又∵，∴．18.如图，在直三棱柱中，，为线段的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【答案】(1)证明见解析；（2）或.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由直棱柱的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量及，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）∵三棱柱是直三棱柱，∴平面，又平面∴，∵，是的中点，∴，又平面平面，∴平面，又平面，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，故以为原点，为轴，为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示），设，则，∴，· 设平面的一个法向量，则，即，则，令可得，，故，设直线与平面所成角为，则，解得或，即或．19.某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购买的对象．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30以上．其中不足50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周数大约有35周，超过70的大约有10周．根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量（百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图：（Ⅰ）依据数据的折线图，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；并根据所求线性回归方程，估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量是多少斤？（Ⅱ）因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为该基地提供了部分光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：周光照量若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为5000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损800元，欲使商家周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：回归方程系数公式：．【答案】(1) ；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）算出样本中心点的坐标，利用公式求得，由可得，即可得回归方程，再将时代入即可得结果；（Ⅱ）分别求出安装2台光照控制仪的周利润的均值、安装3台光照控制仪的均值，与安装1台光照控制仪可获得周利润进行比较即可得结果.试题解析：（Ⅰ），，，，所以关于的线性回归方程为，当时，百斤＝550斤，所以估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量是500斤．（Ⅱ）记商家总利润为元，由已知条件可知至少需安装1台，①安装1台光照控制仪可获得周利润5000元，②安装2台光照控制仪的情形：当时，一台光照控制仪运行，此时元，当时，两台光照控制仪都运行，此时元，故的分布列为所以元，③安装3台光照控制仪的情形：当时，一台光照控制仪运行，此时元，当时，两台光照控制仪运行，此时元，当时，三台光照控制仪都运行，此时元，故的分布列为所以元，综上，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．【方法点晴】本题主要考查线性回归方程及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；(2) 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.已知是抛物线上一点，到直线的距离为，到的准线的距离为，且的最小值为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）直线交于点，直线交于点，线段的中点分别为，若，直线的斜率为，求证：直线恒过定点．【答案】(1) ；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）的最小值等价于点到直线的距离，∴，解得，从而可得结果；（Ⅱ）设，由可得，由中点坐标公式以及斜率公式可得的斜率，直线的方程可化为，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，则，其最小值为点到直线的距离，∴，解得（舍去负值），∴抛物线的方程为．（Ⅱ）设，由可得，则，所以∴的中点的坐标为，同理可得点的坐标为，则直线的斜率，则，则直线的方程可化为，即，令可得，∴直线恒过定点．【方法点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及韦达定理、直线和抛物线的位置关系、最值问题及直线过定点问题.属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.已知函数（，为自然对数的底数）在点处的切线经过点．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1) 当时，函数在上单调递减；当时，函数在上递减，函数在上单调递增；（2）.【解析】试题分析:（Ⅰ）求出，由过点的直线的斜率为可得，讨论两种情况，分别由得增区间，得减区间；（Ⅱ）原不等式等价于不等式恒成立，利用导数研究的单调性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得结果.试题解析：（Ⅰ）因为，所以过点的直线的斜率为，而，由导数的几何意义可知，，所以，所以．则，当时，，函数在上单调递减；当时，由得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增．（Ⅱ）不等式恒成立，即不等式恒成立，设，若，则，函数单调递增且不存在最小值，不满足题意；当时，由得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，要使得恒成立，只需恒成立，由于，所以有，解得，即当时，恒成立，即恒成立，也即不等式恒成立，所以实数的取值范围为．22.设，，，，是5个正实数（可以相等）．证明：一定存在4个互不相同的下标，，，，使得．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：可设，则，，，，都属于区间，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含其中的3个数，5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同．、对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，结论成立．试题解析：不妨设，考虑以下5个分数：，，，，，①它们都属于区间．把区间分成两个区间：和，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含①中的3个数（记这3个数依次为，，）．将①中的5个数依次围成一个圆圈，则①中任意三个数中都有两个数是相邻的（与是相邻的），即，，中至少有两个数是相邻的．假设与相邻，则．另一方面，由①中5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同．于是，、对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，结论成立．23.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系中，直线的方程为：，直线的方程为．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程，并指出它是何种曲线；（Ⅱ）设与曲线交于两点，与曲线交于两点，求四边形面积的取值范围．【答案】(1) 以为圆心，为半径的圆；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用平方法可消去参数，从而可得曲线的直角坐标方程，进而得它是何种曲线；（Ⅱ）设，，曲线的方程化成极坐标方程，将曲线的方程化成极坐标方程得：，∴，，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）由（为参数）消去参数得：，∴曲线是以为圆心，为半径的圆．（Ⅱ）设，，∵三点共线，则①，将曲线的方程化成极坐标方程得：，∴，代入①得：，用代得：又∵，∴，∴，∵，∴。

绝密★启用前长郡中学2017～2018学年新高三实验班选拔考试文科数学试卷本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，时量120分钟，满分150分。

