高中数学-圆的方程题型总结-新人教A版必修2

高一数学必修二《圆与方程》知识点整理（后附答案）一、标准方程()()222x a y b r -+-=1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2②利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理二、一般方程()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系d r <⇒点在圆内；d r =⇒点在圆上；d r >⇒点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r ==+（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==-max PA AM r AC ==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d 为圆心到直线的距离）（1）相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔>（2）相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔=（3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔<2.直线与圆相切（1）知识要点①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r（2）常见题型——求过定点的切线方程①切线条数点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无②求切线方程的方法及注意点．．．i ）点在圆外如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x =③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP =-⇒=求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC AP AC r k k ⎧=⎨⋅=-⎩ 3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题垂径定理．．．．及勾股定理——常用4.直线与圆相离六、最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1.已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：（1）5yx -的最大值和最小值；——看作斜率（2）y x -的最小值；——截距（线性规划）（3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d 为圆心距） （1）12d r r >+⇔外离（2）12d r r =+⇔外切 （3）1212r r d r r -<<+⇔相交 （4）12d r r =-⇔内切 （5）12d r r <-⇔内含。

高中数学：圆与方程知识点分析（辅导课A 班）新课标人教A 版必修2一：圆的方程。

（1）标准方程（几何式）：222()()x a y b r -+-=（圆心为A(a,b),半径为r ）（2）圆的一般方程（代数式）：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 圆心（-2D ，-2E ）半径F E D 42122-+ 二：点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d 与r 在大小关系判断。

三：直线与圆的位置关系判断方法：（1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。

d=r 为相切，d>r 为相交，d<r 为相离。

适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。

利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。

（2）代数法：由直线与圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程,然后由判别式△来判断。

△=0为相切，△>0为相交，△<0为相离。

利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。

四：圆与圆的位置关系判断方法：（1）几何法：两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；（2）代数法：由两圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。

△=0为外切或内切，△>0为相交，△<0为相离或内含。

若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。

五：直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系。

圆的标准方程一．圆的标准方程1.以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-如：圆122=+y x 的圆心为)0,0(，半径1=r圆2)2()1(22=-++y x 的圆心为)2,1(-，半径2=r所以，求圆的标准方程，也就是要求出圆心与半径2.圆中的一些常见结论：过圆心的直线平分圆；直径所对的圆周角为︒90（互逆定理）巩固练习（一）1.圆心为)1,1(-C ，半径为2的圆的方程为（ ）A ．4)1()1(22=++-y xB ．4)1()1(22=-++y xC ．2)1()1(22=++-y xD ．2)1()1(22=-++y x 2.圆2)1(22=++y x 的圆心到直线3+=x y 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．223.圆心为)1,2(且和x 轴相切的圆的方程是（ ）A ．1)1()2(22=-+-y xB ．1)1()2(22=+++y xC ．5)1()2(22=-+-y xD ．5)1()2(22=+++y x4.已知圆心)1,2(-，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）A ．10)1()2(22=-++y xB ．10)1()2(22=++-y xC ．5)1()2(22=-++y xD ．5)1()2(22=++-y x5.圆C ：1)4()3(22=-++y x 关于直线02=-+y x 对称的圆的方程是（ ）A ．1)1()2(22=-++y xB ．1)5()2(22=-++y xC ．1)5()2(22=-+-y xD ．1)3()4(22=++-y x6.若圆的一条直径的两个端点是)0,3()0,1(B A ，-，则圆的标准方程为7.圆心为)1,1(且过原点的圆的标准方程是二．点与圆的位置关系1.判断点与圆的位置关系已知圆C ：222)()(r b y a x =-+-，点),(00y x A 到圆心),(b a C 的距离为d①若22020)()(r b y a x =-+-，即r d =，则点),(00y x A 在圆上②若22020)()(r b y a x >-+-，即r d >，则点),(00y x A 在圆外③若22020)()(r b y a x <-+-，即r d <，则点),(00y x A 在圆内2.圆上的动点到定点的距离最值问题①若点A 在圆外，P 为圆C 上的一个动点，则r AC AP +=max ，r AC AP -=min②若点A 在圆内，P 为圆C 上的一个动点，则r AC AP +=max ，AC r AP -=min巩固练习（二）1.点与圆的位置关系（1）已知点)4,1(A 和圆4)3()3(:22=-+-y x C ，则点A 与圆C 的位置关系为（ ）A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定（2）已知点)1,1(在圆4)()(:22=++-a y a x C 的内部，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)1,1(-B ．)0,1(-C ．)1,0(D ．),1()1,(+∞--∞Y （3）已知点)2,1(A 在圆m y x -=+++413)23()1(22外，则实数m 的取值范围是（ ） A ．),13(+∞- B ．)413,13(- C ．)413,(-∞ D ．)13,(--∞ （4）点)23,1(在圆2)1(222++-=-+m m y x 外，则实数m 的取值范围是2.圆上的动点到定点的距离最值问题（1）圆1)3(22=-+y x 上的动点P 到点)3,2(Q 的距离的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．3D ．4 （2）已知实数y x ,满足1)2()3(22=-+-y x ，则22)2(++y x 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7（3）若点),(y x P 在圆1)1()2(22=++-y x 上运动，则22y x +的最大值是（ ）A ．15+B ．15-C ．526+D ．526-（4）若圆)0(1)()(22>=-+-a a y a x 上所有点到原点的距离都不小于3，则a 的取值范围为（ ）A ．]2,2[B ．),22[+∞C ．]22,2[D ．),2[+∞（5）一束光线从点)1,4(A 出发，经x 轴反射到圆2)2()2(22=-+-y x 上的最短路程是（ ）A ．13B ．132C ．213+D ．213-（6）已知圆1)2(22=-+y x 上一动点A 和定点)1,6(B ，点P 为x 轴上一动点，则PB PA +的最小值为巩固练习（三）1.圆心在y 轴，半径为1，且过点)2,1(的圆的方程为（ ）A ．1)2(22=-+y xB ．1)2(22=++y xC ．1)3()1(22=-+-y xD ．1)3(22=-+y x2.已知点)2,1()0,1(B A 、与圆4:22=+y x O ，则（ ）A ．点A 与点B 都在圆O 外 B ．点A 在圆O 外， 点B 在圆O 内C ．点A 在圆O 内， 点B 在圆O 外D ．点A 与点B 都在圆O 内3.点)3,(m P 与圆3)1()2(22=-+-y x 的位置关系为（ ）A ．点在圆上B ．点在圆外C ．点在圆内D ．与m 的值有关4.若点)1,(-m m M 在圆4)2()1(:22=++-y x C 的内部，则m 的取值范围是（ ）A ．)1,1(-B ．)0,1(-C ．)1,0(D ．),1()1,(+∞--∞Y5.已知圆1)3()2(:221=-+-y x C ，圆9)4()3(:222=-+-y x C ，N M ,分别是圆1C ，圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM +的最小值为（ ）A ．117-B ．425-C ．226-D ．17参考答案巩固练习（一）1-5 BCACB 6.4)1(22=+-y x 7.2)1()1(22=-+-y x巩固练习（二）1.（1）-（3） CAB（4）)2,23()21,1(Y -- 2.（1）-（5） BCCBD（6）153-巩固练习（三）1-5 ACBAB。

