第二学期思维第5单元-2

2024-2025学年度第二学期教育教学工作计划一、办学宗旨：致力于建设一流、知名的教育机构，我们秉持“现代化、高质量、有特色”的教育理念，致力于创建标准化学校。

二、工作策略：1. 教育工作以构建“尊重、关爱、民主、和谐”的新型师生关系为主导，不断探索适应我校学生管理的新策略，打造文明和谐的校园环境。

2. 教学工作作为学校的核心，本学期我们遵循“一条主线、二个特色、三项改革”的工作思路。

3. 深化素质教育，加大新课程改革力度，确保所有课程的全面、充分和有效实施，以提高课堂教学效率为核心，以促进教师专业发展为手段，以提升教育教学质量为目标，力争实现新的一年质的飞跃。

三、实施措施：1. 教育工作：将常规教育、习惯养成教育和集中教育有机结合，确保每周有主题、每月有专题、每年有总结。

充分利用国旗下的讲话进行适时引导，持续实行升国旗制度。

利用黑板报、宣传栏等平台，表彰优秀行为。

强化班主任工作，有效开展少年先锋队活动。

构建社会、学校、家庭、学生自我管理四位一体的德育体系，定期召开家长会，凝聚各方力量，形成教育合力。

以提升学生在校管理为重点，培养学生的自我管理能力。

完善班级和学生评价机制。

持续推进学校硬件改造，巩固和发展社会实践基地。

2. 教学工作：以教学常规管理为主线，确保教学管理的基础性和规范性。

优化六个一活动，要求教师编写规范教案、建立学科习题库、讲授优质课程、阅读课改书籍、建立个人博客、撰写优秀论文。

特色学科建设，确保英语和语文的特色教学，设定固定活动时间，指定特色活动教师，实施定期评估和总结。

备课改革，要求教师全面备课，包括知识、重难点、分析方法、学习规律、学习方法、学生活动和课堂创新。

听评课改革，从效率、幸福度、参与度、教材挖掘、个体展示和创新生成六个方面评价课堂教学。

更新课程观念，全面、充分、高效地开设所有课程，结合实际，以室外活动为主，上好活动课。

研究复习策略，合理安排各科学习时间，避免无效复习，以期取得优异成绩。

人教版小学数学五年级上册第17单元知识点汇总思维导图一、第1单元：小数乘法1. 小数乘以整数2. 小数乘以小数3. 小数乘法竖式计算4. 小数乘法应用题二、第2单元：小数除法1. 小数除以整数2. 小数除以小数3. 小数除法竖式计算4. 小数除法应用题三、第3单元：观察物体1. 观察物体的形状2. 观察物体的位置3. 观察物体的运动4. 观察物体的特征四、第4单元：简易方程1. 方程的概念2. 方程的解法3. 方程的应用4. 方程与不等式的关系五、第5单元：观察物体（二）1. 观察物体的角度2. 观察物体的方向3. 观察物体的距离4. 观察物体的速度六、第6单元：简易方程（二）1. 方程的变形2. 方程的简化3. 方程的解法4. 方程的应用七、第7单元：观察物体（三）1. 观察物体的颜色2. 观察物体的纹理3. 观察物体的光线4. 观察物体的空间关系人教版小学数学五年级上册第17单元知识点汇总思维导图一、第1单元：小数乘法1. 小数乘以整数理解小数乘以整数的概念掌握小数乘以整数的计算方法解决实际问题中的应用2. 小数乘以小数理解小数乘以小数的概念掌握小数乘以小数的计算方法解决实际问题中的应用3. 小数乘法竖式计算理解小数乘法竖式计算的概念掌握小数乘法竖式计算的方法解决实际问题中的应用4. 小数乘法应用题理解小数乘法应用题的概念掌握小数乘法应用题的解题方法解决实际问题中的应用二、第2单元：小数除法1. 小数除以整数理解小数除以整数的概念掌握小数除以整数的计算方法解决实际问题中的应用2. 小数除以小数理解小数除以小数的概念掌握小数除以小数的计算方法解决实际问题中的应用3. 小数除法竖式计算理解小数除法竖式计算的概念掌握小数除法竖式计算的方法解决实际问题中的应用4. 小数除法应用题理解小数除法应用题的概念掌握小数除法应用题的解题方法解决实际问题中的应用三、第3单元：观察物体1. 观察物体的形状理解观察物体形状的概念掌握观察物体形状的方法解决实际问题中的应用2. 观察物体的位置理解观察物体位置的概念掌握观察物体位置的方法解决实际问题中的应用3. 观察物体的运动理解观察物体运动的概念掌握观察物体运动的方法解决实际问题中的应用4. 观察物体的特征理解观察物体特征的概念掌握观察物体特征的方法解决实际问题中的应用四、第4单元：简易方程1. 方程的概念理解方程的概念掌握方程的表示方法解决实际问题中的应用2. 方程的解法理解方程的解法掌握方程的求解方法解决实际问题中的应用3. 方程的应用理解方程的应用掌握方程在解决问题中的应用解决实际问题中的应用4. 方程与不等式的关系理解方程与不等式的关系掌握方程与不等式的转换方法解决实际问题中的应用五、第5单元：观察物体（二）1. 