数学竞赛辅导4

A4.排序不等式与切比雪夫不等式一、基础知识排序不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.切比雪夫不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤则111()().nnni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥≥则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ianna==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明：888333111.a b c a b c a b c ++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明：22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明：1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明：2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习 姓名：1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证：2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,n i i x ==∑求证：1ni =≥A4.排序不等式与切比雪夫不等式参考解答一、基础知识排序不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.证明：11111111()()(())()kk k i nnnnn kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑111111111111()()()()()0.k i i n nn k k n k kn k j i j k k i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a --++=========-+--=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑11111111()()(())()kk k i n nn n n kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑.于是11.knnk j k k k k a ba b ==≤∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.111111111111()()(())()k k k i nn n n n kk n k k j k n k j n n k j n i j k k k k k k k i a ba b a b b a b b b b a a --+-+-+-++======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑111111111111111()()()()()0.k i i n n n k k n k kn n k j n i j k k n i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a ---+-++-++=========-+--=--≤∑∑∑∑∑∑∑∑于是111.k nnk n k k j k k a ba b -+==≤∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.切比雪夫不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥≥则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.证明：法1由排序不等式知道1122112212231112212111122n n n n n n n n n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+++=++++++≤++++++≤+++于是121111.nnnniin i i i i i i i a b a b a b n a b ====+++≤∑∑∑∑即111()().nnni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.法2 11111111111()()()().nnnnnnnnnnni iiii ii ji ii jiiji i i i j i j i j i j na b a b a b a b a b a b a b b ===========-=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑11111111()()()()().n n n n n n n ni i i i j j j j j j i i i i j j j i j n a b a b n a b a b a b b ========-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑于是1111111112(()())()()()()0.n n n n n n nn ni iiiiijjji i j i j i i i i j i j i j na b a b a b b a bb a a b b =========-=-+-=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑∑于是111()().nnniii ii i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n aa a ===或12nb b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：由排序不等式知道12121112111111.nnn n nx x x x x x n x x x x x x -+++≥+++= 即1211.nn n x x x n x x x -+++≥ 令G =12112122,,,.nn na a a a a a x x x G GG===于是1211221211211.nn n n nn a a a a a a GG G n a a a a a a a G G G--+++≥即12.na a a n G GG+++≥ 于是1.nii anG =≤∑1.nii an=∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ian na ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：不妨设120,n a a a ≥≥≥>则12111.na a a ≤≤≤由切比雪夫不等式知211111()().nn ni i i i i i in n a a a a ====⋅≤∑∑∑所以11.1ni i ni ia n n a ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明：888333111.a b c a b c a b c++++≤ 证明：不妨设0,a b c ≥≥>则555333333111,,a b c bc ca ab b c c a a b≥≥≤≤≥≥由排序不等式知 888555555222333333333333333333.a b c a b c a b c a b c a b c b c c a a b c a a b b c c a b++=++≥++=++又222333111,,a b c a b c ≥≥≤≤于是再使用排序不等式得222222333333111.a b c a b c c a b a b c a b c++≥++=++所以888333111.a b c a b c a b c++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥证明：等价于证明333222222.a b b c c a a b b c c a ++≥++再等价于222.a b c ab bc cac a b c a b++≥++(*) 不妨设,a b c ≥≥则111.a b c≤≤ 又,,a b c 是ABC ∆的三边长,所以,a b c +>从而()()().a b a b c a b +-≥-即22.a bc b ac +≥+因为,b c a +>从而()()().b c b c a b c +-≥-即22.b ac c ab +≥+所以222.a bc b ac c ab +≥+≥+由排序不等式知222222.a bc b ac c ab a bc b ac c aba b c c a b++++++++≤++ 即222.bc ac ab a b c a b c c a b++≤++于是(*)得证.从而222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明：22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++ 证明：不妨设.a b c d ≥≥≥则22221111,.a b c d b c d c d a d a b a b c≥≥≥≥≥≥++++++++先切比雪夫不等式,再使用柯西不等式,最后使用平均值不等式得2222222211114(+)()(+)a b c d a b c d b c d c d a d a b a b c b c d c d a d a b a b c++≥+++++++++++++++++++++211114(1111)644(+)3()3()b c d c d a d a b a b c a b c d a b c d +++=++≥=++++++++++++++16.3≥=于是22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.解：1212222nna a aS a a a =+++---. 不妨设1210,n a a a >≥≥≥>则121110.222na a a ≥≥≥>--- 使用切比雪夫不等式有12121211111111()()().222222n n nS a a a na a a n a a a ≥++++++=+++------ 在使用柯西不等式得2121211111(111)()().22222221n n n S n a a a n a a a n +++≥+++≥=----+-++-- 当且仅当121n a a a n ====等号成立.所以S 的最小值为.21nn -7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明：111 1.111a b c ++≤+++ 证明：因为2222222221113,111111a b c a b c a b c ++=++-------所以222222 4.111a b c a b c ++=---又22222222211144(),111111a b c a b c a b c ++==++------所以2222224440.111a b c a b c ---++=--- 不妨设,a b c ≥≥于是222222,.111111a b c a b c a b c a b c ---+++≥≥≤≤+++--- 这是因为23()111x f x x x -==-++在(1,)+∞单调递增,23()111x g x x x +==+--在(1,)+∞单调递减. 于是使用切比雪夫不等式得22222244412222220()().1113111111a b c a b c a b c a b c a b c a b c ------+++=++≤++++---+++--- 因为,,1,a b c >所以2220.111a b c a b c +++++>--- 于是2220.111a b c a b c ---++≥+++ 因为22213131311133()0.111111111a b c a b c a b c a b c a b c ---+-+-+-++=++=-++≥+++++++++ 所以1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明：2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++ 证明：即证2()()().a b b c c aab bc ca a b c b c c a a b+++++++≤+++++ 因为()()().a b a b bcab bc ca a a b b c b c ++++=++++ 同理()()().b c b c caab bc ca b b c c a c a++++=++++ ()()().c a c a ab bc ca ab c c a a b a b++++=++++ 于是()()()()()()()()a b b c c a a b bc b c ca c a abab bc ca a a b b b c c c a b c c a a b b c c a a b++++++++++≤++++++++++++++ 222()()().a b bc b c ca c a aba b c ab bc ca b c c a a b+++=+++++++++++于是只须证明()()().a b bc b c ca c a abab bc ca b c c a a b+++++≤+++++(*)不妨设,a b c ≥≥于是111.a b c ≤≤从而111111.a b b c c a +≤+≤+即.a b c a b c ab ca bc+++≤≤ 所以.ab ca bca b c a b c≥≥+++又.a b a c b c +≥+≥+ 使用排序不等式得()()()()()().a b bc b c ca c a ab ab ca bca b c a b c ab bc ca b c c a a b a b c a b c+++++≤+++++=++++++++于是(*)得证.从而2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习 姓名：1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：不妨设120.n a a a ≥≥≥>由切比雪夫不等式知2211111()()().nnnnnii i i i i i i i i i nan a a a a a ======⋅≤=∑∑∑∑∑所以1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证：2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++证明：所证不等式等价于222222.z x y x y z x y y z x z x y y z z x++≥++++++++(*)不妨设,x y z ≤≤则222111,.x y z x y x z y z≤≤≥≥+++ 使用排序不等式得(*).所以原不等式成立.3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,ni i x ==∑求证：1ni =≥证明：不妨设12,n x x x ≥≥≥1x ≥≥≥-使用切比雪夫不等式得1111()(nnn ni i i i x n ===≥=∑使用柯西不等式得1ni n=≤==于是1nni =≥≥。

