高三数学(理科)二轮复习课时作业 1-1-1

人教版2020版高考数学理科一轮复习课时作业一（共7篇）目录课时作业1集合 (3).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业2命题及其关系、充分条件与必要条件 (10).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词. (16).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业4函数及其表示. (22).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业5函数的单调性与最值. (28).................................................................. 错误！未定义书签。

课时跟踪训练1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)证明：n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 当a ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1， 又a 1＝1≠0，∴{a n }是首项为1，公比为43的等比数列． (2)∵a n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1.当n ≥2时，可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝⎛⎭⎫43n －11－43＝3×⎝⎛⎭⎫43n －1－1，当n ＝1时，上式成立，∴数列{b n }的通项公式为b n ＝3×⎝⎛⎭⎫43n －1－1.2．(2014年全国大纲卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知：等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52. 因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1(13－3n )(10－3n )＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n . 于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －110 ＝n 10(10－3n ). 3．在公差不为零的等差数列{a n }中，已知a 1＝1，且a 1，a 2，a 5依次成等比数列．数列{b n }满足b n ＋1＝2b n －1，且b 1＝3.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ·a n ＋1的前n 项和为S n ，试比较S n 与1－1b n 的大小． 解：(1)因为a 1＝1，且a 1，a 2，a 5依次成等比数列， 所以a 22＝a 1·a 5，即(1＋d )2＝1·(1＋4d )， 所以d 2－2d ＝0，解得d ＝2(d ＝0不合要求，舍去)， 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.因为b n ＋1＝2b n －1，所以b n ＋1－1＝2(b n －1)，所以{b n －1}是首项为b 1－1＝2，公比为2的等比数列． 所以b n －1＝2×2n －1＝2n . 所以b n ＝2n ＋1.(2)因为2a n ·a n ＋1＝2(2n －1)(2n ＋1)＝12n －1－12n ＋1， 所以S n ＝⎝⎛⎭⎫11－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1， 于是S n －⎝⎛⎭⎫1－1b n ＝1－12n ＋1－1＋12n ＋1＝12n ＋1－12n ＋1＝2n －2n(2n ＋1)(2n ＋1). 所以，当n ＝1,2时，2n ＝2n ，S n ＝1－1b n； 当n ≥3时，2n ＜2n ，S n ＜1－1b n. 4．(2014年湖北高考)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )， 化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4.当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n ＜60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2. 令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0，解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.5．已知首项为12的等比数列{a n }是递减数列，其前n 项和为S n ，且S 1＋a 1，S 2＋a 2，S 3＋a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ·log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足不等式T n ＋2n ＋2≥116的最大值n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由题知a 1＝12， 又∵S 1＋a 1，S 2＋a 2，S 3＋a 3成等差数列，∴2(S 2＋a 2)＝S 1＋a 1＋S 3＋a 3，变形得S 2－S 1＋2a 2＝a 1＋S 3－S 2＋a 3，即得3a 2＝a 1＋2a 3，∴32q ＝12＋q 2，解得q ＝1或q ＝12， 又{a n }为递减数列，于是q ＝12， ∴a n ＝a 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫12n .(2)∵b n ＝a n log 2a n ＝－n ⎝⎛⎭⎫12n ，∴T n ＝－⎣⎡1×12＋2×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(n －1)⎝⎛⎭⎫12n －1＋⎦⎤n ×⎝⎛⎭⎫12n ， 于是12T n ＝－⎣⎡ 1×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋n ×⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n ＋1， 两式相减得：12T n ＝－⎣⎡ 12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －n ×⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝－12×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴T n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n －2， ∴T n ＋2n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ≥116，解得n ≤4，∴n 的最大值为4.。

1．(2014年江西高考)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：由题意可得x 2－x ＞0，解得x ＞1或x ＜0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．答案：C2．(2014年新课标卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．f (x )|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|g (x )是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选B.答案：B3．(2014年绵阳模拟)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 2＋x B ．f (x )＝tan x C ．f (x )＝x ＋sin xD ．f (x )＝lg 1－x1＋x解析：函数f (x )＝x 2＋x 不是奇函数；函数f (x )＝tan x 的定义域不是R ；函数f (x )＝lg 1－x1＋x的定义域是(－1,1)，因此选C.答案：C4．f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x ) D ．－x 3＋ln(1－x )解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]，∴f (x )＝x 3－ln(1－x )．答案：C5．(2014年武汉模拟)函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：将两函数图象在同一直角坐标系内画出，不难看出，在(1,2)和(2，＋∞)内各有一个交点．答案：C6．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图象的大致形状是( )解析：y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＞0，－a x ，x ＜0，其图象为D ，故选D.答案：D7．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为( )A ．－116B ．－18C ．－14D ．0解析：设x ∈[－2，－1]，则x ＋2∈[0,1]，因为当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，所以f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2.因为f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x ＋2)＝2f (x ＋1)＝4f (x )＝x 2＋3x ＋2，所以f (x )＝x 24＋34x ＋12，当x ∈[－2，－1]时，f (x )＝x 24＋34x ＋12＝14⎝⎛⎭⎫x ＋322－116，所以当x ＝－32时，f (x )取最小值－116.答案：A8．设函数f (x )＝x α＋1(α∈Q )的定义域为[－b ，－a ]∪[a ，b ]，其中0＜a ＜b ，且f (x )在[a ，b ]上的最大值为6，最小值为3，则f (x )在[－b ，－a ]上的最大值与最小值的和是( )A ．－5B ．9C ．－5或9D ．以上不对解析：由α∈Q ，可设α＝qp (为既约分数)，由于函数的定义域中有负数，因此，p 一定是奇数．若q 是偶数，则函数f (x )为偶函数，此时，f (x )在[－b ，－a ]上的最大值为6，最小值为3，得最大值与最小值的和是9.若q 是奇数，则函数f (x )－1为奇函数，由于f (x )在[a ，b ]上的最大值为6，最小值为3，因此，f (x )－1在[a ，b ]上的最大值为5，最小值为2.那么f (x )－1在[－b ，－a ]上的最大值为－2，最小值为－5.于是，f (x )在[－b ，－a ]上的最大值为－1，最小值为－4，得最大值与最小值的和是－5.故选C.答案：C9．(2014年全国大纲卷)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0.因为f (x ＋2)为偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，所以f (x ＋4)＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋8)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，故f (8)＋f (9)＝f (0)＋f (1)＝1.答案：D10．给出定义：若x ∈⎝⎛⎦⎤m －12，m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做与实数x “亲密的整数”，记作{x }＝m ，在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题：①函数y ＝f (x )在x ∈(0,1)上是增函数；②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k2(k ∈Z )对称；③函数y ＝f (x )是周期函数，最小正周期为1；④当x ∈(0,2]时，函数g (x )＝f (x )－ln x 有两个零点．其中正确命题的序号是( )A ．②③④B ．①③C ．①②D ．②④解析：由函数定义可知当x ∈⎝⎛⎦⎤－12，12时，f (x )＝|x －{x }|＝|x －0|；当x ∈⎝⎛⎦⎤12，32时，f (x )＝|x －{x }|＝|x －1|；当x ∈⎝⎛⎦⎤32，52时，f (x )＝|x －2|；….可以作出函数的图象(如图)，根据函数的图象可以判断①错误，②③是正确的，④由函数的图象再作出函数y ＝ln x ，x ∈(0,2]的图象，可判断有两个交点，故④也正确．答案：A11．(2014年大庆模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0|log 2x |，x ＞0，则使f (x )＝12的x 的集合为________．解析：由题知，若x ≤0，x ＝－1；若x ＞0，x ＝212或x ＝2－12.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 12．(2014年四川高考)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解析：f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：113．(2014年南京模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________． 解析：由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ，由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，得f (ln t )≤f (1)．又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|ln t |≤1，－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e. 答案：⎣⎡⎦⎤1e ，e14．定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (xy ≥0)y (xy ＜0)，例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f (x )＝x 2(2x－x 2)的最大值为________．解析：依题意得，当x 2(2x －x 2)≥0，即0≤x ≤2时，f (x )＝x 2的最大值是22＝4；当x 2(2x －x 2)＜0，即x ＜0或x ＞2时，f (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1＜0.因此，函数f (x )的最大值是4.答案：4。

课时跟踪训练1．定积分⎠⎛2－2|x 2－2x |d x ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (－2≤x ＜0)－x 2＋2x (0≤x ≤2)，⎠⎛2－2|x 2－2x |d x ＝⎠⎛0－2(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2| 0－2＋⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2| 20＝8. 答案：D2．已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象是( )解析：∵f ′(x )＝12x －sin x ，∴f ′(x )为奇函数，排除B ，D.又当x ＝－π4时，f ′(x )＝22－π8＝42－π8＞0，排除C ，故选A. 答案：A3．(2014年嘉兴二模)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案：C4．(2014年惠州二模)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：设P (x 0，y 0)，倾斜角为α，由题意知y ′＝2x ＋2，则点P 处的切线斜率k ＝tan α＝2x 0＋2∈[0,1]，解得x 0∈⎣⎡⎦⎤－1，－12. 答案：A5．一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v (t )＝5－t ＋551＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)紧急刹车至停止．在此期间火车继续行驶的距离是( )A ．55ln 10 mB ．55ln 11 mC ．(12＋55ln 7)mD ．(12＋55ln 6)m解析：令5－t ＋551＋t＝0，注意到t ＞0，得t ＝10，即经过的时间为10 s ；行驶的距离s ＝∫100⎝⎛⎭⎫5－t ＋55t ＋1d t ＝⎣⎡⎦⎤5t －12t 2＋55ln (t ＋1)| 100＝55ln 11，即紧急刹车后火车运行的路程为55ln 11 m. 答案：B6．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：当0≤x ＜2时，令f (x )＝x 3－x ＝0，得x ＝0或x ＝1. 根据周期函数的性质，由f (x )的最小正周期为2， 可知y ＝f (x )在[0,6)上有6个零点， 又f (6)＝f (3×2)＝f (0)＝0，所以y ＝f (x )的图象在[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案：B7．已知f (x )是偶函数，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝x sin x ，若a ＝f (cos 1)，b ＝f (cos 2)，c ＝f (cos 3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a解析：由于函数为偶函数，故b ＝f (cos 2)＝f (－cos 2)，c ＝f (cos 3)＝f (－cos 3)，由于x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ′(x )＝sin x ＋x cos x ≥0，即函数在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上为增函数，据单位圆中三角函数线易得0＜－cos 2＜cos 1＜－cos 3＜π2，根据函数单调性可得f (－cos 2)＜f (cos 1)＜f (－cos 3)，故选B.答案：B8．已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：设f (x )＝1－xx ＋ln x ，则f ′(x )＝－x ＋x －1x 2＋1x ＝x －1x2.当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，f ′(x )＜0，故函数f (x )在⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减； 当x ∈(1,2]时，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(1,2]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0，即a 的最大值为0. 答案：A9．函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )解析：因为y ′＝12－2cos x ，所以令y ′＝12－2cos x ＞0，得cos x ＜14，此时原函数是增函数；令y ′＝12－2cos x ＜0，得cos x ＞14，此时原函数是减函数，并且原函数是奇函数，其极值点有无数多个，只有C 满足．答案：C10．已知顶点为P 的抛物线y ＝－x 2＋2x 与x 轴交于A 、B 两点，现在该抛物线与x 轴围成的封闭区域内随机抛掷一粒小颗粒，则该颗粒落在△APB 中的概率为( )A.35 B.34 C.23D.12解析：已知P 为抛物线y ＝－x 2＋2x 的顶点，则P (1,1)，不妨设A (0,0)、B (2,0)，则△P AB的面积为1，抛物线y ＝－x 2＋2x 与x 轴围成的面积S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝－233＋22＝43，则所求概率为34.答案：B11．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为________．解析：设y ＝x 2－ln x (x ＞0)，则y ′＝2x －1x ，令y ′＝0，得x ＝22.易知当x ＝22时y 取得最小值．∴t ＝22. 答案：22 12．(2014年江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．解析：由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b 2①.又y ′＝2ax －bx2，所以在点P处的切线斜率4a －b 4＝－72 ②.由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.答案：－313．用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的较小的数，设f (x )＝min{x 2，x }，那么由函数y ＝f (x )的图象、x 轴、直线x ＝12和直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为________．解析：如图所示，所求图形的面积为阴影部分的面积，即所求的面积S ＝⎠⎛112x 2d x ＋⎠⎛14x d x ＝11924.答案：1192414．已知a ＞0，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在区间[－2,2]上单调递减，则4a ＋b 的最大值为________．解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∵函数f (x )在区间[－2,2]上单调递减，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≤0在[－2,2]上恒成立，∵a ＞0，∴－2a 2×3＝－a3＜0，∴f ′(x )max＝f ′(2)≤0，即4a ＋b ≤－12，∴4a ＋b 的最大值为－12.答案：－1215．(2014年大庆模拟)若实数a 、b 、c 、d 满足(b ＋a 2－3ln a )2＋(c －d ＋4)2＝0，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为________．解析：由题可得b ＝－a 2＋3ln a ，d ＝c ＋4.设g (x )＝x ＋x 2－3ln x (x ＞0)，则g ′(x )＝1＋2x －3x ＝(2x ＋3)(x －1)x，当x ∈(0,1)时，g (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )单调递增，故g (x )≥g (1)＝2.则(a －c )2＋(b －d )2＝(c －a )2＋(－a 2＋3ln a －c －4)2≥(c －a －a 2＋3ln a －c －4)22＝(a ＋a 2－3ln a ＋4)22≥(2＋4)22＝18.答案：18。

一讲三角函数的图象与性质课时作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题二三角函数、平面向量第一讲三角函数的图象与性质课时作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第一讲三角函数的图象与性质课时作业文1．（2016·西安质检)将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可能是( )A．x＝－π12B．x＝错误!C．x＝错误!D．x＝错误!解析：将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin错误!的图象，由错误!x＋错误!＝错误!＋kπ，k∈Z，得x＝错误!＋2kπ，k∈Z,∴当k＝0时，函数图象的对称轴为x＝2π3.故应选D.答案：D2．(2016·贵阳监测）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ)错误!的部分图象如图所示,如果x1，x2∈错误!,且f（x1）＝f(x2），则f(x1＋x2)＝( )A.错误!B。

错误!C。

错误!D．1解析：由题图可知,错误!＝错误!－错误!＝错误!,则T＝π，ω＝2，又错误!＝错误!，∴f(x)的图象过点错误!，即sin错误!＝1，得φ＝错误!，∴f(x)＝sin错误!。

而x1＋x2＝－错误!＋错误!＝错误!，∴f（x1＋x2）＝f错误!＝sin错误!＝sin 错误!＝错误!.答案：B3．（2016·高考山东卷)函数f（x)＝(错误!sin x＋cos x）·（错误!cos x－sin x）的最小正周期是（）A。