高一年级必修2数学第四单元圆的方程知识点梳理知识点总
结
2-4F)/4.故有：
(1)、当D +E -4F0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以(D +E -4F)/2为半径的圆;
(2)、当D +E -4F=0时，方程表示一个点(-D/2，-E/2);
(3)、当D +E -4F0时，方程不表示任何图形。

3、圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 _=a+r_cos, y=b+r_sin, (其中为参数)
圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为 (_-a1)(_-a2)+(y-b1)(y-b2)=0
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆 _ +y =r 上一点M(a0，b0)的切线方程为 a0__+b0_y=r
在圆(_ +y =r )外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B 两点所在直线的方程也为 a0__+b0_y=r
高一年级必修2数学第四单元圆的方程知识点就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。

数学人教版必修二圆的方程知识点
数学人教版必修二中关于圆的方程的内容主要涉及以下几个知识点：
1. 圆的标准方程：圆的标准方程为：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为圆的半径。

2. 圆的一般方程：圆的一般方程为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。

一般方程推导出标准方程的方法是完成平方并合并同类项。

3. 圆的参数方程：若圆的圆心为(a, b)，半径为r，则圆的参数方程为x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中θ为参数。

4. 圆的切线方程：过圆上的一点M(x₁, y₁)的切线方程为xx₁ + yy₁ = r²，其中r为圆的半径。

5. 过圆心的直线方程：过圆心的直线方程为x/a + y/b = 1，其中a和b分别为圆心的横纵坐标。

6. 圆与直线的位置关系：可以利用圆的一般方程和直线的方程，通过解方程组来判断
圆与直线的位置关系。

以上是数学人教版必修二中有关圆的方程的主要知识点。

希望对你有所帮助！。

圆与方程知识点1.圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2.点与圆的位置关系：(1).设点到圆心的距离为d，圆半径为r：a.点在圆内d＜r；b.点在圆上d=r；c.点在圆外d＞r(2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔（3）涉及最值：1圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r==+2圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC==-max PA AM r AC==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）3.圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .(1)当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C ，半径2422FE D r -+=.(2)当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D .(3)当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.4.直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++=1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ；2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔<r d ；弦长|AB|=222d r -还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；（2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5.两圆的位置关系（1）设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2222222)()(:r b y a x C =-+-，圆心距221221)()(b b a a d -+-=1条公切线外离421⇔⇔+>r r d ；2条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；3条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；4条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；5无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；外离外切相交内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：1若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；2若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）补充：1上述圆系不包括2C ；22）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）3过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=6.过一点作圆的切线的方程：(1)过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k，得到切线方程【一定两解】例1.经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为。