第四讲 四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即P 89定理和P 93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用. 1 “四点共圆”作为证题目的 例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ，N .以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q .求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆.(第19届美国数学奥林匹克)分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM .欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证MK ·KN ＝PK ·KQ ，即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′) 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2. ①不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2=(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2)=KC ′2-KB ′2. ②由②即得①，命题得证.例2．A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，O 1，O 2，O 3分别为△OAB ，△OBC ，△OCA 的外心.求证：O ，O 1，O 2， O 3四点共圆.(第27届莫斯科数学奥林匹克) 分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA .观察△OBC及其外接圆，立得∠OO 2O 1=21∠OO 2B =∠OCB .观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=21∠OO 3A =∠OCA .由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1 O ，O 1，O 2，O 3共圆.利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证. 2 以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等例3．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM＝∠CBK .求证：∠DMA ＝∠CKB .（第二届袓冲之杯初中竞赛）A B CK MN P Q B ′C ′A B CO O O O 123？？C D分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK .∵∠DAB +∠ADC ＝180°，∴∠CMK +∠KDC ＝180°.故C ，D ，K ，M 四点共圆⇒∠CMD ＝∠DKC . 但已证∠AMB ＝∠BKA ， ∴∠DMA ＝∠CKB .(2)证线垂直例4．⊙O 过△ABC 顶点A ，C ，且与AB ，BC 交于K ，N (K 与N 不同).△ABC外接圆和△BKN 外接圆相交于B 和 M .求证：∠BMO =90°. (第26届IMO 第五题)分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的. 连接OC ，OK ，MC ，MK ，延长BM 到G .易得∠GMC =∠BAC =∠BNK =∠BMK .而∠COK =2·∠BAC =∠GMC + ∠BMK =180°-∠CMK ，∴∠COK +∠CMK =180°⇒C ，O ，K ，M 四点共圆. 在这个圆中，由OC =OK ⇒ OC =OK ⇒∠OMC =∠OMK . 但∠GMC =∠BMK ， 故∠BMO =90°. (3)判断图形形状例5．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D . 试证：I A I B I C I D 是矩形.(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题)分析：连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B .易得∠AI C B =90°+21∠ADB =90°+21∠ACB =∠AI D B ⇒A ，B ，I D ，I C 四点共圆.同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆.此时 ∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-21∠ABC ，∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-21∠ADC ，∴∠AI C I D +∠AI C I B=360°-21(∠ABC +∠ADC )=360°-21×180°=270°.故∠I B I C I D =90°.A BO K N CMG A BC D I C I DA I I B同样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形. (4)计算例6．正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989㎝2.P 为正方形内一点，且∠OPB =45°，PA :PB =5:14.则PB =__________ (1989，全国初中联赛) 分析：答案是PB =42㎝.怎样得到的呢？连接OA ，OB .易知O ，P ，A ，B 四点共圆，有∠APB =∠AOB =90°. 故PA 2+PB 2=AB 2=1989.由于PA :PB =5:14，可求PB .(5)其他例7．设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断). (1978，全国高中联赛)分析：设△EFG 为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F ，G 两点在正方形的一组对边上. 作正△EFG 的高EK ，易知E ，K ，G ，D 四点共圆⇒∠KDE =∠KGE =60°.同理，∠KAE =60°.故△KAD 也是一个正 三角形，K 必为一个定点. 又正三角形面积取决于它的边长，当KF 丄AB 时，边长为1，这时边长最小，而面积S =43也最小.当KF 通过B 点时，边长为2·32-，这时边长最大，面积S =23-3也最大.例8．NS 是⊙O 的直径，弦AB 丄NS 于M ，P 为ANB 上异于N 的任一点，PS交AB 于R ，PM 的延长线交⊙O 于Q .求证：RS ＞MQ . (1991，江苏省初中竞赛)分析：连接NP ，NQ ，NR ，NR 的延长线交⊙O 于Q ′.连接MQ ′，SQ ′.易证N ，M ，R ，P 四点共圆，从而，∠SNQ ′=∠MNR =∠MPR =∠SPQ =∠SNQ .根据圆的轴对称性质可知Q 与Q ′关于NS 成轴对称⇒MQ ′=MQ . 又易证M ，S ，Q ′，R 四点共圆，且RS 是这个圆的直径(∠RMS =90°)，MQ ′是一条弦(∠MSQ ′＜90°)，故RS ＞MQ ′.但MQ =MQ ′，所以，RS ＞MQ .练习题1.⊙O 1交⊙O 2 于A ，B 两点，射线O 1A 交⊙O 2 于C 点，射线O 2A 交⊙O 1 于D 点.求证：点A 是△BCD 的内心.(提示：设法证明C ，D ，O 1，B 四点共圆，再证C ，D ，B ，O 2··P O A B C D A BC D E F KG ······四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.)2.△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.(提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°.)3.设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：△M1M2M3也是正三角形.4.在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证：PD丄QD.(提示：证B，Q，E，P和B，D，E，P分别共圆)5.AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.(提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)。

五年级秋季第2 次课第一讲：循环小数与分数★··ab 1 ab0.0ab ；（正逆熟练应用）99 10 990▲关于分母999（37、27）的纯循环小数的各种应用第二讲课前小练巩固及第一讲小结（熟练掌握）第2讲：因数倍数▲数论体系梳理（10 点）（了解掌握）★求最大公因数最小公倍数的方法方法最大公约数最小公倍数分解质因数大家有才是真的有你的是我的，我的也是你的，我们要最多的短除法乘一边（一组数互质）乘一圈（两两互质）辗转相除法较大数★短除模型(五条结论)相关题目补充练习：1、划去0.5738367981 的小数点后的六个数字，再添上表示循环节的两个圆点，可以得到一个循环小数，这样的小数中最大的数为多少？最小的数为多少？2、写出一个最简真分数，它的分子是2，并且化成小数后是一个混循环小数，不循环部分为2 位，循环节为3 位，那么这个分数最大是多少？3、(走美试题)n 除以2 余1，除以3 余2，除以4 余3，除以5 余4……，除以16 余15。

n最小为_______.4、用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公因数最大可能是___________．5、已知m、n两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公因数是75，已知m 有12个因数，n 有10个因数，求m 与n 的和．（做的时候请结合因数个数定理来做）6、有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？1 / 1。

淮安外国语学校初二数学竞赛辅导(4) 一．选择题（共12小题）1．（2013•益阳）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）2．（2013•雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④．其中正确结论有（）个．△△3．（2013•无锡）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（）A． 3：4 B．：2 C．：2 D． 2：4．（2013•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A． BC=AC B． CF⊥BF C． BD=DF D． AC=BF5．（2013•随州）如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③S△FGC=．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③6．（2013•贵港）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④7．（2013•云南）若ab＞0，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系数中的大致图象是（）A B C D 8．（2013•扬州）方程x2+3x﹣1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程x3所在的范围是（）B9．（2013•天水）函数y1=x和y2=的图象如图所示，则y1＞y2的x取值范围是（）10．（2013•苏州）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4）．顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（）A． 12 B． 20 C． 24 D． 3211．（2013•黔东南州）如图，直线y=2x与双曲线y=在第一象限的交点为A ，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，将△ABO 绕点O 旋转90°，得到△A ′B ′O ，则点A ′的坐标为（ ）A ．（1.0）B ．（1.0）或（﹣1.0）C ．（2.0）或（0，﹣2）D ．（﹣2.1）或（2，﹣1）12．（2013•六盘水）下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ）二．填空题（共8小题） 13．（2013•舟山）如图，正方形ABCD 的边长为3，点E ，F 分别在边AB 、BC 上，AE=BF=1，小球P 从点E 出发沿直线向点F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P 第一次碰到点E 时，小球P 所经过的路程为 _________ ．14．（2013•乌鲁木齐）如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ，AB=5，AC=2，则DF 的长为 _________ ．15．（2013•苏州）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠后得到△AFE ，且点F 在矩形ABCD 内部．将AF延长交边BC 于点G ．若=，则=_________ (用含k 的代数式表示）．16．（2013•遵义）如图，已知直线y=x 与双曲线y=（k ＞0）交于A 、B 两点，点B 的坐标为（﹣4，﹣2），C 为双曲线y=（k ＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC 的面积为6，则点C 的坐标为 _________ ．17．（2013•自贡）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、P n、P n+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、P n、P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、S n，则S1=_____，S n=________．（用含n的代数式表示）18．（2013•营口）已知双曲线和的部分图象如图所示，点C是y轴正半轴上一点，过点C作AB∥x轴分别交两个图象于点A、B．若CB=2CA，则k=_________．19．（2013•太原）如图，矩形ABCD在第一象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1，直线y=x﹣1经过点C交x轴于点E，双曲线y=经过点D，则k的值为_________．三．解答题（共10小题）20．（2013•重庆）已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE 的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；（2）求证：∠CEG=∠AGE．21．（2012•咸宁）如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN 上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．理解与作图：（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．计算与猜想：（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想．。

初中数学兴趣班系列讲座——数论部分初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室唐一良数学工作室第四讲第四讲 辗转相除法与最大公因数辗转相除法与最大公因数一、基础知识：1．带余除法：若a ，b 是两个整数，b ＞0，则存在两个整数q 和r ，使得，使得a =bq+r （0≤r ＜b ）成立，）成立，且q ，r 是唯一的。

是唯一的。

证明：【存在性】作整数序列证明：【存在性】作整数序列…，-3b ，-2b ，-b ，0，b ，2b ，3b ，…则a 必在上述序列的某两项之间，即存在一个整数q 使得使得qb ≤a <(q +1)b 成立。

成立。

令a -qb =r ，即证存在性。

，即证存在性。

【唯一性】设q 1、r 1是满足a =bq+r ，0≤r <b 的另一对整数，因为bq 1+r 1=bq +r ,于是b (q-q 1)=r 1-r 故b |q-q 1|=|r 1-r |由于r 及r 1都是小于b 的非负整数，所以上式右边是小于b 的。

的。

如果q ≠q 1，则上式左边≥b ，这是不可能的。

即证唯一性。

，这是不可能的。

即证唯一性。

【说明】特别地，如果r =0，那么a=bq 。

这时，a 被b 整除，记作b|a ，对任意整数a ，b 且b ≠0，存在唯一的整数q ，r ，使a =bq +r ，其中0≤r <|b |，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。

为带余除法定理，是整除理论的基础。

2．最大公因数：．最大公因数：若c |a ，c |b ，则称c 是a ，b 的公因数。

的公因数。

若d 是a ，b 的公因数，且d 可被a ，b 的任意公因数整除则称d 是a ，b 的最大公因数。

记为：(a ，b )=d当d ≥0时，d 是a ，b 公因数中最大者。

若a ，b 的最大公因数等于1，则称a ，b 互素。

互素。

记为：(a ，b )=13．辗转相除法：累次利用带余除法可以求出a ，b 的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。

