2020年6月唐山市理科数学高考二模试卷(含答案)

2020届河北省唐山市高三第二次模拟考试数学（理）试卷及答案说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知a∈R，若1＋ai2－i为实数，则a＝（A）2 （B）－2 （C）－ 12（D）12（2）已知命题p：函数y＝e|x－1|的图象关于直线x＝1对称，q：函数y＝cos(2x＋π6)的图象关于点(π6，0)对称，则下列命题中的真命题为（A）p∧q （B）p∧⌝q （C）⌝p∧q （D）⌝p∨⌝q （3）设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则2x＋y的最大值和最小值分别为（A）1，－1 （B）2，－2（C）1，－2 （D）2，－1（4）执行右边的程序框图，若输出的S是2047，则判断框内应填写（A）n≤9？（B）n≤10？（C）n≥10？（D）n≥11?（5）已知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝（A）22（B） 2 （C）－22（D）－ 2（6）已知函数f(x)＝s in(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(π2)＝（A）－32（B）－22（C）32（D）22（7）将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有 （A ）240种（B ）120种（C ）60种（D ）180种（8）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在半径为2的球面上，AB ＝AC ＝3，AA 1＝2，则二面角B -AA 1-C 的余弦值为 （A ）－1 3（B ）－1 2（C ） 1 3（D ） 1 2（9）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）1136（B ） 3 （C ）533（D ）433（10）若正数a ，b ，c 满足c 2＋4bc ＋2ac ＋8ab ＝8，则a ＋2b ＋c 的最小值为（A ） 3 （B ）2 3 （C ）2（D ）2 2（11）已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是 （A ）[ 1 2，1)（B ）[22，32] （C ）[22，1) （D ）[32，1) （12）若不等式lg 1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋(1－a)n xn≥(x －1)lg n 对任意不大于1的实数x 和大于1的正整数n都成立，则a 的取值范围是 （A ）[0，＋∞) （B ）(－∞，0] （C ）[ 12，＋∞)（D ）(－∞， 12]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．（13）商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg ）服从正态分布N (10，0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为__________．（精确到0.0001）注：P (μ－σ＜x ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜x ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ＜x ≤μ＋3σ)＝0.9974．（14）已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，2)，若a ，b 在向量c 上的投影相等，且(c －a)·(c －b)＝－ 52，则向量c 的坐标为________．（15）已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 23＝1的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2俯视图＝_________．（16）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90 ，则cos B ＝________．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{a n }中，a 3＋a 10＝15，且a 2，a 5，a 11成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝1a n ＋1a n ＋1＋…＋1a 2n －1，证明： 12≤b n ＜1．（18）（本小题满分12分）甲向靶子A 射击两次，乙向靶子B 射击一次．甲每次射击命中靶子的概率为0.8，命中得5分；乙命中靶子的概率为0.5，命中得10分．（Ⅰ）求甲、乙二人共命中一次目标的概率； （Ⅱ）设为二人得分之和，求的分布列和期望．（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且PA ⊥底面ABCD ，BD ⊥PC ，E 是PA 的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面EBD ；（Ⅱ）若PA ＝AB ＝2，直线PB 与平面EBD 所成角的正弦值为 14，求四棱锥P -ABCD 的体积．（20）（本小题满分12分）已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线与x 轴交于点M ，过点M 作圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，切点为A ，B ，|AB |＝423． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）过抛物线E 上的点N 作圆C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若P ，Q ，O （O 为原点）三点共线，求点N 的坐标．（21）（本小题满分12分）已知函数f (x)＝x 2－ln x －ax ，a ∈R ．（Ⅰ）若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x)＜0，求a 的取值范围；（Ⅱ）若f (x)＝x 有两个不同的实数解u ，v （0＜u ＜v ），证明：f (u ＋v2)＞1．请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，E 是圆O 内两弦AB 和CD 的交点，过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ，G 为切点，已知EF ＝FG ．求证：（Ⅰ）△DEF ∽△EAF ； （Ⅱ）EF ∥CB ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴的正半轴上滑动，BP →＝2PA →，点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程； （Ⅱ）求点P 到点D (0，－2)距离的最大值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x)＝|x －a |－|x ＋3|，a ∈R ． （Ⅰ）当a ＝－1时，解不等式f (x)≤1；（Ⅱ）若当x ∈[0，3]时，f (x)≤4，求a 的取值范围．理科数学 参考答案一、选择题：A 卷：CABAA BBDCD CDB 卷：DBBAABADCDDC二、填空题：（13）0.0228 （14）( 1 2， 32)（15）14（16）3 4三、解答题： （17）解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ．由已知得⎩⎨⎧a 1＋2d ＋a 1＋9d ＝15，(a 1＋4d)2＝(a 1＋d)(a 1＋10d)．注意到d ≠0，解得a 1＝2，d ＝1． 所以a n ＝n ＋1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，b n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2，因为b n ＋1－b n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2＞0， 所以数列{b n }单调递增． …8分 b n ≥b 1＝ 1 2．…9分又b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ≤1n ＋1＋1n ＋1＋…＋1n ＋1＝n n ＋1＜1，因此 12≤b n ＜1．…12分（18）解：（Ⅰ）记事件“甲、乙二人共命中一次”为A ，则P(A)＝C120.8×0.2×0.5＋0.22×0.5＝0.18．…4分（Ⅱ）的可能取值为0，5，10，15，20．P(＝0)＝0.22×0.5＝0.02，P(＝5)＝C120.8×0.2×0.5＝0.16，P(＝10)＝0.82×0.5＋0.22×0.5＝0.34，P(＝15)＝C120.8×0.2×0.5＝0.16，P(＝20)＝0.82×0.5＝0.32．的分布列为…10分的期望为E()＝0×0.02＋5×0.16＋10×0.34＋15×0.16＋20×0.32＝13．…12分（19）解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ． 又BD ⊥PC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面EBD ，所以平面PAC ⊥平面EBD ．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD ⊥AC ，所以ABCD 是菱形，BC ＝AB ＝2．…5分设AC ∩BD ＝O ，建立如图所示的坐标系O -xyz ，设OB ＝b ，OC ＝c ， 则P (0，－c ，2)，B (b ，0，0)，E (0，－c ，1)，C (0，c ，0)． PB →＝(b ，c ，－2)，OB →＝(b ，0，0)，OE →＝(0，－c ，1)．设n ＝(x ，y ，z)是面EBD 的一个法向量，则n ·OB →＝n ·OE →＝0，即⎩⎨⎧bx ＝0，－cy ＋z ＝0，取n ＝(0，1，c)． …8分依题意，BC ＝b 2＋c 2＝2．①记直线PB 与平面EBD 所成的角为θ，由已知条件 sin θ＝|n ·PB →|__________|n |·|PB →|＝c (1＋c 2)(b 2＋c 2＋22)＝ 14． ② 解得b ＝3，c ＝1．…10分所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝ 1 3×2OB ·OC ·PA ＝ 1 3×23×1×2＝433．…12分（20）解：（Ⅰ）由已知得M (－p2，0)，C (2，0)． 设AB 与x 轴交于点R ，由圆的对称性可知，|AR |＝223． 于是|CR |＝|AC |2－|AR |2＝ 1 3， 所以|CM |＝|AC |sin ∠AMC ＝|AC |sin ∠CAR＝3，即2＋ p2＝3，p ＝2．故抛物线E 的方程为y 2＝4x ．…5分（Ⅱ）设N (s ，t)．P ，Q 是NC 为直径的圆D 与圆C 的两交点． 圆D 方程为(x －s ＋22)2＋(y － t 2)2＝(s －2)2＋t 24，即x 2＋y 2－(s ＋2)x －ty ＋2s ＝0．① 又圆C 方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0． ② ②－①得(s －2)x ＋ty ＋3－2s ＝0．③ …9分P ，Q 两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ 的方程． 因为直线PQ 经过点O ，所以3－2s ＝0，s ＝ 32．故点N 坐标为( 3 2，6)或( 32，－6)．…12分（21）解：（Ⅰ）当x ∈(0，＋∞)时，f (x)＜0等价于x －ln xx ＜a ．令g (x)＝x －ln xx ，则g '(x)＝x 2－1＋ln x x 2．当x ∈(0，1)时，g '(x)＜0；当x ∈(1，＋∞)时，g '(x)＞0． g (x)有最小值g (1)＝1．…4分 故a 的取值范围是(1，＋∞)．…5分（Ⅱ）因f (x)＝x ，即x 2－ln x ＝(a ＋1)x 有两个不同的实数解u ，v ． 故u 2－ln u ＝(a ＋1)u ，v 2－ln v ＝(a ＋1)v ． 于是(u ＋v)(u －v)－(ln u －ln v)＝(a ＋1)(u －v)．…7分由u －v ＜0解得a ＝u ＋v －ln u －ln vu －v－1．又f '(x)＝2x － 1x－a ，所以f '(u ＋v 2)＝(u ＋v)－2u ＋v －(u ＋v)＋ln u －ln v u －v ＋1＝ln u －ln v u －v －2u ＋v ＋1． …9分设h (u)＝ln u －ln v －2(u －v)u ＋v ，则当u ∈(0，v)时，h '(u)＝(u －v)2u(u ＋v)2＞0，h (u)在(0，v)单调递增，h (u)＜h (v)＝0，从而ln u －ln v u －v －2u ＋v＞0，因此f '(u ＋v 2)＞1．12分（22）解：（Ⅰ）由切割线定理得FG 2＝FA ·FD ． 又EF ＝FG ，所以EF 2＝FA ·FD ，即EF FA ＝FDEF ．因为∠EFA ＝∠DFE ，所以△FED ∽△EAF ．…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠FED ＝∠FAE ． 因为∠FAE ＝∠DAB ＝∠DCB ， 所以∠FED ＝∠BCD ，所以EF ∥CB ．…10分（23）解：（Ⅰ）设P (x ，y)，由题设可知，则x ＝ 2 3|AB |cos(π－α)＝－2cos α，y ＝ 13|AB |sin(π－α)＝sin α，所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2cos α，y ＝sin α（α为参数，90︒＜α＜180︒）． …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得|PD |2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2＝4cos 2α＋sin 2α＋4sin α＋4 ＝－3sin 2α＋4sin α＋8＝－3(sin α－2 3)2＋283． 当sin α＝ 2 3时，|PD |取最大值2213．…10分（24）解：（Ⅰ）当a ＝－1时，不等式为|x ＋1|－|x ＋3|≤1．当x ≤－3时，不等式化为－(x ＋1)＋(x ＋3)≤1，不等式不成立；当－3＜x ＜－1时，不等式化为－(x ＋1)－(x ＋3)≤1，解得－ 52≤x ＜－1；当x ≥－1时，不等式化为(x ＋1)－(x ＋3)≤1，不等式必成立． 综上，不等式的解集为[－52，＋∞)．…5分（Ⅱ）当x ∈[0，3]时，f (x)≤4即|x －a |≤x ＋7， 由此得a ≥－7且a ≤2x ＋7．当x ∈[0，3]时，2x ＋7的最小值为7， 所以a 的取值范围是[－7，7]．…10分高考模拟数学试卷注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

