函数的单调性自己总结

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下面就让小编给大家带来高一数学必修一函数知识点总结，希望大家喜欢! 高一数学必修一函数知识点总结篇1知识点总结本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等知识点。

函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。

所以理解了前面的几个知识点，函数的图象就迎刃而解了。

一、函数的单调性1、函数单调性的定义2、函数单调性的判断和证明：(1)定义法(2)复合函数分析法(3)导数证明法(4)图象法二、函数的奇偶性和周期性1、函数的奇偶性和周期性的定义2、函数的奇偶性的判定和证明方法3、函数的周期性的判定方法三、函数的图象1、函数图象的作法(1)描点法(2)图象变换法2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。

四、常见考法本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。

选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。

在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于拔高题。

多考查函数的单调性、最值和图象等。

五、误区提醒1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。

2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。

3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开。

4、判断函数的奇偶性，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。

5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。

高一数学必修一函数知识点总结篇2一、函数的定义域的常用求法：1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数y=tanx中x≠kπ+π/2;6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

高中数学中的函数单调性性质总结高中数学中，函数单调性是非常重要的概念之一。

在函数的研究中，单调性是指一种自变量变化时，函数值的增减性质。

在本文中，我们将对函数单调性的性质进行总结和探讨，希望能对同学们更好地掌握这一概念。

一、函数单调性及其分类函数单调性是指在定义域内，自变量变大时，函数值单调递增或者单调递减，称为函数的单调性。

具体来说，若对于定义域内的任意两个自变量，我们有f(x2) ≥ f(x1) ，则函数为单调递增函数；若对于定义域内的任意两个自变量，我们有f(x2) ≤ f(x1) ，则函数为单调递减函数。

二、单调性的判定方法首先，我们需要了解单调性的判定方法。

通常有两种方法：导数法和图像法。

导数法，顾名思义，通过计算函数的导数来判断函数的单调性。

具体来说，若f‘(x)>0，则函数单调递增；若f‘(x)<0，则函数单调递减。

图像法，我们可以画出函数的图像，并观察函数的走向和斜率。

若函数的图像在定义域内逐渐上升，则函数单调递增；若函数的图像在定义域内逐渐下降，则函数单调递减。

三、几类常见函数的单调性1. 常函数：常函数的导数为0，因此常函数的单调性为常数函数。

2. 一次函数：一次函数是一条直线，因此单调性的判定非常简单。

若a>0，则函数单调递增；若a<0，则函数单调递减。

3. 幂函数：幂函数分为2种情况：a>0和a<0。

当a>0时，若n为偶数，则函数在左半轴上单调递减，在右半轴上单调递增；若n为奇数，则函数在整个定义域内单调递增。

当a<0时，若n为偶数，则函数在左半轴上单调递增，在右半轴上单调递减；若n为奇数，则函数在整个定义域内单调递减。

4. 指数函数：指数函数y=a^x，a>0且a≠1。

当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减。

5. 对数函数：对数函数y=logax，a>0且a≠1。

当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减。

（四）函数的单调性1.函数单调性的定义（局部性质）（1）设函数)(x f 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值,,21x x ①数：当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 是单调增函数；（形：从左往右看图象逐渐上升；）②当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 是单调减函数（形：从左往右看图象逐渐下降.）（2）等价形式：任意,21x x ≠都有0)()(2121>--x x x f x f （或写成0)()]()([2121>-⋅-x x x f x f ）都表明)(x f 在区间上单调增. 注：xy 1=的单调减区间为)0,(-∞和),0(+∞,单调区间有两段一般需要用“和”，不能“ ”. 2.判断单调性的方法（用来证明单调性的只有定义法和导数法）（1）定义法:取值，作差，变形，定号，结论. （2）利用函数的运算性质：若)(),(x g x f 为增函数，则)()(x g x f +为增，)0)((>a x af 为增，)(x f 为增，)0)((<a x af 为减，)(1x f 为减. （注：只能用“增”+“增”⇒“增”，“减”+“减”⇒减，其他不能确定单调性.）（3）复合函数单调性法则：同增异减.（内函数与外函数单调性相同，则整体增；内函数与外函数单调性相反，则整体减.）（4）导数法函数)(x f y =在区间D 上单调增⇔0)('≥x f 在D 上恒成立且在D 的任何子区间上不恒等于0；函数)(x f y =在区间D 上单调减⇔0)('≤x f 在D 上恒成立且在D 的任何子区间上不恒等于0.（注：如果问单调区间，不要带等号.令,0)('>x f 求单调增区间；令,0)('<x f 求单调减区间.）（5）图像法3.分段函数求单调性的方法①左段单调性与整体一致；②右段单调性与整体一致；③若整体增（减），则左段函数在端点的函数值)(≥≤右段函数在端点的函数值.。

高一数学单调性知识点总结在高中数学学习中，单调性是一个非常重要的概念。

单调性可以帮助我们理解函数的增减趋势以及函数图像的形状。

在本文中，我们将总结高一数学中与单调性相关的知识点，并探讨其应用。

一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减趋势。

具体来说，我们可以分为递增和递减两种情况进行讨论。

1. 函数的递增性如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a<b时有f(a)<f(b)，那么我们称函数为递增函数。

简单来说，递增函数的函数值随着自变量的增大而增大。

通过求导可以帮助我们判断函数的递增性。

如果函数的导数大于零，则函数递增；如果导数小于零，则函数递减；如果导数等于零，则函数在该区间内的单调性不确定，需要进行进一步的分析。

2. 函数的递减性如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a<b时有f(a)>f(b)，那么我们称函数为递减函数。

递减函数的函数值随着自变量的增大而减小。

二、函数图像的单调性分析在图像上观察函数的单调性，可以通过以下几个方面来判断。

1. 函数图像在某个区间内递增或递减通过观察函数图像，在某个区间内如果图像整体上升，则该区间内函数递增；如果图像整体下降，则该区间内函数递减。

2. 函数图像在特定点的切线斜率通过求导函数，可以得到函数的导函数。

根据导函数的正负性，可以判断函数图像在特定点的切线斜率的正负。

如果导函数大于零，则函数图像在该点的切线斜率大于零，即函数递增；如果导函数小于零，则函数图像在该点的切线斜率小于零，即函数递减。

3. 函数图像的拐点与极值点在函数图像上，拐点和极值点可能对函数的单调性产生影响。

如果在拐点或极值点的左侧函数递增，在右侧函数递减，或者相反，那么拐点或极值点就是函数单调性发生改变的点。

三、应用举例单调性是数学中的一个重要概念，有许多实际应用。

1. 市场需求曲线在经济学中，市场需求曲线通常被认为是递减函数。

这意味着当商品价格上涨时，需求量下降；当价格下降时，需求量增加。

函数单调性知识点总结高中一、基本概念函数单调性是指在定义域上函数值的变化趋势。

具体来说，如果对于函数f(x)，当x1 < x2时有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在区间(x1, x2)上是增函数；如果对于函数f(x)，当x1 <x2时有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在区间(x1, x2)上是减函数。

综合起来，可以将函数的单调性分为增函数、减函数和不单调函数。

其次，函数的单调性还与导数的正负有关。

若函数f(x)在区间I上可导，则：1. 若f'(x) > 0对于x∈I，即f(x)严格递增；2. 若f'(x) < 0对于x∈I，即f(x)严格递减；3. 若f'(x) = 0对于x∈I，即f(x)在区间I上是常数函数或拐点函数，不能确定其单调性。

对于定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)，其单调性还需考虑在端点处的情况。

若f(x)在[a, b]上是增函数，且在a处有定义域，则称f(x)在[a, b]上是关于x的增函数；若f(x)在[a, b]上是减函数，且在a处有定义域，则称f(x)在[a, b]上是关于x的减函数。

二、函数单调性的判定方法1. 利用函数的导数判定单调性函数f(x)在区间I上是增函数，当且仅当f'(x) > 0对于x∈I；函数f(x)在区间I上是减函数，当且仅当f'(x) < 0对于x∈I。

因此，判定函数的单调性，可通过求导数并考察导数的正负来进行。

2. 利用函数的增减表判定单调性若函数f(x)在区间I上可导，则可根据f'(x)的正负或0来构建增减表。

增减表是一个用来判定函数单调性的表格，通过列出各点的f'(x)值，来判断函数在各点的单调性。

三、函数单调性的应用1. 函数的最值问题对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，若可判定出f(x)在[a, b]上为增函数，则f(x)在[a, b]上的最小值为f(a)，最大值为f(b)；若可判定出f(x)在[a, b]上为减函数，则f(x)在[a, b]上的最小值为f(b)，最大值为f(a)。