第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．已知集合{}{}0,1,0,1A B ==-，若A C B ⊆⊆，则符合条件的集合C 的个数为 A ．1B ．2C ．4D ．82．已知复数z 在复平面内对应的点在第三象限，则1z z z =+在复平面上对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．长郡中学将参加摸底测试的1200名学生编号为1，2，3，…，1200，从中抽取一个容量为50的样本进行学习情况调查，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号为 A ．68 B ．92 C ．82 D ．170 4．在菱形ABCD 中，()()1,2,2,1A C -，则BA AC =A ．5B ．－5C ．D ． 5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>与圆2223:2016D x y ax a +-+=交于,A B 两点，若四边形OADB （O 为原点）是菱形，则椭圆C 的离心率为A ．13B ．12C D 6．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域至于如此简单明了的一个命题为什么能够开辟一个全新的领域，这大概与它其中蕴含的奇偶归一思想有关．右图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果i 分别为 A ．a 是偶数？；6 B ．a 是偶数？；8 C ．a 是奇数？；5 D ．a 是奇数？；77．已知数列{}n a 是等差数列，若()()121122n n n T na n a a a n -=+-+++≥…，且237,16T T ==，则n a = A ．1n + B ．21n -C ．31n -D ．43n -8．已知函数()()()cos 30f x x ϕϕπ=+<<，将()f x 的图象向右平移6π个单位所得图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，将()f x 的图象向左平移()0θθ>个单位所得图象关于y 轴对称，则θ的值不可能．．．是 A ．4π B ．512π C ．712π D ．1112π9．若函数(),0ln ,0x a x f x x x +≤⎧=⎨>⎩的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是A ．(),0-∞B ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．[)1,+∞10．已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22222:14y x C b a-=，若以12,C C 四个顶点为顶点的四边形的面积为1S ，以12,C C 四个焦点为顶点的四边形的面积为2S ，则12S S 取到最大值时，双曲线1C 的一条渐近线方程为 A ．12y x =B．2y x =C．y =D ．2y x = 11．如图，在四棱锥P ABCD-中，,//,4,A B A D B C A D P A A D A B⊥====⊥平面，点E 是线段AB 的中点，点F 在线段PA 上，且//EF PCD 平面，PD 与CEF 平面交于点H ，则线段CH 的长度为AC ．D ．12．已知函数()2cos f x x x a π=++在()0,π上有两个不同的零点()1212,x x x x <，给出下列结论：①()10f x '<；②()20f x '>；③12x x π+<．其中错误结论的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高一下学期入学考试数学试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知A ＝{1，3}，B ＝{3，4，5}，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{3}B ．{4，5}C ．{1，2，4，5}D ．{3，4，5}2．已知函数f(x)={3−x +1(x ≤0)x a +2(x ＞0)，若f （f （﹣1））＝18，那么实数a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．已知f （x ）＝2x +2﹣x ，若f （a ）＝3，则f （2a ）＝（ ） A ．5B ．7C ．9D ．114．设α是第三象限角，且|cos α2|＝﹣cos α2，则α2所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．下列各式中，值为√32的是（ ） A ．sin15°cos15° B ．cos 2π12−sin 2π12C ．1+tan15°1−tan15°D ．√1+cos30°26．已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD →=a →，BE →=b →，则BC →为（ ） A ．43a →+23b →B ．23a →+43b →C ．23a →−23b →D ．23b →−43a →7．函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）为减函数，且f （﹣1）＝1，若f （x ﹣2）≥﹣1，则x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，3]B ．（﹣∞，1]C ．[3，+∞）D ．[1，+∞）8．已知点A （0，1），B （1，2），C （﹣2，﹣1），D （3，4），则AB →在CD →方向上的投影为（ ） A ．3√22B ．√2C ．−3√22D ．−3√1529．函数y ＝e |lnx |﹣|x ﹣1|的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．正方形ABCD 边长为2，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于M ，交CD 于N ，P 为平面上一点，且2OP →=λOB →+(1−λ)OC →，则PM →⋅PN →的最小值是（ ）A ．−34 B ．﹣1C ．−74D ．﹣211．2cos10°cos20°−tan20°=（ ）A ．1B ．√3−12C ．√3D ．√3212．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）+f （x ）＝0，且f （x ）={−log 2(1−x)，x ∈(−1，0]−12x 2−3x −72，x ∈(−∞，−1]，若关于x 的方程f （x ）＝t （t ∈R ）恰有5个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1+x 2+x 3+x 4+x 5的取值范围是（ ） A ．（﹣2，﹣1）B ．（﹣1，1）C ．（1，2）D ．（2，3）13．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=12(弦×矢+矢2)，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田．下列说法不正确的是（ ）A ．“弦”AB ＝4√3米，“矢”CD ＝2米B ．按照经验公式计算所得弧田面积（4√3+2）平方米C ．按照弓形的面积计算实际面积为（16π3−2√3）平方米D ．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据√3≈1.73，π≈3.14） 14．已知函数f （x ）＝x 2﹣2（a +2）x +a 2，g （x ）＝﹣x 2+2（a ﹣2）x ﹣a 2+8．设H 1（x ）＝max {f （x ），g （x ）}，H 2（x ）＝min {f （x ），g （x ）}，（其中max {p ，q }表示p ，q 中的较大值，min {p ，q }表示p ，q 中的较小值）．记H 1（x ）的最小值为A ，H 2（x ）的最大值为B ，则A ﹣B ＝（ ） A ．a 2﹣2a ﹣16B ．a 2+2a ﹣16C ．﹣16D ．1615．定义一种新运算：a •b ={b ，(a ≥b)a ，(a ＜b)已知函数f （x ）＝（1+4x ）•log 2x ，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 恰有两个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．（1，2]B ．（1，2）C ．（0，2）D ．（0，1）二、填空题：把答案填写在题中的横线上.16．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）的图象如图所示，则f （2）＝ ．17．若f （x ）＝a x （a ＞0）的图象过点（2，4），则a ＝ ． 18．cos18°•cos42°﹣cos72°•sin42°＝ ．19．已知函数f （x ）的定义域是（0，+∞），且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(12)=1，如果对于0＜x ＜y ，都有f （x ）＞f （y ），则不等式f （﹣x ）+f （3﹣x ）≥﹣2的解集为 ．20．如图，Rt △ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，O 为BC 的中点，以O 为圆心，1为半径的半圆与BC 交于点D ，P 为半圆上任意一点，则BP →⋅AD →的最小值为 ．三、解答题：解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 21．已知向量a →=(1，2)，向量b →=(−3，2)． （1）求向量a →−2b →的坐标；（2）当k 为何值时，向量ka →+b →与向量a →−2b →共线． 22．（1）计算：(log 23)2−log 23⋅lg6lg2+log 26． （2）若tanα=−13，求sinα+2cosα5cosα−sinα．23．已知函数f(x)=√3sinxcosx +cos 2x +a ． （1）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间；（2）当x ∈[−π6，π3]时，函数f （x ）的最大值与最小值的和为32，求实数a 的值．24．已知函数f （x ）=log 4(4x +1)+kx （k ∈R ）是偶函数． （1）求k 的值；（2）设g （x ）=log 4(a ⋅2x −43a)，若函数f （x ）与g （x ）的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围． 25．设函数f(x)=a 2x −1a x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．（1）若f （1）＞0，求使不等式f （kx ﹣x 2）+f （x ﹣1）＜0对一切x ∈R 恒成立的实数k 的取值范围； （2）若函数f （x ）的图象过点P(1，32)，是否存在正数m （m ≠1），使函数g(x)=log m [a 2x +a −2x −mf(x)]在[1，log 23]上的最大值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【详解详析】∵A ＝{1，3}，B ＝{3，4，5}， ∴A ∩B ＝{3} 故选：A ．2．【详解详析】∵函数f(x)={3−x +1(x ≤0)x a +2(x ＞0)，f （f （﹣1））＝18，∴f （﹣1）＝3+1＝4，f （f （﹣1））＝f （4）＝4a +2＝18， 解得a ＝2． 故选：C ．3．