圆锥曲线质量评估

"【全程温习方略】2021-2021学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程单元质量评估课时作业 新人教A 版选修2-1 "(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的) 1.(2021·长沙高二检测)抛物线x 2=4y 的核心坐标为( ) A.(0,-1)B.(0,1)C.(1,0)D.(-1,0)【解析】选B.由题意知p=2,且核心在y 轴正半轴上,选B.2.(2021·江西高考)过双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1的右极点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A.假设以C 的右核心为圆心、半径为4的圆通过A,O 两点(O 为坐标原点),那么双曲线C 的方程为 ( ) x 24y 212=1 x 27y 29=1 x 28y 28=1x 212y 24=1 【解题指南】设右核心为F,|OF|=|AF|=4.【解析】选A.设右核心为F.由题意得|OF|=|AF|=4,即a 2+b 2=16, 又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b 2=16, 故a=2,b 2=12,因此方程为x 24-y 212=1.3.假设抛物线的准线方程为x=-7,那么抛物线的标准方程为( ) =-28y =28x =-28x=28y【解析】选B.由准线方程为x=-7,因此可设抛物线方程为y 2=2px(p>0),由p 2=7,因此p=14,故方程为y 2=28x.【变式训练】抛物线y=2x 2的准线方程为( )=18=-18=12 =-12【解析】选B.由y=2x 2,得x 2=12y,因此p=14,p 2=18,故准线方程为y=-18.4.(2021·温州高二检测)“m>0”是“方程x 23+y 2m=1表示椭圆”的( )A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.x 23+y 2m=1表示椭圆的充要条件是m>0且m ≠3.应选B.5.假设椭圆x 216+y 2b 2=1过点(-2,√3),那么其焦距为( )√5B.2√3√5【解析】选 C.由椭圆过点(-2,√3),因此(−2)216+(√3)2b2=1,解得b 2=4,因此c 2=a 2-b 2=12,因此c=2√3,2c=4√3.6.设F 1,F 2是椭圆E:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右核心,P 为直线x=3a2上一点,△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形,那么E 的离心率为( ) A.12B.23C.34D.45【解析】选C.设直线x=3a 2与x 轴交于点M,那么∠PF 2M=60°,在Rt △PF 2M 中,PF 2=F 1F 2=2c,F 2M=3a 2-c,故cos60°=F 2M PF 2=32a −c 2c=12,解得c a =34,故离心率e=34.7.(2021·邯郸高二检测)设双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2√3,那么双曲线的渐近线方程为( )=±√22x=±√2x1=±2x =±2x【解析】选A.由{2b =2,2c =2√3,得{b =1,c =√3,因此a=√c 2−b 2=√2,因此双曲线的方程为x 22-y 2=1,因此渐近线方程为y=±√22x.8.(2021·唐山高二检测)已知双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右核心别离为F 1,F 2,以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),那么此双曲线的方程为( )x 29y 216=1x 23y 24=1x 216y 29=1x 24y 23=1【解析】选A.以|F 1F 2|为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2,点(3,4)在圆上,可得c 2=25,又双曲线的渐近线方程为y=±b ax,又过点(3,4),因此有b a =43,结合a 2+b 2=c 2=25,得a 2=9,b 2=16,因此双曲线的方程为x 29-y 216=1.9.(2021·重庆高考)设双曲线C 的中心为点O,假设有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2,使|A 1B 1|=|A 2B 2|,其中A 1,B 1和A 2,B 2别离是这对直线与双曲线C 的交点,那么该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.(2√33,2]B.[2√33,2) C.(2√33,+∞)D.[2√33,+∞)【解题指南】依照双曲线的对称性找到渐近线与直线A 1B 1和A 2B 2的斜率之间的关系即可.【解析】选A.由题意知,直线A 1B 1和A 2B 2关于x 轴对称,又所成的角为60°,因此直线方程为y=±√33x 或y=±√3x.又因为有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2,使|A 1B 1|=|A 2B 2|,因此渐近线斜率知足√33<b a≤√3,解得2√33<e ≤2.应选A.10.(2021·北京高二检测)设a>b>0,k>0且k ≠1,那么椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1和椭圆C 2:x 2a2+y 2b2=k 具有相同的( ) A.极点 B.焦点 C.离心率D.长轴和短轴【解析】选C.椭圆C 2:x 2a 2+y 2b2=k,即x 2ka2+y 2kb2=1,离心率e 22=ka 2−kb 2ka 2=a 2−b 2a 2=e 12. 11.(2021·江西高考)已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的核心为F,直线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,那么|FM|∶|MN|=( ) ∶√5∶2∶√5∶3【解题指南】由抛物线的概念把|FM|转化为点M 到准线的距离,再结合直线的斜率,借助直角三角形进行求解.【解析】选C.设直线FA 的倾斜角为θ,因为F(0,1),A(2,0),因此直线FA 的斜率为-12,即tan θ=-12,过点M 作准线的垂线交准线于点Q,由抛物线概念得|FM|=|MQ|,在△MQN 中|MQ ||QN |=12,可得|MQ ||MN |=√5,即|FM|∶|MN|=1∶√5.12.(2021·扬州高二检测)假设椭圆C:mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n)与直线l :x+y-1=0交于A,B 两点,过原点与线段AB 中点的直线的斜率为√22,那么m n=( )B.12C.√2D.√22【解析】选D.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点M(x 0,y 0),{mx 2+ny 2=1,x +y −1=0⇒(m+n)x 2-2nx+n-1=0, x 1+x 2=2nm +n,x 0=x 1+x 22=nm +n,y 0=1-x 0=mm +n.由k OM =√22,得y 0x 0=√22,又y 0x 0=m n,因此m n=√22.二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.(2021·山东高考)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b >0)的焦距为2c,右极点为A,抛物线x 2=2py (p>0)的核心为F,假设双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA |=c,那么双曲线的渐近线方程为 .【解题指南】此题考查了双曲线知识,利用双曲线与抛物线准线的交点为冲破口求出a,b 之间的关系,进而求得双曲线的渐近线方程. 【解析】由题意知p2=√c 2−a 2=b,抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为(c ,−p 2),即(c ,−b ),代入双曲线方程为c 2a 2-b 2b 2=1,得c 2a 2=2,因此b a =√c 2a 2−1=1,因此渐近线方程为y=±x.答案:y=±x14.(2021·兰州高二检测)已知点P(a,0),假设抛物线y 2=4x 上任一点Q 都知足|PQ|≥|a|,那么a 的取值范围是 .【解析】关于抛物线y 2=4x 上任一点Q 都知足|PQ|≥|a|,假设a ≤0,显然适合;假设a>0,点P(a,0)都知足|PQ|≥|a|,确实是a 2≤(a −y 24)2+y 2,解得0<a ≤2.综上知:实数a 的取值范围是a ≤2.答案:a ≤215.假设椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的两核心关于直线y=x 的对称点均在椭圆内部,那么椭圆的离心率e 的取值范围为 .c2 b2<1,得c2a2−c2<1,【解析】由已知得两核心为(±c,0),其关于直线y=x的对称点为(0,±c)均在椭圆内部,那么e 21−e2<1,解得0<e<√22,因此e ∈(0,√22).答案:(0,√22)16.(2021·青岛高二检测)已知椭圆x 24+y 22=1,过点P(1,1)作直线l ,与椭圆交于A,B 两点,且点P 是线段AB 的中点,那么直线l 的斜率为 .【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),那么{x 124+y 122=1,①x 224+y 222=1,②①-②,得(x 1+x 2)(x 1−x 2)4+(y 1+y 2)(y 1−y 2)2=0,又点P(1,1)是AB 的中点, 因此x 1+x 2=2,y 1+y 2=2,因此2(x 1−x 2)4+2(y 1−y 2)2=0,从而x 1−x 22+y 1-y 2=0,又x 1≠x 2,因此直线l 的斜率k=y 1−y 2x 1−x 2=-12.答案:-12三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤)17.(10分)设抛物线y 2=2px(p>0),Rt △AOB 内接于抛物线,O 为坐标原点,AO ⊥BO,AO 所在的直线方程为y=2x,|AB|=5√13,求抛物线方程.【解题指南】依照AO ⊥BO,直线AO 的斜率为2,可知直线BO 的斜率为-12,进而得出直线BO 的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,别离求出A,B 的坐标.依照两点间的距离为5√13求得p. 