上海市松江区2021届高三下学期模拟考质量监控(二模)数学试卷(含答案解析)

上海市松江区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.函数 lg 2y x 的定义域是．2.在复平面内，复数z 对应点的坐标是 1,2，则i z ．3.4.已知点5.已知7x 6.7.8.9.已知1F 10.11.已知0 的取值范围是．12.某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1,2,3,,30 ，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有种不同的选择方法．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.已知集合04A x x ，2,B x x n n Z ，则A B （）.A 1,2；.B 2,4；.C 0,1,2；.D 0,2,4．14.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x （千克）所需的费用y （角）的情况作了调研，并统计得到右表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为0.70.4y x ，则下列说法错误的是（）.A 变量x 、y 之间呈正相关关系；.B 可以预测当8x 时，y 的值为6；.C 3.9m ；.D 由表格中数据知样本中心点为 3.5,2.85．15.已知某个三角形的三边长为a 、b 及c ，其中a b ．若a 、b 是函数2y ax bx c 的两个零点，则a 的取值范围是（）.A 12．16.设n S ,2k N k ，则12S S ,2k N k ，则12S S .A .C 三、17.设 f x 为 ．（1）（2）， 32f A，求角C ．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PD 平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）设平面ABE 与直线PC 相交于点F ，求证：//EF CD ；（2）若2AB ，60DAB ，PD ，求直线BE 与平面PAD 所成角的大小．19.现有甲、乙、，且每人能否闯（1）（2） E X ；（3）丙第20题图如图，椭圆22:12y x 的上、下焦点分别为1F 、2F ，过上焦点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆于M 、N两点，动点P 、Q 分别在直线MN 与椭圆 上．（1）求线段MN 的长；（2）若线段PQ 的中点在x 轴上，求2F PQ 的面积；（3）是否存在以2F Q 、2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆 上？若存在，求出所有满足条件的点Q 的纵坐标；若不存在，请说明理由．已知函数 ln f x x x a （a 为常数），记 y f x x g x ．（1）若函数 y g x 在1x 处的切线过原点，求实数a 的值．（2）对于正实数t ，求证： ln 2f x f t x f t t a ；（3）当1a 时，求证： e cos xg x x x．上海市松江区2024届高三二模数学试卷-简答1参考答案一、填空题1．(2,)2．2i3．0.24．1225．216．37．58．4910．(1,2)11．10,1212．1540二、选择题13．D14．C15．B16．C三、解答题17．解：（1）2()sin sin222f x x x x1cos 1=sin()2262x x x .……3分因为函数()y f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ，所以2 T ，即22,1T.所以1()sin(62f x x .……6分（2）由3()2f A，得13sin(),sin()16226A A .2(0,)3A A.……9分，由sin sin a b A B ,sin B，化简得sin 2 B 所以角4 B .……12分所以角23412C .……14分218．解：（1）因为底面ABCD 为菱形，所以//CD AB ，解法2：如图建系，由题可得：2AC BD ，则A， 0,1,0B ， 0,1,0D ， 0,1,P ， 0,1,E ，……8分所以 0,2,BE ， DA， 0,0,DP，设平面PAD 的法向量为 ,,z n x y，由00n DA n DP，得00y ，解得0y z，取1x ，可得平面PAD 的一个法向量为n.……12分设直线BE 与平面PAD 所成角的大小为090，x yzO3则1sin cos 22n BE n BE，解得30 ,所以，直线BE 与平面PAD 所成角的大小为30 .……14分19．解：（1）设“计划依次派出甲乙丙进行闯关，该小组比赛胜利”为事件A ， 甲乙丙各自闯关成功的概率分别为134p ，223p ，312p ，每人能否闯关成功相互独立，解法1： 3323212311144343224P A解法2： P A 123111231(1)(1)(1)143224p p p ．……4分（2）按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，所需派出的人员数目X 的可能取值是1、2、3，11P X p ， 1221P X p p ， 12311P X p p ，所以X 的分布是： 11212123111p p p p p，……7分所以 1121212122(1)3(1)(1)23E X p p p p p p p p p ．……10分（3）若先派丙，再派乙，最后派甲，所需派出的人员数目Y 的分布是： 33232123111p p p p p，则 323223E Y p p p p ，所以 121232322323E X E Y p p p p p p p p ，21313213220p p p p p p p p ……13分所以先派甲，再派乙，最后派丙时，派出的人员数目的数学期望较小．……14分4521.(1)因为 ln +g x x x ，所以 22'g x x x x ，所以 '11g a ．……2分又因为 1ln11a g a ，所以 g x 在1x 处的切线方程为： 11y a x a ．点 0,0O 代入切线方程可得12a ．……4分(2)设函数 0h x f x f t x t ，ln ln +2h x x x t x t x a ，0x t .ln 1ln 1ln x h x x t x t x.……6分令 0h x ，得：2102x x t t x t t x t x ． h x 在,2t t 上严格递增；在0,2t 上严格递减； h x 的最小值为2t h，即总有： 2t h x h ．……8分而 ln +2ln 22222t t t t h f f t t a f t t a∴ ln 2f x f t x f t t a ．……10分6(3)当1a 时，即证1e ln cos xx x x x，（0x ）由于 cos 1,1x ，故e e cos 1x x x x x，只需证1e ln 1xx x x ，……12分令 1e ln 10xk x x x x x，只需证明 0k x .而 22211e e 111x x x x k x x x x x’，……14分因为0x ，所以1e 0x ，令 '0k x 得：01x ，令 '0k x 得：1x ，所以 k x 在1x 处取得极大值，也是最大值，……16分所以 max 12e<0k x k ，故 0k x 在 0,x 上恒成立，结论得证.……18分。

松江区2020学年度第二学期模拟考质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟）2021.4考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。

3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.已知集合{11},{1,2,3},A x x B =-<=‖∣则A B = ．2.若复数z 满足(1i)2z ⋅+=（i 为虚数单位),则z =．3.已知向量(4,2),(,2)a b k =-= ，若a b ⊥ ，则实数k =．4.在6(2)x +的二项展开式中，3x 项的系数为．（结果用数值表示）5.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111A C B D F = ，若1AF xAB y AD z AA =++ ，则x y z ++=．6.若函数()f x x a =-的反函数的图像经过点(2,1)，则a =．7.已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为．8.因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为．9.已知函数tan 6y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且||1,ω≤则实数ω的值为．10.如图，已知AB 是边长为1的正六边形的一条边，点P 在正六边形内(含边界),则AP BP ⋅ 的取值范围是．11.已知曲线C :2(12)xy x =≤≤,若对于曲线C 上的任意一点(,),P x y 都有()()120,x y c x y c ++++≤则12c c -的最小值为．12.在数列{}n a 中，111233,1,n n a a a a a a +==+⋅⋅ 记n T 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则lim n n T →∞=．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.经过点()1,1，且方向向量为()1,2的直线方程是（）A.210x y --=B.230x y +-=C.210x y -+=D.230x y +-=14.设,αβ表示两个不同的平面，l 表示一条直线，且,l α⊂则//l β是//αβ的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.已知实数a 、b 满足(2)(1)8a b ++=,有结论:①存在0,0a b >>，使得ab 取到最小值；②存在0,0a b <<，使得a b +取到最小值.正确的判断是（)A.①成立，②成立B.①不成立，②不成立C.①成立，②不成立D.①不成立，②成立16.已知函数1()|2|.f x x a x=+-若存在相异的实数12,(,0),x x ∈-∞使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围为（)A.2,2⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭B.(,-∞C.2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D.)+∞三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图,S 是圆雉的顶点,O 是底面圆的圆心,,AB CD 是底面圆的两条直径，且AB CD ⊥,4,2,SO OB P ==为SB 的中点.（1）求异面直线SA 与PD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示);（2）求点S 到平面PCD 的距离.18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数()22(x x f x a a -=+⋅为常数，)a R ∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性;（2）当()f x 为偶函数时，若方程(2)()3f x k f x -⋅=在[0,1]x ∈上有实根，求实数k 的取值范围。

上海市松江区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.函数 lg 2y x 的定义域是．2.在复平面内，复数z 对应点的坐标是 1,2，则i z ．3.4.已知点5.已知7x 6.7.8.9.已知1F 10.11.已知0 的取值范围是．12.某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1,2,3,,30 ，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有种不同的选择方法．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.已知集合04A x x ，2,B x x n n Z ，则A B （）.A 1,2；.B 2,4；.C 0,1,2；.D 0,2,4．14.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x （千克）所需的费用y （角）的情况作了调研，并统计得到右表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为0.70.4y x ，则下列说法错误的是（）.A 变量x 、y 之间呈正相关关系；.B 可以预测当8x 时，y 的值为6；.C 3.9m ；.D 由表格中数据知样本中心点为 3.5,2.85．15.已知某个三角形的三边长为a 、b 及c ，其中a b ．若a 、b 是函数2y ax bx c 的两个零点，则a 的取值范围是（）.A 12．16.设n S ,2k N k ，则12S S ,2k N k ，则12S S .A .C 三、17.设 f x 为 ．（1）（2）， 32f A，求角C ．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PD 平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）设平面ABE 与直线PC 相交于点F ，求证：//EF CD ；（2）若2AB ，60DAB ，PD ，求直线BE 与平面PAD 所成角的大小．19.现有甲、乙、，且每人能否闯（1）（2） E X ；（3）丙第20题图如图，椭圆22:12y x 的上、下焦点分别为1F 、2F ，过上焦点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆于M 、N两点，动点P 、Q 分别在直线MN 与椭圆 上．（1）求线段MN 的长；（2）若线段PQ 的中点在x 轴上，求2F PQ 的面积；（3）是否存在以2F Q 、2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆 上？若存在，求出所有满足条件的点Q 的纵坐标；若不存在，请说明理由．已知函数 ln f x x x a （a 为常数），记 y f x x g x ．（1）若函数 y g x 在1x 处的切线过原点，求实数a 的值．（2）对于正实数t ，求证： ln 2f x f t x f t t a ；（3）当1a 时，求证： e cos xg x x x．上海市松江区2024届高三二模数学试卷-简答1参考答案一、填空题1．(2,)2．2i3．0.24．1225．216．37．58．4910．(1,2)11．10,1212．1540二、选择题13．D14．C15．B16．C三、解答题17．解：（1）2()sin sin222f x x x x1cos 1=sin()2262x x x .……3分因为函数()y f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ，所以2 T ，即22,1T.所以1()sin(62f x x .……6分（2）由3()2f A，得13sin(),sin()16226A A .2(0,)3A A.……9分，由sin sin a b A B ,sin B，化简得sin 2 B 所以角4 B .……12分所以角23412C .……14分218．解：（1）因为底面ABCD 为菱形，所以//CD AB ，解法2：如图建系，由题可得：2AC BD ，则A， 0,1,0B ， 0,1,0D ， 0,1,P ， 0,1,E ，……8分所以 0,2,BE ， DA， 0,0,DP，设平面PAD 的法向量为 ,,z n x y，由00n DA n DP，得00y ，解得0y z，取1x ，可得平面PAD 的一个法向量为n.……12分设直线BE 与平面PAD 所成角的大小为090，x yzO3则1sin cos 22n BE n BE，解得30 ,所以，直线BE 与平面PAD 所成角的大小为30 .……14分19．