.开滦二中2019-2020学年第二学期高二年级6月月考数学试卷 （理 ）说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（4）页，第Ⅱ卷第（5）页至第（8）页。

2、本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的准考证号、科目填涂在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。

答在试卷上无效。

3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡和机读卡一并收回。

1. 在二项式的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为（ ）A.-960B.960C.1120D.1680 2. 若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34 B.34 C ．－43D.433. 把函数y=sin （2x-6π）的图象向左平移6π个单位后，所得函数图象的一条对称轴为( ) A ．x=0B ．x=—12πC ．x=2πD ． x=6π4．已知数列{}n a 满足331log 1log n n a a ++=*()n ∈N ，且2469a a a ++=，则15793l o g ()a a a ++＝( )A 15-B 5C －5D 155.已知随机变量X 服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6.若μ＝4，σ＝1，则P(5<X<6)＝( )A ．0.135 9 ；B ．0.135 8 ；C ．0.271 8；D ．0.271 6；.6．已知011<<ba ，则下列结论不正确的是（ ）A ．a 2<b 2B ．ab<b 2C ．2>+abb a D ．|a|+|b|>|a+b|7．若对任意实数x 使得不等式23x a x --+≤恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A []1,5-B []5,1-C []1,1-D []2,4-8． 以模型kxce y =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设y z ln =，其变换后得到线性回归方程43.0+=x z ，则=c ( ) A.0.3 B.3.0e C. 4e D. 4 9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则64n ns a +的最小值为( ) A ．7 B ．8 C.152D.17210已知正数x ，y 满足yx y x 11,122+=+则的最大值为 （ ）A ．253 B ．22 C ．5 D ．211．袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次．若抽到各球的机会均等，事件A 为“三次抽到的号码之和为6”，事件B 为“三次抽到的都是2”，则P(B|A)＝( )A. 17B 27 C. 16D.72712．.若log 2x y =-，则x y +的最小值是（ ）18. （12分）设函数2()sin cos f x x x x =+,x R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为a .19. （12分）已知等差数列{}n a 中，2410a a +=，59a =，数列{}n b 中，11b a =，1n n n b b a +=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n c a a +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ；（3）求数列{}n b 的通项公式．20.（12分）某市甲、乙两校高二级学生分别有1100人和1000人,为了解两校全体高二级学生期 末统考的数学成绩情况,采用分层抽样方法从这两所学校共抽取105名高二学生的数学 成绩,并得到成绩频数分布表如下（ 甲校上图 ，乙校下图），规定考试成绩在为优秀.(1) 求表中x与y的值;(2由以上统计数据完成下面2x2列联表,问是否有99%的把握认为学生数学成绩优秀与所在学校有关?(3)若以样本的频率作为概率,现从乙校总体中任取 3人(每次抽取看作是独立重复的),求优秀学生人数 的分布列和数学期望.（，其中）21. （12分）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球．(1)求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；(2)求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；(3)设X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．高二年级六月月考数学试卷理答案1-12 CBDBA DBCDB AD 13. 9.5 14. –810 15. 220 16. 1317. 解：（1）()f x ≥-2 当2-≤x 时，24-≥-x , 即2≥x ，∴φ∈x ；当12<<-x 时，23-≥x ,即32-≥x ,∴213x -≤< 当1≥x 时，24-≥+-x , 即6≤x , ∴1≤x ≤6综上，{x |23-≤x ≤6} ………5分（2）a≤-2 …………………10分19. （1）设1(1)n a a n d =+-， ∵245109a a a +=⎧⎨=⎩，∴11241049a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a =，2d =，∴21n a n =-， ∴21(1)2n n n S na d n -=+=． （2）111111(21)(21)22121n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，12n T c c c =+++1111111()()()213352121n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥-+⎣⎦11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． （3）111b a ==，121n n n n b b a b n +=+=+-，∴112+=b b ，321313b b b =+=++，112(23)n b b n =+++⋅⋅⋅+-221(1)22n n n =+-=-+ (2n ≥)又1n =时，21221n n a -+==， ∴数列{}n b 的通项222n b n n =-+．2021.(1)设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A ，则P (A )＝3＋2C 39＝584.即取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为584.----3分(2)设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则 P (B )＝C 14C 17C 39＝2884＝13.即取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为13.-------6分(3)X 的取值为2,3,4,5.P (X ＝2)＝C 12C 22＋C 22C 12C 39＝121，P (X ＝3)＝C 12C 24＋C 22C 14C 39＝421， P (X ＝4)＝C 12C 26＋C 22C 16C 39＝37， P (X ＝5)＝C 11C 28C 39＝13.所以X 的分布列为X 的数学期望EX ＝2×121＋3×21＋4×7＋5×3＝21.-----12分22.∵11a b +≥1111b c a c +≥+≥ ∴111a b c ++≥. ∵sinx+siny-(1+sinxsiny) =sinx+siny-1-sinxsiny =sinx(1-siny)-(1-siny) =(1-siny)(sinx-1)∵-1≤sinx ≤1,-1≤siny ≤1, ∴1-siny ≥0,sinx-1≤0, ∴(1-siny)(sinx-1)≤0即sinx+siny ≤1+sinxsiny.。

