2021届河北省石家庄二中高三上学期期中考试模拟数学试题(解析版)

2020-2021石家庄市高二数学上期中模拟试卷(含答案)一、选择题1．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．函数()log a x xf x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 4．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +5．从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ） A ．2m nB ．2mnC ．4m nD ．16m n6．AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI 的统计数据.则下列叙述正确的是（ ）A ．这12天的AQI 的中位数是90B ．12天中超过7天空气质量为“优良”C ．从3月4日到9日，空气质量越来越好D ．这12天的AQI 的平均值为1007．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．100，20B ．200，20C ．100，10D ．200，108．已知不等式501x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“01x <”的概率为（ ）． A ．14 B ．13C ．12D ．239．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ）A ．5108 B ．113 C ．17D ．71010．某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥11．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A ．23B ．13C ．1 2D ．5612．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元二、填空题13．连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和不超过9的概率为______． 14．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b =A ，B ，C 成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于______________；15．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得11x +≥成立的概率为______． 16．如图，四边形ABCD 为矩形，3AB =，1BC =，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧»DE，在DAB ∠内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.17．已知01a ≤≤，11b -≤≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______．18．用秦九韶算法计算多项式f(x)=2x 4-x 3+3x 2+7,在求x=2时对应的值时,v 3的值为___. 19．根据下图所示的流程图，回答下面问题：若a ＝50.6，b ＝0.65，c ＝log0.65，则输出的数是________．20．执行如图所示的程序框图，若输入的A ，S 分别为0,1，则输出的S =____________．三、解答题21．某中学从高三男生中随机抽取100名学生，将他们的身高数据进行整理，得到下侧的频率分布表.（Ⅰ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行体能测试，问第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进行测试； （Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第3组中至少有一名学生被抽中的概率；（Ⅲ）试估计该中学高三年级男生身高的中位数位于第几组中，并说明理由.22．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数， 得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求 线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验； （Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出 y 关于x 的线性回归方程 ；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人， 则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？附：对于一组数据11(,)u v ，2,2)u v （ ，…，（,)n n u v ，其回归直线V u αβ=+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为i 1i i i12i n()(?)u )ˆ(n u u v u β==∑-=∑-nn ，ˆ-ˆu ανβ= . 23．画出解关于x 的不等式0ax b +<的程序框图，并用语句描述.24．国家公安机关为给居民带来全方位的安全感，大力开展智慧警务社区建设.智慧警务建设让警务更智慧，让民生更便利，让社区更安全.下表是某公安分局在建设智慧警务社区活动中所记录的七个月内的该管辖社区的违法事件统计数据： 月份 1 2 3 4 5 6 7 违法案件数196101663421116根据以上数据，绘制了如图所示的散点图.（1）根据散点图判断，用y a bx =+与(0,01)xy c d b d =⋅<<<哪一个更适宜作为违法案件数y 关于月份x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果及表中所给数据，求y 关于x 的回归方程（保留两位有效数字），并预测第8个月该社区出现的违法案件数（取整数）. 参考数据：yv71i ii x y =∑71i i i x v =∑721ii x=∑ 2.541062.141.54945 36.186 140346.74其中i i v lgy =，7117i i v v ==∑.参考公式：对一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：µ1221ni i i nii u v nuvunuβ==-=-∑∑，µµv u αβ=-. 25．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：，，，≈2.646.参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：26．某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据制0,100，样本数据分组为成频率分布直方图（如图），若上学路上所需时间的范围为[][)60,80，[]40,60，[)0,20，[)20,40，[)80,100.（1）求直方图中a的值；（2）如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，若招收学生1200人，请估计所招学生中有多少人可以申请住宿； （3）求该校学生上学路上所需的平均时间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式． 2．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．3．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ， ∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误； 对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误； 对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误；对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确 故选D ．考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.4．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210 (1101010)y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．5．B解析：B 【解析】 【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可. 【详解】 如下图：由题意，从区间[]0,2随机抽取的2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于4对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为2124ππ⋅=，所以由几何概型可知42π=m n ，所以2π=m n. 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.6．C解析：C 【解析】这12天的AQI 指数值的中位数是959293.52+= ，故A 不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B 不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C 正确；这12天的AQI 指数值的平均值为110，故D 不正确. 故选 C ．7．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.8．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】分析：解分式不等式得集合P ，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果. 详解：(5)(1)050101x x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩，∴{}|15P x x =-<<，||111x x <⇒-<<，∴1(1)15(1)3P --==--．选B ．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-= ()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B【点睛】 本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.10．A解析：A【解析】试题分析：根据程序框图可知，该程序执行的是2362222++++L ，所以判断框中应该填i>6?.考点：本小题主要考查程序框图的识别和应用，考查学生读图、识图的能力.点评：要分清是当型循环还是直到型循环，要特别注意退出循环的条件的应用，避免多执行或少执行一步.11．A解析：A【解析】【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A 和事件B 发生的概率，又通过列举可得事件A 和事件B 为互斥事件，进而得出事件A 或事件B 至少有一个发生的概率即为事件A 和事件B 的概率之和．【详解】事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，∴P (A )2163==，P (B )2163==， 又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A 和事件B 为互斥事件，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为P （A ∪B ）＝P (A )+P (B )112333=+=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题． 12．B解析：B【解析】【分析】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====Q ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ， ∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程二、填空题13．【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解【详解】连续抛掷一颗骰子2次共有36种基本事件其中掷出的点数之和不超过9的事件有种故所求概率为【点睛】本题考查古典概型概率考查基本分析与运算能力属基础题 解析：56【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解.【详解】连续抛掷一颗骰子2次，共有36种基本事件，其中掷出的点数之和不超过9的事件有66654330+++++=种，故所求概率为305366=. 【点睛】 本题考查古典概型概率，考查基本分析与运算能力，属基础题.14．1【解析】ABC 成等差数列所以解析：1【解析】A ，B ，C成等差数列，所以2213sin sin 3b B R R B π=∴===⇒= 15．【解析】【分析】求出不等式的解集计算长度运用几何概型即可求出概率【详解】或则在区间上随机取一个数x 使得成立的概率为故答案为【点睛】本题考查了几何概型中的长度型概率只需将题目中的含有绝对值不等式进行求 解析：23【解析】求出不等式的解集，计算长度，运用几何概型即可求出概率【详解】11x+≥Qx∴≥或2x≤-则在区间[]33-，上随机取一个数x，使得11x+≥成立的概率为4263=故答案为23【点睛】本题考查了几何概型中的长度型概率，只需将题目中的含有绝对值不等式进行求解，然后计算出长度，即可得到结果16．【解析】【分析】连接可求得满足条件的事件是直线AP与线段BC有公共点根据几何概型的概率公式可得【详解】连接如图所示所以满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与BC相交即直线AP与线段BC有公共点解析：13【解析】【分析】连接AC，可求得CAB∠，满足条件的事件是直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型的概率公式可得CABPDAB∠=∠.【详解】连接AC，如图所示，3tanCBCABAB∠==，所以π6CAB∠=，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与BC相交，即直线AP与线段BC有公共点，所以所求事件的概率π16π32CABPDAB∠===∠.故答案为：13.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题. 17．【解析】【分析】有实根则由根的判别式大于零可得之间的关系利用面积型概率求解【详解】关于x 的方程有实根则故答案为【点睛】本题是一道关于几何概型问题的题目根据题意求出判别式大于零的情况满足条件然后结合图 解析：14 【解析】【分析】有实根则由根的判别式大于零，可得a 、b 之间的关系，利用面积型概率求解【详解】11a -≤≤Q ，11b -≤≤，224u S ∴=⨯=，Q 关于x 的方程220x ax b ++=有实根2240a b ∴->，()()220a b a b +->121112q S ∴=⨯⨯⨯= 则14p = 故答案为14【点睛】本题是一道关于几何概型问题的题目，根据题意求出判别式大于零的情况满足条件，然后结合图像求出面积即可得到结果，较为基础18．【解析】f(x)=2x4-x3+3x2+7=(((2x-1)x+3)x)x+7∴v0=2v1=2×2-1=3v2=3×2+3=9v3=9×2=18故答案为：18解析：【解析】f (x )=2x 4-x 3+3x 2+7=(((2x -1)x +3)x )x +7，∴v 0=2,v 1=2×2-1=3,v 2=3×2+3=9,v 3=9×2=18.故答案为：18. 19．6【解析】因为所以输出解析：6【解析】因为a b c >>，所以输出50.6.a =20．36【解析】执行程序可得；不满足条件执行循环体不满足条件执行循环体满足条件推出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要解析：36【解析】执行程序，可得0A =，1S =； 1k =，011A =+=，111S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，3k =，134A =+=，144S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，5k =，459A =+=，4936S =⨯=，满足条件4k >，推出循环，输出36S =,故答案为36．【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.三、解答题21．（1）3人，2人，1人.（2）0.8.（3）第3组【解析】分析：（Ⅰ）由分层抽样方法可得第3组：30660⨯＝3人；第4组：20660⨯＝2人；第5组：10660⨯＝1人；（Ⅱ）利用列举法可得6个人抽取两人共有15中不同的结果，其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的情况有12种，利用古典概型概率公式可得结果；（Ⅲ）由前两组频率和为0.4，中位数可得在第3组.详解：（Ⅰ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组学生人数分别为：第3组：30660⨯＝3人；第4组：20660⨯＝2人；第5组：10660⨯＝1人. 所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人. （Ⅱ）设第3组3位同学为A 1，A 2，A 3，第4组2位同学为B 1，B 2，第5组1位同学为C 1，则从6位同学中抽两位同学的情况分别为：（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，C 1），（A 2，A 3），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，C 1），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 3，C 1），（B 1，B 2），（B 1，C 1），（B 2，C 1）.共有15种.其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的情况分别为：（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，C 1），（A 2，A 3），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，C 1），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 3，C 1），共有12种可能.所以，第4组中至少有一名学生被抽中的概率为0.8.答：第4组中至少有一名学生被抽中的概率为0.8.（Ⅲ）第3组点睛：本题主要考查分层抽样以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.22．(1)1().3P A =(2)183077y x =-.(3)小组所得线性回归方程是理想的. 【解析】【分析】【详解】（Ⅰ）设抽到相邻两个月的数据为事件A ，因为从6组数据种选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以()51.153P A == （Ⅱ）由数据求得11,24x y ==由公式求得187b =，再由a y bx =-求得307a = 所以y 关于x 的线性回归方程为183077y x =- （Ⅲ）当10x =时，1501504,222777y =-=< 同样，当6x =时，78786,122777y =-=< 所以，该小组所得线性回归方程是理想的.点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,n n i ii i i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数$,a b$；④写出回归直线方程为$ˆy bxa =+$； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.23．见解析【解析】【分析】【详解】解：流程图如下：程序如下：INPUT a ，bIF a ＝0 THENIF b ＜0 THENPRINT “任意实数”ELSEPRINT “无解”ELSEIF a ＞0 THENPRINT “x ＜“；﹣b /aELSEPRINT “x ＞“；﹣b /aENDIFENDIFENDIFEND点睛：解决算法问题的关键是读懂程序框图，明晰顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义，本题巧妙而自然地将算法、不等式、交汇在一起，用条件结构来进行考查.这类问题可能出现的错误：①读不懂程序框图；②条件出错；③计算出错.24．（1），x y c d =⋅更适宜（2）$0.25346.7410x y =；预计为4 【解析】【分析】（1）根据散点图判断，x y c d =⋅更适宜作为违法案件数y 关于月份x 的回归方程类型.（2）由x y c d =⋅得()lg lg lg lg x y c d c x d =⋅=+⋅，设lg v y =，则lg lg v c x d =+⋅，然后算出$lg 2.540.25y x =-【详解】解：（1）根据散点图判断，x y c d =⋅更适宜作为违法案件数y 关于月份x 的回归方程类型.（2）x y c d =⋅Q ，()lg lg lg lg x y c d c x d ∴=⋅=+⋅，设lg v y =，lg lg v c x d ∴=+⋅，4x =Q ， 1.54v =， $7172221736.18674 1.54lg 0.25140747i i i i i x v xv d x x ==--⨯⨯===--⨯-∑∑，$lg 4lg 2.54c v d =-⨯=$， $lg lg 2.540.25v c x d x ∴=+⋅=-$$，即$lg 2.540.25y x =-.y ∴关于x 的回归方程为：$ 2.542.540.250.250.2510346.74101010x x x y -===. 当8x =时，$0.2582346.74346.74 3.4671010y ⨯===， 则第8个月该社区出现的违法案件数预计为4.【点睛】 本题考查的是用最小二乘法计算线性回归直线方程，解答本类题的关键是计算能力.25．(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据相关系数的公式求出相关数据后，代入公式即可求得的值，最后根据值的大小回答即可；（Ⅱ）准确求得相关数据，利用最小二乘法建立y 关于t 的回归方程，然后预测．试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得，，，，.因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. （Ⅱ）由及（Ⅰ）得，.所以，关于的回归方程为：.将2016年对应的代入回归方程得：.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.【考点】线性相关系数与线性回归方程的求法与应用．【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时要严格按照公式求解，并一定要注意计算的准确性．a=（2）276人（3）32.826．（1）0.0135【解析】【分析】（1）由直方图中频率和（小矩形面积和）为1可求得a；（2）求出上学路上所需时间不少于40分钟的学生的频率，然后乘以1200可得；（3）用各小矩形中点估算为这一组的均值，然后乘以频率，并相加可得．【详解】a⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，解：（1）由200.025200.0055200.0032201a=.解得0.0135（2）Q上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，招收学生1200人，∴估计所招学生中有可以申请住宿人数为：()+⨯⨯⨯=.0.00550.0032201200276（3）该校学生上学路上所需的平均时间为：⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 100.013520300.02520500.005520700.00320900.0032032.8【点睛】本题考查频率分布直方图，考查数学期望，解题关键是掌握频率分布直方图的性质：直方图中所有频率之和为1，即各小矩形面积和为1.。