观察物体的角度理解观察物体角度的概念掌握观察物体角度的方法解决实际问题中的应用2. 观察物体的方向理解观察物体方向的概念掌握观察物体方向的方法解决实际问题中的应用3. 观察物体的距离理解观察物体距离的概念掌握观察物体距离的方法解决实际问题中的应用4. 观察物体的速度理解观察物体速度的概念掌握观察物体速度的方法解决实际问题中的应用六、第6单元：简易方程（二）1. 方程的变形理解方程的变形掌握方程变形的方法解决实际问题中的应用2. 方程的简化理解方程的简化掌握方程简化的方法解决实际问题中的应用3. 方程的解法理解方程的解法掌握方程的求解方法解决实际问题中的应用4. 方程的应用理解方程的应用掌握方程在解决问题中的应用解决实际问题中的应用七、第7单元：观察物体（三）1. 观察物体的颜色理解观察物体颜色的概念掌握观察物体颜色的方法解决实际问题中的应用2. 观察物体的纹理理解观察物体纹理的概念掌握观察物体纹理的方法解决实际问题中的应用3. 观察物体的光线理解观察物体光线的概念掌握观察物体光线的方法解决实际问题中的应用4. 观察物体的空间关系理解观察物体空间关系的概念掌握观察物体空间关系的方法解决实际问题中的应用人教版小学数学五年级上册第17单元知识点汇总思维导图一、第1单元：小数乘法1. 小数乘以整数掌握小数乘以整数的计算方法理解小数乘以整数的意义应用小数乘以整数解决实际问题2. 小数乘以小数掌握小数乘以小数的计算方法理解小数乘以小数的意义应用小数乘以小数解决实际问题3. 小数乘法竖式计算掌握小数乘法竖式计算的方法理解小数乘法竖式计算的步骤应用小数乘法竖式计算解决实际问题4. 小数乘法应用题掌握小数乘法应用题的解题方法理解小数乘法应用题的背景应用小数乘法解决实际问题二、第2单元：小数除法1. 小数除以整数掌握小数除以整数的计算方法理解小数除以整数的意义应用小数除以整数解决实际问题2. 小数除以小数掌握小数除以小数的计算方法理解小数除以小数的意义应用小数除以小数解决实际问题3. 小数除法竖式计算掌握小数除法竖式计算的方法理解小数除法竖式计算的步骤应用小数除法竖式计算解决实际问题4. 小数除法应用题掌握小数除法应用题的解题方法理解小数除法应用题的背景应用小数除法解决实际问题三、第3单元：观察物体1. 观察物体的形状掌握观察物体形状的方法理解观察物体形状的意义应用观察物体形状解决实际问题2. 观察物体的位置掌握观察物体位置的方法理解观察物体位置的意义应用观察物体位置解决实际问题3. 观察物体的运动掌握观察物体运动的方法理解观察物体运动的意义应用观察物体运动解决实际问题4. 观察物体的特征掌握观察物体特征的方法理解观察物体特征的意义应用观察物体特征解决实际问题四、第4单元：简易方程1. 方程的概念掌握方程的概念理解方程的意义应用方程解决实际问题2. 方程的解法掌握方程的解法理解方程求解的步骤应用方程求解解决实际问题3. 方程的应用掌握方程的应用理解方程在解决问题中的作用应用方程解决实际问题4. 方程与不等式的关系掌握方程与不等式的关系理解方程与不等式的转换方法应用方程与不等式的关系解决实际问题五、第5单元：观察物体（二）1. 观察物体的角度掌握观察物体角度的方法理解观察物体角度的意义应用观察物体角度解决实际问题2. 观察物体的方向掌握观察物体方向的方法理解观察物体方向的意义应用观察物体方向解决实际问题3. 观察物体的距离掌握观察物体距离的方法理解观察物体距离的意义应用观察物体距离解决实际问题4. 观察物体的速度掌握观察物体速度的方法理解观察物体速度的意义应用观察物体速度解决实际问题六、第6单元：简易方程（二）1. 方程的变形掌握方程的变形方法理解方程变形的意义应用方程变形解决实际问题2. 方程的简化掌握方程的简化方法理解方程简化的意义应用方程简化解决实际问题3. 方程的解法掌握方程的解法理解方程求解的步骤应用方程求解解决实际问题4. 方程的应用掌握方程的应用理解方程在解决问题中的作用应用方程解决实际问题七、第7单元：观察物体（三）1. 观察物体的颜色掌握观察物体颜色的方法理解观察物体颜色的意义应用观察物体颜色解决实际问题2. 观察物体的纹理掌握观察物体纹理的方法理解观察物体纹理的意义应用观察物体纹理解决实际问题3. 观察物体的光线掌握观察物体光线的方法理解观察物体光线的意义应用观察物体光线解决实际问题4. 观察物体的空间关系掌握观察物体空间关系的方法理解观察物体空间关系的意义应用观察物体空间关系解决实际问题。

第16课《松鼠》---思维导图第15课《太阳》---思维导图第16课《松鼠》---学案教学目标1.会认“驯、矫、歇”等8个生字，会写“鼠、秀、玲、珑”等11个字，正确读写“松鼠、乖巧、清秀、玲珑”等13个词语。