2021年高中数学圆与方程复习小结新人教A版必修2【学习探究】【知识归类】1．圆的两种方程（1）圆的标准方程，表示_____________．（2）圆的一般方程．①当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当时，表示__________；②当时，方程只有实数解，，即只表示_______；③当时，方程_____________________________________________．综上所述，方程表示的曲线不一定是圆．2．点与圆的关系的判断方法：（1）>，点在_____；（2）=，点在______；（3）<，点在______．3．直线与圆的位置关系设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，直线与圆______；（2）当时，直线与圆________；（3）当时，直线与圆________．4．圆与圆的位置关系设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，圆与圆_______；（2）当时，圆与圆______；（3）当时，圆与圆____；（4）当时，圆与圆___；（5）当时，圆与圆______．5．空间直角坐标系任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标．空间中任意一点到点之间的距离公式________________．【题型归类】题型一：求圆的方程例1 ．求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．【方法总结】求圆的方程有两种常用方法：直接法与待定系数法，根据条件若能方便求出圆的圆心与半径则宜用直接法，若有三个条件则选用待定系数法。

题型二：圆的切线问题例2 ．过圆(x－1)2+（y－1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A、B. 求经过两切点的直线方程．【方法总结】解答与圆的切线相关问题关键要抓住圆心到切线的距离等于半径。

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+= 当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为∆，则有相离与C l ⇔<∆0；相切与C l ⇔=∆0；相交与C l ⇔>∆0注：如果圆心的位置在原点，可使用公式200r yy xx =+去解直线与圆相切的问题，其中()00,y x 表示切点坐标，r 表示半径。

(3)过圆上一点的切线方程：①圆x 2+y 2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为200r yy xx =+ (课本命题)． ②圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 (课本命题的推广)．4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

知识网络4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程4.1.2 圆的一般方程知识梳理1.到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.2.当圆心与半径确定后,圆就唯一确定了.3.设圆的圆心为C(a,b),圆的半径为r,则圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,当圆的圆心在坐标原点时,圆的方程为x 2+y 2=r 2.4.方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.(1)当D 2+E 2-4F=0时,方程表示一个点,该点的坐标为(2,2E D --). (2)当D 2+E 2-4F<0时,方程不表示任何图形.(3)当D 2+E 2-4F>0时,方程表示的曲线为圆,它的圆心坐标为(2,2E D --),半径等于2422F E D -+. 5.圆的标准方程与一般方程各有特点:圆的标准方程指出圆心与半径,几何特征明显;圆的一般方程表明圆的代数特征明显,是一种特殊的二元二次方程.(1)x 2、y 2项系数相等;(2)没有xy 项.6.求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是:(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;(2)根据条件列出关于a,b,r 或D,E,F 的方程组;(3)解出a,b,r 或D,E,F,代入标准方程或一般方程.知识导学要学好本节内容,可从回顾确定直线的要素——两点(或者一点和斜率)确定一条直线的基础上,回顾确定圆的几何要素——圆心位置和半径入手. 要求圆的标准方程,只需求出圆心坐标和半径.若借助于弦心距、弦、半径之间的关系或三角形外接圆的相关性质,可大大简化求解的过程与难度.圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0中也含有三个参数,必须具备三个独立的条件才能确定一个圆.在用待定系数法求圆的方程时,要注意结合题目的条件先选择好圆的方程,再确定参数.要注意圆的一般方程与标准方程的互化.疑难突破1.确定圆的方程的方法有哪些？剖析:①直接法:根据已知条件,直接求出圆心坐标和圆的半径,进而写出圆的方程.②待定系数法:实际上是求a 、b 、r 或D 、E 、F 三个字母系数值,故需要三个独立条件.只要把三个独立条件化为三个方程,就可求值.求圆的方程的步骤:①设出所求方程(要根据题意选择所求方程的形式);②列方程组;③解方程组,求出待定系数;④把解出的待定系数代回所设方程.2.点和圆有几种位置关系？分别是什么？剖析:一旦在坐标平面上确定一个圆之后,平面就被圆分成三个部分,即圆上的点,圆内的点及圆外的点,那么如何判断点与圆的这三种位置关系呢？可有两种方法:(1)将所给的点M 与圆心C 的距离跟半径r 比较:若|CM|=r,则点M 在圆C 上;若|CM|>r,则点M 在圆外;若|CM|<r,则点M 在圆内.(2)可利用圆的方程来确定点M(m,n)在圆上,则(m-a)2+(n-b)2=r 2,或m 2+n 2+Dm+En+F=0(D 2+E 2-4F>0);点M(m,n)在圆外,则(m-a)2+(n-b)2>r 2,或m 2+n 2+Dm+En+F>0(D 2+E 2-4F>0);点M(m,n)在圆内,则(m-a)2+(n-b)2<r 2,或m 2+n 2+Dm+En+F<0(D 2+E 2-4F>0).由于圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹(或集合),所以判定点与圆的位置关系的依据是圆的定义.由于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2⇔22)()(b y a x -+-=r;圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(24)2()2(2222F E D E y D x -+=-+-, 所以,也可直接利用圆的方程判断点与圆的位置关系.。