河北省石家庄二中2021届高三数学第一学期期中模拟试题（含答案）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.其中1-8题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；9-12题为多选题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.1．已知集合{}2|40A x R x x =∈-<，{}|28xB x R =∈<，则AB =（ ）A ．()0,3B ．()3,4C ．()0,4D ．(),3-∞2．设11iz i=-+（i 为虚数单位），则||z =（ ） A ．1B ．2 C ．12D ．143．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数()441x x f x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．4．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或35 B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34-5．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A 、B 、C 、D ，满足5AB CD ==，6BD AC ==，7AD BC ==，则该鞠的表面积为（ ）A ．55πB ．60πC ．63πD ．68π6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（ ） A ．23 B ．3C ．2D ．27．若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,)3B ．(15,34]C ．13(,]32D ．53(,]428．如图，已知1F ，2F 分别是椭圆C ：2216432x y+=的左、右焦点，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点N ，线段1F N 的中点为M ，线段1F N 的垂直平分线MP 与2l 的交点P （第一象限）在椭圆上，若O 为坐标原点，则2OM OF 的取值范围为（ ）A ．20,2⎛ ⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(2D ．()0,19．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．11b b a a +>+ C ．11a b b a+>+ D ．11a b a b+>+ 10．已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 11．设正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，则（ ） A ．29a a 的最大值为10 B ．29a a +的最大值为10C ．222911a a +的最大值为15D ．4429a a +的最小值为20012．在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PD AB =，四边形ABCD 是正方形，点E 是棱PB 的中点，则（ ）A ．PD ⊥平面ABCDB ．//PD 平面ACEC ．2PB AE =D ．PC AE ⊥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．14．已知平面向量a ，b 满足4a =，a 与b 的夹角为120︒，且()()23261a b a b -⋅+=，则3a b +=______.15．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c ，若()231a b b a +=，1c =3a b -的取值范围是______.16．已知对任意(0,)x ∈+∞，都有()111ln 0kxk e x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围为_________．三、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、现给出两个条件：①2cb ＝2a cos B ，②（2bc ）cos Aa cos C ．从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若有_______， （1）求A ；（2）若a 1，求△ABC 面积的最大值．18．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，312n n a S -=. （1）求n a ；（2）若(1)n n b n a =-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2，132PB =，3PA PC == （Ⅰ）证明；AC ⊥BP ；（Ⅱ）求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值．20．已知定圆C ：()2218x y ++=，动圆M 过点()10B ,，且和圆C 相切. （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程； （Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与轨迹E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线经过点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数m 的取值范围.21．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--． （1）证明()2f x '≥；（2）若()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立，求实数a 的取值范围．22．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为63，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点3322⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.答案1．A 【详解】由题意{|04}A x x =<<，{|3}B x x =<，∴{|03}(0,3)A B x x =<<=．2．B 【详解】因为11111111(1)(1)222i i i z i i i i i --=-====-+++-， 所以2211222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B..3．D 【详解】因为函数()441x x f x =-，44()()()4141xx x x f x f x ----==≠-- 所以函数()f x 不是偶函数，图像不关于y 轴对称，故排除A 、B 选项； 又因为x →-∞时()f x →+∞，故排除C ，故选D4．D 【详解】点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2＝1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d 232231k k k ----==+1，化为24k 2+50k +24＝0，∴k 43=-，或k 34=-．故选：D ． 5．A 【详解】将三棱锥A BCD -补成长方体AEBH GDHC -，使得三棱锥A BCD -的各棱为长方体AEBH GDHC -的面对角线，设EA x =，EB y =，ED z =，设该鞠的半径为R ，则2222R x y z =++，由勾股定理可得22225AB x y =+=，22236AC y z =+=，22249AD x z =+=，上述三个等式相加得()2222253649110x y z ++=++=，则222255R x y z =++=，因此，该鞠的表面积为()224255S R R πππ==⨯=.故选：A6．B 【详解】如下图所示：设直线l 的方程为()by x c a=--，则直线OA 的方程为b y x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =， 即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭， 将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得3e =.因此，该双曲线的离心率为3.故选：B.7．B 【详解】设32()35f x x x ax a =--+-，则存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，设32()35g x x x =-+，()(1)h x a x =+，因为2()36g x x x '=-， 所以当(,0)x ∈-∞以及(2,)+∞时，()g x 为增函数，当(0,2)x ∈时，()g x 为减函数，在0x =处，()g x 取得极大值5，在2x =处，()g x 取得极小值1.而()h x 恒过定点(1,0)-，两个函数图像如图， 要使得存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，只要满足(1)(1)(2)(2)(3)(3)g h g h g h ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩，即135281253272754aa a-+≥⎧⎪-+<⎨⎪-+≥⎩，解得1534a <≤，故选B .8．D 【详解】如图所示，点P 在y 轴右边，因为PM 为1F N 的垂直平分线，所以1FM MN =． 由中位线定理可得212OM F N =． 设点()00,P x y ()000,0x y >>．由两点间的距离公式，得()()222220100021x PF x c y x c b a ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭22200022c x cx a a ex a=++=+，同理可得20PF a ex =-， 所以21202F N PF PF ex =-=，故0OM ex =，因为8a =，42c =，所以22e =，故022OM x =，所以00222842x OM x OF ==．因为()00,8x ∈，所以()010,18x ∈．故2OM OF 的取值范围为()0,1．故选：D ．9．AC 【详解】选项A ：因为0a b >>，所以10a b >⋅，不等式a b >两侧同时乘以1a b⋅，所以11a b<，故A 正确； 选项B ：因为0a b >>，所以0ab >，所以a ab b ab +>+，即()()11a b b a +>+，又()101a a >+，所以不等式()()11a b b a +>+两侧同时乘以()11a a +，则11b b a a+>+，故B 错误；选项C ：因为0a b >>，所以11b a >，根据不等式的同向可加性知11a b b a+>+，故C 正确；选项D ：当2a =，12b =时，此时0a b >>，11a b a b+=+，故D 错误. 故选：AC10．AC 【详解】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确；选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k k x k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,故B 错误；选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小值为半个最小正周期,即21323ππ⨯=,故C 正确；选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,D 错误11．ABD 【详解】因为正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，所以()22929220a a a a +=+，即222920a a +=.选项A,222929201022a a a a +≤==，当且仅当2910a a ==时成立，故A 选项正确.选项B 由于22229291022a a a a ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以292910,2102a a a a +≤+≤2910a a ==B 选项正确.选项C 22292222222222292929291120202011052a a a a a a a a a a ++==≥==⋅⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当2910a a ==时成立，所以222911a a +的最小值为15，故C 选项错误. 选项D 结合①的结论，有()24422222222929292924002400210200a a a a a a a a +=+-⋅=-⋅≥-⨯=，当且仅当2910a a ==时成立，故D 选项正确.12．BC 【详解】如图，选项A ，因为PD 与AD 不一定垂直，所以PD 不一定垂直平面ABCD ，故A 错误. 选项B ，连接BD ，记ACBD O =，连接OE .因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点.因为,O E 分别为BD ，BP 的中点，所以//OE PD ，又PD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，则//PD 平面ACE ，故B 正确.选项C ，因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，因为侧面PAD ⊥平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD .因为//AB CD ，所以AB ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ， 所以AB PA ⊥，则2PB AE =，故C 正确.选项D ，取BC 的中点F ，连接,EF AF .因为,E F 分别为BP ，BC 的中点， 所以//EF PC .假设PC AE ⊥，则EF AE ⊥.设2PD AB ==， 则1144222EF PC ==⨯+=，415AF =+=.因为EF AE ⊥， 所以523AE =-=，所以23PB =.因为2PD =，23PB =，22BD =， 所以222PD BD PB +=，所以PD BD ⊥，则PD ⊥平面ABCD .因为PD 与平面ABCD 不一定垂直，所以D 错误.故选：BC. 13．6【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由32z x y =-可得322z y x =-． 平移直线322z y x =-，结合图形可得，当直线322zy x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值．由题意得A 点坐标为(2,0)，∴min 326z =⨯=，即32z x y =-的最小值是6．故答案为6．14．61【详解】因为()()222223244344cos120361a b a b aa b b a a b b -⋅+=-⋅-=-︒-=,所以23830b b --=,解得3b =或13-（舍）,所以()222336961a b a ba ab b +=+=+⋅+=,故答案为6115．(3【详解】因为()231a b b a +=，1c =，故2223c a b ab =+-.所以22233cos 2a b c ab C ab +-===.又ABC 为锐角三角形，故6C π=. 由正弦定理，12sin sin sin sin 6a b c A B C π====， )5323sin 23sin 6a b A B A A π⎡⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦313123cos 2cos 2sin 226A A A A A A π⎫⎫⎛⎫=-=-=-⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎝⎭. 又ABC 为锐角三角形，故02062A A ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得32A ππ<<，从而663A πππ<-<.故()32sin 1,36a b A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭.故答案为：()1,3 16．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【详解】等价于()1(1)ln kx kx e x x +>+，所以()1ln (1)ln kx kx e e x x +>+①， 令()(1)ln f x x x =+，则1()1ln f x x x '=++，所以22111()x f x x x x-''=-+=， 当01x <<时，()0f x ''<，当1x >时，()0f x ''>，所以()'f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，所以()(1)2f x f ''>=， 所以()f x 在(0,)+∞单调递增，所以①式可化为()()kxf e f x >，所以kx e x >，所以ln xk x >，令ln ()x h x x=， 可求得()h x 在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减， 所以max 1()h x e=，所以1k e >，故答案为：1(,)e +∞.17、【解析】选择条件：①2cb ＝2a cos B ，（1）由余弦定理可得2cb ＝2a cos B ＝2a •， 2分 ∴整理可得c 2+b 2﹣a 2bc ，可得cos A ， 4分∵A ∈（0，π），∴A ． 5分 （2）∵a 1，A ，∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得（1）2＝b 2+c 2﹣2bc •， 7分 ∴4﹣2b 2+c 2bc ≥2bcbc ，可得bc ≤2， 9分 ∴S △ABC bc sin A ，即△ABC 面积的最大值为． 10分选择条件：②（2bc ）cos Aa cos C ．（1）由题意可得2b cos Aa cos Cc cos A ， 2分 ∴2sin B cos A （sin A cos C +sin C cos A ）sin （A +C ）sin B ，∵sin B ≠0，∴可得cos A ， 4分 ∵A ∈（0，π），∴A ． 5分 （2）∵a 1，A ，∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得（1）2＝b 2+c 2﹣2bc •， 7分 ∴4﹣2b 2+c 2bc ≥2bcbc ，可得bc ≤2， 9分 ∴S △ABC bc sin A ，即△ABC 面积的最大值为． 10分 18．【详解】（1）由已知可得，2S n ＝3a n －1， ①所以2S n －1＝3a n －1－1 （n ≥2）， ② 2分 ①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1， 化简为a n ＝3a n －1（n ≥2），即 4分在①中，令n ＝1可得，a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 从而有a n ＝3n －1． 6分 （2）b n ＝(n －1)·3n －1，T n ＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n －1)·3n －1， ③则3T n ＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n． ④ 8分③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)·3n ，3313n-=--10分 所以， 12分19．【详解】（I ）证明：取AC 的中点M ，连接PM ，BM ， ∵AB ＝BC ，PA ＝PC ，∴AC ⊥BM ，AC ⊥PM ， 2分 又BM ∩PM ＝M ，∴AC ⊥平面PBM ， 4分 ∵BP ⊂平面PBM ，∴AC ⊥BP ． 5分 （II ）解：∵底面ABCD 是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2， ∴∠ABC ＝120°，∵AB ＝BC ＝1，∴AC 3=，BM 12=，∴AC ⊥CD ， 又AC ⊥BM ，∴BM ∥CD ．∵PA ＝PC 3=，CM 132AC ==，∴PM 32=， ∵PB 13=，∴cos ∠BMP 222122PM BM BP PM BM +-==-⋅，∴∠PMB ＝120°， 7分以M 为原点，以MB ，MC 的方向为x 轴，y 轴的正方向，以平面ABCD 在M 处的垂线为z 轴建立坐标系M ﹣xyz ，如图所示： 则A （0，3-，0），C （0，32，0），P （34-，0，334），D （﹣1，32，0）， 8分∴AD =（﹣1，3，0），AC =（0，3，0），AP =（34-，3，33），设平面ACP 的法向量为n =（x ，y ，z ），则00n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3033330424x y z ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩， 令x 3=n =（30，1）， 10分∴cos n ＜，3n AD AD n AD⋅==-＞， 11分∴直线AD 与平面APC 所成角的正弦值为|cos n ＜，AD ＞|3=． 12分20．【详解】（Ⅰ）圆C 的圆心为()1,0C -，半径122r =设动圆M 的半径为2r ，依题意有2r MB =.由2BC =，可知点B 在圆C 内，从而圆M 内切于圆C ，故12MC r r =-， 2分即222MC MB +=>. 所以动点M 轨迹E 是以C 、B 为焦点，长轴长为22圆. 4分 因为2a =1c =，所以2221b a c =-=.于是E 的方程是2212x y +=.5分（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22220x y y kx m⎧+-=⎨=+⎩消去y 得到，222()20x kx m ++-=，即()222124220kxkmx m +++-=.则122412kmx x k +=-+，()121222212m y y k x x m k+=++=+， 6分弦AB 中点M 的坐标是222,1212km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭.由()()22221681120k m m k∆=--+>，得2212km +>. 8分另一个方面，线段AB 的垂直平分线方程是112y x k =--. 点222,1212kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭在此直线上， 得到2212112122m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，整理得2212m k =+. 10分 代入2212k m +>中，得220m m -<，解得02m <<. 又22121m k =+>，0k ≠，所以21m >，即12m >.故实数m 的取值范围为1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 12分21．【详解】(1)证明：函数的定义域为()10,1,110x x x +>⎧∈-⎨->⎩，()()111111111f x x x x x'=-⋅-=++-+-， 2分 只需证明11211x x+≥+-， 即证明()()11211x x x x -++≥-+，即证20x ≥，显然成立，所以()2f x '≥. 4分（2）解：令()()()()ln 1ln 1,01g x f x ax x x ax x =-=+---≤<()1111g x a x x'=+-+- ①由（1）可知当2a ≤时，()11011g x a x x'=+->+-恒成立，所以()g x 在01x ≤<递增，()()min 00g x g ==，即()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立，6分②当2a >时，()222221121111a a a x x a a ax a g x a x x x x ⎛--+ -+⎝⎭⎝⎭'=+-==+---， 因为201a a -<<，所以有，令()20,,1a g x x a ⎫-'>∈⎪⎪⎭，()g x 递增； 令()20,a g x x a ⎛-'<∈ ⎝，()g x 递减； ()min2222ln 1+ln 1a a a a g x g a a a a a ⎛⎛----==-- ⎝⎝(()2ln22ln 2a a a a =+---， 8分令()()(()min 22ln 22ln 2a h a g x g a a a a a -===--，()()()()()22222022222a a a a a h a a a a a a a a a +---'==<+--+--，10分 ()h a 在2a >上递减，且()()20h a h <=，所以当2a >时，()min 20a g x g a -=≥不可能； 11分综合①②③有，2a ≤. 12分22．【详解】（1）解：因为1C 的离心率为63，所以22619b a =-，解得223a b =.①将点3322⎛ ⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 2分联立①②，得21a =，213b =， 4分故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. 5分（2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213xy +=，所以有()3,0N -.将1x =代入椭圆2C 的方程得6y = 所以11263122NAB S MN AB ∆=⋅=62=. 6分 ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，将y kx m =+代入椭圆1C 的方程得()222136310k x kmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m ∆=-+-=，整理得22313m k =+. 7分 将y kx m =+代入椭圆2C 的方程得()222136330k x kmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k -=+， 所以()22121214AB k x x x x =++-2222123312613k k m k m +⨯⨯+-+==. 8分设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得3λ=3λ=，9分 所以3ON MO =，从而)31NM OM =.又因为点O 到直线l 的距离为21md k =+所以点N 到直线l 的距离为)(231311m d k ⋅=+， 10分所以())221126131312231NAB m k S d AB m k ∆+=⋅=+ 623=，11分 综上，NAB ∆623. 12分。

2020-2021石家庄市高三数学上期中模拟试卷(含答案)一、选择题1．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则21f f ＝ A．BCD2．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1003．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD．3-4．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或75．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BC．2D ．47．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．58．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km9．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．4010．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-111．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 12．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，且满足222sin sin sin sin sin A B C A B +=+，若ABC V 3，则ab =__15．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .16．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 17．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____. 18．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．19．点D 在ABC V 的边AC 上，且3CD AD =，2BD =，3sin2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为______.20．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n 项和为______.三、解答题21．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？22．已知向量113,sin 22x x a ⎛⎫ ⎝=⎪ ⎪⎭v 与()1,b y =v 共线，设函数()y f x =. （1）求函数()f x 的最小正周期及最大值.（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有33f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，边217,sin 7BC B ==，求ABC ∆的面积. 23．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：对任意的n ∈N *，都有a n +1+S n +1＝1，又a 112=． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）令b n ＝log 2a n ，求12231111n n b b b b b b L ++++（n ∈N *） 24．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()3cos 23cos a C b c A =(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．25．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=． （1）求角A 的大小：（2）若a =2b =．求ABC V 的面积．26．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==,338a b ==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。

绝密★启用前河北省实验中学2021届高三年级上学期期中教学质量检测数学试题2020年11月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，其中1-8题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；9-12题为多选题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．1．集合}2,1,0{=A , }02|{2≤-+=x x x B ，则B A =( )A ．}0{B ．}1{C ．}1,0{D ．}2,1,0{ 2．设i i z +=12，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知学校宿舍与办公室相距a m ，某同学有重要材料要送给老师，从宿舍出发，先匀速跑步3分钟来到办公室，停留2分钟，然后匀速步行10分钟返回宿舍，在这个过程中，这位同学行走的路程s 是时间t 的函数，则这个函数图像是( )4．直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是( )A ．2±=bB ．11≤<-b 或2-=bC ．11≤≤-bD ．以上都不对5．阿基米德(Archimedes ，公元前287年—公元前212年)是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现,后人按照他生前的要求,在他的墓碑上刻了一个内部放有一个球的圆柱容器,如图,该球顶天立地,四周碰边,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,若球的体积为π36,则圆柱的表面积为( )A ．π36B ．π45C ．π54D ．π636．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ,点P 是C 的右支上一点,连接1PF 与y 轴交于点M,若||2||1OM O F =（O 为坐标原点）,21PF PF ⊥,则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．x y 3±=B ．x y 3±=C ．x y 2±=D ．x y 2±=7．中国的5G 技术领先世界,5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.1log 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+=N S W C 它表示：在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ,信道内信号的平均功率S ,信道内部的高斯噪声功率N 的大小,其中NS 叫做信噪比．当信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计,按照香农公式,若不改变带宽W ,而将信噪比N S 从1000提升至4000,则C 大约增加了( ) 附：3010.02lg ≈A ．10%B ．20%C ．50%D ．100%8．设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的一个焦点)0,2(F ,点)12(，-A 为椭圆E 内一点,若椭圆E 上存在一点P ,使得8||||=+PF PA ,则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A ．]74,94[B ．)74,94(C ．)72,92[D ．]72,92[。