【解析】因为AO ⊥BO,直线AO 的斜率为2, 因此直线BO 的斜率为-12,即方程为y=-12x,把直线y=2x 代入抛物线方程解得A 坐标为(p 2,p ),把直线y=-12x 代入抛物线方程解得B 坐标为(8p,-4p).因为|AB|=5√13, 因此(p 2)2+p 2+64p 2+16p 2=25×13,因此p 2=4,因为p>0,因此p=2.故抛物线方程为y 2=4x.18.(12分)(2021·郑州高二检测)已知通过点A(-4,0)的动直线l 与抛物线G:x 2=2py(p>0)相交于B,C,当直线l 的斜率是12时,AC →=14AB →.(1)求抛物线G 的方程.(2)设线段BC 的垂直平分线在y 轴上的截距为b,求b 的取值范围.【解析】(1)设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),由已知当k l =12时,l 方程为y=12(x+4),即x=2y-4.由{x 2=2py ,x =2y −4,得2y 2-(8+p)y+8=0,因此{y 1y 2=4,y 1+y 2=8+p 2,又因为AC →=14AB →,因此y 2=14y 1或y 1=4y 2. 由p>0得:y 1=4,y 2=1,p=2,即抛物线方程为x 2=4y. (2)设l :y=k(x+4),BC 中点坐标为(x 0,y 0),由{x 2=4y ,y =k (x +4)得x 2-4kx-16k=0.①因此x 0=x 1+x 22=2k,y 0=k(x 0+4)=2k 2+4k.因此BC 的中垂线方程为y-2k 2-4k=-1k(x-2k),因此BC 的中垂线在y 轴上的截距为b=2k 2+4k+2=2(k+1)2, 关于方程①由Δ=16k 2+64k>0得k>0或k<-4. 因此b ∈(2,+∞).【变式训练】(2021·潍坊高二检测)过动点M(a,0)且斜率为1的直线l 与抛物线y 2=2px(p>0)交于不同的两点A,B,试确信实数a 的取值范围,使|AB|≤2p. 【解析】由题意知,直线l 的方程为y=x-a, 将y=x-a 代入y 2=2px, 得x 2-2(a+p)x+a 2=0.设直线l 与抛物线的两个交点的坐标为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{4(a +p )2−4a 2>0,x 1+x 2=2(a +p ),x 1x 2=a 2.又y 1=x 1-a,y 2=x 2-a,因此|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =√8p (p+2a ).因为0<|AB|≤2p,8p(p+2a)>0, 因此0<√8p (p +2a )≤2p.解得-p 2<a ≤-p4.故a ∈(−p 2,−p4]时,有|AB|≤2p.19.(12分)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右极点别离为A,B,点P 在椭圆上且异于A,B 两点,O 为坐标原点.(1)假设直线AP 与BP 的斜率之积为-12,求椭圆的离心率.(2)假设|AP|=|OA|,证明直线OP 的斜率k 知足|k|>√3. 【解析】(1)设点P 的坐标为(x 0,y 0).由题意得,x 02a 2+y 02b2=1.①由A(-a,0),B(a,0),得k AP =y 0x 0+a,k BP =y 0x 0−a.由k AP ·k BP =- 12,可得x 02=a 2-2y 02,代入①并整理得(a 2-2b 2)y 02=0.由于y 0≠0,故a 2=2b 2.于是e 2=a 2−b 2a 2=12,因此椭圆的离心率e=√22.(2)依题意,直线OP 的斜率存在,设直线OP 的方程为y=kx,点P 的坐标为(x 0,y 0).由条件得{y 0=kx 0,x 02a2+y 02b2=1,消去y 0并整理得x 02=a 2b 2k 2a 2+b2. ② 由|AP|=|OA|,A(-a,0)及y 0=kx 0,得(x 0+a)2+k 2x 02=a 2.整理得(1+k 2)x 02+2ax 0=0.而x 0≠0, 于是x 0=−2a1+k2,代入②,整理得(1+k 2)2=4k2(a b)2+4.由a>b>0,故(1+k 2)2>4k 2+4,即k 2+1>4,因此k 2>3.因此|k|>√3.【一题多解】依题意,直线OP 的方程为y=kx,可设点P 的坐标为(x 0,kx 0),由点P 在椭圆上,有x 02a 2+k 2x 02b 2=1.因为a>b>0,kx 0≠0,因此x 02a 2+k 2x 02a2<1,即(1+k 2)x 02<a 2.③由|AP|=|OA|,A(-a,0),得(x 0+a)2+k 2x 02=a 2,整理得(1+k 2)x 02+2ax 0=0,于是x 0=−2a 1+k 2.代入③,得(1+k 2)4a 2(1+k 2)2<a 2,解得k 2>3,因此|k|>√3.20.(12分)(2021·西安高二检测)已知双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为2√33,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为√32.(1)求双曲线C 的方程.(2)直线y=kx+m(km ≠0)与该双曲线C 交于不同的两点C,D,且C,D 两点都在以点A 为圆心的同一圆上,求m 的取值范围.【解析】(1)依题意{c a =2√33,√a 2+b 2=√32,a 2+b 2=c 2,解得a 2=3,b 2=1.因此双曲线C 的方程为x 23-y 2=1.(2){y =kx +m ,x 23−y 2=1,消去y 得,(1-3k 2)x 2-6kmx-3m 2-3=0,由已知:1-3k 2≠0且Δ=12(m 2+1-3k 2)>0⇒m 2+1>3k 2 ① 设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),CD 的中点P(x 0,y 0), 那么x 0=x 1+x 22=3km1−3k2,y 0=kx 0+m=m1−3k2,因为AP ⊥CD,因此k AP =m1−3k2+13km 1−3k2−0=m +1−3k 23km =-1k ,整理得3k 2=4m+1 ②, 联立①②得m 2-4m>0,因此m<0或m>4,又3k 2=4m+1>0, 因此m>-14,因此-14<m<0或m>4.【变式训练】已知椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e=12,短轴长为2√3.(1)求椭圆C 的方程.(2)从定点M(0,2)任作直线l 与椭圆C 交于两个不同的点A,B,记线段AB 的中点为P ,试求点P 的轨迹方程.【解析】(1)由已知得{e =c a=12,2√3=2b ,a 2=b 2+c 2⇒a=2,b=√3,那么椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)设P(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 假设直线l 与x 轴垂直,那么P(0,0).假设直线l 与x 轴不垂直,设直线l 的方程为y=kx+2(k ≠0).由{x 24+y 23=1,y =kx +2⇒(3+4k 2)x 2+16kx+4=0 ①则{2x =x 1+x 2=−16k3+4k 2,y =kx +2,将其消去k, 得3x 24+(y-1)2=1,由①中Δ=(16k)2-16(3+4k 2)>0,解得k 2>14,那么x=−8k3+4k2=−84k +3k∈[−2√33,0)∪(0,2√33],y=−8k23+4k2+2=63+4k2∈(0,32),综上,所求点P 的轨迹方程为3x 24+(y-1)2=1(y ∈[0,32)).21.(12分)已知点F 1,F 2别离是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右核心,A 是椭圆C 的上极点,B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点,∠F 1AF 2=60°. (1)求椭圆C 的离心率.(2)已知△AF 1B 的面积为40√3,求a,b 的值.【解析】(1)由题意知△AF 1F 2为正三角形,a=2c,e=c a =12.(2)直线AB 的方程为y=-√3(x-c),{x 2a 2+y 2b2=1,y =−√3(x −c )⇒(3a 2+b 2)x 2-6a 2cx+3a 2c 2-a 2b 2=0①由a=2c,得a 2=4c 2,b 2=a 2-c 2=3c 2. 代入①中得5x 2-8cx=0,x=0或x=8c 5,得A(0,√3c),B (8c 5,−3√35c ).|AB|=16c 5.由△AF 1B 的面积为40√3,得12|AB||AF 1|sin60°=40√3,12·16c 5·a ·√32=40√3,由a=2c,得a 2=4c 2,b 2=a 2-c 2=3c 2.解得c=5,a=10,b=5√3.22.(12分)(2021·北京高二检测)已知A,B 是椭圆x 24+y 23=1的左、右极点,椭圆上异于A,B 的两点C,D 和x轴上一点P ,知足AP →=13AD →+23AC →.(1)设△ADP ,△ACP ,△BCP ,△BDP 的面积别离为S 1,S 2,S 3,S 4,求证:S 1S 3=S 2S 4. (2)设P 点的横坐标为x 0,求x 0的取值范围. 【解题指南】(1)依照AP →=13AD →+23AC →,可得CP →=13CD →,从而C,P ,D 共线,可得出S 1S 2=|PD →||CP →|=S 4S 3.(2)由(1)P 为CD 与x 轴交点,可设出CD 的方程与椭圆联立,找出P 点横坐标所知足的式子,成立关于P 点横坐标的不等式求解. 【解析】(1)由AP →=13AD →+23AC →知,AP →=13AD →+(1−13)AC →,即AP →-AC →=13(AD →-AC →),因此CP →=13CD →,故C,D,P 三点共线,且C,D 在P 点的双侧,因此S 1S 2=|PD →||CP →|=S 4S 3,即S 1S 3=S 2S 4.(2)由(1)知,C,D,P 三点共线,且C,D 在P 点的双侧,且C,D 异于A,B 的两点,故-2<x 0<2,且直线CD 不平行于x 轴,可设直线CD 的方程为:x=my+x 0,由{x =my +x 0,x 24+y 23=1,得(3m 2+4)y 2+6mx 0y+3x 02-12=0, 当-2<x 0<2时,显然直线与椭圆有两个交点,设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),故y 1+y 2=-6mx 03m 2+4,y 1y 2=3x 02−123m 2+4,又CP →=13CD →,故y 2=-2y 1,联立三式,消去y 1,y 2得-72m 2x 02(3m 2+4)2=3x 02−123m 2+4,化简得(27x 02-12)m 2=4(4-x 02),因为-2<x 0<2,m 2>0,故27x 02-12>0,因此x 0>23或x 0<-23,综上知,x 0的取值范围是(−2,−23)∪(23,2).。