.| | | .当 D 2 + E 2 - 4F > 0时，方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 叫做圆的一般方程 . -, - ⎪ 为圆心，精品文档 用心整理人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习圆的方程【学习目标】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用 圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待 定系数法，由已知条件导出圆的方程．【要点梳理】【圆的方程 370891 知识要点】要点一：圆的标准方程( x - a)2 + ( y - b )2 = r 2 ，其中 (a ，b )为圆心， r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时 a = 0，b = 0 ，圆的方程就是 x 2 + y 2 = r 2 .有关图形特征与方程的转化：如：圆心在 x 轴上：b=0；圆与 y 轴相切时： a |= r ；圆与 x 轴相切时：b |= r ；与坐标轴相切时：a |=| b |= r ；过原点： a 2 + b 2 = r 2(2)圆的标准方程 ( x - a)2 + ( y - b )2 = r 2 ⇔ 圆心为 (a ，b )，半径为 r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要 a 、b 、 r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法要点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为 ( x - a)2 + ( y - b )2 = r 2 ，圆心为 C (a ，b ) ，半径为 r ，则有(1)若点 M (x ，y 0 0(2)若点 M (x ，y 0 0(3)若点 M (x ，y 0)在圆上 ⇔| CM |= r ⇔ (x 0)在圆外 ⇔| CM |> r ⇔ (x 0)在圆内 ⇔| CM |< r ⇔ (x 0- a )2 + ( y - b )2 = r 2 0- a )2 + ( y - b )2 > r 2 0- a )2 + ( y - b )2 < r 212要点三：圆的一般方程D 2 +E 2 - 4F 为半径.要点诠释：⎛ D E ⎫ ⎝ 2 2 ⎭资料来源于网络仅供免费交流使用由方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0得 x + ⎪ + y + ⎪ =(3)当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时，可以看出方程表示以 - ⎪ 为圆心， D 2 + E 2 - 4F 为半径的圆..精品文档 用心整理⎛D ⎫2 ⎛E ⎫2 D 2 + E 2 - 4F ⎝2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 4(1)当 D 2+ E 2- 4F = 0 时，方程只有实数解 x = - D E D E, y =- .它表示一个点 (- , - ) .2 2 2 2(2)当 D 2 + E 2 - 4F < 0 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．⎛ D E ⎫1 , -⎝ 2 2 ⎭2要点四：几种特殊位置的圆的方程条件 方程形式标准方程 一般方程圆心在原点过原点圆心在 x 轴上圆心在 y 轴上圆心在 x 轴上且过原点圆心在 y 轴上且过原点x 2 + y 2 = r 2 (r ≠ 0)( x - a)2 + ( y - b )2 = a 2 + b 2( x - a)2 + y 2 = r 2 (r ≠ 0)x 2 + ( y - b )2 = r 2 (r ≠ 0)( x - a)2 + y 2 = a 2 (a ≠ 0)x 2 + ( y - b )2 = b 2 (b ≠ 0)x 2 + y 2 - r 2 = 0 (r ≠ 0)x 2 + y 2 + Dx + Ey = 0x 2 + y 2 + Dx + F = 0x 2 + y 2 + Ey + F = 0x 2 + y 2 + Dx = 0x 2 + y 2 + Ey = 0x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0与 x 轴相切( x - a)2 + ( y - b )2 = b 2(D2- 4F = 0)x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0与 y 轴相切( x - a)2 + ( y - b )2 = a 2(E2- 4F = 0)要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于 a 、b 、r 或 D 、E 、F 的方程组.(3)解方程组，求出 a 、b 、r 或 D 、E 、F 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程 要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于 变量 x, y 之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定 义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关 点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3．