第四讲进位制与位值原理（二）模块一、进制的互化与计算:一、认识进制n进制：“逢n进一，借一当n”，如：十进制的特点是“逢10进一，借一当十”。

N进制的四则混合运算和十进制一样：先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

二、进制转换n进制化十进制：位值原理法。

十进制化n进制：倒取余数法。

n进制化m进制：先把n进制化成十进制，在把十进制化成m进制。

特别地，n进制化n a进制：从低位到高位，取a合一；n a进制化n进制：从低位到高位，取一分a，不足位补0.三、进制判断判断一个式子在何种进制下成立，一般依靠下列两个方法：1．数字特征：在n进制下，每个数字都不能大于(n−1)，如在八进制下，每个数字都不能大于7；反过来说，若n进制下出现7这个数字，则n必定大于7，起码为八进制；2．尾数特征：观察这个式子的尾数在十进制下应运算出什么结果，在对比式子结果的尾数，找出进位进了多少，在推断进制。

（1）把下列各数转化为十进制数。

(大写英文字母表示10以上进制中的数，如：A表示10，B表示11，……)例1．(463)8=；(2BA)12=；(5FC)16=.（2）(1001101010111100)2=()4=()8=()16.（3）请将十进制数90转化成七进制数是；(125)7转化为八进制数是。

解：（1）(463)8=4×82+6×8+3=307；(2BA)12=2×122+11×12+10=430；(5FC)16=5×162+15*16+12=1532.（2）(1001101010111100)2=(21222330)4=(115274)8=(9ABC)16.（3）90=72+5×7+6=(156)7，(125)7=72+2×7+5=68=82+0×8+4=(104)8.例2．（1）计算：(231)5+(124)5=，(251)6+(434)6=；（2）计算：(11000111)2−(10101)2÷(11)2=()2；（3）计算：(45)8×(12)8−(456)8=()8.解：（1）(231)5+(124)5=(410)5，(251)6+(434)6=(1125)6.（2）(11000111)2−(10101)2÷(11)2=(11000111)2−(111)2=(11000000)2.（3）(45)8×(12)8−(456)8=(562)8−(456)8=(104)8.例3．（1）算式1534×25=43214是进制的乘法。

数学兴趣小组教案第四讲绝对值初一数学兴趣小组(2课时)一、教学目标1掌握绝对值的两种定义，并在此基础上理解绝对值的基本性质；2领会并应用绝对值的基本性质；3 体会渗透在绝对值中的几何（数形结合）思想。

二、教学重点根据绝对值的两种定义，领会并应用绝对值的基本性质三、教学难点体会用数形结合的思想去绝对值符号四、教学方法启发教授五、教学手段六、教学过程（一）复习引入1回忆绝对值的代数和几何定义；、答：代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；几何定义：一个数的绝对值是这个数在数轴上所表示的点到原点的距离。

2根据定义理解教材中关于绝对值的几个基本性质；非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数；可以用符号语言表示：ａ＞＝０，｜ａ｜＝ａ；ａ＜＝０，｜ａ｜＝－ａ３几个问题：（1）|a|与|-a|的关系；（2）如果|a|=|b|,则a与b的关系；（3）|a|*|a|与|a*a|,a*a的关系；（4）|ab|与|a||b|的关系；（5）|a/b|与|a|/|b|（b不等于0）的关系。

小结：通过几个问题，根据定义，引出绝对值的几个有用的性质。

（二）教授新知识1基础知识绝对值的基本性质（1）|a|＝|-a|；（2）如果|a|=|b|,则a＝b或a＝－b；（3）|a|*|a|＝|a*a|＝a*a；（4）|ab｜＝|ａ｜|b|；（5）|a/b|＝|a|/|b|（b不等于0）。

注意：在绝对值中涉及一个重要的数学思想方法：分类讨论的思想。

2例题例题1若|x+5|+|x-2|=7，求x的取值范围。

小结：|x-x0|它的几何意义是：表示x到x0的距离。

我们知道一个数的绝对值表示这个数到原点的距离，例如：|a|表示a到原点0的距离，|a|=|a-0|.两个点之间的距离求法：用较大的数减去较小的数。

例题2已知：m>4,化简|m-4|+|7-2m|小结：要化简含有绝对值符号的式子，首先判断绝对值符号里边的数的正负，然后利用绝对值的定义去绝对值符号，在这里，题目中已经给出m的取值范围，只需根据条件求出m-4,7-2m的取值范围即可。

数列、数组月日姓名【知识要点】有些数列，如果我们按照一定的规律把它分成组，会发现一些非常有趣的现象。

最常见的就是自然数列的运用。

注意找准这组数与组号的联系。

【典型例题】例1 自然数1，2，3，…排成一行分组，规定第n组含有n个自然数，即（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，…）（1）试问第十组的第一个数是几？（2）试求第十组中所有自然数的和。

（3）试问100这个数位于第几组？是第几个数？例2 自然数1，2，3，…按下图排成一个数阵，请回答下列问题：1 3 6 10 15 212 5 9 14 204 8 13 197 12 1811 1716（1）第1行中自左至右的第8个数是几？（2）自上至下第10行中的第8个数是几？行，从左往右数的第（）个数。

12 36 5 47 8 9 1015 14 13 12 1116 17 18 19 20 21【快乐驿站】做事不认真，不负责任，就会弄出很多错误.有人说，这一问题上就有4处错误.请问，错误在什么地方呢？随堂小测姓名成绩1．有数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…（1）试问第一个20这个数在此数列中是第几项？（2）第100项是多少？（3）求前100项的和。

12 3 6 5 4 7 8 9 10 15 14 13 12 1116 17 18 19 2021从左往右数的第（ ）个数。

3．自然数1，2，3，…按下图排成一个数阵，请回答下列问题：1 3 6 10 15 212 5 9 14 204 8 13 197 12 1811 1716（1）第1行中自左至右的第12个数是几？（2）自上至下第15行中的第12个数是几？12 36 5 47 8 9 1015 14 13 12 1116 17 18 19 20 21 课后作业姓名家长签字成绩1．计算：1996＋1995－1994－1993＋1992＋1991－1990－1989＋…＋4＋3－2－1，结果是。