2017年的全国1卷理科数学考试中，圆锥曲线是考查的重点之一。

圆锥曲线作为高中数学的重要内容，深受学生们的关注和重视。

本文将从以下几个方面对2017年的全国1卷理科数学圆锥曲线进行分析和总结，帮助学生更好地复习和备考。

一、考查的内容2017年的全国1卷理科数学考试中，圆锥曲线主要考查了椭圆、双曲线和抛物线的相关知识。

涉及的知识点包括曲线的方程、性质、焦点、准线、直线、切线、渐近线等内容。

考题以解析几何的形式出现，要求考生运用所学知识解题，考察学生对圆锥曲线的理解和掌握程度。

二、难度分析2017年的圆锥曲线考题整体难度适中，但从解题的角度来看，难度考查了学生对圆锥曲线的深入理解和灵活运用能力。

其中，部分考题对于几何图形的分析和推理要求较高，考生需要具备较强的逻辑思维能力和解题技巧。

三、备考建议针对2017年的全国1卷理科数学圆锥曲线的考试情况，学生在备考过程中要重点掌握圆锥曲线的相关知识，包括各种曲线的方程、性质、焦点、准线、直线、切线、渐近线等内容。

在解题方法上，要加强对几何分析和推理的训练，提高解题技巧和应试能力。

也要多做历年真题和模拟题，针对性地进行复习和练习，加深对知识点的理解和掌握。

四、复习方法在复习过程中，建议学生通过系统学习教科书相关章节，掌握圆锥曲线的基本概念和性质。

可以借助辅导书、习题集等辅助资料进行强化训练，加深对知识点的理解。

多做真题和模拟题，及时总结和归纳解题思路和方法，在实践中提高解题能力。

积极参加学校的数学学科活动和竞赛，加强学习氛围，激发学习兴趣。

五、总结2017年的全国1卷理科数学考试中的圆锥曲线部分，考查的内容主要围绕椭圆、双曲线和抛物线展开，难度适中，但要求学生在解题过程中具备较强的逻辑思维能力和解题技巧。

备考时，学生要重点掌握相关知识，加强几何分析和推理的训练，多做真题和模拟题，提高解题能力。

通过科学的复习方法和策略，相信学生们一定能够取得理想的成绩。

以上是对2017年的全国1卷理科数学圆锥曲线的分析和总结，希望能够对广大学生在备考中有所帮助。

高中数学圆锥曲线教学现状分析及其研究-中学数学论文高中数学圆锥曲线教学现状分析及其研究内蒙古通辽市奈曼实验中学姜文新目前，在高中数学圆锥曲线教学中，普遍存在学生不能牢固掌握圆锥曲线知识的问题，具体体现在：学生虽然能听懂教师课堂上讲的内容，但却无法应用于实际做题中，尤其是求解圆锥曲线延伸知识。

鉴于学生对圆锥曲线知识理解不深刻，教师应积极采取有效性策略进行高中数学圆锥曲线教学。

一、高中数学圆锥曲线教学现状（一）教师方面圆锥曲线结合了数学几何和代数知识，通常以压轴题形式出现在高考试题中，所以大多数教师非常重视圆锥曲线知识的讲解，并在课堂上向学生清晰的讲解圆锥曲线知识掌握和解题思路，但由于教学时教师以高考为目标，以致教学方法存在片面性。

教学方法上，教师通常以灌输式为主，并凭着传统教学经验，向学生灌输大量圆锥曲线重点和难点知识，之后让学生重复、机械地演练大量试题，忽视对学生数学思想、实践应用能力的培养，从而造成学生虽然能取得高分，却无法灵活地应用。

（二）学生方面对学生而言，高中数学圆规曲线教学内容通常难以理解，而且计算复杂，再加上教师教学方法单一、枯燥，极易产生抵触、恐惧等不利于学习的心理。

在高中数学圆规曲线实际学习中，学生难以学好该部分知识的原因主要有：（1）不能充分掌握圆锥曲线知识，解题时只能认知表层问题，无法深入了解问题内在规律和逻辑，而且未主动多角度、多方法、多层次地深入研究问题，以致学习圆锥曲线知识时，代数方程和对应曲线关系把握不深入。

（2）学习积极性低，解题时未形成良好思路，原因在于教师教学时未很好地演示圆锥曲线解题过程，以致学生不能准确、深入认知圆锥曲线重、难点知识。

二、高中数学圆规曲线教学有效性策略（一）激发学生学习兴趣在高中数学圆锥曲线教学中，教师深入理解并把握教学内容后，可通过创设问题情境，在课堂上加入日常生活可见的事物，调动学生思考问题的积极性，进而激发其学习兴趣，例如，在人教版高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》教学中，学习圆锥曲线知识前，教师可先提人造地球卫星运转轨道等知识，并让学生进行联想，使其联系现实生活扩展思维，从而通过这样的生活实例激发学生学习兴趣和求知欲。

圆锥曲线常用的二级结论圆锥曲线是平面上一类特殊的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。

在数学中，对于圆锥曲线，有一些常用的二级结论，它们的推导和应用具有重要意义。

本文将介绍圆锥曲线常用的二级结论，包括离心率和焦点与直径的关系、切线与法线的性质、以及曲线参数方程等。

一、离心率和焦点与直径的关系对于椭圆和双曲线而言，离心率是一个重要的参数，它描述了曲线的扁平程度。

对于椭圆而言，离心率的取值范围是0到1之间，而对于双曲线而言，离心率大于1。

离心率和焦点与直径之间存在着紧密的关系。

对于任意一点P在椭圆或双曲线上，假设焦点为F，直径为D，那么有以下结论：1. 离心率与焦点到点P的距离与直径之间的关系：离心率e等于焦点到点P的距离PF与直径D的比值，即e=PF/AD，其中AD为直径D 的长度；2. 焦点到点P的两条切线的夹角等于直径与椭圆或双曲线的短轴之间的夹角；3. 过焦点F的切线与过点P的切线的交点为曲线上的另一点P'，那么点P与点P'到直径D的距离之比等于焦点到点P的距离与焦点到点P'的距离之比。

二、切线与法线的性质曲线上的每一点都可以有一条切线和一条法线，它们有一些重要的性质。

1. 切线与曲线的斜率之积等于-1，即两者是互相垂直的；2. 切线的斜率等于曲线在该点的导数，法线的斜率等于切线的负倒数；3. 曲线上任意一点的切线与法线的交点即为该点在曲线上的坐标。

三、曲线的参数方程曲线的参数方程是描述曲线上每一点的坐标的函数。

对于圆锥曲线而言，它们都可以用参数方程表达。

1. 椭圆的参数方程为：x = a*cosθ，y = b*sinθ，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，θ为参数；2. 双曲线的参数方程为：x = a*coshθ，y = b*sinhθ，其中a和b分别为双曲线的长轴和短轴的长度，θ为参数；3. 抛物线的参数方程为：x = a*t，y = b*t^2，其中a和b分别为抛物线的参数，t为参数。