求轨迹方程的步骤：资料来源于网络仅供免费交流使用；精品文档 用心整理（1）建立适当的直角坐标系，用 ( x , y) 表示轨迹（曲线）上任一点 M 的坐标；（2）列出关于 x, y 的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点） （5）作答． 【典型例题】类型一：圆的标准方程例 1．求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是 3；(2)已知圆 C 经过 A(5,1), B (1,3) 两点，圆心在 x 轴上； (3)经过点 P (5,1)，圆心在点 C (8, -3) ．【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.【答案】（1） x 2 + y 2 = 9 （2） ( x - 2)2 + y 2 = 10 （3） (x - 8)2+ ( y + 3)2= 25【解析】(1) x 2 + y 2 = 9(2)线段 AB 的中垂线方程为 2 x - y - 4 = 0 ，与 x 轴的交点 (2, 0) 即为圆心 C 的坐标，所以半径为| CB |= 10 ，所以圆 C 的方程为 ( x - 2)2 + y 2 = 10 .(3)解法一：∵圆的半径 r =| CP |=(5 - 8)2 + (1 + 3)2 = 5 ，圆心在点 C (8, -3)∴圆的方程是 (x - 8)2 + ( y + 3)2 = 25解法二：∵圆心在点 C (8, -3) ，故设圆的方程为 (x - 8)2 + ( y + 3)2 = r 2又∵点 P (5,1)在圆上，∴ (5 - 8)2 + (1 + 3)2 = r 2 ，∴ r 2 = 25∴所求圆的方程是 (x - 8)2+ ( y + 3)2= 25 .【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于 a 、b 、r 的方程组，求 a 、b 、r 或直接求出圆心（a ，b ）和半径 r ，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r 2；（2）根据已知条件，建立关于 a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出 a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．举一反三：【变式 1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ）A ．(x―4)2+(y+1)2=10B ．(x+4)2+(y―1)2=10C ．(x―4)2+(y+1)2=100D ． ( x - 4)2 + ( y + 1)2 = 10【答案】A资料来源于网络仅供免费交流使用2⎩⎪(精品文档用心整理例2．（2015秋湖北宜昌月考）求下列各圆的标准方程：（1）圆心在直线y=0上，且圆过两点A（1，4），B（3，2）；（2）圆心在直线2x+y=0上，且圆与直线x+y―1=0切于点M（2，―1）．【思路点拨】（1）求出圆心和半径，即可求圆C的方程；（2）设出圆心坐标，列方程组解之．其中由圆心在直线2x+y=0上得出一个方程；再由圆心到直线x+y―1=0的距离即半径得出另一个方程．【答案】（1）(x+1)2+y2=20；（2）(x-1)2+(y+2)2=2【解析】（1）∵圆心在直线y=0上，∴设圆心坐标为C（a，0），则|AC|=|BC|，即(a-1)2+16=(a-3)2+4，即(a-1)2+16=(a-3)2+4，解得a=―1，即圆心为（―1，0），半径r=|AC|=(-1-1)2+16=25，则圆的标准方程为(x+1)2+y2=20，（2）设圆心坐标为（a，b），⎧2a+b=0⎪则⎨|a+b-1|⎪=(a-2)2+(b+1)2解得a=1，b=－2，∴r=2，∴要求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2．举一反三：【圆的方程370891典型例题1】【变式1】（1）过点A(2,-3),B(-2,-5)且圆心在直线x-2y-3=0上；（2）与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为27．【答案】（1）(x+1)2+(y+2)2=10（2）(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9【解析】（1）设圆的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2，则⎧(2-a)2+(-3-b)2=r2⎪⎨-2-a)2+(-5-b)2=r2，解得：a=-1,b=-2,r2=10⎪a-2b-3=0⎪⎩所求圆的方程为：(x+1)2+(y+2)2=10资料来源于网络仅供免费交流使用⎪(a - b )2 + 14 = 2r 2 ⎩⎩ x - + y + ⎪ ⎪ =（ 1 ⎛ 3 ⎫2 16 4 7 D 2 + E 2 - 4F = -7t 2 + 6t +1 = -7 t - ⎪ + ≤x - + y + ⎪ ⎪ = ．【总结升华】 在本例中，当 t 在 -⎛ 1 ⎫,1⎪ 中任取一个值，它对应着一个不同的圆，它实质上是一系列的圆，因此本例中的圆的方程实质上是一个圆系方程，由⎨ x = t + 32―1，再由- 1< t < 1 ， 知 20 ⎛ 20 < x < 4 ，因此它是一个圆心在抛物线 y = 4( x - 3)2 - 1< x < 4 ⎪ 的圆系方程． 