2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。

河北省唐山市2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A ．31log 5+ B ．6C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由对数运算法则和等比数列的性质计算． 【详解】由题意313231031210log log log log ()a a a a a a +++=L L53563563log ()5log ()5log 35a a a a ====．故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键． 2．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a L 的最小值为（ ） A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()27【答案】D 【解析】 【分析】由2317,927S S ==，可求出等比数列{}n a 的通项公式1227n n a -=，进而可知当15n ≤≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >，从而可知12n a a a L 的最小值为12345a a a a a ，求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由题意得，332427a S S =-=，得2111427190a q a a q q ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得11272a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得1227n n a -=. 当15n ≤≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >，则12n a a a L 的最小值为551234534()()27a a a a a a ==. 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 3．如图所示程序框图，若判断框内为“4i <”，则输出S =（ ）A ．2B ．10C ．34D ．98【答案】C 【解析】 【分析】由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解. 【详解】由题意运行程序可得：4i <，122j =⨯=，0122s =+⨯=，112i =+=； 4i <，224j =⨯=，22410s =+⨯=，213i =+=； 4i <，428j =⨯=，103834s =+⨯=，314i =+=； 4i <不成立，此时输出34s =.故选：C. 【点睛】本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题. 4．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 【详解】∵()2cos221cos2cos22121x xx x f x x x +=+=⨯--， ()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数， ∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题. 5．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i - B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数【答案】D 【解析】 【分析】将复数z 整理为1i -的形式，分别判断四个选项即可得到结果. 【详解】()()()2121111i z i i i i -===-++- z 的虚部为1-，A错误；z ，B 错误；1z i =+，C 错误；()2212z i i =-=-，为纯虚数，D 正确本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题.6．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2或3B ．2C2D．3或2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x 、y 轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率． 【详解】设双曲线C 的渐近线方程为y=kx1k ∴=， ， 得双曲线的一条渐近线的方程为3y =∴焦点在x 、y 轴上两种情况讨论： ①当焦点在x轴上时有： 333b c e a a ==＝ ②当焦点在y 轴上时有：2a c e b a ==；∴求得双曲线的离心率 2． 故选：A ． 【点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线 的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．7．已知变量的几组取值如下表：若y 与x 线性相关，且ˆ0.8yx a =+，则实数a =（ ） A ．74B ．114C ．94D ．134【答案】B 【解析】 【分析】求出,x y ，把坐标(,)x y 代入方程可求得a ． 【详解】 据题意，得()()151191234, 2.4 4.3 5.374244x y =+++==+++=，所以1950.842a =⨯+，所以114a =． 故选：B ． 【点睛】本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点(,)x y 可计算参数值．8．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α，则“a //b“是“α//β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行的判定及性质求解即可． 【详解】解：a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，由a ∥b ，不一定有α∥β，α与β可能相交； 反之，由α∥β，可得a ∥b 或a 与b 异面，∴a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α， 则“a ∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题． 9．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④ B ．①②C ．①③D ．②④【答案】B 【解析】 【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础． 10．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论.【详解】如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的， 正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形， 顶点O 在平面11ADD A 上，高为2， 所以四棱锥的体积为184233⨯⨯=， 所以该几何体的体积为816833-=. 故选:B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ） A ．312B ．512C ．32D 51【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求出焦点坐标为(1,0)(-1,0)，,可求得幂函数为()f x x =设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率． 【详解】依题意可得，抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，F 关于原点的对称点(1,0)-；24α=，12α=，所以12()f x x ==，()f x '=，设0(Q x=01x =，∴ ()1,1Q ，可得22111a b -=，又1c =，222c a b =+，可解得12a =，故双曲线的离心率是12ce a ===. 故选B ． 【点睛】本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.12．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC V 面积的最大值是( ) AB ．15CD【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，求出cos C ，根据平方关系求出sin C .由2CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r 两端平方，求ab 的最大值，根据三角形面积公式in 12s S ab C =，求出ABC V 面积的最大值. 【详解】ABC V 中，()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+-⎪⎝⎭， 由正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，整理得22212c a b ab =+-， 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得()1cos ,0,,sin 4C C C π=∈=Q Q D 是AB 的中点，且1CD =，()()222,2CD CA CB CDCA CB ∴=+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，即22242CD CA CB CA CB =++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g ，即222211542cos 2222b a ba C a b ab ab ab ab =++=++≥+=， 85ab ∴≤，当且仅当a b =时，等号成立.ABC ∴V的面积118sin =22545S ab C =≤⨯⨯， 所以ABC V故选：A . 【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（3）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞） 2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（ ） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√33．（5分）在△ABC 中，“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β B ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥βC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β5．（5分）三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是（ ） A ．4√2B ．2√2C ．43√2 D ．34√26．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（ ）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√347．（5分）函数f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，√2+12]C ．[﹣1，√2−12]D ．[−1，√2]8．（5分）函数f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x﹣1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（5分）如图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有的点（ ）A ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变10．（5分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两个观测点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据√6≈2.45，sin75°≈0.97）（ ）A ．170米B ．110米C ．95米D ．80米11．（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（ ）A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关 12．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．x 2−y 212=1B ．x 23−y 24=1C ．x 216−y 29=1 D ．x 29−y 216=1二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 ．14．（5分）为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼 条．15．（5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 km 处，最少费用为 万元．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取得最大值，正方形ABCD 的边长为 cm ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在①a2+a3＝a5﹣b1，②a2•a3＝2a7，③S3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，若_______，数列{b n}满足b1＝1，b2=1 3，a nb n+1＝nb n﹣b n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{b n}的前n项和T n．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n（单位：笼，n∈N），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X为一天的包子需求量，求X的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？（Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y为当天的利润（单位：元），求Y的分布列和数学期望．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB ＝2，△P AD为等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD．（1）求证AD ⊥PB ．（2）在棱AB 上是否存在点F ，使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55？若存在，确定线段AF 的长度；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C ：x 212+y 24=1，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点．（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且k ∈（−12，−13），求直线BM 的斜率的取值范围． 21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +λx 2，λ∈R ．（Ⅰ）若λ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤λ在[1，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|． （1）解不等式f （x ）≤4；（2）设函数f （x ）的最小值为m ，若实数a 、b 满足a 2+b 2＝m 2，求4a 2+1b 2+1最小值．2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）【解答】解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |23＜x ＜2}，则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（23，2），故选：D ．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（ ） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√3【解答】解：由1−2i z=1+i ，得z =1−2i1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i ，∴|z |＝|z |=√(−12)2+(−32)2=√102．故选：C ．3．（5分）在△ABC 中，“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：因为在△ABC 中AB →•AC →=BA →•BC →等价于AB →•AC →−BA →•BC →=0等价于AB →•（AC →+BC →）＝0，因为AC →+BC →的方向为AB 边上的中线的方向．即AB 与AB 边上的中线相互垂直，则△ABC 为等腰三角形，故AC ＝BC ， 即|AC|→=|BC →|，所以为充分必要条件． 故选：C ．4．（5分）已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥βB ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥βC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β【解答】解：A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β，不正确，可能相交； B ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥β或a ⊂β，因此不正确； C ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥α，正确；证明：设α∩β＝b ，α∩γ＝c ，取P ∈α，过点P 分别作m ⊥b ，n ⊥c ， 则m ⊥β，n ⊥γ，∴m ⊥a ，n ⊥a ，又m ∩n ＝P ，∴a ⊥α． D ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β或a ⊂β． 故选：C ．5．（5分）三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是（ ） A ．