课时跟踪训练1．(2014年安徽高考)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0.(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1＜x 2， 所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＜0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增．(2)因为a ＞0，所以x 1＜0，x 2＞0.①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a ＜4时，x 2＜1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a 3处取得最大值． 又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值；当1＜a ＜4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．2．(2014年南京模拟)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )．(1)若a ≠0，则a ，b 满足什么条件时，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝0处总有相同的切线；(2)当a ＝1时，求函数h (x )＝g (x )f (x )的单调递减区间； (3)当a ＝0时，若f (x )≥g (x )对任意的x ∈R 恒成立，求b 的取值的集合．解：(1)∵f ′(x )＝e x ，∴f ′(0)＝1，又f (0)＝1，∴y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1，又∵g ′(x )＝2ax ＋b ，∴g ′(0)＝b ，又g (0)＝1，∴y ＝g (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝bx ＋1，∴当a ≠0，a ∈R 且b ＝1时，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝0处总有相同的切线．(2)由a ＝1，得h (x )＝x 2＋bx ＋1e x， ∴h ′(x )＝－x 2＋(2－b )x ＋b －1e x ＝－(x －1)[x －(1－b )]e x， 由h ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝1－b ，∴当b ＞0时，函数h (x )的单调递减区间为(－∞，1－b )，(1，＋∞)；当b ＝0时，函数h (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)；当b ＜0时，函数h (x )的单调递减区间为(－∞，1)，(1－b ，＋∞)．(3)由a ＝0，得φ(x )＝f (x )－g (x )＝e x －bx －1，∴φ′(x )＝e x －b ，①当b ≤0时，φ′(x )≥0，函数φ(x )在R 上单调递增，又φ(0)＝0，∴当x ∈(－∞，0)时，φ(x )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾．②当b ＞0时，令φ′(x )＞0，得x ＞ln b ；令φ′(x )＜0，得x ＜ln b ，∴函数φ(x )在(－∞，ln b )上单调递减；在(ln b ，＋∞)上单调递增．当0＜b ＜1时，ln b ＜0，又φ(0)＝0，∴φ(ln b )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾，当b ＞1时，同理φ(ln b )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾，当b ＝1时，ln b ＝0，∴φ(x )≥φ(0)＝0，故b ＝1满足题意．综上所述，b 的取值的集合为{1}．3．(2014年新课标卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －e －x －2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x ＞0时，g (x )＞0，求b 的最大值；(3)已知1.414 2＜2＜1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．解：(1)f ′(x )＝e x ＋e －x －2≥0，等号仅当x ＝0时成立． 所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．(2)g (x )＝f (2x )－4bf (x )＝e 2x －e－2x －4b (e x －e －x )＋(8b －4)x ，g ′(x )＝2[e 2x ＋e －2x －2b (e x ＋e －x )＋(4b －2)]＝2(e x ＋e －x －2)(e x ＋e －x －2b ＋2)．①当b ≤2时，g ′(x )≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增．而g (0)＝0，所以对任意x ＞0，g (x )＞0；②当b ＞2时，若x 满足2＜e x ＋e －x ＜2b －2，即0＜x ＜ln(b －1＋b 2－2b )时g ′(x )＜0.而g (0)＝0，因此当0＜x ＜ln(b －1＋b 2－2b )时，g (x )＜0.综上，b 的最大值2.(3)由(2)知，g (ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2. 当b ＝2时，g (ln 2)＝32－42＋6ln 2＞0， ln 2＞82－312＞0.692 8； 当b ＝324＋1时，ln(b －1＋b 2－2b )＝ln 2， g (ln 2)＝－32－22＋(32＋2)ln 2＜0，ln 2＜18＋228＜0.693 4. 所以ln 2的近似值为0.693.4．(2014年湖南高考)已知常数a ＞0，函数f (x )＝ln(1＋ax )－2x x ＋2. (1)讨论f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且f (x 1)＋f (x 2)＞0，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a 1＋ax －2(x ＋2)－2x (x ＋2)2＝ax 2＋4(a －1)(1＋ax )(x ＋2)2.(*) 当a ≥1时，f ′(x )＞0.此时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．当0＜a ＜1时，由f ′(x )＝0得x 1＝21－a a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝－21－a a 舍去. 当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在区间(0，x 1)上单调递减，在区间(x 1，＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，21－a a 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2 1－a a ，＋∞上单调递增． (2)由(*)式知，当a ≥1时，f ′(x )≥0，此时f (x )不存在极值点．因而要使得f (x )有两个极值点，必有0＜a ＜1.又f (x )的极值点只可能是x 1＝21－a a 和x 2＝－21－a a ，且由f (x )的定义可知，x ＞－1a 且x ≠－2，所以－21－a a ＞－1a ，－21－a a ≠－2，解得a ≠12.此时，由(*)式易知，x 1，x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点．而f (x 1)＋f (x 2)＝ln(1＋ax 1)－2x 1x 1＋2＋ln(1＋ax 2)－2x 2x 2＋2＝ln[1＋a (x 1＋x 2)＋a 2x 1x 2]－4x 1x 2＋4(x 1＋x 2)x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4 ＝ln(2a －1)2－4(a －1)2a －1＝ln(2a －1)2＋22a －1－2. 令2a －1＝x ，由0＜a ＜1且a ≠12知 当0＜a ＜12时，－1＜x ＜0；当12＜a ＜1时，0＜x ＜1. 记g (x )＝ln x 2＋2x－2.①当－1＜x ＜0时，g (x )＝2ln(－x )＋2x－2， 所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x 2＜0. 因此，g (x )在区间(－1,0)上单调递减，从而g (x )＜g (－1)＝－4＜0.故当0＜a ＜12时，f (x 1)＋f (x 2)＜0. ②当0＜x ＜1时，g (x )＝2ln x ＋2x－2， 所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x 2＜0. 因此，g (x )在区间(0,1)上单调递减，从而g (x )＞g (1)＝0.故当12＜a ＜1时，f (x 1)＋f (x 2)＞0. 综上所述，满足条件的a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.。

1．若 a＝ 30.6， b＝ log 30.2， c＝ 0.63，则 ()A ． a＞ c＞ b B． a＞ b＞cC． c＞ b＞a D． b＞ c＞a分析：因为 30.6＞1， log 30.2＜ 0,0＜ 0.63＜ 1，所以 a＞c＞ b.应选 A.答案： A2．(2014 年福建高考 )若函数 y＝log a x(a＞ 0，且 a≠ 1)的图象如右图所示，则以下函数图象正确的选项是 ()分析：因为函数 y＝ log a x(a＞ 0 且 a≠ 1)的图象过点 (3,1)，所以1＝ log a3，解得 a＝ 3，所以y＝ 3－x不行能过点 (1,3)，清除 A ； y＝(－ x) 3＝－ x3不行能过点(1,1)，清除 C；y＝ log3 (－ x)不行能过点 (－ 3，－ 1)，清除 D.应选 B.答案： B3．(2014 年唐山模拟 )f(x)＝ 2sin xπ－ x＋ 1 的零点个数为 ()A ． 4B． 5C． 6D． 7分析：令2sinπx－ x＋ 1＝ 0，则 2sinπx＝ x－ 1，令h(x)＝ 2sinπx，g(x) ＝ x－ 1，则 f(x)＝ 2sin πx－ x＋ 1 的零点个数问题转变为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题．h(x)＝ 2sin xπ的最小正周期为2πT＝π＝ 2，画出两个函数的图象，如下图，∵h(1) ＝ g(1)， h52 ＞ g52 ， g(4) ＝3＞ 2， g(－ 1)＝－ 2，∴两个函数图象的交点一共有 5 个，∴ f(x)＝ 2sinπx－x＋ 1的零点个数为5.答案： B4．(2014 年陕西高考 )以下函数中，知足 “f(x ＋ y)＝ f(x)f(y) ”的单一递加函数是 ()A ． f( x)＝x 3B ． f(x)＝ 3x11 xC ． f( x)＝ x 2D ． f( x)＝ 233 3 3x分析： f(x)＝ x ， f(x ＋ y)＝ (x ＋ y) ≠x ·y ，不知足 f(x ＋ y)＝ f(x) f(y)， A 错误． f(x) ＝ 3 ， f( x ＋x ＋yx yx1，f( x ＋y)＝( x ＋ y)＝ 3 ＝3 ·3 ，知足 f(x ＋ y)＝ f( x)f(y)，且 f(x)＝ 3 是增函数， B 正确． f(x)＝ x2 1 1 11 x， f(x ＋ y)＝ 1 x ＋ y ＝ 1 x 1 x ，知足 f(x y) ≠x ·y ，不知足 f(x ＋ y)＝ f( x)f(y)，C 错误． f(x)＝2 2 2 · 2 2 22＋ y)＝ f( x)f(y)，但 f(x)＝12 x不是增函数， D 错误．答案： B5．若偶函数 y ＝ f(x)(x ∈ R )知足 f(x ＋ 2)＝ f(x)，当 x ∈ [0,1] 时， f(x)＝ x ，则 y ＝ f(x)的图象与y ＝ log 4|x|的图象的交点个数是 ()A ． 3B ． 4C ． 6D ． 8分析：因为 f(x)是知足 f(x ＋ 2)＝ f(x)的偶函数， 且当 x ∈ [0,1] 时， f(x)＝ x ，故 f(x)是周期为2的周期函数，其图象如下图，依据函数 y ＝ log 4|x|也是偶函数，其图象也对于y 轴对称，容易知道它们的交点共有6 个，应选 C.答案： C6．已知函数f(x)＝ ax 2＋ (1－2a)x ＋ a － 3，则使函数 f(x)起码有一个整数零点的全部正整数a 的值之和等于 ()A ． 1B ． 4C ． 6D ． 9分析： 由已知 f(x)＝ ax 2＋ (1－ 2a)x ＋ a － 3 存在整数零点，∴方程 ax 2 ＋ (1－2a)x ＋ a － 3＝03－ x 2，因为 a 为正整数，故 a有整数解，∴ a( x － 1)2 ＝ 3－ x ，明显 x ＝ 1 不是其解，故 a ＝x － 1＝3－ x 2≥1，∴－ 1≤x ≤2，分别以 x ＝－ 1,0,2，代入求得 a ＝ 1,3，故全部正整数a 的值之和x － 1等于 4，选择 B.答案： B7．已知函数 y ＝ f(x)是 R 上的可导函数， 当 x ≠0时，有 f ′(x)＋f x＞ 0，则函数 F(x)＝xf(x)x＋ 1的零点个数是 ()xA ． 0B ． 1C ． 2D ． 3分析： 依题意，记g(x) ＝ xf(x) ，则 g ′(x)＝ xf ′(x)＋ f(x) ， g(0) ＝ 0.当 x ＞ 0 时， g ′(x)＝x f xfx ＞ 0，g(x)是增函数， g(x)＞ 0；当 x ＜ 0 时，g ′(x)＝ x ff x＜ 0，g(x)＋xx ＋x是减函数， g(x)＞ 0.在同一坐标系内画出函数y ＝ g(x)与 y ＝－1的大概图象 (图略 )，联合图象可x1知，它们共有 1 个公共点，所以函数F(x)＝ xf(x)＋ x 的零点个数是 1，选 B.答案： B8．(2014 年合肥模拟 )函数 f(x)＝ x2－ ax ＋1 在区间1， 3 上有零点，则实数a 的取值范围2是 ()A ．(2，＋ ∞ )B ． [2，＋ ∞) C. 2，5D. 2，1023分析：因为 f(x)＝ x 2－ ax ＋ 1 在区间1， 3 上有零点，所以 x 2－ ax ＋ 1＝ 0 在 1， 3 上有解．由222111x － ax ＋ 1＝ 0，得 a ＝ x ＋ x ，设 g(x)＝ x ＋ x ，则 g ′(x)＝ 1－ x 2，令 g ′(x)＞ 0，得 g(x)在 (1，＋ ∞)，11 (－ ∞，－ 1)上单一递加，令2(－ 1,1)上单一递减，因为 ＜ x ＜ 3，所以g ′(x)＝ 1－ x ＜ 0，得 g(x)在 2g(x) 在 1， 1 上单一递减， 在 (1,3)上单一递加， 所以当 1＜ x ＜ 3 时，2≤g(x)＜ 10，所以 a ∈ 2， 10.2 2 33 答案： D9．(2014 年宝鸡质检 )某厂有很多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图 )，为降低耗费，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图暗影部分 )备用，则截取的矩形面积的最大值为 ()A ．160B ． 175715C. 4D ． 180分析： 依题意知当 x ＝ 20， y ≤8 时，暗影部分面积 S 1≤20×8＝ 160.当 x ＜ 20,8＜ y ＜24 时，有 20－ x ＝ y － 8 5(24－y)，此时暗影部分的面积 5 5 2＋ 24y)，故 x 24－ y ，即 x ＝S ＝ xy ＝(24－ y)y ＝ (－ y444当 y ＝ 12 时， S 有最大值为180.综上可知，截取的矩形面积的最大值为180.答案： Dkx ＋ 1，x ≤0 y ＝ f[f(x)] ＋ 14 个判断：10．已知函数 f(x) ＝，以下是对于函数 的零点个数的log 2x ， x ＞ 0①当 k ＞ 0 时，有 3 个零点； ②当 k ＜ 0 时，有 2 个零点； ③当 k ＞ 0 时，有 4 个零点； ④当 k ＜ 0 时，有 1 个零点． 则正确的判断是 ( )A ．①④B ．②③C ．①②D ．③④分析： 令 f[f(x)] ＋ 1＝ 0 得 f[f(x)] ＝－ 1.当 k ＞0 时，在平面直角坐标系下画出函数f(x)的大致图象及直线 y ＝－ 1，注意到直线 y ＝－ 1 与函数 f(x)的图象有 2 个交点，设其横坐标分别是t 1、 t 2，则t 1＜ 0,0＜ t 2＜ 1；再画出直线y ＝ t 1 与y ＝ t 2，联合图象可知，直线y ＝ t 1 与函数 f(x)的图象有 2 个不一样的交点， 直线 y ＝ t 2 与函数 ＋ 1 有 4 个零点．同理，当 k ＜ 0 时，函数f( x)的图象有 2 个不一样的交点， 所以此时函数y ＝ f[f(x)] ＋ 1 有 1 个零点，联合各选项知，选y ＝ f[f(x)]D.答案： Da3－2 b11．已知 a ， b ∈R ，若 4 ＝ 2，则 a ＋ b ＝ ________.a3－2b2a3－2b3 分析：由4＝2，得 2＝ 2 ，所以有 2a ＋2b ＝ 3，故 a ＋ b ＝ .2答案：3212．若函数 f(x)＝ a x －x － a(a ＞ 0，且 a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 ________．分析： 令 g(x) ＝a x (a ＞ 0，且 a ≠ 1)，h(x)＝ x ＋a ，分 0＜ a ＜ 1， a ＞ 1 两种状况，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图， 若函数 f(x)＝ a x － x － a 有两个不一样的零点，则函数 g(x)，h(x)的图象有两个不一样的交点，依据画出的图象可知只有当a ＞ 1 时切合题目要求．.答案： (1，＋∞)13．已知 t＞－ 1，当 x∈[ － t，t＋ 2]时，函数 y＝ (x－ 4)|x|的最小值为－4，则 t 的取值范围是 ________．分析：对于函数 y＝ (x－ 4)|x|可化为 y＝x2－ 4x，x∈ [0，＋，其图象如下图，－ x2＋4x， x∈ －∞，当 y＝－ 4 时， x＝ 2 或 x＝ 2－22，要知足当x∈ [ － t， t＋ 2]时，函数 y＝ (x－ 4)|x|的最小值为－ 4，则 2－ 2 2≤－ t≤2≤t＋ 2，所以可得t 的取值范围是[0,22－ 2] ．答案： [0,22－ 2]14． (2014 年南京一模 )某商场 2013 年一月份到十二月份月销售额体现先降落后上涨的趋势，现有三种函数模型：①f(x)＝ p·q x(q＞ 0，q≠ 1)；② f(x)＝ log p x＋ q(p＞ 0， p≠ 1)；③ f(x) ＝x2＋px＋ q.(1)能较正确反应商场月销售额f(x)与月份x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号 )；(2)若所选函数知足f(1)＝ 10，f(3)＝ 2，则f(x)＝ ________.分析： (1) ①②都是单一函数，只有③先减后增，故填③；(2) 将f(1)＝ 10， f(3) ＝ 2代入③解得p＝－ 8， q＝17，所以f(x)＝ x2－ 8x＋ 17.答案：③x2－ 8x＋ 17。