2.正确、流利、有感情地朗读课文，知道松鼠的特点是什么，课文写了松鼠的哪些习性。

3.了解本文运用的打比方、举例子、作比较、列数字等说明方法，体会其表达效果。

学习课文准确的说明语言，生动形象细致的描写方法。

4.培养学生热爱小动物的情感，养成认真观察的好习惯。

模仿课文第4自然段，写一种动物的活动过程。

重点1.理解课文内容，知道松鼠的特点是什么，课文写了松鼠的哪些习性。

2.模仿课文第4自然段，写一种动物的活动过程。

难点1.模仿课文第4自然段，写一种动物的活动过程。

2.培养学生热爱小动物的情感，养成热爱观察的好习惯。

1.字词教学。

本课有8个会认字和11个会写字，重点指导会写字。

会认字中的“驯、矫、杈、藓”容易读错，重点强调和巩固。

11个会写字中，有的容易读错，如“拾、狭”；有的笔画比较多，字比较难写，如“鼠、滑”。

教师要指导读法、写法、用法。

最好是把字放到词语里、放到句子里去学习和理解。

本课要求掌握的13个词语，可在识记生字的过程中理解其意思。

2.阅读理解。

学习本课，要以学定教，顺学而导，以疑促读，读中感悟。

第一步：提取中心句，找出松鼠的特点，分段概括每一段的意思，分析段与段之间的关系，体会先总说、后分说的逻辑顺序。

第二步：学习课文中准确的说明语言，生动形象细致的描写方法。

第三步：尝试着通过引导学生朗读，学习文中的重点句子和段落，使学生了解文章的写作特点，激发学生对小动物的喜爱之情。

第四步：模仿第4自然段写一种小动物的活动过程，培养语言表达能力。

3.表达运用。

学习课文中准确的说明语言，生动形象细致的描写方法。

能模仿课文的写法，用较准确、生动的文字对一种动物的特点进行说明。

1.预习提纲（1）读题目，查找与松鼠有关的资料，知道松鼠的习性。

新思维三年级下册参考答案第五单元第十周自主作业一、填空1、下面图形的大小用面积单位1平方厘米来度量，度量的结果是（12）平方厘米，我发现正好是（6）乘（2）的结果，即（长）乘（宽）。

（□代表1平方厘米）｝宽是2个边长，就是（2）厘米Array长是6个边长，就是（6）厘米2、长方形的面积=（长×宽）；正方形的面积=（边长×边长）。

3、一个长方形的长是3厘米，宽是2厘米，它的面积是（6）平方厘米。

思考过程：直接应用公式。

长方形的面积=长×宽=3×2=6（平方厘米）4、一个周长是20分米的正方形，它的面积是（25）平方分米。

思考过程：这是知道正方形周长求正方形面积的题型。

先用正方形周长求出正方形边长，正方形边长=正方形周长÷4=20÷4=5（米）；再由正方形边长求面积，正方形面积=边长×边长=5×5=25（平方米）二、将正确答案的序号填在括号里。

1、面积相等但形状不同的两个长方形，它们的周长（C）。

A、可能相等B、一定相等C、不相等思考过程：两个长方形面积相等，只能得出长和宽的乘积相等，形状不同则两个长方形长和宽之和不相等，所以周长不相等。

也可以用举例法：长方形A，长1厘米，宽6厘米，面积6平方厘米，周长14厘米；长方形B，长2厘米，宽3厘米，面积6平方厘米，周长10厘米，所以面积相等，周长不等。

另外，通过大量的例子可以得出结论：面积相等但形状不同的两个长方形，越接近正方形形状的那个，周长越小。

2、20平方米是计算长方形（B）的结果。

A、周长B、面积C、质量思考过程：平方米是面积单位，所以选B。

3、面积相等的长方形和正方形，（A）的周长长一些。

A、长方形B、正方形C、无法判断哪个思考过程：可以用举例法：长方形，长1厘米，宽4厘米，面积4平方厘米，周长10厘米；正方形，长2厘米，宽2厘米，面积4平方厘米，周长8厘米，所以面积相等的长方形和正方形，长方形的周长长一些。

第三讲奇数和偶数及数的奇偶性第一部分：趣味数学奇数偶数的争吵数字王国里，奇数与偶数是一对形影不离的好朋友。

不知为啥，他俩却吵了起来，好学的聪聪连忙前来劝架。

奇数先上前拉住聪聪的手说：“聪聪哥哥，你写作文时总是偏爱我们，对吧！”“说来听听。

”聪聪忙说。

“就成语来说，有‘一帆风顺’、‘一马当先’、‘一日三秋’、‘三申五令’、‘三教九流’、‘九牛一毛’……我一口气能说出这么一大堆，对吧！”奇数说完，脸上浮现出得意的神情。

偶数不甘示弱，连忙拉住聪聪的手说：“聪聪哥，你写作文时，不更偏爱我吗？‘两袖清风’、‘十全十美’、‘百发百中’、‘四通八达’、‘四平八’、‘四面八方’……这些词语里不就有我们偶数的身影吗？聪聪哥，你说是不是啊？况且，人们还常说‘无独有偶’哩！”奇数听了，忙说：“这有什么，你不也听说过‘独一无二’吗？你有作何解释？何况连国王都宠爱我们，说话都是‘一言九鼎’呐！”奇数又进行反驳，偶数听了，忙着争辩。

聪聪停住了他俩的争吵，说：“奇数，你难道没听见国王说‘一言既出，驷马难追’吗？这里既有你，也有他，你们别争了，争了半天，我也弄明白了。

你们看问题比较片面，没看到事物的本质。

其实在成语里，更多的是你们同时登场，比如说‘一箭双雕’、‘三心二意’、‘一本万利’、‘四分五裂’、‘一刀两断’……你们各有所长，谁也离不开谁。

我们人类不会‘朝三暮四’，也不会‘低三下四’，更不会在背后‘不三不四’地议论你们。

因为你们是我们人类的好朋友。

只要你们‘万众一心’团结起来，拧成一股绳，就能成为一个自然数整体，成为一对真正的好兄弟。

你们说，是不是？”聪聪的一席话，如重槌敲在了奇数和偶数的心坎上。

兄弟俩面红耳赤，都低下头了。

聪聪起身走时，看见奇数和偶数的手紧紧地拉在了一起。

第二部分：奥数小练【例题1】 1 +2 +3 +4 +5 +...... +119 +120的结果是奇数还是偶数?【思路导航】1到120有120个数，其中有60个奇数，60个偶数。