4√2B ．2√2C ．43√2D ．34√2【解答】解：由题意三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，棱锥的高为P A ，可得16＝8+P A 2，所以P A ＝2√2，所以三棱锥的体积为：13×12×AB ×AC ×PA =√23•AB •AC ≤√23⋅AB 2+AC 22=4√23，当且仅当AB ＝AC ＝2时，三棱锥的体积取得最大值． 故选：C ．6．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（ ）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√34【解答】解：设|AF |＝a ，|BF |＝b ，A 、B 在准线上的射影点分别为Q 、P ， 连接AQ 、BQ由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |且|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中根据中位线定理，得2|MN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ． 由余弦定理得|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos 2π3=a 2+b 2+ab ，配方得|AB |2＝（a +b ）2﹣ab ， 又∵ab ≤（a+b 2） 2，∴（a +b ）2﹣ab ≥（a +b ）2﹣（ a+b 2） 2=34（a +b ）2得到|AB |≥√32（a +b ）． 所以|MN||AB|≤a+b2√32(a+b)=√33， 即|MN||AB|的最大值为√33． 故选：C ．7．（5分）函数f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，√2+12]C ．[﹣1，√2−12]D ．[−1，√2]【解答】解：设sin x +cos x ＝t （−√2≤t ≤√2）所以：sinxcosx =t 2−12则：f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x=t +t 2−12=12(t +1)2−1当t =√2时，函数取最大值：f(x)max =f(√2)=√2+12 当t ＝﹣1时，函数取最小值：f （x ）min ＝f （﹣1）＝﹣1 所以函数的值域为：[−1，√2+12] 故选：B ．8．（5分）函数f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x﹣1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵x 3+4＞0，∴x 3＞﹣4，解得x ＞−√43，∴函数的定义域为{x |x ＞−√43}， 当x →−√43时，f （x ）→﹣∞，∴排除选项A ； ∵f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x ﹣1，∴f ′(x)=3x 2x 3+4−e x−1， f （0）＝ln （0+4）﹣e ﹣1＝ln 4﹣e ﹣1＞0，∴排除选项C ； ∵f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x ﹣1，∴f '（0）＝﹣e ﹣1＜0，即x ＝0在函数的单调递减区间内，∴排除选项D ．故选：B ．9．（5分）如图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有的点（ ）A ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【解答】解：由图可知A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，又−π6ω+φ＝2k π（k ∈Z ），∴φ＝2k π+π3（k ∈Z ），又0＜ϕ＜π2， ∴φ=π3，∴y ＝sin （2x +π3）．∴为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有向左平移π3个长度单位，得到y ＝sin （x +π3）的图象，再将y ＝sin （x +π3）的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可．故选：A ．10．（5分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两个观测点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据√6≈2.45，sin75°≈0.97）（ ）A ．170米B ．110米C ．95米D ．80米【解答】解：在△ABC 中，∠ACB ＝180°﹣75°﹣45°＝60°， 由正弦定理得：AB sin∠ACB=AC sin∠ABC，∴AC =AB⋅sin∠ABC sin∠ACB=120×√22√32=40√6，∴S △ABC =12AB •AC •sin ∠CAB =12×120×40√6×sin75°≈5703.6， ∴C 到AB 的距离d =2S △ABC AB=2×5703.6120≈95． 故选：C ．11．（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（ ） A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关【解答】解：频率是随机的，随实验而变化，但概率是唯一确定的一个值． 故选：C ．12．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．x 2−y 212=1B ．x 23−y 24=1C ．x 216−y 29=1D ．x 29−y 216=1【解答】解：若（F 2F 1→+F 2A →）•F 1A →=0，即为若（F 2F 1→+F 2A →）•（−F 2F 1→+F 2A →）＝0， 可得AF 2→2=F 2F 1→2，即有|AF 2|＝|F 2F 1|＝2c ， 由双曲线的定义可得|AF 1|＝2a +2c ，在等腰三角形AF 1F 2中，tan ∠AF 2F 1=−247，cos ∠AF 2F 1=−725=4c 2+4c 2−(2a+2c)22⋅2c⋅2c，化为3c ＝5a ， 即a =35c ，b =45c ，可得a ：b ＝3：4，a 2：b 2＝9：16． 故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 9 ．【解答】解：∵函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，∴f （18）＝f （3×5+3）＝f （3）＝32＝9． 故答案为：9．14．（5分）为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼 400 条．【解答】解：为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘， 几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条． 设池塘中原来有鱼n 条，则540=50n，解得n ＝400． 故答案为：400．15．（5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 5 km 处，最少费用为 8 万元．【解答】解：设x 为仓库与车站距离，由题意可设y 1=k 1x，y 2＝k 2x ， 把x ＝10，y 1＝2与x ＝10，y 2＝8分别代入上式得k 1＝20，k 2＝0.8， ∴y 1=20x ，y 2＝0.8x费用之和y ＝y 1+y 2＝0.8x +20x ≥2√20x ×0.8x =2×4＝8， 当且仅当0.8x =20x ，即x ＝5时等号成立．当仓库建在离车站5km 处两项费用之和最小．最少费用为8万元． 故答案为：5，8．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取得最大值，正方形ABCD 的边长为165cm ．【解答】解：连接OG 交CD 于点M ，则OG ⊥DC ，点M 为CD 的中点，连接OC ， △OCM 为直角三角形，设正方形的边长为2x ，则OM ＝x ，由圆的半径 为4，则MG ＝4﹣x ，设额E ，F ，G ，H 重合于点P ，则PM ＝MG ＝4﹣x ＞x 则0x ＜2，高PO =√(4−x)2−x 2=√16−8x ， V =13(2x)2√16−8x =8√23√2x 4−x 5， 设y ＝2x 4﹣x 5，y ′＝8x 3﹣5x 4＝x 3（8﹣5x ），当0＜x ＜85时，y ′＞0，y ＝2x 4﹣x 5单调递增；当85＜x ＜2时，y ′＜0，y ＝2x 4﹣x 5单调递减，所以当x =85时，V 取得最大值，此时，2x =165． 即正方形ABCD 的边长为165时，四棱锥体积取得最大值．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在①a 2+a 3＝a 5﹣b 1，②a 2•a 3＝2a 7，③S 3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n }的公差d ＞0，前n 项和为S n ，若 _______，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=13，a n b n +1＝nb n ﹣b n +1． （1）求{a n }的通项公式； （2）求{b n }的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：若选①：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵a 2+a 3＝a 5﹣b 1，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n)． 若选②：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵a 2•a 3＝2a 7，∴（2+d ）（2+2d ）＝2（2+6d ），∵d ＞0，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n )． 若选③：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵S 3＝15，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n )． 18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：笼，n ∈N ），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X 为一天的包子需求量，求X 的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？ （Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y 为当天的利润（单位：元），求Y 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，X 的数学期望为E(X)=16×1060+17×1560+18×2060+19×1060+20×560=17.75． （Ⅱ）因为P(n ≤18)=34＜0.8，P(n ≤19)=1112＞0.8， 所以包子店每天至少要做19笼包子．（Ⅲ）当n ＝16时，Y ＝16×40﹣2×20＝600； 当n ＝17时，Y ＝17×40﹣20＝660； 当n ≥18时，Y ＝18×40＝720． 所以Y 的可能取值为600，660，720，P(Y =600)=16，P(Y =660)=14，P(Y =720)=1−16−14=712． 所以Y 的分布列为Y 600660720P1614712所以Y 的数学期望为E(Y)=600×16+660×14+720×712=685．19．（12分）如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，AB ＝2，△P AD 为等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ． （1）求证AD ⊥PB ．（2）在棱AB 上是否存在点F ，使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55？若存在，确定线段AF 的长度；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取AD 中点O ，连接PO ，OB ，因为平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为等边三角形，O 为AD 的中点， 所以PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥AD因为四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，O 为AD 中点， 所以BO ⊥AD因为PO ∩BO ＝O ，所以AD ⊥面PBO ，所以AD ⊥PB ；（2）解：在△OCD 中，OC =√1+4−2×1×2×(−12)=√7，∴PC =√10， ∴S △PCD =12×√10×√62=√152设A 到平面PCD 的距离为h ，则13×12×2×2×sin120°×√3=13×√152h ，∴h =2√155， ∵DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55， ∴2√155DF=2√55，∴DF =√3，∴F 是AB 的中点，AF ＝1．20．（12分）已知椭圆C ：x 212+y 24=1，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点．（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且k ∈（−12，−13），求直线BM 的斜率的取值范围． 【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设M （x 0，y 0），（﹣2√3＜x 0＜2√3，0＜y 0≤2），过点M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ，则H （x 0，0）（0＜y 0≤2）， 于是又tan ∠AMH =|AH||MH|=x 0+2√3y 0，tan ∠BMH =|BH||MH|=2√3−x 0y 0， ∴tan ∠AMB ＝tan （∠AMH +∠BMH ）=tan∠AMH+tan∠BMH1−tan∠AMHtan∠BMH =4√3y 0x 02+y 02−12，因为点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，所以x 0212+y 024=1，所以x 02＝12﹣3y 02， 所以tan ∠AMB =−2√3y 0，而0＜y 0≤2， 所以tan ∠AMB =−2√3y 0≤−√3，因为0＜∠AMB ＜π， 所以∠AMB 的最大值为2π3，此时y 0＝2，即M 为椭圆的上顶点，由椭圆的对称性，当M 为椭圆的短轴的顶点时，∠AMB 取最大值，且最大值为2π3；（2）设直线BM 的斜率为k '．M （x 0，y 0），则k =0x 0+2√3，k '=0x 0−2√3，所以kk '=y 02x 02−12，又x 0212+y 024=1，所以x 02＝12﹣3y 02，所以kk '=−13．因为−12＜k ＜−13，所以k '∈（23，1）所以直线BM 的斜率的取值范围．（23，1）．21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +λx 2，λ∈R ．（Ⅰ）若λ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤λ在[1，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当λ＝﹣1时，f （x ）＝xlnx +λx 2，则f ′（x ）＝lnx +1﹣2x ． 故f ′（1）＝﹣1，又f （1）＝﹣1．故所求期限的方程为y ﹣（﹣1）＝﹣1•（x ﹣1），即x +y ＝0； （Ⅱ）由题意得，xlnx +λx 2≤λ在[1，+∞）上恒成立， 设函数g （x ）＝xlnx +λ（x 2﹣1）． 则g ′（x ）＝lnx +1+2λx ．故对任意x ∈[1，+∞），不等式g （x ）≤0＝g （1）恒成立， ①当g ′（x ）≤0，即lnx+1x≤−2λ恒成立时，函数g （x ）在[1，+∞）上单调递减，设r （x ）=lnx+1x ，则r ′（x ）=−lnxx2≤0， ∴r （x ）max ＝r （1），即1≤﹣2λ，解得λ≤−12，符合题意；②当λ≥0时，g ′（x ）≥0恒成立，此时函数g （x ）在[1，+∞）上单调递增， 则不等式g （x ）≥g （1）＝0对任意x ∈[1，+∞）恒成立，不符合题意； ③当−12＜λ＜0时，设q （x ）＝g ′（x ）＝lnx +1+2λx ，则q ′（x ）=1x +2λ， 令q （x ）＝0，解得x =−12λ＞1， 故当x ∈（1，−12λ）时，函数g （x ）单调递增， ∴当x ∈（1，−12λ）时，g （x ）＞0成立，不符合题意， 综上所述，实数λ的取值范围为（﹣∞，−12]． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值．【解答】解：（Ⅰ）参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ：x 24+y 2=1；曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102．转化为直角坐标方程为：x +y −3√5=0； （Ⅱ）设点P （2cos θ，sin θ）到直线x +y ﹣3√5=0的距离d =√5|√2=√5sin(θ+α)−3√5|√2，当sin （θ+α）＝1时，d min =√10． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|． （1）解不等式f （x ）≤4；（2）设函数f （x ）的最小值为m ，若实数a 、b 满足a 2+b 2＝m 2，求4a 2+1b 2+1最小值．【解答】解：（1）当x ＜0时，则f （x ）＝﹣3x +2≤4，解得：−23≤x ＜0， 当0≤x ≤2时，则f （x ）＝x +2≤4，解得：0≤x ≤2， 当x ＞2时，则f （x ）＝3x ﹣2≤4，此时无解， 综上，不等式的解集是{x |−23≤x ≤2}；（2）由（1）知，当x ＜0时，f （x ）＝﹣3x +2＞2， 当0≤x ≤2时，则f （x ）＝x +2≥2， 当x ＞2时，则f （x ）＝3x ﹣2＞4， 故函数f （x ）的最小值是2， 故m ＝2，即a 2+b 2＝4， 则4a 2+1b 2+1=15（a 2+b 2+1）（4a 2+1b 2+1）第21页（共21页）=15[5+4(b 2+1)a 2+a 2b 2+1] ≥15（5+2√4(b 2+1)a 2⋅a 2b 2+1）≥95， 当且仅当4(b 2+1)a 2=a 2b 2+1且a 2+b 2＝4， 即a 2=103，b 2=23取“＝”， 故4a 2+1b 2+1的最小值是95．。