单元质量评估(三)第三章 圆锥曲线与方程 (120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2011·湖南高考)设双曲线222x y 1a 9-=(a>0)的渐近线方程为3x ±2y=0,则a 的值为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)12.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )(A)22x y 1916+=(B)22x y 12516+=(C)2222x y x y 1125161625+=+=或(D)以上都不对3.(2011·许昌高二检测)已知抛物线y 2=2px(p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )(A)x=1 (B)x=-1 (C)x=2 (D)x=-24.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，-2)，则它的离心率为( )225.(2011·广东高考)设圆C 与圆x 2+(y-3)2=1外切，与直线y=0相切，则C 的圆心轨迹为( )(A)抛物线 (B)双曲线 (C)椭圆 (D)圆6.连接抛物线x 2=4y 的焦点F 与点M(1，0)所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为( )32327.椭圆2222x y 1a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，A(-a ，0)和B(0，b)是两个顶点，若F到直线AB 的距离为7，则椭圆的离心率为( )12 (D)458.(2011·张家界高二检测)椭圆2222x y 1a b += (a ＞b ＞0)则双曲线2222x y 1a b -=的离心率为( )(A)54329.以正方形ABCD 的相对顶点A 、C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为( )10.设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上的一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为|PF|=( )(A)11.(2011·新课标全国高考)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为( )(A)18 (B)24 (C)36 (D)4812.(2011·兰州高二检测)连接双曲线2222x y 1a b -=(a ＞0，b ＞0)与2222y x 1b a-=(a ＞0，b ＞0)的四个顶点的四边形面积为S 1，连接其四个焦点的四边形面积为S 2，则12S S 的最大值是( )(A)2 (B)4 (C)14(D)12二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确的答案填在题中的横线上)13.(2011·大庆高二检测)已知抛物线y 2=4x 焦点F 恰好是双曲线2222x y 1a b-=的右焦点，且双曲线一条渐近线过点(23a 2，b)，则该双曲线的渐近线方程为 .14.以双曲线22y x 13-=的右焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是 .15.在一椭圆中以焦点F 1，F 2为直径的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e ＝ .16.(2011·新课标全国高考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为 .三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)双曲线的离心率等于2，且与椭圆22x y 1259+=有相同的焦点，求此双曲线的标准方程.18.(12分)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.19.(12分)在直角坐标系中，以M(-1，0)为圆心的圆与直线相切. (1)求圆M 的方程；(2)已知A(-2，0)、B(2，0)，圆内动点P 满足|PA|·|PB|=|PO|2，求PA PB的取值范围.20.(12分)过点(0，4)，斜率为-1的直线与抛物线y 2=2px(p ＞0)交于两点A 、B ，如果弦|AB|的长度为. (1)求p 的值；(2)求证：OA ⊥OB(O 为原点).21.(12分)(2011·孝感高二检测)已知椭圆22x y 14+=的左、右顶点分别为A 、B ，曲线E 是以椭圆的中心为顶点，B 为焦点的抛物线. (1)求曲线E 的方程；(2)直线l 与曲线E 交于不同的两点M 、N.当AM AN≥17时，求直线l 的倾斜角θ的取值范围.22.(14分)(2011·北京高考)已知椭圆G ：2222x y 1a b +=(a ＞b ＞0)右焦点为(0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(-3,2). (1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积.答案解析1.【解析】选C.由222x y 1a 9-=可得到双曲线的渐近线方程为y=〒3a x,又已知双曲线的渐近线方程为3x 〒2y=0,根据直线重合的条件可得到a=2. 2. 【解析】选C.由题意2a 2b 182c 6+=⎧⎨=⎩，又a 2=b 2+c 2. 解得：a=5,b=4,∴椭圆方程为2222x y x y 11.25161625+=+=或3.【解析】选B.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由211222y 2px y 2px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得:(y 1-y 2)(y 1+y 2)=2p(x 1-x 2)， 即121212y y 2px x y y -=-+，∴1=2p4，∴p=2， ∴抛物线的准线为x=-1.4.【解析】选D.易知双曲线的渐近线方程为y=-12x ， ∴=5.【解析】选A.由题意，C 的圆心到点(0，3)与直线y=-1的距离相等，由抛物线的定义知C 的圆心轨迹为抛物线，故选A.6.【解析】选B.由题意得F 的坐标为(0，1).又点M(1，0)，故线段MF 所在直线的方程为x+y=1(0≤x ≤1). 解2x y 1(0x 1)x 4y+=≤≤⎧⎨=⎩， 得交点A 的坐标为，∴S △OAM =12〓1〓327.独具【解题提示】由点F 到直线AB出关系式，消去b 后构造关于c a的方程，解方程求c a，即离心率e. 【解析】选C.直线AB 的方程为bx-ay+ab=0， F(-c ，0)，∴7， ∴5a 2-14ac+8c 2=0， ∴8e 2-14e+5=0，解得:e=12.8.【解析】选B.由题意椭圆中=∴22b 1a 4=， ∴双曲线中=9.【解析】选D.如图所示，令|AC|=2c ， 则，|EC|=2c ，2a =， ∴e=c a ==10.独具【解题提示】解答本题可借助直线AF 的倾斜角为120°的几何性质将条件转化，在等边三角形PAF 中可得|PF|.【解析】选B.如图所示： ∵直线AF 的斜率为∴∠AFK=60°， ∴∠PAF=60°， 又|PA|=|PF|，∴△APF 为等边三角形， 在Rt △AKF 中，|FK|=4， ∴|AF|=8，∴|PF|=8.11.独具【解题提示】确定点P 到直线AB 的距离d ，利用S △ABP =12|AB|·d 求面积. 【解析】选C.设抛物线方程为y 2=2px ，则点C(p 2，0)，在方程中，令x=p 2，则y=〒6，即36=p 2，得p=6,∴y 2=12x ，∴点P 到直线AB 的距离为p=6， ∴S △ABP =12|AB|·6=36.12.【解析】选D.易知S 1=2ab ，S 2=2(a 2+b 2)， ∴()122222S 2ab ab ab 1S a b 2ab 22a b ==≤=++，当且仅当a=b 时取等号. 13.【解析】由222a b 1b b 3a a 2⎧+=⎪⎪⎨=⎪⎪⎩，得:2a 3b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴双曲线的渐近线方程为y=〒2x. 答案：y=14.【解析】，∴右焦点为(2，0)，e=c a=2，∴圆的方程为(x-2)2+y 2=4. 答案：(x-2)2+y 2=415.【解析】由题意b=c ，∴a 2=b 2+c 2=2c 2，∴e=c a2=.答案：216.独具【解题提示】△ABF 2的周长为4a ，求得a 的值，再由离心率求得c 的值，可得椭圆的方程.【解析】由△ABF 2的周长=4a=16,得a=4,即c a 进而c=所以a 2=16,b 2=a 2-c 2=16-8=8,∴C 的方程为22x y 1168+=.答案：22x y 1168+=17.【解析】∵椭圆22x y 1259+=的焦点坐标为(-4，0)和(4，0)，则可设双曲线方程为2222x y 1a b-=(a ＞0，b ＞0)，∵c=4，又双曲线的离心率等于2，即c a=2，∴a=2.∴b 2=c 2-a 2=12.故所求双曲线方程为22x y 1.412-=18.【解析】以拱顶为原点，水平线为x 轴，建立坐标系，如图，由题意知， |AB|=20，|OM|=4，A 、B 坐标分别为(-10，-4)、(10，-4)，设抛物线方程为x 2=-2py ，将A 点坐标代入， 得100＝-2p 〓(-4)，解得p=12.5，于是抛物线方程为x 2=-25y ， 由题意知E 点坐标为(2，-4)，E ′点横坐标也为2， 将2代入得y=-0.16，从而|EE ′|=(-0.16)-(-4)=3.84， 故最长支柱长应为3.84米.19.【解析】(1)依题意，圆M 的半径等于圆心M(-1，0)到直线的距离， 即，∴圆M 的方程为(x+1)2+y 2=4.(2)设P(x ，y)，由|PA|·|PB|=|PO|2，得22x y =+，即x 2-y 2=2.PA PB =(-2-x ，-y)·(2-x ，-y)=y 2+x 2-4=2x 2-6，由()2222x y 2x 1y 4⎧-=⎪⎨++=⎪⎩，解得:11x 22--+=舍)， ∵点P 在圆M内，∴x ≤， ∴2≤x2，∴-2≤2x2-6， ∴PA PB的取值范围是[-2).独具【误区警示】本题易出现的错误是利用点在圆内，求出-2＜y ＜2或-3＜x＜1，从而求出PA PB 的范围为［-2，6)或 [-6，12)，错误的原因是忽视了借助图像准确确定x 的范围，致使所求范围过大.20.【解析】(1)直线AB 的方程为y=-x+4，由2y x 4y 2px =-+⎧⎨=⎩，得：y 2+2py-8p=0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，∴y 1+y 2=-2p ，y 1y 2=-8p ，∴AB ==解得:p=2.(2)由(1)可知OA OB =x 1x 2+y 1y 2=2212y y 44 -8〓2=16-16=0， ∴OA ⊥OB.21.【解析】(1)依题意得：A(-2，0)，B(2，0),∴曲线E 的方程为y 2=8x. (2)由)2y x 1y 8x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得：kx 2-(2k+8)x+k=0. 由()222k 84k 0,k 0⎧∆=+-⎪⎨⎪⎩＞＞∴k ＞0, 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=2k 8k+,x 1x 2=1. ∴AM AN =(x 1+2,y 1)·(x 2+2,y 2) =(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2=(k+1)x 1x 2+(2-k)(x 1+x 2)+4+k=161k+≥17,∴0＜k ≤1,∴θ∈(0,4π］.22.独具【解题提示】(1)利用a 、b 、c 的关系及离心率求出a ，b ，代入标准方程；(2)联立直线方程与椭圆方程，然后利用根与系数的关系，设而不求，整体代入.【解析】(1)由已知得c a = ,解得又b 2=a 2-c 2=4,所以椭圆G 的方程为22x y 1.124+=(2)设直线l 的方程为y=x+m ， 由22y x mx y 1124=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，4x 2+6mx+3m 2-12=0① 设A ，B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)(x 1＜x 2),AB 的中点为E(x 0,y 0),则x 0=12x x 2+=-3m4,y 0=x 0+m=m4.因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB.所以PE 的斜率m24k 13m34-==--+,解得m=2.此时方程①为4x 2+12x=0,解得x 1=-3,x 2=0,所以y 1=-1,y 2=2.所以此时，点P(-3,2)到直线AB ：x-y+2=0的距离2=所以△PAB 的面积S=19AB d 22= .。