解：（1）设“计划依次派出甲乙丙进行闯关，该小组比赛胜利”为事件A ， 甲乙丙各自闯关成功的概率分别为134p ，223p ，312p ，每人能否闯关成功相互独立，解法1： 3323212311144343224P A解法2： P A 123111231(1)(1)(1)143224p p p ．……4分（2）按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，所需派出的人员数目X 的可能取值是1、2、3，11P X p ， 1221P X p p ， 12311P X p p ，所以X 的分布是： 11212123111p p p p p，……7分所以 1121212122(1)3(1)(1)23E X p p p p p p p p p ．……10分（3）若先派丙，再派乙，最后派甲，所需派出的人员数目Y 的分布是： 33232123111p p p p p，则 323223E Y p p p p ，所以 121232322323E X E Y p p p p p p p p ，21313213220p p p p p p p p ……13分所以先派甲，再派乙，最后派丙时，派出的人员数目的数学期望较小．……14分4521.(1)因为 ln +g x x x ，所以 22'g x x x x ，所以 '11g a ．……2分又因为 1ln11a g a ，所以 g x 在1x 处的切线方程为： 11y a x a ．点 0,0O 代入切线方程可得12a ．……4分(2)设函数 0h x f x f t x t ，ln ln +2h x x x t x t x a ，0x t .ln 1ln 1ln x h x x t x t x.……6分令 0h x ，得：2102x x t t x t t x t x ． h x 在,2t t 上严格递增；在0,2t 上严格递减； h x 的最小值为2t h，即总有： 2t h x h ．……8分而 ln +2ln 22222t t t t h f f t t a f t t a∴ ln 2f x f t x f t t a ．……10分6(3)当1a 时，即证1e ln cos xx x x x，（0x ）由于 cos 1,1x ，故e e cos 1x x x x x，只需证1e ln 1xx x x ，……12分令 1e ln 10xk x x x x x，只需证明 0k x .而 22211e e 111x x x x k x x x x x’，……14分因为0x ，所以1e 0x ，令 '0k x 得：01x ，令 '0k x 得：1x ，所以 k x 在1x 处取得极大值，也是最大值，……16分所以 max 12e<0k x k ，故 0k x 在 0,x 上恒成立，结论得证.……18分。

高三数学 第1页 共10页松江区2020学年度第二学期模拟考质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟） 2021．4考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。

3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．已知集合{11}A x x =-<，{1,2,3}B =，则AB = ▲ ．2．若复数z 满足(1i)2z ⋅+=（i 为虚数单位），则z = ▲ ． 3．已知向量(4,2)a =-，(,2)b k =，若a b ⊥，则实数k = ▲ ． 4．在6(2)x +的二项展开式中，3x 项的系数为 ▲ ．（结果用数值表示） 5．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111AC B D F =，若1AF xAB y AD z AA =++ ，则x y z ++= ▲ ． 6．若函数()f x x a =-的反函数的图像经过点(2,1)，则a = ▲ ．7．已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为 ▲ ．8．因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为 ▲ ． 9．已知函数tan()6y x πω=+的图像关于点(,0)3π对称，且1ω≤，则实数ω的值为▲ ．10．如图，已知AB 是边长为1的正六边形的一条边，点P 在正六边形内（含边界），则AP BP ⋅的取值范围是 ▲ ． 11．已知曲线C ：2(12)xy x =≤≤，若对于曲线C 上的任意一点(,)P x y ，都有12()()0x y c x y c ++++≤，则12c c -的最小值为 ▲ ．AFA 1DBC B 11D 1高三数学 第2页 共10页12．在数列{}n a 中，13a =，11231n n a a a a a +=+⋅⋅⋅，记n T 为数列1{}na 的前n 项和，则lim n n T →∞= ▲ ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．13．经过点(1,1)，且方向向量为(1,2)的直线方程是（ ）A ． 210x y --=B ． 230x y +-=C ． 210x y -+=D ． 230x y +-= 14．设α，β表示两个不同的平面，l 表示一条直线，且l α⊂，则//l β是//αβ的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 15．已知实数a 、b 满足(2)(1)8a b ++=，有结论： ① 当0,0a b >>时，ab 存在最大值；② 当0,0a b <<时，a b +存在最小值． 正确的判断是（ ） A ． ①成立，②成立 B ． ①不成立，②不成立 C ． ①成立，②不成立 D ． ①不成立，②成立 16．已知函数1()2f x x a x=+-．若存在相异的实数12,(,0)x x ∈-∞，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ． 2(,2-∞-B ． (,2)-∞C ． 2,)2+∞ D ． 2,)+∞ 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分如图，S 是圆锥的顶点，O 是底面圆的圆心，AB 、CD 是底面圆的两条直径，且AB CD ⊥，4,2SO OB ==，P 为SB 的中点．（1）求异面直线SA 与PD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求点S 到平面PCD 的距离．ADCOPS高三数学 第3页 共10页18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知函数()22xxf x a -=+⋅（a 为常数，a R ∈）． （1）讨论函数()f x 的奇偶性；（2）当()f x 为偶函数时，若方程(2)()3f x k f x -⋅=在[0,1]x ∈上有实根，求实数k 的取值范围．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB 分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花．已知扇形的半径为100米，圆心角为23π，点P 在扇形的弧上，点Q 在OB 上，且//PQ OA ． （1）当Q 是OB 的中点时，求PQ 的长；（精确到米）（2）已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米．要使郁金香种植区OPQ ∆的面积尽可能的大，求OPQ ∆面积的最大值，并求此时扇形区域AOB 种植花卉的总成本．（精确到元）ABPQ O玫瑰花区郁金香区菊花区高三数学 第4页 共10页20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 交抛物线于不同的A 、B 两点． （1）若直线l 的方程为1y x =-，求线段AB 的长；（2）若直线l 经过点(1,0)P -，点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：A '、F 、B 三点共线； （3）若直线l 经过点(8,4)M -，抛物线上是否存在定点N ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于至少有四项的实数列{}n a ，若对任意的n *(,3)n N n ∈≥，都存在s 、t (其中*,,,,)s t s t N s n t n ≠∈<<，使得n s t a a a =-成立，则称数列{}n a 具有性质P ．（1）分别判断数列1,2,3,4和数列1,0,1,2-是否具有性质P ，请说明理由；（2）已知数列{}n a 是公差为(0)d d >的等差数列，若sin n n b a =，且数列{}n a 和{}n b 都具有性质P ，求公差d 的最小值；（3）已知数列||n c n a b =--（其中a b ≠，*∈N b a ,），试探求数列{}n c 具有性质P 的充要条件．高三数学 第5页 共10页2021.4松江区高三数学二模试卷参考答案一、填空题1． {1} ； 2．1i -；3． 1 ； 4． 160；5． 2； 6．3-； 7．:4π； 8． 3742 ；9．12-或1 ；10．1[,3]4-； 11．322-12．23 二、选择题13．A 14．B 15．C 16．B17．解：（1）连接OP ，∵ P 为SB 的中点，∴OP 为ABS ∆的中位线，∴//SA OP ．∴OPD ∠即为异面直线SA 与PD 所成角．……2分∵AB CD ⊥，SO CD ⊥∴CD ⊥平面SOB ，而OP 在平面SOB 内，∴CD OP ⊥． …………4分 在直角三角形OPD 中，2OD =，22111245222OP SA SB ===+=，…………5分 ∴25tan 5OD OPD OP ∠===，25arctan OPD ∠=， 异面直线SA 与PD 所成的角为25arctan． …………7分 （2）以O 为坐标原点，OD 、OB 为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,4),(0,1,2),(2,0,0)S P D ， …………9分 设平面PCD 的一个法向量为(,,)n u v w = 由0n OP n OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020v w u +=⎧⎨=⎩，所以02u v w =⎧⎨=-⎩， …………12分不妨取(0,2,1)n =-则点S 到平面PCD 的距离4555n OS d n⋅===…………14分高三数学 第6页 共10页18.解：（1）()22x xf x a --=+⋅ ………………1分当()f x 为偶函数时，由()()f x f x -= 得 2222x x x xa a --+⋅=+⋅ ………………2分∵ 对任意的x ， (1)2(1)2x xa a --=- 恒成立，∴ 10,1a a -== ………………4分当()f x 为奇函数时，由()()f x f x -=- 得 2222x x x x a a --+⋅=--⋅………………5分∵ 对任意的x ， (1)(22)0x xa -++= 恒成立，∴ 10,1a a +==- ………………6分 ∴1a =时，()f x 为偶函数；1a =-时，()f x 为奇函数；1a ≠±时，()f x 为非奇非偶函数； ………………7分（2）由已知，xx x f -+=22)(，令22x x t -=+，则由[0,1]x ∈ 知5[2,]2t ∈……8分则222)2(222-=+=-t x f xx 方程3)()2(=-x kf x f 化为3)2(2=--kt t ，所以t t k 5-=…………10分由于xx y 5-=在),0(+∞上递增 …………11分 2=∴t 时，21252min -=-=k ， …………12分25=t 时，21225min =-=k…………13分]21,21[-∈∴k 时，方程3)()2(=-x kf x f 有解 …………14分19.解：（1）因为扇形的半径为100M ，Q 是OB 中点，所以50OQ =， …………1分因为PQ OA ，23AOB π∠=， 所以3OQP π∠=， …………2分 在OPQ ∆中，由余弦定理，得：2222cos OP OQ PQ OQ PQ OQP =+-⋅⋅∠…………4分 即：25075000PQ PQ --=，所以252513115PQ =+（米） ………………6分 （2）法一：设,OQ x PQ y ==，在OPQ ∆中，由余弦定理，得：2222cos OP OQ PQ OQ PQ OQP =+-⋅⋅∠ 即：2210000x y xy +-= …………8分 由基本不等式得：22x y xy xy +-≥，所以10000xy ≤高三数学 第7页 共10页而1sin 2OPQ S OQ PQ OQP ∆=⋅⋅∠=≤ 当且仅当100x y ==时，OPQ ∆的面积的最大值为， ……………………10分 此时OPQ ∆为正三角形，3QOP π∠=，则3AOP π∠=． ……………………11分 所以21500023AOP S AOP OA π∆=∠⋅=扇，OPQ S ∆=50003BPQ S S S S π∆=--=-OPQ 扇AOB 扇AOP……………………12分种植花卉总投入为：2500003050203917033BPQ S S S π∆⋅+⋅+⋅=+OPQ 扇AOP （元） 所以，郁金香的种植区OPQ ∆的面积最大值为平方米，扇形区域AOB 的种植花卉的总投入为391703（元） ……………………14分 20.解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．（1）联立241y x y x ⎧=⎨=-⎩得：2610x x -+=． ……………………2分由韦达定理：126x x +=．易知直线l 经过抛物线的焦点(1,0)F ，由准线1x =-得：1212||||||(1)(1)28AB OA OB x x x x =+=+++=++=． ……………………4分（2）证明：设直线l 的方程为(1)y k x =+， ……………………5分 联立方程组2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，消去y 可得：2222(24)0k x k x k +-+=，……………………6分设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则1(S x ，1)y -，212242k x x k -+=，121x x =， ……………………7分221FQ y k x ∴=-，111FS y k x -=-，21211212211212(1)(1)(1)(1)2(1)011(1)(1)(1)(1)FQ FS y y k x x k x x k x x k k x x x x x x +-++--∴-=+===------，……9分高三数学 第8页 共10页FQ FS k k ∴=，即S ，F ，Q 三点共线． ……………………10分（3）假设存在定点N ，设20(4y N ，0)y ， 221212(,),(,)44y y A y B y ，………11分设直线l 的方程为：(4)8x m y =++联立24(4)8y x x m y ⎧=⎨=++⎩，整理得2416320y my m ---=，△0>，12124,1632y y m y y m +=⋅=--， ……………………13分由以弦AB 为直径的圆恒过点N ，知0NA NB ⋅=得：222201020102()()044y y y y y y y y --⋅+--=……………………14分 整理得：2001212()160y y y y y y +⋅++⋅+=所以，200416160y y m m +⋅--= 即：200(416)160y m y -⋅+-=对m R ∈恒成立。