最新北师大版小学五年级数学下册第二学期春季教学设计电子教案第5单元分数除法单元教材分析单元教学目标了解倒数的意义，会求一个数的倒数。

能够正确进行分数混合运算；理解整数的运算律在分数运算中同样适用；结合实际情境，能用多种方法解决简单分数混合运算的实际问题，体会分数混合运算在现实生活中的广泛应用。

单元教学重难点1、结合具体情境，借助操作活动，探索并理解分数除法的意义；2、借助图形语言，探索分数除法的计算方法，并能正确计算；3、了解倒数的含义,能求一个数的倒数；4、能应用方程解决有关的分数除法的实际问题，体会数学与生活的密切联系。

最新北师大版小学五年级数学下册第二学期春季教学设计电子教案第5单元分数除法教学内容：分数除以整数，一个数除以分数，解决有关的简单的实际问题。

教材分析：1、在操作活动中，理解分数除法的意义和分数除以整数的计算方法；2、借助图形和文字，在操作活动中，理解一个数除以分数的意义和计算方法；在现实情景中，利用方程解决一些简单的实际问题。

教学目标：1、在具体的情境中，借助操作活动，探索并理解分数除法的意义。

2、探索分数除法的计算方法，并能正确地计算。

3、了解倒数的意义，会求一个数的倒数。

4、能利用方程解决有关分数除法的实际问题，体会数学与生活的密切联系。

教学重难点：1、一个数除以分数的意义和计算方法；2、分数除法应用题。

课时安排：1、分数除法（一）1课时2、分数除法（二）2课时3、分数除法（三）2课时4、练习三2课时第1课时分数除法（一）教学内容：《分数除法（一）》（教科书55~56页）教学目标：1、在涂一涂、算一算等活动中，探索并理解分数除法的意义。

探索并掌握分数除以整数的计算方法的推导过程，并能正确计算分数除以整数。

2、能够运用分数除以整数的方法解决简单的实际问题。

3、感受到数学与生活的联系，能运用所学知识解决生活问题，激发学生的数学学习兴趣。

学情分析：分数除以整数这部分内容是学生学习了分数乘法和认识了倒数的基础上进行的。

2017-2018学年高中政治第二单元探索世界与追求真理第五课把握思维的奥妙2 意识的作用讲义新人教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中政治第二单元探索世界与追求真理第五课把握思维的奥妙2 意识的作用讲义新人教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中政治第二单元探索世界与追求真理第五课把握思维的奥妙2 意识的作用讲义新人教版必修4的全部内容。

学案2 意识的作用走进生活目标导航2016年10月7日，大西洋近10年来最强飓风“马修”登陆美国东岸，经济损失达数百亿美元。

在“马修”到来之前,美国气象部门进行了准确预警,并提前做出防范。

思考人类为什么能准确预测到飓风,并提前防范？提示人的意识具有目的性、主动创造性和自觉选择性，能够能动地认识世界和改造世界。

1.识记、理解意识活动的特点.2.掌握意识的能动作用,理解物质和意识的辩证关系。

3.识记一切从实际出发、实事求是的含义、原因和要求。

运用一切从实际出发的方法论分析、解决问题。

一、人能够能动地认识世界1。

意识活动具有目的性。

2。

意识活动具有自觉选择性和主动创造性。

（1）自觉选择性：意识对客观世界的反映是主动的、有选择的。

(2）主动创造性①意识不仅能反映事物的外部现象，而且能够把握事物的本质和规律。

意识不仅能够“复制”当前的对象，而且能够追溯过去、推测未来，能够创造一个理想的或幻想的世界。

②意识活动的主动创造性，是人能够认识世界的重要条件。

世界上只有尚未认识之物，没有不可认识之物.二、人能够能动地改造世界1.意识对改造客观世界具有指导作用人们在意识的指导下能动地改造世界，即通过实践把观念的东西变成现实的东西，创造出没有人的参与永远也不可能出现的东西.2.意识对于人体生理活动具有调节和控制作用（1)意识活动依赖于人体的生理活动，又对生理活动有着能动的反作用。

(三)年级语文学科备课活页第 5单元第 16 课共 2 课时教学反思17我变成了一棵树【课时目标】 1.会认本课“希、痒”等8个字，会写“状、狐”等13个字，理解相应的词语。

2.通过朗读，了解“我”变成大树的乐趣。

【教具准备】教学课件【板书设计】17 我变成了一棵树变成一棵树，长满鸟窝住满亲朋【课后反思】成功之处：1.注重学生的质疑，自主释疑的能力，放手给学生，培养学生合作探究、自主学习的能力。

课中字词的学习是重点，扫清了阅读障碍，为接下来的学习打下坚实的基础。

2.了解了课文的主要内容，对课文的主要内容有一个初步的、感性的认识，从而实现由初读到品读的过渡。

不足之处：字词的教学要放手给学生，教师应该多放手，少帮扶。

【课时目标】1.学生朗读课文，抓住重点词句，理解课文内容。

2.能够将生活和想象结合，组织语言，进行想象力训练。

【板书设计】17 我变成了一棵树变成树：痒痒的冒出来长满鸟窝：各种形状想象奇妙、有趣住满亲朋：小兔子、小松鼠、妈妈……习作例文《一支铅笔的梦想》教学目标1．能用多种方式读课文,理解课文内容,提高阅读能力,掌握阅读方法。