圆锥曲线结论
圆锥曲线是由一个光滑的圆弧组成的曲线，它与给定的圆形表面在一
个焦点处相切，称为圆锥曲线，它可以用来描述许多自然现象，如电磁波、声波等。

其特点是它是一种光滑的曲线，当距离它的焦点越近，斜率就越大，当距离它的焦点越远，斜率就越小。

此外，圆锥曲线具有良好的空间
属性，它能够精确地呈现一个立体圆锥的形状，可以用来表示各种物理现
象的变化趋势。

例如，它可以用来描述声波传播的过程，也可以用来表示
流体运动的轨迹。

因此，圆锥曲线是一种重要的数学概念，其应用非常广泛。

２０２２年全国甲乙卷圆锥曲线试题研究及教学建议姬贵琴㊀杨纪华(宁夏师范学院数学与计算机科学学院ꎬ宁夏固原７５６０００)摘㊀要:本文以２０２２年全国甲乙卷中 圆锥曲线 专题的试题为例进行分析ꎬ并形成新高考评价体系下的高中数学教学的几点启示.关键词:试题研究ꎻ圆锥曲线ꎻ高考数学中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０９－００１５－０３收稿日期:２０２３－１２－２５作者简介:姬贵琴(１９９９ )ꎬ女ꎬ宁夏固原人ꎬ硕士研究生ꎬ从事中学数学教学研究ꎻ杨纪华(１９８３ )ꎬ男ꎬ河南省周口人ꎬ博士ꎬ教授ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀解析几何既是高中数学的重要内容之一ꎬ也是衔接初等数学和高等数学的重要纽带.本文选２０２２年全国甲乙卷进行具体的分析ꎬ发现它们均注重基础ꎬ突出能力ꎬ是数形结合㊁函数方程㊁等价转化等数学基本思想的重要载体.笔者以２０２２年全国甲乙卷中 圆锥曲线 专题试题为例进行分析思考ꎬ并提出相应的教学建议.１考查内容分析表１㊀２０２２年圆锥曲线考查内容整合分析试卷科目题型题号分值考查内容全国甲卷理科选择题１０５椭圆的几何性质ꎻ斜率公式填空题１４５双曲线的几何性质ꎻ直线与圆的位置关系的判断解答题２０１２抛物线方程的求法ꎻ直线与抛物线位置关系的应用ꎬ考查运算求解能力文科选择题１１５椭圆的方程以及定义ꎻ考查学生的运算能力填空题１５５双曲线简单性质的应用ꎻ离心率的求法解答题２１１２抛物线方程和性质ꎻ直线和抛物线的位置关系ꎻ考查方程思想和运算能力㊁推理能力全国甲卷理科选择题５５焦点在轴上抛物线的方程ꎻ两点间的距离公式选择题１１５双曲线的几何性质ꎻ余弦定理的应用ꎻ方程思想ꎬ转化划归思想解答题２０１２椭圆的性质ꎻ直线与椭圆的结合ꎬ考查方程思想与运算求解能力文科选择题６５抛物线性质的简单应用ꎻ距离公式解答题２１１２椭圆的性质ꎻ直线过定点问题㊀㊀通过对２０２２年全国甲乙卷的整合ꎬ我们发现:(１)重点考查内容是椭圆㊁抛物线㊁双曲线的方程和简单几何性质ꎻ(２)在解答题中ꎬ圆锥曲线与直线的位置关系５１的判断应用是重中之重ꎻ(３)注重考查学生方程思想㊁转化与化归思想以及数学运算等数学核心素养.２试题分析通过对试题的分析ꎬ对照数学课程标准ꎬ２０２２年全国甲乙卷中 圆锥曲线 的命题具有以下几个特点:２.１强化 四基 考查ꎬ把握数学本质ꎬ考查关键能力例１㊀(２０２２ 全国甲卷 理１０)椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左顶点为Ａꎬ点ＰꎬＱ均在Ｃ上ꎬ且关于ｙ轴对称.若直线ＡＰꎬＡＱ的斜率之积为１４ꎬ则Ｃ的离心率为(㊀㊀).Ａ.３２㊀㊀Ｂ.２２㊀㊀Ｃ.１２㊀㊀Ｄ.１３评析㊀本题来源于人教Ａ版(２０１９版)选择性必修第一册第１４５页综合运用第９题.以椭圆立意ꎬ考查椭圆的定义及其标准方程㊁椭圆的几何性质等基础知识ꎬ考查学生转化化归基本思想ꎬ数学运算的基本技能ꎻ从整体出发㊁综合运用所学知识解决问题的能力.题目紧扣新课标的要求命题ꎬ有利于引导教学依标施教ꎬ助力学生数学思维的形成ꎬ有效避免学生机械刷题.２.２增加开放性试题ꎬ推进衔接高考与课改例２㊀(２０２２ 全国甲卷 文１５)双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的离心率为ｅꎬ写出满足条件 直线ｙ＝２ｘ与Ｃ无公共点 的ｅ的一个值(㊀㊀).例３㊀若双曲线ｙ２－ｘ２ｍ２＝１(ｍ>０)的渐近线与ｘ２＋ｙ２－４ｙ＋３＝０相切ꎬ则ｍ＝.评析㊀新课改要求高考 命题时ꎬ应包括开放性试题ꎬ重点考查学生的思维过程㊁实践能力和创新意识 .例２答案不唯一ꎬ开放问题的解答过程中蕴含了丰富数学思维ꎬ注重学生的思维过程.例３的答案是唯一的ꎬ但是在学生的计算结果中会得到两个答案ꎬ需要学生拥有严谨的数学的思维ꎬ根据所掌握的基础知识得到正确的答案ꎬ体现了数学学习的严谨性.２.３重点考查数学思维ꎬ充分发挥数学选拔性功能例４㊀(２０２２ 全国乙卷 理２０)椭圆Ｅ的中心为坐标原点ꎬ对称轴为ｘ轴㊁ｙ轴ꎬ且过Ａ(０ꎬ－２)ꎬＢ(３２ꎬ－１)两点.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)设过点Ｐ(１ꎬ－２)的直线交Ｅ于ＭꎬＮ两点ꎬ过Ｍ且平行于ｘ轴的直线与线段ＡＢ交于点Ｔꎬ点Ｈ满足ＭＴң＝ＴＨң.