【详解详析】∵f （x ）＝2x +2﹣x ，f （a ）＝3， ∴2a +2﹣a ＝3， f （2a ）＝22a +2﹣2a＝4a +4﹣a ＝（2a +2﹣a ）2﹣2＝9﹣2＝7．故选：B ．4．【详解详析】α是第三象限角，即2kπ+π＜α＜2kπ+3π2，k ∈z ，由此得kπ+π2＜α2＜kπ+3π4，k ∈z ，则α2是第二或第四象限角． 又|cos α2|=−cos α2得cos α2≤0，所以α2是第二象限角． 故选：B ．5．【详解详析】A 选项，sin15°×cos15°=12sin30°=14≠√32，不正确； B 选项，cos 2π12−sin 2π12=cos π6=√32，正确； C 选项，1+tan15°1−tan15°=tan45°+tan15°1−tan45°tan15°=tan （450+150）＝tan60°=√3≠√32，不正确； D 选项，√1+cos30°2=√1+√322=√2+√32≠√32，不正确．故选：B ．6．【详解详析】如图，设AB →=m →，AC →=n →，则BC →=n →−m →{a →=12(m →+n →)b →=12n →−m →∴n →=43a →+23b →，m →=23a →−23b →∴BC →=23a →+43b →故选：B ．7．【详解详析】∵f （x ）是奇函数，在[0，+∞）上单调递减， ∴f （x ）在R 上单调递减， 又f （1）＝﹣f （﹣1）＝﹣1， ∴f （x ﹣2）≥﹣1⇔f （x ﹣2）≥f （1）， ∴x ﹣2≤1， 即x ≤3． 故选：A ．8．【详解详析】根据题意，点A （0，1），B （1，2），C （﹣2，﹣1），D （3，4）， 则AB →=（1，1），CD →=（5，5），则有AB →•CD →=1×5+1×5＝10，|CD →|=√25+25=5√2， 则AB →在CD →方向上的投影AB →⋅CD →|CD →|=52=√2；故选：B ．9．【详解详析】由y ＝e |lnx |﹣|x ﹣1|可知：函数过点（1，1）， 当0＜x ＜1时，y ＝e ﹣lnx﹣1+x =1x +x ﹣1，y ′=−1x 2+1＜0．∴y ＝e﹣lnx﹣1+x 为减函数；若当x ＞1时，y ＝e lnx ﹣x +1＝1，故选：D ．10．【详解详析】根据题意，2OP →=λOB →+(1−λ)OC →，∴2OP →的终点在线段BC 上， ∴|2OP →|≥1， ∴|OP →|≥12， ∴OP →2≥14；又O 是MN 的中点， ∴OM →+ON →=0→，∴OM →•ON →≥√2×√2×cosπ＝﹣2， ∴PM →⋅PN →=（OM →−OP →）•（ON →−OP →）=OM →•ON →−OP →•（OM →+ON →）+OP →2≥−2﹣0+14=−74， ∴PM →•PN →的最小值是−74．故选：C ．11．【详解详析】∵2cos10°cos20°−tan20°=2cos10°cos20°−sin20°cos20°=2cos(30°−20°)cos20°−sin20°cos20°=2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)cos20°−sin20°cos20°=√3cos20°+sin20°cos20°−sin20°cos20°=√3．故选：C．12．【详解详析】∵f（﹣x）+f（x）＝0，∴f（x）是奇函数，f（x）的函数图象关于原点对称．作出函数f（x）的图象如图所示：由图象可知t∈（﹣1，1），设x1＜x2＜x3＜x4＜x5，根据二次函数的对称性可知：x1+x2＝﹣6，﹣1＜x3＜1，x4+x5＝6，∴x1+x2+x3+x4+x5＝x3∈（﹣1，1）．故选：B．13．【详解详析】如图，由题意可得∠AOB=2π3，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD=π3，∠DAO=π6，OD=12AO=12×4=2，可得矢＝4﹣2＝2，由AD＝AO sinπ3=4×√32=2√3，可得弦＝2AD＝4√3，所以弧田面积=12（弦×矢+矢2）=12（4√3×2+22）＝4√3+2平方米．实际面积=12⋅2π3⋅42−12⋅4√3⋅2=16π3−4√3，16π3−8√3−2=0.907≈0.9．可得A，B，D正确；C错误．故选：C．14．【详解详析】f（x）＝g（x），即x2﹣2（a+2）x+a2＝﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8，即x2﹣2ax+a2﹣4＝0，解得x＝a+2或x＝a﹣2．f（x）与g（x）的图象如图．由图象及H1（x）的定义知H1（x）的最小值是f（a+2），H2（x）的最大值为g（a﹣2），A﹣B＝f（a+2）﹣g（a﹣2）＝（a+2）2﹣2（a+2）2+a2+（a﹣2）2﹣2（a﹣2）2+a2﹣8＝﹣16．解法二：令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]＝2x2﹣4ax+2a2﹣8＝2（x﹣a）2﹣8．①由2（x﹣a）2﹣8＝0，解得x＝a±2，此时f（x）＝g（x）；②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．综上可知：（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）＝max{f（x），g（x）}＝f（x）＝[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，H2（x）＝min{f（x），g（x）}＝g（x）＝﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）＝max{f（x），g（x）}＝g（x），H2（x）＝min{f（x），g（x）}＝f（x）；（3）当x≥a+2时，则H1（x）＝max{f（x），g（x）}＝f（x），H2（x）＝min{f（x），g（x）}＝g（x），故A＝g（a+2）＝﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12＝﹣4a﹣4，B＝g（a﹣2）＝﹣4a+12，∴A﹣B＝﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）＝﹣16．故选：C．15．【详解详析】令1+4x=log2x，可解得x＝4，此时函数值为2，而且当0＜x≤4时，1+4x ≥log2x，当x＞4时1+4x＜log2x，故f（x）＝（1+4x ）•log2x={1+4x，x＞4log2x，0＜x≤4，函数g（x）＝f（x）﹣k恰有两个零点等价于函数f（x）与y＝k的图象有两个交点，作出函数的图象：由图象可知，k的取值范围为（1，2）故选：B．二、填空题：把答案填写在题中的横线上.16．【详解详析】根据函数f （x ）＝sin （ωx +φ）的图象可得34•T =34•2πω=3﹣1，ω=3π4．再根据五点法作图可得3π4×1+φ=π2， ∴φ=−π4，∴f （x ）＝sin （3π4x −π4）， ∴f （2）＝sin （3π2−π4）＝sin 5π4=−sin π4=−√22， 故答案为：−√22． 17．【详解详析】函数f （x ）的图象过点（2，4），可得4＝a 2，又a ＞0，解得a ＝2． 故答案为：218．【详解详析】cos18°⋅cos42°−cos72°⋅sin42°=cos18°⋅cos42°−sin18°⋅sin42°=cos60°=12， 故答案为：12．19．【解答】解（1）∵f （xy ）＝f （x ）+f （y ） ∴令x ＝y ＝1得f （1）＝f （1）+f （1）， ∴f （1）＝0 再令x ＝2，y =12，∴f （1）＝f （2）+f （12）＝0，∴f （2）＝﹣1 令x ＝y ＝2，∴令x ＝y ＝2得f （4）＝f （2）+f （2）＝﹣2， ∵对于0＜x ＜y ，都有f （x ）＞f （y ）． ∴函数在（0，+∞）减函数， ∵f （﹣x ）+f （3﹣x ）≥﹣2． ∴f （x ）+f （x ﹣3）≥f （4）， ∴f [x （x ﹣3）]≥f （4），∴{−x ＞03−x ＞0x(x −3)≤4，解得﹣1≤x ＜0∴原不等式的解集为[﹣1，0）， 故答案为：[﹣1，0）．20．【详解详析】建立如图所示的平面直角坐标系，则B （﹣2，0），A （0，2），D （1，0），设P （x ，y ），故BP →=（x +2，y ），AD →=（1，﹣2），所以BP →⋅AD →=x ﹣2y +2．令x ﹣2y +2＝t ，根据直线的几何意义可知，当直线x ﹣2y +2＝t 与半圆相切时，t 取得最小值，由点到直线的距离公式可得√5=1，t ＝2−√5，即BP →⋅AD →的最小值是2−√5． 故答案为：2−√5．三、解答题：解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.21．【详解详析】（1）∵a →=(1，2)，b →=(−3，2)，∴a →−2b →=(1，2)−2(−3，2)=(7，−2)；（2）ka →+b →=k （1，2）+（﹣3，2）＝（k ﹣3，2k +2），由（1）知a →−2b →=（7，﹣2），∵ka →+b →与a →−2b →共线，∴7（2k +2）＝﹣2（k ﹣3），解得k =−12．22．【详解详析】（1）(log 23)2−log 23⋅lg6lg2+log 26=(log 23)2−log 23⋅log 26+log 26＝log 23（log 23﹣log 26）+log 26＝﹣log 23+log 26＝1；（2）tanα=−13，∴cosα≠0，∴sinα+2cosα5cosα−sinα=sinα+2cosαcosα5cosα−sinαcosα=tanα+25−tanα=516． 23．【详解详析】（1）函数f(x)=√3sinxcosx +cos 2x +a=√32sin2x +12（1+cos2x ）+a ＝sin （2x +π6）+a +12，∴函数f （x ）的最小正周期为T =2π2=π； 令−π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π，k ∈Z ；解得−π3+k π≤x ≤π6+k π，k ∈Z ；∴f （x ）的单调递增区间为[−π3+k π，π6+k π]，k ∈Z ；（2）当x ∈[−π6，π3]时，2x +π6∈[−π6，5π6]， 令2x +π6=−π6，解得x =−π6，此时函数f （x ）取得最小值为f （x ）min =−12+a +12=a ；令2x +π6=π2，解得x =π6，此时函数f （x ）取得最大值为f （x ）max ＝1+a +12=32+a ； 又f （x ）的最大值与最小值的和为a +（32+a ）=32，∴a ＝0．24．