2020—2021学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题（每小题5分，共40分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 已知集合{}2|450A x x x =--<，{}|10B x x =->，则AB =（ ）A. (),1-∞B. (1,1)-C. ()1,5D. ()0,5【答案】C 【解析】 【分析】解不等式可得{}|15A x x =-<<，{}|1B x x =>，再由集合的交集运算即可得解. 【详解】因为{}{}2|450|15A x x x x x =--<=-<<，{}{}|10|1B x x x x =->=>，所以AB ={}()5|11,5x x <<=.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集运算，属于基础题. 2. 若函数sin y x =的图象与直线y x =-一个交点的坐标为()00,x y ，则220031cos 2x x π⎛⎫-++= ⎪⎝⎭( ) A. 1- B. 1C. ±1D. 无法确定【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得00sin x x =-，代入220031cos 2x x π⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，利用诱导公式化简求值． 【详解】解：由题意，00sin x x =-，2222000031cos 1sin sin 12x x x x π⎛⎫∴-++=-+= ⎪⎝⎭．故选：B ．【点睛】本题考查诱导公式的应用，是基础题．3. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为12cm ，体积为372cm π的细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（ ）A. 3cmB. 6cmC. 8cmD. 9cm【答案】B 【解析】 【分析】已知圆锥体积和底面圆锥直径，代入公式可求其高.【详解】解：细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为6，设高为h ， 则211π672π33V Sh h ==⨯⨯=，6h =， 故选：B ．【点睛】考查圆锥体积公式的应用，基础题.4. 已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()a b b -⊥，则实数m =（ ） A. -1 B. 1C. 2D. -2【答案】B 【解析】 【分析】根据已知向量坐标，将a b -应用坐标表示，由()a b b -⊥知()0a b b -⋅=，结合数量积的坐标公式求参数值【详解】∵向量()5,=a m ，()2,2b =- ∴()3,2a b m -=+ 又()a b b -⊥∴()0a b b -⋅=，即()6220m -+=，解得1m = 故选：B【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示求参数，根据向量垂直，由数量积的坐标公式列方程求参数5. 设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( ) A. 若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB. 若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC. 若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD. 若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α【答案】D 【解析】【详解】当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A 不正确， B 选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B 不正确， C 选项再加上m 垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C 不正确， D 选项中由α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，可得m ∥α，故是正确命题， 故选D6. 函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A. 函数()f x 的最小正周期是2πB. 函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称 C. 函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D. 函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象，求得函数()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】根据给定函数的图象，可得点C 的横坐标为3π，所以1()2362T πππ=--=，解得T π=，所以()f x 的最小正周期T π=， 不妨令0A >，0ϕπ<<，由周期T π=，所以2ω=， 又06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3πϕ=，所以()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令2,3x k k Z ππ+=∈，解得,26k x k Z ππ=-∈，当3k =时，43x π=，即函数()f x 的一个对称中心为4,03π⎛⎫⎪⎝⎭，即函数()f x 的图象关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称．故选B ． 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．7. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解.当p q ⨯(p q ≤且p ､N*q ∈)是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如()12431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为（ ） A. 101031- B. 10103 C. 101131- D. 10113【答案】A 【解析】 【分析】按照n 为偶数、n 为奇数分类，再结合等比数列的前n 项和公式即可得解.【详解】当n 为偶数时，()30nf =；当n 为奇数时，()11122233323n n n n f +--=-=⨯；所以数列(){}3nf 的前2020项和()021*******23333S=+++⋅⋅⋅+()01010101031323113-=⨯=--.故选：A.【点睛】本题考查了数学文化及等比数列前n 项和公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.8. 若函数()()e ,01,1,0x x f x af x x ⎧<≤⎪=⎨+≤⎪⎩是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. ()0,1【答案】B 【解析】 【分析】先求出0x ≤时()f x 解析式为()n x nf x a e +=，式其在(),0-∞单调递增，所以0n a >，再结合0x ≤时()f x 最大值()00e e n n f a =≤，即可求出a 的取值范围.【详解】由题知，当(]()*,1x n n n ∈--+∈N 时，(]0,1x n +∈()*n ∈N ，所以()()()()212n n x n f x af x a f x a f x n a e +=+=+==+=，要使()f x 单调递增，只需0n a >且()00e e n n f a =≤，则0a >且1e nna ≤， 即0a >且1e a ≤，故10ea <≤． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了求函数解析式，利用函数在定义域内单调递增求参数的取值范围，属于中档题.二、多项选择题（每小题5分，共20分．下列每小题所给选项至少有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）9. 已知等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）A. 数列{}2n a 是等比数列B. 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C. 数列{}2log n a 是等差数列 D. 数列{}n a 中，10S ，20S ，30S 仍成等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】 由已知得12n na 可得以2122n n a -=，可判断A ；又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，可判断B ；由122log log 21n n a n -==-，可判断C ；求得10S ，20S ，30S ，可判断D.【详解】等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，所以12n n a ，所以2122n n a -=，所以数列{}2n a 是等比数列，故A 正确；又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，故B 不正确；因为122log log 21n n a n -==-，所以{}2log n a 是等差数列，故C 正确；数列{}n a 中，101010111222S -==--，202021S =-，303021S =-，10S ，20S ，30S 不成等比数列，故D 不正确；故选：AC .【点睛】本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式，以及数列的单调性的判定，属于中档题.10. x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数.十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（ ） A. []1,0x ∀∈-，[]1x =- B. x ∃∈R ，[]1x x ≥+C. ,x y ∀∈R ，[][][]x y x y +≤+D. 函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[)0,1【答案】CD 【解析】 【分析】结合[]x 的定义，对选项逐个分析，可选出答案.【详解】对于A ，[]01,0∈-，而[]001=≠-，故A 错误； 对于B ，因为[]1x x -<，所以[]1x x <+恒成立，故B 错误；对于C ，,x y ∀∈R ，[]01x x ≤-<，[]01y y ≤-<，所以[][]02x x y y ≤-+-<， 当[][]12x x y y ≤-+-<时，[][][]1x y x y ++=+，此时[][][]x y x y +<+； 当[][]01x x y y ≤-+-<时，[][][]x y x y +=+，此时[][][]x y x y +=+， 所以,x y ∀∈R ，[][][]x y x y +≤+，故C 正确；对于D ，根据定义可知，[]01x x ≤-<，所以函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[)0,1，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查函数新定义，考查学生的推理能力，属于中档题.11. 如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E 为边AB 的中点，过E 作ED AC ⊥于D .把ADE 沿DE 翻折至1A DE △的位置，连结1A C .翻折过程中，其中正确的结论是（ ）A. 1DE A C ⊥；B. 存在某个位置，使1A E BE ⊥；C. 若12CF FA =，则BF 的长是定值；D. 若12CF FA =，则四面体C EFB -43【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质判断A ，B ；取AC 中点M ，可证明FM BM ⊥，从而可计算出BF ，判断C ；折叠过程中，BCE 不动，当F 到平面ABC 的距离最大时，四面体C EFB -的体积最大，从而计算出最大体积后判断D ． 【详解】由DE DC ⊥，1DE A D ⊥，1DCA D D =得DE ⊥平面1A DC ，又1AC ⊂平面1A DC ，所以1DE A C ⊥，A 正确；若存在某个位置，使1A E BE ⊥，如图，连接11,A A A B ，因为BE AE =，所以1A E AB ⊥，连接CE ，正ABC 中，CE AB ⊥，1CE A E E ⋂=，所以AB ⊥平面1A CE ，而1AC ⊂平面1A CE ，所以1AB A C ⊥，由选项A 的判断有1DE A C ⊥，且DEAB E =，DE ⊂平面ABC ，AB 平面ABC ，所以1A C ⊥平面ABC ，又DC ⊂平面ABC ，所以1A C DC ⊥，则1A D CD >，这是不可能的，事实上11111cos602443A D AD AE AE AB AC CD==︒====，B错；设M是AC中点，连接,FM BM，则BM AC⊥，所以//BM DE，从而1BM A D⊥，D 是AM中点，所以2CM AM MD==，若12CF FA=，即12CF FA=，所以1//FM A D，所以BM FM⊥，且由1//FM A D得1CFM CA D△△，所以123FM CMA D CD==，ABC边长为4，则11A D=，22133FM=⨯=，23BM=，()22222472333BF BM FM⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭为定值，C正确；折叠过程中，1A D不变，BCE不动，当F到平面ABC的距离最大时，四面体C EFB-的体积最大，由选项C的判断知当1A D⊥平面ABC时，F到平面ABC的距离最大且为12233A D=，又21342324BCES=⨯⨯=△12432333C EFB F BCEV V--==⨯=，D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查折叠过程中的线面间的位置关系，考查线面垂直的判定与性质，考查棱锥的体积计算，本题考查学生的分析问题解决问题的能力，考查空间想象能力，属于中档题． 12. 已知定义在(1,)+∞上的函数ln 32()1x x x f x x +-=-，定义函数(),()(),()f x f x m g x m f x m≥⎧=⎨<⎩（其中m 为实数），若对于任意的(1,)x ∈+∞，都有()()g x f x =，则整数m 可以为（ ） A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，得到()m f x ≤在(1,)x ∈+∞恒成立，只需min ()m f x ≤，对()f x 求导，根据导数的方法研究其单调性，求出最值，即可得出结果.【详解】由题若对于任意的(1,)x ∈+∞，都有()()g x f x =，则有()m f x ≤在(1,)x ∈+∞恒成立，只需min ()m f x ≤， 因为ln 32()1x x x f x x +-=-，所以()()()()22ln 131ln 32ln 2()(1)1x x x x x x x f x x x ++--+--+-'==--， 令()ln 2h x x x =-+-，则1()10h x x'=-+>，∴()h x 在(1,)+∞上单调递增， 又由(3)ln 310h =-+<，(4)ln 420h =-+>，∴0(3,4)x ∃∈满足()00h x =，即有00ln 2x x =-， 此时()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()000min 00ln 32()1x x x f x f x x +-==-()000002322(5,6)1x x x x x -+-==+∈-∴5m ≤. 故选：AB .【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程有实根的问题，将问题转化为不等式恒成立求解，是解集该题的关键，属于常考题型.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分；第16题第一个空2分，第二个空3分）13. 已知函数()31,0log ,0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，则()()8f f -=____________．【答案】2 【解析】 【分析】由函数()y f x =的解析式由内到外逐层可计算得出()()8ff -的值.【详解】()31,0log ,0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，()8819f ∴-=+=，因此，()()()23389log9log 32ff f -====.故答案为：2.【点睛】本题考查分段函数值的计算，考查计算能力，属于基础题. 14. 若直线l ：2(0,0)x ya b a b+=>> 经过点(2,4)，则+a b 的最小值是_______．【答案】3+ 【解析】 由题意得()121221333a b a b a b a b a b b a ⎛⎫+=⇒+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当2a bb a=即b =时等号成立，即所求的最小值为3+． 15. 已知在锐角ABC ∆中，3A π=，2CA CB -=，则CA CB ⋅的取值范围是____________.【答案】()0,12【解析】 分析】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，得到点C 的坐标，找出ABC ∆为锐角三角形的点C 的坐标，即可得出CA CB ⋅的取值范围.【详解】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，3A π=，2CA CB BA -==，所以，()1,3B ，设(),0C x ，因为ABC ∆是锐角三角形，所以23B C π+=，62C ππ∴<<， 即C 在如图的线段DE 上（不与D 、E 重合），所以14x <<，(),0CA x =-，()1,3CB x =-，所以，()22110,1224CA CB x x x ⎛⎫⋅=-=--∈ ⎪⎝⎭.因此，CA CB ⋅的取值范围是()0,12. 故答案为：()0,12.【点睛】本题考查平面向量数量积取值范围的计算，解答的关键就是将平面向量数量积转化为坐标来计算，转化为以某变量为自变量的函数的值域来求解，考查化归与转化思想以及运算求解能力，属于中等题.16. 我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且26,22,15,5AB AD EH EF ====，平面EFGH 与平面ABCD 的距离为1则，该刍童外接球的体积为______.【答案】36π 【解析】 【分析】首先设O 为刍童外接球的球心，1O ，2O 分别为矩形EFGH ，ABCD 的中心，由球的几何性质可知：O ，1O ，2O 三点共线，连接1OO ，1O G ，OG ，2O B ，OB ，再分别计算得到()215OG m =++，28OB m =+，根据R OG OB ==，即可得到答案.【详解】设O 为刍童外接球的球心，1O ，2O 分别为矩形EFGH ，ABCD 的中心， 由球的几何性质可知：O ，1O ，2O 三点共线，连接1OO ，1O G ，OG ，2O B ，OB ，如图所示：由题知：2OO ⊥平面ABCD ，1OO ⊥平面EFGH ，所以121O O =. 因为22111155522O G EF FG =+=+=， 设2OO m =，在1RT OGO △中，()2221115OG OO O G m =+=++，因为222118242222O B AD AB =+=+=， 在2RT OBO △中，222228OB OO O B m =+=+，设外接球的半径为R ，则R OG OB ==， 所以()22158m m ++=+，解得1m =.所以()21153R =++=，36433V R ππ==.故答案为：36π【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体的外接球，解题的关键是找到外接球的球心，本题中首先设出外接球的球心，根据半径相等得到等量关系，从而求出球体半径和体积，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.四、解答题：（本大题共6小题，共70分；第17题10分，第18-22题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. 已知等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，前n 项和为n S ，且满足_____.（从①10105(1);S a =+②126,,a a a 成等比数列；③535S =，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题） （1）求n a ； （2）若12n n b =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【答案】（1）选择①②、①③、②③条件组合,32n a n =-； （2）232122n n n n T -+=-【解析】 【分析】（1）先将①②③条件简化，再根据选择①②、①③、②③条件组合运算即可；（2）3221n n nn a b -=++，利用分组求和法计算即可. 【详解】（1）①由()101051S a =+，得()11109105912a d a d ⨯+=++，即11a =； ②由1a ，2a ，6a 成等比数列，得2216a a a =，222111125a a d d a a d ++=+，即13d a =﹔③由535S =，得()15355352a a a +==，即3127a a d =+=； 选择①②、①③、②③条件组合，均得13a =、3d =，即32n a n =-﹔（2）由（I ）得3221n n n n a b -=++， 则231111[147(32)]()2222n n T n =++++-+++++11(1)(132)221212n n n -+-=+-232122n n n -+=-，即232122n n n n T -+=-【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合计算问题，涉及到基本量的计算，分组求和法求数列的和，考查学生的数学运算能力，属于容易题.18. 在ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=；（1）证明：ABC 为等腰三角形；（2）若D 为BC 边上的点，2BD DC =，且2ADB ACD ∠=∠，3a =，求b 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3b =．【解析】 【分析】(1)根据已有等式2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=，利用正弦定理作角化边，可得22cos 2bc A a cb +=，最后再由余弦定理把所有角都化为边的等式得2222222b c a bc a bc bc+-⋅+=；最后，根据等式可化简出b c =，故可证ABC 为等腰三角形.(2)由 2BD =，1DC =，2,ADB ACD ACD DAC ∠=∠=∠+∠可得ACD DAC ∠=∠， 然后，就可以根据角的相等关系，根据余弦定理或相似关系列出等式进行求解即可. 【详解】（1）2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=，由正弦定理得：22cos 2bc A a cb +=，由余弦定理得：2222222b c a bc a bc bc+-⋅+=；化简得：222b c bc +=, 所以()20b c -=即b c =， 故ABC 为等腰三角形． （2）如图，由已知得2BD =，1DC =，2,ADB ACD ACD DAC ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠， 1AD CD ∴==，又cos cos ADB ADC ∠=-∠，22222222AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD +-+-∴=-⋅⋅， 即2222221211221211c b +-+-=-⨯⨯⨯⨯， 得2229b c +=，由（1）可知b c =，得3b =．解法二：取BC 的中点E ，连接AE ．由（1）知,AB AC AE BC =∴⊥， 由已知得31,1,22EC DC ED ===，2,ADB ACD ACD DAC ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠，2221312AE AD DE ⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭， 222233322b AC AE EC ⎛⎫⎛⎫∴==+=+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解法三：由已知可得113CD a ==，由（1）知，,AB AC B C =∴∠=∠， 又2DAC ADB C C C C ∠=∠-∠=∠-∠=∠，CAB CDA ∴∽，即CB CA CA CD =，即31bb =， 3b ∴=【点睛】本题考查解三角形的问题，（1）题的关键就是利用正弦定理和余弦定理作角化边的转化，(2)题的难点在于根据已有关系化简出相应的等式关系求解，难度属于一般题.19. 如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABD △是边长为2的正三角形，22AC CD ==，平面ABD ⊥平面BCD ，把平面ACD 沿CD 旋转至平面PCD 的位置，记点A 旋转后对应的点为P （不在平面BCD 内），M 、N 分别是BD 、CD 的中点.（1）求证：CD MN ⊥；（2）求三棱锥C APD -的体积的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）58. 【解析】 【分析】（1）连接AM 、MC ，利用面面垂直的性质定理得出AM ⊥平面BCD ，可得出AM MC ⊥，利用勾股定理计算出1MC =，推导出BCD △是以BCD ∠为直角的直角三角形，再由中位线的性质得出//MN BC ，由此可得出MN CD ⊥；（2）由ACD △的面积为定值，可知当平面PCD ⊥平面ACD 时，三棱锥P ACD -的体积最大，连接PN 、AN ，推导出PN 平面ACD ，计算出AN 、PN 以及ACD △的面积，然后利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】（1）如图，连接AM 、MC ，因为AB AD =，M 是BD 的中点，所以AM BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AM ⊂平面ABD ， 所以AM ⊥平面BCD ，MC ⊂平面BCD ，所以AM MC ⊥．因为ABD △为边长为2的正三角形，所以3AM = 又2AC =，所以由勾股定理可得221MC AC AM -=，又1MC MD MB ===，MCB MBC ∴∠=∠，MCD MDC ∠=∠，180MBC MDC BCD ∠+∠+∠=，则2180BCD ∠=，90BCD ∴∠=，所以BCD △为直角三角形，且BC CD ⊥，又M 、N 分别是BD 、CD 的中点，所以//MN BC ，所以MN CD ⊥； （2）如图，连接AN 、PN ，因为三棱锥C APD -与三棱锥P ACD -为同一个三棱锥，且ACD △的面积为定值， 所以当三棱锥P ACD -的体积最大时，则平面PCD ⊥平面ACD ，AC AD =，则PC PD =，N 为CD 的中点，则PN CD ⊥，平面PCD ⊥平面ACD ，平面PCD平面ACD CD =，PN ⊂平面PCD ，PN ∴⊥平面ACD ，此时点P 到平面ACD 的距离为22152PN AN AC CN ==-=， 在ACD △中，因为2AC AD ==，1CD =，所以111515122ACD S CD AN =⋅=⨯=△ 所以P ACD V -的最大值为1115155338ACD S PN ⋅==△， 所以三棱锥C APD -的体积的最大值为58． 【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用等体积法计算三棱锥体积的最值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20. 为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白鼠体内的个数超过810时小白鼠将会死亡，注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的98%. 天数t 1 2 3 4 5 6 7 … 癌细胞个数N1248163264…（1）要使小白鼠在实验中不死亡，第一次最迟应在第几天注射该种药物？(精确到1天) （2）若在第10天，第20天，第30天，……给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由.【答案】（1）第一次最迟应在第27天注射该种药物；（2）仍然存活. 【解析】 【分析】（1）根据表格可得癌细胞个数，成等比数列增长，首项为1，公比为2，其通项为12t t a -=，要使小白鼠在实验中不死亡，可建立不等式18210t -≤，解不等式即可求得结论；（2）设第n 次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为n a ，可得1012(198%)n n n a -=-，从而可知第3次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数，由此可得结论．【详解】（1）根据表格可得癌细胞个数，成等比数列增长，首项为1，公比为2，其通项为12t t a -=，要使小白鼠在实验中不死亡，可建立不等式18210t -≤.∴82log 10127.58t ≤+≈， 即第一次最迟应在第27天注射该种药物.（2）设第n 次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为n a ，则()912198%a =-，且()1012198%n n a a +=-.∴()1012198%nn n a -=- ∴()3103132198%a ⨯-=-，即第3次注射后小白鼠体内的这种癌细胞个数为3232100.∴到第38天小白鼠体内这种癌细胞个数为32878322 1.11010100⨯≈⨯< ∴第38天小白鼠仍然存活.【点睛】本题考查数列模型的运用，考查解不等式，解题的关键是确定数列模型．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题做出解答，其中关键是建立数学模型. 21. 在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2224AB CD BC AD ====，60DAB ∠=︒，AE BE =，PAD ∆为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求二面角P EC D --的余弦值；（2）线段PC 上是否存在一点M ，使异面直线DM 和PE 所成角的余弦值为68？若存在，指出点M 的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）22（2）存在点M 为线段PC 的三等分点满足题意，详见解析 【解析】 【分析】（1）利用向量法求二面角P EC D --的余弦值；（2）设(01)PM PC λλ=，利用向量法得到26cos ,610104DM PE λλ<>==⋅-+. 【详解】设O 是AD 中点，PAD ∆为正三角形， 则PO AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊥面ABCD ，又∵2AD AE ==，60DAB ∠=︒，所以ADE 为正三角形，OE AD ⊥，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则(()3,3,0P E ()()3,0,1,0,0C D --， 于是(2,3,3),(0,3,3)PC PE =--=，3)DP =，(1)设平面PEC法向量为1(,,)n x y z =，由120,0PC n PE n ⋅=⋅=得一个法向量为1(0,1,1)n =， 平面EDC 的一个法向量为2(0,0,1)n =， 设二面角P EC D --的平面角为θ，则12|cos |cos ,n n θ=<>==由图知为θ锐角，所以，二面角P EC D --的余弦值为2.(2) 设(01)PM PC λλ=，则(2,)PM λ=-，(12,3,33),(0,3,DM DP PM PE λλλ=+=--=，所以cos ,8||6DM PE DM PE DM PE ⋅<>===‖解得13λ=或23，所以存在点M 为线段PC 的三等分点. 【点睛】本题主要考查空间二面角的求法，考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22. 已知函数()2214ln 3x a f x x x +=++-，()4ln g x x =． （1）求证：()211f x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭； （2）用{}max ,p q 表示p ，q 中的最大值，记()()(){}max ,h x f x g x =，讨论函数()h x 零点的个数．【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】(1）作差构造函数，用导数方法证明最小值大于等于0; (2）利用分类讨论思想和导数方法以及零点存性定理可得．【详解】（1）设()2221114ln 314ln 1x x a a x x x x x ϕ+⎛⎫⎛⎫=++----=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 其定义域为()0,∞+，()()2241114x x x x x ϕ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭'． 当01x <<时，()0x ϕ'<； 当1x >时，()0x ϕ'>．故()x ϕ在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以1x =是()x ϕ的极小值点，也是()x ϕ的最小值点，即()()()min 10x x ϕϕϕ≥==，故()211f x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭成立． （2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()3232211422x x x x x f x x +-=--='， 当01x <<时，()0f x '<； 当1x >时，()0f x '>；所以()f x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以1x =是()f x 的极小值点，也是()f x 的最小值点，即()()min 1f x f a ==． （ⅰ）若0a =，()()()()22131213x x x x x x x f g -++=-=--． 当01x <<时，()()f x g x >； 当1x =时，()()f x g x =； 当1x >时，()()f x g x <，所以()()(),01,,1,f x x h x g x x ⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩此时，()h x 只有一个零点1x =； （ⅱ）若0a >，()()()()2131x x f x g x a x -+-=-+，当01x <≤时，()()f x g x >，则()()0h x f x a =≥>； 当1x >时，()0f x a >>，()0g x >，则()0h x >． 此时()h x 没有零点；（ⅲ）若0a <，当01x <<时，根据（1）知，()211f x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭．而011a <<-+，所以()21101f a a a >-+-+= ⎪-+⎝⎭，又()()min 10f x f a ==<，所以()f x 在()0,1上只有一个零点0x ， 从而一定存在()0,1c x ∈，使得()()f c g c =，即22130c a c ++-=， 即2213c a c +-=． 当x c >时，()()222212121320x x c x c c x a x x c g x f cx c x x +++-+⎛⎫=--+=-+=+> ⎪⎝⎭-， 所以()()g x f x >，从而()()(),0,,f x x c h x g x x c ⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩从而()h x 在()0,c 上有一个零点0x ，在(),c +∞上有一个零点1．此时，当0a <时，()h x 有两个零点． 综上，当0a =时，()h x 有一个零点； 当0a >时，()h x 没有零点； 当0a <时，()h x 有两个零点．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，零点，证明不等式，考查了分类讨论思想，属难题．23. 已知三棱锥A BCD -中，ABC 与BCD △均为等腰直角三角形，且90BAC ∠=，6BC CD ==，E 为AD 上一点，且CE ⊥平面ABD .（1）求证：AB CD ⊥；（2）过E 作一平面分别交AC ， BC ， BD 于F ，G ，H ，若四边形EFGH 为平行四边形，求多面体ABEFGH 的表面积.【答案】（1）证明见解析.（2）75352+【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理，证得AB ⊥平面ACD ，再利用性质定理，即可证得AB CD ⊥，（2）由线面垂直的判定定理和性质定理，得到CD AC ⊥，在Rt ACD △中，求得AD =，进而得到AE =13AE AD =，再利用线面平行的性质定理得到//EF CD ，进而得到四边形EFGH 为矩形，同理求得FG =，结合面积公式，即可求解. 【详解】（1）由90BAC ∠=，所以AB AC ⊥， 由CE ⊥平面ABD ，AB 平面ABD ，可得CE AB ⊥，又由ACCE C =，且AC ⊂平面ACD ，CE ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，又因为CD ⊂平面ACD ,所以AB CD ⊥.（2）在等腰直角BCD ∆中，6BC CD ==，所以BC CD ⊥， 又因为AB CD ⊥，可得CD ⊥平面ABC ，所以CD AC ⊥.等腰Rt ABC 中，由6BC =，可得AC =又Rt ACD △中，6CD =，CE AD ⊥，所以AD ==而2AC AE AD =⋅，可得AE =13AE AD =， 因为四边形EFGH 为平行四边形，所以//EF GH ，可得//EF 平面BCD ， 又EF ⊂平面ACD ，且平面ACD 平面BCD CD =，所以//EF CD ，由13AE AD =，可得123EF CD ==，且有13AF AC =，由CD ⊥平面ABC ，可得CD FG ⊥，进而得到EF FG ⊥，所以四边形EFGH 为矩形，同理可得//FG AB ，且23FG AB ==可得11222AEF E S F AF =⨯⨯=⨯=△1122222BGH GF B S G =⨯=⨯⨯=△，2EFGHEF F SG ⨯=⨯==5ABGF S =AEHB S =△所以所求表面积为7S =+【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及几何体的表面积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质，严密的逻辑推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.。