第1页（共4页）唐山市2024年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数学参考答案一．选择题：1～4．DBAC 5～8．CDBD 二．多选题：9．BC 10．AC 11．ABD三．填空题：12．3213．10，n (n ＋1)2(前空2分，后空3分)14．(8，3233)四．解答题：（若有其他解法，请参照给分）15．解：（1）因为AB ⊥平面B 1BCC 1，B 1C ⊂平面B 1BCC 1，所以AB ⊥B 1C ，…1分作B 1D ⊥BC 交BC 于点D ，在等腰梯形B 1BCC 1中，BB 1＝B 1C 1＝CC 1＝2，BC ＝4，所以BD ＝1，…2分在Rt △BDB 1中，cos ∠B 1BD ＝12，所以∠B 1BD ＝60°，在△BCB 1中，由余弦定理得B 1C 2＝B 1B 2＋BC 2－2B 1B ·BC ·cos60°＝12，…3分所以B 1C 2＋B 1B 2＝BC 2，从而有B 1B ⊥B 1C ，…4分又AB ∩B 1B ＝B ，所以B 1C ⊥平面BAA 1B 1，…5分因为AA 1⊂平面BAA 1B 1，所以AA 1⊥B 1C ．…6分（2）以B 为原点，BA →、BC →分别为x 轴、y 轴正向，建立空间直角坐标系如图所示，则B (0，0，0)，A (3，0，0)，C (0，4，0)，B 1(0，1，3)，C 1(0，3，3)，C 1C →＝(0，1，－3)，AC →＝(－3，4，0)，…8分因为AB ⊥平面B 1BCC 1，所以BA →＝(3，0，0)为面B 1BCC 1的一个法向量．…9分设n ＝(x ，y ，z )为面A 11的法向量，则n ·C 1C →＝n ·AC →＝0－3z ＝0，3x ＋4y ＝0，取y ＝3，x ＝4，z ＝3，则n ＝(4，3，3)，…11分依题意，cos 〈BA →，n 〉＝|BA →·n ||BA →||n |＝123×27＝277，所以平面B 1BCC 1与平面A 1ACC 1夹角的余弦值为277．…13分16．解：（1）由题意知学生甲摸球2次总得分X 的取值为2，3，4…1分P (X ＝2)＝23×23＝49，P (X ＝3)＝C 12×23×13＝49，P (X ＝4)＝13×13＝19，…4分所以X 的分布列为：X 234P494919第2页（共4页）所以EX ＝2×49＋3×49＋4×19＝83．…6分（2）记A m ＝“甲最终得分为m 分”，m ＝8，9，10；B ＝“乙获得奖励”．P (A 9)＝C 12×23×13＝49，…8分P (A 8)＝C 22(23)2＝49．…10分当甲最终得9分时，乙获得奖励需要最终得10分，则P (B |A 9)＝C 55(13)5＝(13)5；…12分当甲最终得8分时，乙获得奖励需要最终得10分或9分，则P (B |A 8)＝C 55(13)5＋C 15×23×(13)4＝11×(13)5；…14分故P (B )＝P (A 9B )＋P (A 8B )＝P (A 9)×P (B |A 9)＋P (A 8)×P (B |A 8)＝49×(13)5＋49×11×(13)5＝4837＝1636＝16729．即乙获得奖励的概率为16729．…15分17．解：（1）sin3x ＝sin(2x ＋x )＝sin2x cos x ＋cos2x sin x …2分＝2sin x cos x ·cos x ＋(1－2sin 2x )sin x …4分＝2sin x (1－sin 2x )＋sin x －2sin 3x ＝3sin x －4sin 3x …6分（2）由（1）可知，sin30︒＝3sin10︒－4sin 310︒＝12，…8分即sin10︒是方程4x 3－3x ＋12＝0的一个实根.…10分令f (x )＝4x 3－3x ＋12，f '(x )＝12x 2－3＝3(2x ＋1)(2x －1)，…11分显然0＜sin10︒＜sin30︒＝12，当0＜x ＜12时，f '(x )＜0，所以f (x )＝4x 3－3x ＋12在(0，12)上单调递减，…12分又f (16)＝4×(16)3＞0，f (15)＝4×(15)3－3×15＋12＝－17250＜0，…14分所以sin10︒∈(16，15)，即n ＝5.…15分18．解：（1）根据题意设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，c ＝1，…1分由已知得，ab ＝23，a 2－b 2＝1，…3分解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为：x 24＋y 23＝1.…5分第3页（共4页）（2）依题意设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，kx ＋m ，＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，…6分由题意△＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝48(4k 2－m 2＋3)＞0，则x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，…7分所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝3m 2－12k 23＋4k 2．…8分（ⅰ）∵四边形ABDE 为菱形，∴OA ⊥OB ，∴OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－123＋4k 2＋3m 2－12k 23＋4k 2＝0，…9分∴7m 2＝12(k 2＋1)，即m 2＝12(k 2＋1)7．…10分∵ＯP 为点O 到直线AB 的距离，∴ＯP ＝d ＝|m |1＋k 2＝127，…11分所以P 点的轨迹方程为：x 2＋y 2＝127．…12分（ⅱ）因为|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝43×(1＋k 2)(4k 2－m 2＋3)(4k 2＋3)2，∴△AOB 的面积S ＝12×|AB |×d ＝127(k 2＋1)(16k 2＋9)(4k 2＋3)2…14分令t ＝3＋4k 2，则t ≥3，k 2＝t －34，∴S ＝1274t 2＋t －34t 2＝67－3t 2＋1t ＋4＝67－3(1t －16)2＋4912，…15分∵t ≥3，∴0＜1t ≤13，∴当t ＝6时，S max ＝3，当t ＝3时，S max ＝127，所以127≤S ≤3．…16分由对称性可知菱形ABDE 面积等于△AOB 面积的4倍，所以菱形ABDE 面积的取值范围为[487，43]．…17分第4页（共4页）19．解：（1）因为10＝3×3＋1，所以10mod 3＝1．…2分（2）因为f (6，3)＝(f (5，3)＋3)mod 6＝0，且f (5，3)＜5，所以f (5，3)＋3＝6，故f (5，3)＝3．…4分当n ≥m 时，递推关系式的实际意义：当从n ＋1个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为f (n ＋1，m )，而从n 个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为f (n ，m )．…6分如果把二者关联起来，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的，当然还要重新排序，由于退出来的是a m －1，则原环的a m 就成了新环的a 0，也就是说原环的序号下标要比新环的大m ，原环的a n 就成了新环的a n －m ．需要注意，新环序号a n－m 后面一直到a n －1，如果下标加上m ，就会超过n ．如新环序号a n －m ＋1对应的是原环中的a 0，…，新环序号a n －1对应的是原环中的a m －2．也就是说，得用新环的序号下标加上m 再减去(n ＋1)，才能在原环中找到对应的序号，这就需要用模取余，即f (n ＋1，m )＝(f (n ，m )＋m )mod (n ＋1)．…8分（3）由题设可知f (1，2)＝0，由（2）知f (2，2)＝(f (1，2)＋2)mod 2＝2mod 2＝0；f (3，2)＝(f (2，2)＋2)mod 3＝2mod 3＝2；f (4，2)＝(f (3，2)＋2)mod 4＝4mod 4＝0；f (5，2)＝(f (4，2)＋2)mod 5＝2mod 4＝2；f (6，2)＝(f (5，2)＋2)mod 6＝4mod 6＝4；f (7，2)＝(f (6，2)＋2)mod 7＝6mod 7＝6；f (8，2)＝(f (7，2)＋2)mod 8＝8mod 8＝0；…10分由此推测，当2k ≤n ＋1＜2k ＋1（k ∈N ）时，f (n ＋1，2)＝2[(n ＋1)mod 2k ]．…11分下面用数学归纳法证明：1.当n ＋1＝1＝20时，f (1，2)＝0＝2(1mod 20)，推测成立；…12分2.假设当n ＋1＝2k ＋t （k ∈N ，t ∈N ，且0≤t ＜2k ）时推测成立，即f (2k ＋t ，2)＝2[(2k ＋t )mod 2k ]＝2t ．…13分由（2）知f (2k ＋t ＋1，2)＝(f (2k ＋t ，2)＋2)mod (2k ＋t ＋1)＝(2t ＋2)mod (2k ＋t ＋1)．…14分（ⅰ）当0≤t ＜2k －1时，f (2k ＋t ＋1，2)＝2t ＋2＝2[(2k ＋t ＋1)mod 2k ]；…15分（ⅱ）当t ＝2k －1时，f (2k ＋t ＋1，2)＝0，此时2k ＋t ＋1＝2k ＋1，即f (2k ＋1，2)＝2(2k ＋1mod 2k ＋1)．故当n ＋1＝2k ＋t ＋1时，推测成立．…16分综上所述，当2k ≤n ＋1＜2k ＋1（k ∈N ）时，f (n ＋1，2)＝2[(n ＋1)mod 2k]．推测成立．…17分。