一、填空题1．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}，则M ∩N ＝________.解析：作出集合M ，N 的Venn 图，∴M ∩N ＝{2,3}．答案：{2,3}2．(2011年福建卷)若集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1,2}，则M ∩N 等于________．解析：M ∩N ＝{0,1}．答案：{0,1}3．(2011年湖北卷)已知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则 U (A ∪B )＝________.解析：A ∪B ＝{1,2,3,4,5,7}，U (A ∪B )＝{6,8}．答案：{6,8}4． (2011年江西卷)若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3}，N ＝{1,4}，则集合( U M )∩( U N )＝________.解析：∵M ∪N ＝{1,2,3,4}∴ U (M ∪N )＝{5,6}即( U M )∩( U N )＝{5,6}．答案：{5,6}5．(2011年陕西卷)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R}，N ＝{x ||x －1i |<2，i 为虚数单位，x ∈R}，则M ∩N 为________．解析：∵M ＝{y |y ＝|cos 2x |}＝[0,1]，N ＝{x |x 2＋1<2}＝(－1,1)，∴M ∩N ＝[0,1)．答案：[0,1)6．(2011年江苏卷)已知集合A ＝{－1,1,2,4}，B ＝{－1,0,2}，则A ∩B ＝______.解析：A∩B＝{－1,2}．答案：{－1,2}7．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．解析：由题意知，同时参加三个小组的人数为0，令同时参加数学、化学人数为x人．20－x＋6＋5＋4＋9－x＋x＝36，x＝8.答案：88．设全集U＝{(x，y)|x，y∈R}，集合M＝，N＝{(x，y)|y≠x－4}，那么( U M)∩(U N)＝________.解析：∵M＝{(x，y)|y＝x－4，(x≠2)}，它表示直线y＝x－4挖去点(2，－2)，U M表示代表直线y＝x－4外，且包含点(2，－2)；集合N表示直线y＝x－4外区域，U N则表示直线y＝x－4.∴( U M)∩(U N)＝{(2，－2)}．答案：{(2，－2)}9．设A是整数集的一个非空子集．对于k∈A，如果k－1 A，且k＋1 A，那么称k 是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个．解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：6二、解答题10．集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2}，问是否存在这样的实数a，使得B A，且A∩B＝{1，a}？若存在，求出实数a的值；若不存在，说明理由．解析：由A＝{1,3，a}，B＝{1，a2}，B A，得a2＝3或a2＝a.当a2＝3时，a＝±3，此时A∩B≠{1，a}；当a2＝a时，a＝0或a＝1.a＝0时，A∩B＝{1,0}；a ＝1时，A 、B 中的元素均不满足互异性．综上所述，存在这样的实数a ＝0，使得B A ，且A ∩B ＝{1，a }．11．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 6x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，(1)当m ＝3时，求A ∩( R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解析：由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1≤0，∴A ＝{x |－1<x ≤5}． (1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则 R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩( R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.12．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－mx ＋2＝0}，且A ∪B ＝A ，A ∩C ＝C ，求实数a 及m 的值．解析：∵A ＝{1, 2}，B ＝{x |(x －1)[x －(a －1)]＝0}，又A ∪B ＝A ，∴B A .∴a －1＝2 a ＝3(此时A ＝B )，或a －1＝1 a ＝2(此时B ＝{1})．由A ∩C ＝C C A ，从而C ＝A 或C ＝ (若C ＝{1}或C ＝{2}时，可检验不符合题意)．当C ＝A 时，m ＝3；当C ＝ 时，Δ＝m 2－8<0 －22<m <2 2.综上可知a ＝2或a ＝3，m ＝3或－22<m <2 2.。

课时跟踪训练1．甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外2位教师前面值班的概率是( )A.13 B.23 C.34D.35解析：依题意，甲、乙、丙3人的相对顺序共有A 33＝6种，其中甲位于乙、丙前面的共有A 22＝2种，因此所求的概率为26＝13，选A. 答案：A2．在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －3≤0y ≥0的平面点集中随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A 为“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是( )A.14 B.34 C.13D.23解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －3≤0y ≥0表示的平面区域的面积为12×(1＋3)×2＝4；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －3≤0y ≥0y ＜2x表示的平面区域的面积为12×3×2＝3，因此所求的概率等于34，选B.答案：B3．某市有高中生30 000人，其中女生4 000人．为调查学生的学习情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中女生的数量为( )A ．30B ．25C ．20D ．15解析：设样本中女生的数量为x ，则15030 000＝x4 000，∴x ＝20.答案：C4．如图，△ABC 和△DEF 是同一圆的内接正三角形，且BC ∥EF .将一颗豆子随机地扔到该圆内，用M 表示事件“豆子落在△ABC 内”，N 表示事件“豆子落在△DEF 内”，则P (N |M )＝( )A.334πB.32πC.13D.23解析：如图作三条辅助线，根据已知条件得这些小三角形都全等，△ABC 包含9个小三角形，满足事件MN 的有6个小三角形，故P (N |M )＝69＝23.答案：D5．(2014年重庆高考)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A.y ^＝0.4x ＋2.3 B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5D.y ^＝－0.3x ＋4.4解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C 、D.且直线必过点(3,3.5)，代入A 、B 得A 正确．答案：A6．亚冠联赛前某参赛队准备在甲、乙两名球员中选一人参加比赛．如图所示的茎叶图记录了一段时间内甲、乙两人训练过程中的成绩，若甲、乙两名球员的平均成绩分别是x 1，x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 1＞x 2，选甲参加更合适B ．x 1＞x 2，选乙参加更合适C ．x 1＝x 2，选甲参加更合适D ．x 1＝x 2，选乙参加更合适解析：根据茎叶图可得甲、乙两人的平均成绩分别为x 1≈31.67，x 2≈24.17，从茎叶图来看，甲的成绩比较集中，而乙的成绩比较分散，因此甲发挥的更稳定，选甲参加比赛更合适，故选A.答案：A7．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图(x 轴、y 轴的单位长度相同)，用回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A ．线性相关关系较强，b ^的值为1.25 B ．线性相关关系较强，b ^的值为0.83 C ．线性相关关系较强，b ^的值为－0.87 D ．线性相关关系较弱，无研究价值解析：由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近，所以线性相关关系较强，且应为正相关，所以回归直线方程的斜率应为正数，且从散点图观察，回归直线的斜率应该比y ＝x 的斜率要小一些，综上可知应选B.答案：B8．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：( ) A ．0.01 B ．0.025 C ．0.10D ．0.05附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解析：K 2＝50×(18×15－8×9)26×24×27×23≈5.059＞5.024，因为P (K 2＞5.024)＝0.025，所以这种推断犯错误的概率不超过0.025.答案：B9．对于一组数据x i (i ＝1,2,3，…，n )，如果将它们改变为x i ＋C (i ＝1,2,3，…，n )，其中C ≠0，则下列结论正确的是( )A ．平均数与方差均不变B ．平均数变，方差保持不变C ．平均数不变，方差变D ．平均数与方差均发生变化解析：由平均数的定义，可知每个个体增加C ，则平均数也增加C ，方差不变．故选B. 答案：B10．(2014年石家庄一模)某社区针对该区的老年人是否需要特殊照顾进行了一项分性别的抽样调查，根据男性老年人和女性老年人需要特殊照顾和不需要特殊照顾得出了一个2×2的列联表，并计算得出K 2的观测值k ＝4.350，则下列结论正确的是( )A ．有97.5%的把握认为“该社区的老年人是否需要特殊照顾与性别有关”B ．有95%的把握认为“该社区的老年人是否需要特殊照顾与性别有关”C ．该社区需要特殊照顾的老年人中有95%是男性D ．该社区每100名老年人中有5名需要特殊照顾 参考数据：“该社区的老年人是否需要特殊照顾与性别有关”，B 正确．答案：B11．(2014年天津高考)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．解析：根据分层抽样的定义，按照每层所占的比例求解．根据题意，应从一年级本科生中抽取的学生人数为44＋5＋5＋6×300＝60.答案：6012．(2014年温州模拟)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为ξ，则ξ的数学期望是________．解析：根据题意ξ＝0,1,2，而P (ξ＝0)＝C 26C 210＝1545；P (ξ＝1)＝C 16C 14C 210＝2445；P (ξ＝2)＝C 24C 210＝645.∴E (ξ)＝0×1545＋1×2445＋2×645＝3645＝45.答案：4513．如图是根据部分城市2014年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.6]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．解析：结合直方图和样本数据的特点求解．最左边两个矩形面积之和为0.10×1＋0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18,50×0.18＝9.答案：914．设区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2}，区域A ＝{(x ，y )|xy ≤1，(x ，y )∈Ω}，则区域Ω中随机取一个点，则该点恰好在区域A 中的概率为________．解析：在平面直角坐标系中画出区域Ω和A ，则区域Ω的面积为4，区域A 的面积分成两小块：一是小长方形的面积，二是曲线y ＝1x (x ＞0)与x ＝12，x ＝2，y ＝0所形成的曲边梯形的面积，则区域A 的面积S A ＝12×2＋⎠⎛2121x d x ＝1＋2ln 2.根据几何概型的概率计算公式可知该点恰好落在区域A 中的概率为A 的面积Ω的面积＝1＋2ln 24.答案：1＋2ln 2415．如图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________．解析：依题意，记题中的被污损数字为x ，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x ＋5)≤0，x ≥7，即此时x 的可能取值是7、8、9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率等于310＝0.3.答案：0.3。

题组层级快练 2.1.1函数及其表示一、单项选择题1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．f(x)＝x ＋2，x ∈R 与g(x)＝x ＋2，x ∈ZB ．f(x)＝x －1与g(x)＝x 2－1x ＋1C ．f(u)＝1＋u1－u与f(v)＝1＋v1－vD ．y ＝f(x)与y ＝f(x ＋1) 2．已知f(x 5)＝lgx ，则f(2)等于( ) A ．lg2 B ．lg32 C ．lg 132D.15lg2 3．(2021·皖南八校联考)下列函数中，与函数y ＝13x 定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sinxB ．y ＝lnx xC ．y ＝xe xD ．y ＝sinxx4．已知函数f(x)对任意实数x 满足f(2x －1)＝2x 2，若f(m)＝2，则m ＝( ) A ．1 B ．0 C ．1或－3D ．3或－15．(2021·湖北宜昌一中模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x<1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B.78 C.34D.126．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14－x－3·2x －4的定义域为( ) A ．[2，＋∞) B ．(－∞，2] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 7．函数f(x)＝－x 2－3x ＋4lg （x ＋1）的定义域为( )A ．(－1，0)∪(0，1]B ．(－1，1]C ．(－4，－1]D ．(－4，0)∪(0，1]8．(2021·福州模拟)已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f(x －1)的定义域为( ) A ．(－2，0) B ．(－2，2) C ．(0，2)D.⎝⎛⎭⎫－12，0 9．(2017·山东，文)设f(x)＝⎩⎨⎧x ，0<x<1，2（x －1），x ≥1.若f(a)＝f(a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8二、多项选择题10．下列图象中能作为函数图象的是( )11．函数f(x)＝x1＋x 2，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是( )A ．f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫1xB ．－f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫1x C.1f （x ）＝f ⎝⎛⎭⎫1x D ．f(－x)＝－f(x)三、填空题与解答题12．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log 2x ，x>0，x 2－x －1，x ≤0，则不等式f(x)≤5的解集为________．13．(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f(3)＝________．(2)已知f(2x ＋1)＝x 2－3x ，则f(x)＝________． 14．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－（x －1）2，x>0，使f(x)≥－1成立的x 的取值范围是________．15．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝⎩⎨⎧cx，x<A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，求c 和A 的值．16．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f(x)的函数f(x)称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f(x)＝x －1x ；②f(x)＝x ＋1x ；③f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x<1，0，x ＝1，－1x ，x>1.其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)17．(名师原创)将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q(p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数f(n)＝p q ，例如：f(12)＝34.关于函数f(n)有下列叙述：①f(7)＝17；②f(24)＝38；③f(28)＝47；④f(144)＝916，其中正确的为________．(填序号) 18.如图，在矩形ABCD 中，BA ＝3，CB ＝4，点P 在AD 上移动，CQ ⊥BP ，Q 为垂足．设BP ＝x ，CQ ＝y ，试求y 关于x 的函数表达式，并画出函数的图象．2.1.1函数及其表示 参考答案1．答案 C2．答案 D 解析 令x 5＝t ，则x ＝t 15(t>0)，∴f(t)＝lgt 15＝15lgt.∴f(2)＝15lg2.故选D.3．答案 D 解析 y ＝13x的定义域为{x|x ≠0}，而y ＝1sinx 的定义域为{x|x ≠k π，k ∈Z }，y ＝lnxx的定义域为{x|x>0}，y ＝xe x 的定义域为R ，y ＝sinxx的定义域为{x|x ≠0}，故选D. 4．答案 C 解析 本题考查函数的概念与解析式的求解．令2x －1＝t ，可得x ＝12(t ＋1)，故f(t)＝2×14×(t ＋1)2＝12(t ＋1)2，故f(m)＝12(m ＋1)2＝2，故m ＝1或m ＝－3.5．答案 D 解析 f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ，当52－b ≥1，即b ≤32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝252－b ， 即252－b ＝4＝22，得到52－b ＝2，即b ＝12；当52－b<1，即b>32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝152－3b －b ＝152－4b ，即152－4b ＝4，得到b ＝78<32，舍去． 综上，b ＝12.故选D.6．答案 A 解析 由题意得⎝⎛⎭⎫14－x－3·2x －4≥0，即22x －3·2x －4≥0. ∴(2x －4)(2x ＋1)≥0，解得x ≥2.故选A.7．答案 A 解析 要使函数f(x)有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x<0或0<x ≤1.故选A.8．答案 C 9．答案 C解析 当0<a<1时，a ＋1>1，f(a)＝a ，f(a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∵f(a)＝f(a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f(4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f(a)＝2(a －1)，f(a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.故选C.10．答案 ACD 解析 B 中的图象与垂直于x 轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义．11．答案 AD 解析 因为f(x)＝x 1＋x 2，所以f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x1＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 1＋x 2，所以f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫1x ；又f(－x)＝－x 1＋（－x ）2＝－x1＋x 2，所以f(－x)＝－f(x)．12．答案 [－2，4]解析 由于f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log 2x ，x>0，x 2－x －1，x ≤0，当x>0时，令3＋log 2x ≤5，即log 2x ≤2＝log 24，解得0<x ≤4；当x ≤0时，令x 2－x －1≤5，即(x －3)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤3， ∴－2≤x ≤0.∴不等式f(x)≤5的解集为[－2，4]．13．(1)答案 11解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2，∴f(x)＝x 2＋2(x ∈R )，∴f(3)＝32＋2＝11. (2)答案 14x 2－2x ＋74解析 令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12，f(t)＝⎝⎛⎭⎫t －122－3×t －12＝t 2－2t ＋14－3t －32＝t 2－8t ＋74，∴f(x)＝14x 2－2x ＋74.14．答案 [－4，2]解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x>0，－（x －1）2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故x 的取值范围是[－4，2]． 15．答案 60，16解析 因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15①，所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30②，联立①②解得c ＝60，A ＝16. 16．答案 ①③解析 对于①，f(x)＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f(x)，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f(x)，不满足； 对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x>1，0，x ＝1，－x ，0<x<1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f(x)，满足． 综上，满足“倒负”变换的函数是①③. 17．答案 ①③解析 对于①，∵7＝1×7，∴f(7)＝17，①正确；对于②，∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，∴f(24)＝46＝23，②不正确；对于③，∵28＝1×28＝2×14＝4×7，∴f(28)＝47，③正确；对于④，∵144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12，∴f(144)＝1212＝1，④不正确．18.答案 y ＝12x(3≤x ≤5)，图象见解析 解析 由题意，得△CQB ∽△BAP ，所以CQ BA ＝CB BP ，即y 3＝4x .所以y ＝12x .连接BD ，因为BA ≤BP ≤BD ，而BA ＝3，CB ＝AD ＝4，所以BD ＝32＋42＝5，所以3≤x ≤5.故所求的函数表达式为y ＝12x(3≤x ≤5)．如下图所示，曲线MN就是所求的函数图象．。