2．分析例文，总结文章的写作方法。

重点难点教学重点：能围绕话题,陈述自己想象出来的事物和事情。

教学难点：根据课文内容继续展开想象，续编故事。

教学课时1课时教学过程：一、导入下面我们就以《一支铅笔的梦想》为例，分析作者是如何想象的，为什么会有这样的想象。

（板书：一支铅笔的梦想）二、阅读指导：（一）初读例文。

1.学生自读课文，边读边思考：（课件出示）铅笔有哪些梦想？找出例文中有关的自然段。

2.指名说。

（明确：一共写了铅笔有五个梦想：溜出教室，跳进荷塘，躲到菜园，来到小溪边，跑到运动场上。

）（二）细读例文。

（课件出示）1.铅笔为什么会有这些梦想呢？学生在小组中交流,边读边理解，展示如下：(1)当铅笔经常闷在抽屉里,没有自由,没有快乐,很寂寞,孤独,郁闷时想到了一个办法就是溜出教室。

第四讲 有趣的数字题第一部分：趣味数学小明是个喜欢提问的孩子。

一天，他对0—9 这几个数字产生兴趣：为什么它们被称为“阿拉伯数字”呢？于是，他就去问妈妈:“0—9 既然叫‘阿拉伯数字’，那肯定是阿拉伯人发明的了，对吗妈妈？”妈妈摇摇头说：“阿拉伯数字实际上是印度人发明的。

大约在1500 年前，印度人就用一种特殊的字来表示数目，这些字有10 个，只要一笔两笔就能写成。

后来，这些数字传入阿拉伯，阿拉伯人觉得这些数字简单、实用，就在自己的国家广泛使用，并又传到了欧洲。

就这样，慢慢变成了我们今天使用的数字。

因为阿拉伯人在传播这些数字发挥了很大的作用，人们就习惯了称这种数字为‘阿拉伯数字’。

”小明听了说：“原来是这样。

妈妈，这可不可以叫做‘将错就错’呢？”妈妈笑了。

第二部分：奥数小练【例题1】 一个四位数，百位和十位上的数字相同，都是个位数字的3倍，而个位数字是千位数字的3倍。

这个四位数是多少？【思路导航】由于个位数字是千位数字的3倍，而百位数字和十位上数字又是个位上数字的3倍，所以，千位上的数字只能是1.否则，百位和十位上的数字将大于9。

因此，这个四位数的千位是1.个位是3.而百位和十位上都是9，即1993。

练习一：1.有一个四位数，千位和个位上的数字相同，且百位上的数字是十位上的3倍，阿拉伯数字的由来十位上数字是个位上的3倍。

这个四位数是多少？2.一个三位数的各位数字之和是17，其中十位数字比个位数字大1。

如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到的新三位数比原数大198，求原数。

3.有一个三位数，各位数字的和是17，其中百位数字比个位数字的5倍还多2。

请写出这个三位数。

【例题2】 把数字6写到一个四位数的左边，再把得到的五位数加上8000，所得的和正好是原来四位数的35倍。

原来的四位数是多少？【思路导航】把数字6写到一个四位数的左边，得到的数就比原来的四位数增加了60000，再加上8000，一共增加了68000。

新思维三年级下册参考答案第五单元第5课时1、在括号里填上适当的数。

15平方米=（1500）平方分米300平方厘米=（3）平方分米4平方分米=（400）平方厘米700平方分米=（7）平方米思考过程：1平方米=100平方分米，由平方米变成平方分米，要乘以100；由平方分米变成平方米，要除以100。

1平方分米=100平方厘米，由平方分米变成平方厘米，要乘以100；由平方厘米变成平方分米，要除以100。

2、在○里填上“＞”“＜”或“=”。

9平方米＞900平方厘米30平方分米＜3平方米6平方米=600平方分米700平方厘米＜8平方分米思考过程：先将两边统一单位，单位换算和题 1 是一样的方法。

统一单位后再进行比较。

3、把下面的数量按从大到小的顺序排列。

300平方厘米3平方米30平方分米3平方米＞30平方分米＞300平方厘米思考过程：需要先进行统一单位，再进行比较。

3平方米=300平方分米=30000平方厘米30平方分米=3000平方厘米4、一块长方形画布，长是40分米，宽是15分米，这块画布的面积是多少平方分米？合多少平方米？40×15=600（平方分米）600平方分米=6平方米答：这块画布的面积是600平方分米，合6平方米。

思考过程：长方形画布的面积=长×宽=40×15=600（平方分米）；1平方米=100平方分米，由平方分米换成平方米要除以100，所以600平方分米=6平方米5、一块正方形瓷砖的边长是8分米，它的面积是多少平方分米？合多少平方厘米？8×8=64（平方分米）64平方分米=6400平方厘米答：它的面积是64平方分米，合,6400平方厘米。

思考过程：正方形瓷砖面积=边长×边长=8×8=64（平方分米）；1平方分米=100平方厘米，由平方分米换成平方厘米要乘以100，所以64平方分米=6400平方厘米。

6、一个长方形小广场的宽是23米，长比宽的3倍少5米，这个长方形小广场的面积是多少平方米？23×3-5=64（米）64×23=1472（平方米）答：这个长方形小广场的面积是1472平方米。