精品文档 用心整理（2）设圆的方程为： (x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ，则⎧r 2 = b 2 ⎧a = 1 ⎧a = -1⎪ ⎪ ⎪ ⎨3a - b = 0解得： ⎨b = 3 或 ⎨b = -3 ⎪⎩⎪r 2 = 9 ⎪r 2 = 9所求圆的方程为： ( x - 1)2 + ( y - 3)2 = 9 或 ( x + 1)2 + ( y + 3)2 = 9 ．类型二：圆的一般方程例 3．已知直线 x 2+y 2―2(t+3)x+2(1―4t 2)y+16t 4+9=0 表示一个圆． （1）求 t 的取值范围；（2）求这个圆的圆心和半径；（3）求该圆半径 r 的最大值及此时圆的标准方程．【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件 D 2+E 2―4F ＞0，解题时，应充分利用这一隐含条件．1【答案】 1）- < t < 1（2）（t+3，4t 2－1）1 + 6t - 7t2 （3）74 7 ⎛7 ⎝ 24 ⎫2 ⎛ 13 ⎫2 7 ⎭ ⎝ 49 ⎭16 7【解析】（1）已知方程表示一个圆 ⇔ D 2+E 2―4F ＞0，即 4(t+3)2+4(1―4t 2)2―4(16t 4+9)＞0，整理得7t 2―6t―1＜0 ⇔- 17< t < 1 ．（2）圆的方程化为[x―(t+3)]2+[y+(1―4t 2)]2=1+6t―7t 2．∴它的圆心坐标为（t+3，4t 2－1），半径为 1 + 6t - 7t 2 ．（3）由 r =．2⎝7 ⎭7 7∴r 的最大值为4 7 7，此时圆的标准方程为⎛ 24 ⎫2 ⎛13 ⎫2 16 ⎝7 ⎭ ⎝ 49 ⎭ 7⎝ 7 ⎭⎩ y = 4t 2 -1 得 y=4(x―3)7⎫7⎝ 7⎭举一反三：【圆的方程 370891 典型例题 2】资料来源于网络仅供免费交流使用⎨34+ 5D + 3E + F = 0 ，解得： ⎨ E = -2 ⎪10 + 3D - E + F = 0⎪ F = 12法二：线段 AB 的中点为为 , ⎪ ， k5 - 2 == -3 x - ⎪ ，即 3x - y - 13 = 0联立⎨⎧ x + 2 y - 6 = 0⎩3x + y - 13 = 0⎩ y = 1 ⎪ 6 + E ⎪ 2 = 3 ，解得： ⎨E = 3 ⎪ 8 + D⎪F = -30 2 ⎪ 精品文档 用心整理【变式 1】（1）求过 A(2,2), B(5,3), C (3, -1) 的圆的方程，及圆心坐标和半径；（2）求经过点 A(-2, -4) 且与直线 x + 3 y - 26 = 0 相切于点（8，6）的圆的方程．【答案】（1） (x - 4)2 + ( y - 1)2 = 5 （4，1） 5 （2） x 2 + y 2 - 11x + 3 y - 30 = 0【解析】（1）法一：设圆的方程为： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ，则⎧8 + 2D + 2E + F = 0 ⎧ D = -8 ⎪ ⎪ ⎩⎩所以所求圆的方程为： x 2 + y 2 - 8x - 2 y + 2 = 0 ，即 (x - 4)2 + ( y - 1)2 = 5 ，所以圆心为（4，1），半径为 5 ．⎛ 7 5 ⎫⎝ 2 2 ⎭3 - 2 1 AB =3线段 AB 的中垂线为 y -52⎛ 7 ⎫ ⎝ 2 ⎭同理得线段 BC 中垂线为 x + 2 y - 6 = 0 ⎧ x = 4，解得 ⎨所以所求圆的方程为（4，1），半径 r =(4 - 2)2 + (1- 2)2 = 5所以 (x - 4)2 + ( y - 1)2 = 5 ．（2）法一：设圆的方程为： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ，则⎧20 - 2D - 4E + F = 0 ⎪ ⎧D = -11 ⎪⎨⎩⎪⎩100 + 8D + 6E + F = 0所以圆的方程为 x 2 + y 2 - 11x + 3 y - 30 = 0 ．法二：过点 B 与直线 x + 3 y - 26 = 0 垂直的直线是 3x - y - 18 = 0 ， 线段 AB 的中垂线为 x + y - 4 = 0 ，资料来源于网络仅供免费交流使用由 ⎨得：圆心坐标为, - ⎪ ，由两点间距离公式得半径 r 2 = ，所以圆的方程为 x - ⎪ + y + ⎪ = ．【答案】表示圆，圆心坐标 , - ⎪ ，半径 r =x + ⎪ + ( y + a)2 = - a 2 - a + 1 ，所以若方程表示圆，则有 - 3 ⎨-2D - 2E + F + 8 = 0 ，解得 ⎨E = -2 ．⎪5D + 5E + F + 50 = 0⎪F = -200 = 3 x + ⎪ ，即 y=3x+4，∴b=3a+4． ②精品文档 用心整理⎧3x - y - 18 = 0 ⎛ 11 3 ⎫125 ⎩ x + y - 4 = 0⎝ 2 2 ⎭ 2⎛ 11 ⎫2 ⎛3 ⎫2 125 ⎝2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 2【变式 2】判断方程 ax 2+ay 2―4(a―1)x+4y=0（a≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．⎛ 2(a - 1)2 ⎫ 2 a 2 - 2a + 2⎝ aa ⎭ | a |【变式 3】方程 x 2 + y 2 + ax + 2ay + 2a 2 + a - 1 = 0 表示圆，则 a 的取值范围是A ． a < -2 或 a > 【答案】D2 2 2B ． - < a < 0C ． -2 < a < 0D ． -2 < a < 3 3 3【解析】方程 x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0 转化为⎛ a ⎫2 3⎝ 2 ⎭ 42a 2- a + 1 > 0 ，∴ 3a 2 + 4a - 4< ，∴-2 <a < ．43例 4．