上海市嘉定区2021届高三数学下学期第二次质量调研测试（二模）试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合{2,4,6,8},{1,2,3}A B ==，则A B =∩______．2．线性方程组2538x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为_________．3．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积等于_______． 4．在5(2)x -的二项展开式中，3x 项的系数为_______．5．若实数,x y 满足0120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为_______．6．已知球的主视图的面积是π，则该球的体积等于_________．7．设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为123,1,6n S a a a =+=，则6S =______． 8．已知函数()2log a f x x =+（0a >且1a ≠）的反函数为1()y f x -=．若1(3)2f -=，则a =_____．9．设2,90z z ∈+=C ，则|4|z -=________．10．从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是_______（结果用数值表示）．11．设P 是双曲线2218y x -=的动点，直线3cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与圆22(3)1x y -+=相交于A B 、两点，则PA PB ⋅的最小值是_________．12．在ABC 中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若222sin a b c A ++=，则A =______． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知x ∈R ，则“1x >”是“|2|1x -<”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 14．下列函数中，既是(0,)+∞上的增函数，又是偶函数的是（ ）．A ．1y x=B ．2xy = C ．1||y x =- D ．lg ||y x = 15．如图，若正方体1111ABCD A B C D -的侧面11BCC B 内动点P 到棱11A B 的距离等于它到棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为（ ）．A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．若对任意的*n ∈N ，都有13[,]n nS s t S -∈，则t s -的最小值为（ ）． A ．23 B ．94 C ．12 D ．16三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，边长为3，5PC =，PD ⊥底面ABCD ．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求异面直线AD 与BP 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设常数a ∈R，函数2()2cos f x x a x =+．（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若36f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求方程()2f x =在区间[0,]π上的解． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员()*x x ∈N户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高2%x ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为92(0)50a x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元．（1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a 的最大值．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>过点(0,2)P ，且它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同．直线l 过点(1,0)Q ，且与椭圆Γ相交于A B 、两点． （1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 的一个方向向量为(1,2)d =，求OAB 的面积（其中O 为坐标原点）；（3）试问：在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知m 为正整数，各项均为正整数的数列{}n a 满足：1, 2,nn n n n a a a a m a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若18,2a m ==，求7S 的值； （2）若35,25m S ==，求1a 的值；（3）若11,a m =为奇数，求证：“1n a m +>”的充要条件是“n a 为奇数”．嘉定区2021学年第二学期高三年级质量检测卷检测（2021.5.19）一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．解析：{2}．2．解析：125318-⎛⎫ ⎪⎝⎭．3．解析：2124S ππ=⋅⋅=．4．解析：515()(2)r r r r T C x -+=-，故3x 的系数为225(2)40C -=．5．解析：max 213Z =+=．6．解析：3244133r S r r V ππππ==⇒=⇒==． 7．解析：由()6261126(0)26312q q q q S -+=>⇒=⇒==-．8．解析：1(3)2(2)332log 22a f f a -=⇒=⇒=+⇒=．9．解析：由2903z z i +=⇒=±，则|4||34|5z i -=±-=．10．解析：33438247C P C ⋅==． 11．解析：设圆心为(3,1)O ，并且直线过O ，则22222()()1213PA PB PO OA PO OB PO OA PO ⋅=+⋅+=-=-≥-=．12．解析：()22222222cos sin a b c b c bc A b c A ++=+-++=⇒222sin 6bc A b c π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，而222sin 2sin 1sin 16663bc A b c bc A A A ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+≥⇒+≥⇒+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．解析：|2|113x x -<⇒<<，故为必要非充分条件，此题选B ． 14．解析：D ．15．解析：P 到棱11A B 的距离即P 到1B 的距离．即点P 到定直线和定点距离相等（注意：点不在直线上）轨迹为抛物线，故此题选C ．16．解析：111313464636232n n n n n n n n n S a S S S S S S S ---⎛⎫⎛⎫=+⇒=+-⇒=-⇒-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1311223n n S -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．若n 为奇数，3,22n S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；若n 为偶数，43,32n S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．而13n n f S S =-是关于n S 的单调递增函数，并且41334f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11(2)2f =，故t s -最小值是11139244-=，故此题选B ．三、解答题（本大题共5题，共141414161876++++=分）17．解析：（1）易得四棱锥的高为4，所以体积为2134123V =⨯⨯=． （2）PBC ∠即为所求角，且55tan arctan 33PBC PBC ∠=⇒∠=．18．解析：（1）当()f x 为奇函数时，必有(0)00f a =⇒=．（2）233cos 3263624a f a a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⇒=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2()22cos 2cos212sin 216f x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，由1()2sin 2226266f x x x k ππππ⎛⎫=⇒+=⇒+=+ ⎪⎝⎭或52266x k πππ+=+， x k π⇒=或()3x k k Z ππ=+∈，所以在区间[0,]π上的解为0,,3x ππ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭． 19．解析：（1）(100)2(12%)200050x x x -⨯+≥⇒≤≤．（2）即92(100)2(12%)50x a x x x ⎛⎫-≤-⨯+ ⎪⎝⎭恒成立，其中050x ≤≤，即1004125xa x ≤++恒成立，又因为100411925x x ++≥=，当且仅当25x =时等号成立，所以max 9a =．20．解析：（1）2b c a ==⇒=22184x y +=． （2）:22l y x =-，将直线与椭圆联立得1614,99A ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,2)B -，故 1161416(2)02999ABCS=⨯--⨯=． （3）当直线斜率不为0时，设：:1l x my =+，(,0)M a ，()11,A x y ，()22,B x y ，将l 与椭圆联立得()222270my my ++-=，()()1212MA MB x a x a y y ⋅=--+()()()2222121222721(1)(1)1(1)(1)22mm y y a m y y a m a m a m m --=++-++-=+⋅+-⋅+-++ ()222282452m a a a m -+--=+，由于该式为定值，故()2211282454a a a a -=--⇒=，定值为716．当直线斜率为0时，A ，(B -，111174416MA MB ⎛⎫⎛⎫⋅=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 综上，定点11,04M ⎛⎫⎪⎝⎭，定值716．21．解析：（1）18a =，2m =，则前7项为8，4，2，1，3，5，7，故730S =． （2）设k 是整数．①若121a k =-，23242a k a k =+=+．则12355254a a a k k ++=+=⇒= 此时17a =．②若14a k =，22a k =，3a k =，则123725a a a k ++==，此时k 不存在．③若142a k =-，221a k =-，324a k =+，则12381253a a a k k ++=+=⇒=，此时110a =．故17a =或110a =．（3）充分性：若n a 为奇数，则1n n a a m m +=+>；必要性：先利用数学归纳法证：n a m ≤（n a 为奇数）；2n a m ≤（n a 为偶数）． ①11a m =≤，212a m m =+≤，312ma m +=≤成立； ②假设n k =时，k a m ≤（k a 为奇数）；2k a m ≤（k a 为偶数）． ③当1n k =+时，当k a 是偶数，12kk a a m +=≤；当k a 是奇数，12k k a a m m +=+≤，此时1k a +是偶数． 综上，由数学归纳法得n a m ≤（n a 为奇数）；2n a m ≤（n a 为偶数）．从而若1n a m +>时，必有1n a +是偶数．进而若n a 是偶数，则122n n a a m +=>矛盾，故n a 只能为奇数．。

松江区2020学年度第二学期模拟考质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟）2021.4考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。

3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.已知集合{11},{1,2,3},A x x B =-<=‖∣则A B = ．2.若复数z 满足(1i)2z ⋅+=（i 为虚数单位),则z =．3.已知向量(4,2),(,2)a b k =-= ，若a b ⊥ ，则实数k =．4.在6(2)x +的二项展开式中，3x 项的系数为．（结果用数值表示）5.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111A C B D F = ，若1AF xAB y AD z AA =++ ，则x y z ++=．6.若函数()f x x a =-的反函数的图像经过点(2,1)，则a =．7.已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为．8.因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为．9.已知函数tan 6y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且||1,ω≤则实数ω的值为．10.如图，已知AB 是边长为1的正六边形的一条边，点P 在正六边形内(含边界),则AP BP ⋅ 的取值范围是．11.已知曲线C :2(12)xy x =≤≤,若对于曲线C 上的任意一点(,),P x y 都有()()120,x y c x y c ++++≤则12c c -的最小值为．12.在数列{}n a 中，111233,1,n n a a a a a a +==+⋅⋅ 记n T 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则lim n n T →∞=．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.经过点()1,1，且方向向量为()1,2的直线方程是（）A.210x y --=B.230x y +-=C.210x y -+=D.230x y +-=14.设,αβ表示两个不同的平面，l 表示一条直线，且,l α⊂则//l β是//αβ的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.已知实数a 、b 满足(2)(1)8a b ++=,有结论:①存在0,0a b >>，使得ab 取到最小值；②存在0,0a b <<，使得a b +取到最小值.正确的判断是（)A.①成立，②成立B.①不成立，②不成立C.①成立，②不成立D.①不成立，②成立16.已知函数1()|2|.f x x a x=+-若存在相异的实数12,(,0),x x ∈-∞使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围为（)A.2,2⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭B.(,-∞C.2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D.)+∞三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图,S 是圆雉的顶点,O 是底面圆的圆心,,AB CD 是底面圆的两条直径，且AB CD ⊥,4,2,SO OB P ==为SB 的中点.（1）求异面直线SA 与PD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示);（2）求点S 到平面PCD 的距离.18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数()22(x x f x a a -=+⋅为常数，)a R ∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性;（2）当()f x 为偶函数时，若方程(2)()3f x k f x -⋅=在[0,1]x ∈上有实根，求实数k 的取值范围。