证明函数单调性的方法总结归纳1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D 内为增函数；如果f′(x)注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．搜集整理，仅供参考学习，请按需要编辑修改。

函数单调知识点归纳总结一、函数单调性的定义1. 单调递增函数对于定义域内的任意x1和x2，若x1<x2恒成立，则有f(x1)<=f(x2)成立，则称函数f(x)是在该定义域上是单调递增函数。

2. 单调递减函数对于定义域内的任意x1和x2，若x1<x2恒成立，则有f(x1)>=f(x2)成立，则称函数f(x)是在该定义域上是单调递减函数。

二、函数单调性的性质1. 如果函数f(x)在定义域内具有一阶导数且导数恒大于0，则函数f(x)是在该定义域上是单调递增函数；如果函数f(x)在定义域内具有一阶导数且导数恒小于0，则函数f(x)是在该定义域上是单调递减函数。

2. 函数的单调性与导数的关系：若函数f(x)在定义域上的一阶导数大于0，则函数f(x)在该定义域上是单调递增函数；若函数f(x)在定义域上的一阶导数小于0，则函数f(x)在该定义域上是单调递减函数。

3. 在具有一阶导数的情况下，如果函数f(x)在定义域上导数恒大于0，则函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+\infty)；如果函数f(x)在定义域上导数恒小于0，则函数f(x)的单调递减区间为(-\infty,+\infty)。

4. 对于具有n阶导数的函数f(x)，通过求解导数的符号变化，可以得到函数f(x)在定义域上的单调性和拐点位置。

三、求解函数的单调区间1. 使用导数符号变化法求解函数的单调区间：首先求出函数f(x)的一阶导数，并求出导数的零点，然后将定义域分成几个子区间，然后再求解导数对应的区间上的符号，得到函数的单调性。

2. 使用导数的恒定性求解函数的单调区间：根据导数的恒定性可以快速求出函数的单调区间，比如函数的导数在某个区间上恒大于0，则函数在该区间为单调递增函数。

四、与单调性相关的知识1. 函数的最值。

在函数的单调性的基础上，可以求解函数的最值，对于单调递增函数来说，函数在定义域上的最小值为f(x1)；对于单调递减函数来说，函数在定义域上的最大值为f(x2)。

单调性函数知识点总结一、基本概念1. 单调性在数学中，函数的单调性是指函数的增减性质，即函数在定义域内的增减情况。

如果函数在其定义域内严格递增或者严格递减，那么我们就称这个函数是单调函数。

2. 单调递增和单调递减函数$f(x)$的定义域是一个区间$I$，如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) \leq f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调递增的；如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) \geq f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调递减的。

3. 严格单调递增和严格单调递减如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) < f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是严格单调递增的；如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) > f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是严格单调递减的。

4. 单调性与导数函数的单调性与导数之间有一定的关系。

如果函数在某个区间内单调递增，那么其在这个区间内的导数恒大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，那么其在这个区间内的导数恒小于等于零。

二、判断单调性的方法1. 导数法通过求函数的导数，然后分析导数的正负来判断函数的单调性。

当导数大于零时，函数递增；当导数小于零时，函数递减。

例如，对于函数$f(x) = x^2$，求导可得$f'(x) = 2x$。

当$x>0$时，导数大于零，即函数单调递增；当$x<0$时，导数小于零，即函数单调递减。

2. 一阶导数和二阶导数法通过分析函数的一阶导数和二阶导数的正负性来判断函数的单调性。

当一阶导数恒大于零且二阶导数恒小于零时，函数单调递增；当一阶导数恒小于零且二阶导数恒大于零时，函数单调递减。

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函数的单调性是高中数学中的重要概念之一，它对于我们理解函数的性质以及解决实际问题具有重要意义。