第五章三角函数要点一：终边相同的角 1．终边相同的角凡是与α终边相同的角，都可以表示成360k α⋅︒+的形式. 要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍. 特例：终边在x 轴上的角集合{}|180k k Z αα=⋅︒∈，， 终边在y 轴上的角集合{}|18090k k Z αα=⋅︒+︒∈，， 终边在坐标轴上的角的集合{}|90k k Z αα=⋅︒∈，.在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小. 2．弧度和角度的换算(1)角度制与弧度制的互化：π弧度 180=，1801π=弧度，1弧度'180()5718π=≈(2)弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：2||2121r r l S α==. 要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--，等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 要点二：任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：1.三角函数定义：角α终边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：,cos ,sin r x r y ==ααxy =αtan 要点诠释：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离22r x y =+那么22sin x y α=+,22cos x y α=+,tan yxα=． 2.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦(为正)；要点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．α0 6π 4π 3π 2π π32π 2π sin α 0 21 22 23 1 0 -1 0 cos α 1 23 22 21 0 -1 0 1 tan α33 13不存在不存在22sin sin cos 1;tan cos ααααα+== 要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)2sin α是2(sin )α的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取． 5.诱导公式(奇变偶不变，符号看象限):sin(πα-)=sin α，cos(πα-)=-cos α，tan(πα-)=-tan α sin(πα+)=-sin α，cos(πα+)=-cos α，tan(πα+)=tan α sin(α-)=-sin α，cos(α-)=cos α，tan(α-)=-tan αsin(2πα-)=-sin α，cos(2πα-)=cos α，tan(2πα-)=-tan αsin(2k πα+)=sin α，cos(2k πα+)=cos α，tan(2k πα+)=tan α，()k Z ∈ sin(2πα-)=cos α，cos(2πα-)=sin α sin(2πα+)=cos α，cos(2πα+)=-sin α要点诠释：(1)要化的角的形式为α±⋅ 90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； (4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 要点三：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质1.三角函数sin cos y x y x ==，的图象与性质： y=sinx y=cosx 定义域 (-∞，+∞) (-∞，+∞) 值域 [-1，1] [-1，1] 奇偶性奇函数偶函数单调性增区间[2,2],22k k k Z ππππ-+∈ 减区间3[2,2],22k k k Zππππ++∈ 增区间[]22k k k Zπππ-∈，减区间[]22k k k Zπππ+∈，周期性 最小正周期2T π=最小正周期2T π=最值 当2()2x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-当2()2x k k Z ππ=+∈时，max 1y =当2()x k k Z ππ=+∈时，min 1y =- 当2()x k k Z π=∈时，max 1y = 对称性对称轴()2x k k Z ππ=+∈对称中心()0()k k Z π∈，对称轴()x k k Z π=∈ 对称中心(,0)()2k k Z ππ+∈y=cosx 的图象是由y=sinx 的图象左移2得到的. 2．三角函数tan y x =的图象与性质：y=tanx定义域 ,2x k k Z ππ≠+∈值域 R 奇偶性奇函数单调性 增区间(,),22k k k Z ππππ-+∈周期性 T π=最值 无最大值和最小值 对称性对称中心(,0)()2k k Z π∈ 要点四：函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质 用“五点法”作sin()y A x ωϕ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+，由z 取30,,,,222ππππ来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 要点诠释：用“五点法”作图的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为4T. sin()y A x ωϕ=+2．sin()y A x ωϕ=+的性质 (1)三角函数的值域问题三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题，常用方法有：化为代数函数的值域或化为关于sin (cos )x x 的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域.(2)三角函数的单调性函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的单调区间的确定，基本思想是把ϕω+x 看作一个整体，比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间； 要点诠释：（1）注意复合函数的解题思想；（2）比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性在转化为属于同一单调区间上的两个同名函数值，再利用单调性比较.3．确定sin()y A x ωϕ=+的解析式的步骤①首先确定振幅和周期，从而得到A ω，；②确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中第一个零点(,0)ϕω-作为突破口，要注意从图象的升降情况找准第一个零点的位置，同时要利用好最值点.要点五：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换方法 先平移后伸缩sin y x =的图象 sin()y x ϕ=+的图象sin()y x ωϕ=+的图象 sin()y A x ωϕ=+的图象的图象. 先伸缩后平移sin y x =的图象 sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位sin()y A x ωϕ=+的图象的图象.要点六：两角和、差的正、余弦、正切公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=；ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度sin()y A x k ϕ=++(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度sin()y A x k ωϕ=++()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=．要点诠释：1．公式的适用条件(定义域) ：公式①、②对任意实数α，β都成立，这表明①、②是R 上的恒等式；公式③中,∈，且R αβk (k Z)2±≠+∈、、παβαβπ2．正向用公式①、②，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数．公式③正向用是用单角的正切值表示和差角()±αβ的正切值化简．要点七：二倍角公式1. 在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；22tan tan 21tan ααα=-． 要点诠释：1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T αα中，只有当)(224Z k k k ∈+≠+≠ππαππα和时才成立；2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα22sin cos 2cos -=＝1cos 22-α＝α2sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用．3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24αα是的二倍，332αα是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．