2021届上海市松江区高三下学期高考二模考试数学数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、填空题（共12小题）.1．已知集合A＝{x||x﹣1|＜1}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝{1} ．解：∵集合A＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|﹣1＜x﹣1＜1}＝{x|0＜x＜2}，B＝{1，2，3}，∴A∩B＝{1}．故答案为：{1}．2．若复数z满足z•（1+i）＝2（i为虚数单位），则z＝1﹣i．解：因为z•（1+i）＝2，所以．故答案为：1﹣i．3．已知向量＝（4，﹣2），＝（k，2），若⊥，则实数k＝ 1 ．解：∵＝（4，﹣2），＝（k，2），且，∴，解得k＝1．故答案为：1．4．在（x+2）6的二项展开式中，x3项的系数为160 （结果用数值表示）．解：展开式中含x3的项为C＝20×8x3＝160x3，所以x3项的系数为160，故答案为：160．5．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1＝F，若＝x+y+z，则x+y+z ＝ 2 ．解：因为＝＝＝，又＝x+y+z，所以，则x+y+z＝2．故答案为：2．6．若函数f（x）＝的反函数的图象经过点（2，1），则a＝﹣3 ．解：根据反函数的定义可知，函数f（x）＝的反函数的图象经过点（2，1），则函数f（x）经过点（1，2），所以，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．7．已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为π：4．．解：设下正方体的棱长为a，圆柱的底面半径为r，由圆柱和正方体的侧面积公式可知，圆柱侧面积＝2πra，正方体的侧面积＝4a2，∵它们的侧面积相等，∴2πra＝4a2，∴r＝；∴正方体与圆柱的体积比是：＝＝π：4．故答案为：π：4．8．因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为．解：某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，基本事件总数n＝＝84，选派的三人中至少有1名女医生包含的基本事件总数m＝＝74，∴选派的三人中至少有1名女医生的概率P＝＝＝．故答案为：．9．已知函数y＝tan（ωx+）的图象关于点（，0）对称，且|ω|≤1，则实数ω的值为﹣或1 ．解：∵函数y＝tan（ωx+）的图象关于点（，0）对称，且|ω|≤1，∴ω×+＝kπ，k∈Z，或ω×+＝kπ+，k∈Z则令k＝0，可得实数ω＝﹣或ω＝1，故答案为：﹣或1．10．如图，已知AB是边长为1的正六边形的一条边，点P在正六边形内（含边界），则•的取值范围是[] ．解：如图，取AB的中点O，由已知得，则，＝．故＝＝．如图，以O为圆心，OT（T为边AB的对边NM的中点）为半径作圆，由正六边形的性质可知，该圆与边NM相切于点T，且故P点为M或N点时，PO最大，且此时OT＝2×．所以OP max＝＝，当P与O重合时，PO＝0最小．故．故答案为：．11．已知曲线C：xy＝2（1≤x≤2），若对于曲线C上的任意一点P（x，y），都有（x+y+c1）（x+y+c2）≤0，则|c1﹣c2|的最小值为3﹣2．解：∵xy＝2（1≤x≤2），∴y＝，（1≤x≤2），则x+y＝x+，设f（x）＝x+，则f（x）在（1，]上递减，则[，2）上递增，则当x＝时，f（x）最小为f（x）＝＝2，当x＝1时，f（x）＝1+2＝3，当x＝2时，f（x）＝2+1＝3，即f（x）的最大值为3，则2≤f（x）≤3，不妨设c1≤c2，则由（x+y+c1）（x+y+c2）≤0得x+y+c1≤0，且x+y+c2≥0，即c1≤﹣（x+y）＝﹣f（x），且c2≥﹣x﹣y＝﹣f（x），∵2≤f（x）≤3，∴﹣3≤f（x）≤﹣2，则c1≤﹣3，c2≥﹣2，则|c1﹣c2|的最小值为|﹣3﹣（﹣2）|＝3﹣2，故答案为：3﹣2．12．在数列{a n}中，a1＝3，a n+1＝1+a1•a2•a3•…•a n，记T n为数列{}的前n项和，则T n＝．解：a n+1＝1+a1•a2•a3•…•a n，可得a n＝1+a1•a2•a3•…•a n﹣1，（n≥2），又a n+1﹣1＝a1•a2•a3•…•a n，a n﹣1+a1•a2•a3•…•a n﹣1，两式相除可得＝a n，即a n+1﹣1＝a n（a n﹣1），则＝＝﹣，即有＝﹣，n≥2，所以T n＝+﹣+﹣+…+﹣＝+﹣＝﹣，由a1＞1，a n+1＝1+a1•a2•a3•…•a n，可得a n＞1，且{a n}为递增数列，当n→+∞时，a n→+∞，则→0，即有→0，所以T n＝（﹣）＝．故答案为：．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．经过点（1，1），且方向向量为（1，2）的直线方程是（）A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣3＝0 C．x﹣2y+1＝0 D．x+2y﹣3＝0解：由于直线的方向向量为（1，2），故直线的斜率为＝2，故直线的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即 2x﹣y﹣1＝0，故选：A．14．设α、β表示两个不同的平面，l表示一条直线，且l⊂α，则l∥β是α∥β的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：由l⊂α，α∥β⇒l∥β，反之不成立，可能α∥β或α与β相交．∴l∥β是α∥β的必要不充分条件，故选：B．15．已知实数a、b满足（a+2）（b+1）＝8，有结论：①存在a＞0，b＞0，使得ab取到最大值；②存在a＜0，b＜0，使得a+b取到最小值；正确的判断是（）A．①成立，②成立B．①不成立，②不成立C．①成立，②不成立D．①不成立，②成立解：因为（a+2）（b+1）＝8，所以ab＝6﹣（a+2b），①a＞0，b＞0，a+2b＝（a+2）+（2b+2）﹣4≥2﹣4＝4，当且2＝2b时取等号，所以6﹣ab≥4，解得ab≤2，即ab取到最大值2；①正确；②a＜0，b＜0，当a+2＞0时，a+b＝a+﹣1＝a+2+﹣3＝4，当且仅当a+2＝时取等号，此时a＝2不符合a＜0，不满足题意；当a+2＜0时，a+b＝a+﹣1＝a+2+﹣3＝﹣[﹣（a+2）﹣]﹣3，此时取得最大值，没有最小值，②错误．故选：C．16．已知函数f（x）＝+|2x﹣a|，若存在相异的实数x1，x2∈（﹣∞，0），使得f（x1）＝f（x）成立，则实数a的取值范围为（）2A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）C．（，+∞）D．（，+∞）解：函数f（x）＝+|2x﹣a|＝，①当a＝0，x＜0时，f（x）＝﹣2x，f′（x）＝﹣﹣2＜0，f（x）在（﹣∞，0）递减，不成立，舍去；②当a＞0，x＜0时，则f（x）＝﹣2x+a，f′（x）＝﹣﹣2＜0，f（x）在（﹣∞，0）递减，不成立，舍去；③当a＜0，x＜0时，f（x）＝，当x＜时，f′（x）＝﹣﹣2＜0，f（x）在（﹣∞，0）递减；当≤x＜0时，f′（x）＝2﹣，由f′（x）＝0，可得x＝±，当a≥﹣，即≥﹣时，x∈[，0），则f′（x）≤0恒成立，当a＜﹣，即＜﹣时，x∈[，0），则f′（x）在（，﹣）单调递增，在（﹣，0）单调递减．则对于任意x0∈（，﹣），f（x0）＞f（），则满足题意．存在相异的实数x1，x2∈（﹣∞，0），使得f（x1）＝f（x2）成立，此时a＜﹣，故选：B．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．如图，S是圆锥的顶点，O是底面圆的圆心，AB、CD是底面圆的两条直径，且AB⊥CD，SO ＝4，OB＝2，P为SB的中点．（1）求异面直线SA与PD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点S到平面PCD的距离．解：（1）连接PO，则PO∥SA，所以∠DPO为异面直线SA与PD所成角，因为CD⊥AB，CD⊥SO，又AB∩SO＝O，所以CD⊥平面SOB，又PO⊂平面SOB，所以CD⊥PO，在Rt△DOP中，OD＝OB＝2，OP＝SA＝＝，tan∠DPO＝＝＝，所以异面直线SA与PD所成角大小为arctan．（2）以O为原点，OA，OD，OS为x，y，z轴，如图所示：所以O（0，0，0），D（0，2，0），P（1，0，2），S（0，0，4），＝（1，0，﹣2），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣2），设平面PCD的法向量为＝（x，y，z），因为，即，令z＝1，x＝﹣2，y＝0，所以＝（﹣2，0，1），•＝（﹣2，0，1）•（1，0，﹣2）＝﹣4，所以点S到平面PCD的距离d＝＝＝．18．已知函数f（x）＝2x+a•2﹣x（a为常数，a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性；（2）当f（x）为偶函数时，若方程f（2x）﹣k•f（x）＝3在x∈[0，1]上有实根，求实数k的取值范围．解：（1）∵函数f（x）＝2x+a•2﹣x的定义域为x∈R，又∵f（﹣x）＝2﹣x+a•2x∴①当f（﹣x）＝f（x）时，即2﹣x+a•2x＝2x+a•2﹣x时，可得a＝1即当a＝1时，函数f（x）为偶函数；②当f（﹣x）＝﹣f（x）时，即2﹣x+a•2x＝﹣（2x+a•2﹣x）＝﹣2x﹣a•2﹣x时，可得a＝﹣1即当a＝﹣1时，函数f（x）为奇函数．（2）由（1）可得，当函数f（x）为偶函数时，a＝1，即f（x）＝2x+2﹣x时，f（2x）＝22x+2﹣2x＝（2x+2﹣x）2﹣2由题可得，（2x+2﹣x）2﹣2﹣k（2x+2﹣x）＝3⇔（2x+2﹣x）2﹣k（2x+2﹣x）﹣5＝0令t＝2x+2﹣x，则有t2﹣kt﹣5＝0⇒t＝∵x∈[0，1]∴又∵，当且仅当⇒x＝0时，等号成立根据对勾函数的性质可知，，即①⇒⇒k2+20≤k2﹣8k+16⇒⇒⇒k2+20≥k2﹣10k+25⇒此时k的取值不存在；②⇒⇒k2+20≥k2﹣8k+16⇒⇒⇒k2+20≤k2﹣10k+25⇒此时，可得k的取值为综上可得19．为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半径为100米，圆心角为π，点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且PQ∥OA．（1）当Q是OB的中点时，求PQ的长；（精确到米）（2）已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，要使郁金香种植区△OPQ的面积尽可能的大，求△OPQ面积的最大值，并求此时扇形区域AOB种植花卉的总成本．（精确到元）解：（1）扇形的半径为100米＝1百米，当Q时OB的中点时，OQ＝，∠PQO＝，OP＝1，在△OPQ中，由余弦定理可得，，解得PQ＝≈1.15，所以Q是OB的中点时，PQ的长约为115米；（2）在△OPQ中，由正弦定理可得，，所以，所以△OPQ的面积为＝，故当，即时，△OPQ的面积最大为（百米2）＝，当时，PQ＝OP＝1，故扇形AOP的面积为（百米2）＝m2，扇形AOB的面积为S大＝（百米2）＝，所以区域BQP的面积为S2＝S大﹣S﹣S1＝﹣﹣＝﹣（m2），因为种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，所以此时扇形区域AOB种植花卉的总成本为30×+50×+20×（﹣）≈531403元．20．（16分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l交抛物线于不同的A、B两点．（1）若直线l的方程为y＝x﹣1，求线段AB的长；（2）若直线l经过点P（﹣1，0），点A关于x轴的对称点为A′，求证：A′、F、B三点共线；（3）若直线l经过点M（8，﹣4），抛物线上是否存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x2﹣6x+1＝0，所以x1+x2＝6，因为抛物线的方程为y2＝4x，所以抛物线的焦点F（1，0），又直线l：y＝x﹣1过抛物线的焦点F（1，0），所以由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+P＝6+2＝8．（2）证明：设直线l的方程为y＝k（x+1），A′（x1，﹣y1），B（x2，y2），联立，得k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，所以x1x2＝1，即x2＝，直线A′F的斜率为k A′F＝＝，直线BF的斜率为k BF＝＝＝＝﹣，所以k A′F＝k BF，所以A′、F、B三点共线．（3）假设存在点N（，y0）使以弦AB为直径的圆恒过点N，设过点M（8，﹣4）直线l的方程为x＝m（y+4）+8，联立，得y2﹣4my﹣16m﹣32＝0，设A（，y1），B（，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣16m﹣32，因为点N总在以弦AB为直径的圆上，所以∠ANB＝90°，所以•＝0，又＝（﹣，y1﹣y0），＝（﹣，y2﹣y0），所以（﹣）（﹣）+（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝0，所以（y1﹣y0）（y2﹣y0）[+1]＝0，当y1＝y0或y2＝y0，等式成立，当y1＝≠0或y2≠y0，有（y1+y0）（y2+y0）＝﹣16，所以y1y2+y0（y1+y2）+y02+16＝0，则y02﹣4my0﹣16m﹣16＝0，即4m（y0﹣4）+（y0﹣4）（y0+4）＝0，所以当y0＝4时，无论m取何值等式都成立，将y0＝4代入y2＝4x，得x0＝4，所以存在点N（4，4）使得以弦AB为直径的圆恒过点N．21．（18分）对于至少有三项的实数列{a n}，若对任意的n（n∈N*，n≥3），都存在s、t（其中s≠t，s，t∈N*，s＜n，t＜n），使得a n＝a s﹣a t成立，则称数列{a n}具有性质P．（1）分别判断数列1，2，3，4和数列﹣1，0，1，2是否具有性质P，请说明理由；（2）已知数列{a n}是公差为d（d＞0）的等差数列，若b n＝sin a n，且数列{a n}和{b n}都具有性质P，求公差d的最小值；＝|n﹣a|﹣b（其中a≠b，a，b∈N*），试探求数列{c n}具有性质P的充（3）已知数列cn要条件．解：（1）数列1，2，3，4不具有性质P，理由如下：当n＝4时，a n＝4，不存在s、t（其中s≠t，s，t∈N*，s＜n，t＜n），使得a n＝a s﹣a t 成立，所以数列1，2，3，4不具有性质P，数列﹣1，0，1，2具有性质P，理由如下：若a n＝1，a s＝0，a t＝﹣1，则满足a n＝a s﹣a t，若a n＝2，a s＝1，a t＝﹣1，则满足a n＝a s﹣a t，所以数列﹣1，0，1，2具有性质P．（2）∵{a n}的公差为d，b n＝sin a n，∴，∴b s﹣b t＝sin（a s﹣a t），要使d最小，∴sin a s•sin a t＝sin（a s﹣a t）＝sin a s cos a t﹣cos a t sin a t，∴，∴a t＝2tπ，a s＝2sπ，又∵d＝＝＝2π，∴d min＝2π．（3）∵数列cn＝|n﹣a|﹣b且具有性质P，∴cn ＝cs﹣ct，∴|n﹣a|﹣b＝|s﹣a|﹣b﹣（|t﹣a|﹣b），∴b＝|n﹣a|﹣|s﹣a|+|t﹣a|（充分性成立），又由b＝|n﹣a|﹣|s﹣a|+|t﹣a|可得|n﹣a|﹣b＝|s﹣a|﹣b﹣（|t﹣a|﹣b），即cn ＝cs﹣ct（必要性成立），∴数列{cn}具有性质P的充要条件是b＝|n﹣a|﹣|s﹣a|+|t﹣a|．。