证明:直线ＨＮ过定点.评析㊀例４属于高中教学中常见常练的常规题目ꎬ解法多样ꎬ这也体现出高考试题的低起点㊁宽入口的特点ꎬ注重发展学生逻辑推理和数学运算等核心素养[１].抽象性较强ꎬ要求学生具备扎实的基本功ꎬ充分利用已知条件去求解ꎬ这道试题能较好地考查学生学科素养和数学思维品质ꎬ具有较好的选拔功能.这一部分对于学生的数学运算能力要求较高ꎬ要求学生的运算能力达到水平三ꎬ学生能够理解运算是一种演绎推理. 数学高考命题还应依据社会各方面对人才选拔的要求ꎬ发挥数学高考的选拔功能 ꎬ因此选拔是高考的重要功能之一.２.４强化数学核心素养ꎬ重点考查数学运算素养例５㊀椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左顶点为Ａꎬ点ＰꎬＱ均在Ｃ上ꎬ且关于ｙ轴对称.若直线ＡＰꎬＡＱ的斜率之积为１４ꎬ则Ｃ的离心率为(㊀㊀).Ａ.３２㊀㊀㊀Ｂ.２２㊀㊀㊀Ｃ.１２㊀㊀㊀Ｄ.１３评析㊀新课标指出高考数学题目要强化数学核心素养ꎬ特别是数学运算能力的考查ꎬ新课标指出数学运算主要表现为:理解运算对象ꎬ掌握运算法则ꎬ探究运算思路ꎬ求得运算结果.而 圆锥曲线 这一部分则是强化考查学生运算能力的重要表现.上述５个例题的问题都比较简单ꎬ解法属于常规解法ꎬ解题思路也是比较清晰的ꎬ但是如果学生６１没有较强的运算能力ꎬ就很难顺利求出题目答案.不论是全国甲卷还是全国乙卷ꎬ文科理科在 圆锥曲线 这一部分的运算量都非常大的ꎬ虽然对学生的数学思维要求较高ꎬ可以说数学思维和知识储备是基础ꎬ但是数学运算能力是学生 圆锥曲线 这部分题目得高分甚至满分的决定性因素ꎬ因此含参运算能力薄弱也是很多学生在这一部分失分的一个重要原因之一.３教学建议３.１回归教材ꎬ夯实基础ꎬ把握数学本质在学生学习㊁教师教学过程中ꎬ应以教材为切入点ꎬ教材始终是学生学习和教师教学的重要依据.目前处于新课标㊁新教材㊁新高考的背景下ꎬ教师应全面了解旧教材与新教材ꎬ做好新旧教材的全面衔接ꎬ这样才可以充分利用好教材引领学生更好地把握数学的本质.３.２渗透数学思想方法ꎬ提升学生思维品质圆锥曲线试题蕴含数形结合㊁分类讨论㊁转化与划归以及方程思想ꎬ是直观想象㊁逻辑推理㊁数学运算㊁数学抽象素养的主要载体之一.学习这一专题时应注重引导学生代数法与几何法相结合ꎬ多维度去思考试题ꎬ探究一题的多种解法ꎬ揭示数学的本质.找到题目与题目之间的紧密联系ꎬ培养学生的数学核心素养ꎬ提升学生面临圆锥曲线这样一道选拔性题目的自信心[２].３.３强化解题反思ꎬ完善思维体系解好题 应从过程走向经验ꎬ从经验走向思想ꎬ从思想走向联系ꎬ从联系走向创新.数学题目的解决不能仅限于答案的获取ꎬ更要从不同的视角理解题目.学生的反思性学习必须有足够的广度㊁深度与高度才能全面掌握每一道题目的本质.３.４树立放手意识ꎬ让学生独立行走ꎬ提升学生运算能力教师在 圆锥曲线 这一部分的教学过程中ꎬ应该树立放手意识ꎬ不仅要为学生理清楚运算思路ꎬ也应该将时间交给学生ꎬ让学生亲身经历运算过程得到最后的结果.如在讲解本章的章首课 椭圆及其标准方程 时ꎬ本节的教学重难点就是对于椭圆标准方程的探究化简[３]ꎬ对于椭圆标准方程(ｘ＋ｃ)２＋ｙ２＋(ｘ－ｃ)２＋ｙ２＝２ａ这个含有两个根式的方程ꎬ教师不应该直接去讲解ꎬ可以设计让学生自己先去观察ꎬ学生通过观察便可以发现关于这个方程的化简有两种方案.方案１:直接给方程的两边同时平方ꎻ方案２:先移项再平方.这个时候教师接着引导学生与同桌两人合作对比两种方案的优缺点ꎬ学生通过对比得到:两种方案都要对根式进行两次平方但是先移项再平方更简单一点.接下来教师可以将时间交给学生ꎬ学生自己去尝试计算ꎬ而后教师巡视学生的化简情况ꎬ再有针对性地进行一步一步的讲解ꎬ让数学运算素养在课堂中落地生根.３.５引导学生高效率学习数学ꎬ养成良好的学习习惯在日常的教学过程中ꎬ教师在引导学生解决问题之前应注重发挥学生的阅读理解能力ꎬ培养学生快速高效理解题意ꎬ在独立思考的过程中培养发展学生独立处理信息的能力.最后ꎬ让学生学会独立思考对学好数学是至关重要的.４结束语通过对２０２２年全国甲乙卷中圆锥曲线试题的分析ꎬ可以总结得到试题考查的相关规律和相对应的教学建议.由此ꎬ对于高考试卷的研究是至关重要的ꎬ可以通过分析相关知识点的考查重点和试题特点ꎬ从而进行针对性的教学㊁针对性的复习ꎬ突破高考取得理想的成绩.参考文献:[１]刘玉华ꎬ李翠.浅谈在复习课中如何培养学生的数学思维能力:以 数列的通项公式 复习课为例[Ｊ].中学数学ꎬ２０２１(１３):４１ꎬ８６.[２]金国锋.数学渗透数学思想方法ꎬ提升学生思维品质[Ｊ].数学大世界(中旬)ꎬ２０２０(０６):３０. [３]肖永弘. 微课 教学在高中数学教学中的应用方法研究[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０１９(０６):５６－５７.[责任编辑:李㊀璟]７１。