初一数学竞赛系列训练4有理数的有关知识一、选择题1、若的值是，则aa a 12=( ) A 、1 B 、-1 C 、1或-1 D 、以上都不对2、方程132=-+-x x 的解的个数是( ) (第四届祖冲之杯数学邀请赛试题)A 、0B 、1C 、2D 、3E 、多于3个3、下面有4个命题：①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同．②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同．③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同．④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同．其中正确的命题是：（ ）（A ）①和② （B ）②和③（C ）③和④ （D ）④和①4、两个质数的和是49，则这两个质数的倒数和是( )A 、4994B 、9449C 、4586D 、8645 5、设y ＝ax 15+bx 13+cx 11-5(a 、b 、c 为常数)，已知当x ＝7时，y ＝7，则x ＝ -7时，y 的值等于( )A 、-7B 、-17C 、17D 、不确定6、若a 、c 、d 是整数，b 是正整数，且满足a +b ＝c ，b +c ＝d ，c +d ＝a ，则a +b +c +d 的最大值是( )A 、-1B 、0C 、1D 、-5二、填空题7、设a <0，且x ≤21 ,--+x x aa 则＝ . 8、a 、b 是数轴上两个点，且满足a ≤b ．点x 到a 的距离是x 到b 的距离的2倍，则x ＝ .9、 若()236-+m a 与互为相反数，则=m a . 10、计算：=+++++++++++++100321132113211211 . 11、若a 是有理数，则|)|(||||)(a a a a -+-++-的最小值是 .12、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，化简._____|1||||1|||=------+c c a b b a三、解答题13、化简：325-++x x14、已知()200222110112⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++-b a b a ，求15、若abc ≠0，求c c b b a a ++的所有可能的值．16、x 是有理数，求22195221100++-x x 的最小值．17、已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值为1，求a +b +x 2-cdx 的值．18、求满足1=++b a ab 的所有整数对(a ，b ).19、若631542+-+-+x x x 的值恒为常数，求x 的取值范围及此常数的值．20、已知方程1+=ax x 有一个负根而没有正根，求a 的取值范围．初一数学竞赛系列训练4答案1、选C2、132=-+-x x 表示x 到2与3的距离和等于1，可见x 在这两点之间(包括这两点)，所以方程的解是2≤x ≤3的所有数，故应选E3、既然只有零和它的相反数相同，所以①不正确，②是正确的，另外1与－1都等于其倒数，因此④不正确，③是正确的．所以选择B ．4、两个质数的和是49，则这两个质数必是2和47，944947121=+ 选B 5、∵x ＝7时，y ＝7，∴a ⋅715+b ⋅713+c ⋅711-5＝7，∴a ⋅715+b ⋅713+c ⋅711＝12则x ＝ -7时，y ＝a (-7)15+b (-7)13+c (-7)11-5＝ -( a ⋅715+b ⋅713+c ⋅711)-5＝ -12-5＝ -17，选B6、∵a +b ＝c ，c +d ＝a ，∴b ＝c -a ，d ＝a -c ，∴d ＝ -b∵b +c ＝d ，∴c ＝d -b ＝-2b ，由c +d ＝a ，∴a ＝-3b∴a +b +c +d ＝ a +c ＝-3b -2b ＝-5b ，∵b 是正整数 ，∴-5b 的最大值是-5，选D7、∵a <0，∴1-=aa ,∴x ≤-1， 则()()=+---=--+-=--+x x x x x x 212121 -38、由题意得：b x a x -=-2，所以x -a ＝2(x -b ) 或x -a ＝ -2(x -b ) 解得：322a b x a b x +=-=或 9、∵()236-+m a 与互为相反数，∴()236-++m a ＝0，则a +6＝0且m -3＝0∴a ＝-6,m ＝3, ∴=m a (-6)3＝ -21610、原式＝()()()2100100112331122211⨯+++⨯++⨯+ 10199101211011212101110014131312121011002432322=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=⨯++⨯+⨯= 11、若,0≥a 则|)|(||||)(a a a a -+-++-＝0若a <0，则a a a a a 2|)|(||||)(-=-+-++->0．所以|)|(||||)(a a a a -+-++-的最小值是0．12、由图可见，,)(||,00,0b a b a b a b a +-=+⇒〈+⇒〈〈又 )1(|1|0110--=-⇒〈-⇒〈〈b b b b ；)(||00c a c a c a c a --=-⇒〈-⇒〈〈 由图可知 .1|1|011c c c c -=-⇒〉-⇒〈 所以：[][])1()()1()(|1||||1|||c c a b b a c c a b b a --------+-=------+.211)1()()1()(-=+--+-+--=---+-++-=c c a b b a c c a b b a13、由x +5＝0得x ＝ -5，由2x -3＝0得x ＝3/2所以，当x <-5时，原式＝ -(x +5)-(2x -3)＝-3x -2当235<≤-x x <-5时，原式＝ (x +5)-(2x -3)＝-x +8 当23≥x 时，原式＝ (x +5)+(2x -3)＝3x +2 即原式＝⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤-+--<--)23(,23)235(,8)5(,23x x x x x x 14、由题意得：2a -1＝0且b +1＝0，所以a ＝1/2，b ＝ -1则514(-1)2112002220022=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛b a15、∵abc ≠0，∴a 、b 、c 均不等于0．① 若a 、b 、c 均为正，则3=++=++cc b b a a c c b b a a ② 若a 、b 、c 中仅有一个为正，不妨设a >0，b <0，c <0，则1-=-+-+=++cc b b a a c c b b a a ③ 若a 、b 、c 中有二个为正，不妨设a >0，b >0，c <0，则1=-++=++cc b b a a c c b b a a ④ 若a 、b 、c 均为负，则3-=-+-+-=++c c b b a a c c b b a a∴cc b b a a ++有四种可能的不同取值：±1，±3 16、分三种情况讨论：（1） 当22195〈-x 时，|22195||221100|++-x x .17152211952215)22195()2(22152)2295()221100(==+-⋅-〉+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=x x x （2） 当22110022195≤≤-x 时，|22195||221100|++-x x .1715221195)22195()221100(==++--=x x (3)当221100〉x 时， .17152211952215221100222152)22195()221100(|22195||221100|==-⨯〉-=++-=++-x x x x x 综合（1），（2），（3），可得，最小值是.1715 17、∵a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值为1∴a +b ＝0，cd ＝1，x ＝±1∴当x ＝1时，原式＝0+1-1⨯1＝0当x ＝ -1时，原式＝0+1-1⨯(-1)＝218、∵ab ≥0，b a +≥0，且a ，b 为整数， ∴ab ＝0 且b a +＝1 ①，或ab ＝1 且b a +＝0 ②，由①得⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-====-====10 10 10 10a b a b b a b a 或或或 由②得⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-=-==11 11b a b a 或所以，满足条件的所有整数对是(0，1)、(0，-1)、(1，0)、(-1，0)、(1，-1)、(-1，1).19、要使631542+-+-+x x x 的值恒为常数，必须使得631542+-+-+x x x的值与x 无关，即要使得去掉绝对值后的x 项相互合并为0，所以应该有4-5x ≥0，1-3x ≤0, ∴5431≤≤x ，此时631542+-+-+x x x ＝2x +4-5x +3x -1+6＝920、∵方程有一个负根，则有 -x ＝ax +1，即 (a +1)x ＝ -1 ∴有011<+-=a x ，∴a >-1 假设方程有正根，则有 x ＝ax +1，即 (a -1)x ＝ -1 ∴有011>--=a x ，∴a <1，从而方程没有正根应a ≥1 所以方程1+=ax x 有一个负根而没有正根时，a 的取值范围为a ≥1。

第4讲集合与元素（数学竞赛）第4讲集合与元素[知识点⾦]元素与集合只有属于和不属于两种关系，但如何判定⼀个元素是否属于该集合，有时要进⾏适当甚⾄灵活的变形，达到集合所要求的形式.[例题精析]例1 设A= },{22Z y x y x a a ∈-=、求证：（1）⼀切奇数属于A（2）偶数 4k – 2（k ∈z ）不属于A（3）属于A 的两个整数，其积仍属于A分析关键构造出集合元素所需形式.证明（1）设a 为任意奇数，则 a = 2k –1（k ∈Z ）因为 2k –1 = k 2 -（k-1）2 ,k ，k-1∈Z, 故a ∈A由a 的任意性知，⼀切奇数属于A.（2）假设4k – 2∈A ，则存在x 、y ∈Z 使 4k – 2 = x 2 – y 2即（x + y ）（x - y ）= 2（2k-1）… ①①式说明x + y 与 x – y 必有⼀个是偶数，但x + y 与 x – y 具有相同的奇偶性，这是⼀对⽭盾，故①不成⽴.所以 4k – 2 ?A（3）设a 、b ∈A ，则a = 2221y x -，b = 2222y x - （Z y y x x ∈2121,,,）因为 a b =（2121y x -）（2222y x -）= +2221x x 2221y y -2221y x -2122y x = （2121y y x x -）2 -（1221y x y x -）2⽽ Z y y x x ∈-2121，1221y x y x -Z ∈, 所以 a b ∈A.例2 （全国⼥⼦数学奥林匹克）如果存在 1，2，...，n 的⼀个排列1a ，2a ，…，n a 使得 k+k a （k=1, 2, ..., n ）都是完全平⽅数，就称n 为“好数”.试问：在集合 {11, 13, 15, 17, 19} 中，哪些是“好数”，哪些不是“好数”？说明理由.解除了11之外都是“好数”.（1）易知11只能与5相加得到24，⽽4也只能与5相加得到23，因此，不存在满⾜条件的数列，所以11不是“好数”.(2)13是“好数”，因为如下的排列中，)13,...,2,1(=+k a k k 都是完全平⽅数：13121110987654321:k 34567191011121328:k a（3）15是“好数”，因为如下的排列中，)15,...,2,1(=+k a k k 都是完全平⽅数：151413121110987654321:k123456789101112131415:k a （4）17是“好数”，因为如下的排列中，)17,...,2,1(=+k a k k 都是完全平⽅数：1716151413121110987654321:k 8911112131415161721045673:k a 其中⽤到了轮换).15,10,6,3,1(（5）19是“好数”，因为如下的排列中，)19,...,2,1(=+k a k k 都是完全平⽅数： 19181716151413121110987654321:k 17181991011121314151612345678:k a 评注这⾥的关键问题在于构造满⾜条件的排列.例3 （亚太地区数学竞赛）求所有由正整数组成的有限⾮空集合S ，满⾜：若S n m ∈、，则n m S n m n m 、、(,)(∈+不必须不同）. 分析我们由特殊的情形，先得知S ∈2，进⽽循序渐进探索集合S 中可能含有的其他元素，发现集合中可能只有2这⼀个元素，之后如何进⾏简捷的表达呢？.解令m=n,则S ∈2，由于S 是⾮空有限集合，.若S 中存在奇数，则S k k k ∈+=+2)2,(2，以此类推，,...6,4++k k 都属于S,与其是有限集⽭盾,所以S 中的元素都是偶数，如果除了2以外还有其他偶数，不妨设除2以外的最⼩数为k （k>2）,则S k k k ∈+=+12)2,(2，并且k k <+<122，⽽由前⾯讨论知12+k 应该为偶数，这与k 为除2以外的最⼩数⽭盾，所以 S={2}.评注这⾥应⽤极端原理使得表达简捷.例4 321,,S S S 为⾮空集合，对于1，2，3的任意⼀个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈-.证明：三个集合中⾄少有两个相等.证明若j i S y S x ∈∈,，则i k S x y x y S x y ∈-=--∈-)(,所以每个集合中均有⾮负元素.当三个集合中的元素都为零时，命题显然成⽴.否则，设321,,S S S 中的最⼩正元素为a ，不妨设1S a ∈，设b 为32,S S 中最⼩的⾮负元素，不妨设,2S b ∈则b －a ∈3S .若b ＞0,则b a b <-≤0，与b 的取法⽭盾。