上海市松江区2021届新高考数学二月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）A ．3()3x f x x=-B ．e e ()x xf x x --= C ．2()f x x x =-D ．||e ()xf x x=【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可知，函数()f x 为奇函数，以及函数在()0,∞+上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出． 【详解】首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，e e ()x xf x x--=为偶函数，不符合题意，排除B ；其次，在剩下的3个选项,对其在()0,∞+上的零点个数进行判断, ||e ()xf x x=在()0,∞+上无零点, 不符合题意，排除D ；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 2()f x x x=-在()0,∞+上单调递减, 不符合题意，排除C. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题． 2．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．6【答案】A 【解析】 【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r ，即r＝.答案：A 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.3．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．24D ．23【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以211d k =≤+，解得22k ≤≤所以相交的概率22224P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题. 4．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ） A ．()lg 1y x =+ B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =【答案】B 【解析】 【分析】分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果. 【详解】对于A ，()lg 1y x =+图象如下图所示：则函数()lg 1y x =+在定义域上不单调，A 错误； 对于B ，12y x x ==的图象如下图所示：则y x =在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞，B 正确；对于C ，2xy =的图象如下图所示：则函数2xy =单调递增，但值域为()0,∞+，C 错误；对于D ，ln y x =的图象如下图所示：则函数ln y x =在定义域上不单调，D 错误. 故选：B . 【点睛】本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题.5．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=（ ）A ．0B ．1C ．673D ．674【答案】B 【解析】 【分析】由题知()f x 为奇函数，且()()120f x f x ++-=可得函数()f x 的周期为3，分别求出()00f ，=()11f =，()21f =-，知函数在一个周期内的和是0，利用函数周期性对所求式子进行化简可得.【详解】因为()f x 为奇函数，故()00f =；因为()()120f x f x ++-=，故()()()122f x f x f x +=--=-， 可知函数()f x 的周期为3；在()()120f x f x ++-=中，令1x =，故()()211f f =-=-， 故函数()f x 在一个周期内的函数值和为0， 故(1)(2)(3)(2020)(1)1f f f f f ++++==.故选：B. 【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性综合问题. 其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 6．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 【详解】 抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A ．【点睛】本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．7．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．8113D ．10【答案】D 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 【详解】解：画出满足条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的平面区域，如图示：如图点坐标分别为()()()0,3,3,1,0,2A B C --， 目标函数22xy +的几何意义为，可行域内点(),x y 与坐标原点()0,0的距离的平方，由图可知()3,1B -到原点的距离最大，故()()x2222ma 0311x y++-==.故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．8．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =，E 为PC的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．1339-B ．1339C ．155-D ．155【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用cos ,BE PD BE PD BE PD⋅=⋅即可得解.【详解】PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，∴如图建立空间直角坐标系，由题意：()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,0,5P ，()0,2,0D ，E 为PC 的中点，∴51,1,2E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.∴51,1,BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,5PD =-， ∴1132cos ,133BE PD BE PD BE PD-⋅===-⋅⋅，∴异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为cos ,BE PD 即为1339.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.9．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A．6+ B．6+C ．8D ．6【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2133e e +，结合基本不等式即可求解.【详解】设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1ce a=，2c e a ='，设2PF m =由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：1222m PF PF a a c +=⇒=+，2122mPF PF a a c ''-=⇒=- 则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭68≥+=当且仅当73a c =时，取等号. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.10．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上投影为2-，则3a b -的最小值为( ) A ．12 B ．10CD ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据b 在a 上投影为2-，以及[)cos ,1,0a b <>∈-，可得min2b =；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入min b即可求得min3a b-.【详解】b 在a 上投影为2-，即cos ,2b a b <>=-0b > cos ,0a b∴<><又[)cos ,1,0a b <>∈- min2b∴=2222223696cos ,9964a b a a b b a a b a b b b -=-⋅+=-<>+=+min3910a b∴-=⨯=本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到b 的最小值. 11．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ） A ．a ∥b B ．a ⊥bC ．a ∥(a b -)D ．a ⊥( a b -)【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论. 【详解】∵向量a =（1，﹣2），b =（3，﹣1），∴a 和b 的坐标对应不成比例，故a 、b 不平行，故排除A ； 显然，a •b =3+2≠0，故a 、b 不垂直，故排除B ；∴a b -=（﹣2，﹣1），显然，a 和a b -的坐标对应不成比例，故a 和a b -不平行，故排除C ； ∴a •（a b -）＝﹣2+2＝0，故 a ⊥（a b -），故D 正确， 故选：D. 【点睛】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题. 12．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．16【答案】C 【解析】 【分析】根据含有n 个元素的集合，有2n 个子集，有21n -个真子集，计算可得； 【详解】解：集合{2,0,1,9}含有4个元素，则集合{2,0,1,9}的真子集有42115-=（个）， 故选：C 【点睛】考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有n 个元素的集合，有2n 个子集，有21n -个真子集，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2015学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试卷（理科）（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有23道试题．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知集合35|22A x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，U =R ，则U A =． 2．若复数z 满足(2)(1)2z i i ++=（i 为虚数单位），则z =．3．函数()cos f x x x =,若1()2f a =，则()f a -=．4．计算22lim 2nn C n n→∞=+．5．设)0(24)(1≥-=+x x f x x ,则=-)0(1f.6．已知2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，10sin cos 22θθ-=cos θ=．7.若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为.8．已知集合{1,3}M =，在M 中可重复的依次取出三个数,,a b c ，则“以,,a b c 为边长恰好构成三角形”的概率是．9．已知等边ABC △的边长为3，M 是ABC △的外接圆上的动点，则AB AM ⋅的最大值为． 10．函数1122log 2log y x x =+取最小值时x 的取值范围是．11．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12()log g x x =,记函数(),()()()(),()()g x f x g x h x f x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，则函数()()5F x h x x =+-所有零点的和为.12．已知12F F 、是椭圆22122:14x y m m Γ+=-和双曲线22222:14x y n nΓ-=-的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则mn 的最大值为.13．在ABC △中，记角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，设S 是ABC △的面积，若2sin ()sin S A BA BC B <⋅，则下列结论中：①222a b c <+； ②222c a b >+；③cos cos sin sin B C B C >； ④ABC △是钝角三角形． 其中正确．．结论的序号是． 14．已知数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有133n n a pa p +=+-（p 为常数，0p ≠且1p ≠），若{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，则1a 所有可能值的集合为．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．已知圆22:1O x y +=和直线:2l y kx =+1k =是圆O 与直线l 相切的（ ）(A)充要条件. (B)充分不必要条件.(C)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件. 16．8(2)x 展开式中各项系数的和为()(A)1-. (B)1.(C)256. (D)256-.17．已知)(x f y =是定义在R 上的函数，下列命题正确的是 ()(A)若()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且在(),a b 内有零点，则有()()0f a f b ⋅<. (B)若()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅>，则其在(),a b 内没有零点.(C)若()f x 在(),a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，则其在(),a b 内有零点. (D)若()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线且单调，又()()0f a f b ⋅<成立，则其在(),a b 内有且只有一个零点.18．数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若记数据1232015,,,,a a a a ⋅⋅⋅的方差为1λ，数据3201512,,,,1232015S S S S ⋅⋅⋅的方差为2λ，12k λλ=.则 ( )(A)4k =. (B)2k =. (C) 1k =. (D)k 的值与公差d 的大小有关.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90,2ACB AC BC ∠===，直线B A 1与平面CC BB 11所成角的大小为55arctan ．求三棱锥11C A BC -的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本．设该公司一年内共生产电饭煲x 万件并全部销售完，每一万件的销售收入为()R x 万元，且2440040000()10100R x x x x =-<<，，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W (万元). （注：利润=销售收入-成本）(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式； (2)为了让年利润W 不低于2760万元，求年产量x 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点分别为12F F 、，上顶点为A ，已知椭圆Γ过点4(,)33bP ，且220F A F P ⋅=． （1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C D 、关于点1(1,)2M 对称，求||CD ．CB1C 1B1AA22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分．已知函数22π()cos 2sin cos +23f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足2[()]22()0f t t m -->，求实数m 的取值范围； （3）对任意的1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，是否存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立，请说明理由.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．