本文将从对函数的定义、单调性的概念以及如何判断函数的单调性三个方面来进行说明和解析，帮助读者深入理解函数的单调性，从而更好地应用到实际问题中。

函数的单调性与最值知识点总结(优秀范文)：1函数的单调性是高中数学中的重要概念之一，它对于我们理解函数的性质以及解决实际问题具有重要意义。

本文将从对函数的定义、单调性的概念以及如何判断函数的单调性三个方面来进行说明和解析，帮助读者深入理解函数的单调性，从而更好地应用到实际问题中。

首先，让我们来回顾一下函数的定义。

函数是一个特殊关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

简单来说，函数就是一种输入和输出之间的关系。

例如，我们可以定义一个函数f(x)，它的输入是x，输出是x的平方。

这样的函数可以表示为f(x) = x^2。

通过这个函数，我们可以得到x对应的平方值。

接下来，我们来介绍一下函数的单调性。

通俗地讲，函数的单调性描述了函数图像在整个定义域上的“走势”。

具体来说，如果函数在定义域上的任意两个数值x1和x2满足x1f(x2)，那么我们称这个函数是递减的。

递减函数则具有“右低左高”的特点。

那么如何判断函数的单调性呢？这里我们介绍两种方法：导数法和增减表法。

首先，导数法是基于函数的导数来判断函数的单调性的。

如果函数在某个区间上导数大于零，则函数在该区间上是递增的；如果函数在某个区间上导数小于零，则函数在该区间上是递减的。

通过求解函数的导数，我们可以得到函数在不同区间上的单调性。

其次，增减表法是通过比较函数在不同区间上的取值来判断函数的单调性。

我们可以找到函数的驻点（即导数为零的点），并用这些驻点将整个定义域分成若干段。

然后，在每一段中选择一个测试点，代入原函数中求解出对应的函数值，用这些函数值的大小关系来判断函数在对应的区间上的单调性。

函数的单调性与最值知识点总结本节主要知识点 （1）函数的单调性. （2）函数的最值. （3）单调函数的运算性质. （4）复合函数的单调性. 知识点一 函数的单调性 1.增函数与减函数增函数、减函数定义中两个自变量的值21,x x 的三个特征:（1）任意性 自变量的值21,x x 必须是在区间D 上任意选取的,不可以随便取两个特殊值.（2）有序性 一般要对21,x x 的大小作出规定,通常规定21x x <.（3）同区间性 即21,x x 要属于同一个单调区间. 2.单调性、单调区间和单调函数如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性,区间D 叫做函数)(x f y =的单调区间.单调函数 如果函数)(x f y =在整个定义域上具有单调性,那么就称函数)(x f y =为单调函数.对函数单调性和单调区间的理解:（1）区间D 必为函数定义域I 的子集,即I D ⊆.所以单调性是函数的局部性质. （2）区间D 可以是整个定义域,此时函数为单调函数.如函数1+=x y 在整个定义域()+∞∞-,上是增函数,函数x y -=在整个定义域()+∞∞-,上是减函数.（3）区间D 可以是定义域的真子集.如函数2x y =在整个定义域()+∞∞-,上没有单调性,但在区间()0,∞-上是减函数,在区间()+∞,0上是增函数.（4）函数在某个区间上单调,但在整个定义域上不一定单调. 如函数xy 1=在区间()0,∞-和()+∞,0上都是减函数,但在整个定义域上不具有单调性（反比例函数的图象是不连续的）. （5）不是所有的函数都具有单调性.如狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,0,1)(,它的定义域是R ,但不具有单调性.（6）若函数)(x f 在区间D 上为增函数,则称区间D 为函数)(x f 的增区间;若函数)(x f 在区间D 上为减函数,则称区间D 为函数)(x f 的减区间.正确书写单调区间（1）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“ ”连接,而应该用“和”或“,”连接.如函数x y 1=在区间()0,∞-和()+∞,0上都是减函数,但不能认为函数xy 1=的减区间为()0,∞- ()+∞,0,其单调减区间在书写时应该写成“()0,∞-和()+∞,0”或“()0,∞-,()+∞,0”.（2）函数的单调性是对某个区间而言的.对于单独的一点,它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性.因此在书写单调区间时,对区间端点的开闭不作要求,可以包括区间端点,也可以不包括.但对于函数式无意义的点,单调区间一定不能包括.单调性定义的等价形式:（1）函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x <,都有()()021<-x f x f ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121>--x x x f x f ;⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()()[]02121>--x f x f x x ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121>--x f x f x x .（2）函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x <,都有()()021>-x f x f ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121<--x x x f x f ;⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()()[]02121<--x f x f x x ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121<--x f x f x x .3.常见函数的单调性确定函数的单调性,有一种方法叫做直接法:对于我们所熟悉的基本初等函数,如正比例函数、一次函数、二次函数和反比例函数等,可以直接利用它们的性质判断单调性.说明:（1）由单调函数的定义可知,一次函数为在R 上的单调函数（单调增函数或顶点减函数）.（2）在确定二次函数()02≠++=a c bx ax y 的单调性时,常把二次函数化为顶点式()k h x a y +-=2()0≠a ,所以:①当0>a 时,在](h ,∞-上为减函数,在()+∞,h 上为增函数; ②当0<a 时,在](h ,∞-上为增函数,在()+∞,h 上为减函数.例 1. 若函数)(x f 的定义域为()+∞,0,且满足()()()321f f f <<,则函数)(x f 在()+∞,0上【 】（A ）是增函数 （B ）是减函数 （C ）先增后减 （D ）单调性不能确定解:函数单调性的定义强调了自变量的值21,x x 的任意性,仅凭区间内有限个函数值的大小关系,不能作为判断函数单调性的依据.选择【 D 】.提示:（1）判断函数的单调性时,不能根据21,x x 的两个特殊值,对函数的单调性进行判断;（2）若要说明函数)(x f 在某个区间上不是增函数（减函数）时,只需在该区间上找到两个自变量的值21,x x ,证明当21x x <时,)(1x f ≥)(2x f （)(1x f ≤)(2x f ）成立即可.例2. 下列说法中正确的个数为:①定义在()b a ,上的函数)(x f ,如果有无穷多个()b a x x ,,21∈,当21x x <时,有()()21x f x f <,那么)(x f 在()b a ,上为增函数;②如果函数)(x f 在区间1I 上为减函数,在区间2I 上也为减函数,那么)(x f 在区间1I 2I 上就一定是减函数;③对任意的()b a x x ,,21∈,且21x x ≠,当()()02121<--x x x f x f 时,)(x f 在()b a ,上是减函数;④对任意的()b a x x ,,21∈,且21x x ≠,当()()()[]02121>--x f x f x x 时, )(x f 在()b a ,上是增函数.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解: ①不正确,函数单调性的定义强调了21,x x 的任意性,“无穷多个”不能代表“所有”、“任意”;②不正确,一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“ ”连接,而应该用“和”或“,”连接.以反比例函数xy 1=为例,函数在区间()0,∞-和()+∞,0上都是减函数,但不能认为函数xy 1=的减区间为()0,∞- ()+∞,0,其单调减区间在书写时应该写成“()0,∞-和()+∞,0”或“()0,∞-,()+∞,0”.③正确, 因为()()02121<--x x x f x f ,等价于()()⎩⎨⎧>-<-002121x f x f x x 或()()⎩⎨⎧<->-002121x f x f x x ,所以()()⎩⎨⎧><2121x f x f x x 或()()⎩⎨⎧<>2121x f x f x x ,即)(x f 在()b a ,上是减函数;④正确,同③.故正确的结论有两个.选择【 B 】.例3. 下列四个函数中,在()+∞,0上为增函数的是【 】 （A ）x x f -=3)( （B ）x x x f 3)(2-= （C ）x x f 2)(= （D ）xx f 1)(=解:对于函数x x f -=3)(,因为01<-=k ,所以其图象在R 上从左到右是下降的,为R 上的单调减函数,在()+∞,0上肯定也是减函数;对于函数49233)(22-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=x x x x f ,在 ⎝⎛⎥⎦⎤23,0上为减函数,在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23上为增函数;对于函数x x f 2)(=,因为02>=k ,所以其图象在R 上从左到右是上升的,为R 上的增函数,在()+∞,0上肯定也是增函数; 对于函数xx f 1)(=,在()+∞,0上为减函数. 综上,选择【 C 】.注意:（1）对于一次函数()0≠+=k b kx y ,当0>k 时,在R 上单调递增;当0<k 时,在R 上单调递减.（2）对于反比例函数()0≠=k xky ,当0>k 时,在()0,∞-和()+∞,0上单调递减;当0<k 时,在()0,∞-和()+∞,0上单调递增.（3）在确定二次函数()02≠++=a c bx ax y 的单调性时,常把二次函数化为顶点式()k h x a y +-=2()0≠a ,当0>a 时,在](h ,∞-上为减函数,在()+∞,h 上为增函数,当0<a 时,在](h ,∞-上为增函数,在()+∞,h 上为减函数. 应熟练掌握以上常见函数的单调性.4.定义法判断和证明函数的单调性用定义法判断函数单调性的一般步骤:取值、作差、变形、判号、定论. （1）取值 设21,x x 是给定区间上的任意两个值,且21x x <; （2）作差 计算()()21x f x f -;（3）变形 对()()21x f x f -进行有利于判断符号的变形,如因式分解、配方、通分、有理化等;（4）判号 即判断()()21x f x f -的符号,当符号不确定时,需要进行分类讨论; （5）定论 根据函数单调性的定义得出结论,即确定函数在给定区间上的单调性. 在以上步骤中,作差是基础,变形是关键,判号是目的.例4. 讨论函数xx x f 4)(+=在()+∞,2上的单调性. 分析:对于一些简单的具体函数,常用定义法确定函数的单调性.定义法分为取值、作差、变形、判号和定论五步. 解:任取()+∞∈,2,21x x ,且21x x <,则有:()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-21212211214444x x x x x x x x x f x f ()()()()()21212121212112214414x x x x x x x x x x x x x x x x --=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-+-=∵()+∞∈,2,21x x ,且21x x < ∴04,0,0212121>-<->x x x x x x ∴()()04212121<--x x x x x x ,即()()021<-x f x f ,∴()()21x f x f <∴函数函数xx x f 4)(+=在()+∞,2上为增函数.例5. 求函数()01)(>+=x xx x f 的单调区间. 解:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则有:()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-22112111x x x x x f x f()()()()()2121212121211221212111111x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x --=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=∵()+∞∈,0,21x x ,且21x x <∴0,02121<->x x x x ,对()121-x x 的符号的判断,分为两种情况: ①当()1,0,21∈x x 时,1021<<x x ,∴0121<-x x ∴()()021>-x f x f ,即()()21x f x f > ∴函数xx x f 1)(+=在()1,0上为减函数; ②当)[∞+∈,1,21x x 时,121>x x ,∴0121>-x x ∴()()021<-x f x f ,即()()21x f x f <∴函数xx x f 1)(+=在)[∞+,1上为增函数. 综上所述,函数()01)(>+=x x x x f 的单调递减区间为()1,0,单调递增区间为)[∞+,1.注意:（1）变形后若结果中的某一项的符号不能确定,则应进行分类讨论.（2）对于()021>-p p x x 的符号的判断,可取21x x =,由021=-p x x 得到临界数p x x ±==21.5. 对勾函数及其单调性形如xpx y +=（0>p ,且p 为常数）的函数,称为对勾函数. 对勾函数xpx y +=（0>p ,且p 为常数）在](p -∞-,和)[∞+,p 上为增函数,在()0,p -和()p ,0上为减函数.对勾函数有两条渐近线,一条是y 轴（0≠x ,图象无限接近于y 轴,但不相交）,另一条是直线x y =（当x 趋近于无穷大时,x p 趋近于0,y 趋近于x ,因为0≠xp,所以x y ≠）. 对勾函数xpx y +=（0>p ,且p 为常数）的图象如下图所示.)如例4中的函数x x x f 4)(+=和例5中的函数xx x f 1)(+=都是对勾函数.例6. 讨论函数1)(2-=x axx f 在()1,1-上的单调性,其中a 为非零常数. 分析:本题函数解析式中含有参数a ,若变形后结果的符号不能确定,则需要对a 的符号进行讨论.解:任取()1,1,21-∈x x ,且21x x <,则有:()()()()()()111111222121222122221121-----=---=-x x x ax x ax x ax x ax x f x f ()()()()11122212112--+-=x x x x x x a∵()1,1,21-∈x x ,且21x x <∴01,01,01,022212112<-<->+>-x x x x x x ∵a 为非零常数,∴分为两种情况:①当0>a 时,()()021>-x f x f ,∴()()21x f x f > ∴()x f 在()1,1-上是增函数;②当0<a 时,()()021<-x f x f ,∴()()21x f x f < ∴()x f 在()1,1-上是减函数.6. 单调函数的运算性质利用单调函数的运算性质,可以方便、快捷地确定某些由几个基本初等函数构成的函数的单调性.若函数)(x f 与)(x g 在区间D 上具有单调性,则在区间D 上具有以下性质: （1）)(x f 与C x f +)(（C 为常数）具有相同的单调性. （2）)(x f 与)(x f -的单调性相反.（3）当0>a 时,)(x af 与)(x f 具有相同的单调性;当0<a 时,)(x af 与)(x f 具有相反的单调性.（4）若)(x f ≥0,则)(x f 与)(x f 具有相同的单调性.（5）若)(x f 恒为正值或恒为负值,则当0>a 时,)(x f 与)(x f a具有相反的单调性;当0<a 时,)(x f 与)(x f a具有相同的单调性. （6）)(x f 与)(x g 的和与差的单调性（相同区间上）:7. 复合函数的单调性对于复合函数))((x g f y =,其单调性如下表所示,简记为“同增异减”:确定复合函数单调性的步骤: （1）求出复合函数的定义域;（2）分解复合函数为几个基本初等函数; （3）判断每一个分解函数的单调性;（4）根据复合函数单调性的确定方法确定函数的单调性.例7. 求函数228)(x x x f --=的单调区间.分析:在确定函数的单调性时,要注意“定义域优先”的原则. 解:由题意可知:228x x --≥0,解之得:4-≤x ≤2. ∴函数)(x f 的定义域为[]2,4-. 设u y =,228x x u --=∴()912++-=x u ,其单调增区间为](1,-∞-,单调减区间为()+∞-,1∴函数)(x f 的单调增区间是[]1,4--,单调减区间是(]2,1-.例8. 已知函数)(x f 在定义域[)+∞,0上单调递减,求函数()21x f -的递减区间. 分析:判断复合函数的单调性时,要注意在定义域内进行. 解:∵函数)(x f 的定义域为[)+∞,0 ∴21x -≥0,解之得:1-≤x ≤1 ∴()21x f -的定义域为[]1,1-. 令21x u -=,则()()u f x f =-2121x u -=的单调递增区间为[]0,1-,单调递减区间为(]1,0 ∴函数()21x f -的递减区间为[]0,1-.★例8. 已知函数32)(2--=x x x f ,)5()(2x f x g -=,试求()x g 的单调区间. 分析:求复合函数的单调区间的方法是“同增异减”.函数()25x f -可以看成是由25x t -=与32)(2--=t t t f 复合而成的. 解:令25x t -=,则32)(2--=t t t f .()4132)(22--=--=t t t t f 在(]1,∞-上单调递减,在[)+∞,1上单调递增由25x -≥1得:x ≤2-或x ≥2;由25x -≤1得:2-≤x ≤2 函数25x t -=在(]0,∞-上单调递增,在[)+∞,0上单调递减∴函数()x g 的单调递增区间为[]0,2-和[)+∞,2;单调递减区间为(]2,-∞-和[]2,0.xt +∞∞例9. 函数541)(2--=x x x f 的单调递增区间为__________.分析:先求出函数)(x f 的定义域,在其定义域内确定单调递增区间.解:由题意可知:0542≠--x x ,解之得:1-≠x 且5≠x ∴函数)(x f 的定义域为()()()+∞--∞-,55,11, . 函数541)(2--=x x x f 是由函数ty 1=和函数542--=x x t 复合而成的. 函数ty 1=在()0,∞-和()+∞,0上单调递减函数542--=x x t 在(]2,∞-上单调递减,在[)+∞,2上单调递增 ∴函数)(x f 的单调递增区间为()1,-∞-和(]2,1-.注意:若函数的定义域内不包含某端点,则该端点必须表示为开区间.例10. 已知函数)(x f y =在R 上是减函数,则()3-=x f y 的单调减区间是【 】 （A ）()+∞∞-, （B ）[)+∞,3 （C ）[)+∞-,3 （D ）(]3,∞-分析:本题涉及到绝对值函数x x f =)(,其图象如下图所示.把函数x x f =)(的图象向右平移3个单位长度,即可得到函数3-=x y 的图象.3f (由图象可知,函数3-=x y 在(]3,∞-上为减函数,在[)+∞,3上为增函数. 雅慧,你要掌握绝对值函数图象的特征.解:函数()3-=x f y 可以看成是由函数3-=x t 和函数)(t f y =复合而成的. 由题意可知,函数)(t f y =在R 上为减函数. 函数3-=x t 的单调增区间为[)+∞,3∴由复合函数的单调性可知,函数()3-=x f y 的单调减区间为[)+∞,3.选【 B 】.8.抽象函数的单调性抽象函数是指没有给出具体解析式的函数. 判断抽象函数单调性的方法:（1）凑 凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值 给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. 注意①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ,判断符号时要变形为:()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ,判断符号时要变形为:()()()112112x f xx x f x f x f -⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=- 或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f .例11. 已知函数)(x f 对于任意的∈y x ,R ,总有()()()y f x f y x f +=+,且当0>x 时,()0<x f .求证:)(x f 在R 上为减函数.分析:本题为“和型”抽象函数问题.注意到条件“当0>x 时,()0<x f ”,若设21x x <,则012>-x x ,所以()012<-x x f .这样就充分利用了题目所给的条件. 证明:任取∈21,x x R ,且21x x <,则有012>-x x ∵当0>x 时,()0<x f ∴()012<-x x f ,∴()()()()()()()()0)(121112111212<-=-+-=-+-=-x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f∴()()21x f x f > ∴)(x f 在R 上为减函数.注:本题也可以这样变形:()()()()()()()()0)(121121112121>--=---=+--=-x x f x f x x f x f x x x f x f x f x f ∴()()21x f x f >例12. 已知函数)(x f 对于任意的∈b a ,R ,都有()()()1-+=+b f a f b a f ,并且当0>x 时,()1>x f .求证:)(x f 是R 上的增函数.证明:任取∈21,x x R ,且21x x <,则有012>-x x ∵当0>x 时,()1>x f ∴()112>-x x f ,∴()()()()()()()11121112121)(x f x f x x f x f x x x f x f x f --+-=-+-=- ()0112>--=x x f ∴()()21x f x f < ∴)(x f 是R 上的增函数.例13. 设)(x f 是定义在R 上的函数,对∈n m ,R ,恒有()()()n f m f n m f ⋅=+,（()()0,0≠≠n f m f ）,且当0>x 时,()10<<x f . （1）求证1)0(=f ;（2）求证∈x R 时,恒有0)(>x f ; （3）求证)(x f 在R 上是减函数.分析:（1）通过赋值求)0(f ;（2）通过()()()1)()0(=-⋅=-+=x f x f x x f f 证明0)(>x f ;（3）利用单调性的定义证明函数)(x f 的单调性.（1）证明:令0=m ,则有()()()n f f n f ⋅=+00 ∴()()()n f f n f ⋅=0 ∵()0≠n f ∴1)0(=f ;（2）令0<x ,则0>-x ∵当0>x 时,()10<<x f ∴()10<-<x f∵()()()()1)(0=-⋅=-+=x f x f x x f f ∴()()01>-=x f x f 综上,∈x R 时,恒有0)(>x f ;（3）任取∈21,x x R ,且21x x <,则有012>-x x ∴()1012<-<x x f∴()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-()()()()()[]11211112--=-⋅-=x x f x f x f x f x x f∵∈x R 时,恒有0)(>x f ,()1012<-<x x f ∴()()01,0121<-->x x f x f ∴()()012<-x f x f ∴()()21x f x f > ∴)(x f 在R 上是减函数.例14. 已知定义在()+∞,0上的函数)(x f 对任意()+∞∈,0,y x ,恒有()()()y f x f xy f +=,且当10<<x 时,0)(>x f ,判断函数)(x f 在()+∞,0上的单调性.分析:本题为“积型”抽象函数问题.注意到条件“当10<<x 时,()0>x f ”,任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则1021<<x x ,所以021>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f .这样就充分利用了题目所给的条件.解:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则有1021<<x x ∵当10<<x 时,0)(>x f∴021>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f .∴()()()()()0212212221221>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-x x f x f x x f x f x f x x x f x f x f ∴()()21x f x f >∴函数)(x f 在()+∞,0上单调递减.