调和点列与调和线束定义对于线段AB 的内分点C 和外分点D 满足AC ADCB DB，则称C 、D 调和分割线段AB 或者A 、B 、C 、D 是调和点列。

我们允许无穷远点的存在，即规定如果D 为无穷远点，则1ADDB，也可以说，当C 平分线段AB 时，A 、B 、C 以及直线AC 上的无穷远点四点成调和点列。

性质1 设,,,A B C D 是共线四点，点M 是线段AB 的中点，则,C D 调和分割线段AB 的充要条件是满足下列六个条件之一： （1） 点,A B 调和分割CD （2） 112AC AD AB（3） 22AB CD AD BC AC DB （4） CA CB CM CD （5） DA DB DM DC （6） 22MA MB MC MD性质2 （调和点列的角元形式）设A 、C 、B 、D 是共线四点，过共点直线外一点P 引射线PA ，PC ，PB ，PD ．令1APC θ ，2CPB θ ，3BPD θ ，则AC BD CB AD 的充要条件132123sin sin sin sin()θθθθθθ ．性质3 设,,,A B C D 是共线四点，过共点的直线外一点P 引射线,,,PA PC PB PD ，则,C D 调和分割线段AB 的充分必要条件是满足下列两个条件之一：（1） 线束,,,PA PC PB PD 其中一射线的任一平行线被其他三条射线截出相等的两线段；l 分别交射线,,,PA PC PB PD 于点（2） 另一直线',',','A C B D 时，点','C D 调和分割线段''A B 。

性质4对线段AB 的内分点C 和外分点D ，以及直线外一点P ，给出如下四个论断：AM CBD（1） PC 是APB 的平分线 （2） PD 是APB 的外角平分线 （3） ,C D 调和分割线段AB（4） PC PD以上四个论断中，任意两个作题设，另两个作结论组成的六个命题均为真命题。

数的整除（一）内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3例2己知五位数x 1234能被12整除， 求X解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位X 4能被4整除时，X ＝0，4，8 ∴X ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

练习１．分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 2．若四位数a 987能被3整除，那么 a=_______________ 3．若五位数3412X 能被11整除，那么 X ＝__________- 4．当 m=_________时，535m 能被25整除5．当 n=__________时，n 9610能被7整除 6．能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7．能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________8．8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9． 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个， 能被3整除但不是5的倍数的共______个。

第四讲 辗转相除法与最大公因数一、基础知识：1．带余除法：若a ，b 是两个整数，b ＞0，则存在两个整数q 和r ，使得a =bq+r （0≤r ＜b ）成立，且q ，r 是唯一的。

证明：【存在性】作整数序列…，-3b ，-2b ，-b ，0，b ，2b ，3b ，…则a 必在上述序列的某两项之间，即存在一个整数q 使得qb ≤a <(q +1)b 成立。

令a -qb =r ，即证存在性。

【唯一性】设q 1、r 1是满足a =bq+r ，0≤r <b 的另一对整数，因为bq 1+r 1=bq +r ,于是b (q-q 1)=r 1-r 故b |q-q 1|=|r 1-r |由于r 及r 1都是小于b 的非负整数，所以上式右边是小于b 的。

如果q ≠q 1，则上式左边≥b ，这是不可能的。

即证唯一性。

【说明】特别地，如果r =0，那么a=bq 。

这时，a 被b 整除，记作b|a ，对任意整数a ，b 且b ≠0，存在唯一的整数q ，r ，使a =bq +r ，其中0≤r <|b |，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。

2．最大公因数：若c |a ，c |b ，则称c 是a ，b 的公因数。

若d 是a ，b 的公因数，且d 可被a ，b 的任意公因数整除则称d 是a ，b 的最大公因数。

记为：(a ，b )=d当d ≥0时，d 是a ，b 公因数中最大者。

若a ，b 的最大公因数等于1，则称a ，b 互素。

记为：(a ，b )=13．辗转相除法：累次利用带余除法可以求出a ，b 的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。

又称欧几里得算法。

例如，一般的，设a ，b 是任意两个正整数，由带余数除法，我们有下面的系列等式： a =11bq r ，0<1r <b ，b =1r 2q +2r ，0<2r <1r ， ……………2n r -=1n r -n q +n r ，0<n r <1n r -， (1) 1n r -=n r 1n q ++1n r +，1n r +=0因为每进行一次带余数除法，余数就至少减一，而b 是有限的，所以我们最多进行b 次带余数除法，总可以得到一个余数是零的等式，即1n r +=0 (1)式所指出的计算方法，叫作辗转相除法。