已知数列{}n a 为等差数列，12a =，其前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）是否存在,p q *∈N ，使得222()2020p q a b +-=成立，若存在，求出所有满足条件的,p q ；若不存在，说明理由. （3）是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 21n n n a a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<+ 对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.2015学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题1．[]1,4-； 2．1i -+； 3．12-； 4．14； 5．（理）1，（文）32； 6．54-； 7．33π；8．(理)58，(文)12；9．(理963+，(文)4； 10．(理)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(文)1； 11．（理）5，(文)14x =；12． 833； 13．(文理)④；14．（理）{}1,3,67---，（文）1-或3-或67- 二. 选择题15． B ； 16．B ； 17．D ； 18． A ． 三. 解答题 19．（文）11111183323A ABCBC V S AA BC AC AA -=⋅=⋅⋅⋅⋅=△A 11822411323AA AA =⋅⋅⋅⋅=⇒=………………………………4分11//BB CC ， 11A BB ∴∠是直线B A 1与直线1CC 所成的角……6分11111222tan 2A B A BB BB y ∴∠===………………………10分 112arctan2A BB ∴∠= 所以直线B A 1与1CC 所成的角为2arctan 2………………12分 19．（理）法一：1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角．…………………4分设1CC y =222114BC CC BC y =+=+111121tan 454AC A BC y BC y ∴∠===⇒=+，……………8分 所以111111111111183323C A BC A C BC C BC V V S A C BC CC A C --==⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分 法二：如图，建立空间直角坐标系，设1CC y =． 得点(020)B ，，，1(00)C y ，，，1(20)A y ，，． 则1(22)A B y =--，，， 平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，． …………………4分 1C 1B1Az设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ， 则1216sin 468A B n y A B ny θ⋅===⇒=⋅+，……………8分 所以111111111111183323C A BC A C BC C BC V V V S A C BC CC A C --===⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分 20． (1) 40000()(1640)164360W xR x x x x=-+=--+10100x <<，……6分(2) 解400001643602760W x x=--+≥………………12分得2(50)0x -≤时，所以50x =.答：为了让年利润W 不低于2760万元，年产量50x =.…………………14分21．（文）（1） 2222a a =⇒=3分将点P 的坐标代入方程22212x y b +=得281199b +=⇒21b =………6分 所以椭圆Γ的方程为2212x y +=．…………………………………7分 （2）法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、则2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+=………9分由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01y y x x y y x x --+-=⇒=--………………12分所以直线CD 的方程为32y x =-+………………14分 法二：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、设直线CD 的方程为1(1)2y k x =-+………………9分 将1(1)2y k x =-+代入2222x y += 得22223(21)(42)2202k x k k x k k +--+--= 由212242221k kx x k -+==+得1k =-………………12分所以直线CD 的方程为32y x =-+………………14分 21．（理）(1)因为椭圆Γ过点4(,)33b P ,所以2161199a+=,解得22a =……3分又以AP 为直径的圆恰好过右焦点2F ，所以220F A F P ⋅= 又24(,),(,0),(0,)33bP F c A b得2(,)F A c b =-，24(,)33bF P c =-，所以24()033b c c --+= 而22222b a c c =-=-，所以2210c c -+=得1c =………………6分故椭圆Γ的方程是2212x y +=． ………………………………7分 （2）法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、， 则2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+=………9分由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01y y x x y y x x --+-=⇒=--所以CD 所在直线的方程为32y x =-+………………11分 将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=21212121023||2|2()42433CD x x x x x x =-=+-=-=………14分 法二：设点C D 、的坐标分别为1111(,)(2,1)x y x y --、，………9分 则2222111122,(2)2(1)2x y x y +=-+-=两等式相减得1132y x =-+………………11分 将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=21212121023||2|2()42433CD x x x x x x =-=+-=-=．……14分22．（1）（文理）2213()cos 22sin cos +22f x x x x x =+- 13πcos 22cos 2+2sin 2+2226x x x x ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭2分 函数()f x 的最小正周期T π=………………………………4分（2）当,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，20,62t ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，π()sin 2+22,216f t t ⎛⎫⎤=-+ ⎪⎦⎝⎭6分[]22()[()]22()[()2]22,1F t f t t f t ⇒=-=-∈--…………………8分（理）存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m ->的实数m 的取值范围为(),1-∞-.……10分 （文）存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m -=的实数m 的取值范围为[]2,1--.……10分 （3）（理）存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立.………………12分 （文理）当1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，12,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，11π()sin 2+22216f x x ⎛⎫⎤=-- ⎪⎦⎝⎭2211π()sin 2+2221()6f x x f x ⎛⎫⎤==--+ ⎪⎦⎝⎭[]21π1sin 2=21,16()x f x ⎛⎫⇒--- ⎪⎝⎭………………14分设112()a f x -=，则[]1,1a ∈-，由2πsin 2=6x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 得22ππ22arcsin 2=2arcsin ,66x k a x k a k πππ-=+-+-∈Z 或所以2x 的集合为2221π17π|arcsin +arcsin +,212212x x k a x k a k ππ⎧⎫=+⋅=-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z 或 ∵1π17π5arcsin +,arcsin +6212332126a a ππππ-≤⋅≤≤-⋅≤∴2x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在唯一的值21πarcsin 212x a =⋅+使12()()1f x f x ⋅=成立.16分23．（文） （1）法1：由142()n n a a n n *++=+∈N 得12236,10a a a a +=+=所以31242a a d d -==⇒=，所以12a = 故2,n a n =……………………………2分因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+①对任意的n *∈N 恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（2n ≥） ② ①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N 所以2nn b =……………………………4分法2：由于{}n a 为等差数列，令n a kn b =+，又142()n n a a n n *++=+∈N ，所以(1)2242()kn b k n b kn b k n k *++++=++=+∈N 所以24,222,0k k b k b =+=⇒==故2n a n =………………2分因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+①对任意的n *∈N 恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（2n ≥） ② ①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N 所以2nn b =……………………………4分（2）假设存在,p q *∈N 满足条件，则244)2392qp +-=（ 化简得2324472q p p -+-=……………………………6分由p *∈N 得22447p p +-为奇数，所以32q -为奇数，故3q =得22244712240p p p p +-=⇒+-=……………………8分 故46()p p ==-或舍去所以存在满足题设的正整数=4,=3p q ． ……………………………10分（3）易得2n S n n =+，则22n nn S n nb +=， ……………………12分 下面考察数列2()2nn nf n +=的单调性，因为2211(1)1(1)(2)(1)()222n n n n n n n n n f n f n +++++++-+-=-=……………14分 所以3n ≥时，(1)()f n f n +<，又(1)1,f =3(2)(3)2f f ==，5(4),4f =15(5),16f = 21(6),32f =……………………………16分 因为M 中的元素个数为5，所以不等式,nnS n b λ*≥∈N 解的个数为5， 故λ的取值范围是2115,3216⎛⎤⎥⎝⎦. ……………………………18分 23．（理） （1）法1：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q 。

上海市嘉定区2021届高三数学下学期第二次质量调研测试（二模）试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合{2,4,6,8},{1,2,3}A B ==，则A B =∩______．2．线性方程组2538x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为_________．3．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积等于_______． 4．在5(2)x -的二项展开式中，3x 项的系数为_______．5．若实数,x y 满足0120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为_______．6．已知球的主视图的面积是π，则该球的体积等于_________．7．设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为123,1,6n S a a a =+=，则6S =______． 8．已知函数()2log a f x x =+（0a >且1a ≠）的反函数为1()y f x -=．若1(3)2f -=，则a =_____．9．设2,90z z ∈+=C ，则|4|z -=________．10．从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是_______（结果用数值表示）．11．设P 是双曲线2218y x -=的动点，直线3cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与圆22(3)1x y -+=相交于A B 、两点，则PA PB ⋅的最小值是_________．12．在ABC 中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若222sin a b c A ++=，则A =______． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知x ∈R ，则“1x >”是“|2|1x -<”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 14．下列函数中，既是(0,)+∞上的增函数，又是偶函数的是（ ）．A ．1y x=B ．2xy = C ．1||y x =- D ．lg ||y x = 15．如图，若正方体1111ABCD A B C D -的侧面11BCC B 内动点P 到棱11A B 的距离等于它到棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为（ ）．A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．若对任意的*n ∈N ，都有13[,]n nS s t S -∈，则t s -的最小值为（ ）． A ．23 B ．94 C ．12 D ．16三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，边长为3，5PC =，PD ⊥底面ABCD ．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求异面直线AD 与BP 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设常数a ∈R，函数2()2cos f x x a x =+．（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若36f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求方程()2f x =在区间[0,]π上的解． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员()*x x ∈N户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高2%x ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为92(0)50a x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元．