要点八：二倍角公式的推论升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-=降幂公式：ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=.要点九：三角恒等变换的基本题型三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型： 1．三角函数式的化简（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等．（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．2．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．3．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明．类型一：三角函数的概念例1. 已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的三个三角函数值. 【思路点拨】分0,0a a ><两种情况求α的三个三角函数值． 【解析】因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以5|r a =，,2x a y a ==.当250sin 55||5y a r a aα>====时，； 5cos 55x r aα===，2tan =α. 当250sin 5||5y a r a a α<====-时，5cos 55x r aα===--；2tan =α. 【总结升华】(1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论；(2)若角α已经给定，不论点选在α的终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角α终边上点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角α的三角函数值也是确定的.类型二：扇形的弧长与面积的计算例2．已知一半径为r 的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？【答案】2π- 65.44︒ 21(2)2r π-【解析】设扇形的圆心角是rad θ，因为扇形的弧长是θr ，所以扇形的周长是2.r r θ+ 依题意，得2,rr r θπ+=()2rad θπ∴=-180(2)ππ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭≈1.14257.30⨯︒≈65.44,︒ 2211(2).22S r r θπ∴==-【总结升华】弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式2C r π=⋅和圆面积公式2122S r π=⋅⋅，当用圆心角的弧度数α代替2π时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：211,.22l r S lr r αα=⋅==⋅类型三：同角三角函数的基本关系式 例3．已知1sin cos ,(0,),5A A A π+=∈，求tan A 的值. 【思路点拨】由题意知，12sin cos ,(0,),25A A A π=-∈所以A 为钝角，然后求出3cos 5α=-即可求得． 【解析】方法一：由51cos sin =+A A ，得(),251cos sin 2=+A A),,0(,2512cos sin π∈-=∴A A A .0cos sin ,0cos ,0sin ,2>-<>∴<<∴A A A A A ππ又().57cos sin ,2549cos sin 21cos sin 2=-∴=-=-A A A A A A 由,57cos sin 51cos sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+A A A A 得,.53cos 54sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==A A .34tan -=∴A方法二：由51cos sin =+A A 可得,sin 51cos 22⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A A即,sin 51sin 122⎪⎭⎫⎝⎛-=-A A 整理得,012sin 5sin 252=--A A即,0)3sin 5)(4sin 5(=+-A A54sin =∴A 或53sin -=A ，由已知π<<A 0知53sin -=A 不合题意，舍去.1sin cos 5A A +=，两边平方得：12sin cos ,(0,),25A A A π=-∈(,)2A ππ∴∈，所以3cos 5A =- .34tan -=∴A【总结升华】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法．类型四：三角函数的诱导公式例4．已知sin(3π＋θ)＝13，求()()()cos cos(2)33cos cos 1sin cos sin 22πθθπππθπθθθπθ+-+--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎣⎦---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【思路点拨】利用诱导公式，求出sin θ＝－13．然后化简要求的式子，即可求得结果． 【答案】18【解析】 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13， ∴原式＝()cos cos(2)3cos cos 1sin cos()cos 2θπθπθθθπθθ--+--⎛⎫---+ ⎪⎝⎭＝21cos 1cos cos cos θθθθ++-+ ＝11cos θ+＋11cos θ-＝221cos θ- ＝22sin θ＝221()3-＝18. 【总结升华】 诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin α与cos α对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中2k πα⋅+的整数k 来讲的，象限指2k πα⋅+中，将α看作锐角时，2k πα⋅+所在象限，如将3cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭写成cos 32πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭，因为3是奇数，则“cos ”变为对偶函数符号“sin ”，又32πα+看作第四象限角，3cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭为“+”，所以有3cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 类型五：三角函数的图象和性质 例5. 函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是( )【答案】A【解析】ln cos ()22y x x ππ=-<<是偶函数，可排除B 、D ，由cosx 的值域可以确定.因此本题应选A.例6．把函数y =cos2x +1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是（ ）【思路点拨】首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos （x+1），然后将曲线y=cos （x+1）的图象和余弦曲线y=cosx 进行对照，可得正确答案． 【解析】将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y=cos （x+1），∵曲线y=cos （x+1）由余弦曲线y=cosx 左移一个单位而得，∴曲线y=cos （x+1）经过点1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭和31,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，且在区间31,122ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上函数值小于0，由此可得，选项A 正确，故选A ．例7．已知函数()sin(),f x x ωϕ=+其中0ω>，||2ϕ<（I ）若coscos sinsin 0,44ππϕϕ3-=求ϕ的值； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3π，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图像象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数．【思路点拨】（1）把所给的式子化简，然后结合平方关系式得出tan ϕ，由0ω>，||2πϕ<，求出ϕ的值．（Ⅱ）由题意求得，23T π=，故3ω=，进一步求出()f x 的解析式． 【答案】（I ）4π（Ⅱ）()sin(3)4f x x π=+ 12π【解析】 （I ）由3coscos sin sin 044ππϕϕ-=，得22sin 022ϕϕ-=，得tan 1ϕ= 又||,24ππϕϕ<∴=．