例15. 定义在()+∞,0上的函数)(x f ,满足()()()n f m f mn f +=（0,>n m ）,且当1>x 时,()0>x f . （1）求()1f 的值;（2）求证:()()n f m f n m f -=⎪⎭⎫⎝⎛;（3）求证:)(x f 在()+∞,0上是增函数; （4）若()12=f ,解不等式()()222>-+x f x f ;（5）比较⎪⎭⎫⎝⎛+2n m f 与()()2n f m f +的大小. （1）解:令1==n m ,则由题意可知:()()()1111f f f +=⨯ ∴()01=f ;（2）证明:∵()()()n f m f mn f +=（0,>n m ）∴()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=n m f n f n m n f m f ∴()()n f m f n m f -=⎪⎭⎫⎝⎛;证法二:由（1）可知:()01=f∴()011=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅n f n f n n f ∴()n f n f -=⎪⎭⎫⎝⎛1∴()()()n f m f n f m f n m f n m f -=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛11. （3）证明:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则有112>x x ∵当1>x 时,()0>x f∴012>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f .∴()()()()()0121121112112>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-x x f x f x x f x f x f x x x f x f x f ∴()()21x f x f <∴函数)(x f 在()+∞,0上是增函数;（4）解:∵()12=f （利用函数的单调性解不等式） ∴()()()()()24222222==⨯=+=f f f f f ∵()()222>-+x f x f∴()422f x x f >⎪⎭⎫⎝⎛+∵函数)(x f 在()+∞,0上是增函数∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>+422022xx xx ,解之得:720<<x∴不等式()()222>-+x f x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<720x x ;解法二:∵()()222>-+x f x f ∴()()()422f x f x f +>+ ∴()()x f x f 82>+∵函数)(x f 在()+∞,0上是增函数∴⎪⎩⎪⎨⎧>+>>+xx x x 820802,解之得:720<<x∴不等式()()222>-+x f x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<720x x .（5）()()()mn f n f m f 212=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+222122212n m f n m f n m f n m f ∵2222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m mn n m ≥0（这里在作差比较22⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m 与mn 的大小） 当且仅当n m =时取等号.∴22⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m ≥mn ∵函数)(x f 在()+∞,0上是增函数∴⎪⎭⎫⎝⎛+2n m f ≥()()2n f m f +.例16. 已知函数()x f y =的定义域为R ,且221=⎪⎭⎫⎝⎛f ,对任意∈n m ,R ,都有1)()()(-+=+n f m f n m f ,当21->x 时,()0>x f .（1）求⎪⎭⎫⎝⎛-21f 的值;（2）求证()x f y =在定义域R 上是增函数.分析:本题第（2）问具有较大的难度,前面提到判断抽象函数的单调性时,要凑定义或凑已知,即要充分利用题目所给的条件.条件“当21->x 时,()0>x f ”不好利用,若设∈21,x x R ,且21x x <,则012>-x x ,∴212112->--x x ,02112>⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x f .（1）解:∵221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,∴()31221212121211=-+=-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=f f f f∴()112112121-+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛f f f f ∴()0132112121=+-=+-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f f ; （1）证明:任取∈21,x x R ,且21x x <,则有012>-x x∵当21->x 时,()0>x f ,∴212112->--x x ,∴02112>⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x f∴()()()()()()()11121112121)(x f x f x x f x f x x x f x f x f --+-=-+-=-()02122211121211212111212121212>⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=x x f x x f f x x f x x f x x f ∴()()21x f x f <∴()x f y =在定义域R 上是增函数.9. 图象法确定函数的单调性（适用于比较容易画出图象的函数）一般通过已知条件作出函数图象的草图,若函数的图象在某个区间从左到右上升,则函数在这个区间上是增函数;若函数的图象在某个区间上从左到右下降,则函数在这个区间上是减函数.虽说是画出函数图象的草图,但还是要注意画图的准确性,如正确画出函数图象上的一些关键点.例17. 已知函数4)(-=x x x f .（1）在坐标系内画出函数()x f 的大致图象; （2）指出函数()x f 的单调递减区间.分析:函数()x f 为含有绝对值的函数,先转化为分段函数的形式,再分段作图.解:（1）4)(-=x x x f ()()⎩⎨⎧<+-≥-=444422x x x x x x ,其大致图象如下图所示;（2）由图象可知,函数()x f 的单调递减区间为[]4,2.当然了,这是用几何画板软件绘制的图象,手画草图如图所示. 例18. 画出函数322++-=x x y 的图象,并指出函数的单调区间.解:()()⎩⎨⎧<+--≥++-=++-=03203232222x x x x x x x x y ,其图象如下页图所示.由图象可知,函数322++-=x x y 的单调递增区间是(]1,-∞-和[]1,0,单调递减区间是[]0,1-和[)+∞,1.例19. 求函数32)(2-+=x x x f 的单调区间.分析:用图象法确定函数32)(2-+=x x x f 的单调区间.由函数图象的翻折变换:要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可解:先作出函数322-+=x x y 的图象,然后保留其在x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方,即可得到函数32)(2-+=x x x f 的图象,如下图所示.由图象可知,函数32)(2-+=x x x f 的单调递增区间是[]1,3--和[)+∞,1;单调递减区间是(]3,-∞-和[]1,1-.3例20. 求函数()21-++=x x x f 的单调区间.解:()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<--≤+-=-+--=-++=2122131122121x x x x x x x x x x f ,其图象如图所示.+ 1 + x 2由图象可知,函数()21-++=x x x f 的单调递减区间为(]1,-∞-,单调递增区间为[)+∞,2.10. 性质法确定函数的单调性利用单调函数的运算性质,可以方便、快捷地确定某些由几个基本初等函数构成的函数的单调性.)(x f 与)(x g 的和与差的单调性（相同区间上）:例21. 求函数()034)(3<+-=x x x x x f 的单调区间. 解:()03434)(23<+-=+-=x xx x x x x f ∵函数42-=x y 与函数xy 3=在()0,∞-上都是减函数 ∴函数xx x x f 34)(3+-=在()0,∞-上是减函数.∴函数()034)(3<+-=x xx x x f 的单调递减区间为()0,∞-,无增区间. 例22. 求函数x x y 23-=的单调区间.解:函数xx y 23-=的定义域为()()+∞∞-,00, .∵函数x y 3=与函数xy 2-=在()0,∞-和()+∞,0上均为增函数∴函数x x y 23-=在()0,∞-和()+∞,0上是增函数∴函数xx y 23-=的单调递增区间为()0,∞-和()+∞,0,无减区间.11. 判断函数单调性的方法总结 判断或证明函数的单调性的方法有: （1）定义法; （2）直接法; （3）图象法; （4）性质法.判断抽象函数单调性的方法:（1）凑 凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值 给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. 注意①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ,判断符号时要变形为:()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ,判断符号时要变形为:()()()112112x f xx x f x f x f -⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=- 或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f .12.一道有代表性的判断函数单调性的题目例23. 求函数()0)(>>++=b a bx ax x f 的单调区间. 分析:先确定函数的定义域,记住“定义域优先”的原则. 解法一:函数bx ax x f ++=)(的定义域为()()+∞--∞-,,b b . 任取()+∞-∈,,21b x x ,且21x x <,则有:()()()()()()()()()()()()b x b x x x b a b x b x b x a x b x a x bx a x b x a x x f x f ++--=++++-++=++-++=-2112211221221121.∵21,0x x b b a <<->>∴()0,0,0,021112>+>--=+>->-b x b x b x x x b a ∴()()021>-x f x f ∴()()21x f x f >∴函数()x f 在()+∞-,b 上为减函数,即函数()0)(>>++=b a bx ax x f 的单调递减区间为()+∞-,b ;同理可证函数()x f 在()b -∞-,上为减函数. 综上所述,函数()0)(>>++=b a bx ax x f 的单调递减区间为()b -∞-,和()+∞-,b . 解法二:（利用单调函数的运算性质）bx ba b x b a b x x f +-+=+-++=1)(,函数的定义域为()()+∞--∞-,,b b ∵0>>b a ,∴0>-b a∴函数b x ba y +-=在()b -∞-,和()+∞-,b 上为减函数 ∴函数()0)(>>++=b a b x ax x f 在()b -∞-,和()+∞-,b 上为减函数 即函数()0)(>>++=b a bx ax x f 的单调递减区间为()b -∞-,和()+∞-,b . 注意:本题中函数b x b a y +-=和函数()0)(>>++=b a b x ax x f 在相同的单调区间()b -∞-,和()+∞-,b 上具有相同的单调性.例24. 