（1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a 的最大值．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>过点(0,2)P ，且它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同．直线l 过点(1,0)Q ，且与椭圆Γ相交于A B 、两点． （1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 的一个方向向量为(1,2)d =，求OAB 的面积（其中O 为坐标原点）；（3）试问：在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知m 为正整数，各项均为正整数的数列{}n a 满足：1, 2,nn n n n a a a a m a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若18,2a m ==，求7S 的值； （2）若35,25m S ==，求1a 的值；（3）若11,a m =为奇数，求证：“1n a m +>”的充要条件是“n a 为奇数”．嘉定区2021第二学期高三年级质量检测卷检测（2021.5.19）一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．解析：{2}．2．解析：125318-⎛⎫ ⎪⎝⎭．3．解析：2124S ππ=⋅⋅=．4．解析：515()(2)r r r r T C x -+=-，故3x 的系数为225(2)40C -=．5．解析：max 213Z =+=．6．解析：3244133r S r r V ππππ==⇒=⇒==． 7．解析：由()6261126(0)26312q q q q S -+=>⇒=⇒==-．8．解析：1(3)2(2)332log 22a f f a -=⇒=⇒=+⇒=．9．解析：由2903z z i +=⇒=±，则|4||34|5z i -=±-=．10．解析：33438247C P C ⋅==． 11．解析：设圆心为(3,1)O ，并且直线过O ，则22222()()1213PA PB PO OA PO OB PO OA PO ⋅=+⋅+=-=-≥-=．12．解析：()22222222cos sin a b c b c bc A b c A ++=+-++=⇒222sin 6bc A b c π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，而222sin 2sin 1sin 16663bc A b c bc A A A ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+≥⇒+≥⇒+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．解析：|2|113x x -<⇒<<，故为必要非充分条件，此题选B ． 14．解析：D ．15．解析：P 到棱11A B 的距离即P 到1B 的距离．即点P 到定直线和定点距离相等（注意：点不在直线上）轨迹为抛物线，故此题选C ．16．解析：111313464636232n n n n n n n n n S a S S S S S S S ---⎛⎫⎛⎫=+⇒=+-⇒=-⇒-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1311223n n S -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．若n 为奇数，3,22n S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；若n 为偶数，43,32n S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．而13n n f S S =-是关于n S 的单调递增函数，并且41334f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11(2)2f =，故t s -最小值是11139244-=，故此题选B ．三、解答题（本大题共5题，共141414161876++++=分）17．解析：（1）易得四棱锥的高为4，所以体积为2134123V =⨯⨯=． （2）PBC ∠即为所求角，且55tan arctan 33PBC PBC ∠=⇒∠=．18．解析：（1）当()f x 为奇函数时，必有(0)00f a =⇒=．（2）233cos 3263624a f a a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⇒=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2()22cos 2cos212sin 216f x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，由1()2sin 2226266f x x x k ππππ⎛⎫=⇒+=⇒+=+ ⎪⎝⎭或52266x k πππ+=+， x k π⇒=或()3x k k Z ππ=+∈，所以在区间[0,]π上的解为0,,3x ππ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭． 19．解析：（1）(100)2(12%)200050x x x -⨯+≥⇒≤≤．（2）即92(100)2(12%)50x a x x x ⎛⎫-≤-⨯+ ⎪⎝⎭恒成立，其中050x ≤≤，即1004125xa x ≤++恒成立，又因为100411925x x ++≥=，当且仅当25x =时等号成立，所以max 9a =．20．解析：（1）2b c a ==⇒=22184x y +=． （2）:22l y x =-，将直线与椭圆联立得1614,99A ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,2)B -，故 1161416(2)02999ABCS=⨯--⨯=． （3）当直线斜率不为0时，设：:1l x my =+，(,0)M a ，()11,A x y ，()22,B x y ，将l 与椭圆联立得()222270my my ++-=，()()1212MA MB x a x a y y ⋅=--+()()()2222121222721(1)(1)1(1)(1)22mm y y a m y y a m a m a m m --=++-++-=+⋅+-⋅+-++ ()222282452m a a a m -+--=+，由于该式为定值，故()2211282454a a a a -=--⇒=，定值为716．当直线斜率为0时，A ，(B -，111174416MA MB ⎛⎫⎛⎫⋅=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 综上，定点11,04M ⎛⎫⎪⎝⎭，定值716．21．解析：（1）18a =，2m =，则前7项为8，4，2，1，3，5，7，故730S =． （2）设k 是整数．①若121a k =-，23242a k a k =+=+．则12355254a a a k k ++=+=⇒= 此时17a =．②若14a k =，22a k =，3a k =，则123725a a a k ++==，此时k 不存在．③若142a k =-，221a k =-，324a k =+，则12381253a a a k k ++=+=⇒=，此时110a =．故17a =或110a =．（3）充分性：若n a 为奇数，则1n n a a m m +=+>；必要性：先利用数学归纳法证：n a m ≤（n a 为奇数）；2n a m ≤（n a 为偶数）． ①11a m =≤，212a m m =+≤，312ma m +=≤成立； ②假设n k =时，k a m ≤（k a 为奇数）；2k a m ≤（k a 为偶数）． ③当1n k =+时，当k a 是偶数，12kk a a m +=≤；当k a 是奇数，12k k a a m m +=+≤，此时1k a +是偶数． 综上，由数学归纳法得n a m ≤（n a 为奇数）；2n a m ≤（n a 为偶数）．从而若1n a m +>时，必有1n a +是偶数．进而若n a 是偶数，则122n n a a m +=>矛盾，故n a 只能为奇数．。

上海市松江区2021届新高考第二次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是（ ） A ．p q ∨是假命题B ．p q ∧是真命题C ．()p q ∨⌝是真命题D ．()p q ∧⌝是假命题【答案】D【解析】【分析】举例判断命题p 与q 的真假，再由复合命题的真假判断得答案．【详解】 当01x >时，102log 0,x <故p 命题为假命题； 记f （x ）＝e x ﹣x 的导数为f′（x ）＝e x -１， 易知f （x ）＝e x ﹣x 在（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增，∴f （x ）＞f （0）＝１＞0，即,x x R e x ∀∈>，故q 命题为真命题；∴()p q ∧⌝是假命题故选D【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题．2．若向量(1,5),(2,1)a b ==-v v ，则(2)a a b ⋅+=v v v （ ）A ．30B ．31C ．32D ．33 【答案】C【解析】【分析】先求出2a b +r r ,再与a r相乘即可求出答案.【详解】 因为2(1,5)(4,2)(3,7)a b +=+-=-r r ,所以(2)35732a a b ⋅+=-+⨯=r r r .故选:C.【点睛】3．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．25【答案】A【解析】【分析】阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.【详解】因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255P ==. 故选：A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =目标事件的个数基本本事件的总个数. 4．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-【答案】B【解析】【分析】根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可．由(1)(1)f x f x +=-得()f x 关于1x =对称，若关于1x =对称，则函数()f x 在(0,)+∞上不可能是单调的，故错误的可能是B 或者是D ，若D 错误，则()f x 在(-∞，0]上是减函数，在()f x 在(0,)+∞上是增函数，则(0)f 为函数的最小值，与C 矛盾，此时C 也错误，不满足条件．故错误的是B ，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键．5．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N =≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】【分析】 解出22x a ≤,分别代入选项中a 的值进行验证.【详解】解：22x a ≤Q ，a x a ∴-≤≤.当1a = 时,{}1,0,1B =-，此时A B ⊆不成立.当2a = 时,{}2,1,0,1,2B =--，此时A B ⊆成立，符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.6．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线交两渐近线于,M N 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，若(,)OP OM ON R λμλμ=+∈u u u r u u u u r u u u r ，且625λμ=，则该双曲线的离心率为( )A ．4B ．12C ．12D ．12【答案】D【解析】根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用OP OM ON λμ=+u u u r u u u u r u u u r ，求出点()()bc P c a λμλμ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，因为点P 在双曲线上，及c e a =，代入整理及得241e λμ=，又已知625λμ=，即可求出离心率．【详解】由题意可知bc bc M c N c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，代入OP OM ON λμ=+u u u r u u u u r u u u r 得：()()bc P c a λμλμ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，， 代入双曲线方程22221x y a b -=整理得：241e λμ=，又因为625λμ=，即可得到56e =， 故选：D ．【点睛】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于a ，b ，c 的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题．7．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）. A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭排除选项D ； 根据特殊值502f π⎛⎫>⎪⎝⎭排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ；【详解】对于选项D:由题意可得, 令函数()f x = 22cos x x y x x --=-, 则5522522522f ππππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭,5522522522f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭; 即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选项D 排除; 对于选项C ：因为55225220522f ππππ--⎛⎫=> ⎪⎝⎭,故选项C 排除;对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除;故选项:A【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.8．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21e D【答案】C【解析】【分析】 对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，因为ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立，可得230m +>，令ln (23)y x m x n =-+-，可得1(23)y m '=-+，结合已知，即可求得答案.Q 对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立∴ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立，∴230m +>令ln (23)y x m x n =-+-， 可得1(23)y m x'=-+ 令0y '=，得123x m =+ 当123x m >+，0y '< 当1023x m <<+0y '> ∴123x m =+，max 1ln 1023y n m =--≤+，123n m e --+≥ 故1(23)(,)n n m n f m n e++≥= Q 11(,)n n f m n e+-'= 令110n n e +-=，得 1n = ∴当1n >时，(,)0f m n '<当1n <，(,)0f m n '>∴当1n =时，max 21(,)f m n e=故选：C.【点睛】 本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.9．