课时追踪训练π 21．设函数 f(x)＝ cos 2x ＋ ＋ sin x.3(1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值；θcos 2θ的值．(2)若 θ是第二象限角，且f 2 ＝0，求1＋cos 2θ－ sin 2θπ 2ππ 1－ cos 2x 1 3 解： (1) f(x)＝ cos 2x ＋ 3 ＋sin x ＝ cos 2xcos 3 － sin 2xsin 3＋2 ＝ 2 － 2 sin 2x.因此 f(x)的最小正周期为 T ＝ 2π 1＋ 3 .2 ＝π，最大值为 2(2)由于 f θ＝0，2 因此1－33，2 2 sin θ＝ 0，即 sin θ＝ 3又 θ是第二象限角，26因此 cos θ＝－ 1－sin θ＝－ 3 .因此cos 2θ ＝ cos 2 θ－ sin 2θ21＋ cos 2θ－ sin 2θ 2cos θ－ 2sin θcos θ ＝θ＋ sin θ θ－ sin θ ＝ cos θ＋ sin θ2cos θ θ－ sin θ 2cos θ－6＋ 3＝33＝ 6－ 3＝2－ 2.2×－62643cos 2x2．函数 f(x)＝＋ 2sin x.sin x ＋ cos x3(1)在△ ABC 中， cos A ＝－ 5，求 f(A)的值；(2)求函数 f(x)的最小正周期及其图象的全部对称轴的方程．π 解： (1) 由 sin x ＋cos x ≠0得 x ≠k π－ ， k ∈Z .4cos 2xf(x)＝＋ 2sin xsin x ＋cos x＝cos 2x － sin 2x ＋ 2sin xsin x ＋ cos x＝ c os x ＋ sin xπ＝ 2sin x ＋ 4 ，在△ ABC中， cos A ＝－ 3＜ 0，因此5π＜ A ＜ π，224因此 sin A ＝ 1－ cos A ＝ 5，431因此 f(A)＝ sin A ＋ cos A ＝ － ＝ .(2)由 (1)可得 f(x)＝ 2sin x ＋π，4因此 f(x)的最小正周期T ＝ 2π.由于函数 y ＝ sin x 图象的对称轴为π π πx ＝ k π＋ ，k ∈ Z 又由 x ＋ ＝ k π＋ ，k ∈ Z ，得 x ＝k π＋242ππ4， k ∈ Z ，因此 f(x)图象的对称轴的方程为x ＝ k π＋ 4， k ∈ Z .3．(2014 年绵阳模拟 )已知向量 a ＝ (sin x,2cos x)， b ＝ (2sin x ， sin x)，设函数 f(x)＝ a ·b .(1)求 f(x)的单一递加区间；πg(x)的图象， 求函数 g(x)在区间 π 7π (2)若将 f(x)的图象向左平移 6个单位，获得函数12，12 上的最大值和最小值．解： (1) f(x)＝ a ·b ＝ 2sin 2x ＋ 2sin xcos x1－ cos 2x ＝2× 2＋sin 2x＝ 2sinπ＋ 1， 2x － 4ππ π π 3π由－ ＋ 2k π≤2x － ≤ ＋ 2k π， k ∈ Z ，得－ ＋ k π≤x ≤ ＋ k π， k ∈ Z .24 288∴f(x)的单一递加区间是π 3π－ ＋ k π，＋ k π88(k ∈ Z )．(2)由题意 g(x)＝ 2sin2 x ＋ π－ π＋ 1＝ 2sin 2x ＋ π ＋ 1，6412π7π π π 5π由≤x ≤得 ≤2x ＋12 ≤ ，12 1244∴ 0≤g(x)≤ 2＋ 1，即 g( x)的最大值为 2＋ 1，g(x)的最小值为 0.4．已知函数 f(x)＝ 2 3cos 2x ＋ 2sin xcos x － m(x ∈R )在区间 0，π上，函数 f(x) 的最大值为22.(1)务实数 m 的值；(2)在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边是 a ，b ， c.若 A 为锐角，且知足 f(A)＝ 0， sin B ＝333sin C ，△ ABC 的面积为，求边长 a.解：(1)∵ f(x)＝ 2 3cos 2x ＋ 2sin xcos x － m ＝ 3(cos 2x ＋ 1)＋ sin 2x － m ＝ 2sin 2x ＋ π＋ 3－3 m.π ππ 4π∵x ∈ 0， 2 ，∴ 3≤2x ＋3≤3 .π π∴函数 f(x)在 2x ＋ 3＝ 2时获得最大值，即2＋3－m ＝ 2，解得 m ＝ 3.(2)∵ f(A)＝ 0，∴ 2sin 2A ＋ π＝ 0，3ππ∴sin 2A ＋3＝ 0，由 A 为锐角，解得 A ＝3.∵sin B ＝ 3sin C ，由正弦定理得 b ＝ 3c ，①∵△ ABC 的面积为 34 3， ∴S △ABC ＝11 π 3 32 bcsin A ＝ bcsin ＝，234即 bc ＝ 3.②由①和②解得 b ＝ 3，c ＝1.222－2bc ·cos A ＝ 2 ＋1 2π ∵a＝b ＋ c3 －2×3×1×cos ，3∴ a ＝ 7.5．黄岩岛是中国中沙群岛中独一露出水面的岛礁，黄岩岛周围为距水面0.5 m 到 3 m 之2m 的湖．湖东南端有一个宽400 m 的通道与外海相连，中型渔船和小型舰艇可由此进入湖中进行维修或许避风，受热带季风的影响，四月份通道一天中偶数整点时的水深的近似值以下表：时间24681012141618202224(h) 水深7.55.755.77.51012.614.31514.412.510.17.5(m)此通道的水深 y(m) 与时间 x(h) 能够用形如 y ＝ Asin(ωx＋ φ)＋ h(A ＞0，ω＞ 0，|φ|＜ π)的函数来刻画．(1)依据以上数据画出其近似图象，并求出水深y(m) 与时间 x(h) 的详细函数关系式；(2)若某渔船吃水深度为5 m ，船底与海底的安全空隙为2.5 m ，该船需进湖歇息，一天中什么时辰能够进入湖内？解： (1) 如图，由图可知该函数的最大值为15，最小值为5，最小正周期为24，即 A ＋h2π＝ 15，h － A ＝5， T ＝ ω＝ 24，π解得 A ＝ 5， h ＝ 10， ω＝12.π5π又函数的图象过点 (16,15) ，即 y ＝5sin 12×16＋ φ ＋ 10＝ 15，因此 φ＝－ 6 ＋ 2k π(k ∈ Z )，又 |φ|＜ π，因此 φ＝－5π6.π5π因此水深 y(m) 与时间 x(h) 的函数关系式为 y ＝ 5sin 12x － 6 ＋ 10. (2)由于该渔船吃水深度为 5 m ，船底与海底的安全空隙为 2.5 m ，因此要使该渔船进湖休息，需水深不小于 7.5 m 时进入，即一天中需 y ＝ 5sin π5π＋ 10≥7.5 h 进入， 12x － 6解得 x ＝ 0 或 8≤x ≤24，因此一天中 0 h 或 8 h 到 24 h 能够进入湖内．。

课时追踪训练1．(2014 年福建高考 )某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不行能是()A ．圆柱B．圆锥C．四周体D．三棱柱分析：圆柱的正视图是矩形，则该几何体不行能是圆柱．答案： A2．已知 l 、 m 是两条不一样的直线，α是一个平面，则以下命题正确的选项是()A ．若 l ∥ α， m∥ α，则 l∥ mB．若 l ⊥ m， m∥ α，则 l⊥ αC．若 l ⊥ m， m⊥ α，则 l∥ αD．若 l ∥ α， m⊥ α，则 l⊥ m分析：平行于同一个平面的两条直线可能平行、订交、异面， A 错；若 l ⊥m，m∥ α，则直线 l 和平面α可能平行，可能在平面内，也可能订交， B 错；若 l ⊥m，m⊥α，则直线 l 也可能在平面α内，C错；经过绘图可知，D 明显正确，应选 D.答案： D3．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积等于()2A ． 2 B.34C.3D． 4分析：由三视图判断几何体为一个三棱柱，其直观图如图，依据数据得底面△ADF 的面积 S＝ 2，高 h＝2，所以体积V＝sh＝ 2×2＝ 4，应选 D.答案： D4．(2014 年安徽高考 )一个多面体的三视图如下图，则该多面体的表面积为()A．21＋ 3B． 18＋ 3C． 21D． 18分析：由三视图可知该几何体是棱长为 2 的正方体从后边右上角和前方左下角分别截去一个小三棱锥后节余的部分，其表面积为S＝6×4－1×6＋2×3×( 2)2＝ 21＋ 3. 24答案： A5．已知 l，m，n 是三条不一样的直线，α，β是不一样的平面，则α⊥β的一个充足条件是 ( )A ． l? α， m? β，且 l ⊥ mB． l? α， m? β， n? β，且 l⊥ m， l⊥ nC． m? α， n? β，m∥ n，且 l ⊥ mD． l? α， l ∥ m，且 m⊥ β分析：依题意， A 、B 、 C 均不可以得出α⊥ β.对于 D，由 l∥ m， m⊥ β得 l ⊥ β，又 l? α，所以有α⊥ β.综上所述，选 D.答案： D6．(2014 年辽宁高考 )某几何体三视图如下图，则该几何体的体积为()A． 8－ 2πB． 8－ππC．8－2πD． 8－4分析：直观图为棱长为 2 的正方体割去两个底面半径为 1 的1圆柱，所以该几何体的体积4321为 2 － 2×π×1×2×＝ 8－π.4答案： B7．在一个库房里聚积着正方体货箱若干，要搬运这些箱子很困难，但是库房管理员要清点一下箱子的数目，于是就想出一个方法：将这堆货物的三视图画了出来，则这些正方体货箱的个数为 ()A ． 6 C． 8B． 7 D． 9分析：依据已知三视图，能够画出空间几何体的直观图(如下图)，所以基层有 6 个，上层有 2 个，共有8 个，应选 C.答案： C8．(2014 年全国纲领卷 )正四棱锥的极点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为 2，则该球的表面积为 ()81πA. 4B． 16πC． 9π D.27π4分析：如下图，设球半径为R，底面中心为O′且球心为 O，∵正四棱锥P-ABCD 中 AB＝ 2，∴ AO′＝ 2.∵PO′＝ 4，∴在2222＝( 2)22Rt△ AOO′中， AO＝ AO′＋OO′，∴ R＋ (4－ R) ，解929 281π得 R＝4，∴该球的表面积为4πR＝ 4π×4＝4，应选 A.9．(2014 年辽宁高考 )已知 m，n 表示两条不一样直线，α表示平面．以下说法正确的选项是()A ．若 m∥ α， n∥ α，则 m∥ nB．若 m⊥ α， n? α，则 m⊥nC．若 m⊥ α， m⊥ n，则 n∥ αD．若 m∥ α， m⊥ n，则 n⊥ α分析：对于选项 A ，若 m∥ α， n∥α，则 m 与 n 可能订交、平行或异面， A 错误；明显选项 B 正确；对于选项 C，若 m⊥ α， m⊥ n，则 n? α或 n∥ α，C 错误；对于选项D，若 m∥ α，m⊥n，则 n∥ α或 n? α或 n 与α订交， D 错误．应选 B.答案： B10．(2014 年唐山模拟 )如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1的六个极点都在半径为 1 的半球面上，AB＝ AC，侧面 BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为 ()A ． 2B． 12C. 2D. 2分析：由题意知，球心在侧面 BCC1B1的中心 O 上，BC 为截面圆的直径，∴∠ BAC＝ 90°，△ ABC 的外接圆圆心 N 位于 BC 的中点，同理△ A1B1 C1的外心 M 是 B1C1的中点．设正方形BCC1B1边长为 x，Rt△ OMC 1中， OM ＝x， MC 1＝x， OC1＝R＝ 1(R 为球的半径 )，∴x2＋x 22222＝ 1，即 x＝ 2，则 AB＝ AC＝ 1，∴ S 矩形 ABB1A1＝2×1＝ 2.答案： C11．已知一个正三棱柱的全部棱长均相等，其侧(左 )视图如下图，那么此三棱柱正(主 )视图的面积为 ________．分析：由正三棱柱三视图复原直观图可得正(主 )视图是一个矩形，此中一边的长是侧视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧( 左 )视图中三角形的边长为2，所以高为正视图的面积为 2 3.(左 ) 3，所以12．某一容器的三视图如下图，则该几何体的体积为________．分析：依题意，题中的几何体是从一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，此中该圆锥3122π的底面半径是1、高是 2，因本题中的几何体的体积等于2－3π×1×2＝8－3 .答案： 8－2π313．(2014 年江苏高考 )设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为 V1，V2，若它们的侧面积相等，且S1＝9，则V1的值是 ________．S2 4V2分析：设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r1，r 2，母线长分别是l 1，l2.则由S1＝9可得r1＝S2 4r 232πr1l1＝ 2πr2l 2，则l 1r 2 2，所以V1＝S1l19 2 3..又两个圆柱的侧面积相等，即＝＝V2＝× ＝2l 2 r 1 3S2l2 4 3 2答案：3214．(2014 年山东高考 )三棱锥 P-ABC 中， D ，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱锥D-ABE的体积为 V ， P-ABC 的体积为 V ，则V1＝ ________.12V2分析：如图，设点 C 到平面 PAB 的距离为 h，三角形 PAB 的面积为 S，则 V2＝1Sh，V1 3＝ V E－ADB＝1 1 11Sh，所以V11 3× S× h＝12＝ .2 2V24答案：1415．已知某四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，且俯视图如下图．(1)若该四棱锥的左视图为直角三角形，则它的体积为________；(2)对于该四棱锥的以下结论中：①四棱锥中起码有两组侧面相互垂直；②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；③四棱锥中不行能存在四组相互垂直的侧面．全部正确结论的序号是________．分析： (1) 由三视图可知该几何体是底面边长为 2 的正方形、高为 1 的四棱锥，如下图，14所以该四棱锥的体积为3×2×2×1＝3.(2)由图可知 PQ⊥平面 ABCD ，则有 PQ⊥AB，又 AB⊥BC，所以 AB⊥平面 PBC ，于是侧面 PAB⊥侧面 PBC，同理可知侧面 PDC⊥侧面 PBC，故①正确；由上述易知 AB⊥PB ，CD ⊥ PC，所以△ PAB，△ PCD 为直角三角形，又因为四棱锥的左视图可能为直角三角形，所以△PBC可能为直角三角形，故②正确；由图易判断平面PAB与平面PAD不垂直，故③正确．综上知①②③均正确．4答案： (1)(2)①②③。