【详解详析】（1）由函数f （x ）是偶函数可知，f （x ）＝f （﹣x ），…（1分） 所以log 4（4x +1）+kx ＝log 4（4﹣x +1）﹣kx ，所以log 44x +14−x +1=−2kx ，…即x ＝﹣2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k =−12．…（5分）（2）函数f （x ）与g （x ）的图象有且只有一个公共点，即方程log 4（4x +1）−12x =log 4(a ⋅2x −43a)有且只有一个实根，即方程2x +12x =a •2x −43a 有且只有一个实根．…（6分）令t ＝2x ＞0，则方程（a ﹣1）t 2−43at ﹣1＝0有且只有一个正根．…（7分） ①当a ＝1时，则t =−34，不合题意；…（8分）②当a ≠1时，△＝0，解得a =34或﹣3． 若a =34，则t ＝﹣2，不合题意；若a ＝﹣3，则t =12；…（10分） ③若方程有一个正根与一个负根，即−1a−1＜0， 解得a ＞1．…（11分）综上所述，实数a 的取值范围是{﹣3}∪（1，+∞）．…（12分）25．【详解详析】（1）f （x ）＝a x ﹣a ﹣x ，由f （1）＞0得 a −1a ＞0，又 a ＞0， ∴a ＞1，∵f （kx ﹣x 2）+f （x ﹣1）＜0，函数f （x ）是奇函数，∴f （kx ﹣x 2）＜f （1﹣x ），∵a ＞1，f （x ）＝a x ﹣a ﹣x 在R 上为增函数，即 kx ﹣x 2＜1﹣x 对一切x 恒成立，即x 2﹣（k +1）x +1＞0在R 恒成立，有△＜0，∴（k +1）2﹣4＜0，得﹣3＜k ＜1，所以k 的取值范围是（﹣3，1），（2）假设存在正数m （m ≠1）符合，∵f （x ）过(1，32)， ∴a ＝2，∴g(x)=log m [(2x −2−x )2−m(2x −2−x )+2]，设s ＝2x ﹣2﹣x ，h （s ）＝s 2﹣ms +2，（i ） 若0＜m ＜1，则函数h （s ）＝s 2﹣ms +2在[32，83]上最小值为1， ∵对称轴=m 2＜12，ℎ(s)min =ℎ(32)=174−32m =1⇒m =136（舍）， （ii ） 若m ＞1，则h （s ）＝s 2﹣ms +2＞0在[32，83]上恒成立，且最大为1，最小值大于0，①{12＜m 2≤2512ℎ(s)max =ℎ(83)=1⇒m =7324， 此时 m 2=7348∈[32，83]，ℎ(s)min =ℎ(7348)＜0， 故不合题意②{m 2＞2512ℎ(s)max =ℎ(32)=1⇒{m ＞256m =136⇒m ，此时无解，综上所述，不存在正数m（m≠1）满足条件．。

绝密★启用前长郡中学2017～2018学年新高三实验班选拔考试理科数学试卷本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，时量120分钟，满分150分第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数（其中，为虚数单位）的虚部为1，则A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】,的虚部为，，故选C.2.已知集合，集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】,,故选B.3.长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】由古典概型概率公式，可得选取的人恰为一男一女的概率为，故选B.4.已知等差数列的前项和为，若，则A. 23B. 96C. 224D. 276【答案】D【解析】是等差数列，可设首项为，公差为，由，可得，，故选D.5.已知为双曲线的一个焦点，其关于双曲线的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为A. B.C. 2D.【答案】C【解析】设右焦点关于渐近线：的对称点为，则在上交于，由点到直线距离公式可得，为直角三角形，三边分别为，由对称性知，，，故选C.6.下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是A. B.C. D.【答案】C【解析】对于.函数是奇函数，在为整数）上递增，则不满足；对于.函数为奇函数，由于，则在上递增，则满足；对于.函数为偶函数，则不满足；对于.函数既不是奇函数，也不是偶函数，则不满足，故选C.7.执行如图所示的程序框图，若输，则输出的结果为（）A. 7B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】执行程序框图，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；结束循环，输出，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8.若二项式展开式的各项系数之和为，则含项的系数为A. 560B.C. 280D.【答案】A【解析】因为二项式展开式的各项系数之和为，所以，的通项为，令项的系数为，故选A.9.某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是A. B.C. D.【答案】C【解析】依题意，由几何体的三视图可知，此几何体为一个直三棱柱和一个半圆柱组成的组合体，且直三棱柱底面为两直角边为和的直角三角形，高为，半圆柱的底面半径为，高为，所以该几何体的体积为，故选C.10.已知椭圆，若直线经过，与椭圆交于两点，且，则直线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线斜率为，，，由与联立可得，，则，解得，故选B.11.已知三棱锥的每个顶点都在球的表面上，底面，且二面角的正切值为4，则球的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】设中点为，可得，则是“二面角”的平面角，由于“二面角” 的正切值为，，由余弦定理知，，由正弦定理知，外接圆直径，设外接球半径为，则，球的表面积为，故选D. 【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.12.已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】函数在区间上有两个零点，等价于与的图象有两个交点，设与的图象相切，切点为，则，解得，因为关于的方程，与有两个交点，，故选A.【方法点睛】判断方程零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法③.第Ⅱ卷（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若实数满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】画出表示的可行域如图，由图知，直线平移经过点时，有最小值为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.设，，且，则__________．【答案】【解析】由，可得，故答案为.15.已知，，则__________．【答案】【解析】，，故答案为.16.在数列中，首项不为零，且，为的前项和．令，则的最大值为__________．【答案】【解析】数列首项，所以数列是公比为的等比数列，，，，所以，设，令,当且时取等号，，即的最大值为，故答案为.三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在锐角中，分别为角的对边，且．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求面积的取值范围．【答案】(1) ；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由，根据二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简可得，从而可得结果；（Ⅱ）在中，由正弦定理得，又，∴，∴，又∵，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）∵，∴①，又∵，∴②，又③，将①，②，③代入已知得：，整理得，即，又∵，∴，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∵为锐角三角形，∴且，解得，在中，由正弦定理得：，∴，又，∴，∴，又∵，∴．18.如图，在直三棱柱中，，为线段的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【答案】(1)证明见解析；（2）或.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由直棱柱的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量及，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）∵三棱柱是直三棱柱，∴平面，又平面∴，∵，是的中点，∴，又平面平面，∴平面，又平面，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，故以为原点，为轴，为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示），设，则，∴，· 设平面的一个法向量，则，即，则，令可得，，故，设直线与平面所成角为，则，解得或，即或．19.某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购买的对象．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30以上．其中不足50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周数大约有35周，超过70的大约有10周．根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量（百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图：（Ⅰ）依据数据的折线图，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；并根据所求线性回归方程，估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量是多少斤？