第2章末质量评估(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分)1．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )．A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝1 解析 ∵y 2＝8x 的焦点为(2，0)，∴x 2m 2＋y 2n 2＝1的右焦点为(2，0)，∴m ＞n 且c ＝2.又e ＝12＝2m ，∴m ＝4.∵c 2＝m 2－n 2＝4，∴n 2＝12.∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.答案 B2．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )．A ．9B ．6C ．4D ．3解析 设A 、B 、C 三点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，F (1，0)， ∵F A →＋FB →＋FC →＝0，∴x 1＋x 2＋x 3＝3.又由抛物线定义知|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝6.答案 B3．已知方程ax 2＋by 2＝ab 和ax ＋by ＋c ＝0(其中ab ≠0，a ≠b ，c ＞0)，它们所表示的曲线可能是( )．解析 ∵ab ≠0，∴直线的斜率为－a b ，曲线方程变为x 2b ＋y 2a ＝1，A 中的直线斜率－a b ＜0，则a b ＞0，由曲线的图形得b ＞0，a ＜0这与由直线的位置得出的a b ＞0矛盾．同理验证B 、C 、D 只有B 不矛盾，故选B.答案 B4．若双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )．A.316B.38C.163D.83解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，所以双曲线x 2m －y 2n ＝1的焦点在x 轴上，即m ＞0，n ＞0，故a ＝m ，b ＝n ，所以c ＝m ＋n .所以e ＝ m ＋nm ＝2.①又m ＋n ＝1，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝34，所以mn ＝316. 答案 A5．直线y ＝22x 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个交点在x 轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e 等于( )． A.32 B.22 C.33 D.12解析 把x ＝a 2－b 2代入y ＝22x 中，得：y ＝2a 2－2b 22. 点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－b 2，2a 2－2b 22在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，∴a 2－b 2a 2＋a 2－b 22b 2＝1，解得：b 2＝a 22，∴c 2＝a 2－b 2＝a 22，∴e 2＝c 2a 2＝12，∴e ＝22. 答案 B6．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54 B ．(1，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94 D ．(2，4) 解析 设与直线2x －y ＝4平行且与抛物线相切的直线为2x －y ＋c ＝0(c ≠－4)，由⎩⎨⎧2x －y ＋c ＝0，y ＝x 2，得x 2－2x －c ＝0.①由Δ＝4＋4c ＝0得c ＝－1，代入①式得x ＝1.∴y ＝1，∴所求点的坐标为(1，1)．答案 B7．若方程x 2|k |－2＋y 25－k＝1表示双曲线，则实数k 的取值范围是( )． A ．k ＜－2，或2＜k ＜5B ．－2＜k ＜5C ．k ＜－2，或k ＞5D ．－2＜k ＜2，或k ＞5解析 由题意知(|k |－2)(5－k )＜0，即⎩⎨⎧|k |－2＞0，5－k ＜0或⎩⎨⎧|k |－2＜0，5－k ＞0.解得k ＞5，或－2＜k ＜2. 答案 D8．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|P A |＋|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”那么甲是乙的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件解析 点P 在线段AB 上时|P A |＋|PB |是定值，但点P 轨迹不是椭圆，反之成立，故选B.答案 B9．已知M (－2，0)，N (2，0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( )．A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)解析 P 在以MN 为直径的圆上．答案 D10．设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )．A ．3B ．6C ．1D ．2解析 因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，则|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝36，故|PF 1→＋PF 2→|2＝|PF 1→|2＋2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2＝36，所以|PF 1→＋PF 2→|＝6.故选B.答案 B二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)11．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是________．解析 把到准线的距离转化为到焦点的距离．答案 12512．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 2的坐标为(c ，0)，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ， 由题意知|PF 2|＝|F 1F 2|，所以b 2a ＝2c ，a 2－c 2＝2ac ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2c a －1＝0，解得c a ＝±2－1，负值舍去． 答案 2－113．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．解析 由题意，得b 2＋c c －b 2＝3⇒b 2＋c ＝3c －32b ⇒b ＝c ，因此e ＝c a ＝ c 2a 2＝ c 2b 2＋c 2＝ 12＝22.答案 22 14．AB 是抛物线y 2＝x 的一条焦点弦，若|AB |＝4，则AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是________．解析 A 、B 两点到准线x ＝－14的距离之和等于|AB |＝4，故AB 的中点到准线x＝－14的距离为2，到直线x ＝－12的距离为94.答案 9415．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是________．解析 以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B (－5，0)，C (5，0)，而AB －AC ＝6＜10.故A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．答案 x 29－y 216＝1(x ＞3)16．喷灌的喷头安装在直立管柱OA 的顶部A 处，喷出水流的最高点记为B ，高为5 m ，且与直线OA 的水平距离为4 m ，水流落在以O 为圆心，半径为9 m 的圆上，则管柱OA ＝________ m.解析 如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线P 的方程为x 2＝－2py (p ＞0)．因为点C (5，－5)在P 上，所以25＝－2p ·(－5)，2p ＝5，所以P ：x 2＝－5y ，点A (－4，y 0)在P 上⇔16＝－5y 0，y 0＝－165，所以|OA |＝5－165＝95(m)．答案 95三、解答题(每小题10分，共40分)17．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解 焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p ＜52p ，不合题意，所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得k y 2－2py －k p 2＝0. 由韦达定理得，y 1＋y 2＝2p k ，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2·（y 1－y 2）2 ＝ 1＋1k 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝52p . 解得k ＝±2.∴AB 所在的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2. 18．在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝k x ＋1与C 交于A 、B 两点．(1)写出C 的方程；(2)若OA →⊥OB →，求k 的值．解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)、(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－（3）2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝k x ＋1.消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2k x －3＝0.其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)＞0恒成立．故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0， 化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12. 19．求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．解 由椭圆方程为x 29＋y 24＝1，知长半轴长a 1＝3，短半轴长b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题设条件及双曲线的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.20．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x .得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 到l 的距离d ＝55 可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∈ /⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞， 所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.。

《圆锥曲线》主题单元学习评价量规主要指标非常合适（4分）合适（3分）一般（2分）需修改（1分）一、在课堂中参与的态度1、认真听课，有一定思考，并有启发。

2、小组的讨论活动中，积极表现，献言献策。

3、认真参加活动，对活动始终保持兴趣。

4、乐于合作，并能与同学交流分享。

1、认真听课，有思考，有启发。

2、小组活动表现较好，善于发言。

3、认真参加课堂活动。

4、能合作交流。

1、能认真听课，有思考，但启发性不强。

2、能参与课堂活动，认真听组员交流。

3、能参与课堂活动，但兴致不高。

4、能与同学合作。

1、听课较认真，无思考与启发。

2、参与小组活动。

但不积极表达3、对活动无兴趣。

4、不愿分享交流。

二、在学习中获得的体验1、积极发挥个性特长，施展才能。

2、对圆锥曲线有正确独到的理解，能正确使用圆锥曲线知识解决实际问题1、能发挥个性特长，与小组成员分享。

2、对圆锥曲线能够正确理解，能利用圆锥曲线知识解决问题1、没有个性特长，但能与组员交流。

2、对圆锥曲线能理解，利用圆锥曲线知识解决问题有困难1、没有特长，只观赏组员的才能表现。

2、对圆锥曲线概念理解不清，不能用圆锥曲线相关知识解决问题三、在课堂中学习方法1、能用多种途径收集到关于圆锥曲线应用的相关知识。

2、能将已学知识运1、能查阅相关资料，收集到关于圆锥曲线的相关知识。

2、所学知识对1、听老师讲解圆锥曲线的相关知识。

2、所学知识对理解圆锥曲线1、对圆锥曲线的相关知识不关心。

2、所学知识对理解圆锥曲线效的掌握用到生活实际中。

3、能够熟练地运用圆锥曲线知识完成实际问题的解决。

自身有较大影响，也能运用到生活中。

3、能够掌握圆锥曲线知识，基本完成各个项目的任务。

效果一般。

3、知道圆锥曲线知识，完成部分项目任务。

果不是很理想。

3、无法运用圆锥曲线知识正确解决问题。

四、作业评价1、各阶段任务完成完整。

2、作业能正确解决。

3、能正确运用圆锥曲线知识。

1、各阶段任务完成相对完整。

2、作业基本能解决。

浅谈圆锥曲线的计算技巧四——2020武汉三月质检圆锥曲线剖析圆锥曲线是高考的一个重点和难点，很多学生会出现有思路方法，却不敢算、不会算、算不对的问题。

不可否认有些圆锥曲线的题目计算量本身就比较大，但是一般来说高考题和大部分省市的模拟题都是会控制计算量和计算难度的，出现计算问题的主要原因主要是条件的转化不够合理、不懂得一些常见的运算技巧、只会死算等等。

首先介绍一下圆锥曲线常见的条件转化方式：1.角度问题：加上正切值转化成斜率或者加上余弦值转化成数量积。

2.弦长问题：12|||AB x x =−== 3.面积问题：11||*sin 22S AB d ab c == 或者割补法（善于观察三角形的特点决定怎么算）4.以AB 为直径的圆过P 点：0PA PB →→=或1PA PB k k =−5.以AB 为直径的圆的方程：()()()()0A B A B x x x x y y y y −−+−−= （使用向量推导）6.两点关于直线对称：斜率垂直+两点的中点在对称轴所在的直线上7.等腰三角形： 中线垂直于底边，斜率相乘等于-18.等边三角形：等腰三角形（第7点）+中线与底边长度之比为29.平行四边形：对角线互相平分→对角线中点坐标重合或OC OA OB =+ （四边形OACB ）10.两根之比12x x ：212122112()2x x x x x x x x +++=许多学生做习惯了椭圆双曲线，对抛物线接触较少，而在抛物线中计算技巧和方法却和椭圆不太一样，同时由于抛物线有准线，因此抛物线的定义和几何的方法则显得更加常见于巧妙。

下面用常规方法分析一题抛物线中的定点问题——2020届武汉高三三月质检（理）19题圆锥曲线，该题曾在前几年出现过，是典型的定点问题，如2014届天津高三五月模考（文）22题。

【2020武汉三月质检.19】已知抛物线22(0)y px p Γ=>：的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP =.（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点(3,2)A −的直线交抛物线Γ于,M N 两点，经过定点(3,6)B −和M 的直线于抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由. 【解析】（1）法一：点在曲线上则求出点坐标带入曲线方程。

高中数学-圆锥曲线常用的二级结论高中数学圆锥曲线常用的二级结论在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，而其中有一些常用的二级结论，能够帮助我们更高效地解决相关问题。