初中数学竞赛4：奇偶分析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若a ，b 均为质数，且22003a b +=，则a b +的值为（ ）A ．999B ．2000C ．2001D ．20022．对任意的三个整数，则（ ）．A ．它们的和是偶数的可能性小B ．它们的和是奇数的可能性小C ．其中必有两个数的和是奇数D ．其中必有两个数的和是偶数3．已知n 是奇数，m 是偶数，方程组2004,1128y n x y m +=⎧⎨+=⎩有整数解00,x y ，则（ ）． A ．00,x y 均为偶数 B ．00,x y 均为奇数 C ．0x 是偶数0y 是奇数 D ．0x 是奇数，0y 是偶数4．已知a ，b ，c 三个数中有两个奇数､一个偶数，n 是整数，如果()()()12233S a n b n c n =++++++，那么（ ）． A ．S 是偶数 B ．S 是奇数 C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同 D ．S 的奇偶性不能确定 5．若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如22420=-，221242=-，222064=-），下列关于神秘数的叙述，正确的个数为（ ）． ①2008是神秘数；②任意两个正奇数的平方差是神秘数；③任意两个正奇数的平方差不是神秘数；④在1~100这100个数中，神秘数有13个．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题6．从1到2001连续的2001个自然数按某种顺序排列，然后每连续三项计算和数，得到1999个和，则这些和数中为奇数的个数最多是_________．7．如图，要输出大于100的数，则输入的正整数x 最小是_________．8．设m 是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，则m =______．9．a ，b ，c 都是质数，并且33,44,66a b b c c d +=+=+=，那么d =______．-均为质数，则x的可能取值的个数是________．10．已知x，m，n为正整数，2+=+与2x nm n x m5,11．设n为自然数，如果2005能写成n个正的奇合数之和，就称n为“好数”，则这种好数有______个．12．甲､乙､丙三位同学一起去买书，他们买书的本数都是两位数字，且甲买的书最多，丙买的书最少，又知这些书的总和是偶数，它们的积是3960，那么乙最多买________本．13．下面是一个大表的一部分，表中将自然数按照从小到大的顺序排成螺旋形，在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯……，那么第18个拐弯的地方是_________．14．若一个正整数不能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“非智慧数”，如把这些非智慧数按从小到大的顺序排列，则第2009个非智慧数是_________．15．A，B，C，D，E，F，G七盏灯各自装有一个拉线开关．开始B，D，F亮着，一个小朋友按从A到G，再从A 到G，再从A到G的顺序依次拉开关，一共拉了2000次，这时亮着的灯是___________．16．用数字0，1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，偶数有_____个．17．从1，2，…，2006中，至少要取出______个奇数，才能保证其中必定存在两个数，它们的和为200818．从1，2，…，2008中，至少取________个偶数才能保证其中必定存在两个偶数之和为201219．设p是正奇数，则2p除以8的余数等于____________．三、解答题20．将1999表示为两个质数之和：1999=+，在□中填入质数，共有多少种表示法？21．（1）证明：奇数的平方被8除余1；（2）请进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．22．A，B，C，D四个数之和为59，问：2222+++，5555A B C D+++A B C DA B C D+++，4444+++，3333A B C D这四个数中共有几个奇数？23．在6张纸片的正面各写上整数1到6中的一个；然后把这些纸片搞乱，把纸片翻过来，在它们的反面，同样各写上整数1到6中的一个．问：有没有可能，6张纸片的正面和反面数字的差都不相同？若有可能，请举例说明；若没可能，请说明理由．24．1998个小朋友围成一圈，从某人开始，逆时针方向报数，从1报到64，再依次从1报到64，一直报下去，直到每人报过10次为止．问：（1）是否有报过5，又报过10的人？有多少？说明理由．（2）是否有报过5，又报过11的人？有多少？说明理由．25．有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反，问能否经过有限次翻转之后，使所有硬币的国徽都朝上？给出你的结论，并给予证明．26．某个月里有三个星期日的日期为偶数，请你推算出这个月的15日是星期几？27．已知t +∈N ，若2t 可以表示成1b a ±（a ，b 是大于1的整数），请找出满足上述条件所有可能的t 值．28．设n 是正整数，1234d d d d <<<是n 的四个最小的正整数约数，若22221234n d d d d =+++，求n 的值．29．从1，2，3，…，100中任选两个不同的数可以组成两个加法算式（82+与28+算两个），在这些算式中，有的和是奇数，有的和是偶数．在所有这些算式中，和为奇数的多还是和为偶数的多？多多少？参考答案1．C【分析】2003是奇数，所以a ，b 中必有一个数是偶数2，分两种情况进行讨论即可得出结论．【详解】解：由于2003是奇数，所以a ，b 中必有一个数是偶数2．若b =2，则a 2=2001，而2001不是完全平方数．故a =2，b =1999，有a +b =2001．故选：C ．【点睛】本题主要考查了奇数的性质，正确理解a ，b 中必有一个数是偶数2是解决本题的关键． 2．D【详解】选D ．理由：对于任意一个整数，它不是奇数就是偶数，且两者必居其一．对任意的三个整数，它们的奇偶性只可能是下面8种情况之一：奇奇奇､奇奇偶､奇偶奇､奇偶偶､偶奇奇､偶奇偶､偶偶奇､偶偶偶．而这8种情况所对应的三个数的和的奇偶性依次为：奇､偶､偶､奇､偶､奇､奇､偶．所以它们的和是奇数与和是偶数的可能性一样，排除A ，B ．又因为在可能的8种情况下，每种情况中都存在两个奇偶性相同的数，而这两个数的和一定是偶数故选D ．3．C【详解】选C ．理由：因02004y n =-，n 为奇数，则0y 为奇数；001128x m y =-，m 和028y 都为偶数，故0x 为偶数．4．A【详解】选A ．理由：考察S 的三个因数和的奇偶性．5．B【详解】解 选B ．理由：设两个连续偶数为22k +和2k ，则22(22)(2)4(21)k k k +-=+．又21k +是奇数，从而，神秘数是4的倍数，但不是8的倍数．设任意两个正奇数为21m +和21n ，则22(21)(21)4(1)()m n m n m n +-+=++-．由于1m n ++与m n -的奇偶性相反，从而，22(21)(21)m n +-+是8的倍数．故22(21)(21)m n +-+不是神秘数．又20088251=⨯，故2008不是神秘数．不难验证：1~100之间的神秘数有41,43,,425⨯⨯⨯．共计13个．综上，知③､④正确．6．1998【详解】用0表示偶数，1表示奇数，则按如下方法排列时：5011500100100100100111A B C 个个，仅有一个数为偶数：A B C ++，故所求和数个数的最大值不小于199911998-=．其次，我们证明对任意排列，都至少有一个和为偶数，分4种情形．情形①：第一项为奇数，第二项为偶数．为了使和不出现偶数，第3项只能是奇数，接下去只能是1001000…这样出现了500个100后，所有1000个偶数全都排出，余下只有501个奇数，这时只能是上述排列，其中有一个和：A B C ++为偶数．情形②：第一项是奇数，第2项也是奇数．为了使和不出现偶数，以后各项只能都是奇数，排完1001个奇数后，剩下1000个偶数，再排下去必出现偶数：奇+奇+偶=偶． 情形③和④：第一项是偶数，第二项是奇数或偶数，同样必会出现和为偶数的情形． 综上可知，所求和数个数的最大值是1998．7．21【详解】当21x k =+为奇数时，依题意得4(21)13101k ++≥，221k ≥，22x ≥；当2x k =为偶数时，依题意得25101k ⨯≥，220.2x k =≥，21x ≥，故正整数x 最小是21．8．17．【详解】最小三个合数为4，6和8，46818++=．故17是不能表示为三个互不相等的合数之和的整数．当18m >时，若218m k =>，则()4625m k =++⨯-；若2118m k =->，则()4927m k =++-．因此，任意大于18的整数均可表示为三个互不相等的合数之和．故17m =．9．53【详解】质数中只有2是偶数，由条件易知，2a =，所以3331,4413,6653b a c b d c =-==-==-=．10．2【详解】由题设，m 可取1，2，3，4，相应地，n 可为4，3，2，1，并且m 与n 一奇一偶．故2x m +与2x n -一奇一偶．又2x m +与2x n -均为质数，因此，22x m +=或22x n -=，解得1,1x m ==或22x n -=±．当1,1x m ==时，4n =．23x n -=．所以，1x =符合条件．当22x n -=时，22{3,4,5,6}x n =+∈，则2x =．此时，22,3,7n m x m ==+=．所以，2x =符合条件．当22x n -=-时，22{1,0,1,2}x n =-∈-，则1x =．当1x =时，23,2,3n m x m ==+=是质数．所以，1x =符合条件．因此，x 的可能取值有2个．11．111【详解】填111.理由：设12,,,n a a a 为奇合数，122005n a a a +++=，则n 为奇数．由于9是最小的奇合数，而200520079223<=⨯，故223n <．从而，221n ≤．因220200519802599925=+=++++个，故221是好数．故221是好数．又当()219k -⨯是奇合数时，()()21999219k k -⨯++=+⨯也是奇合数．因此，可将上式右端逐步并项，从而，n 可取221，219，…，5，3.由于2005本身也是奇合数，则n 可取1.于是，1，3，5，…，221都是好数，共计111个．12．18【详解】填18.理由：设甲､乙､丙分别买书x 本，y 本，z 本，则()x y z ++是偶数．可知x ，y ，z 或者都是偶数，或者是两个奇数､一个偶数．32396023511x y z ⨯⨯==⨯⨯⨯．若x ，y ，z 都是偶数，则它们分别为221122,2318,2510⨯=⨯=⨯=．若x ，y ，z 是两奇一偶，则它们分别为32324,3515,11⨯=⨯=．所以乙最多买18本．13．91【详解】填91.理由：观察拐弯处的数的规律，可得第n 个拐弯处的数：当n 为奇数时，为1(135)n +++++；当n 为偶数时，为121232n ⎛⎫+⨯++++ ⎪⎝⎭． 将18n =代人，得91.14．8026【详解】填8026.理由：1不能表示为两个正整数的平方差，则1是第1个非智慧数．大于1的奇数()21n n ++∈N 可表示为22(1)n n +-．能被4整除的偶数4m 可表示为22(1)(1)(1)m m m +-->．而4不能表示为两个正整数的平方差．能被2整除而不能被4整除的数42()m m +∈N 不能表示为两个正整数的平方差．否则，22()()42x y x y x y m -=+-=+．由于x y +与x y -同奇偶，42m +为偶数，因此，x y +与x y -同为偶数． 则2(),2()x y x y +-． 故()224x y -． 于是，4(42)m +，与矛盾．所以，42m +是非智慧数． 则非智慧数按从小到大的顺序排列是：1，2，4，6，10，14，……．当3n >时，第n 个非智慧数为410n -．因此，第2009个非智慧数为42009108026⨯-=．15．B ，D ，G ．【详解】填B ，D ，G ．理由：有7盏灯，7个拉线开关，因为200072855÷=，所以前5盏灯的开关被拉了286次（偶数次），原来亮着的B ，D 仍然亮着；后两盏灯的开关被拉了285次（奇数次），原来暗着现在变亮的是G ，原来亮着的F 现在则变暗．所以，最后亮着的灯是B ，D ，G ．16．105【详解】填105.理由：个位是0时，百位有6种选法，十位有5种选法，有65⨯个；个位是2时，百位有5种选法，十位有5种选法，有55⨯个；个位是4，6时，情况与个位是2时的相同． 所以满足条件的三位偶数共有6555552105⨯+⨯+⨯⨯=（个）．17．503【详解】填503.理由：从1，2，…，2006中选出两个奇数，和为2008的共有如下501组： 32005,52003,,1031005+++．由于1与其中的任意一个奇数的和都不会等于2008，因此，至少要取出503个奇数，才能保证其中一定有两个数，它们的和为2008.18．504【详解】解 填504，理由：从1，2，…，2008中选出两个偶数，和为2012的共有501组，即42008+，62006+，…，10041008+．由于2或1006与其中的任意一个偶数之和均不等于2012，因此，至少取出50121504++=个偶数，才能保证其中一定有两个偶数之和为2012.19．1【详解】解 填1，理由：因为p 是正奇数，设21()p k k =-∈N ，所以，222(21)4414(1)1p k k k k k =-=-+=-+．因(1)k k -为偶数，所以，2p 除以8余1.20．一种【详解】解：根据奇偶数的性质：奇数=奇数+偶数．而在所有的偶数中只有2是质数，所以两个□中必有一个是质数2，另一个质数是1997，只有这一种填法．所以只有一种填法．21．（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）奇数可写成21n 的形式，其中n 为整数，2(21)4(1)1n n n +=++．n 与1n +中必有一个为偶数，所以4(1)n n +被8整除，奇数21n 的平方被8除余1.（2）由（1），每个奇数的平方和除以8余1，8个奇数的平方和被8整除，10个奇数的平方和除以8余2，2006除以8余6.因此，2006不能表示成10个奇数的平方和．22．4个【详解】因为59A B C D +++=，和为奇数，那么这四个数就只有下面两种可能：（1）偶､偶､偶､奇，三个偶数，一个奇数；（2）偶､奇､奇､奇，三个奇数，一个偶数．故奇数的个数为奇数个．又因任意个数的奇数相乘，积仍为奇数，比如A 为奇数， 则2345,,,A A A A 等仍为奇数．所以题干四个算式，无论属于（1）､（2）的哪种情况，其和均为奇数．故这四个数中共有4个奇数．23．没有可能，见解析【详解】解 可以把这道题换一种说法，然后，从最简单的问题开始研究这道题的规律．在N 张纸片的正面各写上整数1到N 中的一个；然后把这些纸片搞乱，把纸片翻过来，在它们的反面，同样各写上整数1到N 中的一个．问：有没有可能，N 张纸片正面和反面数字的差都不相同？若有可能，请举例说明；若没可能，请说明理由．当1N =时，纸片正面是1，反面也是1，差是0.当2N =时，显然没有可能．当3N =时，也没有可能．当4N =时，是能办到的．例如，当纸片正面是1，2，3，4，在它们的反面分别写上4，1，3，2时，正面和反面数字的差分别是3，1，0，2，符合题目要求．当5N 时，也是能办到的，例如，当纸片正面是1，2，3，4，5，在它们的反面分别写了5，2，4，1，3时，正面和反面数字的差分别是4，0，1，3，2，符合题目要求． 如果我们定义1N =是能办到的，这样就可以猜想出当6N =时是办不到的．可以用奇偶性加以说明．假设6张纸片的正面和反面的数字都不相同，差必然是0，1，2，3，4，5，差的和是15，15是个奇数（当N 是1，4，5时，差的和都是偶数；当N 是2，3时，差的和是奇数）． 由于1到6的整数有6个，在6个减法算式中，每个数字分别出现两次，可以把这些数字分成3类：第1类是两次都在被减数中出现；第2类是两次都在减数中出现；第3类是一次在被减数中出现，另一次在减数中出现．求差的和时，相当于第1类数的2倍之和，减去第2类数的2倍之和（第3类数恰好互相抵消），其差只能是偶数，与15是奇数相矛盾，所以没有可能．24．（1）没有，见解析；（2）有，157人，见解析【详解】解 （1）因为1998与64都是偶数，所以报偶数的总是报偶数，报奇数的总是报奇数，没有既报偶数又报奇数的人．（2）1998643114÷=．如果某人在第n 圈时报5，那么在第(1),(2),(3),(4),(5)n n n n n +++++圈时将依次报19，33，47，61，11，也就是说在前5圈中报过5的人，在10圈内必然能报11.由19985641566⨯÷=知，前5圈中有157人报过5，这157人是既报过5又报过11的人． 如果某人在第n 圈时报过11，经推算，在以后的10圈内不会报5.经上所述，报过5又报过11的有157人．25．不能，见解析【详解】解 将国徽朝上赋予“1+”，朝下赋予“1-”，则1997枚硬币的国徽朝向情况可用1997个数的乘积表示，若这些数之积为1-（或1+），表明有奇数（或偶数）枚国徽朝下，开始时，其乘积为1000997(1)(1)1+⋅-=-．每次翻转6枚硬币，即每次改变6个数的符号，其结果是1997个数之积仍为1-，所以经有限次翻转后，这个结果总保持不变，即国徽朝下的硬币永远有奇数枚，故回答是否定的．26．星期六【详解】解 根据奇偶数的性质：奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数．又根据“某个月里有三个星期日的日期为偶数”得，这个月第一个星期日的日期可能为1，2，3日．经过进一步筛选，可知这三个星期日的日期分别为2，16，30日．故这个月的15日是星期六．27．3【详解】解 设正整数t ，使得21t b a =±．显然，a 为奇数．（ⅰ）若b 为奇数，()1232(1)1t b b b a a a a a ---=±++．由于a ，b 均为奇数，而奇数个奇数相加或相减的结果一定是奇数，因此，12311b b b a a a a ---++=也是奇数．从而只可能12311b b b a a a a ---++=， 得211t b a a =±=±．故1b =，这与2b ≥矛盾．（ⅰ）若b 为偶数，令2b m =，则1(mod 4)b a ≡．若21t b a =+，则212(mod 4)t b a =+≡．从而，1t =．故1211b a =-=，矛盾．若()()2111t b m m a a a =-=-+，两个连续偶数的乘积为2的方幂，只能是12,14m m a a -=+=． 从而，3,22a b m ===．因此，221318t b a =-=-=．综上，满足题设的2的正整数次幂是32，即3t =．28．130【详解】解 若n 为奇数，则1234,,,d d d d ，全为奇数，则22221234=d d d d ++为偶数，与n 为奇数矛盾，故n 为偶数，故121,2d d ==．若n 为4的倍数，则3d ，4d ，必有一个为4，而n 为偶数，则另一个为奇数，22221234d d d d +++除4的余数为2，与题意不符，故n 不是4的倍数．设3d a =（a 为奇数），则4d 必为偶数，故42d a =．则()2222212(2)51n a a a =+++=+，可见n 是5的倍数，故345,10,130d d n ===．29．和是奇数的比和是偶数的多，多了100个．【详解】解 把这些算式分为100类，它们第1个加数分别为1，2，3，…，100类99个算式．++++，那么所有这些算式中和是奇数的与和是如果每一类都分别添上11,22,33,,100100++++这100个和是偶数的，就使和是偶数的各一半（同样多），缺了11,22,33,,100100奇数的比和是偶数的多了100个．。