（Ⅱ）因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为该基地提供了部分光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：周光照量若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为5000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损800元，欲使商家周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：回归方程系数公式：．【答案】(1) ；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）算出样本中心点的坐标，利用公式求得，由可得，即可得回归方程，再将时代入即可得结果；（Ⅱ）分别求出安装2台光照控制仪的周利润的均值、安装3台光照控制仪的均值，与安装1台光照控制仪可获得周利润进行比较即可得结果.试题解析：（Ⅰ），，，，所以关于的线性回归方程为，当时，百斤＝550斤，所以估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量是500斤．（Ⅱ）记商家总利润为元，由已知条件可知至少需安装1台，①安装1台光照控制仪可获得周利润5000元，②安装2台光照控制仪的情形：当时，一台光照控制仪运行，此时元，当时，两台光照控制仪都运行，此时元，故的分布列为所以元，③安装3台光照控制仪的情形：当时，一台光照控制仪运行，此时元，当时，两台光照控制仪运行，此时元，当时，三台光照控制仪都运行，此时元，故的分布列为所以元，综上，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．【方法点晴】本题主要考查线性回归方程及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；(2) 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.已知是抛物线上一点，到直线的距离为，到的准线的距离为，且的最小值为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）直线交于点，直线交于点，线段的中点分别为，若，直线的斜率为，求证：直线恒过定点．【答案】(1) ；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）的最小值等价于点到直线的距离，∴，解得，从而可得结果；（Ⅱ）设，由可得，由中点坐标公式以及斜率公式可得的斜率，直线的方程可化为，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，则，其最小值为点到直线的距离，∴，解得（舍去负值），∴抛物线的方程为．（Ⅱ）设，由可得，则，所以∴的中点的坐标为，同理可得点的坐标为，则直线的斜率，则，则直线的方程可化为，即，令可得，∴直线恒过定点．【方法点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及韦达定理、直线和抛物线的位置关系、最值问题及直线过定点问题.属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.已知函数（，为自然对数的底数）在点处的切线经过点．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1) 当时，函数在上单调递减；当时，函数在上递减，函数在上单调递增；（2）.【解析】试题分析:（Ⅰ）求出，由过点的直线的斜率为可得，讨论两种情况，分别由得增区间，得减区间；（Ⅱ）原不等式等价于不等式恒成立，利用导数研究的单调性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得结果.试题解析：（Ⅰ）因为，所以过点的直线的斜率为，而，由导数的几何意义可知，，所以，所以．则，当时，，函数在上单调递减；当时，由得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增．（Ⅱ）不等式恒成立，即不等式恒成立，设，若，则，函数单调递增且不存在最小值，不满足题意；当时，由得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，要使得恒成立，只需恒成立，由于，所以有，解得，即当时，恒成立，即恒成立，也即不等式恒成立，所以实数的取值范围为．22.设，，，，是5个正实数（可以相等）．证明：一定存在4个互不相同的下标，，，，使得．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：可设，则，，，，都属于区间，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含其中的3个数，5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同．、对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，结论成立．试题解析：不妨设，考虑以下5个分数：，，，，，①它们都属于区间．把区间分成两个区间：和，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含①中的3个数（记这3个数依次为，，）．将①中的5个数依次围成一个圆圈，则①中任意三个数中都有两个数是相邻的（与是相邻的），即，，中至少有两个数是相邻的．假设与相邻，则．另一方面，由①中5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同．于是，、对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，结论成立．23.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系中，直线的方程为：，直线的方程为．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程，并指出它是何种曲线；（Ⅱ）设与曲线交于两点，与曲线交于两点，求四边形面积的取值范围．【答案】(1) 以为圆心，为半径的圆；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用平方法可消去参数，从而可得曲线的直角坐标方程，进而得它是何种曲线；（Ⅱ）设，，曲线的方程化成极坐标方程，将曲线的方程化成极坐标方程得：，∴，，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）由（为参数）消去参数得：，∴曲线是以为圆心，为半径的圆．（Ⅱ）设，，∵三点共线，则①，将曲线的方程化成极坐标方程得：，∴，代入①得：，用代得：又∵，∴，∴，∵，∴。

长郡中学理科实验班招生考试数学试卷满分：100 时量：70min一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分） 1．函数y ＝1x -图象的大致形状是 （ ） A B C D 2．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为 （ ） A 、21 B 、π63 C 、π93 D 、π33 3．满足不等式3002005<n 的最大整数n 等于 （ ） （A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11 4．甲、乙两车分别从A ，B 两车站同时开出相向而行，相遇 后甲驶1小时到达B 站，乙再驶4小时到达A 站. 那么， 甲车速是乙车速的 （A ）4倍 （B ）3倍 （C ）2倍 （D ）1.5倍 5．图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2， 3，4，那么，阴影三角形的面积为 （ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 6．如图，AB ，CD 分别是⊙O 的直径和弦，AD ，BC 相交于点E ，∠AEC=α， 则△CDE 与△ABE 的面积比为 （ ） （A ）cos α （B ）sin α （C ）cos 2α （D ）sin 2α 7．两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a ，奶油杯里的咖啡量为b ，那么a 和 b 的大小为 （ ） （A ）b a > （B ）b a < （C ）b a = （D ）与勺子大小有关8．设A ，B ，C 是三角形的三个内角，满足B C B A 23,53<>，这个三角形是 （ ）（A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）都有可能二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）9． 用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：1＋□＋□=9＋□＋□=8＋□＋□=6＋□＋□10．如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O 是正三角形的中心，则四边形OABC 的面积等于 ______ .11．计算：622633++++= ________ .y x O y x O y x O y x O ……………..………….密………………..…………….封……………………………..线…………………….12．五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某天时，A 队已赛了4场，B 队已赛了3场，C 队已赛了2场，D 队已赛了1场，那么到这天为止一共已经赛了 __ 场，E 队比赛了 ___ 场.13．已知∠AOB=30°,C 是射线OB 上的一点，且OC=4，若以C 为圆心，半径为r 的圆与射线OA 有两个不同的交点，则r 的取值范围是_____________14．如图，△ABC 为等腰直角三角形，若 AD=31AC ，CE=31BC ，则∠1 __ ∠2 （填“>”、“<”或“=”）三．解答题（共38分） 15. （１２分）今年长沙市筹备60周年国庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B ，两种园艺造型共50个摆放在五一大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？１６．（１２分）如图，ABC △是O 的内接三角形，AC BC =，D 为O 中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =．（1）求证：AE BD =；（2）若AC BC ⊥，求证：2AD BD CD +=．（第14题）Ｃ Ｅ Ａ Ｏ Ｄ Ｂ１７．（１４分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．参考答案选择题 D C D C C C C B9． 1＋8＋6=9＋5＋1=8＋3＋4=6＋7＋210． 33 11． 26 12． 6场，2场 13．223r <≤ 14．＝1５．（１）解：设搭配A 种造型x 个，则B 种造型为(50)x -个，依题意，得：8050(50)34904090(50)2950x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤ ，解这个不等式组，得：3331x x ⎧⎨⎩≤≥，3133x ∴≤≤ x 是整数，x ∴可取313233，，，∴可设计三种搭配方案：①A 种园艺造型31个 B 种园艺造型19个②A 种园艺造型32个 B 种园艺造型18个③A 种园艺造型33个 B 种园艺造型17个．（2）应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元１６．证明：（1）在ABC △中，CAB CBA ∠=∠．在ECD △中，CAB CBA ∠=∠．CBA CDE ∠=∠，（同弧上的圆周角相等），ACB ECD ∴∠=∠． ACB ACD ECD ADE ∴∠-∠=∠-∠．ACE BCD ∴∠=∠．在ACE △和BCD △中，ACE BCD CE CD AC BC ∠=∠==；；ACE BCD ∴△≌△．AE BD ∴=．（2）若AC BC ACB ECD ∠=∠⊥，．9045ECD CED CDE ∴∠=∴∠=∠=，．2DE CD ∴=，又AD BD AD EA ED +=+= 2AD BD CD ∴+=１７．解：（1）t =（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P 到达终点C ．此时，QC=35×3=105，∴BQ 的长为135－105=30．（2）如图8，若PQ ∥DC ，又AD ∥BC ，则四边形PQCD为平行四边形，从而PD=QC ，由QC=3t ，BA+AP=5t得50＋75－5t=3t ，解得t=1258． 经检验，当t=1258时，有PQ ∥DC ． （3）①当点E 在CD 上运动时，如图9．分别过点A 、D作AF ⊥BC 于点F ，DH ⊥BC 于点H ，则四边形ADHF 为矩形，且△ABF ≌△DCH ，从而FH= AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40． DK P QH Q CDH=4t．又QC=3t，从而QE=QC·tanC=3t·CH（注：用相似三角形求解亦可）QE·QC=6t2；∴S=S⊿QCE =12②当点E在DA上运动时，如图8．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC－CH=3t－30．(ED＋QC)DH =120 t－600．∴S= S梯形QCDE =12（4）△PQE能成为直角三角形．。

长郡入学考试试题（3）一、选择题（每小题3分，共24分） 1、已知函数1216(0),(0)y x x y x x=>=>，有下列结论：①两函数图像的交点坐标为（4,4）；②当4x >时；21y y >；③当x 逐渐增大时，y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小。

其中正确结论的个数是（ ）A ：0个 B ：1个 C ：2个 D ：3个2、如图所示，在⊿ABC 中，AB=AC ,M 、N 分别是AB 、AC 的中点，D 、E 为BC 上的点，连接DN 、EM ，若AB =10cm ,BC =16cm ,DE =8cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ：4 cm 2B ：6 cm 2C ：8 cm 2D ：12cm 23、如图，水平地面上有一面积为152π cm 2的扇形AOB ，半径OA =3 cm ，且OA 与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至与三角形BDE 接触为止，此时，扇表与地面的接触点位C ，已知∠BCD =300，则点O 移动的距离为（ ）A ：3π cmB ：4π cmC ：92π cm D ：5π cm4、一张等腰三角形纸片，底边茶馆13cm ，底边上的高长32.5cm ，现沿底边依次 从下往上裁剪宽度均为5cm 的矩形纸片，如图所示。

已知剪得的纸条中有一张是 正方形，则这张纸条是（ ）A ：第3张B ：第4张C ：第5张D ：第6张5、对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：①(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；②运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=+-；③运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=--。

设p ,q 为实数，若(1,2)(,)(11,12)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕为（ ）A ：（-2，-2）B ：（3,4）C ：（2,1）D ：（-1，-2）6、如图，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”。

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学实验班高三（上）选拔考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若复数z=（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为1，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．2．（5分）已知集合A={x|x2+2x﹣3≤0，x∈Z}，集合B={x|lnx＜2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．∅3．（5分）长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a12﹣a8=8，a10﹣a6=4，则S23=（）A．23 B．96 C．224 D．2765．（5分）已知F为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．6．（5分）下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x3+1C．f（x）=log2（+x）D．f（x）=7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入i=1，S=0，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．118．（5分）若二项式（x2+）7展开式的各项系数之和为﹣1，则含x2项的系数为（）A．560 B．﹣560 C．280 D．﹣2809．（5分）某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（）A．192+96πB．256+96π C．192+100πD．256+100π10．（5分）已知椭圆C：+=1，若直线l经过M（0，1），与椭圆交于A、B两点，且=﹣，则直线l的方程为（）A．y=±x+1 B．y=±x+1 C．y=±x+1 D．y=±x+111．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的每个顶点都在球O的表面上，SA⊥底面ABC，AB=AC=4，BC=2，且二面角S﹣BC﹣A的正切值为4，则球O的表面积为（）A．240πB．248πC．252πD．272π12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2在区间[，+∞）上有两个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若实数x，y满足，则z=3x+y的最小值为．14．（5分）设=（，m），=（m，），且•=1，则||=．15．（5分）已知cos（﹣α）+sin（π﹣α）=﹣，﹣＜α＜0，则cos（2α+）=．16．（5分）在数列{a n}中，首项不为零，且a n=a n﹣1（n∈N*，n≥2），S n为{a n}的前n项和，令T n=，n∈N*，则T n的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sinAcos2A ﹣cos（B+C）=sin3A+．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的取值范围．18．（8分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA=BC=5，AC=8，D为线段AC 的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥A1D；（Ⅱ）若直线A 1D 与平面BC 1D 所成角的正弦值为，求AA 1的长．19．（8分）某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购买的对象．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30以上．其中不足50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周数大约有35周，超过70的大约有10周．根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y （百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图：（Ⅰ）依据数据的折线图，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程=x +；并根据所求线性回归方程，估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y 是多少斤？