（1△） ABC 的三个顶点分别为 A （―1，5），B （―2，―2），C （5，5），求其外接圆的方程； （2）圆 C 过点 P （1，2）和 Q （―2，3），且圆 C 在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆 C 的方程．【思路点拨】在（1）中，由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数D 、E 、F 即可；注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求出圆 的方程．在（2）中，可用圆的一般方程，但这样做计算量较大，因此我们可以通过作图，利用图形的直 观性来进行分析，从而得到圆心或半径所满足的条件．【答案】（1）x 2+y 2―4x―2y―20=0（2）(x+1)2+(y―1)2=5 或(x+2)2+(y+2)2=25【解析】（1）解法一：设所求的圆的方程为 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由题意有⎧- D + 5E + F + 26 = 0 ⎧D = -4 ⎪⎪ ⎩⎩故所求的圆的方程为 x 2+y 2―4x―2y―20=0．解法二：由题意可求得 AC 的中垂线的方程为 x=2，BC 的中垂线方程为 x+y―3=0．∴圆心是两中垂线的交点（2，1），∴半径 r =(2 + 1)2 + (1- 5)2 = 5 ，∴所求的圆的方程为(x―2)2+(y―1)2=25，即 x 2+y 2―4x―2y―20=0．（2）解法一：如右图所示，由于圆 C 在两坐标轴上的弦长相等，即|AD|=|EG|，所以它们的一半也相等，即|AB|=|GF|，又|AC|=|GC|，∴△Rt ABC ≌△Rt GFC ，∴|BC|=|FC|． 设 C （a ，b ），则|a|=|b|． ①又圆 C 过点 P （1，2）和 Q （―2，3）， ∴圆心在 PQ 的垂直平分线上，即 y -52⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭资料来源于网络仅供免费交流使用由①知 a=±b ，代入②得 ⎨或 ⎨． b = 1 b = -2 ⎩ F = 11 - 7 D ⎪ ，3 ， x 2 + y - ⎪ =⎝ 精品文档 用心整理⎧a = -1⎧a = -2⎩⎩∴ r = (a - 1)2 + (b - 2)2 = 5 或 5．故所求的圆的方程为(x+1)2+(y―1)2=5 或(x+2)2+(y+2)2=25． 即 x 2+y 2+2x―2y―3=0 或 x 2+y 2+4x+4y―17=0．解法二：设所求的圆的方程为 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0． ∵圆 C 过点 P （1，2）和 Q （－2，3），⎧12 + 22 + D + 2E + F = 0 ⎧ E = 3D - 8 ∴ ⎨ ，解得 ⎨ ．⎩4 + 9 - 2D + 3E + F = 0∴圆 C 的方程为 x 2+y 2+Dx+(3D―8)y+11―7D=0，将 y=0 代入得 x 2+Dx+11―7D=0．∴圆 C 在 x 轴上截得的弦长为| x - x |=D 2 - 4(11- 7 D ) ．将 x=0 代入得 y 2+(3D―8)y+11―7D=0， 1 2∴圆 C 在 y 轴上截得的弦长为| y - y |=(3D - 8)2 - 4(11- 7 D ) ．12由题意有 D 2 - 4(11- 7 D ) =(3D - 8)2 - 4(11- 7 D ) ，即 D 2―4(11―7D)=(3D―8)2―4(11―7D)，解得 D=4 或 D=2．故所求的圆的方程为 x 2+y 2+4x+4y―7=0 或 x 2+y 2+2x―2y―3=0．【总结升华】 （1）本例（1）的解法二思维迂回链过长，计算量过大，而解法一则较为简捷，因此，当所有已知的条件与圆心和半径都无直接关系，在求该圆的方程时，一般设圆的方程为一般方程，再用待 定系数法来确定系数即可．（2）本例（2）中，尽管所给的条件也都与圆心和半径无直接关系，但可通过画图分析，利用平面几何知识，找到与圆心和半径相联系的蛛丝马迹，从而避免了选用圆的一般方程带来的繁琐的计算．（3）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方 程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．举一反三：【变式 1】如图，等边△ABC 的边长为 2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．⎛ 【答案】 0,⎝ 3 ⎫ 2 ⎛ 3 ⎫23 ⎭ 3 3⎭ 4 3类型三：点与圆的位置关系 例 5．判断点 M （6，9），N （3，3），Q （5，3）与圆(x ―5)2+(y ―6)2=10 的位置关系． 【答案】M 在圆上 N 在圆外 Q 在圆内 【解析】∵圆的方程为(x ―5)2+(y ―6)2=10， 分别将 M （6，9），N （3，3），Q （5，3）代入得 (6―5)2+(9―6)2=10，∴M 在圆上；(3―5)2+(3―6)2=13＞10，∴N 在圆外；资料来源于网络仅供免费交流使用⎩( x + 1)2 + ( y - 2)2 = 20 ⇒ (1+ k 2 ) x 2 + 2(1- k 2 - 4k ) x + k 2 + 8k - 3 = 0 1 + k 2 1 + k 2 ⎧ =y-y 精品文档 用心整理(5―5)2+(3―6)2=9＜10，∴Q 在圆内．【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为 O ，半径为 r ，则点 P 在圆内 ⇔ |PQ|＜r ；点 P 在圆上 ⇔ |PQ |=r ；点 P 在圆外 ⇔ |PO|＞r ．