已知()a x ax xx f ≠-=)(. （1）若2-=a ,试证明)(x f 在()2,-∞-上单调递增; （2）若0>a 且)(x f 在()+∞,1内单调递减,求a 的取值范围. 解:（1）当2-=a 时2212222)(+-=+-+=+=x x x x x x f ,函数的定义域为()()+∞-∞-,22, . ∵函数22+-=x y 在()2,-∞-上单调递增∴函数2)(+=x xx f 在()2,-∞-上单调递增;（2）ax aa x a a x a x x x f -+=-+-=-=1)( ∵0>a ,∴函数a x ay -=在()a ,∞-和()+∞,a 上为减函数∴函数a x xx f -=)(在()a ,∞-和()+∞,a 上单调递减∵)(x f 在()+∞,1内单调递减 ∴a <0≤1,即a 的取值范围为(]1,0.知识点二 函数的最值 1.函数的最大（小）值的定义2.对最值的理解（1）最值指的是函数值,即存在一般自变量0x ,使得()0x f 等于最值;（2）对于定义域内的任意一个x ,都有)(x f ≤()0x f 或)(x f ≥()0x f .“任意”两个字不可以省略;（3）使函数取得最值的自变量的值可能不止一个;（4）函数的最值是函数值域的元素.反映的是函数的整体性质（定义域内）,具有非常明显的几何意义;（5）函数)(x f 的最大值记作max )(x f ,最小值记作min )(x f . 3.函数的最值和值域的关系（1）联系:函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质,针对的是整个定义域,而函数的单调性反映的却是函数的局部性质. （2）区别:①函数的值域一定存在,但函数的最值不一定存在;（另外,在定义域上,函数可能既没有最大值,也没有最小值;可能有最大值,但没有最小值;可能有最小值,但没有最大值）②函数的最值若存在,则最值是值域的元素;③若函数的值域是开区间,则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则函数的最值在值域的端点处取得.由以上函数的最值和值域的关系,我们可以可以函数的值域来确定函数的最值. 3.求函数最值的常用方法 （1）单调性法; （2）图象法.4.利用单调性法求最值的结论（1）如果函数()x f y =在区间[]b a ,上单调递增,在区间[]c b ,上单调递减,那么函数()x f y =在区间[]c a ,上有最大值)()(max b f x f =.如下页图所示;（2）如果函数()x f y =在区间[]b a ,上单调递减,在区间[]c b ,上单调递增,那么函数()x f y =在区间[]c a ,上有最小值)()(min b f x f =.如下页图所示.f x ()max = f b ()f x ()min = f b ()知识点三 二次函数的最值问题求二次函数的最大（小）值有两种类型:一是函数的定义域为实数集R ,这时只要根据抛物线的开口方向,应用配方法即可求出最大（小）值;二是函数的定义域为某一区间,这是函数的最值由它的单调性确定,而它的单调性又与抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上、在区间的左侧、在区间的右侧）来决定,当开口方向或对称轴位置不确定时,还需要进行分类讨论.求二次函数()0)(2>++=a c bx ax x f 在区间[]n m ,上的最值分为以下三种情况:（1）对称轴在区间的左侧 若m abx <-=2,则)(x f 在区间[]n m ,上是增函数,最大值为()n f ,最小值为()m f ; （2）对称轴在区间内若m ≤a b2-≤n ,则)(x f 的最小值为a b ac a b f 4422-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,最大值为()m f 、()n f 中的较大者（或区间端点n m ,中与直线abx 2-=的距离较大的那一个端点所对应的函数值）; 即最小值为a bac a b f 4422-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,最大值为()()(){}n f m f x f ,m ax max =. （3）对称轴在区间的右侧若n abx >-=2,则)(x f 在区间[]n m ,上是减函数,最大值为()m f ,最小值为()n f . 注意:当抛物线的对称轴a b x 2-=在区间[]n m ,上,即m ≤ab2-≤n 时,函数的最小值在顶点处获得,为顶点的纵坐标,即a b ac a b f x f 442)(2min-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,函数最大值的确定需要分为两种情况:区间[]n m ,的中点为2nm +（由中点坐标公式得到）. ①当m ≤a b 2-≤2nm +时（即右端点n 距离对称轴较远）,函数的最大值为()n f ;②当a b n m 22-<+≤m 时（即左端点m 距离对称轴较远）,函数的最大值为()m f . 综上所述,二次函数的最大值为()()(){}n f m f x f ,m ax max =.二次函数的最值的图象说明对称轴在区间的左侧对称轴在区间的右侧对称轴在区间内靠近左端点对称轴在区间内靠近右端点常见的二次函数最值问题类型 类型1 定轴定区间例25. 已知函数5123)(2+-=x x x f ,当自变量在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值.（1）R ; （2）[]3,0; （3）[]1,1-分析:这是定轴定区间上的最值问题,应结合抛物线的开口方向和对称轴的位置进行解答,在必要时可画出函数图象的简图来辅助解答.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0>a 时,在 ⎝⎛⎥⎦⎤-∞-a b 2,上单调递减,在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,2a b 上单调递增;当0<a 时,在 ⎝⎛⎥⎦⎤-∞-a b 2,上单调递增,在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,2a b 上单调递减.解:()7235123)(22--=+-=x x x x f（1）当∈x R 时,函数的最小值为()()72min -==f x f ,无最大值; （2）当∈x []3,0时,对称轴2=x 在区间[]3,0内,且32230<<+,所以函数在0=x 时取得最大值,最大值为()()50max ==f x f ;在2=x 时取得最小值,最小值为7-; （3）当∈x []1,1-时,函数在区间[]1,1-上为减函数,所以()()201max =-=f x f ,()()41min -==f x f .类型二 动轴定区间例26. 已知函数22)(2+-=ax x x f ,[]1,1-∈x ,求函数)(x f 的最小值.分析:本题抛物线的开口方向确定,对称轴不确定,需要根据对称轴与定区间的相对位置关系进行讨论,必要时画出函数图象的简图,用数形结合思想解决问题. 解:()222222)(a a x ax x x f -+-=+-=,其图象的开口方向向上,对称轴为直线a x =.当1-<a 时,函数()x f 在[]1,1-上是增函数,所以()()321min +=-=a f x f ; 当1-≤a ≤1时,()()2min 2a a f x f -==;当1>a 时,函数()x f 在[]1,1-上是减函数,所以()()321min +-==a f x f .综上所述,函数)(x f 的最小值为()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤---<+=132112132)(2min a a a a a a x f .例27. 求函数12)(2--=ax x x f 在区间[]2,0上的最大值和最小值.解:()112)(222---=--=a a x ax x x f ,其图象的开口方向向上,对称轴为直线a x =.（1）当0<a 时,函数()x f 在区间[]2,0上是增函数,所以1)0()(min -==f x f ,()()342max +-==a f x f ;（2）当0≤a ≤2时,()()12min --==a a f x f : ①若0≤a ≤1220=+,则()()342max +-==a f x f ; ②若1＜a ≤2,则()()10max -==f x f .（3）当2>a 时,函数()x f 在区间[]2,0上是减函数,所以34)2()(min +-==a f x f ,()()10max -==f x f .综上所述,()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤--<-=234201012mina a a a a x f ,()()()⎩⎨⎧>-≤+-=11134maxa a a x f . 类型三 定轴动区间例28. 求函数22)(2+-=x x x f 在区间[]1,+t t 上的最小值()t g . 解:()1122)(22+-=+-=x x x x f ,其开口方向向上,对称轴为直线1=x .当1>t （此时对称轴在给定区间的左侧）时,函数()x f 在区间[]1,+t t 上为增函数,所以()()222+-==t t t f t g ;当t ≤1≤1+t ,即0≤t ≤1时,()()11==f t g ;当11<+t ,即0<t 时,函数()x f 在[]1,+t t 上为减函数,所以()()112+=+=t t f t g .综上所述,()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≤≤>+-=0110112222t t t t t t t g .例29. 若函数34)(2-+-=x x x f 的定义域为[]t ,0,值域为[]1,3-,则实数t 的取值范围是【 】（A ）(]4,0 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23 （C ）[)+∞,2 （D ）[]4,2分析:若函数的值域是开区间,则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则函数的最值在值域的端点处取得.解:()1234)(22+--=-+-=x x x x f ,其图象开口向下,对称轴为直线2=x .当2=x 时,1=y ;当3342-=-+-x x 时,4,021==x x . ∵函数的定义域为[]t ,0,值域为[]1,3-∴2≤t ≤4,即实数t 的取值范围是[]4,2.选择【 D 】.类型四 动轴动区间例30. 求函数()a x x y --=在∈x []a ,1-上的最大值.分析:本题要结合对称轴（含参数）与给定闭区间（含参数）之间的相对位置关系进行讨论,并结合函数的单调性确定最大值.解:()4222a a x a x x y +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=,其图象开口向下,对称轴为直线2a x =. 由题意可知:1->a .（区间的左端点必小于右端点）（见区间的表示） 当12-≤a,即2-≤a 时,与1->a 矛盾,舍去; 当21a <-≤a ,即a ≥0时,422max a a f y =⎪⎭⎫ ⎝⎛=;当a a>2,即01<<-a 时,函数在区间[]a ,1-上是增函数,所以()0==a f y mzx .综上所述,()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-≥=010042maxa a ay . 例31. 已知函数12)(2++=ax ax x f 在区间[]2,1-上有最大值4,求实数a 的值. 分析:本题未指明函数是二次函数,所以要对a 是否等于0展开讨论.二次函数)(x f 的对称轴为直线122-=-=aax ,对称轴在区间[]2,1-的左侧,但抛物线的开口方向不确定,取得最大值的条件也就不确定,所以还要对a 的符号进行讨论. 解:当0=a 时,1)(=x f ,不符合题意,舍去;当0≠a 时,函数12)(2++=ax ax x f 为二次函数,其对称轴为直线122-=-=aax . ∵函数在[]2,1-上有最大值4 ∴分为两种情况:①当0>a 时,函数在区间[]2,1-上为增函数 ∴()()41442max =++==a a f x f ,解之得:83=a ; ②当0<a 时,函数在区间[]2,1-上为减函数 ∴()()4121max =+-=-=a a f x f ,解之得:3-=a .综上所述,实数a 的值为83或3-.知识点四 求函数最值的方法 求函数最值的常用方法有:（1）配方法 主要用于二次函数或可化为二次函数的函数,要特别注意自变量的取值范围. （2）换元法 用换元法时一定要注意新元的取值范围. （3）图象法 即数形结合的方法.（4）单调性法 利用函数的单调性求最值的方法,要注意函数的单调性对函数最值的影响. 利用函数的单调性求最值例32. 求函数xx x f +=1)(的最小值.解:由题意可知函数的定义域为()+∞,0.。