数学竞赛备战与辅导安排一、课程目标知识目标：1. 熟练掌握数学竞赛中的基础知识和核心概念，如代数、几何、数论等；2. 了解并掌握数学竞赛中常见的解题方法和策略，提高解决问题的能力；3. 掌握数学竞赛中部分高难度题目的解题技巧，提升数学思维水平。

技能目标：1. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高分析问题和解决问题的技巧；2. 培养学生良好的数学逻辑思维，提高数学推理和论证能力；3. 培养学生快速准确地进行数学计算和估算的能力。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生主动参与数学竞赛的积极性；2. 培养学生面对困难时勇于挑战、坚持不懈的精神，增强自信心；3. 培养学生良好的团队协作精神，学会与他人共同探讨、交流数学问题。

课程性质：本课程为数学竞赛备战与辅导课程，旨在提高学生的数学素养和竞赛水平。

学生特点：学生具备一定的数学基础，思维活跃，对数学竞赛有较高的兴趣和热情。

教学要求：结合学生实际情况，注重基础知识巩固与拓展，突出实用性，提高学生的数学竞赛能力。

在教学过程中，将课程目标分解为具体的学习成果，便于教学设计和评估。

二、教学内容根据课程目标，教学内容分为以下三个部分：1. 基础知识巩固- 教材章节：代数基础、几何基础、数论基础- 内容：方程与不等式、函数与图像、几何图形性质、平面几何证明、数论基本概念2. 解题方法与策略- 教材章节：解题策略、数学竞赛题型- 内容：分类讨论、转化法、构造法、排除法、特殊值法等解题策略；分析常见数学竞赛题型，如组合题、计数题、几何题等3. 高难度题目训练- 教材章节：数学竞赛难题解析- 内容：针对数学竞赛中的高难度题目进行讲解和训练，包括代数难题、几何难题、数论难题等教学进度安排：1. 基础知识巩固：4周2. 解题方法与策略：4周3. 高难度题目训练：4周在教学过程中，将根据学生实际情况调整教学内容和进度，确保教学内容与课程目标紧密结合，提高学生的数学竞赛能力。

课程类型数学“排列组合基础”讲义编号：学员：年级：授课日期：讲师：授课方式（在线或线下）：（线下填）授课教学点：知识定位组合数学是一个历史悠久的数学分支。

据传说，大禹治水时（公元前2200年左右），从洛河中浮出一只神龟，他的背部画了一个被称为洛书的神奇点阵图，如下图。

把点阵各个部分用点数代替，就得到今天人们称之为三阶幻方的数字方阵，如下图。

该方针的每一行、每一列、每条对角线上的三个数字只和都等于15.幻方问题是组合数学所涉及的一个非常有趣的问题。

所谓n阶幻方就是由1,2,…,n2这n2个数字组成的方阵，该方阵每一行、每一列、每条对角线上的数字之和都相等。

人们自然想知道：对于任意给出的正整数n，n阶幻方是否存在？如果存在如何构造出来？有多少种不同的方法？像这样，组合数学在实际生活中有千千万万的例子。

组合数学同样也是自主招生及数学竞赛着重考察的知识点。

在华约自主招生中，排列组合概率大概要占一半左右的分数，而数学竞赛中四大分支（平面几何、代数、数论、组合）中也具有相当重要的地位。

从这一节开始，我们将用七节的课时对组合问题做一个初步的介绍。

本节的授课知识点包括：最基本的排列组合，以及T 路计数（折线法）。

知识梳理计数的基本原则1. 相等原则：设A,B 是两个有限集，如果存在由A 到B 上的一个一一对应映射（双射），则|A |=|B |例1 32名选手参加乒乓球单打淘汰赛，需要打多少场比赛才能产生冠军？ 【解答】：教学提示：补充问：设计一种赛制，决出第一名之后，找出第二名最少还需要赛多少场？2. 加法原则：设A 是有限集，A i ⊆A (i =1,2,…,k )，如果A =⋃A i k i=1，且A i ⋂A j =∅ (1≤i <j ≤k)，则|A |=∑|A i |k i=1例2 把4个人分成两组，每组至少1人，求不同的分组方法数。

【解答】：3. 乘法原则：已知做一件事依次要经历k 个步骤，且在已完成前面i-1（1≤i ≤k ）个步骤情况下，完成第i 步有n i种方法，则做这件事的方法共有∏n i k i=1种。