从数的角度来看，设圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b )2=r 2，圆心为 A （a ，b ），半径为 r ，则点 M （x 0，y 0）在圆上 ⇔ (x 0―a)2+(y 0―b )2=r 2；点 M （x 0，y 0）在圆外⇔ (x 0―a)2+(y 0―b )2＞r 2；点 M （x 0，y 0）在圆内 ⇔ (x 0―a)2+(y 0―b )2＜r 2．举一反三：【变式 1】点（a +1，a ―1）在圆 x 2 + y 2 - 2ay - 4 = 0 的内部，则 a 的取值范围是________．【思路点拨】直接把点（a +1，a ―1）代入圆的方程左边小于 0，解不等式可得 a 的范围．【答案】（－∞，1）【解析】∵点（a +1，a ―1）在圆 x 2 + y 2 - 2ay - 4 = 0 的内部（不包括边界），∴ (a + 1)2 + (a - 1)2 - 2a(a - 1) - 4 < 0 ，整理得：a ＜1． 故答案为：（－∞，1）． 类型四：轨迹问题 例 6．（2016 广东中山市模拟）已知曲线 C 上任意一点到原点的距离与到 A （3，―6）的距离之比均为 1 2．（1）求曲线 C 的方程． （2）设点 P （1，―2），过点 P 作两条相异直线分别与曲线 C 相交于 B ，C 两点，且直线 PB 和直线 PC 的倾斜角互补，求证：直线 BC 的斜率为定值．【思路点拨】（1）利用直接法，建立方程，即可求曲线 C 的方程．（2）直线与圆的方程联立，求出 A ，B 的坐标，利用斜率公式，即可证明直线 BC 的斜率为定值．【答案】（1） ( x + 1)2 + ( y - 2)2 = 20 ；（2）直线 BC 的斜率为定值 -【解析】（1）曲线 C 上的任意一点为 Q （x ，y ），1 2．由题意得x 2 + y 2( x - 3)2 + ( y + 6)2 = 1 2⇒ ( x + 1)2 + ( y - 2)2 = 20（2）证明：由题意知，直线 PB 和直线 PC 的斜率存在，且互为相反数，P （1，―2），故可设 PA ：y +2=k （x ―1）， 由 ⎨ y + 2 = k ( x -1)k 2 + 8k - 3因为点 P 的横坐标 x =1 一定是该方程的解，故可得 x =，Ak 2 - 8k - 3同理， x =，B所以 kx - xBA B A=-k(x-1)-k(x -1)2k-k(x +x)1B A==-x-x x-x2B A B A资料来源于网络仅供免费交流使用B A【解析】 设 Q 点坐标为（x ，y ），P 点坐标为（x ＇，y ＇），则 x = 4 + x ' 【答案】 x -⎪ + y 2=22x所以 x 2 + y 2 + + y 2 = 1 - c 21 - c2 ⎭⎝(1 - c 2 )2⎛ 1 + c 2 ⎫2 精品文档 用心整理故直线 BC 的斜率为定值 -12．【总结升华】本例求轨迹方程的方法是直接法．用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为 M （x ，y ）； （2）几何点集：写出满足题设的点 M 的集合 P={M |P (M )}；（3）翻译列式：将几何条件 P （M ）用坐标 x 、y 表示，写出方程 f (x,y)=0； （4）化简方程：通过同解变形化简方程；（5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点， 曲线上是否有遗漏的点．例 7．已知定点 A （4，0），P 点是圆 x 2+y 2=4 上一动点，Q 点是 AP 的中点，求 Q 点的轨迹方程． 【答案】(x―2)2+y 2=1 0 + y '且 y = ，即 x ＇=2x―4，22y ＇=2y ．又 P 点在圆 x 2+y 2=4 上，∴x ＇+y ＇=4，将 x ＇=2x―4 且 y ＇=2y 代入得(2x―4)2+(2y)2=4，即(x―2)2+y 2=1． 故所求的轨迹方程为(x―2)2+y 2=1．【总结升华】 本题是求轨迹时常用的方法——代入法，对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条 曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为（ ，y ）， 在已知曲线上运动的点的坐标为（x ＇，y ＇），用 x ，y 表示 x ＇，y ＇，即 x ＇=f (x,y)，y ＇=g (x,y)，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适 当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解．举一反三： 【变式 1】已知定点 A （2，0），点 Q 是圆 x 2+y 2=1 上的动点，∠AOQ 的平分线交 AQ 于 M ，当 Q 点在圆上移动时，求动点 M 的轨迹方程．⎛2 ⎫2 4 ⎝3 ⎭9【圆的方程 370891 典型例题 5】【变式 2】平面内到两定点距离的比值是一个不等于 1 的常数的动点的轨迹是一个圆．【解析】以两定点所在的直线为 x 轴，以两定点所在线段的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，设两定点分别为 A (1,0 ), B(-1,0) ，设动点 P( x , y) ，则| P A || PB |= c(c ≠ 1) ，( x + 1)2 + y 2( x - 1)2 + y 2 = c ，整理得： (1 - c2 )x 2 + (1- c 2 ) y 2 + (2 + 2c 2 ) x + 1 - c 2 = 02 + 2c 24c2⎪所以动点的轨迹是一个圆．资料来源于网络仅供免费交流使用。