石家庄二中高三数学期中考试模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.其中1-8题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；9-12题为多选题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.1．已知集合{}2|40A x R x x =∈-<，{}|28xB x R =∈<，则AB =（ ）A ．()0,3B ．()3,4C ．()0,4D ．(),3-∞2．设11iz i=-+（i 为虚数单位），则||z =（ ） A ．1B ．22C ．12D ．143．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数()441x x f x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．4．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或35 B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 5．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A 、B 、C 、D ，满足5AB CD ==，6BD AC ==，7AD BC ==，则该鞠的表面积为（ ） A ．55π B ．60πC ．63πD ．68π6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（ ） A ．23 B ．3C ．2D ．27．若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,)3B ．(15,34]C ．13(,]32D ．53(,]428．如图，已知1F ，2F 分别是椭圆C ：2216432x y+=的左、右焦点，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点N ，线段1F N 的中点为M ，线段1F N 的垂直平分线MP 与2l 的交点P （第一象限）在椭圆上，若O 为坐标原点，则2OM OF 的取值范围为（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,19．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．11b b a a +>+ C ．11a b b a+>+ D ．11a b a b+>+10．已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3π D ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 11．设正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，则（ ） A ．29a a 的最大值为10 B ．29a a +的最大值为C ．222911a a +的最大值为15D ．4429a a +的最小值为20012．在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PD AB =，四边形ABCD 是正方形，点E 是棱PB 的中点，则（ ）A ．PD ⊥平面ABCDB ．//PD 平面ACEC ．2PB AE =D ．PC AE ⊥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．14．已知平面向量a ，b 满足4a =，a 与b 的夹角为120︒，且()()23261a b a b -⋅+=，则3a b +=______.15．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c，若()21a b b +=，1c =b -的取值范围是______.16．已知对任意(0,)x ∈+∞，都有()111ln 0kxk e x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围为_________．三、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、现给出两个条件：①2c −√3b ＝2a cos B ，②（2b −√3c ）cos A =√3a cos C ．从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若有_______， （1）求A ；（2）若a =√3−1，求△ABC 面积的最大值．18．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，312n n a S -=. （1）求n a ；（2）若(1)n n b n a =-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD＝1，AD ＝2，PB =，PA PC ==（Ⅰ）证明；AC ⊥BP ；（Ⅱ）求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值．20．已知定圆C ：()2218x y ++=，动圆M 过点()10B ,，且和圆C 相切. （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程； （Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与轨迹E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线经过点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数m 的取值范围.21．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--． （1）证明()2f x '≥；（2）若()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立，求实数a 的取值范围．22．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.石家庄二中高三数学期中考试模拟答案1．A 【详解】由题意{|04}A x x =<<，{|3}B x x =<，∴{|03}(0,3)AB x x =<<=．2．B 【详解】因为11111111(1)(1)222i i i z i i i i i --=-====-+++-， 所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B..3．D 【详解】因为函数()441x x f x =-，44()()()4141xx x x f x f x ----==≠-- 所以函数()f x 不是偶函数，图像不关于y 轴对称，故排除A 、B 选项； 又因为x →-∞时()f x →+∞，故排除C ，故选D4．D 【详解】点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2＝1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d 232231k k k ----==+1，化为24k 2+50k +24＝0，∴k 43=-，或k 34=-．故选：D ． 5．A 【详解】将三棱锥A BCD -补成长方体AEBH GDHC -，使得三棱锥A BCD -的各棱为长方体AEBH GDHC -的面对角线，设EA x =，EB y =，ED z =，设该鞠的半径为R ，则2222R x y z =++，由勾股定理可得22225AB x y =+=，22236AC y z =+=，22249AD x z =+=，上述三个等式相加得()2222253649110x y z ++=++=，则222255R x y z =++=，因此，该鞠的表面积为()224255S R R πππ==⨯=.故选：A6．B 【详解】如下图所示：设直线l 的方程为()by x c a=--，则直线OA 的方程为b y x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =， 即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭， 将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得3e =.因此，该双曲线的离心率为3.故选：B.7．B 【详解】设32()35f x x x ax a =--+-，则存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，设32()35g x x x =-+，()(1)h x a x =+，因为2()36g x x x '=-， 所以当(,0)x ∈-∞以及(2,)+∞时，()g x 为增函数，当(0,2)x ∈时，()g x 为减函数，在0x =处，()g x 取得极大值5，在2x =处，()g x 取得极小值1.而()h x 恒过定点(1,0)-，两个函数图像如图， 要使得存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，只要满足(1)(1)(2)(2)(3)(3)g h g h g h ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩，即135281253272754aa a-+≥⎧⎪-+<⎨⎪-+≥⎩，解得1534a <≤，故选B .8．D 【详解】如图所示，点P 在y 轴右边，因为PM 为1F N 的垂直平分线，所以1FM MN =． 由中位线定理可得212OM F N =． 设点()00,P x y ()000,0x y >>．由两点间的距离公式，得()()222220100021x PF x c y x c b a ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭22200022c x cx a a ex a=++=+，同理可得20PF a ex =-， 所以21202F N PF PF ex =-=，故0OM ex =，因为8a =，42c =，所以22e =，故022OM x =，所以00222842x OM x OF ==． 因为()00,8x ∈，所以()010,18x ∈．故2OM OF 的取值范围为()0,1．故选：D ．9．AC 【详解】选项A ：因为0a b >>，所以10a b >⋅，不等式a b >两侧同时乘以1a b⋅，所以11a b<，故A 正确；选项B ：因为0a b >>，所以0ab >，所以a ab b ab +>+，即()()11a b b a +>+，又()101a a >+，所以不等式()()11a b b a +>+两侧同时乘以()11a a +，则11b b a a+>+，故B 错误；选项C ：因为0a b >>，所以11b a >，根据不等式的同向可加性知11a b b a+>+，故C 正确；选项D ：当2a =，12b =时，此时0a b >>，11a b a b +=+，故D 错误.故选：AC10．AC 【详解】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确；选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k k x k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,故B 错误；选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小值为半个最小正周期,即21323ππ⨯=,故C 正确；选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,D 错误11．ABD 【详解】因为正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，所以()22929220a a a a +=+，即222920a a +=.选项A,222929201022a a a a +≤==，当且仅当2910a a ==时成立，故A 选项正确.选项B 由于22229291022a a a a ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以292910,2102a a a a +≤+≤2910a a ==B 选项正确.选项C 22292222222222292929291120202011052a a a a a a a a a a ++==≥==⋅⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当2910a a ==成立， 所以222911a a +的最小值为15，故C 选项错误. 选项D 结合①的结论，有()24422222222929292924002400210200a a a aa a a a +=+-⋅=-⋅≥-⨯=，当且仅当2910a a ==时成立，故D 选项正确.12．BC 【详解】如图，选项A ，因为PD 与AD 不一定垂直，所以PD 不一定垂直平面ABCD ，故A 错误. 选项B ，连接BD ，记ACBD O =，连接OE .因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点.因为,O E 分别为BD ，BP 的中点，所以//OE PD ，又PD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，则//PD 平面ACE ，故B 正确.选项C ，因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，因为侧面PAD ⊥平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD .因为//AB CD ，所以AB ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ， 所以AB PA ⊥，则2PB AE =，故C 正确.选项D ，取BC 的中点F ，连接,EF AF .因为,E F 分别为BP ，BC 的中点， 所以//EF PC .假设PC AE ⊥，则EF AE ⊥.设2PD AB ==， 则1144222EF PC ==⨯+=，415AF =+=.因为EF AE ⊥， 所以523AE =-=，所以23PB =.因为2PD =，23PB =，22BD =， 所以222PD BD PB +=，所以PD BD ⊥，则PD ⊥平面ABCD .因为PD 与平面ABCD 不一定垂直，所以D 错误.故选：BC. 13．6【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示． 由32z x y =-可得322zy x =-． 平移直线322z y x =-，结合图形可得，当直线322zy x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值．由题意得A 点坐标为(2,0)，∴min 326z =⨯=，即32z x y =-的最小值是6．故答案为14．61【详解】因为()()222223244344cos120361a b a b aa b b a a b b -⋅+=-⋅-=-︒-=,所以23830b b --=,解得3b =或13-（舍）,所以()222336961a b a b a a b b +=+=+⋅+=,故答案为15．(【详解】因为()21a b b +=，1c =，故222c a b =+.所以222cos 2a b cC ab +-===.又ABC为锐角三角形，故6C π=. 由正弦定理，12sin sin sin sin 6a b c A B C π====，)52sin 2sin 6b A B A A π⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎥⎝⎭⎦112cos 2cos 2sin 226A A A A A A π⎫⎫⎛⎫=-=-=-⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎝⎭. 又ABC 为锐角三角形，故02062A A ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得32A ππ<<，从而663A πππ<-<.(2sin 6b A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭.故答案为：( 16．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【详解】等价于()1(1)ln kxkx e x x +>+，所以()1ln (1)ln kx kx e e x x+>+令()(1)ln f x x x =+，则1()1ln f x x x '=++，所以22111()x f x x x x-''=-+=， 当01x <<时，()0f x ''<，当1x >时，()0f x ''>，所以()'f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，所以()(1)2f x f ''>=， 所以()f x 在(0,)+∞单调递增，所以①式可化为()()kxf e f x >，所以kx e x >，所以ln xk x >，令ln ()x h x x=， 可求得()h x 在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减， 所以max 1()h x e=，所以1k e >，故答案为：1(,)e +∞.17、【解析】选择条件：①2c −√3b ＝2a cos B ， （1）由余弦定理可得2c −√3b ＝2a cos B ＝2a •a 2+c 2−b 22ac， 2分∴整理可得c 2+b 2﹣a 2=√3bc ，可得cos A =b 2+c 2−a 22bc=√3bc 2bc=√32， 4分∵A ∈（0，π），∴A =π6． 5分 （2）∵a =√3−1，A =π6，∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得（√3−1）2＝b 2+c 2﹣2bc •√32， 7分∴4﹣2√3=b 2+c 2−√3bc ≥2bc −√3bc ，可得bc ≤2， 9分∴S △ABC =12bc sin A ≤12×2×12=12，即△ABC 面积的最大值为12． 10分 选择条件：②（2b −√3c ）cos A =√3a cos C ．（1）由题意可得2b cos A =√3a cos C +√3c cos A ， 2分∴2sin B cos A =√3（sin A cos C +sin C cos A ）=√3sin （A +C ）=√3sin B ，∵sin B ≠0，∴可得cos A =√32， 4分∵A ∈（0，π），∴A =π6． 5分 （2）∵a =√3−1，A =π6，∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得（√3−1）2＝b 2+c 2﹣2bc •√32， 7分∴4﹣2√3=b 2+c 2−√3bc ≥2bc −√3bc ，可得bc ≤2， 9分∴S △ABC =12bc sin A ≤12×2×12=12，即△ABC 面积的最大值为12． 10分18．【详解】（1）由已知可得，2S n ＝3a n －1， ①所以2S n －1＝3a n －1－1 （n ≥2）， ② 2分 ①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1， 化简为a n ＝3a n －1（n ≥2），即 4分在①中，令n ＝1可得，a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 从而有a n ＝3n －1． 6分 （2）b n ＝(n －1)·3n －1，T n ＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n －1)·3n －1， ③则3T n ＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ． ④ 8分③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)·3n ，3313n-=--10分所以， 12分19．【详解】（I ）证明：取AC 的中点M ，连接PM ，BM ， ∵AB ＝BC ，PA ＝PC ，∴AC ⊥BM ，AC ⊥PM ， 2分 又BM ∩PM ＝M ，∴AC ⊥平面PBM ， 4分 ∵BP ⊂平面PBM ，∴AC ⊥BP ． 5分（II ）解：∵底面ABCD 是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2， ∴∠ABC ＝120°，∵AB ＝BC ＝1，∴AC 3=，BM 12=，∴AC ⊥CD ， 又AC ⊥BM ，∴BM ∥CD ．∵PA ＝PC 3=，CM 132AC ==，∴PM 32=， ∵PB 13=，∴cos ∠BMP 222122PM BM BP PM BM +-==-⋅，∴∠PMB ＝120°， 7分以M 为原点，以MB ，MC 的方向为x 轴，y 轴的正方向，以平面ABCD 在M 处的垂线为z 轴建立坐标系M ﹣xyz ，如图所示： 则A （0，3-，0），C （0，3，0），P （34-，0，33），D （﹣1，3，0）， 8分∴AD =（﹣1，3，0），AC =（0，3，0），AP =（34-，32，334），设平面ACP 的法向量为n =（x ，y ，z ），则00n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即030424x y z =⎨-++=⎪⎩， 令x =n =，0，1）， 10分∴cos n ＜，n AD AD n AD⋅==-＞ 11分∴直线AD与平面APC 所成角的正弦值为|cos n ＜，AD ＞|4=． 12分20．【详解】（Ⅰ）圆C 的圆心为()1,0C -，半径1r =设动圆M 的半径为2r ，依题意有2r MB =.由2BC =，可知点B 在圆C 内，从而圆M 内切于圆C ，故12MC rr =-， 2分即2MC MB +=>. 所以动点M 轨迹E 是以C 、B 为焦点，长轴长为圆. 4分 因为a =1c =，所以2221b a c =-=.于是E 的方程是2212x y +=.5分（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22220x y y kx m⎧+-=⎨=+⎩消去y 得到，222()20x kx m ++-=，即()222124220k x kmx m +++-=.则122412kmx x k +=-+，()121222212m y y k x x m k +=++=+， 6分弦AB 中点M 的坐标是222,1212km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭.由()()22221681120k m m k∆=--+>，得2212km +>. 8分另一个方面，线段AB 的垂直平分线方程是112y x k =--. 点222,1212kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭在此直线上， 得到2212112122m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，整理得2212m k =+. 10分 代入2212k m +>中，得220m m -<，解得02m <<. 又22121m k =+>，0k ≠，所以21m >，即12m >.故实数m 的取值范围为1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 12分21．【详解】(1)证明：函数的定义域为()10,1,110x x x +>⎧∈-⎨->⎩，()()111111111f x x x x x '=-⋅-=++-+-， 2分 只需证明11211x x+≥+-， 即证明()()11211x x x x -++≥-+，即证20x ≥，显然成立，所以()2f x '≥. 4分（2）解：令()()()()ln 1ln 1,01g x f x ax x x ax x =-=+---≤<()1111g x a x x'=+-+- ①由（1）可知当2a ≤时，()11011g x a x x'=+->+-恒成立，所以()g x 在01x ≤<递增，()()min 00g x g ==，即()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立， 6分②当2a >时，()2221121111a x x ax a g x a x x x x ⎛+- -+⎝⎭⎝⎭'=+-==+---，因为01<<，所以有，令()0,g x x ⎫'>∈⎪⎪⎭，()g x 递增； 令()0,g x x ⎛'<∈ ⎝，()g x 递减； ()minln ln 1g x g ⎛⎛==-- ⎝⎝2lnln 2=+-， 8分令()()min 2ln ln 2h a g x g ===，()()20a h a -'==<，10分 ()h a 在2a >上递减，且()()20h a h <=，所以当2a >时，()min 0g x g =≥不可能； 11分综合①②③有，2a ≤. 12分22．【详解】（1）解：因为1C的离心率为3，所以22619b a =-，解得223a b =.①将点22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 2分联立①②，得21a =，213b =， 4分故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. 5分（2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213x y +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =，所以11122NAB S MN AB ∆=⋅==. 6分 ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，将y kx m =+代入椭圆1C 的方程得()222136310k x kmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m ∆=-+-=，整理得22313m k =+. 7分 将y kx m =+代入椭圆2C 的方程得()222136330k x kmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k -=+， 所以AB =2313k m ==+. 8分设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得λ=λ=，9分 所以3ON MO =，从而)1NM OM =.又因为点O 到直线l的距离为d =所以点N 到直线l 的距离为)11m d ⋅= 10分所以))1111223NAB S d AB m ∆=⋅= 3=，11分综上，NAB ∆3. 12分。

石家庄二中高三数学期中考试模拟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.其中1-8题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；9-12题为多选题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.1．已知集合{}2|40A x R x x =∈-<，{}|28xB x R =∈<，则AB =（ ）A ．()0,3B ．()3,4C ．()0,4D ．(),3-∞2．设11iz i=-+（i 为虚数单位），则||z =（ ） A ．1B ．22C ．12D ．143．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数()441x x f x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．4．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或35 B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 5．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A 、B 、C 、D ，满足5AB CD ==，6BD AC ==，7AD BC ==，则该鞠的表面积为（ ） A ．55π B ．60πC ．63πD ．68π6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（ ） A ．23 B ．3 C ．2 D ．27．若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,)3B ．(15,34]C ．13(,]32D ．53(,]428．如图，已知1F ，2F 分别是椭圆C ：2216432x y+=的左、右焦点，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点N ，线段1F N 的中点为M ，线段1F N 的垂直平分线MP 与2l 的交点P （第一象限）在椭圆上，若O 为坐标原点，则2OM OF 的取值范围为（ ）A．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C．(D ．()0,19．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．11b b a a +>+ C ．11a b b a+>+ D ．11a b a b+>+ 10．已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3π D ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 11．设正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，则（ ） A ．29a a 的最大值为10B ．29a a +的最大值为C ．222911a a +的最大值为15D ．4429a a +的最小值为20012．在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PD AB =，四边形ABCD 是正方形，点E 是棱PB 的中点，则（ ）A ．PD ⊥平面ABCDB ．//PD 平面ACEC ．2PB AE =D ．PC AE ⊥ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．14．已知平面向量a ，b 满足4a =，a 与b 的夹角为120︒，且()()23261a b a b -⋅+=，则3a b +=______.15．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c ，若()21a b b +=，1c =b -的取值范围是______.16．已知对任意(0,)x ∈+∞，都有()111ln 0kxk e x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围为_________．三、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、现给出两个条件：①2c −√3b ＝2a cos B ，②（2b −√3c ）cos A =√3a cos C ．从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若有_______， （1）求A ；（2）若a =√3−1，求△ABC 面积的最大值．18．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，312n n a S -=. （1）求n a ，（2）若(1)n n b n a =-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2，132PB =，3PA PC == （Ⅰ）证明；AC ⊥BP ；（Ⅱ）求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值．20．已知定圆C ：()2218x y ++=，动圆M 过点()10B ,，且和圆C 相切. （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程； （Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与轨迹E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线经过点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数m 的取值范围.21．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--． （1）证明()2f x '≥；（2）若()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立，求实数a 的取值范围．22．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点22⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.石家庄二中高三数学期中考试模拟答案1．A 【详解】由题意{|04}A x x =<<，{|3}B x x =<，∴{|03}(0,3)AB x x =<<=．2．B 【详解】因为11111111(1)(1)222i i i z i i i i i --=-====-+++-， 所以2211222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B..3．D 【详解】因为函数()441x x f x =-，44()()()4141xx x x f x f x ----==≠-- 所以函数()f x 不是偶函数，图像不关于y 轴对称，故排除A 、B 选项； 又因为x →-∞时()f x →+∞，故排除C ，故选D4．D 【详解】点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3）， 故可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2＝1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d 232231k k k ----==+1，化为24k 2+50k +24＝0，∴k 43=-，或k 34=-．故选：D ． 5．A 【详解】将三棱锥A BCD -补成长方体AEBH GDHC -，使得三棱锥A BCD -的各棱为长方体AEBH GDHC -的面对角线，设EA x =，EB y =，ED z =，设该鞠的半径为R ，则2222R x y z =++，由勾股定理可得22225AB x y =+=，22236AC y z =+=，22249AD x z =+=，上述三个等式相加得()2222253649110x y z ++=++=，则222255R x y z =++=，因此，该鞠的表面积为()224255S R R πππ==⨯=.故选：A6．B 【详解】如下图所示：设直线l 的方程为()by x c a=--，则直线OA 的方程为b y x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =， 即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭， 将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得3e =.因此，该双曲线的离心率为3.故选：B.7．B 【详解】设32()35f x x x ax a =--+-，则存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，设32()35g x x x =-+，()(1)h x a x =+，因为2()36g x x x '=-，所以当(,0)x ∈-∞以及(2,)+∞时，()g x 为增函数，当(0,2)x ∈时，()g x 为减函数，在0x =处，()g x 取得极大值5，在2x =处，()g x 取得极小值1.而()h x 恒过定点(1,0)-，两个函数图像如图， 要使得存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，只要满足(1)(1)(2)(2)(3)(3)g h g h g h ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩，即135281253272754aa a-+≥⎧⎪-+<⎨⎪-+≥⎩，解得1534a <≤，故选B .8．D 【详解】如图所示，点P 在y 轴右边，因为PM 为1F N 的垂直平分线，所以1FM MN =． 由中位线定理可得212OM F N =． 设点()00,P x y ()000,0x y >>．由两点间的距离公式，得()()222220100021x PF x c y x c b a ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭22200022c x cx a a ex a=++=+，同理可得20PF a ex =-， 所以21202F N PF PF ex =-=，故0OM ex =，因为8a =，42c =，所以22e =，故022OM x =，所以00222842x OM x OF ==． 因为()00,8x ∈，所以()010,18x ∈．故2OM OF 的取值范围为()0,1．故选：D ．9．AC 【详解】选项A ：因为0a b >>，所以10a b >⋅，不等式a b >两侧同时乘以1a b⋅，所以11a b<，故A 正确； 选项B ：因为0a b >>，所以0ab >，所以a ab b ab +>+，即()()11a b b a +>+，又()101a a >+，所以不等式()()11a b b a +>+两侧同时乘以()11a a +，则11b b a a+>+，故B 错误；选项C ：因为0a b >>，所以11b a >，根据不等式的同向可加性知11a b b a+>+，故C 正确；选项D ：当2a =，12b =时，此时0a b >>，11a b a b+=+，故D 错误. 故选：AC10．AC 【详解】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确；选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k k x k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,故B 错误；选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小值为半个最小正周期,即21323ππ⨯=,故C 正确；选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,D 错误11．ABD 【详解】因为正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，所以()22929220a a a a +=+，即222920a a +=.选项A,222929201022a a a a +≤==，当且仅当2910a a ==时成立，故A 选项正确.选项B 由于22229291022a a a a ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以292910,2102a a a a +≤+≤2910a a ==B 选项正确.选项C 22292222222222292929291120202011052a a a a a a a a a a ++==≥==⋅⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当2910a a ==时成立，所以222911a a +的最小值为15，故C 选项错误.选项D 结合①的结论，有()24422222222929292924002400210200a a a a a a a a +=+-⋅=-⋅≥-⨯=，当且仅当2910a a ==时成立，故D 选项正确.12．BC 【详解】如图，选项A ，因为PD 与AD 不一定垂直，所以PD 不一定垂直平面ABCD ，故A 错误. 选项B ，连接BD ，记ACBD O =，连接OE .因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点.因为,O E 分别为BD ，BP 的中点，所以//OE PD ，又PD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，则//PD 平面ACE ，故B 正确.选项C ，因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，因为侧面PAD ⊥平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD .因为//AB CD ，所以AB ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ， 所以AB PA ⊥，则2PB AE =，故C 正确.选项D ，取BC 的中点F ，连接,EF AF .因为,E F 分别为BP ，BC 的中点， 所以//EF PC .假设PC AE ⊥，则EF AE ⊥.设2PD AB ==， 则1144222EF PC ==⨯+=，415AF =+=.因为EF AE ⊥， 所以523AE =-=，所以23PB =.因为2PD =，23PB =，22BD =， 所以222PD BD PB +=，所以PD BD ⊥，则PD ⊥平面ABCD .因为PD 与平面ABCD 不一定垂直，所以D 错误.故选：BC. 13．6【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示． 由32z x y =-可得322zy x =-．平移直线322z y x =-，结合图形可得，当直线322zy x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值．由题意得A 点坐标为(2,0)，∴min 326z =⨯=，即32z x y =-的最小值是6．故答案为6．14．61【详解】因为()()222223244344cos120361a b a b a a b b a a b b -⋅+=-⋅-=-︒-=,所以23830b b --=,解得3b =或13-（舍）,所以()222336961a b a ba ab b +=+=+⋅+=,故答案为15．(【详解】因为()21a b b +=，1c =，故222c a b =+-.所以222cos 2a b c Cab +-===.又ABC为锐角三角形，故6C π=. 由正弦定理，12sin sin sin sin 6a b c A B C π====，)52sin 2sin 6b A B A A π⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎥⎝⎭⎦112sin cos 2cos 2sin 22226A A A A A A π⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭. 又ABC 为锐角三角形，故02062A A ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得32A ππ<<，从而663A πππ<-<.(2sin 6b A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭.故答案为：( 16．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【详解】等价于()1(1)ln kxkx e x x +>+，所以()1ln (1)ln kx kx e e x x+>+①，令()(1)ln f x x x =+，则1()1ln f x x x'=++，所以22111()x f x x x x -''=-+=，当01x <<时，()0f x ''<，当1x >时，()0f x ''>，所以()'f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，所以()(1)2f x f ''>=， 所以()f x 在(0,)+∞单调递增，所以①式可化为()()kxf e f x >，所以kx e x >，所以ln xk x >，令ln ()x h x x=， 可求得()h x 在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减， 所以max 1()h x e=，所以1k e >，故答案为：1(,)e +∞.17、【解析】选择条件：①2c −√3b ＝2a cos B ， （1）由余弦定理可得2c −√3b ＝2a cos B ＝2a •a 2+c 2−b 22ac， 2分∴整理可得c 2+b 2﹣a 2=√3bc ，可得cos A =b2+c 2−a 22bc=√3bc 2bc=√32， 4分∵A ∈（0，π），∴A =π6． 5分 （2）∵a =√3−1，A =π6，∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得（√3−1）2＝b 2+c 2﹣2bc •√32， 7分∴4﹣2√3=b 2+c 2−√3bc ≥2bc −√3bc ，可得bc ≤2， 9分 ∴S △ABC =12bc sin A ≤12×2×12=12，即△ABC 面积的最大值为12． 10分选择条件：②（2b −√3c ）cos A =√3a cos C ．（1）由题意可得2b cos A =√3a cos C +√3c cos A ， 2分 ∴2sin B cos A =√3（sin A cos C +sin C cos A ）=√3sin （A +C ）=√3sin B ，∵sin B ≠0，∴可得cos A =√32， 4分∵A ∈（0，π），∴A =π6． 5分 （2）∵a =√3−1，A =π6，∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得（√3−1）2＝b 2+c 2﹣2bc •√32， 7分∴4﹣2√3=b 2+c 2−√3bc ≥2bc −√3bc ，可得bc ≤2， 9分 ∴S △ABC =12bc sin A ≤12×2×12=12，即△ABC 面积的最大值为12． 10分 18．【详解】（1）由已知可得，2S n ，3a n ，1， ，所以2S n －1，3a n －1，1 ，n ≥2，， ， 2分 ①－②得，2(S n ，S n －1)，3a n ，3a n －1， 化简为a n ，3a n －1，n ≥2），即4分在①中，令n ＝1可得，a 1，1， 所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 从而有a n ，3n －1， 6分 ，2，b n ，(n ，1)·3n －1，T n ，0·30，1·31，2·32，…，(n ，1)·3n －1， ，则3T n ，0·31，1·32，2·33，…，(n ，1)·3n ， ， 8分 ③－④得，－2T n ，31，32，33，…，3n －1，(n ，1)·3n ，3313n-=-- 10分所以， 12分19．【详解】（I ）证明：取AC 的中点M ，连接PM ，BM ， ∵AB ＝BC ，P A ＝PC ，∴AC ⊥BM ，AC ⊥PM ， 2分 又BM ∩PM ＝M ，∴AC ⊥平面PBM ， 4分 ∵BP ⊂平面PBM ，∴AC ⊥BP ． 5分（II ）解：∵底面ABCD 是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2， ∴∠ABC ＝120°，∵AB ＝BC ＝1，∴AC 3=，BM 12=，∴AC ⊥CD ， 又AC ⊥BM ，∴BM ∥CD ．∵P A ＝PC 3=，CM 1322AC ==，∴PM 32=， ∵PB 13=，∴cos ∠BMP 222122PM BM BP PM BM +-==-⋅，∴∠PMB ＝120°， 7分以M 为原点，以MB ，MC 的方向为x 轴，y 轴的正方向，以平面ABCD 在M 处的垂线为z 轴建立坐标系M ﹣xyz ，如图所示： 则A （0，3-，0），C （0，3，0），P （34-，0，33），D （﹣1，3，0）， 8分∴AD =（﹣1，3，0），AC =（0，3，0），AP =（34-，32，334），设平面ACP 的法向量为n =（x ，y ，z ），则00n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即030424x y z =⎨-++=⎪⎩， 令x =n =0，1）， 10分∴cos n ＜，n AD AD n AD⋅==-＞， 11分∴直线AD 与平面APC所成角的正弦值为|cos n ＜，AD ＞|=． 12分20．【详解】（Ⅰ）圆C 的圆心为()1,0C -，半径1r =设动圆M 的半径为2r ，依题意有2r MB =.由2BC =，可知点B 在圆C 内，从而圆M 内切于圆C ，故12MCr r =-， 2分即2MC MB +=>. 所以动点M 轨迹E 是以C 、B为焦点，长轴长为圆. 4分 因为a =1c =，所以2221b a c =-=.于是E 的方程是2212x y +=. 5分（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22220x y y kx m⎧+-=⎨=+⎩消去y 得到，222()20x kx m ++-=，即()222124220kxkmx m +++-=.则122412kmx x k +=-+，()121222212m y y k x x m k+=++=+， 6分弦AB 中点M 的坐标是222,1212km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭.由()()22221681120k m m k∆=--+>，得2212km +>. 8分另一个方面，线段AB 的垂直平分线方程是112y x k =--. 点222,1212kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭在此直线上， 得到2212112122m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，整理得2212m k =+. 10分 代入2212k m +>中，得220m m -<，解得02m <<. 又22121m k =+>，0k ≠，所以21m >，即12m >.故实数m 的取值范围为1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 12分21．【详解】(1)证明：函数的定义域为()10,1,110x x x +>⎧∈-⎨->⎩， ()()111111111f x x x x x'=-⋅-=++-+-， 2分 只需证明11211x x+≥+-， 即证明()()11211x x x x -++≥-+，即证20x ≥，显然成立，所以()2f x '≥. 4分（2）解：令()()()()ln 1ln 1,01g x f x ax x x ax x =-=+---≤<()1111g x a x x'=+-+- ①由（1）可知当2a ≤时，()11011g x a x x'=+->+-恒成立，所以()g x 在01x ≤<递增，()()min 00g x g ==，即()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立，6分②当2a >时，()2221121111a x x ax a g x a x x x x ⎛+ -+⎝⎭⎝⎭'=+-==+---，因为01<<，所以有，令()0,g x x ⎫'>∈⎪⎪⎭，()g x 递增； 令()0,g x x ⎛'<∈ ⎝，()g x 递减； ()minln ln 1g x g ⎛⎛==-- ⎝⎝2lnln 2=+-， 8分令()()min 2ln ln 2h a g x g ===，()()20a h a -'==<，10分 ()h a 在2a >上递减，且()()20h a h <=，所以当2a >时，()min 0g x g =≥不可能； 11分综合①②③有，2a ≤. 12分22．【详解】（1）解：因为1C的离心率为3，所以22619b a =-，解得223a b =.①将点⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 2分联立①②，得21a =，213b =， 4分故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. 5分（2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213xy +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =所以11122NAB S MN AB ∆=⋅==. 6分 ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，将y kx m =+代入椭圆1C 的方程得()222136310k x kmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m ∆=-+-=，整理得22313m k =+. 7分 将y kx m =+代入椭圆2C 的方程得()222136330k x kmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k -=+， 所以AB =2313k m ==+. 8分设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得λ=λ=，9分 所以3ON MO =，从而)1NM OM =.又因为点O 到直线l的距离为d =所以点N 到直线l 的距离为)11m d ⋅= 10分所以))1111223NAB S d AB m ∆=⋅= 3=，11分综上，NAB ∆3. 12分。