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，n ⊂α，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊥，则//n αD ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥【答案】D【解析】【分析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.【详解】选项C ，由条件可得//n α或n ⊂α．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.10．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ）A ．45B ．60C ．75D ．100【答案】B【解析】【分析】 根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算．【详解】 由题意12315234S ⨯⨯⨯=，60S =． 故选：B.【点睛】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键． 11．已知向量(2,4)a =-r ，(,3)b k =r ，且a r 与b r 的夹角为135︒，则k =（ ）A ．9-B ．1C ．9-或1D ．1-或9【答案】C【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求k的值. 【详解】解：由题意可得cos135||||a ba b︒⋅===⋅r rr r求得9k=-，或1k=，故选：C.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．12．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（）A．12B．45C．38D．34【答案】C【解析】【分析】设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,x y，以12：00点为开始算起，则有5x yy x≤⎧⎨-≤⎩，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：11101010105532210108P ?创-创==´. 故选：C【点睛】 本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

闵行区2021学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷(答案)一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a = 2 2．若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，，则12c c += 40 3．设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = 1- 4．定义在R 上的函数()21xf x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 25．直线l 的参数方程为112x t y t=+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数），则l 的一个法向量为 (2,1)-不唯一6．已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n ∈N ，{}n a 的前n 项和为n S ， 则limn n nS n a →∞=⋅ 127．已知向量a 、b 的夹角为60，1a =，2b =，若(2)()a b x a b +⊥-，则实数x 的值为 3 8．若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为 16π 9．若平面区域的点(,)x y 满足不等式14x yk +≤(0)k >，且z x y =+的最小值为5-，则常数 k = 510．若函数2()log (1)a f x x ax =-+(01)a a >≠且没有最小值，则a 的取值范围是 [)(0,1)2,+∞11．设{}1234,,,1,0,2x x x x ∈-，那么满足123424x x x x ≤+++≤的所有有序数组1234(,,,)x x x x 的组数为 4512．设*n ∈N ，n a 为(4)(1)nnx x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ， 1222555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦([]x 表示不超过实数x 的最大整数).则22()()n n t b c -++的最小值为425二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．“0xy =”是“00x y ==且”成立的 ( B )（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件AA 1D C BD 1C 1B 1F•• E（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件14．如图，点,,A B C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上， (0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ= ( C )（A）43 （B （C ）23 （D ）23-15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确的是 ( D )（A ）若30S >，则20180a > （B ）若30S <，则20180a <（C ）若21a a >，则20192018a a > （D ）若2111a a >，则20192018a a < 16．给出下列三个命题:命题1：存在奇函数()f x 1()x D ∈和偶函数g()x 2()x D ∈,使得函数()()f x g x12()x D D ∈是偶函数；命题2：存在函数()f x 、g()x 及区间D ，使得()f x 、g()x 在D 上均是增函数, 但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、g()x （定义域均为D ），使得()f x 、g()x 在0x x =0()x D ∈处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值.那么真命题的个数是 ( D )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是的中点. （1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小.解（1）因为1111D C B A ABCD —为正方体， 所以FC ⊥平面DEC ，且1FC =，又DEC △的底2DC =，高为E 到DC 的距离等于2所以12222DEC S =⨯⨯=△，2分所以112=21333E DFC F DEC DEC V V S FC --=⨯⨯=⨯⨯=△………7分（2）取1B B 中点G ，连接1A G ，EG .由于11//AG D F ，所以1GA E ∠为异面直线1A E 与1D F 所成的角. ………………………9分在1AGE △中，1AG 1A E GE =由余弦定理，得 22214cos 5GA E ∠==， ………………12分即14arccos5GA E ∠=,所以异面直线1A E 与1D F 所成的角为4arccos 5. …14分18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()cos f x x x ωω=+， （1）当03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且1ω<时，求ω的值；（2）在ABC △中，a b c 、、分别是角A B C 、、的对边，a =3b c +=，当2ω=，()1f A =时，求bc 的值解（1）()cos =2sin 6f x x x x ωωωπ⎛⎫=++⎪⎝⎭由已知，得2sin 036ωππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， ………………2分所以36k ωππ-=π-()k ∈Z ， ………………4分即132k ω=-+，又1ω<，所以12ω=. ………………6分（2）因为2ω=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 又因为()1f A =，所以1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ………………8分 而22666A πππ<+<π+，故266A π5π+=，所以3A π= ………………10分 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc+-==，即223b c bc +-=，…………12分又3b c +=，解得2bc =. ………………14分19.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完.据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t *()t ∈N 天的关系满足：10,110()=10200,1020t t f t t t ≤≤⎧⎨-+<≤⎩，，2()20g t t t =-+(120)t ≤≤，产品A 每件的销售利润为40,115()20,1520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩，(单位：元)（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）. （1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式；解（1）22240(30)110()40(10+200)101520(10+200)520t t t F t t t t t t t ⎧⋅-+≤≤⎪=⋅-+<≤⎨⎪⋅-+<≤⎩，，，，，1 ………………8分（2）○1当110t ≤≤时，由240(30)5000t t -+≥解得510t ≤≤；…………10分○2当1015t <≤时，由240(10200)5000t t -++≥解得1015t <≤； ……12分 ○3当1520t <≤时，由220(10200)5000t t -++≥，无解. 故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于5000元. …………14分 （或：注意到()F t 在[]1,10单调递增，()F t 在(]10,20单调递减且(5)(15)F F = 5000=（12分）故第5天至第15天该公司日销售利润不低于5000元.（14分））20. (本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>，其左、右焦点分别为12F F 、，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P Q 、两点，1sin 3BF O ∠=. （1）若直线l 垂直于x 轴，求12PF PF 的值；（3）设直线1l:y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.解（1）因为1sin 3BF O ∠=，则3b a =，即a =，设椭圆的半焦距为c，则c =， ………………2分在直角12PF F △中，2222121PF F F PF +=，即222224(2)c PF a PF +=-解得22b PF a ==，1PF ∴=，所以125PF PF =. ……………4分 （2）由a =，b =a =Γ方程为2236x y +=，…6分且2c =，12F F 、的坐标分别为(2,0)(2,0)-、，直线l 的方程为112y x =-，设点E 坐标为11(,)x y ，则由已知可得：1111(2)210211222x y y x +⋅+⋅=⎧⎪⎨-=⋅-⎪⎩，解得1125165x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，……8分 而22216772()3()65525-+-=≠，即点E 11(,)x y 不在椭圆Γ上， 所以椭圆Γ上不存在这样的点E ，使得1F E 、关于直线l 成轴对称. ……10分（3）由a =，得椭圆Γ方程为222330x y b +-=，且c =，2F的坐标为,0)，所以可设直线l的方程为(cot )x m y m α=+=，代入222330x y b +-=得：()22230my b ++-=因为点M 满足2OP OQ OM +=，所以点M 是线段PQ 的中点 设M 的坐标为(),x y ''，则y '=12223y y m +=-+ ………………12分因为直线1:l y =M 满足2OP OQ OM +=所以y '==0m <，所以36b m m ⎫=-+≥=⎪-⎭， 当且仅当3m m-=-，即m =. ………………14分所以当cot m α==min 6b =，此时直线l 的倾斜角56πα=. …………16分21. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)无穷数列{}n a *()n ∈N ，若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有性质T .集合{}*,n P p p a n ==∈N .（1）若(1)nn a =-，*n ∈N ，判断数列{}n a 是否具有性质T ；（2）数列{}n a 具有性质T ，且1481,3,2,{1,2,3}a a a P ====，求20a 的值； （3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足ki i a p =的项，记1k k k b i i +=-*()k ∈N ，证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”解（1）因为(1)nn a =-，*n ∈N ，{}n a 是由2个不同元素组成的无穷数列，且是周期为2的周期数列，故2t =， ……………………2分{}n a 是周期为2的周期数列，对于任意的正整数n ，2n n a a +=，满足性质T 的条件，故数列{}n a 具有性质T . ……………………4分（2）202a =.由条件可知3t =，考虑8a 后面连续三项91011,,a a a ，若112a ≠，由82a =及T 性质知910,a a 中必有一数等于2，于是1098,,a a a 中有两项为2，故必有1或3不在其中，不妨设为(13)i i =或，考虑17,,a a 中最后一个等于i 的项，则该项的后三项均不等于i ，故不满足性质T 中条件，矛盾，于是112a =. ……………8分同理1417202,2,2a a a ===. ……………………10分证明（3）充分性：由数列{}n a 是周期为t 的周期数列，每个周期均包含P 中t 个不同元素.对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足ki i a p =的项，故由周期性得1k k i i t +=+，于是1k k k b i i t +=-=，数列{}k b 为常数列，显然满足性质T . ……12分必要性：取足够大的N 使12,,,N a a a 包含P 中所有t 个互不相同的元素，考虑N a 后的连续t项12,,,N N N t a a a +++，对于P 中任意元素i p ，必等于12,,,N N N t a a a +++中的某一个，否则考虑12,,,N a a a 中最后一个等于i p 的项，该项不满足性质T 中条件，矛盾.由i p 的任意性知12,,,N N N t a a a +++这t 个元素恰好等于P 中t 个互不相同的元素，再由数列{}n a 性质T 中的条件得11N t N a a +++=，22N t N a a +++=，………15分于是对于P 中的任意元素i p ，存在N '，有1k k k b i i t +=-=()n N '≥，即数列{}*()N k b k '+∈N 为常数列，而数列{}k b 满足性质T ，故{}k b 为常数列，从而{}n a 是周期数列，故数列{}n a 是周期为t的周期数列，且每个周期均包含t个不同实数…………18分。