5.3 圆周角(3)

课题：5.3圆周角（第一课时）授课教师：镇江市索普初级中学马聪一、教学目标：1．知识与技能目标：使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角的性质；准确地运用圆周角性质进行简单的证明计算。

2．过程与方法目标：引导学生能主动地通过：实验、观察、猜想、验证“圆周角与圆心角的关系”，培养学生的合情推理能力、实践能力与创新精神，从而提高数学素养。

3．情感与态度目标：营造“民主、和谐”的课堂氛围，让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验，同时培养学生以严谨求实的态度思考数学。

二、教学重点：经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程，掌握圆周角定理。

三、教学难点：了解圆周角的分类、用化归思想，合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”。

四、教学方法与教学手段：《数学新课标》指出“学生是学习的主人，教师是学习的组织者、引导者、和合作者。

”本课以学生的活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以“探究式教学法”为主，讲授法、发现法、分组交流合作法、启发式教学法、几何画板辅助教学等多种方法相结合。

注重师生互动、生生互动，让不同层次的学生动眼、动脑、动手、动口，参与数学思维活动，充分发挥学生的主体作用。

五、教学过程：一、导入新课：1、问题(1)：如图，在⊙O中∠BOC是什么角？(2)：的度数和圆心角的度数有什么关系？作图：在活动单上分四个小组（A-D）利用三角板分别作一个30°，45°，60°，90°的圆心角∠BOC（设计意图：回顾旧知，作图时选了一些特殊角度，为了后面通过特殊角度值发现圆周角的性质做铺垫。

）BC2、移动∠BOC 的顶点到圆周上，得到∠BAC问题(1)：这个角还是圆心角吗？你给它取个什么名字？ (2)：你为什么给它取名圆周角？ (3)：你能给圆周角下个完整的定义吗？（设计意图：通过不断的追问，让学生注意观察角的特征，并能归纳得出圆周角的定义，引入今天的新课内容。

圆周角的性质圆周角是指以圆心为顶点的角。

在研究圆周角的性质之前，我们先来了解一下什么是圆上的弧。

一、圆上的弧和弦在圆上任意取两点，这两点所对应的弧，称为圆上的弧。

连接圆上任意两点的线段，称为圆上的弦。

二、圆周角的定义圆周角是由圆上的两条弧所夹的角。

圆周角通常用大写字母表示，且常以所对应的弧的两个端点字母的顺序排列。

例如∠ABC表示由弧AC和弧BC所夹的圆周角。

三、圆周角的性质1.弧所对应的圆周角相等在同一个圆内，若有两条弧所对应的圆周角相等，则这两条弧相等。

即如果∠ABC = ∠ADC，则弧AC = 弧CD。

2.圆周角的度数与所对应的弧的度数相等一个圆的度数为360°，所以一个圆周角的度数不会超过360°。

如果一个圆周角的度数为x°，则它所对应的弧的度数也为x°。

3.同弧对应的圆周角相等在同一个圆内，若有两个圆周角分别对应于同一条弧，则这两个圆周角相等。

即如果∠ABC = ∠DBC，则∠ACB = ∠DCB。

4.圆周角的补角相等若一个圆周角的度数为x°，则它的补角的度数为(360 - x)°。

即∠ABC + ∠DBE = 360°，其中∠ABC和∠DBE是互为补角的两个圆周角。

5.同弦对应的圆周角相等在同一个圆内，若有两个圆周角分别对应于同一条弦，则这两个圆周角相等。

即如果∠ABC = ∠DEB，则∠ACB = ∠DEB。

综上所述，圆周角具有相等的补角、相等的度数、相等的弧以及相等的圆周角所对应的弦等性质。

在解题时，我们可以根据这些性质进行角度的计算和推导。

圆周角的三个定理和三个推论
圆周角是几何学中非常重要的课题，它测量了连续弧线绕圆心一周所形成的面积，它表征了圆弧路径的大小。

圆周角的三个定理和三个推论很重要，下面将对
它们做一些详细的介绍。

第一个定理是“极角定理”，它声明了一个角的圆心角（圆周角），它的大小
是由圆弧的长度和此弧端点从圆心到他们之间的距离决定的。

它可以为求解圆周角提來许多帮助。

第二个定理，“同余角定理”，它认为圆弧A，B，C，D上的三个角相同，即
A＝B＝C＝D，那么圆的圆周必然相同为∠ACD。

这一定理使圆周角更容易求解。

第三个理定，“圆周角定理”，它宣称，对于任意两个圆心角相同的多边形的
每一条边，其角的总和为360°，或等于2π。

这一定理可以用来计算更复杂的圆
上的角度和圆周角。

此外，圆周角有三个重要推论，第一个是“梯形定理”，它保证了梯形是可以
分解为两个相同的三角形，梯形的内角和周围角之和等于360°，即弧度为2π。

第二个推论是“饼图定理”，它保证了由一个圆形分割成多个部分形成的饼图，其总弧度之和等于2π，在此饼图中，各部分所占的弧度数可以根据各部分的大小
来计算。

最后一个推论是“三角形定理”，它给出了一个三角形，它的三条边和三个内
角的总和等于180°，或与弧度等于π。

这三个推论可以用来计算更复杂的圆周角。

总之，圆周角的三个定理和三个推论对于几何学是非常重要的，它们可以帮助
我们很好地计算出更复杂的圆周角，这对于研究几何领域是很有帮助的。

乐乐课堂初中数学圆周角
【实用版】
目录
1.圆周角的定义
2.圆周角的性质
3.圆周角与直线角的关系
4.圆周角的应用
正文
一、圆周角的定义
圆周角是指以圆心为顶点，以两条射线分别与圆周相交所构成的角。