河北省唐山市高三年级第二次模拟考试数学（理）试题说明：一、本试卷共4页，包括三道大题，24道小题，共150分，其中1．～(21)小题为必做题，(22)～(24)小题为选做题．二、答题前请仔细阅读答题卡上地“注意事项”，按照“注意事项”地规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目地标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案，四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回， 参考公式：样本数据nx x x ,,,21地标准差；x x x x x x x ns n 其中],)()()[(122221为样本平均数；柱体体积公式：为底面面积其中S Sh V , 、h 为高； 锥体体积公式：h S Sh V ,,31为底面面积其中 为高； 球地表面积、体积公式：,34,432R V R S 其中R 为球地半径。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出地四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．已知1zi=2+i，则复数z地共轭复数为A．-3-i B．-3+i C．3+i D．3-i2．261()xx地展开式中地常数项为A．－15 B．15 C．－20 D．20 3．己知命题p：“a>b”是“2a>2b”地充要条件；q：x ∈R，lx+l l≤x，则A． p q为真命题B．p q为假命题C．p q为真命题D． p q为真命题4．已知 是第三象限地角，且tan =2，则sin（ +4）=A．B C．D．5．设变量x 、y 满足1,0,220,x y x y x y则目标函数z=2x+y 地最小值为 A ．6B ．4C ．2D ．326．把函数y=sin （2x-6 ）地图象向左平移6个单位后，所得函数图象地一条对称轴为 A ．x=0B ．x=6C ．x=—12D ．x=27．执行如图所示地算法，若输出地结果y ≥2，则输入地x 满足A．x≤一l或x≥4 B．x≤-l C．-1≤x≤4 D．x≥48．已知某几何体地三视图如图所示，则其体积为A．1 B．43 C．53D．29．奇函数f（x）、偶函数g（x）地图象分别如图1、2所示，方程f（g(x）)=0、g（f(x））=0 地实根个数分别为a、b，则a+b=A．14 B．10 C．7 D．310．直线l 与双曲线C ：22221(0,)x y a b a b 交于A 、B 两点，M 是线段AB 地中 点，若l 与OM （O 是原点）地斜率地乘积等于1，则此双曲线地离心率为 A 2B 3C ．2D ． 311．曲线y=11x x 与其在点（0，一1）处地切线及直线x=1所围成地封闭图形地面积为 A ．1－ln2B ．2－2n2C ． ln2D ．2ln2－112．把一个皮球放入如图所示地由8根长均为20 cm地铁丝接成地四棱锥形骨架内，使皮球地表面与8根铁丝都有接触点，则皮球地半径为 A ．3cm B ．10 cm C ．2cmD ．30cm二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．函数y=102x。