课时跟踪训练1．在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如下表所示：(1)(2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X 表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望E (X )．附：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2，a ^＝y －b ^x －，其中x ，y 为样本平均数．解：(1)∵x ＝89＋91＋93＋95＋975＝93，y ＝87＋89＋89＋92＋935＝90，∴∑5i ＝1(x i －x )2＝(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42＝40，∑5i ＝1(x i －x )(y i －y )＝(－4)×(－3)＋(－2)×(－1)＋0×(－1)＋2×2＋4×3＝30，∴b ^＝3040＝0.75，a ^＝y －b ^x ＝20.25.故物理分y 对数学分x 的回归方程为y ^＝0.75x ＋20.25. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 22C 24＝16；P (X ＝1)＝C 12C 12C 24＝23；P (X ＝2)＝C 22C 24＝16.故X 的分布列为∴E (X )＝0×16＋1×23＋2×16＝1.2．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1,2,3三个问题，每位参赛者按问题1,2,3的顺序做答，竞赛规则如下：①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1,2,3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分；②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局．已知甲同学回答1,2,3三个问题正确的概率依次为34，12，13，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用X 表示甲同学本轮答题结束时的累计分数，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设事件A 表示“甲同学问题1回答正确”，事件B 表示“甲同学问题2回答正确”，事件C 表示“甲同学问题3回答正确”，依题意P (A )＝34，P (B )＝12，P (C )＝13.记“甲同学能进入下一轮”为事件D ，则 P (D )＝P (A B C ＋AB ＋A BC ) ＝P (A B C )＋P (AB )＋P (A BC )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )＋P (A )P (B )P (C ) ＝34×12×13＋34×12＋14×12×13＝1324. (2)X 可能的取值是6,7,8,12,13. P (X ＝6)＝P (A －B －)＝14×12＝18，P (X ＝7)＝P (A B －C －)＝34×12×23＝14，P (X ＝8)＝P (A －B C －)＝14×12×23＝112，P (X ＝12)＝P (A B －C )＝34×12×13＝18，P (X ＝13)＝P (AB ＋A －BC )＝P (AB )＋P (A －BC )＝34×12＋14×12×13＝512.∴X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝6×18＋7×14＋8×112＋12×18＋13×512＝12112.3．(2014年潍坊模拟)交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T ，其范围为[0,10]，分别有五个级别：T ∈[0,2)畅通；T ∈[2,4)基本畅通；T ∈[4,6)轻度拥堵；T ∈[6,8)中度拥堵；T ∈[8,10]严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图所示：(1)这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X 表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的分布列及期望．解：(1)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是(0.1＋0.2)×1×20＝6； 中度拥堵的路段个数是(0.3＋0.2)×1×20＝10. (2)X 的可能值为0,1,2,3.则P (X ＝0)＝C 010C 310C 320＝219，P (X ＝1)＝C 110C 210C 320＝1538，P (X ＝2)＝C 210C 110C 320＝1538，P (X ＝3)＝C 310C 010C 320＝219，∴X 的分布列为∴E (X )＝0×219＋1×1538＋2×1538＋3×219＝32或E (X )＝n ·M N ＝3×1020＝32.4．(2014年大连模拟)某企业有甲、乙两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从甲、乙两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸的结果如下表：甲厂的零件内径尺寸：为优质品与在不同分厂生产有关”；附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(2)5件零件中任意抽取2件，将这2件零件中的优质品数记为X ，求X 的分布列及数学期望．解：(1)2×2列联表如下：K 2＝1 000×(400×200－100×300)500×500×700×300≈47.619＞10.828，有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与在不同分厂生产有关”． (2)分层抽样从乙厂抽取优质品3件，非优质品2件． X 取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 22C 25＝110，P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35，P (X ＝2)＝C 23C 25＝310，所以X 的分布列为所以E (X )＝1×35＋2×310＝65.。

课时追踪训练1．(2014 年四川高考 ) 为了获得函数 y ＝ sin(2x ＋ 1)的图象，只要把函数 y ＝ sin 2x 的图象上全部的点 ()A ．向左平行挪动 1个单位长度2B ．向右平行挪动 1个单位长度2C ．向左平行挪动 1 个单位长度D ．向右平行挪动1 个单位长度分析： 由于 y ＝ sin(2x ＋ 1)＝ sin 2 x ＋ 1 ，故可由函数 y ＝ sin 2x 的图象上全部的点向左平2行挪动1个单位长度获得，选 A.2 答案： A2．函数 f(x)＝(sin x ＋ cos x)2 图象的一条对称轴方程是()πB ． x ＝ πA ． x ＝ 43πC ． x ＝ 2D ． x ＝ π分析： f(x)＝ (sin x ＋ cos x) 2＝sin 2x ＋ cos 2x ＋ 2sin xcos x ＝ 1＋sin 2x ，∴将各选项代入考证可π 知，当 x ＝ 时， f(x) 获得最值，应选A.4答案： A1＝ 1，3．(2014 年昆明模拟 )已知函数 f(x)＝ Asin ωx (A ＞0，ω＞ 0)的最小正周期为2，且 f 6 则函数 y ＝ f(x)的图象向左平移1个单位后所得图象的函数分析式为()3π1πA ． y ＝ 2sin πx ＋3B ． y ＝ 2sin πx － 311 1C ． y ＝ 2sin πx ＋ 3D ． y ＝ 2sin πx －3分析： 由最小正周期为 2，得2π 1π ＝ 2，则 ω＝π，又 f6＝1，所以 Asin ＝ 1， A ＝ 2，所以ω61 y ＝ 2sin 1＝ 2sin πx ＋ πf(x)＝ 2sin πx.将函数 y ＝ f(x)的图象向左平移 3 个单位后获得 πx ＋ 3 3 的图象．应选 A.答案： A4．函数 f(x)＝ sin(ωx＋ φ) ω＞ 0， |φ|＜ππ 2 的最小正周期为 π，若其图象向右平移 个单位后3对于 y 轴对称，则 ()ππA ． ω＝ 2，φ＝ 3B ． ω＝ 2， φ＝ 6π π C ． ω＝ 4， φ＝ 6D ． ω＝ 2，φ＝－ 62ππ2π分析： 由 ω＝ π，得 ω＝ 2，由于将 f(x)的图象向右平移 3 个单位后得 g(x)＝ sin 2x － ＋ φ32π k π π的图象，又 g(x)为偶函数，所以－＋ φ＝， k 为奇数，令k ＝－ 1，得 φ＝ .应选 B.326答案： B5．函数 f(x)＝sin2x －sin 2x ＋ π的最小值为 ( )3A ． 0B ．－ 1C ．－ 2D ．－ 21 3 13π π π分析： f(x)＝ sin 2x －2sin 2x ＋ 2 cos 2x ＝ 2sin 2x － 2cos 2x ＝ sin 2x －3 ，当 2x － 3＝－ 2＋ 2k π， k ∈Z 时， f(x)获得最小值－ 1.答案： Bπy ＝ sin ωx 的图象重合， 则 ω6．若函数 y ＝ cos ωx (ω＞0)的图象向右平移 6个单位后与函数 的值可能是 ( )1A. 2 B ． 1C ． 3D ． 4ππ分析： 依题意得，函数 y ＝ cos ωx＝ sin ωx＋ 2 的图象向右平移 6个单位后获得的曲线对应π π πω ππω π的分析式是 y ＝ sin ω x － 6 ＋2 ＝ sin ωx－ 6 ＋ 2 ＝ sin ωx，所以有－ 6 ＋2＝－ 2k π，即 ω＝ 12k ＋ 3，此中 k ∈ Z ，于是联合各选项知，ω的值可能是 3，选 C.答案： Cππ 7．将函数 y ＝ sin x ＋ 6 (x ∈ R )的图象上全部的点向左平移个单位长度，再把图象上各点4 的横坐标扩大到本来的 2 倍，则所得的图象的分析式为 ()5πA ． y ＝ sin 2x ＋12 (x ∈ R )x 5π B ． y ＝ sin 2＋12 (x ∈R )xπC ． y ＝ sin 2－12 (x ∈R )x ＋5π(x ∈ R )D ． y ＝ sin 2 24ππ π5π分析： 原函数图象向左平移4个单位后得y ＝ sin x ＋6＋4 ＝ sin x ＋ 12 (x ∈ R )的图象，再1 5π把图象上各点的横坐标扩大到本来的 2 倍得 y ＝sin 2x ＋ 12 (x ∈ R ) 的图象．答案： B8．已知函数 f(x)＝ cos xsin 2x ，以下结论中错误的选项是()A ． f( x)既是偶函数又是周期函数B ． f( x)的最大值是 1C ． f( x)的图象对于点 π，0 对称2D ． f( x)的图象对于直线 x ＝ π对称分析：由于 f(－ x)＝ cos(－ x)sin 22(－ x)＝ cos x sin x ＝ f( x)，所以函数 f(x) 为偶函数， 又由于 f(x＋ 2π)＝ cos(x ＋ 2 22π) ·sin(x ＋ 2π)＝cos x sin x ＝ f(x)，所以函数 f(x)为周期函数， 应选项 A 正确；f(x) 21 1，应选项 1 sin(2 －π2x) · sin( π ＝ cos xsin x ＝ sin 2xsin x ，其最大值必定小于 B 错误；由于 f( π－ x)＝2 2－ x)＝－ 1sin 2xsin x ＝－ f(x)，所以函数 f(x)的图象对于点 π，0 对称，应选项 C 正确；由于 f(2 π22－ x)＝ 1sin(4 －π2x)sin(2 －πx)＝f(x)，所以函数 f(x)的图象对于 x ＝π对称，应选项 D 正确．2答案： Bππ9．(2014 年辽宁高考 )将函数 y ＝ 3sin 2x ＋ 3的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数 ()π， 7πA ．在区间 12 12 上单一递减π 7π B ．在区间 12，12 上单一递加π π 上单一递减C ．在区间 － ，36 D ．在区间 π π－ ， 3 上单一递加6分析： 将 y ＝3sin ππy ＝ 3sinπ＋π2x ＋ 的图象向右平移个单位长度后获得2 x － 2 ，即 y323 ＝ 3sin 2x －2ππ2π π 2k π，k ∈ Z ，化简可得 x ∈π 7π3的图象，令－＋ 2k π≤2x －≤ ＋＋ k π，＋k π，2321212k ∈ Z ，即函数 y ＝3sin 2x －2π的单一递加区间为π7π 3＋k π，＋ k π， k ∈ Z ，令 k ＝ 0，可得 y12 122π π 7π ＝ 3sin 2x － 3 在区间 12，12 上单一递加，应选 B.答案： B2π10．已知函数 f(x)＝ sin 2xcos φ＋ cos 2xsin φ(x ∈R )，此中 φ为实数， 且 f(x) ≤f 9对随意实2π 5π 7π 数 R 恒建立，记 p ＝ f 3 ， q ＝ f 6 ， r ＝ f 6 ，则 p 、 q 、 r 的大小关系是 ()A ． r ＜ p ＜qB ． q ＜ r ＜ pC ． p ＜ q ＜ rD ． q ＜ p ＜ r分析： f(x)＝ sin 2xcos φ＋ cos 2xsin φ＝ sin(2x ＋ φ)，∴ f(x)的最小正周期 T ＝ π.∵f(x)≤f 2π，∴ f 2π是最大值．9 9π 25π 31π 7π∴f(x)＝ sin 2x ＋ 18 ，∴ p ＝ sin 18 ， q ＝ sin 18 ， r ＝ sin 18，∴ p ＜q ＜ r. 答案： C11．函数 f(x)＝ cos 2x － π 3 在 π π＋ － ， 上的单一递减区间为 ________．4 2 2π π 5ππ π分析： 由 2k π≤2x － 4≤2k π＋ π得 k π＋ 8≤x ≤k π＋ 8 ，k ∈ Z .∵ x ∈ － 2，2 ，∴取 k ＝0 得 f(x)π π π ππ π 上单一递减区间为在 － ， 上的单一递减区间为 ， ；取 k ＝－ 1 得 f(x) 在 － ， 2 2 8 2 2 2π 3π .∴ f(x)在 π π π 3π 和 π π .－ ，－ 8 － ， 上的单一递减区间为 － ，－ ， 22 2 2 2 8 8π 3π π π答案： － ，－和 ，28821 ππg(x)的图象， 则 g(x)的分析12．将函数 f(x) ＝2sin 2x ＋ 4 的图象向左平移 2个单位获得函数 式为 ________．分析： 将 f(x) ＝ 2sin 1ππg(x) ＝ 2sin 1 π π2x ＋4 的图象向左平移2个单位获得2 x ＋2 ＋ 4 ＝1 π＝ 2cos 12sin 2x ＋ 22x 的图象．答案： y ＝ 2cos 12xπ的图象向右平移φ个单位，所得图象关13． (2014 年安徽高考 ) 若将函数 f(x)＝ sin 2x ＋ 4于 y 轴对称，则 φ的最小正当是 ________．ππ分析： 解法一f( x)＝ sin 2x ＋ 4 的图象向右平移 φ个单位得函数y ＝ sin 2x ＋ 4－2φ 的图π ππ象，由函数－2φ的图象对于 y 轴对称可知－ 2φ＝±1，即 sin 2φ－ 4 ＝ ±1，y ＝ sin 2x ＋ 4sin 4π πk π 3π3π 故 2φ－ 4＝ k π＋ 2， k ∈ Z ，即 φ＝ 2 ＋ 8 ， k ∈ Z ，又 φ＞ 0，所以 φmin ＝ 8.解法二由 f(x)＝ sinπ＝ cosπ的图象向右平移 φ个单位所得图象对于y 轴对称2x ＋ 4 2x －4πk π π 3π可知 2φ＋ 4＝ k π，k ∈ Z ，故 φ＝ 2 － 8，又 φ＞ 0，故 φmin ＝ 8.答案：3π814． (2014 年北京高考 )设函数 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A ， ω， φ是常数， A ＞ 0， ω＞0) ．若 f(x)π ππ 2π π在区间 6，2 上拥有单一性，且 f 2 ＝ f 3 ＝－ f 6 ，则 f(x)的最小正周期为 ________．π π 上拥有单一性，且 f π 2π π 2π 分析： ∵ f(x)在区间 ， 2 ＝ f ，∴ x ＝ 和 x ＝ 均不是 f(x)的极6 2 3 2 3 π 2π 值点，其极值应当在 2＋ 3 ＝ 7π π π πx ＝ 2 处获得，∵ f ＝－ f ，∴ x ＝ 也不是函数 f(x)的极值点，12 2 6 6π π π 7π π π又 f(x)在区间 6，2 上拥有单一性，∴ x ＝ 6－ 12－2 ＝ 12为 f(x)的另一个相邻的极值点，故函数 f(x)的最小正周期7π π－T ＝ 2×1212 ＝ π.答案： π。