和差化积----因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法1．主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法．2．待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．例题与求解【例l 】xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是（ ）．A ．()()()z x y x z y -+-B ．()()()z x y x z y +--C ．()()()z x y x z y +-+D ．()()()z x y x z y -++【例2】分解因式： （1）bc ac ab c b a54332222+++++； （2）z y xy xyz y x z x x 222232242-++--．【例3】分解因式1)12()12(2223-+-++++a x a a x a x ．【例4】k 为何值时，多项式k y x y xy x +++-+108222有一个因式是?22++y x【例5】把多项式12544234+-+-x x x x写成一个多项式的完全平方式.【例6】如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +，)(c x +的乘积（c b ,为整数），则a 的值应为多少？能力训练A 级1．分解因式：222449c bc b a -+-＝____________________．2．分解因式：22635y y x xy x ++++＝____________________3．分解因式：)(3)(322y x y y x x -+-+++＝__________________．4．多项式78622++-+y x y x 的最小值为____5．把多项式822222--++-y x y xy x 分解因式的结果是（） A ．)2)(4(+---y x y x B ．)8)(1(----y x y xC ． )2)(4(--+-y x y xD ．)8)(1(--+-y x y x6．已知122-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）． A ．3 个 B ．4 个 C ．5 个 D ．6个7．若4323+-kx x 被13-x 除后余3，则k 的值为（ ）．A ．2B ．4C ．9D ．108．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值是（ ）．A ．92B ．32C ．54D ．09．分解因式：（1）ac bc ab b a2222++--； （2）))((4)(2b a c b a c ----；（3）a x a x x 2)2(323-++-； （4）12267222--++-y x y xy x ；（5）2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy10．如果1)4)((---x a x 能够分割成两个多项式b x +和c x +的乘积（c b 、为整数），那么a 应为多少？11．已知代数式24322-+---by x y xy x 能分解为关于y x ,的一次式乘积，求b 的值．B 级1．若k x x x +-+3323有一个因式是1+x ，则k ＝_______________．2．设y kx xy x x 42323---+可分解为一次与二次因式的乘积，则k ＝_____________．3．已知4+-y x 是4322+++-y mx y x 的一个因式，则m ＝________________________．4．多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值为__________．5．若823+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +＝（）． A ．8 B ．7 C ． 15 D ．21 E ．226．多项式251244522+++-x y xy x 的最小值为（ ）． A ．4 B ．5 C ．16 D ．257．若136498322++-+-=y x y xy x M （y x ,为实数），则M 的值一定是（ ）． A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．整数8．设n m ,满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m ＝（ ）A ．（2，2）或（－2，－2）B ．（2，2）或（2，－2）C ．（2，－2）或（－2，2）D ．（－2，－2）或（－2，2）9．k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？10．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a++=+++．11．已知整数c b a ,,，使等式)1)(11()10())((+-=-+++x x x c b x a x 对任意的x 均成立，求c 的值．x,，下列的值都不会等于33．12．证明：对任何整数y3512245243x+yx+-x+-51543yxyxyy。

专题4 找规律知识解读1.探索数列中的规律现阶段的数列多为等差数列（后一个数与前一个数的差都相等）、等比数列（后一个数与前一个数的商都相等），也有的数列是某几个数的循环。

2.探索等式中的规律题目条件所提供的等式都是一般规律的具体应用，因此将所提供的等式一般化是找寻规律的常用方法.3.探索图案中的规律图案中蕴含的规律，一般可从数和形两个角度来探寻.培优学案典例示范1.探索数列中的规律例1（1）有一列数：1，-2，4，-8，16，-32，…则这列数的第8个数是，第n个数是 .（用含n的代数式表示）（2）有一列数：20,10,n,n,19,…则这列数的第9个数是，第n个数是 .（用含n的代数式表示）【提示】（1）思路一：先看符号：正、负、正、负循环，可用12319190++++=来表示；再看绝对值，后一个数的绝对值都是前一个数的绝对值的2倍，因此第n个数的绝对值是第一个数的绝对值乘（n-1）个2.思路二：看整列数，可以发现后一个数都是前一个数的-2倍，因此第n个数是第一个数乘以（n-1）个-2.（2）先看符号，负、正、负、正循环，可用20来表示；再看绝对值，分子都是1，后一个分母比前一个分母大2，因此第n个数的分母是第一个数的分母加上（n-1）个2.【技巧点评】一个数列：10,200,5，…，1,2如果满足3-4=5-1=…=1-3=5-7=p那么这个数列是等差数列，2=15+(n-1)p.一个数列：13,11,9，…，3,17如果满足19那么这个数列是等比数列，21=23等差数列和等比数列及其派生出的数列（将原等差数列或等比数列的每个数或加、或减、或乘以、或除以一个相同的非零数而生成的新数列）是找规律题中常见的数列.跟踪训练1（1）下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16,…第2015个数是 ； （2）已知一列数2，8，26，80,…，按此规律，则第n 个数是 （用含n 的代数式表示）例2 有一列数：1111112612203042，，，，，，，则这列数的第n 个数是 （用含n 的代数式表示）【提示】分子都是1，分母既不是等差数列，也不是等比数列. 思路一：第一个分母是12⨯，第二个是23⨯，第三个是34⨯思路二：从乘方的角度考虑，第一个分母是211+，第二个是222+，第三个是233+【技巧点评】遇到非等差或非等比数列时，从乘方的角度考虑，常常会有突破. 跟踪训练2有一组数1,2,5,10,17,26请观察规律，则第10个数为 .例3 有若干个数，第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a 第n 个数记为n a ，若112a =-，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”.（1）试计算2a = ，3a = ，4a = ； （2）根据以上结果，请你写出2015a = ，2016a = .【提示】先根据条件计算2a ，3a ，4a ，可以发现，这n 个数是12-，23，3这三个数在循环.【技巧点评】 有的数列是一组数12,,,n a a a 在循环，找出这个数列是哪些数在循环是解决这类问题的关键.跟踪训练3观察下列各式：133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，依照这个规律，20153的末位数字是 .例4 将1，12-，13，14-，15，16-按一定规律排列如下：第一行 1第二行 12- 13第三行 14- 15 16-第四行17 18- 19 110- 请你写出第20行从左到右第10个数是 .【提示】从数的排列方式可以看出，第n 行就有n 个数，因此，前面19行共有12319190++++=个数，第20行从左到右第10个数应该是所给数列中的第200个数.【技巧点评】这类问题是将一个有规律的数列与数的位置排列结合起来，因此需要在原来的基础上再去探寻数的位置的排列规律.跟踪训练4将正奇数按下表排成5列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 1 3 5 7 第2行 15 13 11 9第3行 17 19 21 23 第4行 31 29 27 25根据上面规律，2007应在第 行第 列.2.探索等式中的规律例5 观察下列各式：332211129492344+==⨯⨯=⨯⨯；3332211123369163444++==⨯⨯=⨯⨯；33332211123410016254544+++==⨯⨯=⨯⨯（1）若n 为正整数，试猜想3333123n ++++等于多少？ （2）请利用你的猜想比较3333123100++++与()25000-的大小.【提示】当2n =时，()23322211122322144+=⨯⨯=⨯⨯+；当3n =时，()2333222111233433144++=⨯⨯=⨯⨯+，【技巧点评】将所提供的每一个式子一般化，即当n 为这些特殊值时，把原来的式子转化为含n 的式子. 跟踪训练5 观察下列各式：1121=-21221+=- 2312221++=-猜想：（1）236312222+++++= ；（2）若n 是正整数，那么2312222n +++++= .3.探索图案中的规律例6 图4-1是由一些点组成的图形，按此规律，在第n 个图形中，点的个数为 .【提示】思路一：分别写出每个图形中点的个数，得到一个数列，再去探寻数列的规律. 思路二：从形的角度入手，从第三、第四个图很容易看出是图形上面两个点再加上一个n 层的三角形，因此点的个数有这样的规律：1n =时，21+；2n =时，213++；3n =时，2135+++；4n =时，21357++++【技巧点评】这类图形的找规律问题，通常都可以从数和形两个角度来切入.跟踪训练6如图4-2，图①中有1个平行四边形，图②中有3个平行四边形，图③中有5个平行四边形，则图⑩中有 个平行四边形.培优训练直击中考1.★（2017·湖北荆州）如图4-3，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案.若第n 个图案中有2017个白色纸片，则n 的值为（ ）A.671B.672C.673D.6742.★（2017·辽宁丹东）观察下列数据：510172622345---，，，，，，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是 . 3.★（2017·湖北黄石）观察下列各式：11111222=-=⨯ 111112112232233+=-+-=⨯⨯ 1111111131122334223344++=-+-+-=⨯⨯⨯按以上规律，写出第n 个式子的计算结果（n 为正整数）.（写出最简计算结果即可）4.★（2017·黑龙江绥化）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21叫做三角数，它有一定的规律.若把第一个三角数记为1a ，第二个三角数记为2a ，，第n 个三角数记为n a ，计算12a a +，23a a +，34a a +，由此推算399400a a += .5.★（2017·四川遂宁）求1232222n ++++的和，解法如下：解：设1232222n S =++++①2312222n S +=+++②②-①得：122n S +=- 所以1231222222n n +++++=-.参照上面的解法：计算：23201713333+++++= .6. ★（2017·山东束庄）一列数123,,,a a a 满足条件：112a =，111n n a a -=-（2n ≥，n 为整数），则2017a = .挑战竞赛1.★★（希望杯试题）在以下两个数串中：1,3,5,7,1991,1993,1995,1997,1999，和1,4,7,101990,1993,1996,1999，，同时出现在这两个数串中的数共有（）A.333个B.334个C.335个D.336个2.★★（希望杯试题）将111111,23456---，，，，，按一定规律排成下表：从表中可以看到第4行中，自左向右第3个数是9，第5行中从左向右第2个数是112-，那么第199行中自左向右第8个数是，第1998行中自左向右第11个数是 .3.★★（迎春杯试题）一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55,问：这串数的前100个数中（包括第100个数），有多少个偶数？4.★★（华杯赛试题）自然数按下表的规律排列：（1）求上起第10行，左起第13列的数；（2）数127应在上起第几行、左起第几列？5.★★★（湖北省竞赛试题）按下列规律排成一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，4 1，15，24，33，42，51，16，…（*），在（*）中左起第m个数记为()F m，当()1=2001F m时，求m的值和这m个数的积.。