河北省石家庄二中2021届高三上学期期末质量检测一、选择题（每小题5分,共40分）1. 已知全集,集合,,则( )A. B.C. D.2. 对于任意复数,,任意向量,,给出下列命题,其中真命题的个数是( )①. ②. ③若,则. ④若,则.A. B.C. D.3. 已知双曲线:(,)的右焦点到渐近线的距离等于实轴长,则此双曲线的离心率为( )A. B.C. D.4. 函数的大致图像为( )A. B.C. D.5. “费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点,当三角形三个内角均小于时,“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角,即该点所对的三角形三边的张角相等均为,根据以上性质,函数的最小值为( )A. B.C. D.6. 若,,,,则大小关系正确的是( )A. B.C. D.7. 据统计,连续熬夜小时诱发心脏病的概率为,连续熬夜小时诱发心脏病的概率为.现有一人已连续熬夜小时未诱发心脏病,则他还能继续连续熬夜小时不诱发心脏病的概率为( )A. B.C. D.8. 在中,内角,,的对边分别为,,,是的中点,,,则的面积的最大值为( )A. B.C. D.二、多选题（每小题5分,共20分）9. 已知为等差数列,其前项和,,则下列结论一定正确的是( )A. 若,则公差B. 若,则最小C. D.10. 在正方体中,下列直线或平面与平面平行的是( )A. 直线B. 直线C. 平面D. 平面11. 函数在上有唯一零点,则下列四个结论正确的是( )A. B.C. D.12. 椭圆的左、右焦点分别为,,为坐标原点,下列说法正确的是( )A. 过点的直线与椭圆交于,两点,则的周长为B. 椭圆上存在点,使得C. 椭圆的离心率为D. 为椭圆上一点,为圆上一点,则点,最大距离为三、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知向量,与的夹角为,且,则__________.14. 在的展开式中，常数项为__________.15. 请你举出与曲线在原点处具有相同切线的一个函数:__________.16. 棱长为的正四面体的外接球与内切球的半径之和为__________,内切球球面上有一动点,则的最小值为__________.四、解答题（每小题12分,共72分）17. 已知函数. (1)求的值. (2)从①,,②,这两个条件中任选一个人,作为题目的已知条件,求函数在上的最小值,并直接写出函数的一个周期.18. 已知为数列的前项和,且满足.(1)设,证明:是等比数列. (2)求.19. 如图,在平行四边形中,,,为边的中点,将沿直线翻折,使点至点位置,若为线段的中点.(1)证明:平面,并求的长.(2)在翻折过程中,当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成的二面角的余弦值.20. 某人经营淡水池塘养草鱼,根据过去期的养殖档案,该池塘的养殖质量(百斤)都在百斤以上,其中不足百斤的有期,不低于百斤且不超过百斤的有期,超过百斤的有期,根据统计,该池塘的草鱼质量的增加量(百斤)与使用某种饵料的质量(百斤)之间的关系如图所示(注:斤克).(1)根据数据可知与具有线性相关关系,请建立关于的线性回归方程,如果此人设想使用某种饵料百斤时,草鱼质量的增加量需多于百斤,请根据线性回归方程的计算,确定该方案是否可行,并说明理由.(2)养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高,某商家为该养殖户提供收费服务,即提供不超过台增氧冲水机,每期养殖使用的冲水机运行台数与池塘的鱼的质量(单位:百斤)有如下关系:若每台增氧冲水机运行,则商家每期可获利千元,若某台冲水机未运行,则商家每期亏损千元,视频率为概率,商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大,应提供几台增氧冲水机?附:对于一组数据,,…,,其线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计的公式分别为,.21. 已知点,,抛物线,过点的动直线交抛物线于,两点,直线交抛物线于另一点,为坐标原点. (1)求. (2)证明:直线恒过定点.22. 已知函数(,,为自然对数的底数). (1)若,当时,,求实数的取值范围. (2)若,存在两个极值点,,求证:.河北省石家庄二中2021届高三上学期期末质量检测答案和解析第1题：【答案】B【解析】∵集合,,或,∴.第2题：【答案】C【解析】由复数与平面向量满足三角形法则,知①②正确,由复数的运算知,若,则成立,故③正确,若,,满足,但不满足,故④错误.第3题：【答案】C【解析】由题意可设双曲线的右焦点,渐近线的方程为, 可得,可得,可得离心率, 故选C.第4题：【答案】A【解析】依题意,的定义域为,因为,所以为偶函数,故排除B,由,得,令,则,因为,所以单调递增,即,当时,,所以,故函数在上单调递增,故排除C,D.第5题：【答案】D【解析】根据题意画出图像并建立如图所示的直角坐标系,设三角形三个顶点分别为,,,函数表示的是点到点,点,点的距离之和,易知为等腰三角形,则这个等腰三角形的“费马点”在高线上,设点为“费马点”,连接,,则,,,,所以距离之和为.第6题：【答案】B【解析】取特殊值,令,, 则,,, 则,即,故答案为B.第7题：【答案】A【解析】设事件为连续熬夜小时发病,事件为连续熬夜72小时发病, 由题意可知:,则, 由条件概率公式可得:.第8题：【答案】B【解析】在中,由余弦定理得,,在中,由余弦定理得,,则,即,因为,,所以,又,所以,故当时,的面积的最大值为.第9题：【答案】A,D【解析】当时,因为,所以,故A正确. 当,时,满足,无最小值,故B错误. 当,,且满足时,,此时,当,,且满足时,的符号无法确定,故C无法确定.,故D正确.第10题：【答案】A,D【解析】如图,由,且平面,平面,得直线与平面平行,故A正确. 直线,与平面相交,故直线与平面相交,故B错误. 直线与直线相交,则平面与平面相交,故错误. 由,,且,,得平面与平面平行,故D正确.第11题：【答案】A,C【解析】函数的零点即为方程,即的根,等价于函数的图像与直线有唯一公共点,,因为在上单调递增,且当时,,当时,,所以存在,使得,且当时,,,单调递减,当时,,,单调递增,所以,所以,A正确,B错误.又,所以,C正确;令则,当时,,,故D错误.第12题：【答案】A,B,D【解析】对于选项A,由椭圆定义可得,因此的周长为,故A正确. 对于选项B,法一:设点为椭圆上任意一点,则点的坐标满足,且,又,,所以,,因此,由,可得,故B正确. 法二:因为,,所以,即,,所以以原点为圆心,为半径的圆与椭圆有四个交点,则椭圆上存在四个点,使,故B正确. 对于选项C,椭圆的离心率,故C错误. 对于选项D,设点为椭圆上任意一点,由题意可得点到圆的圆心的距离,因为,所以当时,,所以,故D正确.第13题：【答案】或【解析】因为,所以,由,平方得,即,解得,设,由夹角公式得,,所以,与联立,解得或,所以或.第14题：【答案】【解析】易知的展开式的通项，又的展开式的通项，令，得当时，故常数项为...第15题：【答案】(,,,,皆可,答案不唯一)【解析】因为,所以,则,因此与曲线在原点处具有相同切线的函数的图像必过原点且在原点的导函数等于,如直线过原点,又,满足题意.第16题：【答案】,【解析】正四面体的外接球与内切球的球心都是正四面体的中心,即为图中的点,且,分别为正四面体的外接球与内切球的半径,其和为,连接并延长交于点,在底面正三角形中,,在中,,所以,因为点为内切球球面上的动点,连接,所以由正四面体中内切球与外接球的半径之比为,得,,则,过点作交于点,连接,则,则,故,因为和为直角三角形,,所以,则,所以.第17题：【解析】(1). (2)法一:当取①,时,,∵,∴,∴当,即时,,是函数的一个周期. 法二:当取②,时,,令,∵,∴,则,,∴,是函数的一个周期.第18题：【解析】(1)依题意,,,,由①,得②,②①得,∴,∴,数列是以为首项,为公比的等比数列. (2)法一:由(1)知,,当为偶数时,,当为奇数时,,∴,即. 法二:构造新数列,由(1)知,,∴,∴数列是以首项为,公比为的等比数列,即,累加求和可得.第19题：【解析】(1)如图,取的中点,连接,,因为为的中点,为的中点,所以,,又为的中点,所以,,所以,且,即四边形为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面,因为四边形为平行四边形,所以,又为等边三角形,为的中点,所以,即.(2)如图,连接,设三棱锥的高为,因为为的中点,所以,又,,,所以为定值,在翻折过程中,当平面垂直于平面时,最大,三棱锥的体积取最大值,取的中点,连接,因为平面平面,平面平面,,所以平面,取的中点为,以所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,所以,,设平面的法向量,则,即可取,又平面的一个法向量,所以,因为二面角的平面角为锐角,所以平面与平面所成的二面角的余弦值为.第20题：【解析】(1)依题意,,,,,∴,,∴,当时,,故该方案可行. (2)设总利润为元,①安装台,,②安装台,当时,,概率,当时,,概率,∴,③安装台,当时,,概率,当时,,概率,当时,,,∴,∵,∴应提供台增氧冲水机.第21题：【解析】(1)设点,,由题意,设直线,由得,∵,∴,又,∴. (2)设,直线的斜率为,直线的斜率为,直线的斜率为,∵,,三点共线,∴,∴,即,∴,即,∵,∴,∴,即,∵,∴直线的方程是,即,∴,由式可知,代入上式,得,令,解得,∴直线恒过定点.第22题：【解析】(1)当时,,当时,,在上单调递增,∴,当时,在上单调递减,在上单调递增,则有,不符合条件,综上,实数的取值范围是. (2)当时,,则,∵存在两个极值点,,则,即方程有两个不相等的实数根,,∴,则,又,,∴,不妨设,则,设,当时,,∴在上单调递增,从而,∵,∴,由(1)知,当,,时,有,即(当且仅当时取等号),∴当时,恒有,即,综上,.11。

河北省石家庄二中2021届高三数学上学期第三次联考试题 理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设{}11A x x =-<<，{}0B x x a =->，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ） A. (,1]-∞-B. (,1)-∞-C. [1,)+∞D.(1,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据A B ⊆，得到1a ≤-，即可求解实数a 的取值范围，得到答案。

【详解】由题意，集合{}11A x x =-<<，{}{}0B x x a x x a =->=， 因为A B ⊆，则1a ≤-，即实数a 的取值范围是(,1]-∞-。

故选：A 。

【点睛】本题主要考查了利用集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟练集合的包含关系，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

2.己知命题p ：,21000nn N ∃∈>，则p ⌝为（ ）A. ,21000nn N ∀∈< B. ,21000nn N ∀∉< C. ,21000nn N ∀∈≤ D. ,21000nn N ∀∉≤【答案】C 【解析】 【分析】先改存在量词为全称量词,再否定结论. 【详解】p ⌝:,21000nn N ∀∈≤.故选C.【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定,属于基础题. 解题方法:先改量词,再否定结论. 3.己知复数z 满足2019(1)i z i-=-（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A.12C. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据i 的幂运算性质可得2019i i =-，再由复数的除法运算可求得z ，从而求出||z . 【详解】2019(1)i i z i-=-=，则(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i +-+====-+--+，所以，||2z ==. 所以本题答案为B.【点睛】本题考查复数的乘除法和复数的模，解决复数问题，要通过复数的四则运算将复数表示为一般形式，结合复数相关知识求解，考查计算能力，属于基础题.4.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为；“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（ ） A. 24里 B. 48里C. 96里D. 192里【答案】D 【解析】 【分析】每天行走的步数组成公比为12的等比数列,根据前6项和为378列式可解得. 【详解】设第n 天行走了n a 步,则数列{}n a 是等比数列,且公比12q =,因为123456378a a a a a a +++++=,所以23451(1)378a q q q q q +++++=,所以12345378111111()()()()22222a =+++++ 6378378192111()2(1)264112===--- , 所以第一天走了192里. 故选D【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式中的基本量的计算,属于基础题. 5.已知函数()f x 为偶函数，且对于任意的()12,0,x x ∈+∞，都有1212()()f x f x x x --()120x x >≠,设(2)a f =，3(log 7)b f =，0.1(2)c f -=-则（）A. b a c <<B. c a b <<C. c b a <<D.a cb <<【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数在()0,∞+的单调性，然后根据偶函数化简()()0.10.122f f ---=，然后比较2，3log 7，0.12-的大小，比较,,a b c 的大小关系.【详解】若()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，则函数在()0,∞+是单调递增函数， 并且函数是偶函数满足()()f x f x -=， 即()()0.10.122f f ---=，0.1021-<<，31log 72<<()f x 在()0,∞+单调递增，()()()0.132log 72f f f -∴<<，即c b a <<. 故选C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数的单调性比较函数值的大小，意在考查函数性质的应用，意在考查转化和变形能力，属于基础题型.6.若函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得的图像关于y 轴对称，则当ϕ最小时，tan ϕ=（ ） A.3 B. 3 C. 3-D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】根据平移变换得到解析式后,利用所得的图像关于y 轴对称列式,再求最小值.【详解】将函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位后,得到函数sin[2()]sin(22)66y x x ππϕϕ=+-=+-,因为其图像关于y 轴对称,所以262k ππϕπ-=+,k Z ∈,即23k ππϕ=+,k Z ∈, 因为0ϕ>,所以0k =时,ϕ取得最小值3π,此时tan tan 33πϕ==. 故选B .【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换,以及对称轴,属于中档题. 7.已知函数21()cos 4f x x x =+的图象在点()t f t （，）处的切线的斜率为k ，则函数()k g t =的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】 求得1()sin 2f x x x '=-，得到函数在点()t f t （，）处的切线的斜率为1()sin 2k f t t t ='=-，得出函数()1sin 2t g t t -=，利用函数的奇偶性和特殊的函数的值，即可求解。

20XX年中学测试中学试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：20XX-2021学年度河北省石家庄市二中第一学期高三期中考试试卷本试卷满分100分，考试时间90分钟。

Ⅰ卷一、单项选择题1．如图（1-1）四幅图中，经纬度位置相同的两点是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④2．有关本初子午线的叙述，错误的是（）A．东西半球的分界线B．东西经的分界线C．中时区的中央经线D．经过欧洲、非洲、南极洲3．读下面四幅图，哪一幅图中甲点位置符合（）①东半球②北半球③低纬度④热带⑤我国境内等五个条件4．关于日界线的叙述，正确的是（）A．日界线东侧是东十二时区，西侧是西十二时区B．东侧是东经度，西侧是西经度C．东侧时区与西侧时区的区时钟点相同，日其相差1天D．东侧时区比西侧时区日期早一天5．东十二区和西十二区（）A．前者在东半球，后者在西半球B．前者在西半球，后者在东半球C．都在东半球D．都在西半球读图1-3，回答6—8题。

6．图中阴影部分表示的实际面积的大小是（）A．甲等于乙B．甲大于乙C．甲小于乙D．无法确定7．甲地位于乙地的（）A．西北方B．东南方C．西南方D．东北方8．某年6月，有一旅游者先后观光了甲、乙两地，他的知如下见闻可信的是（）A．甲地草木一片枯黄，乙地葱绿一片，古树参天B．甲地日出时刻比乙地早C．甲地人影朝南，乙地人影朝北D．甲地午后雷雨倾，乙地阴雨连绵，难见太阳9．9月23日，当飞机达到135°E上空时，在舷窗边的乘客看到了海上日出，这时北京时间可能是（）A．接近7时B．5时多C．不到5时D．7时多10．当伦敦为中午12时（）A．美国处于黑夜，中、日三国都处于白天B．美国全国处于白天，即中、印、日三国都处于黑夜C．中、印、日三国日期比美国早一天D．中、印、日、美四国日期相同11．下列四幅图中，甲地在乙地西北，丙地在丁地东南的是（）12．从甲地（70°N、70°E）到乙地（70°N、160°E），若不考虑地形因素，最近的走法是（）A．一直向正东方向走B．先向东南，再向东，最后向东北走C．先向东北、再向东，最后向东南走D．先向东南，再向东北走据报道，中国已初步选定郎伊尔宾（北纬70°N、东经15°附近）为“中国北极科学家探险考察站”站址。