课时追踪训练1．已知直线 l 1： x＋2y－ 1＝ 0 与直线 l2： mx－ y＝ 0 平行，则实数m 的取值为 () 11A．－2 B.2C． 2D．－ 2分析：由于直线 l 1：x＋ 2y－ 1＝ 0 与直线 l 2：mx－ y＝ 0 平行，因此m＝－ 12≠0，解得 m＝－11，应选 A.2答案： A2．直线 l ： mx－ y＋ 1－m＝ 0 与圆 C： x2＋ (y－ 1)2＝ 1 的地点关系是 ()A ．订交B．相切C．相离D．没法确立，与 m 的取值相关分析：圆心到直线的距离 d＝|－ 1－ m＋ 1||m|＜ 1＝r ，应选 A.＝m2＋ 1m2＋ 1答案： A3．(2014 年开封模拟 )直线 2x＋ my＝ 2m－ 4 与直线 mx＋2y＝ m－ 2 垂直的充要条件是 () A ． m＝ 2B． m＝－ 2C． m＝ 0D． m∈R分析：由题意得，2m＋ 2m＝ 0，得 m＝ 0.应选 C.答案： C4．若直线 x－my＋1＝ 0 与圆 x2＋y2－2x＝ 0 相切，则 m 的值为 ()A ． 1B．±1C．± 3 D. 3分析：由 x2＋y2－2x＝ 0，得圆心坐标为 (1,0)，半径为 1，由于直线与圆相切，因此圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|2＝ 1，解得 m＝± 3.1＋m答案： C5．已知点 P(x0，y0)是直线 l ：Ax＋By＋ C＝ 0 外一点，则方程Ax＋By＋ C＋ (Ax0＋ By0＋C)＝0 表示()A ．过点 P 且与 l 垂直的直线B．过点 P 且与 l 平行的直线C．可是点P 且与 l 垂直的直线D．可是点P 且与 l 平行的直线分析：由于点P(x0， y0)不在直线Ax＋ By＋ C＝ 0 上，因此Ax0＋By0＋ C≠0，因此直线Ax ＋By＋C＋ (Ax0＋ By0＋ C)＝ 0 不经过点 P，清除 A 、B；又直线 Ax＋ By＋ C＋( Ax0＋ By0＋ C)＝0与直线 l ： Ax＋ By＋C＝ 0 平行，清除C，应选 D.答案： D22－ 2x－4y＝ 0 均分，且不经过第四象限，那6．(2014 年银川一模 ) 假如直线 l 将圆： x＋ y么直线 l 的斜率的取值范围是 ()A ． [0,2]B． [0,1]11C. 0，2D. 0，2分析：由直线 l 将圆： x2＋ y2－ 2x－4y＝ 0 均分知，直线 l 过圆心，由圆的方程可知圆心为(1,2)，又直线 l 不经过第四象限，则其斜率的最大值是2，清除 B、 C、 D.答案： A7．(2014 年泉州质检 ) 若直线 3x－4y＝ 0 与圆 x2＋y2－4x＋ 2y－ 7＝ 0 订交于 A，B 两点，则弦AB的长为()A ． 2B． 4C．2 2D． 42分析：圆 x2＋ y2－ 4x＋2y－ 7＝ 0 的标准方程为 (x－ 2)2＋ (y＋ 1)2＝12，则圆心为 (2，－ 1)，半径 r ＝2 3，又圆心到直线 3x－ 4y＝ 0的距离 d＝|6＋4|＝2，因此弦 AB 的长为 2r 2－ d2＝52 12－ 4＝4 2.答案： D8．(2014 年深圳调研 )若动点 A， B 分别在直线 l 1： x＋y－ 7＝ 0 和 l 2：x＋ y－ 5＝ 0上运动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为()A. 2B． 22C．3 2D． 42分析：由题意知AB 的中点 M 的会合为到直线l1：x＋ y－ 7＝ 0 和 l2： x＋ y－ 5＝ 0 的距离都相等的直线，则点M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为 l ：x＋ y＋m＝ 0，依据平行线间的距离公式得，|m＋7|＝|m＋5|，即 |m＋ 7|＝ |m＋ 5|，因此 m 22＝－ 6，即 l：x＋ y－ 6＝ 0，依据点到直线的距离公式，得点 M 到原点的距离的最小值为|－ 6|＝2 3 2.答案： C9．已知圆 C： (x＋1) 2＋ (y－ 1)2＝ 1 与 x 轴切于 A 点，与 y 轴切于 B 点，设劣弧AB 的中点为M，则过点M 的圆 C 的切线方程是()A ． y＝ x＋2－2B． y＝ x＋ 1－12C． y＝ x－2＋2D． y＝ x＋1－2分析：由于圆 C 与两轴相切，且M 是劣弧AB的中点，因此直线CM是第二、四象限的角均分线，因此斜率为－1，因此过M 的切线的斜率为 1.由于圆心到原点的距离为2，因此 |OM |＝ 2－ 1，因此 M 2－1， 1－2，因此切线方程为y－ 1＋2＝ x－2＋ 1，整理得 y＝ x＋2 2222－ 2.答案： A10．已知圆 C 的方程为 (x－ 2)2＋ (y＋ 1)2＝ 9，直线 l 的方程为 x－3y＋ 2＝ 0，则圆 C 上到直线 l 的距离为710的点的个数为() 10A ． 1B． 2C． 3D． 4分析：由题意知圆心 C(2，－ 1)，半径为3，易知圆心C(2，－ 1)到直线 l ：x－ 3y＋ 2＝0 710710的距离为10，因此与直线 l 平行且距离为10的两条直线，一条经过圆心与圆订交，另一条与圆相离，因此圆 C 上到直线l 的距离为710的点的个数为 2. 10答案： B11． (2014 年陕西高考 )若圆 C 的半径为1，其圆心与点(1,0)对于直线 y＝ x 对称，则圆 C 的标准方程为 ________．分析：由于点 (1,0)对于直线y＝ x 对称的点的坐标为 (0,1)，因此所求圆的圆心为 (0,1) ，半径为 1，于是圆 C 的标准方程为x2＋(y－1) 2＝ 1.答案： x2＋ (y－ 1)2＝ 112．(2014 年江苏高考 )在平面直角坐标系xOy 中，直线 x＋ 2y－ 3＝0 被圆 (x－ 2)2＋ (y＋ 1)2＝4 截得的弦长为 ________．分析：由于圆心 (2，－ 1)到直线 x＋2y－ 3＝ 0 的距离 d＝|2－2－3|＝3，因此直线x＋2y 55－ 3＝ 0 被圆截得的弦长为 24－9＝255 5 5.答案：2 55513． (2014 年厦门质检 )直线 xcos α＋3y＋ 2＝ 0 的倾斜角的取值范围是________．分析：直线 xcos α＋3y＋ 2＝ 0 的斜率 k＝－3－3，3 ，设倾斜角为θ，则θ3 cos α∈33∈ [0，π)，k＝ tan θ∈ －33π5π. 3，3，因此θ∈ 0，6∪，π6π5π答案： 0，6∪ 6 ，π2214． (2014 年新课标卷Ⅱ ) 设点 M( x0,1)，若在圆O：x ＋y ＝1 上存在点N，使得∠ OMN ＝分析：由题意可知M 在直线 y＝ 1 上运动，设直线 y＝1 与圆 x2＋ y2＝ 1 相切于点 P(0,1)．当x0＝ 0 即点 M 与点 P 重合时，明显圆上存在点N( ±1,0)切合要求；当 x0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点 P，此时对于圆上随意一点N，都有∠ OMN ≤∠ OMP ，故要存在∠OMN ＝ 45°，只要∠ OMP ≥45°.特别地，当∠ OMP ＝ 45°时，有 x0＝±1.联合图形可知，切合条件的x0的取值范围为 [ － 1,1]．答案： [ － 1,1]15．(2014 年景都一诊 )设直线系A：(x－1)cos θ＋ (y－ 1)sin θ＝ 1(0 ≤θ＜ 2π)，对于以下五个命题：①存在定点P 不在 A 中的任向来线上；②A 中全部直线均经过一个定点；③对于随意的正整数n( n≥3)，存在正 n 边形，其全部边均在 A 中的直线上；④A 中的直线所能围成的正三角形的面积都相等；⑤A 中的直线所能围成的正方形的面积都相等．此中全部真命题的序号是________．分析：存在定点P(1,1)不在 A 中的任向来线上，故①正确；由于点P(1,1)到 A 中任向来线的距离都等于1，因此 A 中全部直线均为圆P：(x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝1 的切线，不经过一个定点，故②错误；对于随意的正整数n(n≥3)，存在正 n 边形，使其内切圆为圆P，此时其全部边均在A 中的直线上，故③正确； A 中的直线所能围成的正三角形，可能是以圆P 为内切圆的正三角形，也可能是以圆P 为旁切圆的正三角形，因此面积不都相等，故④错误；A中的直线所能围成的正方形，都是以圆P 为正方形的内切圆，因此面积都相等，故⑤正确．答案：①③⑤16．已知圆 F 的圆心为 (4,0)，半径为1，且直线y＝kx－2 上起码存在一点，使得以该点为圆心、 1 为半径的圆与圆 F 有公共点，则实数k 的最大值为 ________．分析： 由于圆 F 的圆心为 (4,0)，半径为 1，因此圆 F 的方程为 (x －4) 2＋ y 2＝ 1. 设直线 y ＝kx － 2 上存在一点 A 知足题意，则 |FA|≤2，因此 |FA|min ＝|4k － 2| 4 k 2＋ 1≤2，解得 0≤k ≤ ，故实数 k 的最3大值为 4.3答案：4 3。