首先，我们来谈谈椭圆中的常用二级结论。

对于椭圆\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），有这样一个结论：过椭圆焦点的弦长公式。

假设弦所在直线的倾斜角为\（＼theta\），且过焦点\（F\），则弦长\（AB ＝＼frac{2ab^2}｛a^2c^2\cos^2\theta}＼）。

这个结论在求解与椭圆弦长相关的问题时非常有用。

再看双曲线，对于双曲线\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2}＝ 1\），也有一个类似的过焦点弦长公式。

若弦所在直线的倾斜角为\（＼theta\），且过焦点\（F\），则弦长\（AB ＝＼frac{2ab^2}｛｜a^2 c^2\cos^2\theta|｝＼）。

接着说抛物线，以抛物线\（y^2 ＝ 2px\）（＼（p ＞ 0\））为例。

有这样一个结论：抛物线上一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

假设点\（P(x_0, y_0)＼）在抛物线上，那么点\（P\）到焦点的距离就是\（x_0 ＋＼frac{p}｛2}＼）。

还有一个与抛物线相关的重要结论：若直线与抛物线相交于两点\（A(x_1, y_1)＼），＼（B(x_2, y_2)＼），且直线的方程为\（y ＝ kx＋ b\），联立抛物线方程可得\（k^2x^2 ＋（2kb 2p)x ＋ b^2 ＝ 0\），则\（x_1 ＋ x_2 ＝＼frac{2p 2kb}｛k^2}＼），＼（x_1x_2 ＝＼frac{b^2}｛k^2}＼）。

接下来，我们深入探讨一下椭圆中与焦点三角形有关的结论。

焦点三角形是指以椭圆的两个焦点\（F_1\），＼（F_2\）以及椭圆上一点\（P\）所构成的三角形。

第三章单元质量评估(一)时限：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( C ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：抛物线的焦点到准线的距离为p ＝4.2．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( D ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎫12，1D ．(0,1) 解析：将椭圆方程变为x 22＋y 22k＝1，由题意，得2k>2，解得0<k <1.3．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( D )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)解析：点P 的轨迹是以MN 为直径的圆，又P 为直角三角形的顶点，∴点P 不能与M ，N 两点重合，故x ≠±2.4．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( A ) A.43 B.75 C.85D ．3解析：设与直线4x ＋3y －8＝0平行的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，与抛物线联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋c ＝0，y ＝－x 2，消去y 得3x 2－4x －c ＝0，Δ＝(－4)2－4×3×(－c )＝0，解得c ＝－43，则抛物线与直线4x ＋3y －8＝0平行的切线是4x ＋3y －43＝0，问题转化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d ＝|－43＋8|42＋32＝43，故选A. 5．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( C )A.x 216－y 248＝1 B.x 29－y 227＝1C.x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1 D ．以上都不对解析：当双曲线的顶点为(±4,0)时，a ＝4，由e ＝2知，c ＝8，b ＝43，双曲线的方程为x 216－y 248＝1；当双曲线的顶点为(0，±3)时，a ＝3，由e ＝2知，c ＝6，b ＝33，双曲线的方程为y 29－x 227＝1，故选C.6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是双曲线x 25＋p －y 27＋p＝1的一个焦点，则p 的值为( D )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：抛物线的焦点为(p2，0)，双曲线的半焦距为c ＝12＋2p ，∴12＋2p ＝p 24，∴p ＝12(负值舍去)，故选D.7．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( A )A. 2B.32C. 3D ．2解析：离心率e ＝F 1F 2MF 2－MF 1，由正弦定理得e ＝F 1F 2MF 2－MF 1＝sin Msin F 1－sin F 2＝2231－13＝ 2.故选A.8．已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在抛物线x 2＝y 的图像上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( A )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由已知可得|AB |＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ：x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点；当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点．因此满足条件的C 点有4个，故选A. 9．已知抛物线y 2＝4x的准线过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且准线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，则椭圆的离心率为( B )A.32B.12C.13D.14解析：抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∵抛物线y 2＝4x 的准线过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，∴椭圆的左焦点为(－1,0)，∴c ＝1.∵O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，∴12×2b 2a ×1＝32，∴b 2a ＝a 2－1a ＝32，整理，得2a 2－3a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－12(舍)，∴e ＝c a ＝12.故选B. 10．过点P (x ，y )的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( D )A ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)B ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)C.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) D.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) 解析：因为Q 与P (x ，y )关于y 轴对称，所以Q (－x ，y )，由BP →＝2P A →，得A ⎝⎛⎭⎫32x ，0，B (0,3y )所以AB →＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y . 从而由OQ →·AB →＝(－x ，y )·⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ＝1，得32x 2＋3y 2＝1，其中x >0，y >0，故选D. 11．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( C ) A ．3 2 B ．2 3 C.303D.326 解析：设弦端点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，∴x 21－x 22＝－2(y 21－y 22)，∴此弦的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－12，∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋32.代入x 2＋2y 2＝4，整理，得3x 2－6x ＋1＝0，∴x 1·x 2＝13，x 1＋x 2＝2，∴|AB |＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2·1＋k 2＝4－4×13·1＋14＝303.12．若直线y ＝x ＋t 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，当|t |变化时，|AB |的最大值为( C )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，x 24＋y 2＝1，得5x 2＋8tx ＋4t 2－4＝0.由Δ＝(8t )2－20(4t 2－4)＝－16t 2＋80>0，得t 2<5，∴－5<t < 5.此时|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－8t 52－4×4t 2－45＝25·80－16t 2. 当t ＝0∈(－5，5)时，|AB |max ＝1605＝4105. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为y ＝±34x .解析：由题意可得，a ＝4，b ＝3.又∵双曲线的焦点在x 轴上，∴y ＝±b a x ＝±34x .14．设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.解析：双曲线的焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，离心率为 2.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则e ＝c a ＝22.因为c ＝1，所以a ＝ 2.所以b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. 15．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 2解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，①x 22a 2＋y 22b2＝1.② ①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.把已知条件代入上式得，－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22. 16．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的焦点为F ，点P ⎝⎛⎭⎫1，14在抛物线上，过点P 作PQ 垂直于抛物线的准线，垂足为点Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为138.解析：由P (1，14)在抛物线上，得p ＝18，故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，焦点F (0,1)，准线为y ＝－1，∴|FM |＝2，|PQ |＝1＋14＝54，|MQ |＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫54＋2×1＝138. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，离心率e ＝223，求椭圆的标准方程．解：(1)当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵离心率e ＝223，∴c a ＝223.又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝3b .又∵椭圆经过点P (3,0)，∴9a 2＋0b 2＝1，∴a 2＝9，b 2＝1.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．同理可得a ＝3b .又∵椭圆过点P (3,0)，∴0a 2＋9b2＝1，∴b 2＝9，a 2＝81.∴椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上可知，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1. 18．(本小题12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求MF 1→·MF 2→.解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，∴设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．把点(4，－10)代入双曲线的方程得42－(－10)2＝λ，∴λ＝6.∴所求双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)由(1)知双曲线的方程为x 2－y 2＝6.∴c ＝23，不妨令F 1(－23，0)、F 2(23，0)．∵点M 在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3.∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝－3＋3＝0.19．(本小题12分)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，联立得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1，故点A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.20．(本小题12分)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，联立得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0. ①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4； 因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2. 此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.21．(本小题12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，M 是C上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12. (2)由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a ，①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28.故a ＝7，b ＝27.22．(本小题12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．解：(1)由题意知，2a ＝4，则a ＝2，又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知，Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2， ①因为x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t ，则t >0.将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0<t ≤1，因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由①知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.。

单元质量评估圆锥曲线（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知椭圆错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.72.椭圆错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

=1的一个焦点为(0,1),则m 的值为( )A.1B.错误!未找到引用源。

C.-2或1D.以上均不对3.(2013·浏阳高二检测)如图,共顶点的椭圆①,②与双曲线③,④的离心率分别为e1,e2,e3,e4,其大小关系为( )A.e1<e2<e4<e3B.e1<e2<e3<e4C.e2<e1<e3<e4D.e2<e1<e4<e34.(2012·福建高考)已知双曲线错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A.错误!未找到引用源。

B.4错误!未找到引用源。

C.3D.55.(2013·大理高二检测)若直线l过点(3,0)与双曲线4x2-9y2=36只有一个公共点,则这样的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条6.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足错误!未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

=12,则点P的轨迹方程为( )A.错误!未找到引用源。

+y2=1B.x2+y2=16C.y2-x2=8D.x2+y2=87.抛物线y=x2的一组斜率为2的平行弦中点的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.抛物线D.射线(不含端点)8.(2012·新课标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4错误!未找到引用源。