高三数学函数的单调性及最值知识点总结高中数学客观题中,主要考查函数的单调性、最值及其简单应用，因此同学们需要了解一下相关知识点，下面是店铺给大家带来的高三数学函数的单调性及最值知识点总结，希望对你有帮助。

高三数学函数的单调性、最值知识点(一)单调性的定义：1、对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1，x2∈D，当x1f(x2)，则称f(x)是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D称为函数f(x)的单调区间。

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f(x)的单调增或减区间3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;②存在x0∈I，使得f(x0)=M;那么，称M是f(x)的最大值.最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;②存在x0∈I，使得f(x0)=M;那么，称M是f(x)的最小值判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法：(1)定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1②作差f(x1)-f(x2)或作商，并变形;③判定f(x1)-f(x2)的符号，或比较与1的大小;④根据定义作出结论。

(2)复合法：利用基本函数的单调性的复合。

(3)图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。

高三数学函数的单调性、最值知识点(二)函数的单词性函数的单调性也叫函数的增减性.函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.单调性的单词区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上,增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的。

证明函数单调性的方法总结
1、定义法:
利用定义证明函数单调性的一般步骤是：
①任取x1、x2∈D，且x1<x2；
②作差fx1－fx2，并适当变形“分解因式”、配方成同号项的和等；
③依据差式的符号确定其增减性．
2、导数法:
设函数y＝fx在某区间D内可导．如果f′x>0，则fx在区间D内为增函数；如果f′x<0，则fx在区间D内为减函数．
注意：补充
（1）若使得f′x=0的x的值只有有限个，
则如果f ′x≥0，则fx在区间D内为增函数；
如果f′x ≤0，则fx在区间D内为减函数．
（2）单调性的`判断方法：
定义法及导数法、图象法、
复合函数的单调性同增异减、
用已知函数的单调性等
（补充）单调性的有关结论
1．若fx，gx均为增减函数，
则fx＋gx仍为增减函数．
2．若fx为增减函数，
则－fx为减增函数，如果同时有fx>0，
则
为减增）函数，
为增（减）函数
3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．
4．y＝f[gx]是定义在M上的函数，
若fx与gx的单调性相同，
则其复合函数f[gx]为增函数；
若fx、gx的单调性相反，
则其复合函数f[gx]为减函数．简称”同增异减”
5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；
偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．
函数单调性的应用
1求某些函数的值域或最值．
2比较函数值或自变量值的大小．
3解、证不等式．
4求参数的取值范围或值．
5作函数图象．
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函数的单调性(局部性质)及最值1、增减函数（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x 1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.（2）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种2、图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3、单调性的判定方法(A) 定义法：○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.习 题1、判断函数单调性（1）下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）A. y=-x+1B. y=xC. y=x2-4x+5D. y=x 2（2）已知f(x)是R 上的增函数，若令F （x ）=f(1-x)-f(1+x)，则F （x ）是R 上的（ ）A.增函数B.减函数C.先减后增的函数D.先增后减的函数 (3) 在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y=2x ＋1B ．y=3x2＋1C ．y=x 2D ．y=2x2＋x ＋1（4）下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝3x2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝|x|(5) 下列函数中,在)0,(-∞上为减函数的是( )A.y=3xB.y=-x2C.y=︱x ︱D.y=2x+1(6) 下列函数中,在区间上为增函数的是( ).A ．B ．C ．D ．（7）定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥0，x 3＋1，x <0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0，e －x ，x <0以下注意复合函数单调性的判断（8）已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间(0，1)上是减函数C ．在区间(－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数答案：（1）B （2）B (3) C （4）C (5) C (6) D （7）C （8）A2、 求函数的单调区间（1） 函数y=542)21(--x x 的递减区间是__________________.（2） 函数y ＝－(x －3)|x|的递增区间是________．（分段函数作图） （3） 函数|1|ln )(-=x x f 的单调递减区间为 ________．（分段函数作图） （4） 函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（ ）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5)（5）函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞（6） 求函数f (x )＝x ＋a 2x (a >0)的单调区间．答案：（1）［2，+∞］ （2）[0，32] （3）)1,(-∞ （4）B （5）C（6）解：∵函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，设x 1、x 2≠0，且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a 2x 1－x 2－a 2x 2＝(x 1－x 2)＋a 2x 2－x 1x 1·x 2＝x 1－x 2x 1·x 2－a 2x 1·x 2.(1)当x 1<x 2≤－a 或a ≤x 1＜x 2时，x 1－x 2<0，x 1·x 2>a 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－a ]上和在[a ，＋∞)上都是增函数．(2)当－a ≤x 1<x 2<0或0<x 1<x 2≤a 时，x 1－x 2<0， 0<x 1·x 2<a 2，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在[－a,0)和(0，a ]上都是减函数．3、 根据函数单调性求得参数的取值范围（x 的取值范围）（1）函数y=(2k+1)X+b 在(-∞，+∞)上是减函数，则（ ）A.k>21 B.k<21 C.k>-21 D.k<-21 (2) 函数f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0<a<21 B.a<-1或a>21 C.a>21D.a>-2 (3) 函数y ＝2x2－(a －1)x ＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a 的值是( )A ．1B ．3C ．5D ．－1（4）已知函数f(x)=ax+logax （a ＞0且a ≠1）在［1，2］上的最大值与最小值之和为loga2+6，则a 的值为________．（5）已知关于x 的函数y=loga(2-ax)在［0，1］上是减函数，则a 的取值范围是________ （6）函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．(21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)（7）已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥3(8) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)(9)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >1)⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)(10) 若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．(11)设函数f(x)=x+xa(a>0). ①求函数在（0，+∞）上的单调区间，并证明之； ②若函数f(x)在［a-2,+∞］上递增，求a 的取值范围.(12) 已知函数f (x )＝a －1|x |.①求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；②若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．(13) 函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围．答案：(1)D (2)C (3)C (4) 2 （5）（1，2） （6）B （7）A (8)C(9)B (10) 12<a ≤23（11）解析：（1）f(x)在(0,+∞)上的增区间为［a ,+∞］，减区间为（0，a ）. 证明：∵f ′(x)=1-2xa,当x ∈［a ,+∞］时， ∴f ′(x)>0,当x ∈（0，a ）时，f ′(x)<0.即f(x)在［a +∞］上单调递增，在（0，a ）上单调递减.（或者用定义证） （2）［a-2,+∞］为［a ，+∞］的子区间，所以a-2≥a ⇒a-a -2≥0⇒(a +1)( a -2)≥0⇒a -2≥0⇒a ≥4.（12）解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0. f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0. ∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立．可证h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3，∴a 的取值范围为(－∞，3]． （13）解：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2ax ＋2＋a .任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2ax 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f (x 1)－f (x 2)<0.∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴1－2a <0，a >12.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.4、根据函数单调性求x 的取值范围（1）若函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f(x)>f(8x-16)的解集为_______________. （2）已知函数f(x)为R 上的减函数，则满足f(|x|)<f(1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)（3）已知函数f(x)是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f(x ＋1)|＜1的解集的补集是（ ）A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）（4）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是A ．（13，23）B ．（∞-，23）C ．（12，23）D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32答案：（1）（2，716） （2）D （3）D （4）C5、根据函数单调性求函数最值（1）已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在区间[3,5]上单调递增，则函数f(x)在区间[1,3]上的( )A ．最大值是f(1)，最小值是f(3)B ．最大值是f(3)，最小值是f(1)C ．最大值是f(1)，最小值是f(2)D ．最大值是f(2)，最小值是f(3)（2）定义新运算⊕：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x －(2⊕x)， x ∈[－2,2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6D ．12（3）函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为a ，则a ＝________.（4）已知定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足：①对于任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)．Ⅰ求f (0)的值； Ⅱ求f (x )的最大值；Ⅲ若对于任意x ∈[0,1)，总有4f 2(x )－4(2－a )f (x )＋5－4a ≥0，求实数a 的取值范围．答案：（1）A （2）C （3）12（4）解：Ⅰ对于条件③，令x 1＝x 2＝0得f (0)≤0， 又由条件①知f (0)≥0，故f (0)＝0. Ⅱ设0≤x 1<x 2≤1，则x 2－x 1∈(0,1)，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)≥f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)≥0. 即f (x 2)≥f (x 1)，故f (x )在[0,1]上递增，从而f (x )的最大值是f (1)＝1.Ⅲ因f (x )在[0,1]上是增函数，则f (x )∈[0,1]，又4f 2(x )－4(2－a )f (x )＋5－4a ≥0⇒a ≤4f 2(x )－8f (x )＋54－4f (x )对x ∈[0,1)恒成立，设y ＝4f 2(x )－8f (x )＋54－4f (x )＝1－f (x )＋14[1－f (x )]≥1，则a ≤1.6、 根据函数单调性判断函数值大小（1）设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，则下列不等式正确的是（ ）A.f(2a)<f(a)B.f(a 2)<f(a) C.f(a 2+a)<f(a) D.f(a 2+1)<f(a) 答案：D（2）定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)（3）已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（ ）A ．f (－1)＜f (9)＜f (13)B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)C ．f (9)＜f (－1)＜f (13)D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) （4）已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ． f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) （5）定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，当x >2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负答案：（1）D （2）A （3）C （4）B （5）A。