河北省唐山市2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( ) A ．－30 B ．－40 C ．40 D ．50【答案】C 【解析】 【分析】先写出()52x y -的通项公式，再根据33x y 的产生过程，即可求得.【详解】对二项式()52x y -，其通项公式为()()()555155221rrrrr rr r r T C x y C x y ---+=-=-5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数是()52x y -展开式中23x y 的系数与32x y 的系数之和.令3r =，可得23x y 的系数为()33252140C -=-；令2r =，可得32x y 的系数为()22352180C -=；故5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为804040-=.故选：C. 【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题. 2．已知复数22z a i a i =--是正实数，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．1- D ．1±【答案】C 【解析】 【分析】将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案. 【详解】因为2222(1)z a i a i a a i =--=-+-为正实数，所以20a ->且210a -=，解得1a =-. 故选：C【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.3．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误【答案】A 【解析】 【分析】利用韦达定理可得1αβ+=,1αβ=-,结合n nn a αβ=+可推出1n a +1n n a a -=+,再计算出11a =,23a =,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误. 【详解】因为α,β是方程210x x --=的两个不等实数根, 所以1αβ+=,1αβ=-,因为n nn a αβ=+,所以111n n n a αβ+++=+()()n n n n n n αβααβββααβ=+++-- ()()()11n n n n αβαβαβαβ--=++-+ ()()111n n n n n n a a αβαβ---=+++=+,即当3n ≥时,数列{}n a 中的任一项都等于其前两项之和, 又11a αβ=+=,()222223a αβαβαβ=+=+-=, 所以3214a a a =+=,4327a a a =+=,54311a a a =+=, 以此类推,即可知数列{}n a 的任意一项都是正整数,故①正确;若数列{}n a 存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5, 由11a =,23a =,依次计算可知,数列{}n a 中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期, 故数列{}n a 中不存在个位数字为0或5的项,故②错误; 故选:A. 【点睛】本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力. 4．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．43i + B ．43i -C ．43i -+D ．43i --【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法、除法运算求出z ，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】由34zi i =+，则3434431i i z i i +-===--， 所以z =43i +. 故选：A 【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题. 5．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ） A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数()f x '，由()0f x '=有不等的两实根，即>0∆可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论． 【详解】()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-Q ，()2221()4f x x bx a c ac '∴=+++-.若()f x 存在极值，则()2221404b ac ac -⨯⨯+->，222a c b ac ∴+-<又2221cos ,cos 22a cb B B ac +-=∴<.又()0,,3B B π∈π∴<<πQ ．故选：C ． 【点睛】本题考查导数与极值，考查余弦定理．掌握极值存在的条件是解题关键．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F 到直线20bx ay -=，则E 的离心率为( )A ．2B ．12C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得到直线20bx ay -=的倾斜角为45o ，有21ba=，再利用222a b c =+即可解决. 【详解】由F 到直线20bx ay -=，得直线20bx ay -=的倾斜角为45o ，所以21ba=，即()2224a c a -=，解得2e =. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于,,a b c 的方程或不等式，本题是一道容易题. 7．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120 B ．120C ．-15D ．15【答案】C 【解析】 【分析】 写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数． 【详解】101()2x x -的展开式的通项公式为101021101011()()22r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为33101()152C -=-．故选C【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题． 8．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 【答案】A 【解析】依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.9．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则A B I 等于（ ）A ．{}012,, B ．{2,1,0,1,2}-- C ．{}2,1,0,1,2,3-- D ．{}12, 【答案】A 【解析】 【分析】进行交集的运算即可． 【详解】{0A =Q ，1，2，3}，{|22}B x x =-剟， {0A B ∴=I ，1，2}．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 10．执行如图的程序框图，若输出的结果2y =，则输入的x 值为( )A ．3B ．2-C ．3或3-D ．3或2-【答案】D 【解析】 【分析】根据逆运算，倒推回求x 的值，根据x 的范围取舍即可得选项. 【详解】因为2y =,所以当()12+12x =，解得3>0x = ，所以3是输入的x 的值； 当122x --=时，解得20x =-<，所以2-是输入的x 的值， 所以输入的x 的值为2- 或3， 故选：D. 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题.11．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙【答案】A 【解析】 【分析】利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．12．以()3,1A -，()2,2B-为直径的圆的方程是A ．2280x y x y +---=B ．2290x y x y +---=C ．2280x y x y +++-=D ．2290x y x y +++-=【答案】A 【解析】 【分析】设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出,,a b r ，从而求出圆的方程. 【详解】设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=， 由题意得圆心(,)O a b 为A ，B 的中点， 根据中点坐标公式可得32122a -==，12122b -+==，又||2AB r ===，所以圆的标准方程为： 221117()()222x y -+-=，化简整理得2280x y x y +---=，所以本题答案为A. 【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年河北省唐山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．数z满足（1+z）（1+2i）=i，则复平面内表示复数z的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知a，b为实数，则“a3＜b3”是“2a＜2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（）A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.94．执行如图的程序框图，若输入M的值为1，则输出的S=（）A．6 B．12 C．14 D．205．在▱ABCD中，AB=2AD=4，∠BAD=60°，E为BC的中点，则•=（）A．6 B．12 C．﹣6 D．﹣126．设椭圆C：y2+=1（0＜m＜1）的两焦点分别为F1，F2，若在椭圆C上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是（）A．[，1）B．（0，] C．[，1）D．（0，]7．函数f（x）=cos（x+）+2sin sin（x+）的最大值是（）A．1 B．sin C．2sin D．8．曲线y=和x2+y2=2及x轴所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．9．5名大学生为唐山世界园艺博览会的3个场馆提供翻译服务，每个场馆分配一名或两名大学生，则不同的分配方法有（）A．90种B．180种C．270种D．360种10．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=x在[0，1）上的最大值为m，在（1，2]上的最小值为n，则m+n=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．在等边△ABC中，M为△ABC内一动点，∠BMC=120°，则的最小值是（）A．1 B．C．D．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为y=±x，则离心率e为．14．若实数x，y满足，则z=3x+4y的最大值是．15．已知AB是球O的直径，C，D为球面上两动点，AB⊥CD，若四面体ABCD体积的最大值为9，则球O的表面积为．16．当x∈[﹣1，+∞）时，不等式x3﹣ax2﹣4x+8≥0恒成立，则a的取值范围是．三、简答题：本大题共70分。