课时跟踪训练1．设向量a ＝(m,1)，b ＝(2，－3)，若满足a ∥b ，则m ＝( ) A.13 B ．－13C.23D ．－23解析：依题意得－3m －2×1＝0，m ＝－23，选D.答案：D2．(2014年武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.EO →D.FO →解析：以F 为坐标原点，FP ，FG 所在直线为x ，y 轴建系，假设一个方格长为单位长，则F (0,0)，O (3,2)，P (5,0)，Q (4,6)，则OP →＝(2，－2)，OQ →＝(1,4)，所以OP →＋OQ →＝(3,2)，而恰好FO →＝(3,2)，故OP →＋OQ →＝FO →.答案：D3．已知向量a ，b 满足：|a |＝2，|b |＝3，|a －2b |＝5，则|a ＋2b |＝( ) A.55 B ．7 C.15D ．2 5解析：∵|a －2b |＝5，∴a 2＋4b 2－4a ·b ＝25，∵|a |＝2，|b |＝3，∴4a ·b ＝15，∴|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝4＋36＋15＝55，故选A. 答案：A4．(2014年新课标卷Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5解析：由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1.答案：A5．设O 为△ABC 内部的一点，且OA →＋OB →＋2 OC →＝0，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为( )A.32B.53 C ．2D ．1解析：依据题设条件，∵OA →＋OB →＋2 OC →＝0，∴OA →＋OB →＝－2 OC →＝2 OD →(D 为边AB 的中点)，则点A ，B 到OC 的距离相等，OC 边公用，则△AOC ，△BOC 的面积相等，选D.答案：D6．AD ，BE 分别是△ABC 的中线，若|AD →|＝|BE →|＝1，且AD →与BE →的夹角为120°，则AB →·AC →＝( )A.89B.49C.13D.23解析：∵|AD →|＝|BE →|＝1，且AD →与BE →的夹角为120°， ∴AD →·BE →＝|AD →|×|BE →|×cos 120°＝－12.由⎩⎨⎧AD →＝12(AB →＋AC →)BE →＝12AC →－AB→，得⎩⎨⎧AB →＝23(AD →－BE →)AC →＝43AD →＋23BE→，∴AB →·AC →＝23(AD →－BE →)·⎝⎛⎭⎫43AD →＋23BE →＝23⎝⎛⎭⎫43AD 2→－23BE 2→－23AD →·BE → ＝23⎣⎡⎦⎤43－23－23×⎝⎛⎭⎫－12＝23，选D. 答案：D7．已知直角坐标系内的两个向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)使平面内的任意一个向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)C ．(－∞，3)∪(3，＋∞)D ．[－3,3)解析：由题意可知向量a 与b 为基底，所以不共线，m 1≠2m －33，得m ≠－3，选B.答案：B8．已知点A (3,0)，B (－3,0)，动点M (x ，y )满足MA →·MB →＝0，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[－2， 2 ] B ．[－32，3 2 ] C ．(－∞，3 2 ]D ．[－32，＋∞)解析：由题意知MA →·MB →＝(3－x ，－y )·(－3－x ，－y )＝0，即x 2＋y 2＝9，设x ＝3cos t ，y ＝3sin t ，其中t 为参数，则x ＋y ＝3cos t ＋3sin t ＝32sin ⎝⎛⎭⎫t ＋π4∈[－32，3 2 ]． 答案：B9．(2014年武汉调研)给出以下结论：①在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 是平行四边形；②已知三角形ABC 中，a ＝5，b ＝8，C ＝60°，则BC →·CA →＝20；③已知正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋BC →＋AC →|＝22；④已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则A 、B 、D 三点共线．其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：对于①，因为AC →＝AB →＋AD →，所以DC →＝AB →，DC ＝AB 且DC ∥AB ，故四边形ABCD 为平行四边形；对于②，BC →·CA →＝ab cos(180°－C )＝－ab cos C ＝－20；对于③，|AB →＋BC →＋AC →|＝|2 AC →|＝2|AC →|＝22；对于④，因为AB →＝a ＋5b ，BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ，所以AB →＝BD →，A 、B 、D 三点共线．综上可得，①③④正确，故选C.答案：C10．(2014年温州模拟)称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．b ⊥(a －b )C ．a ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )解析：由于d (a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，即|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，t 2－2t a ·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，得a ·b －1＝0，故a ·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )，故选B.11．(2014年大庆模拟)向量AB →，AC →在正方形网格中的位置如图所示．设向量a ＝AC →－λ AB →，若a ⊥AB →，则实数λ＝________.解析：建立如图所示的坐标系，可得AC →＝(3,2)，AB →＝(2,0)，a ＝AC →－λ AB →＝(3－2λ，2)， 由a ⊥AB →得(3－2λ，2)·(2,0)＝0，得λ＝32.答案：3212．在边长为1的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、DC 的中点，则AE →·AF →＝________.解析：因为AE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋12AB →，AD →·AB →＝0，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →·⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →＝12AB 2→＋12AD 2→＝1. 答案：113．(2014年洛阳模拟)已知向量AB →与AC →的夹角为60°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2，若点P 在直线BC 上，AP →＝λAB →＋μAC →，且AP →⊥BC →，则μλ＝________.解析：以A 点为原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)．设点P (x 0，y 0)，由AP →⊥BC →可求得，直线AP 和BC 的交点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫97，637，由AP →＝λ AB →＋μ AC →得，λ＝17，μ＝67，所以μλ＝6.14．(2014年南京模拟)在△ABC 中，BC ＝2，A ＝2π3，则AB →·AC →的最小值为________．解析：在△ABC 中，设BC ＝a ，AB ＝c ，AC ＝b ，又BC ＝2，A ＝2π3，根据余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得b 2＋c 2＋bc ＝4≥3bc ，bc ≤43(当且仅当b ＝c 时取等号).AB →·AC →＝bc cos A＝－12bc ≥－12×43＝－23.答案：－2315．已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a 与b 的夹角的正切值为－12，b 与c 的夹角的正切值为－13，|b |＝2，则a ·c 的值为________．解析：由a ＋b ＋c ＝0，知向量a ，b ，c 可组成如图所示的△ABC ，其中BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，可知tan C ＝12，tan A ＝13，所以tan B ＝－tan(A ＋C )＝12＋1312×13－1＝－1，从而sin A ＝110，sin B ＝12，sin C ＝15，cos B ＝－12，根据正弦定理，可得|a |110＝212＝|c |15，故|a |＝25，|c |＝225，从而a ·c ＝|a |×|c |×cos(π－B )＝25×225×12＝45. 答案：4516．已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，tan A ＝22，若cos B sin C AB →＋cos C sin BAC →＝2m AO →，则m ＝________.解析：设a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，由tan A ＝22，A 为锐角得sin A ＝33，cos A ＝63. ∵cos B sin C AB →＋cos C sin BAC →＝2m AO →，∴cos 2 B sin 2 C c 2＋cos 2 C sin 2B ·b 2＋2cos B ·cos C sin B ·sin C bc cos A ＝4m 2R 2(R 为△ABC 外接圆的半径)． 由正弦定理得cos 2 B ＋cos 2C ＋2cos B cos C cos A ＝m 2，① cos C ＝－cos(B ＋A )＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝33sin B －63cos B ，② ②代入①并化简得m 2＝13，由已知得m ＞0，∴m ＝33. 答案：33。

课时跟踪训练1．(2014年辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A ．144B ．120C ．72D ．24解析：3人中每两人之间恰有一个空座位，有A 33×2＝12种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有A 33×A 22＝12种坐法，所以共有12＋12＝24种坐法．答案：D2.⎝⎛⎭⎫1x ＋x 23的展开式的常数项为( ) A ．1 B ．3 C ．－ 3D. 3解析：T r ＋1＝C r 3⎝⎛⎭⎫1x 3－r ·(x 2)r ＝C r 3x －3＋3r ，令－3＋3r ＝0，得r ＝1，∴T 2＝C 13＝3. 答案：B3．(2014年全国大纲卷)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种解析：从中选出2名男医生的选法有C 26＝15种，从中选出1名女医生的选法有C 15＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种，故选C.答案：C4．在⎝⎛⎭⎫x 2－1x 5的二项展开式中，第二项的系数为( ) A ．10 B ．－10 C ．5D ．－5解析：⎝⎛⎭⎫x 2－1x 5的展开式的通项是T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 5(－1)r x 10－3r .令r ＝1，则第二项的系数是C 15(－1)1＝－5.故选D.答案：D5．(2014年浙江名校联考)从正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的6个表面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有( )A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种解析：事实上，从正方体的6个面中任取3个面，有两种情况：一种是有2个面不相邻，另一种是3个面都相邻，而3个面都相邻就是过同一顶点的3个面，有8个顶点，故有8种取法，而从6个面中任取3个面共有C 36种选法，因此，有2个面不相邻的选法共有C 36－8＝12种，故选B.答案：B6．若⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( ) A ．360 B ．180 C ．90D ．45解析：展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n ＝10，通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝C r 102rx 5－52r ，所以r ＝2时，常数项为180. 答案：B7．某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等八名学生中选派四名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为( )A ．1 860B ．1 320C ．1 140D ．1 020解析：依题意，就甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数：第一类，甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人，满足题意的不同的演讲顺序的种数为C 12·C 36·A 44＝960；第二类，甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有两人，满足题意的不同的演讲顺序的种数为C 22·C 26·A 22·A 23＝180，因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为960＋180＝1 140，选C.答案：C8．(2014年湖北高考)若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B.54 C ．1D.24解析：T k ＋1＝C k 7(2x )7－k ⎝⎛⎭⎫a x k ＝C k 727－k a k x 7－2k ，令7－2k ＝－3，得k ＝5，即T 5＋1＝C 5722a 5x －3＝84x －3，解得a ＝1.选C.答案：C9．(2014年海淀区模拟)如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有( )A ．50种B ．51种C ．140种D ．141种解析：因为第一天和第七天吃的水果数相同，所以中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3，共4种情况，所以共有C 06＋C 16C 15＋C 26C 24＋C 36C 33＝141种，故选D.答案：D10．(2014年浙江高考)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210解析：由题意知f (3,0)＝C 36C 04，f (2,1)＝C 26C 14，f (1,2)＝C 16C 24，f (0,3)＝C 06C 34，因此f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝120，选C.答案：C11．(2014年武汉模拟)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答)．解析：从12名医生中选5人，共有C 512＝792种方法．若不选骨科医生，则有C 59＝126种方法；若不选脑外科医生，则有C 58＝56种方法；若不选内科医生，则有C 57＝21种方法；注意到不选脑外科和不选骨科医生重复了选取5名内科医生这一种方法，故骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数为792－(126＋56＋21－1)＝590.答案：59012．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋23x n的展开式中的常数项是80，则该展开式中的二项式系数之和等于________．解析：对于T r ＋1＝C r n (x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫23x r ＝C r n 2r x n －r 2－r 3，当r ＝35n 时展开式为常数项，因此n 为5的倍数，不妨设n ＝5m ，则有r ＝3m ，则23m C 3m 5m ＝8m C 3m5m ＝80，因此m ＝1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n ＝25＝32.答案：3213．若⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于________． 解析：依题意，T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝2n －r C rnx 3n －7r 2，由于存在常数项，故n 必须是7的倍数，故最小正整数n ＝7.答案：714．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有________个．解析：由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻的情况，运用插入法可得有A 33A 34＝144种，而当第四位是4的情况如图所示，要使奇数不相邻，偶数只能放在第2、5、6号位处，且5、6号位只能放一个偶数，因此偶数的可能性有2×2种，其余的奇数放在1、3、5(或6)号位处，共有A 33＝6种，共有2×2×6＝24种，因此符合题意的六位数共有144－24＝120个．答案：12015．(2014年安徽高考)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎫1＋xa n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.解析：由题图可知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，由题意知⎩⎨⎧C 1n ·1a＝a 1＝3，C 2n·1a 2＝a 2＝4，故⎩⎨⎧na＝3，n (n －1)a 2＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝9，a ＝3.答案：3。

课时追踪训练1．甲、乙、丙 3 位教师安排在周一至周五中的3 天值班，要求每人值班1 天且每日至多安排 1 人，则恰巧甲安排在此外2 位教师前方值班的概率是()1 B.2A. 33 33C.4D.5分析： 依题意，甲、乙、丙3 人的相对次序共有 A 3＝6 种，此中甲位于乙、丙前方的共3有 A 22＝ 2 种，所以所求的概率为2＝ 1，选 A.6 3答案： Ax － y ＋ 1≥02．在知足不等式组x ＋y － 3≤0 的平面点集中随机取一点 M(x 0， y 0)，设事件 A 为 “y 0＜y ≥02x 0”，那么事件 A 发生的概率是 ()13 A. 4B.412 C.3D.3x － y ＋ 1≥01分析： 不等式组表示的平面地区的面积为x ＋y － 3≤02 ×(1 ＋ 3) ×2＝ 4 ；不等式组y ≥0x － y ＋ 1≥0x ＋ y － 3≤0 13，选 B.表示的平面地区的面积为y ≥0 2×3×2＝3，所以所求的概率等于 4y ＜ 2x答案： B3．某市有高中生30 000 人，此中女生 4 000 人．为检查学生的学习状况，采纳分层抽样 的方法抽取一个容量为150 的样本，则样本中女生的数目为()A ．30B ． 25C ． 20D ． 15x ，则 150x，∴ x ＝ 20.分析： 设样本中女生的数目为 30 000＝4 000 答案： C4．如图，△ ABC 和△ DEF 是同一圆的内接正三角形，且BC ∥ EF.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 M 表示事件 “豆子落在△ ABC 内 ”，N 表示事件 “豆子落在△ DEF 内 ”，则 P(N|M)＝()333A. 4πB. 2π12C.3D.3分析：如图作三条协助线，依据已知条件得这些小三角形都全等，△ABC 包括 9 个小三角形，知足事件MN 的有 6 个小三角形，故P(N|M)＝6＝2. 93答案： D5．(2014 年重庆高考 )已知变量 x 与 y 正有关，且由观察数据算得样本均匀数x ＝ 3， y ＝3.5，则由该观察数据算得的线性回归方程可能是()^^A. y＝ 0.4x＋ 2.3B.y＝2x－ 2.4^^C.y＝－ 2x＋ 9.5D.y＝－ 0.3x＋ 4.4分析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，清除C、D. 且直线必过点 (3,3.5) ，代入A、B 得 A 正确．答案： A6．亚冠联赛前某参赛队准备在甲、乙两名球员中选一人参加竞赛．以下图的茎叶图记录了一段时间内甲、乙两人训练过程中的成绩，若甲、乙两名球员的均匀成绩分别是x1， x2，则以下结论正确的选项是()A． x1＞ x2，选甲参加更适合B． x1＞ x2，选乙参加更适合C． x1＝ x2，选甲参加更适合D． x1＝ x2，选乙参加更适合分析：依据茎叶图可得甲、乙两人的均匀成绩分别为x1≈ 31.67，x2≈ 24.17，从茎叶图来看，甲的成绩比较集中，而乙的成绩比较分别，所以甲发挥的更稳固，选甲参加竞赛更适合，故选 A.答案： A7．为研究语文成绩和英语成绩之间能否拥有线性有关关系，统计某班学生的两科成绩得^ ^^到以下图的散点图(x 轴、y 轴的单位长度同样)，用回归直线方程y＝ bx＋a近似地刻画其有关关系，依据图形，以下结论最有可能建立的是()^A ．线性有关关系较强，b的值为 1.25^B．线性有关关系较强，b的值为 0.83^C．线性有关关系较强，b的值为－ 0.87D．线性有关关系较弱，无研究价值分析：由散点图能够看出两个变量所组成的点在一条直线邻近，所以线性有关关系较强，且应为正有关，所以回归直线方程的斜率应为正数，且从散点图察看，回归直线的斜率应当比 y＝ x 的斜率要小一些，综上可知应选B.答案： B8．某班主任对全班50 名学生进行了作业量的检查，数据以下表：以为作业量大以为作业量不大共计男生18927女生81523共计262450若推测“学生的性别与以为作业量大有关”，则这类推测出错误的概率不超出()A ． 0.01B． 0.025C． 0.10D． 0.05附： K2＝n ad－ bc2c＋d a＋c b＋da＋ bP(K2＞ k0)0.150.100.050.0250.010.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63510.828分析： K 2＝50××15－ 8×2≈ 5.059＞ 5.024，由于 P(K 2＞ 5.024)＝ 0.025，所以这类推26×24×27×23断出错误的概率不超出0.025.答案： B9．于一数据x i(i＝ 1,2,3 ，⋯，n)，假如将它改x i＋C(i＝ 1,2,3，⋯，n)，此中 C≠0，以下正确的选项是()A．均匀数与方差均不B．均匀数，方差保持不C．均匀数不，方差D．均匀数与方差均生化分析：由均匀数的定，可知每个个体增添C，均匀数也增添C，方差不．故 B.答案： B10．(2014 年石家庄一模)某社区区的老年人能否需要特别照行了一分性的抽，依据男性老年人和女性老年人需要特别照和不需要特别照得出了一个2×2的列表，并算得出K 2的k＝ 4.350，以下正确的选项是()A ．有97.5%的掌握“ 社区的老年人能否需要特别照与性有关”B．有95% 的掌握“ 社区的老年人能否需要特别照与性有关”C．社区需要特别照的老年人中有95% 是男性D．社区每100 名老年人中有 5 名需要特别照参照数据：P(K2＞ k0)0.150.100.050.0250.010.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63510.828有 95%的掌握“ 分析：因 k＝ 4.350＞ 3.841，依据独立性的基本思想方法可知，社区的老年人能否需要特别照与性有关”，B 正确．答案： B11．(2014 年天津高考 )某大学认识在校本科生参加某社会践活的意愿，采纳分抽的方法，从校四个年的本科生中抽取一个容量300 的本行，已知校一年、二年、三年、四年的本科生人数之比4∶ 5∶ 5∶ 6，从一年本科生中抽取 ________名学生．分析：依据分抽的定，依据每所占的比率求解．依据意，从一年本科生中抽取的学生人数44＋5＋5＋6×300＝ 60.答案： 6012．(2014 年温州模 )一个袋子中装有 6 个球和 4 个白球，假每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出 2 个球，此中白球的个数ξ，ξ的数学希望是 ________．215112426C6C6 C4C4分析：依据意ξ＝0,1,2，而 P(ξ＝ 0)＝C102＝45；P(ξ＝ 1)＝C102＝45； P(ξ＝ 2)＝C102＝45.15 24 6 36 4∴ E(ξ)＝ 0× ＋ 1× ＋ 2×＝＝ .454545 45 5答案： 4513．如图是依据部分城市2014 年 6 月份的均匀气温 ( 单位：℃ )数据获得的样本频次散布直方图，此中均匀气温的范围是[20.5,26.5] ，样本数据的分组为[20.5,21.5) ， [21.5,22.5) ，[22.5,23.5) ，[23.5,24.5) ，[24.5,25.5) ，[25.5,26.6] ．已知样本中均匀气温低于 22.5 ℃的城市个数为 11，则样本中均匀气温不低于 25.5 ℃的城市个数为 ________．分析： 联合直方图和样本数据的特色求解．最左侧两个矩形面积之和为 0.10 ×1＋ 0.12 ×1＝ 0.22，总城市数为 11÷0.22＝ 50，最右边矩形面积为 0.18 ×1＝0.18,50 ×0.18＝ 9.答案： 914．设地区 Ω＝{( x ， y)|0 x ≤≤ 2,0y ≤ 2}，地区 A ＝{( x ， y)|xy ≤1，( x ，y)∈Ω} ，则地区 Ω 中随机取一个点，则该点恰幸亏地区A 中的概率为 ________．分析： 在平面直角坐标系中画出地区Ω 和 A ，则地区 Ω 的面积为 4，地区 A 的面积分红 两小块：一是小长方形的面积，二是曲线y ＝1(x ＞ 0)与 x ＝ 1， x ＝2， y ＝ 0 所形成的曲边梯形x21211的面积， 则地区 A 的面积 S A ＝2×2＋ 2x dx ＝ 1＋ 2ln 2. 依据几何概型的概率计算公式可知该点恰巧落在地区 A 中的概率为 A 的面积 ＝1＋ 2ln 2.Ω的面积 4答案： 1＋ 2ln 2415．如图的茎叶图是甲、乙两人在4 次模拟测试中的成绩，此中一个数字被污损，则甲 的均匀成绩不超出乙的均匀成绩的概率为________．分析： 依题意，记题中的被污损数字为x ，若甲的均匀成绩不超出乙的均匀成绩，则有 (8＋ 9＋ 2＋ 1)－ (5＋ 3＋ x ＋5)≤0，x ≥7，即此时 x 的可能取值是 7、 8、 9，所以甲的均匀成绩不超 过乙的均匀成绩的概率等于3＝ 0.3.10答案： 0.3。