石家庄二中教育集团2021-2022学年度高一年级上学期期中考试数学试卷（时间：120分钟分值：150分一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，则()A B =R ð（）A.()2,2- B.()2,4- C.()2,4 D.(]2,2-2.命题“x R ∀∈，都有210x x -+>”的否定是（）A.x R ∃∈，使得210x x -+>B.x R ∀∈，都有210x x -+≤C.x R ∃∈，使得210x x -+< D.x R ∃∈，使得210x x -+≤3.已知a R ∈，则“2a >”是“2a a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法中正确的是（）A.若a b >，则22a b > B.若a b >，则b a a b<C.若0a b <<，则22a ab b << D.若22ac bc >，则a b>5.若不等式210ax bx ++≥的解集为[1,2]-，则a b +=（）A.0B.2C.2- D.46.已知0x >，0y >，且28x y xy +=，则x y +的最小值是（）A.10B.15C.18D.237.已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值为（）A.34-B.34C.35-D.358.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，其图象经过点()2,0，且对任意1x 、()21,x ∈+∞，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则不等式()()10x f x -≥的解集为A.(],1-∞ B.[)1,+∞ C.(][],01,2-∞ D.[][)0,12,+∞ 二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分（全部选对得5分，选对但不全的得2分，有错选的得0分）．9.对于任意的,a b ∈R ，下列不等式一定成立的是（）A.222a b ab+≥ B.22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭C.2b a a b+≥ D.2a b +≤10.已知定义在R 上的偶函数()f x 是[)0,+∞上的减函数，若()()321f a f a ≥-，则实数a 的可能取值为（）A.2- B.1- C.2D.1511.关于函数()11f x x =--的性质描述，正确的是（）A.()f x 的定义域为)](1,00,1⎡-⋃⎣B.()f x 的值域为()1,1-C.()f x 在定义域上是增函数D.()f x 的图象关于y 轴对称12.设函数{}2()min |2|,,|2|f x x x x =-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者，下列说法正确的有（）A.函数()f x 为偶函数B.不等式()1f x <的解集为()3,3-C.当[1,)x ∈+∞时，(2)()f x f x -≤ D.当[4,4]x ∈-时，|()2|()f x f x -≥三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数()2212f x x x +=-，则()3f =______________．14.若34,23x y <<<<，则xy的取值范围是___________．15.若关于x 的不等式210x mx ++≤在区间(0,2]上有解，则实数m 的取值范围是__________．16.已知函数24()||,()6f x x a g x x ax x=-+=-+，若对于任意的实数1x 和2x ，当1[1,4]x ∈，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，都有()()12f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．四、解答题：共70分．（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.设全集U =R ，集合{}{03},2A x x B x a x a =<<=≤≤+．（1）当2a =时，求(),U A B A B ⋃⋂ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．18.已知函数2()1f x mx mx =--．（1）若12m =，解不等式：()0f x <；（2）若m R ∈，解关于x 的不等式：2()(1)221f x m x x m <-+--．19.已知函数()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，当0x >时，()()1f x x x =-+.（l ）求函数()f x 的解析式；（2）求关于m 的不等式()()2110f m f m-+-≥的解集.20.受新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产厂为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n 年()n N *∈的材料费、维修费、人工工资等共为2552n n ⎛⎫+⎪⎝⎭万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元．（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理．请问：使用哪种方案能在更短的时间内达到相应的最值目标？并比较分别使用两种方案处理设备后的总利润大小．21.已知关于x 不等式2220()x mx m m R -++≤∈的解集为M ．（1）当M 为空集时，求225()1m m f m m ++=+的最小值；（2）当M 不为空集，且[1,4]M ⊆时，求实数m 的取值范围．22.已知函数()24ax bf x x +=+为定义在[]22-,的奇函数，且满足1(1)5f =．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并利用定义加以证明；（3）若对[]2,2x ∀∈-，都有()2124f x m am ≤-+对[]1,1a ∀∈-恒成立，求实数m 的取值范围．石家庄二中教育集团2021-2022学年度高一年级上学期期中考试数学试卷（时间：120分钟分值：150分一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，则()A B =R ð（）A.()2,2- B.()2,4- C.()2,4 D.(]2,2-【答案】A 【解析】【分析】利用集合的交集、补集运算,即可求解.【详解】解：{}2R B x x =<ð，(){}22R A B x x ⋂=-<<ð,故选:A2.命题“x R ∀∈，都有210x x -+>”的否定是（）A.x R ∃∈，使得210x x -+>B.x R ∀∈，都有210x x -+≤C.x R ∃∈，使得210x x -+<D.x R ∃∈，使得210x x -+≤【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解.【详解】因为命题“2,10x R x x ∀∈-+>”是全称命题，所以其否定为特称命题“2,10x R x x ∃∈-+≤”.故选：D3.已知a R ∈，则“2a >”是“2a a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式得出a 的范围，再由充分必要条件的定义得出结论即可.【详解】由2a a >，得1a >或0a <，所以“2a >”是“1a >或0a <”的子集，所以“2a >”能推出“1a >或0a <”，“1a >或0a <”不能推出“2a >”，所以“2a >”是2a a >的充分不必要条件，故选：A.4.下列说法中正确的是（）A.若a b >，则22a b > B.若a b >，则b a a b<C.若0a b <<，则22a ab b << D.若22ac bc >，则a b>【答案】D 【解析】【分析】取特殊值可判断ABC 不正确，由不等式性质可知D 正确.【详解】若1,2a b ==-，则22a b >不正确，故A 错误；若1,2a b =-=-，则12,2b a a b ==，故B 不正确；若2,1a b =-=-，则24a =，21b =，故C 不正确；若22ac bc >，则20c >，由不等式性质知a b >成立，故D 正确.故选：D5.若不等式210ax bx ++≥的解集为[1,2]-，则a b +=（）A.0B.2C.2- D.4【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系求得,a b ．【详解】由题意0a <，210ax bx ++=的解是1,2-，所以12112b a a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．0a b +=．故选：A ．6.已知0x >，0y >，且28x y xy +=，则x y +的最小值是（）A.10B.15C.18D.23【答案】C 【解析】【分析】把已知式变形为821x y+=，然后由基本不等式求得最小值．【详解】由x >0，y >0，且280x y xy +-=，得821x y+=，所以8282()(101018y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当82y xx y=，即12,6x y ==时等号成立，所以x y +的最小值是18．故选：C ．7.已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值为（）A.34-B.34C.35-D.35【答案】A 【解析】【分析】分别讨论0a >和0a <时，1a -，1a +与1的大小关系，进而可得()1f a -与()1f a +的表达式，解方程即可求解.【详解】因为0a ≠，当0a >时，111a a -<<+，此时()()11f a f a -=+等价于()()2112a a a a -+=-+-，所以213a a -=--，解得：32a =-，不满足0a >，舍去；当0a <时，111a a +<<-，此时()()11f a f a -=+等价于()()2112a a a a ++=---，所以231a a +=--，解得：34a =-，符合题意，综上可得：34a =-，故选：A ．8.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，其图象经过点()2,0，且对任意1x 、()21,x ∈+∞，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则不等式()()10x f x -≥的解集为A.(],1-∞ B.[)1,+∞ C.(][],01,2-∞ D.[][)0,12,+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由题意得知，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，且函数()y f x =在()1,+∞上单调递增，由此可得出该函数在(),1-∞上单调递减，()()20f f =，由()()10x f x -≥可得出()100x f x -≤⎧⎨≤⎩或()100x f x ->⎧⎨≥⎩，解出即可.【详解】()()2f x f x =- ，所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，该函数图象经过点()2,0，则()20f =，且有()00f =，对任意1x 、()21,x ∈+∞，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，可设12x x >，则120x x ->，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，所以，函数()y f x =在()1,+∞上单调递增，由此可得出该函数在(),1-∞上单调递减，当10x -≤时，即1x ≤时，则有()()00f x f ≤=，由于函数()y f x =在(],1-∞上单调递减，由()()0f x f ≤，得0x ≥，此时01x ≤≤；当10x ->时，即1x >时，则有()()02f x f ≥=，由于函数()y f x =在()1,+∞上单调递增，由()()2f x f ≥，得2x ≥，此时2x ≥.综上所述，不等式()()10x f x -≥的解集为[][)0,12,+∞ .故选：D.【点睛】本题考查函数不等式的解法，同时也涉及了单调性与对称性的应用，本题的关键就是要对1x -的符号进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分（全部选对得5分，选对但不全的得2分，有错选的得0分）．9.对于任意的,a b ∈R ，下列不等式一定成立的是（）A.222a b ab+≥ B.22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭C.2b a a b+≥ D.2a b +≤【答案】ABD【解析】【分析】根据做差比较法可判断AB ，取特殊值可判断C ，根据不等式的性质可判断D.【详解】因为2222()0a b ab a b +-=-≥，所以222a b ab +≥成立，故A 正确；因为22()4()0a b ab a b +-=-≥，所以24()ab a b +≤，即22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故B 正确；当1,1a b =-=时，22b aa b+=-<，故C 不正确；因为222a b ab +≥，所以222()()2a b a b +≥+，即222((22a b a b ++≥，所以||2a b +≤2a b +≤，故D 正确.故选：ABD10.已知定义在R 上的偶函数()f x 是[)0,+∞上的减函数，若()()321f a f a ≥-，则实数a 的可能取值为（）A.2- B.1- C.2D.15【答案】BD 【解析】【分析】利用函数()f x 为偶函数，可得()()321fa f a ≥-，且()f x 在[)0,+∞上的减函数，可得321a a ≤-解不等式即可求解.【详解】因为函数()f x 为定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x =，所以不等式()()321f a f a ≥-等价于()()321fa f a ≥-因为()f x 是[)0,+∞上的减函数，故321a a ≤-，即229(21)a a ≤-，可得25410a a +-≤，即(51)(1)0a a -+≤解得：115a -≤≤，结合选项可得实数a 的可能取值为：1-或15，故选：BD.11.关于函数()11f x x =--的性质描述，正确的是（）A.()f x 的定义域为)](1,00,1⎡-⋃⎣B.()f x 的值域为()1,1-C.()f x 在定义域上是增函数D.()f x 的图象关于y 轴对称【答案】AB【解析】【分析】先求出函数的定义域，再求值域，然后利用函数单调性以及奇偶性定义即可求解.【详解】对于A 中，由240110x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得[)(]1,00,1x ∈- 即为函数的定义域，故A 正确；对于B 中，由定义域可化简函数得()101x f x x -≤<=<≤⎪⎩，当[)1,0x ∈-时，()[)0,1f x ∈；当(]0,1x ∈时，()(]1,0f z ∈﹣，所以()()1,1f x ∈-，故B 正确；对于C 中，因为13132222f f ⎛⎫⎛⎫-=>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数不是增函数，故C 错误；对于D 中，因为定义域关于原点对称，且对任意(]0,1x ∈，()()f x f x ==--，所以函数是奇函数，故D 错误，故选：AB .12.设函数{}2()min |2|,,|2|f x x x x =-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者，下列说法正确的有（）A.函数()f x 为偶函数 B.不等式()1f x <的解集为()3,3-C.当[1,)x ∈+∞时，(2)()f x f x -≤ D.当[4,4]x ∈-时，|()2|()f x f x -≥【答案】AC【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，易判断AB ，然后分类讨论确定(2)f x -、()f x 和()2f x -的表达式，判断CD ．【详解】作出函数()f x 的图象，如图实线部分．由图可知其图象关于y 轴对称，函数为偶函数，A 正确；(1)(1)1f f -==，再计算得(3)(3)1f f -==，()1f x <解集为(3,1)(1,1)(1,3)--- ，B 错；12x ≤≤时，(2)()f x f x -≤即为2(2)2x x -≤-，即(1)(2)0x x --≤，成立23x <≤时，(2)()f x f x -≤即为2(2)2x x -≤-，即(2)(3)0x x --≤，成立，34x <≤时，(2)()f x f x -≤即为42x x -≤-，即3x ≥，成立，4x >时，22x ->，2x x -<，由()f x 在[1,)+∞上递增，得(2)()f x f x -≤成立．C 正确；由B 选项知33x -≤≤时，0()1f x ≤≤，()2()f x f x -≥成立，34x <≤时，()2224f x x x -=--=-，()2f x x =-，不等式|()2|()f x f x -≥为42x x -≥-，3x ≤，不成立．D 错误．故选：AC ．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数()2212f x x x +=-，则()3f =______________．【答案】-1【解析】【分析】令213x +=再代入()2212f x x x +=-求解即可.【详解】当213x +=时1x =,故()3f =()2211121f ⨯+=-=-.故答案为：1-【点睛】本题主要考查了抽象函数求值的问题,属于基础题.14.若34,23x y <<<<，则x y的取值范围是___________．【答案】(1,2)【解析】【分析】作出不等式组3423x y <<⎧⎨<<⎩所表示的平面区域，设x k y =，即100y k x -=-，结合斜率公式，即可求解.【详解】作出不等式组3423x y <<⎧⎨<<⎩所表示的平面区域，如图所示，可得(3,3),(4,2)A B ，设x k y =，即100y k x -=-，表示可行域内点(,)P x y 与原点(0,0)O 连线的斜率，当取点A 时，可得1OA k =，即k 的最小值为1；当取点B 时，可得12OB k =，即k 的最大值为2，即x y的取值范围是(1,2).故答案为：(1,2).15.若关于x 的不等式210x mx ++≤在区间(0,2]上有解，则实数m 的取值范围是__________．【答案】(,2]-∞-【解析】【分析】根据题中条件，由分离参数的方法得到21x m x ≤-+，求出21x x+-在给定区间的最大值，进而可求出结果.【详解】因为(]0,2x ∈，所以，由210x mx ++≤得21x m x ≤-+，因为关于x 的不等式210x mx ++≤在区间(0，2]上有解，所以只需m 小于等于21x x+-的最大值，又2212x x x x-≤-=-+，当且仅当1x =时，等号成立，所以2m ≤-，即实数m 的取值范围是(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-.16.已知函数24()||,()6f x x a g x x ax x=-+=-+，若对于任意的实数1x 和2x ，当1[1,4]x ∈，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，都有()()12f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】5[,2]2-【解析】【分析】原问题可转化为()()max min f x g x ≤，再根据a 与区间[1,4]分类讨论，求出对应范围内min ()g x ，()max f x ,建立不等式求解即可.【详解】因为1[1,4]x ∈，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，都有()()12f x g x ≤成立，所以()()max min f x g x ≤，当(1,4)a ∈，则1(,2)22a ∈，所以2min ()()624a a g x g ==-，此时4,44()4,1x a a x x f x x a x a x x a x ⎧+-≤≤⎪⎪=-+=⎨⎪-+≤<⎪⎩，当4a x ≤≤时，最大值必为5a -与4a中较大者，当1x a <≤时，最大值为3a +因为35a a +≥-，所以()max 4max{3,}f x a a =+，而当(1,4)a ∈时，243430a a a a a+-+-=>，所以()max 3f x a =+所以只需2364a a +≤-，解得62a -≤≤，而(1,4)a ∈，故(1,2]a ∈当1a ≤时，122a ≤，所以min 125()()242a g x g ==-，此时44()||f x x a x a x x =-+=+-，当1x =或4x =时，()max 5f x a =-，所以只需25542a a -≤-，解得52a ≥-，由1a ≤，故5[,1]2a ∈-当4a ≥时，22a ≥，所以min ()(2)102g x g a ==-，此时44()||f x x a a x x x=-+=-+，函数在[1,4]上递减，当1x =时，()max 3f x a =+，所以只需3102a a +≤-，解得73a ≤，又4a ≥，故无解.综上，5[,2]2a ∈-故答案为：5,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题：共70分．（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.设全集U =R ，集合{}{03},2A x x B x a x a =<<=≤≤+．（1）当2a =时，求(),U A B A B ⋃⋂ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|04A B x x =<≤ ，(){}|02U A B x x ⋂=<<ð（2）01a <<【解析】【分析】（1）先求出B ，进而根据交并补的定义即可解得答案；（2）根据“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，进而确定出两个集合的端点位置，最后解得答案.【小问1详解】2a =时，{}24B x x =≤≤，则{}|04A B x x =<≤ ，{|2U B x x =<ð或4}x >，所以(){}|02U A B x x ⋂=<<ð.【小问2详解】因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆，所以00123a a a >⎧⇒<<⎨+<⎩.18.已知函数2()1f x mx mx =--．（1）若12m =，解不等式：()0f x <；（2）若m R ∈，解关于x 的不等式：2()(1)221f x m x x m <-+--．【答案】（1）()12-，（2）答案见解析【解析】【分析】（1）当12m =时，不等式化为()()2+10x x -<，由此可求得不等式的解集；（2）原不等式等价于()()20x m x --<，分2m <，2m =，>2m 讨论求解可得不等式的解集.【小问1详解】解：当12m =时，211()122f x x x =--，不等式()0f x <化为2111022x x --<，即220x x --<，即()()2+10x x -<，解得12x -<<，所以不等式的解集为：()12-，.【小问2详解】解：因为2()1f x mx mx =--，所以不等式化为221(1)221mx mx m x x m --<-+--，即()2+2+20x m x m -<，即()()20x m x --<，所以，当2m <时，不等式的解集为()2m ，；当2m =时，不等式的解集为∅；当>2m 时，不等式的解集为()2m ，；19.已知函数()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，当0x >时，()()1f x x x =-+.（l ）求函数()f x 的解析式；（2）求关于m 的不等式()()2110f m f m -+-≥的解集.【答案】（1）()()()1,301,03x x x f x x x x ⎧--≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩；（2）{}[]21,2- .【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质得出()00f =，设[)3,0x ∈-，可得出(]0,3x -∈，求出()f x -的表达式，利用奇函数的性质可得出函数()y f x =在区间[)3,0-上的解析式，综合可得出函数()y f x =的解析式；（2）作出函数()y f x =的图象，可知函数()y f x =是定义在区间[]3,3-上的减函数，由()()2110f m f m -+-≥可得出()()211f m f m -≤-，然后利用函数()y f x =的单调性和定义域列出关于实数m 的不等式组，解出即可.【详解】（1） 函数()y f x =是定义在[]3,3-上的奇函数，则()00f =，满足()()1f x x x =-+.设[)3,0x ∈-，则(]0,3x -∈，所以，()()()()11f x x x x x -=--⋅-+=--，此时，()()()1f x f x x x =--=-.综上所述，()()()1,301,03x x x f x x x x ⎧--≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩；（2）作出函数()y f x =的图象如下图所示：由图象可知，函数()y f x =在定义域[]3,3-上既为奇函数，又为减函数，由()()2110f m f m -+-≥可得()()()22111f m f m f m -≥--=-，所以2211313313m m m m ⎧-≥-⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得2m =-或12m ≤≤，因此，关于m 的不等式()()2110f m f m -+-≥的解集为{}[]21,2- .【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式，同时也考查了利用函数的奇偶性与单调性解不等式，考查运算求解能力，属于中等题.20.受新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产厂为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n 年()n N*∈的材料费、维修费、人工工资等共为2552n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元．（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理．请问：使用哪种方案能在更短的时间内达到相应的最值目标？并比较分别使用两种方案处理设备后的总利润大小．【答案】（1）25()50902f n n n =-+-，从第3年开始盈利.（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意写出()f n 关于n 的函数式，由()0f n >求得n 的范围，再由n ∈+N ，即可得答案；（2）利用配方法求最值得到方案一的总盈利额；利用基本不等式求最值求出()f n n的最大值，得到方案二的总利润，可得两种方案获利都是170万元，再结合获得最大利润的年限得结论．【小问1详解】由题意得：2255()5590(5)509022f n n n n n n =--+=-+-．由()0f n >，得25509002n n -+->，即220360n n -+<，解得218n <<．由于n ∈+N ，故设备企业从第3年开始盈利；【小问2详解】方案一：总盈利额25()(10)1602f n n =--+，当10n =时()160max f n =．故方案一总利润16010170+=，此时10n =；方案二：每年平均利润()536550()502022f n n n n =-+-⨯= ，当且仅当6n =时等号成立．故方案二总利润62050170⨯+=，此时6n =．比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适．21.已知关于x 不等式2220()x mx m m R -++≤∈的解集为M ．（1）当M 为空集时，求225()1m m f m m ++=+的最小值；（2）当M 不为空集，且[1,4]M ⊆时，求实数m 的取值范围．【答案】（1）4（2）182,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据M 为空集，利用判别式法求得m 的范围，然后由2254()111m m f m m m m ++==++++，利用基本不等式求解；（2）根据M 不为空集，由[1,4]M ⊆，利用根的分布求解.【小问1详解】解：因为M 为空集，所以()24420m m ∆=-+<，即220m m --<，解得12m -<<，所以实数m 的取值范围是()1,2-，则2254()1411m m f m m m m ++==++≥++，当且仅当411m m +=+，即1m =时，等号成立，所以225()1m m f m m ++=+的最小值是4；【小问2详解】当M 不为空集，由[1,4]M ⊆，得：()()0104014f f m ∆≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≤≤⎩，即()2442012201682014m m m m m m m ⎧-+≥⎪-++≥⎪⎨-++≥⎪⎪≤≤⎩，解得1827m ≤≤，所以实数m 的取值范围是182,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦．22.已知函数()24ax b f x x +=+为定义在[]22-,的奇函数，且满足1(1)5f =．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并利用定义加以证明；（3）若对[]2,2x ∀∈-，都有()2124f x m am ≤-+对[]1,1a ∀∈-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()24xf x x =+（2）增函数，证明见解析（3）(]{}[),202,-∞-+∞U U .【解析】【分析】（1）根据()00f =，()115f =求出1a =，0b =，再检验是否满足奇函数的定义即得解；（2）函数()f x 在[]22-,为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明；（3）分析得到220m am -≥对任意的[]1,1a ∈-恒成立，解不等式组222020m m m m ⎧+≥⎨-≥⎩即得解.【小问1详解】因为函数2()4ax b f x x +=+是定义在[]22-,上的奇函数，可得()00f =，即04b =，解得：0b =，又因为()114551a a f ===+，所以1a =，综上所述1a =，0b =，所以()24x f x x =+，因为定义域[]22-,关于原点对称，所以()()2244x x f x f x x x --==-=-++，所以()24x f x x =+为定义在[2,2]-的奇函数，所以()24x f x x =+.【小问2详解】函数()f x 在[]22-,为单调递增函数，证明如下：任取1222x x -≤<≤，则()()()()22121212121222221212444444x x x x x x x x f x f x x x x x +---=-=++++()()()()()()()()122121211222221212444444x x x x x x x x x x x x x x -----==++++因为1222x x -≤<≤，所以210x x ->，1240x x -<，可得()()()()211222124044x x x x x x --<++，即()()12f x f x <，故()24x f x x =+在[]22-,上为增函数.【小问3详解】由（2）可知，函数()y f x =在区间[]22-,上单调递增，则()()max 124f x f ==，由于()2124f x m am ≤-+对[]2,2x ∀∈-恒成立，则211244m am -+≥，即220m am -≥对任意的[]1,1a ∈-恒成立，构造函数()22g a am m =-+，其中[]1,1a ∈-，所以()()1010g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩，即222020m m m m ⎧+≥⎨-≥⎩，解得：2m ≤-或0m =或2m ≥，所以实数m 的取值范围是(]{}[),202,-∞-+∞U U .。