（Ⅱ）因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为该基地提供了部分光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为5000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损800元，欲使商家周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：回归方程系数公式：=，=﹣．20．（12分）已知P是抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点，P到直线x﹣y+4=0的距离为d1，P到E的准线的距离为d2，且d1+d2的最小值为3．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）直线l1：y=k1（x﹣1）交E于点A，B，直线l2：y=k2（x﹣1）交E于点C，D，线段AB，CD的中点分别为M，N，若k1k2=﹣2，直线MN的斜率为k，求证：直线l：kx﹣y﹣kk1﹣kk2=0恒过定点．21．（12分）已知函数f（x）=﹣1（b∈R，e为自然对数的底数）在点（0，f （0））处的切线经过点（2，﹣2）．（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）+ax（a∈R）的单调性；（Ⅱ）若∀x∈R，不等式e x f（x）≤c（x﹣1）+1恒成立，求实数c的取值范围．22．（14分）设a1，a2，a3，a4，a5是5个正实数（可以相等）．证明：一定存在4个互不相同的下标i，j，k，l，使得|﹣|＜．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（8分）在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为（β为参数），在极坐标系中，直线l1的方程为：α1=θ，直线l2的方程为α2=θ+．（Ⅰ）写出曲线M的直角坐标方程，并指出它是何种曲线；（Ⅱ）设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD 面积的取值范围．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学实验班高三（上）选拔考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若复数z=（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为1，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：由复数z==的虚部为1，得，即a=2．∴z=1+i．则|z|=．故选：C．2．（5分）已知集合A={x|x2+2x﹣3≤0，x∈Z}，集合B={x|lnx＜2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．∅【解答】解：集合A={x|x2+2x﹣3≤0，x∈Z}={x|﹣3≤x≤1，x∈Z}={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，集合B={x|lnx＜2}={x|0＜x＜e2}，则A∩B={1}．故选：B．3．（5分）长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，基本事件总数n==10，选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数m==6，选取的2人恰为一男一女的概率为p==．故选：B．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a12﹣a8=8，a10﹣a6=4，则S23=（）A．23 B．96 C．224 D．276【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4+a12﹣a8=8，a10﹣a6=4，∴a1+7d=8，4d=4，解得d=1=a1．则S23=23+=276．故选：D．5．（5分）已知F为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：双曲线C：﹣=1的左焦点为F（﹣c，0），渐近线方程为y=±x，设F关于y=x的对称点为（m，﹣m），由题意可得=﹣，（*）且（0﹣m）=•（m﹣c），可得m=c，代入（*）可得b2=3a2，c2=a2+b2=4a2，则离心率e==2．故选：C．6．（5分）下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x3+1C．f（x）=log2（+x）D．f（x）=【解答】解：逐一考查所给选项中函数的性质：A．f（x）=sinx是定义域上的奇函数，函数不具有单调性，不合题意；B．f（x）=x3+1是定义域上的非奇非偶函数，函数单调递增，不合题意；C．是定义域上的奇函数，函数单调递增，符合题意；D．是定义域上的奇函数，函数单调递减，不合题意；故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入i=1，S=0，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=0，满足条件S＜2，执行循环体，S=ln3，i=3满足条件S＜2，执行循环体，S=ln3+ln=ln5，i=5满足条件S＜2，执行循环体，S=ln5+ln=ln7，i=7满足条件S＜2，执行循环体，S=ln7+ln=ln9＞2，i=9此时，不满足条件S＜2，退出循环，输出i的值为9．故选：B．8．（5分）若二项式（x2+）7展开式的各项系数之和为﹣1，则含x2项的系数为（）A．560 B．﹣560 C．280 D．﹣280【解答】解：令x=1，可得：（1+a）7=﹣1，解得a=﹣2．∴的通项公式：T r==（﹣2）r x14﹣3r，+1令14﹣3r=2，解得r=4．∴含x2项的系数==560．故选：A．9．（5分）某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（）A．192+96πB．256+96π C．192+100πD．256+100π【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是半圆柱体与直三棱柱的组合体，且组合体的底面积与俯视图相同；如图所示，∴俯视图的面积为S底=π•52+×8×6=+24，∴该几何体的体积是V几何体=（+24）×8=100π+192．故选：C．10．（5分）已知椭圆C：+=1，若直线l经过M（0，1），与椭圆交于A、B两点，且=﹣，则直线l的方程为（）A．y=±x+1 B．y=±x+1 C．y=±x+1 D．y=±x+1【解答】解：设直线l的方程为m（y﹣1）=x．A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（9+5m2）y2﹣10m2y+5m2﹣45=0，∴y1+y2=，y1y2=，∵=﹣，∴y1﹣1=﹣．联立解得m=±3．则直线l的方程为：y=x+1．故选：B．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的每个顶点都在球O的表面上，SA⊥底面ABC，AB=AC=4，BC=2，且二面角S﹣BC﹣A的正切值为4，则球O的表面积为（）A．240πB．248πC．252πD．272π【解答】解：由题意，AB=AC=4，BC=2，底面是等腰三角形，过A作BC垂直交于D，AD⊥BC，且D是BC中点．可得AD=1．底面外接圆半径r=8．SA⊥底面ABC，AB=AC=4∴SC=SB．D是BC中点．∴SD⊥BC．平面S﹣BC﹣A的二面角是∠SDA，二面角正切值为4，∴AS=4AD．可得AS=4．外接球R2=解得：R2=68球O的表面积S=4πR2=272π．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2在区间[，+∞）上有两个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：令f（x）=0可得：，令，则，令t（x）=x2+3x﹣4﹣2lnx，则，据此可得函数t（x）在区间上单调递增，且t（1）=0，故当x∈（0，1）时，t（x）＜0，h’（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，t（x）＞0，h’（x）＞0，则函数h（x）在区间上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，而：，据此可得：实数k的取值范围为．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若实数x，y满足，则z=3x+y的最小值为﹣2．【解答】解：作出不等式表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由得A（﹣2，4），由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移y=﹣3x，易知过点A时直线在y上截距最小，所以z=3x+y的最小值：﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）设=（，m），=（m，），且•=1，则||=．【解答】解：∵=（，m），=（m，），且•=1，∴==1，解得m=1，∴=（1，），∴||==．故答案为：．15．（5分）已知cos（﹣α）+sin（π﹣α）=﹣，﹣＜α＜0，则cos（2α+）=．【解答】解：由cos（﹣α）+sin（π﹣α）=﹣，可得cos cosα+sin sinα+sinα=．即cosα+sinα=．∴sin（α+）=．∵﹣＜α＜0，∴﹣＜α+＜，∴cos（α+）=则cos（2α+）=cos2（α+）﹣sin2（α+）=故答案为：．16．（5分）在数列{a n}中，首项不为零，且a n=a n﹣1（n∈N*，n≥2），S n为{a n}的前n项和，令T n=，n∈N*，则T n的最大值为2+2．【解答】解：数列{a n}中，首项不为零，且a n=a n﹣1（n∈N*，n≥2），∴数列{a n}为等比数列，首项为a1，公比为．∴，．S n=，S2n=，T n====≤=2（），当且仅当n=2时取等号．∴T n的最大值为2+2．故答案为：2+2．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sinAcos2A ﹣cos（B+C）=sin3A+．