1．(2014 年武汉模拟 ) 设 m∈R，m2＋m－ 2＋ (m2－ 1)i 是纯虚数，此中i 是虚数单位，则 m ＝ ()A ． 1B．－ 1C．－ 2D． 2m2＋ m－2＝ 0分析：依题意有，解得 m＝－ 2.m2－ 1≠0答案： C2．阅读如下图的程序框图，假如输入的n 的值为6，那么运转相应程序，输出的n 的值为 ()A ． 3B． 5C． 10D． 16分析：输入 n＝ 6 时，第一次循环，有n＝6＝ 3，i＝ 0＋ 1＝1；第二次循环，有 n＝ 3×3＋1 2＝ 10， i ＝ 1＋1＝ 2；第三次循环，有n＝10＝ 5， i＝ 2＋1＝ 3，退出循环，此时n＝ 5，应选 B. 2答案： B3．复数 z＝ 1－1＋ i3 (i为虚数单位)对应的点在() iA ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限分析：由于 z＝1－1＋i＝ 2－ i ，所以其对应的点在第四象限，应选D.i3答案： D4．履行如下图的程序框图，输出的S 值为 ()3A. 44B.55C.6D． 1分析：由程序框图得S＝1＋1＋1＋1＝ 1－1＋1－1＋1－ 1＋1－1＝ 1－1＝4.1×2 2×3 3×4 4×522 3 3 4 4 5 5 5答案： B5．(2014 年浙江高考 )已知 i 是虚数单位， a，b∈R，则“a＝ b＝1”是“(a＋ bi) 2＝ 2i”的 ()A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件分析：当 a＝ b＝ 1 时， ( a＋ bi) 2＝ (1＋ i) 2＝2i，反之，若 (a＋bi) 2＝ 2i，则有 a＝ b＝－ 1 或 a ＝ b＝ 1，所以选 A.答案： A26．(2014 年洛阳模拟 )设复数 z＝－1－i(i 为虚数单位 )，z 的共轭复数为z ，则在复平面内z i 对应的点的坐标为 ()A ． (1,1)B． (－ 1,1)C． (1，－ 1)D． (－ 1，－ 1)分析：∵ z＝2＝－ 1＋ i，∴ z i＝ (－ 1－ i)i ＝ 1－i ，其在复平面内的点的坐(1，－ 1－ i－ 1)．答案： C7．(2014 年安徽高考 )如所示，程序框(算法流程 )的出果是()A．34B． 55C． 78D． 89分析：由中程序框知：x＝ 1，y＝ 1， z＝ 2；x＝ 1，y＝ 2，z＝ 3；x＝ 2，y＝ 3，z＝ 5；x ＝3， y＝ 5， z＝ 8；x＝ 5，y＝ 8， z＝ 13； x＝ 8， y＝ 13， z＝ 21；x＝ 13，y＝ 21， z＝ 34； x＝ 21，y＝ 34， z＝55，跳出循．故出果是55.答案： B8．(2014 年南京模 )依据如所示的代，最后出的S 的 ________．分析：是一个1＋ 2＋ 3＋⋯＋10 的乞降，所以出的S 的55.答案： 559．(2014年新卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被到能否去A，B， C 三个城市，甲：我去的城市比乙多，但没去 B 城市；乙：我没去 C 城市；丙：我三人去同一城市．由此可判断乙去的城市________．分析：由甲、丙的回答易知甲去 A 城市和 C 城市，乙去 A 城市或 C 城市，合丙的回答可得乙去A 城市．答案： A10． n 正整数， f(n)＝ 1＋1＋1＋ ⋯ ＋1， 算得 f(2) ＝3， f(4) ＞ 2， f(8)＞ 5，f(16)＞ 3.2 3n2 2察上述 果，依据上边 律，可推f(128) ＞________.分析： 察 f(2) ＝ 3，f(4)＞ 2，f(8) ＞ 5，f(16)＞ 3 可知，等式及不等式右 的数组成首223 131 9.，公差的等差数列，故 f(128) ＞ ＋6× ＝222 2 2答案：9211．(2014 年湖北高考 )a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数，将 成 a的 3 个数字按从小到大排成的三位数 I(a)，按从大到小排成的三位数 D(a)( 比如 a ＝815， I(a)＝ 158，D (a)＝ 851)． 如 所示的程序框 ，运转相 的程序，随意 入一个a ， 出的 果 b ＝ ________.分析： 当 a ＝123 ， b ＝ 321－ 123＝ 198≠123；当 a ＝ 198 ， b ＝ 981－ 189＝ 792≠198；当 a ＝ 792 ， b ＝ 972－ 279＝ 693≠792；当 a ＝ 693 ， b ＝ 963－ 369＝ 594≠693；当 a ＝ 594 ， b ＝ 954－ 459＝ 495≠594；当 a ＝ 495 ， b ＝ 954－ 459＝ 495＝ 495＝a ， 止循 ， 出 b ＝ 495. 答案： 49512．若 a 数， i 虚数 位，2＋ ai＝－ 2i ， a 等于 ________．1＋ 2i分析：由已知2＋ai＝－ 2i ，得 2＋ai ＝－ 2i(1 ＋ 2i)，即 2＋ ai ＝－2i ＋ 2，∴ a ＝－ 2.1＋ 2i答案：－211 213．已知数 1 ， 2，1 ，1，2，3 ，1， 2， 3，41，2，3，⋯，3 2 14321 ，⋯，n n － 1 n － 2n－1， n，⋯，分 (a1)，( a2，a3 )， (a4， a5， a6)，⋯， a2 014＝________.21M∈N*分析： a2 014是第 M 个数中的第 N 个数，1＋2＋3＋⋯＋ M－＜2 014，解1＋2＋ 3＋⋯＋ M≥2 014得 M＝ 63，且 1＋2＋ 3＋⋯＋ 62＝ 1 953，所以 2 014－ 1 953＝ 61，所以 a2 014是第 63 个数中的第 61 个数，所以 a2 014＝61.361答案：314．下表中的数“森德拉姆素数”，其特色是每行每列都成等差数列，第i 行第 j 列的数 a i，j(i ， j∈N*)，(1)a9,9＝ ________；(2)表中的数82 共出 ________次 .234567⋯35791113⋯4710131619⋯5913172125⋯61116212631⋯71319253137⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分析： (1) 由知，第9 行第一个数是10，公差9，所以第9 行的第 9 个数 a9,9＝ 10＋ 9×(9－ 1)＝ 82；(2) 因每行每列都成等差数列，所以a1，j＝2＋1×(j－1)＝j＋1，a i，j＝j＋1＋(i － 1) ×j＝ ij＋ 1，令 a i，j＝ ij ＋ 1＝ 82 得， ij ＝ 1×81＝ 3×27＝ 9×9＝ 27×3＝ 81×1，所以数82 共出5 次．答案： (1)82 (2)5。

课时跟踪训练1．(2014年石家庄模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋2(a ∈R )在x ＝12时取得极值． (1)求a 的值；(2)若F (x )＝λx 2－3x ＋2－f (x )(λ＞0)有唯一零点，求λ的值．解：(1)依题意f ′(x )＝1x＋a ，f ′⎝⎛⎭⎫12＝2＋a ＝0，则a ＝－2，经检验，a ＝－2满足题意． (2)由(1)知f (x )＝ln x －2x ＋2，则F (x )＝λx 2－ln x －x ，F ′(x )＝2λx －1x －1＝2λx 2－x －1x. 令t (x )＝2λx 2－x －1，∵λ＞0，∴Δ＝1＋8λ＞0，方程2λx 2－x －1＝0有两个异号的实根，设x 1＜0，x 2＞0，∵x ＞0，∴x 1应舍去．则F (x )在(0，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．且当x →0时，F (x )→＋∞，当x →＋∞时，F (x )→＋∞，∴当x ＝x 2时，F ′(x 2)＝0，F (x )取得最小值F (x 2)．∵F (x )有唯一零点，∴F (x 2)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ F (x 2)＝0F ′(x 2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧λx 22－ln x 2－x 2＝02λx 22－x 2－1＝0， 得F (x 2)＝λx 22－ln x 2－x 2＝x 22＋12－ln x 2－x 2＝12－ln x 2－x 22＝0. 又令p (x )＝12－ln x －x 2，则p ′(x )＝－1x －12＜0(x ＞0)． 故p (x )在(0，＋∞)上单调递减，注意到p (1)＝0，故x 2＝1，得λ＝1.2．已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，f ′(x )＝2x－2x ＋2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率为k ＝f ′(1)＝2，∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0(2)方程f (x )－ax ＋m ＝0即为2ln x －x 2＋m ＝0令g (x )＝2ln x －x 2＋m ，则g ′(x )＝2x －2x ＝－2(x ＋1)(x －1)x， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，∴g ′(x )＝0时，x ＝1当1e＜x ＜1时，g ′(x )＞0， 当1＜x ＜e 时，g ′(x )＜0，故函数g (x )在x ＝1处取得极大值g (1)＝m －1，又g ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2， g (e)－g ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－e 2＋1e 2＜0， 则g (e)＜g ⎝⎛⎭⎫1e ，故函数g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最小值是g (e)方程f (x )－ax ＋m ＝0在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝m －1＞0g ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2，解得1＜m ≤2＋1e 2， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，2＋1e 2. 3．已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x . (1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a ＜1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)＜g (x 2)恒成立，求a 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(x －1)(x －a )x 2. ①当a ≤1时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，f (x )在[1，e]上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝1－a .②当1＜a ＜e 时，x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )为减函数；x ＝a 时，f ′(x )＝0；x ∈[a ，e]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数．所以f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)ln a －1.③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上为减函数．f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－a e. 综上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ；当1＜a ＜e 时f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1；当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－a e. (2)由题意知：f (x )(x ∈[e ，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值．由(1)知f (x )在[e ，e 2]上单调递增，f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－a e. g ′(x )＝(1－e x )x .当x ∈[－2,0]时，g ′(x )≤0，g (x )为减函数，g (x )min ＝g (0)＝1，所以e －(a ＋1)－a e＜1，即a ＞e 2－2e e ＋1， 所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1. 4．(2014年沈阳模拟)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b . (1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，试求g (x )的表达式；(2)若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围； (3)证明不等式：2n n ＋1＜1ln 2＋1ln 3＋1ln 4＋…＋1ln (n ＋1)＜n 2＋1＋12＋13＋…＋1n . 解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2. 又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1. (2)φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数， ∴φ′(x )＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立． 即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)， ∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2. (3)证明：由(1)可得：当x ≥2时，ln x ＜x －1≤x 2(x －1)，∴由ln x ＜12x (x －1)得2x (x －1)＜1ln x， ∴2⎝⎛⎭⎫1x －1－1x ＜1ln x. 当x ＝2时，2⎝⎛⎭⎫11－12＜1ln 2，当x ＝3时，2⎝⎛⎭⎫12－13＜1ln 3，当x ＝4时，2⎝⎛⎭⎫13－14＜1ln 4，…，当x ＝n ＋1时，2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＜1ln (n ＋1)，n ∈N *，n ≥2. 上述不等式相加得：2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＜1ln 2＋1ln 3＋1ln 4＋…＋1ln (n ＋1)，即：2n n ＋1＜1ln 2＋1ln 3＋1ln 4＋…＋1ln (n ＋1). 由(2)可得：当m ＝2时，φ(x )＝2(x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数， ∴当x ＞1时，φ(x )＜φ(1)＝0，即2(x －1)x ＋1－ln x ＜0， ∴ln x ＞2(x －1)x ＋1，从而得到，1ln x ＜12·x ＋1x －1. 当x ＝2时，1ln 2＜12×31，当x ＝3时，1ln 3＜12×42，当x ＝4时，1ln 4＜12×53，…，当x ＝n ＋1时，1ln (n ＋1)＜12·n ＋2n，n ∈N *，n ≥2. 上述不等式相加得：1ln 2＋1ln 3＋1ln 4＋…＋1ln (n ＋1)＜12⎝⎛⎭⎫31＋42＋53＋…＋n ＋2n ＝12⎝⎛⎭⎫n ＋21＋22＋23＋…＋2n ＝n 2＋1＋12＋13＋…＋1n ，即1ln 2＋1ln 3＋1ln 4＋…＋1ln (n ＋1) ＜n 2＋1＋12＋13＋ (1). 综上：2n n ＋1＜1ln 2＋1ln 3＋1ln 4＋…＋1ln (n ＋1)＜n 2＋1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *，n ≥2)．。