石家庄二中西校区2021届高三上学期期中模拟数学试题（考试时间：120分钟，满分：150 分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知角α的终边过点P（﹣4，3），则sinα+cosα的值是（）A．B．C．D．2．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{1，2，4} C．{2，4} D．{2，3，4} 3．设复数z满足|z﹣3+4i|＝2，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x﹣3）2+（y+4）2＝2 B．（x+3）2+（y+4）2＝2C．（x+3）2+（y﹣4）2＝4 D．（x﹣3）2+（y+4）2＝44．设26，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a5．已知正方形ABCD的边长为3，（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣66．函数y的图象大致是（）A．B．C．D．7．已知O，A，B，C为平面α内的四点，其中A，B，C三点共线，点O在直线AB外，且满足．其中x＞0，y＞0，则x+8y的最小值为（）A．21 B．25 C．27 D．348．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体，如图，将底面半径都为b．高都为a（a＞b）的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明S圆＝S圆环总成立．据此，椭圆的短半轴长为2，长半轴长为4的椭球的体积是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知双曲线，则不因θ改变而变化的是（）A．焦距B．离心率C．顶点坐标D．渐近线方程10．设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（）A．渐近线方程为4x±3y＝0 B．渐近线方程为3x±4y＝0C．离心率为D．离心率为11．已知函数f（x）＝（a sin x+cos x）cos x的图象的一条对称轴为x，则下列结论中正确的是（）A．f（x）是最小正周期为π的奇函数B．（，0）是f（x）图象的一个对称中心C．f（x）在[，]上单调递增D．先将函数y＝2sin2x图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数f（x）的图象12．如图，点M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的侧面ADD1A1上的一个动点，则下列结论正确的是（）A．点M存在无数个位置满足CM⊥AD1B．若正方体的棱长为1，三棱锥B﹣C1MD的体积最大值为C．在线段AD1上存在点M，使异面直线B1M与CD所成的角是30°D．点M存在无数个位置满足到直线AD和直线C1D1的距离相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为．14．已知点A，B，C，D均在球O的球面上，AB＝BC＝1，AC，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值是，则球O的表面积为．15．动圆E与圆M（x﹣1）+y2外切，并与直线x相切，则动圆圆心E的轨迹方程为，过点P（1，2）作倾斜角互补的两条直线，分别与圆心E的轨迹相交于A，B 两点，则直线AB的斜，率为．16．设f（x）是定义在R上且周期为6的周期函数，若函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，函数y＝f（x）在区间[﹣n，n]（其中n∈N*）上的零点的个数的最小值为a n，则a n＝．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，___，求△ABC 的周长L和面积S．在①cos A，cos C，②c sin C＝sin A+b sin B，B＝60°，③c＝2，cos A这三个条件中，任选一个补充在上面问题中的横线处，并加以解答．18．（12分）已知{a n}为等差数列，a3+a6＝25，a8＝23，{b n}为等比数列，且a1＝2b1，b2b5＝a11．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝60°，直角梯形ADFE所在的平面垂直于平面ABCD，且∠EAD＝90°，AE＝AD＝2DF＝2CD＝2．（1）证明：平面ECD⊥平面ACE；（2）点M在线段EF上，试确定点M的位置，使平面MCD与平面EAB所成的二面角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C：经过点（，1），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y＝kx+t（t≠0）与椭圆C相交于A，B两点，若以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形OAPB的面积为定值．21．（12分）已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.22．（12分）已知函数f（x）＝lnx x．（1）讨论函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的单调性；（2）当t≠1时，证明曲线y＝g（x）分别在点（1，g（1））和点（t，g（t））处的切线为不同的直线；（3）已知过点（m，n）能作曲线y＝g（x）的三条切线，求m，n所满足的条件．答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：由题意可得x＝﹣4、y＝3、r＝|OP|＝5，∴sinα，cosα，∴sinα+cosα，故选：B．2．【解答】解：合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}＝{1，2，4，8}，则A∩B＝{1，2，4}，故选：B．3．【解答】解：∵z在复平面内对应的点为（x，y），∴z＝x+yi，|z﹣3+4i|＝2，∴（x﹣3）2+（y+4）2＝4，故选：D．4．【解答】解：∵0＜0.30.1＜0.30＝1，∴0＜a＜1，∵b＝log log35，而log33＜log35＜log39，∴1＜b＜2，∵c＝log526＞log525＝2，∴c＞2，∴c＞b＞a，故选：D．5．【解答】解：如图；因为正方形ABCD的边长为3，2，则•（）•（）＝（）•（）•3232＝3．故选：A．6．【解答】解：当x＞0时，y＝xlnx，y′＝1+lnx，即0＜x时，函数y单调递减，当x，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D．【解答】解：根据题意，A，B，C三点共线，点O在直线AB外，．∴，7．∴125（当且仅当x＝5，y时等式成立）．故选：B．8．【解答】解：∵S圆＝S环总成立，∴半椭球的体积为：，∴椭球的体积V，∵椭球体短轴长为2，长半轴长为4，∴该椭球体的体积V．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．解析：双曲线，可化为．a2＝4sin2θ，b2＝2sin2θ．即可逐一判定．双曲线，可化为．∴a2＝4sin2θ，b2＝2sin2θ．c2＝6sin2θ，，渐近线y＝±，故选：BD．10．【解答】解：设|PF2|＝|F1F2|＝2c，由|PF1|﹣|PF2|＝2a，可得|PF1|＝2c+2a，由F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，设PF1的中点M，由等腰三角形PF1F2的性质可得，F2M⊥PF1，即有（2c+2a﹣2b）2+（2a）2＝（2c）2，化为c+a﹣b＝b，即c+a＝2b，可得c2＝a2+b2＝（2b﹣a）2，即有3b＝4a，则双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0；离心率e．故选：AC．11．【解答】解：函数f（x）＝（a sin x+cos x）cos x＝a sin x cos x+cos2x a sin2x cos2x，又f（x）图象的一条对称轴为x，所以f（0）＝f（），即a（），解得a，所以f（x）sin2x cos2x＝sin（2x）；所以f（x）的最小正周期为π，但不是奇函数，A错误；f（）＝sin（）＝f（﹣π）＝0，所以（，0）是f（x）图象的一个对称中心，B正确；x∈[，]时，2x∈[，]，所以f（x）在[，]上不是单调函数，C错误；将函数y＝2sin2x图象上各点的纵坐标缩短为原来的，得y＝sin2x的图象；再把所得函数图象向左平移个单位长度，得y＝sin2（x）＝sin（2x）的图象，即函数f（x）的图象，所以D正确．故选：BD．12．【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥侧面ADD1A1，则CD⊥AD1，又AD1⊥A1D，A1D∩DC＝D，∴AD1⊥平面A1DC，可知当M在线段A1D上时，有CM⊥AD1，故A正确；由正方体的性质可知，A1C⊥平面BC1D，可知若正方体的棱长为1，则M与A1重合时，三棱锥B﹣C1MD的体积取最大值，为，故B正确；异面直线B1M与CD所成角，即为∠A1B1M，当M在线段AD1上运动时，M取AD1的中点时，∠A1B1M最小，其正切值为，故C错误；平面ADD1A1上的点M到直线C1D1的距离等于M到D1的距离，则满足到直线AD和直线C1D1的距离相等即满足到直线AD和点D1的距离相等．可知M的轨迹为平面ADD1A1上抛物线的部分，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数n10，取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有：水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共5种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为p．故答案为：．14．【解答】解：∵AB＝BC＝1，AC，∴AB⊥BC，△ABC的外接圆圆心为AC的中点M，过AC的中点M作平面ABC的垂线MN，要想体积最大，需高最大，则球心O在直线MN上且D也在MN上，设OM＝h，球的半径为R，则棱锥的高的最大值为R+h．∵V D﹣ABC1×1×（R+h），∴R+h＝2，由勾股定理得：OA2＝OM2+MA2，即R2＝（2﹣R）2，解得R．∴球O的表面积为S＝4π×R2．故答案为：．15．【解答】解：如图，由题意可知，|NE|＝|ME|，则|NE||ME|，∴E点到直线x＝﹣1的距离等于到点M（1，0）的距离，∴动圆圆心E的轨迹是以M为焦点，以x＝﹣1为准线的抛物线，则其轨迹方程为y2＝4x；点P坐标为（1，2），设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知设PA：m（y﹣2）＝x﹣1，即：x＝my﹣2m+1，代入抛物线的方程得：y2＝4my﹣8m+4，即y2﹣4my+8m﹣4＝0，则y1+2＝4m，故y1＝4m﹣2，设PB：﹣m（y﹣2）＝x﹣1，即x＝﹣my+2m+1，代入抛物线的方程得：y2＝﹣4my+8m+4，即y2+4my﹣8m﹣4＝0，则：y2+2＝﹣4m，故y2＝﹣4m﹣2，x1﹣x2＝my1﹣2m+1﹣（﹣my2+2m+1）＝m（y1+y2）﹣4m＝﹣8m，直线AB的斜率k AB═1，∴直线AB的斜率为﹣1．故答案为：y2＝4x；﹣1．16．【解答】解：可将y＝f（x﹣1）的图象向左平移1个单位，得到y＝f（x）的图象，因为函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，即有y＝f（x）的图象关于原点对称，即y＝f（x）为奇函数，可得f（0）＝0，又f（x）为周期为6的周期函数，可得f（x+6）＝f（x），可令x＝﹣3，则f（﹣3+6）＝f（﹣3），即f（3）＝f（﹣3）＝﹣f（3），可得f（﹣3）＝f（3）＝0，当n＝1，2时，f（x）在[﹣n，n]上，有f（0）＝0；当n＝3，4，5时，f（x）在[﹣n，n]上，有f（0）＝0，f（3）＝f（﹣3）＝0；当n＝6，7，8时，f（x）在[﹣n，n]上，有f（0）＝0，f（3）＝f（﹣3）＝0，f（6）＝f（﹣6）＝0；当n＝9，10，11时，f（x）在[﹣n，n]上，有f（0）＝0，f（3）＝f（﹣3）＝0，f（6）＝f（﹣6）＝0，f（9）＝f（﹣9）＝0，…，可得a1＝a2＝1，a3＝a4＝a5＝3，a6＝a7＝a8＝5，…，a3k＝a3k+1＝a3k+2＝2k+1，k∈N，即a n＝2k+1，（3k≤n＜3（k+1），k∈N，n∈N*）．故答案为：2k+1，（3k≤n＜3（k+1），k∈N，n∈N*）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．17．【解答】解：选择②：c sin C＝sin A+b sin B，B＝60°，a＝4．由正弦定理可得：c2＝a+b2，∴c2＝4+b2．由余弦定理可得：b2＝16+c2﹣8c cos60°，化为：b2＝16+c2﹣4c．联立解得：c＝5，b．∴△ABC的周长L＝4+59．面积S ac•sin B4×5×sin60°＝5．18．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得，解得，则a n＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，n∈N*；设等比数列{b n}的公比为q，由a1＝2b1，b2b5＝a11．可得b1＝1，b12q5＝32，解得q＝2，则b n＝2n﹣1，n∈N*；（2）由（1）可得c n＝a n b n＝（3n﹣1）•2n﹣1，则T n＝2•20+5•21+8•22+…+（3n﹣1）•2n﹣1，2T n＝2•2+5•22+8•23+…+（3n﹣1）•2n，两式相减可得﹣T n＝2+3（21+22+…+2n﹣1）﹣（3n﹣1）•2n＝2+3•（3n﹣1）•2n，化简可得T n＝4+（3n﹣4）•2n．19．【解答】解：（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ADFE，平面ABCD∩平面ADFE＝AD，EA⊥AD，EA⊂平面ADFE，∴EA⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，∴EA⊥CD，在△ADC中，CD＝1，AD＝2，∠ADC＝60°，由余弦定理得AC，∴AC2+CD2＝AD2，∴CD⊥AC，∵CD⊥EA，AE∩AC＝A，∴CD⊥平面ECD，∵CD⊂平面ECD，∴平面ECD⊥平面ACE．（2）解：以C为坐标原点，CA为x轴，CD为y轴，过C作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，C（0，0，0），A（，0，0），B（，，0），D（0，1，0），E（，0，2），F（0，1，1），（，，1），（0，0，2），（0，1，0），（，﹣1，1），（0，1，1），设（），（0≤λ≤1），则（），设平面ABE的一个法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，，0），设平面MCD的一个法向量（a，b，c），则，令a＝1+λ，得（1+λ，0，），∵平面MCD与平面EAB所成的二面角的余弦值为，∴|cos|，整理得8λ2﹣2λ﹣1＝0，解得，或（舍），∴点M为线段EF中点时，平面MCD与平面EAB所成的二面角的余弦值为．20．【解答】（1）解：由题意，，解得a2＝4，b2＝2．∴椭圆方程为；（2）证明：联立，得（2k2+1）x2+4ktx+2（t2﹣2）＝0．∴△＝（4kt）2﹣8（2k2+1）（t2﹣2）＝8[2（2k2+1）﹣t2]＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．∴．∵四边形OAPB 是平行四边形， ∴，则P （）．又∵点P 在椭圆上，∴，即．∵|AB |．又点O 到直线l 的距离d ．∴平行四边形OAPB 的面积S ．即平行四边形OAPB 的面积为定值．21．【解析】（1）设圆M 的方程为：()()()2220x a y b r r -+-=>，根据题意得222222(1)(1)1(1)(1)1202a b r a a b r b a b r ⎧-+--==⎧⎪⎪--+-=⇒=⎨⎨⎪⎪+-==⎩⎩，故所求圆M 的方程为：()()22114x y -+-= （2）如图四边形PAMB 的面积为PAM PBM S S S ∆∆=+ 即()12S AM PA BM PB =+ 又2,AM BM PA PB ===，所以2S PA =，而PA =，即S =因此要求S 的最小值，只需求PM 的最小值即可，PM 的最小值即为点M 到直线3480x y ++=的距离所以min34835PM++==，四边形PAMB 面积的最小值为=22．【解答】（1）解：由题知h （x ）＝lnx，x ＞0，∵h ′（x ），∴当0＜x ＜1时，h ′（x ）＞0；当x ＞1时，h ′（x ）＜0．所以h （x ）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减．（2）证明：因为g ′（x ）＝3x 2﹣1，所以g ′（1）＝2，g ′（t ）＝3t 2﹣1，又因为g （1）＝0，g （t ）＝t 3﹣t ，所以曲线y ＝g （x ）在点（1，g （1））处的切线方程为y ＝2x ﹣2；曲线y ＝g （x ）在点（t ，g （t ））处的切线方程为y ＝（3t 2﹣1）x ﹣2t 3．∵t ≠1，∴﹣2t 3≠﹣2，所以两条切线不可能相同．（3）解：设直线l过点（m，n）与曲线y＝g（x）在点（x0，x x0）处相切．设直线l：y﹣n＝k（x﹣m），则，消去k，得2x3mx m+n ＝0．因为过点（m，n）能作曲线y＝g（x）的三条切线，所以关于x0的方程2x3mxm+n＝0有三个不等实根．设Φ（x）＝2x3﹣3mx2+m+n，则Φ（x）有三个零点．又Φ′（x）＝6x（x﹣m），①当m＝0时，Φ′（x）＝6x2≥0，所以Φ（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，Φ（x）至多有一个零点，故m＝0不符合题意；②当m＜0时，易得：Φ（x）在（﹣∞，m）上单调递增，在（m，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以Φ（x）的极大值为Φ（m）＝﹣m3+m+n，极小值为Φ（0）＝m+n．又Φ（x）有三个零点，所以Φ（m）＞0且Φ（0）＜0，即，所以m3﹣m ＜n＜﹣m；③当m＞0时，易得：Φ（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增，所以Φ（x）的极小值为Φ（m）＝﹣m3+m+n，极大值为Φ（0）＝m+n．又Φ（x）有三个零点，所以Φ（m）＜0且Φ（0）＞0，即，所以m3﹣m＞n＞﹣m．综合①②③，当m＜0时，m3﹣m＜n＜﹣m；当m＞0时，m3﹣m＞n＞﹣m．。