河北省唐山市高考数学二模考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知 =1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=（）A . 3B . 2C . 5D .2. （2分）(2017·广西模拟) sin75°=（）A .B .C .D .3. （2分） (2015高二下·赣州期中) 已知命题p：设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件；命题q：若＜0，则，夹角为钝角，在命题①p∧q；②￢p∨￢q；③p∨￢q；④￢p∨q 中，真命题是（）A . ①③B . ①④C . ②③D . ②④4. （2分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A .B . 6C . 11D . 105. （2分）(2019·吉林模拟) 已知函数，设，，，则，，的大小关系为（）A .B .C .D .6. （2分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m的取值范围是（）A . (30,42]B . (42,56]C . (56,72]D . (30,72]7. （2分）等差数列共有项，若前项的和为200，前项的和为225，则中间项的和为（）A . 50B . 75C . 100D . 1258. （2分）从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中，选出3个偶数2个奇数重新排列，可得六位数的个数为（）A .B .C .D .9. （2分）棱台上、下底面面积比为1:9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（）A . 1:7B . 2:7C . 7:19D . 5:1610. （2分）在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）由不等式组确定的平面区域为，由不等式组确定的平面区域为，在内随机的取一点，则点落在区域内的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）下列命题中的假命题是（）A . ∀x∈R，2x﹣1＞0B . ∃x∈R，tanx=2C . ∃x∈R，lgx＜1D . ∀x∈N* ，（x﹣1）2＞0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·南京期中) 函数的最大值为________.14. （1分）若（1+x）n=1+a1x+a2x2+a3x3+…+xn（n∈N*），且a1：a3=1：2，则n=________．15. （1分）(2020·鹤壁模拟) 已知为曲线在处的切线，当直线与坐标轴围成的三角形面积为时，实数的值为________.16. （1分） (2018高二上·淮安期中) 将圆绕直线在空间旋转一周，所得几何体的体积为________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2018高三上·镇海期中) 已知数列的前项和为，且，（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）是否存在实数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由．18. （10分）(2018·榆社模拟) 根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表：根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前20天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如下图所示.（1）根据降水量的折线图，分别求该工程施工延误天数的频率；（2）以（1）中的频率作为概率，求工期延误天数的分布列及数学期望与方差.19. （10分） (2016高一下·淄川期中) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1 ， ACC1A1均为正方形，AB=AC=1，∠BAC=90，点D是棱B1C1的中点．（1）求证：AB1∥平面A1DC；（2）求证：A1D⊥平面BB1C1C．20. （10分） (2016高二下·深圳期中) 已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）（k≠0）相交于A、B两点，O 是坐标原点．（1）当k= 时，求|AB|的长；（2）求证无论k为何值都有OA⊥OB．21. （5分）(2017·太原模拟) 已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）= x2﹣x．（Ⅰ）求过点（﹣1，0）且与曲线y=f（x）相切的直线方程；（Ⅱ）设h（x）=af（x）+g（x），其中a为非零实数，若y=h（x）有两个极值点x1 ， x2 ，且x1＜x2 ，求证：2h（x2）﹣x1＞0．22. （10分） (2016高三上·长春期中) 已知直线l：（t为参数，α为l的倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C为：ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C相切，求α的值；（2）设曲线C上任意一点的直角坐标为（x，y），求x+y的取值范围．23. （5分）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（Ⅰ）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个不同的解，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、第11 页共13 页第12 页共13 页21-1、22-1、22-2、23-1、第13 页共13 页。

数学试卷一、选择题1.已知集合{|P x y ==，{}|ln 1Q x x =<，则P Q =I （ ） A.(]0,2B.[)2,e -C.(]0,1D.()1,e2.已知p ，R q ∈，1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅=（ ） A.-4B.0C.2D.43.设 2.52a =，02.5b =， 2.512c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a c b >>B.c a b >>C.a b c >>D.b a c >>4.函数()1sin ln 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的图像大致为（ ）A. B.C. D.5.已知函数()()log 01a f x x a =<<的导函数为()'f x ，记()()()',1A f a B f a f a ==+-，()'1C f a =+,则（ ） A.A C B >>B.A B C >>C.B A C >>D.C B A >>6.为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ）A.向右平移π6单位长度 B.向右平移π3单位长度 C.向左平移π6单位长度 D.向左平移π3单位长度 7.在锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若2A B =，则ABAC的取值范围是（ ）A.()0,3B.()1,2C.D.()1,38.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≤时，()3x f x a =+，则()2f 的值为（ ） A.89B.19C.19a --D.19a -9.已知()243,1log 2,1ax ax x f x x a x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，那么实数a 的取值范围是（ ）A.10,2⎛⎤⎥⎝⎦B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 10.如图，在ABC △中，13AN NC =u u u r u u u r ，P 是BN 上的一点.若29AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r，则实数m 的值为（ ）.A .1B . 19 C. 13D. 311.已知函数()f x 在()1,-+∞上单调，且函数()2y f x =-的图像关于1x =对称.若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()5051f a f a =，则1100a a +=（ ） A.2B. -2C. 0D.-1 12.已知函数()()ln 0x f x e x x =>若对[]()1,,,0x e k a a a e ⎡⎤∀∈∃∈->⎢⎥⎣⎦使得方程()f x k =有解，则实数a 的取值范围是（ ） A.(0,e e ⎤⎦ B .),ee ⎡+∞⎣C.[),e +∞D.1,e e e e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦二、填空题13.已知函数()f x 满足()()()4R f x f x x +=∈，且在区间(]2,2-上，()πcos ,0221,202x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则()()15f f =_________________14.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 .15.已知双曲线2213y x -=上存在两点,M N 关于直线y x m =+对称，且MN 的中点在抛物线218y x =上，则实数m 的值为 .16.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为54的球O 中（且球心O 在该棱锥内部），底面ABCD 的，则点A 到平面PBC 的距离是 . 三、解答题17.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且满足33cos sin b a C C =， （1）求A 的大小；（2）若a =22b c +的取值范围。

2023年河北省唐山市高考数学二模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜﹣2}，B ＝{x |﹣4＜x ＜0}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |﹣4＜x ＜﹣2} B ．{x |x ＜0} C ．{x |﹣2≤x ＜0}D ．{x |x ＞﹣4}2．i （3﹣i ）的共轭复数为（ ） A ．3+iB ．3﹣iC ．1+3iD ．1﹣3i3．某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为（ ） A ．220B ．240C ．250D ．3004．函数f(x)=2sin(2x +π3)的单调递减区间为（ ） A ．(kπ+π12，kπ+7π12)，k ∈Z B ．(kπ+π12，kπ+5π6)，k ∈ZC ．(kπ+π6，kπ+5π6)，k ∈ZD ．(kπ+π6，kπ+7π12)，k ∈Z 5．已知圆C 1：x 2+y 2﹣2x ＝0，圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝4，则C 1与C 2的位置关系是（ ） A ．外切B ．内切C ．相交D ．外离6．从2艘驱逐舰和6艘护卫舰中选出3艘舰艇分别担任防空、反潜、巡逻任务，要求其中至少有一艘驱逐舰，则不同的安排方法种数为（ ） A ．336 B ．252C ．216D ．1807．椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2与E 交于A ，B 两点，△ABF 1为直角三角形，且|AF 1|，|AB |，|BF 1|成等差数列，则E 的离心率为（ ） A ．12B ．√22C ．√32D ．348．已知函数f （x ）＝e x +e ﹣x ﹣ax 2有三个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，1]C ．[1，+∞）D ．（1，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

河北唐山市2020学年度高三数学综合测试题（理科） 本试卷分为第Ⅰ卷（1~2页，选择题）和第Ⅱ卷（3~8页，非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

（1）已知集合{|(3)(1)0}M x x x =+-<，{|3}N x x =-„，则()R M N =U ð（A ）{|1}x x „ （B ）{|1}x x … （C ）{|1}x x << （D ）{|1}x x ><（2）设{}n a 是公比为正数的等比数列，若354,16a a ==，则数列{}n a 的前5项和为（A ）41 （B ）15 （C ）32 （D ）31（3）复数12i-+的虚部是 （A ）15- （B ）15i - （C ）15 （D ）15i （4）圆221x y +=与直线2y kx =+有公共点，则k 的取值范围是（A ）[ （B ）(,)-∞+∞U（C ）[ （D ）(,)-∞+∞U（5）已知A 、B 、C 三点共线，且2AC CB +=u u u r u u u r 0，则OC =u u u r（A ）2OA OB -u u u r u u u r （B ）2OB OA -u u u r u u u r （C ）22OB OA -u u u r u u u r （D ）22OA OB -u u u r u u u r（6）△ABC 中，4cos 5B =，5cos 13C =-，则sin A = （A ）1665 （B ）1665- （C ）3365 （D ）3365-（7）曲线lny =x e =处的切线的斜率为（A ）12 （B （C ） （D ）12e（8）函数cos()([0,2])22x y x ππ=+∈的图象和直线12y =的交点个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（9）若双曲线22221x y a b-=的两个焦点到同一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的渐近线方程是（A ）2y x =± （B ）12y x =±（C ）y = （D ）y = （10）要得到函数22x y =+的图象，只需将函数22x y +=的图象（A ）向左平移2个单位，再向下平移2个单位（B ）向右平移2个单位，再向下平移2个单位（C ）向左平移2个单位，再向上平移2个单位（D ）向右平移2个单位，再向上平移2个单位 （11）设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则点1D 到平面1A BD 的距离是（A （B （C （D （12）()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()2log x f x x =+，则方程()0f x =的根的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。