（Ⅱ）由（I ）得，()sin()4f x x πω=+依题意，23T π= 又2,T πω=故3,()sin(3)4f x x πω=∴=+ 函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为()sin 3()4g x x m π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()g x 是偶函数当且仅当3()42m k k Z πππ+=+∈即()312k m k Z ππ=+∈ 从而，最小正实数12m π=【总结升华】本题考查了同角三角函数的基本关系式及函数sin()y A x ωϕ=+的性质，属中等难度题．类型六：正用公式例8．已知:41cos ,32sin -=β=α，求cos()αβ-的值. 【思路点拨】因为不知道角,αβ所在的象限，所以要对,αβ分别讨论求cos()αβ-的值．【解析】由已知可求得22515cos 1sin sin 1cos 34ααββ=-=±=-=±. 当α在第一象限而β在第二象限时，os()os cos sin sin c c αβαβαβ-=+51215)43=-+125152-=. 当α在第一象限而β在第三象限时，512152155cos())(43αβ+-=-+⋅=当α在第二象限而β在第二象限时， 512152155cos()()343412αβ+-=--+⋅=. 当α在第二象限而β在第三象限时，512152155cos()()(343412αβ-=--+⋅-=-. 【总结升华】分类的原则是：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论要逐级进行．掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．例9．已知παπ434<<，40πβ<<，53)4cos(=-απ，135)43sin(=+βπ，求sin()αβ+的值．【思路点拨】注意到)(2)4()43(βαπαπβπ++=--+，应把)43(),4(βπαπ+-看成整体，可以更好地使用已知条件．欲求sin()αβ+，只需求出)2cos(βαπ++-．【答案】5665【解析】∵ 042<-<-αππ， ∴54)4sin(-=-απ，∵ πβππ<+<4343， ∴1312)43cos(-=+βπ．∴)](2cos[)sin(βαπβα++-=+6556)54(135531312)]4sin()43sin()4cos()43[cos()]4()43cos[(=-⨯-⨯=-++-+-=--+-=απβπαπβπαπβπ【总结升华】（1）解题中应用了)(2)4()43(βαπαπβπ++=--+式子的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有(),2()()βαβαααβαβ=+-=++-,2()()βαβαβ=+--, 2()αβαβα+=++等.（2）已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.类型七：逆用公式 例10.求值：（1）001tan151tan15+-； （2）44(sin 23cos8sin 67cos98)(sin 730cos 730)''+-o o o o o o. 【思路点拨】 题目中涉及到的角并非特殊角，而从式子的结构出发应逆用和角公式等先化简再计算． （1）利用tan 451︒=将1tan15+︒视为tan 45tan15︒+︒,将1tan15-︒视为1tan 45tan15-︒︒，则式子恰为两角和的正切.【答案】（132）14- 【解析】（1）原式360tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 0000000==+=-+=； （2）原式=44[sin 23cos8sin(9023)cos(908)](sin 730cos 730)''+-+-o o o o o o o o2222(sin 23cos8cos 23sin8)(sin 730cos 730)(sin 730cos 730)o o o o o o o o ''''=-+-22sin(238)(cos 730sin 730)o o o o ''=---11sin15cos15sin 3024=-︒︒=-︒=-.【总结升华】（1）把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”．（2）辅助角公式：22sin cos )a b a b αααϕ+++，其中角ϕ在公式变形过程中自然确定.例11. 求值：（1）cos36cos72︒︒；（2）πππ73cos 72cos 7cos【思路点拨】问题的特征是角存在倍角关系，且都是余弦的乘积．方法是分子分母（分母视为1）同乘以最小角的正弦．【答案】（1）1/4 （2）1/8 【解析】（1）原式=000000000sin 36cos36cos 721sin 72cos 721sin1441sin 362sin 364sin 364=⨯=⨯=； （2）原式=πππππππ74cos 72cos 7cos )74cos(72cos 7cos -=-24sin cos cos cos 7777sin7224sin cos cos 7772sin78sin 7...8sin718πππππππππππ=-=-==-=【总结升华】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是π．三个条件缺一不可．另外需要注意2的个数．应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法．类型八：变用公式例12．在ABC ∆中，求值：tan tan tan tan tan tan 222222A B B C C A ++ 【答案】1【解析】∵A B C π++=，∴222+=-A B C π，∴tan tan()cot 2222A B C Cπ+=-= ∴原式=tan tan tan (tan tan )22222A B C A B++tan tan tan tan (1tan tan )222222tan tan tan cot (1tan tan )222222tan tan 1tan tan22221A B C A B A B A B C C A B A B A B +=+-=+⨯-=+-= 例13. 化简：（1）sin 50(13)︒︒；(2）222cos 12tan()sin ()44αππαα--+【思路点拨】（1）题中首先“化切为弦”，同时用好“50︒”和“40︒”的互余关系，注意逆用和角公式化简； （2）题初看有“化切为弦”，“降幂”等诸多想法，但首先应注意到2)4()4(παπαπ=++-这个关系．【答案】（1）1（2）1【解析】（1）原式003sin10sin50(1)cos10=+00cos103sin10sin 50+==000000sin 30cos10cos30sin102sin50cos10+⋅000000000sin 402cos40sin 402sin50cos10cos10sin80cos101cos10cos10=⋅==== （2）原式=2cos 22tan()sin [()]424απππαα---2cos 22sin()4cos ()4cos()4cos 22sin()cos()44cos 2cos 2cos 2sin(2)21απαπαπααππααααπαα=-⋅--=--==-=【总结升华】（1）三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系．因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察．（2）三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=. 例14．已知32)sin(=+βα，51)sin(=-βα，求的值． 【思路点拨】 先分析所求式 sin tan sin cos cos sin tan cos sin cos αααβαββαββ==,分子、分母均为已知条件中和差角的展开式的项．【答案】137【解析】∵32sin cos cos sin )sin(=+=+βαβαβα， 51sin cos cos sin )sin(=-=-βαβαβα， 2tan()tan tan tan tan()αβαββαβ+--⋅+解得3013cos sin =βα, 307sin cos =βα， ∴tan sin cos 13tan cos sin 7ααββαβ==. 类型九：三角函数知识的综合应用 例15．函数2()6cos 33(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域;(Ⅱ)若083()f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值. 【答案】(Ⅰ)4π[3,3]-(Ⅱ)65【解析】(Ⅰ)由已知可得:2()6cos 33(0)2x f x x ωωω=-> =3cos ωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4 所以,函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以,函数]32,32[)(-的值域为x f(Ⅱ)因为，由538)(0=x f (Ⅰ)有 ，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（所以,53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即 故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos )34([sin 3200⨯+⨯=+++=ππππππx x567=【总结升华】本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.。