河北省石家庄市第二中学2021届高三数学一模教学质量检测试题 理（含解析）一、选择题（共12小题）.1.已知集合1|244xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，1|lg 10B y y x x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭,，则AB =（ ）A. []22-,B. (1,)+∞C. (]1,2-D.(](1)2-∞-⋃+∞,,【答案】C 【解析】 【分析】 先解得不等式1244x ≤≤及110x >时函数lg y x =的值域,再根据交集的定义求解即可. 【详解】由题,不等式1244x ≤≤,解得22x -≤≤,即{}|22A x x =-≤≤； 因为函数lg y x =单调递增,且110x >,所以1y >-,即{}|1B y y =>-, 则(]1,2A B ⋂=-, 故选:C【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解指数不等式,考查对数函数的值域. 2.已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则1zi =+（ ） A. 3322i -+ B. 3122i -+ C. 1322i -+ D.1322i + 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，可以确定12z i =-+，再由复数代数形式的除法运算化简1zi+，即可得答案. 【详解】由题意知复数12z i =-+，则12(12)(1)1311222z i i i i i i -+-+⋅-===+++， 故选：D.【点睛】本小题考查复数的几何意义，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想.3.若,a b 是非零向量,则“a b =”是“a b a b +=-”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】由条件知a b =，不一定有a b a b +=-，由向量的加法法则得到，两个模长相等的向量相加得到的和与差向量是作为四边形的对角线的，而对角线不一定相等；反之a b a b +=-，两边平方可得两个向量垂直，四边形对角线相等，但是不一定有边长相等，故也不能反推．故是既不充分也不必要条件. 故答案为D ．4.函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】因为1()cos 1x x e f x x e +=⋅-，先判断函数的奇偶性，结合当0x +→时，函数值的为正，即可求得答案. 【详解】11()cos()cos ()11x x x x e e f x x x f x e e --++-=⋅-=-⋅=---，∴()f x 为奇函数，排除C ，当0x +→时，()0f x >，排除B,D ， 故只有A 符合题意 故选：A.【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求解函数图象问题，解题关键是掌握判断函数奇偶性的方法和函数图象的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5.下边的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为（ ）A. 0，0B. 0，5C. 5，0D. 5，5【答案】B 【解析】 【分析】由茎叶图得各个数据，由平均数相等可得,x y 的关系5x y +=，从而可得结论【详解】两组数据和相等，则802757065807027570x y ⨯++++=+⨯+++，即5x y +=，则0x =，5y =．只有B 适合．故选：B ．【点睛】本题考查茎叶图，考查平均数，正确认识茎叶图是解题关键．6.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代乙种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得（ ）钱？ A.23B.13C.56D.16【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】设甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数分别为12345,,,,a a a a a ，公差为d ，则1234552a a a a a +=++=，即115225392a d a d ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14316a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，15243a a d ∴-=-=. 故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题. 7.将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[]0,a 上单调递减，那么实数a 的最大值为（ ）A.8π B.4π C.2π D. 34π【答案】B 【解析】 【分析】根据条件先求出()g x 的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可. 【详解】将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()cos 2cos 242g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设22x πθ=+， 则当0x a <≤时，022x a <≤，22222x a πππ<+≤+，即222a ππθ<≤+， 要使()g x 在区间[]0,a 上单调递减， 则22a ππ+≤得22a π≤，得4a π≤，即实数a 的最大值为4π， 故选：B .【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数单调性求参数，属于中档题.8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，O 为坐标原点，1F 、2F 为其左、右焦点，点G 在C的渐近线上，2F G OG ⊥1|||OG GF =，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. y x = B. y x = C. y x =±D.y =【答案】D 【解析】 【分析】根据2F G OG ⊥，先确定出2,GF GO 的长度，然后利用双曲线定义将1|||OG GF =转化为,,a b c 的关系式，化简后可得到ba的值，即可求渐近线方程.【详解】如图所示：因为2F G OG ⊥，所以22222,1bc a GF b OG c b a b a===-=+，又因为16OG GF =，所以16OG GF =，所以2216OG GF F F =+， 所以222216OG GF F F =+，所以()222216422cos 180a b c b c GF F =++⨯⨯︒-∠，所以2226422b a b c b c c ⎛⎫=++⨯⨯- ⎪⎝⎭，所以222,2b b a a ==， 所以渐近线方程为2y x =±. 故选：D.【点睛】本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.9.如图所示，正四面体ABCD 中,E 是棱AD 的中点,P 是棱AC 上一动点，BP PE +的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是（ ）A. 12πB. 32πC. 8πD. 24π【答案】A 【解析】 【分析】将侧面ABC 和ACD 沿AC 边展开成平面图形为菱形ABCD ,可得到BE 的长即为BP PE +的最小值,设DE x =,在Rt BCE 中,利用勾股定理可得2x =,则棱长为22,进而可求得正四面体的外接球的表面积【详解】将侧面ABC 和ACD 沿AC 边展开成平面图形,如图所示,菱形ABCD ,在菱形ABCD 中,连接BE ,交AC 于点P ,则BE 的长即为BP PE +的最小值,即14BE =因为正四面体ABCD ,所以AC AB =,所以120BCD ∠=︒, 因为E 是棱AD 的中点,所以30DCE ∠=︒， 所以90BCE BCD DCE ∠=∠-∠=︒, 设DE x =,则2AB BC CD AD x ====, 所以3CE x =,则22714BE BC CE x =+,所以2x =,则正四面体ABCD 的棱长为22所以正四面体的外接球半径为6234⨯=所以该正四面体外接球的表面积为24312S ππ==,故选：A【点睛】本题考查线段和最短问题,考查外接球问题,考查运算能力10.已知点G 在ABC ∆内，且满足2340GA GB GC ++=，现在ABC ∆内随机取一点，此点取自,,GAB GAC GBC ∆∆∆的概率分别记为123,,P P P ，则（ ） A. 123P P P ==B. 321P P P >>C. 123P P P >>D.213P P P >>【答案】C 【解析】【分析】分别延长GA 到GA '，GB 到GB '，GC 到GC '，使得2GA GA '=，3GB GB '=，4GC GC '=，则有0GA GB GC '''++=，得到点G 为A B C '''∆的重心，所以GA B GA C GB C S S S ''''''∆∆∆==，进而求得16GAB GA B S S ''∆∆=，18GAC GAC S S '∆∆=，112GBC GB C S S '∆∆=，得出面积之间的关系，即可求解．【详解】由题意，分别延长GA 到GA '，GB 到GB '，GC 到GC '， 使得2GA GA '=，3GB GB '=，4GC GC '=，则有0GA GB GC '''++=， 所以点G 为A B C '''∆的重心，所以GA B GA C GB C S S S ''''''∆∆∆==，又16GAB GA B S S ''∆∆=，18GAC GAC S S '∆∆=，112GBC GB C S S '∆∆=， 从而得到::GAB GAC GBC S S S ∆∆∆=111::4:3:26812=， 则123:P :4:3:2P P =，即123P P>>P .故选C.【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，以及几何概型思想的应用，其中解答中根据响亮的运算求得点G 的位置，得出面积之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多⋅达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆.该油画规格为：纵77cm ，横53cm .油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面237cm (如图所示).有一身高为175cm 的游客从正面观赏它(该游客头顶T 到眼睛C 的距离为15cm )，设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ.为使观赏视角θ最大，x 应为（ ）A. 77B. 80C. 100D. 2【答案】D 【解析】 【分析】设ACD α，BCD β，则θαβ=-，利用两角差的正切公式用x 表示出θ，再根据对勾函数的单调性求解．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，设ACD α，BCD β，则θαβ=-，则2371751577BD（cm ），7777154AD（cm ）， ∴154tan ADCD xα，77tan BDCDxβ， ∴tan θ=tan αβtan tan 1tan tan αβαβ15477154771x xx x7711858xx， ∴当且仅当11858x x即772x 时，tan θ有最大值，此时θ也最大，故选：D ．【点睛】本题主要考查两角差的正切公式的应用，考查对勾函数的单调性与最值，属于中档题．12.已知点P 是曲线sin ln y x x 上任意一点，记直线OP （O 为坐标原点）的斜率为k ，给出下列四个命题：①存在唯一点P 使得1k =-； ②对于任意点P 都有k 0<； ③对于任意点P 都有1k <； ④存在点P 使得1k，则所有正确的命题的序号为（ ） A. ①② B. ③C. ①④D. ①③【答案】D 【解析】【分析】结合正弦函数的值域和对数函数ln y x =和直线1y x =-的关系，即可判断③正确，④错误.当ππ2x ≤<时，sin ln 0y x x =+>，即可判断②错误；对于①，存在唯一点P 使得1k =-，即sin ln 1x xx存在唯一解，令()sin ln g x x x x =++，则()0g x =存在唯一解，运用导数判断单调性结合零点存在定理，可判断①正确，由排除法即可得到结论. 【详解】任意0x >，一方面sin ln ln 1y x x x =+≤+，另一方面由ln y x =和直线1y x =-的图象易证ln 1x x ≤-成立， 即ln 1x x +≤，∴sin ln y x x x =+≤，∵sin ln ln 1y x x x =+≤+与ln 1x x +≤中两个等号成立条件不一样， ∴sin ln y x x x =+<恒成立， ∴1k <，则③正确，④错误. 当ππ2x ≤<时，sin ln 0y x x =+>， ∴0k >，则②错误；对于①，存在唯一点P 使得1k =-，也就是sin ln 1x xx存在唯一解，令()sin ln g x x x x =++，则()0g x =存在唯一解， ∵()()1sin ln cos 10g x x x x x x''=++=++>恒成立， ∴函数()sin ln g x x x x =++，在()0,∞+上单调递增， 又()10g >，()0.10g <，∴sin ln 0x x x 存在唯一解，故①正确， 故选：D【点睛】本题主要考查直线的斜率范围，同时考查了利用导数解决方程的根，考查了学生分析问题和判断问题的能力，属于难题. 二.填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.若实数x ，y 满足约束条件2020240x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则x y +的最小值为__________【答案】6- 【解析】 【分析】首先根据题意作出可行域，根据x y +的几何意义，从而求出最小值. 【详解】由题意作平面区域如下，由2020x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得，()4,2A --，令z x y =+则z x y =+经过可行域的A 时，目标函数取得最小值. 故z x y =+的最小值是6-. 故答案为：6-【点睛】本题主要考查线性规划问题，根据题意画出可行域为解题的关键，属于简单题. 14.已知121101πx dxm --=⎰，则mx x ⎫⎪⎭的展开式中2x 的系数为__________（用数字表示）【答案】10- 【解析】【分析】首先根据定积分的几何意义求解m ，再根据5)x-通项公式求解即可.【详解】因为1-⎰表示以()0,0为圆心，1为半径的圆的上半圆的面积，所以1π2-=⎰，11105πm -==⎰； ∴5mx x⎫⎫-=⎪⎪⎭⎭其展开式的通项公式为： 3552155()(1)r r r r r rr T C x C x --+=⋅⋅-=-⋅⋅；令35232r r -=⇒=. ∴)m x-的展开式中2x 的系数为：335(1)10C -⋅=-. 故答案为：10-【点睛】本题主要考查二项式定理，同时考查了定积分的几何意义，属于中档题.15.已知点P 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，点P 在第一象限且点P 关于原点O 的对称点为Q ，点P 在x 轴上的投影为E ，直线QE 与椭圆C 的另一个交点为G ，若PQG 为直角三角形，则椭圆C 的离心率为__________.【解析】 分析】设P ，G 的坐标，由题意可得Q ，E 的坐标，由题意可得22QG PGb k k a⋅=-，再由PQG 为直角三角形，所以1OP PG k k ⋅=-，可得a ，b 的关系，再由a ，b ，c 的关系求出离心率.【详解】设()P m n ,，(),G x y ，则由题意可得：(),Q m n --，(),0E m ，2222QG PGy n y n y n k k x m x m x m+--⋅=⋅=+--， 由2222222211m n a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差可得：222222m x n y a b --=-， 所以222222QG PGy n b k k x m a-⋅==--. 2GQ EQn k k m ==，所以222222PG b m b m k a n na =-⋅=-， 所以OP n k m=. 因为PQG 为直角三角形，所以1OP PG k k ⋅=-，所以，2221n mb m na -⋅=-，即：222a b =. 22222222122c a b b e a a b -====，离心率22e =. 故答案为：22. 【点睛】本题主要考查椭圆中离心率的求法，根据题意找到a ，b ，c 的关系式为解题的关键，属于中档题.16.若函数()f x 的导函数()cos()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ'=+>><，()f x '的部分图象如图所示，()()12g x f x π=-，当1x ，2[,]123x ππ∈-时，则12()()g x g x -的最大值为_________.【答案】32【解析】 【分析】由图象可得：A ＝2，1254126πππω⨯=-，解得ω＝2．可得f ′（x ）＝2cos （2512π⨯+φ）＝﹣2，|φ|2π＜），把x 512π=，5'12f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2代入解得φ．可得f ′（x ），进而得出f （x ），g （x ）＝f （x 12π-），利用正弦函数的单调性即可得出结论．【详解】由图象可得：A ＝2，1254126πππω⨯=-，解得ω＝2． ∴f ′（x ）＝2cos （2512π⨯+φ）＝﹣2，|φ|2π＜），解得φ6π=． ∴f ′（x ）＝2cos （2x 6π+）． ∴f （x ）＝sin （2x 6π+）+c ．（c 为常数）． g （x ）＝f （x 12π-）＝sin2x +c ．x ∈[12π-，3π]时，2x ∈263ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．sin2x ∈112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 当x 1，x 2∈[12π-，3π]时，则|g （x 1）﹣g （x 2）|＝|sin2x 1﹣sin2x 2|≤1﹣（12-）32=．因此当x 1，x 2∈[12π-，3π]时，则|g （x 1）﹣g （x 2）|的最大值为32．故答案为32． 【点睛】本题考查了导数的运算法则、三角函数的图象与性质、等价转化方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（共70分，第22、23题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.） 17.如图，四棱锥P ABCD -中侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB BC ⊥，//BC AD ，12AB BC AD ==，E 是PD 的中点.（1）证明：直线//CE 平面PAB ； （2）求二面角B PC D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）15- 【解析】 【分析】（1）证明四边形EFBC 是平行四边形，可得CE BE ∥，进而得证.（2）首先取AB 的中点O ，连接PO ，根据题意易证PO ⊥底面ABCD ， 再建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得余弦值. 【详解】（1）取PA 的中点F ，连接FE ，FB ，∵E 是PD 的中点，∴1//2FE AD ， 又1//2BC AD ，∴//FE BC ，∴四边形EFBC 是平行四边形， ∴//CE BF ，又CE 不在平面PAB 内，BF 在平面PAB 内， ∴//CE 平面PAB .（2）取AB 的中点O ，连接PO . 因为PA PB =，所以PO AB ⊥又因为平面PAB ⊥底面ABCD AB =，所以PO ⊥底面ABCD .分别以AB 、PO 所在的直线为x 轴和z 轴，以底面内AB 的中垂线为y 轴 建立空间直角坐标系，令122AB BC AD ===，则4=AD ， 因为PAB △是等边三角形，则2PA PB ==，O 为AB 的中点，3PO =， 则(3P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()1,4,0D - ∴(1,2,3PC =-，()0,2,0BC =，()2,2,0CD =-，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，平面PDC 的法向量为(),,n a b c =，则2300200m PC x y z m BC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令3x =()3,0,1m =，2302200n PC a b c n CD a b ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令1a =，故可取(1,1,3n =，∴23cos ,=525m n m n m n⋅<>==，经检验，二面角B PC D --的余弦值的大小为【点睛】本题第一问考查线面平行的证明，第二问考查向量法求二面角的余弦值，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.18.甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知_____， （1）判断1S ，2S ，3S 的关系； （2）若133a a -=，设12n n n b a =，记{}n b 的前n 项和为n T ，证明：43n T <.甲同学记得缺少的条件是首项a 1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是1S ，3S ，2S 成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题. 【答案】（1）1232S S S +=（2）见解析 【解析】 【分析】（1）可补充公比q 的值，由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，计算可得所求结论；（2）由等比数列的通项公式求得2132nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，不等式的性质，即可得证.【详解】（1）由题意可得11S a =，2121111122S a a a a a =+=-=，31231111113244S a a a a a a a =++=-+=，可得1232S S S +=，即1S ，3S ，2S 成等差数列；（2）证明：由133a a -=，可得11134a a -=，解得14a =，112141212232n nn n n n b a n -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则2111112332482n n T n ⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪⎝⎭， 11211111232348162n n T n +⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪⎝⎭， 上面两式相减可得112111111232481622n n n T n +⎛⎫=+++++-⋅ ⎪⎝⎭1111212213212n n n +⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=-⋅⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 化简可得142132n n n T ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由12112n n ++-<，可得43nT <. 【点睛】本小题主要考查证明数列是等差数列，考查错位相减求和法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.19.椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）的离心率是2，点(0,1)P 在短轴CD 上，且1PC PD ⋅=-．（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于,A B 两点，是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）22142x y +=；（2）见解析. 【解析】【详解】（1）由已知，点C ，D 的坐标分别为（0，－b ），（0，b ） 又点P 的坐标为（0，1），且PC PD ⋅＝－1于是2222112{2b c a a b c -=-=-=，解得a ＝2，b ＝2 所以椭圆E 方程为22142x y +=.（2）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1 A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）联立221{421x y y kx +==+，得（2k 2＋1）x 2＋4kx －2＝0 其判别式△＝（4k ）2＋8（2k 2＋1）＞0 所以12122242,2121k x x x x k k +=-=-++ 从而OA OB PA PB λ⋅+⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋（y 1－1）（y 2－1）] ＝（1＋λ）（1＋k 2）x 1x 2＋k （x 1＋x 2）＋1＝22(24)(21)21k k λλ--+--+ ＝－所以，当λ＝1时，－＝－3，此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅＝－3为定值. 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即直线CD此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅＝－2－1＝－3 故存在常数λ＝1，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值－3.考点：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.20.调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析、鉴定，调配、研发，周而复始、反复对比.对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设4n =，分别以1a ，2a ，3a ，4a 表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种调味品在第二次排序时的序号，并令12341234X a a a a =-+-+-+-，则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述.（如第二次排序时的序号为1，3，2，4，则2X =）. （1）写出X 的所有可能值构成的集合；（2）假设1a ，2a ，34,a a 的排列等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X 的数学期望； （3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有2X ≤.（i ）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； （ⅱ）请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由. 【答案】（1）{}0,2,4,6,8（2）5（3）（ⅰ）1216（ⅱ）我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测. 【解析】 【分析】（1）在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，从而2a ，4a 中的奇数个数等于1a ，3a 中的偶数个数，进而1313a a -+-与2424a a -+-的奇偶性相同，由此能举出使得X 所有可能值构成的集合.（2）可用列表法列出1，2，3，4的一共24种排列，求得分布列进而求出X 的数学期望. （3）（ⅰ）首先()()()41202246P X P X P X ≤==+===，将三轮测试都有2X ≤的概率记做p ，由独立性假设能求出结果. （ⅱ）由于152161000p =<是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有2X ≤的结果的可能性很小，从而我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.【详解】（1）X 的可能值集合为{}0,2,4,6,8， 在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以2a ，4a 中的奇数个数等于1a ，3a 中的偶数个数， 因此1313a a -+-与2424a a -+-的奇偶性相同，从而()()13241324X a a a a =-+-+-+-必为偶数，X 的值非负，且易知其值不大于8. 由此能举出使得X 的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子. （2）可用列表列出1，2，3，4的一共24种排列，如下表所示：计算每种排列下的X 值如上表所示，在等可能的假定下，得到137940246852424242424EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）（ⅰ）首先()()()41202246P X P X P X ≤==+===，将三轮测试都有2X ≤的概率记做p ，由上述结果和独立性假设，得3116216p ==. （ⅱ）由于152161000p =<是一个很小的概率， 这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有2X ≤的结果的可能性很小， 所以我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.【点睛】本小题主要考查随机变量分布列及其期望值的求法，考查相互独立事件概率计算，考查数据处理能力，属于中档题. 21.已知函数()ln f x x x =.（1）求曲线()y f x =在2x e -=处的切线方程；（2）关于x 的不等式()()1f x x λ≥-在()0,∞+上恒成立，求实数λ的取值范围； （3）若()()120f x a f x a -=-=，且12x x <，证明：()2221112x x e ae --<+.【答案】（1）2y x e -=--（2）1λ=（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先求导，求出切线的斜率，再写出切线方程即可.（2）等价()()()()1ln 10g x f x x x x x λλ=--=--≥，()0,x ∈+∞恒成立.对()g x 求导，求出单调区间和最小值，再根据最小值的单调性和最值即可得到λ的取值范围.（3）首先证明()2f x x e -≥--，再设直线2y x e -=--与y a =的交点为()1,x a '，则2211e e a x x --'=--≥--，则21x a e -'=--，且11x x '≤，直线1y x =-分别于y a =交于点()2,x a '，则2211a x x '=-≥-，21x a '=+，且22x x '≤，可得()()222121121x x x x a a e a e --''-≤-=+---=++. 即可证明()2221112x x e ae --<+.【详解】解：（1）()1ln f x x '=+， 所以()221ln 1k f ee--'==+=-，()222f e e --=-，切点为()22,2e e ---.故切线方程为()222y e x e --+=--，即2y x e -=--.（2）由题知：等价于：()()()()1ln 10g x f x x x x x λλ=--=--≥，()0,x ∈+∞恒成立.()ln 1g x x λ'=+-令()0g x '=，解得1x e λ-=. 当()10,x e λ-∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，当()1,x eλ-∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数.所以()()()()1111min 11g x g e ee e λλλλλλλ----==---=-.设()1h eλλλ-=-，()11h eλλ-'=-.令()0h λ'=，解得1λ=.当()0,1λ∈时，()0h λ'>，()λh 为增函数， 当()1,λ∈+∞时，()0h λ'<，()λh 为减函数，所以()max (1)0h h λ==，所以10e λλ--≤. 又因为1eλλ--≥恒成立，所以1λ=.（3）设()()()22ln k x f x x e x x x e--=---=++，0x >，则()2ln k x x '=+，当20x e -<<时，()0k x '<，()k x 单调递减， 当2x e ->时，()0k x '>，()k x 单调递增， 故当2x e -=时，函数()k x 取得最小值，()222220k e ee e ----++-==.因此()2f x x e -≥--.设直线2y x e -=--与y a =的交点为()1,x a '，则2211a x e x e --'=--≥--，∴21x a e -'=--，且11x x '≤，当且仅当22a e -=-时取等号.又由（2）可知()1f x x ≥-，设直线1y x =-分别于y a =交于点()2,x a '. 则2211a x x '=-≥-，∴21x a '=+，且22x x '≤，当且仅当0a =时取等号. 因此()()222121121x x x x a a e a e --''-≤-=+---=++. 因为等号成立的条件不能同时满足，∴22121x x a e --<++.∴()2221112x x e ae --<+.【点睛】本题第一问考查导数的切线问题，第二问考查利用导数解决恒成立问题，第三问考查利用导数证明不等式，同时考查了学生分析问题和计算的能力，属于难题.（二）选考题（共10分）请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线1C：11x t y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标()0,02πρθ≥≤<.【答案】（1）2cos +2sin ρθθ=（2）极坐标分别为()0,0，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）将曲线1C：11x t y t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩的参数消去可得：()()22112x y -+-=，即22220x y x y +--=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入即可得到极坐标方程.（2）曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，化为22sin ρρθ=，化为普通方程2220x y y +-=，联立解得直角坐标再求极坐标即可.【详解】（1）把曲线1C：11x t y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩的参数他消去可得：()()22112x y -+-=，即22220x y x y +--=.把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可得22cos 2sin 0ρρθρθ--=.即1C 的极坐标方程为：2cos +2sin ρθθ=.（2）曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，化为22sin ρρθ=， 化为普通方程：2220x y y +-=.联立222222020x y x y x y y ⎧+--=⎨+-=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩. ∴极坐标分别为()0,0，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题第一问考查圆的参数方程和极坐标方程，第二问考查点的极坐标，熟记公式为解题的关键，属于中档题.23.已知绝对值不等式：│x+1│+│x -1│>a 2－5a+4（1）当a=0时，求x 的范围；（2）若对于任意的实数x 以上不等式恒成立，求a 的范围【答案】（1）x ＞2或x ＜－2；（2）5522a <<. 【解析】试题分析：（1）将条件带入，零点分段去绝对值求解即可；（2）由│x+1│+│x -1│≥2，│x+1│+│x -1│>a 2－5a+4恒成立，即2>a 2－5a+4恒成立，进而求解即可. 试题解析：（1）、当a=0时，原不等式变为：│x+1│+│x -1│> 4， 解此不等式可得：x ＞2或x ＜－2, （2）由│x+1│+│x -1│≥2，所以│x+1│+│x -1│>a 2－5a+4恒成立，即2>a 2－5a+4恒成立所以5522a <<. 点睛：含绝对值不等式的解法由两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论的思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.。