函数的单调性知识梳理1. 单调性概念一样地，设函数()f x 的概念域为I ：（1）若是关于概念域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）若是关于概念域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2. 单调性的判定方式 （1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。

（2）概念法步骤；①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)；②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判定整个差式符号为止）； ③定号：判定12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：依照概念得出其单调性.（3）复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时那么复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时那么复合函数为减函数。

也确实是说：同增异减（类似于“负负得正”）3. 单调区间的概念若是函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在那个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间．例题精讲【例1】以下图为某地域24小时内的气温转变图．(1)从左向右看，图形是如何转变的？(2)在哪些区间上升?哪些区间下降？解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降；（2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。

【例2】画出以下函数的图象，观看其转变规律：（1）f (x )=x ;①从左至右图象上升仍是下降?②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么转变？（2）f (x )=x 2．①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么转变？②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么转变？解：（1）①从左至右图象是上升的；②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大．（2）①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着减小；②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大．【例3】函数()y f x =在概念域的某区间D 上存在12,x x ，知足12x x <且12()()f x f x <，那么函数()y f x =在该区间上必然是增函数吗？解：不必然，例如以下图：【例4】以下图是概念在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的图象，依照图象说出函数的单调区间，和在每一单调区间上，它是增函数仍是减函数．解：函数()y f x =的单调区间有[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)---；其中在区间[5,2),[1,3)--上是减函数，在区间[2,1),[3,5)-上是增函数.【例5】证明函数()32f x x =+在R 上是增函数.证明：设12,x x 是R 上的任意两个实数，且12x x < （取值）那么1212()()(32)(32)f x f x x x -=+-+ （作差）123()x x =-由12x x <，得 120x x -<于是12()()0f x f x -< （定号）因此12()()f x f x <因此，函数()32f x x =+在R 上是增函数。

函数单调性总结
函数的单调性指的是函数的增减性质，即函数在定义域内的递增和递减的趋势。

在分析和求解问题时，了解函数的单调性可以帮助我们更好地理解函数的行为和性质。

一、单调递增函数
如果对于定义域内的任意两个不同的实数值x1和x2，当x1小于x2时，函数f(x1)小于f(x2)，则函数f(x)在该定义域上是单调递增的。

二、单调递减函数
如果对于定义域内的任意两个不同的实数值x1和x2，当x1小于x2时，函数f(x1)大于f(x2)，则函数f(x)在该定义域上是单调递减的。

三、严格单调性和非严格单调性
如果某个函数在定义域上的任意两个不同实数值x1和x2满足以下条件：
1. 当x1小于x2时，如果函数f(x1)小于f(x2)，则函数f(x)在该定义域上是严格单调递增的；
2. 当x1小于x2时，如果函数f(x1)大于f(x2)，则函数f(x)在该定义域上是严格单调递减的。

如果函数在定义域上既存在递增的区间，又存在递减的区间，则该函数在定义域上是非严格单调递增或非严格单调递减的。

四、单调性的判定方法
常用的判定函数单调性的方法有：
1. 导数判定法：对于可导的函数，可以通过求取导数，并根据导数的正负性来判断函数的单调性。

2. 函数值判定法：对于非可导的函数，可以通过比较函数值来判断函数的单调性。

总之，函数的单调性对于问题的分析和求解具有重要意义。

通过了解函数的单调性特点，我们可以更好地理解函数的变化规律，从而帮助我们更好地研究和解决问题。

以上是对函数单调性的总结，希望能对您有所帮助。

参考文献：。

证明函数单调性的方法总结
一、定义函数单调性
函数单调性指的是函数在区间内的变化是单调的，也就是说，函数只
有增加或减少的情况，而不会出现先增大后减少或者先减少后又增大的情况。

1、证明函数单调性的方法
（1）一阶导数法
若函数的一阶导数在区间上为正或者为负，则该函数在该区间是单调
递增或者单调递减的。

（2）二阶导数法
若函数的二阶导数在区间上为正或者为负，则该函数在该区间是单调
递增或者单调递减的。

（3）数轴变换法
对于有界函数，可以做数轴变换，以确定该函数是单调递增函数还是
单调递减函数。

（4）极限法
由极限定理可知，当其中一函数在其中一数轴上的极限存在且单调时，该函数在该数轴上是单调的。

（5）拉格朗日法
利用拉格朗日法计算函数的一阶导数，可以判断函数在其中一区间上是单调的还是不单调的。

2、证明函数单调性的几个案例
（1）一阶导数法
案例1：设函数f（x）=x^2-2x+1，若想证明它在（-oo，+oo）上是单调递减的，首先找到它的一阶导数：f'（x）=2x-2，如果对比得出f'（x）在（-oo，+oo）上均为负数，那么函数f（x）就是增减函数。

案例2：设函数f（x）=x^2+2x+1。

高中数学函数的单调性知识点总结
一、函数的单调性
1、什么是单调性
用单调性来描述一个函数的变化，就是说函数沿着正方向或者反方向
的变化是有规律的，而不是曲折转变，也就是说，函数的变化都是连续的，这就是单调性。

2、单调性的三种情况
(1)上升函数：如果在区间[a,b]内使得f(x)单调递增，就可以说f(x)为上升函数，可以简写为f(x)为单调增函数。

(2)下降函数：如果在区间[a,b]内使得f(x)单调递减，就可以说f(x)为下降函数，可以简写为f(x)为单调减函数。

(3)常函数：函数f(x)在区间[a,b]上恒等于常数c，则称函数为常函数，常函数是不存在单调性的。

3、判断函数的单调性
依照函数的单调性情况，可以通过图形方法和导数法来判断函数的单
调性：
(1)图形判断法，即根据函数图像大致的凸凹情况来判断函数的单调性。

(2)导数法，即当函数在其中一区间内正、负、零导数情况来判断函
数的单调性。

二、函数的可导性
1、什么是可导性
可导性是指在其中一区间上，函数的导数存在且唯一，可以说是函数的一种性质，在数学教学中也常常称为连续性或者连续性。

可导代数函数的定义：在其中一区间上，若存在一个函数f(x)的导数f’(x)，并且所有的在该区间上的导数经过等价的变换得到f’(x)，就称f(x)在该区间上为可导函数。