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵4sinAcos2A﹣cos（B+C）=sin3A+，∴4sinAcos2A+cosA=sin3A+，∴2cosAsin2A+cosA=sin2AcosA+cos2AsinA+，整理可得：cosA+sinA=，∴可得：sin（A+）=，∵A∈（0，），可得：A+∈（，），∴A+=，可得：A=．（Ⅱ）∵A=，b=2，=sinA==c．∴S△ABC又∵由正弦定理，可得：，∴c===+1，∵B，C为锐角，可得：B∈（30°，90°），可得：tanB∈（，+∞），可得：∈（0，3），可得：c=+1∈（1，4），=c∈（，2）．∴S△ABC18．（8分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA=BC=5，AC=8，D为线段AC 的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥A1D；（Ⅱ）若直线A1D与平面BC1D所成角的正弦值为，求AA1的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴BD⊥AA1，∵BA=BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC，又AC∩AA1=A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1D⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1D．（Ⅱ）过A1作A1E⊥C1D于E，由（I）可知BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥A1E，又BD∩C1D=D，∴A1E⊥平面BC1D，∴∠A1DE为直线A1D与平面BC1D所成角，即sin∠A1DE=，∴cos∠A1DE=±．设AA1=x，则A1D=C1D=，在△A1DC1中，由余弦定理得：=±，解得x=2或x=8．∴AA1=2或8．19．（8分）某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购买的对象．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30以上．其中不足50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周数大约有35周，超过70的大约有10周．根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y （百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图：（Ⅰ）依据数据的折线图，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程=x +；并根据所求线性回归方程，估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y 是多少斤？（Ⅱ）因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为该基地提供了部分光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为5000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损800元，欲使商家周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：回归方程系数公式：=，=﹣．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，则：，所以y关于x的线性回归方程为，当x=10时，百斤=550斤，所以估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y是550斤．（Ⅱ）记商家总利润为Y元，由已知条件可知至少需安装1台，①安装1台光照控制仪可获得周利润5000元，②安装2台光照控制仪的情形：当X＞70时，一台光照控制仪运行，此时Y=5000﹣800=4200元，当30＜X≤70时，两台光照控制仪都运行，此时Y=5000+5000=10000元，故Y的分布列为所以EY=4200×0.2+10000×0.8=8840元，③安装3台光照控制仪的情形：当X＞70时，一台光照控制仪运行，此时Y=5000﹣1600=3400元，当50≤X≤70时，两台光照控制仪运行，此时Y=5000+5000﹣800=9200元，当30＜X＜50时，三台光照控制仪都运行，此时Y=5000+5000+5000=15000元，故Y的分布列为所以EY=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620元，综上，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．20．（12分）已知P是抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点，P到直线x﹣y+4=0的距离为d1，P到E的准线的距离为d2，且d1+d2的最小值为3．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）直线l1：y=k1（x﹣1）交E于点A，B ，直线l2：y=k2（x﹣1）交E于点C，D，线段AB，CD的中点分别为M，N，若k1k2=﹣2，直线MN的斜率为k，求证：直线l：kx﹣y﹣kk1﹣kk2=0恒过定点．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，抛物线E：y2=2px，则其焦点为，由抛物线的定义可得d2=|PF|，则d1+d2=d1+|PF|，其最小值为点F到直线x﹣y+4=0的距离，∴，解得p=4（舍去负值），∴抛物线E的方程为y2=8x；证明：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由可得，则，所以y1+y2=k1（x1﹣1）+k1（x2﹣1）；∴AB的中点M的坐标为，同理可得点N的坐标为，则直线MN的斜率，则k（k1+k2）=﹣2，则直线l的方程kx﹣y﹣kk1﹣kk2=0可化为y=kx﹣k（k1+k2），即y=kx+2，令x=0可得y=2，∴直线l恒过定点（0，2）．21．（12分）已知函数f（x）=﹣1（b∈R，e为自然对数的底数）在点（0，f （0））处的切线经过点（2，﹣2）．（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）+ax（a∈R）的单调性；（Ⅱ）若∀x∈R，不等式e x f（x）≤c（x﹣1）+1恒成立，求实数c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（0）=b﹣1，所以过点（0，b﹣1），（2，﹣2）的直线的斜率为k=﹣，而f′（x）=﹣，由导数的几何意义可知，f′（0）=﹣b=﹣，所以b=1，所以f（x）=﹣1，则F（x）=ax+﹣1，F′（x）=a﹣，当a≤0时，F′（x）＜0，函数F（x）在R上单调递减；当a＞0时，由F′（x）=a﹣=0，得x=﹣lna，当x∈（﹣∞，﹣lna）时，F′（x）＜0，函数F（x）单调递减，当x∈（﹣lna，+∞）时，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增．（Ⅱ）不等式e x f（x）≤c（x﹣1）+1恒成立，即不等式e x+cx﹣c≥0恒成立，设g（x）=e x+cx﹣c，g（x）=e x+c，若c≥0，则g′（x）＞0，函数g（x）单调递增且不存在最小值，不满足题意；当c＜0时，由g′（x）=e x+c=0，得x=ln（﹣c），当x∈（﹣∞，ln（﹣c））时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（ln（﹣c），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）≥g（ln（﹣c））=﹣2c+cln（﹣c），要使得g（x）≥0恒成立，只需﹣2c+cln（﹣c）≥0恒成立，由于c＜0，所以有ln（﹣c）≤2，解得﹣e2≤c＜0，即当c∈[﹣e2，0）时，g（x）≥0恒成立，即e x+cx﹣c≥0恒成立，也即不等式e x f（x）≤c（x﹣1）+1恒成立，所以实数c的取值范围为[﹣e2，0）．22．（14分）设a1，a2，a3，a4，a5是5个正实数（可以相等）．证明：一定存在4个互不相同的下标i，j，k，l，使得|﹣|＜．【解答】证明：不妨设a1≤a2≤a3≤a4≤a5，考虑以下5个分数：，，，，，①它们都属于区间（0，1]…（3分）把区间（0，1]分成两个区间：和，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含①中的3个数（记这3个数依次为a，b，c）…（6分）将①中的5个数依次围成一个圆圈，则①中任意三个数中都有两个数是相邻的（与是相邻的），即a，b，c中至少有两个数是相邻的…（10分）假设a与b相邻，则另一方面，由①中5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同．于是，a、b对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，一定存在4个互不相同的下标i，j，k，l，使得|﹣|＜．…（14分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（8分）在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为（β为参数），在极坐标系中，直线l1的方程为：α1=θ，直线l2的方程为α2=θ+．（Ⅰ）写出曲线M的直角坐标方程，并指出它是何种曲线；（Ⅱ）设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD 面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由（β为参数）消去参数β得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8，∴曲线M是以（1，1）为圆心，为半径的圆．（Ⅱ）设|OA|=ρ1，|OC|=ρ2，∵O，A，C三点共线，则①，将曲线M的方程化成极坐标方程得：ρ2﹣2ρ（sinθ+cosθ）﹣6=0，∴，代入①得：，用代θ得：又∵l1⊥l2，∴，∴，∵sin22θ∈[0，1]，∴．。