它的两边都与圆周相交，因此又称为圆周角。

在数学中，圆周角通常用度数或弧度表示。

二、圆周角的性质
1.圆周角的度数和为 360 度。

也就是说，如果一个圆周角的度数为 x，那么与它相对的圆周角的度数就为 360-x。

2.圆周角的度数与它所对的圆弧的度数相等。

也就是说，如果一个圆周角的度数为 x，那么它所对的圆弧的度数也为 x。

三、圆周角与直线角的关系
圆周角和直线角有着密切的关系。

在任何一个圆中，同一弧所对的圆
周角和它所对的直线角是互补的。

也就是说，它们的度数加起来等于 180 度。

四、圆周角的应用
圆周角在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与圆相关的问题时。

例如，在求解圆的面积、周长、球体的表面积和体积等问题时，都需要用
到圆周角。

此外，圆周角也在物理、工程等领域中有着广泛的应用。

圆周角--知识讲解（基础）责编：常春芳【学习目标】1．理解圆周角的概念．了解圆周角和圆心角的关系；2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半；3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径；4．掌握圆内接四边形的对角互补.5．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【要点梳理】要点一、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）要点二、圆内接四边形如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于( )A．45° B．60° C．30° D．55°【答案】A.∵ AB＝BC＝CD＝DA，∴»»»»90 AB BC CD DA====°，∴∠BEC＝45°．类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.（2015•台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．【答案与解析】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠CBD，∴∠1=∠2．【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．8【答案】C.提示：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．类型三、圆内接四边形4.如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC=120°，则四边形ABCD的外角∠ADE的度数是（）A．130° B．120° C．110° D．100°【思路点拨】先根据圆内接四边形的对角互补及邻补角互补得出∠ADC+∠B=180°，∠ADC+∠ADE=180°，然后根据同角的补角相等得出∠ADE=∠B=120°．【答案】B；【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠B=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠B．∵∠B=120°，∴∠ADE=120°．【总结升华】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（）A．52°B．54°C．56°D．60°【答案】B．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，∴∠DCE=∠BAD=108°．∵CF平分∠DCE，∴∠DCF=∠DCE=54°．5.如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠BOD=130°，则∠DCE=°．【思路点拨】由圆周角定理，可求得∠A的度数，又由圆的内接四边形的性质，可得∠DCE=∠A．【答案】65；解：∵∠BOD=130°，∴∠A=∠BOD=65°，∵∠A+∠BCD=180°，∠DCE+∠BCD=180°，∴∠DCE=∠A=65°．【总结升华】此题考查了圆的内接四边形的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图，点C是AB上一点，O是圆心，且∠AOB=120°，则∠ACB=度．【答案】120；解：设点E是优弧AB上的一点，∵∠AOB=120°，∴∠AEB=60°，∴∠ACB=180°﹣∠AEB=120°．。

圆周角--知识讲解（基础）【学习目标】1．理解圆周角的概念．了解圆周角和圆心角的关系；2．理解圆周角的定理及圆周角定理的推论；3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【要点梳理】要点一、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.（2016•台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（）A．25 B．40 C．50 D．55【思路点拨】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A=65°，∠D=60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．【答案】B【解析】解：连接OB、OC，∵OA=OB=OC=OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A=65°，∠D=60°，∴∠1=180°﹣2∠A=180°﹣2×65°=50°，∠2=180°﹣2∠D=180°﹣2×60°=60°，∵=150°，∴∠AOD=150°，∴∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=150°﹣50°﹣60°=40°，则=40°．故选B【总结升华】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于( )A ．45°B ．60°C ．30°D ．55°【答案】A.∵ AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∴ 90AB BC CD DA ====°，∴ ∠BEC ＝45°．类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.【答案与解析】(a )∠1顶点在⊙O 内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b )∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c )图中∠3、∠4、∠BAD 的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD 是圆周角． (d )∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e )∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【总结升华】 紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC=BC=DC ．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD 的度数；（2）求证：∠1=∠2．【答案与解析】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠CBD，∴∠1=∠2．【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．8【答案】C.提示：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？【思路点拨】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB，∴BD=CD.【总结升华】解题的关键是正确作出辅助线.举一反三：【变式】如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于（）A. 60°B. 100°C. 80°D. 130°【答案】C.。