武汉大学 微积分第3章习题课

习3.12（2），求圆的面积为1时，面积变量S 相对于周长l 的变化率。

解此时S 是l 的函数πππ4222l l S =⎪⎭⎫⎝⎛=。

于是S 对周长l的变化率为 π2ldldS =。

当1=S 时π2=l ，此时ππ12==l dldS。

5(2). 设a x y ||=，在0=x 点可导，求α的取值范围。

解 设a x x f ||)(=。

当0≤α时，0=x 是函数的间断点，此时函数不可导。

只讨论0>α。

考虑左导数 ⎪⎩⎪⎨⎧>=<∞===---+→1,0111,0)0()(lim 10ααααa x x xxx f x f ， 考虑右导数⎪⎩⎪⎨⎧>=-<∞=--=-=----→1,0111,)()(0)0()(lim 10ααααa x x x x x f x f ， 因此该函数当1>α时在0=x 点可导，导数为0. 6. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<≤+<-=1,1)1sin(10,0,1)(x x b x a x x e x f x 。

求ba ,使得)(x f 在1,0=x 可导。

解法1 因可导必连续，则 a f x f x ===-→)0(0)(lim 0，则0=a 。

这样在1=x 处)(x f 也连续。

此时110)0()(lim )0(0=-=--='-→-xe xf x f f x x ，1lim 0)0()(lim)0(00==--='+→+→+x xx f x f f x x ，。

1111)1()(lim )1(1=--=--='-→-x x x f x f f x ，b x x b x f x f f x x =--=--='+→+→+1)1sin(lim 1)1()(lim )1(11。

若)1('f 存在，则应有b =1。

此时1)1('=f 。

解法2 同理可得0=a 。

1lim )'1(lim )0(00==-='-→-→-x x x x e e f ，11lim )'(lim )0(00==+='+→+→+x x a x f ，则1)0('=f 。

3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率习题3.41. 求由下列方程所确定的隐函数的导数:dy dx（1）2290y xy -+=解： ()()22900,2220,.d y xy d ydy xdy ydx dy y dx y x-+==--==-（2）3330x y axy +-=解： ()()332222300,33330,.d x y axy d x dx y dy axdy aydx dy ay x dx y ax+-==+--=-=-（3）x y xy e +=解：()()(),,.x y x y x y x y d xy d e ydx xdy e dx dy dy e y dx x e++++=+=+-=-（4）1yy xe =-解： ()1,,.1y y y yydy d xe dy e dx xe dy dy e dx xe =-=---=+（5解：0,0,d ddydx==+==（6）()cosy x y=+解：()()()()()cos,sin,sin.1sindy d x ydy x y dx dyx ydydx x y=+=-++-+=++（7）()sin cos0y x x y--=解：()()()()()()()sin cos00,sin cos sin0,cos sin.sin sind y x x y dxdy y xdx x y dx dyy x x ydydx x y x--==++--=+-=--（8）0x y=解：()()00,0,d x y ddx dydydx+==++==2.求下列隐函数在指定点的导数:dydx（1）1cos sin,2y x y=+点,02π⎛⎫⎪⎝⎭解：,0211cos sin sin cos ,22sin ,11cos 21 2.112dy d x y xdx ydy dy x dx y dy dx π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭-=--==-- （2）ln 1,x ye y +=点()0,1()()()0,1ln 10,10,,111.112x x x xx d ye y d e dy ye dx dy y dy ye dx e ydy dx +==++==-+=-=-+3. 求下列方程确定的隐函数的微分:dy （1）2222 1.x y a b+= 解：()2222222210,220,.x y d d ab xdx ydy a bb x dy dx a y⎛⎫+== ⎪⎝⎭+==- （2）.y xx y =解： ()()22ln ln ln ln ,ln ln ,ln .ln y x x yd y x d x y y x xdy dx ydx dy x yxy y y dy dx xy x x==+=+-=-4。

１.(1)v ＝01.02001.02)()(=∆==∆=∆∆-∆+=∆∆t t t t t t s t t s ts＝01.020)263(=∆=++∆t t t t =１4.0３ （２）14lim)2(200=∆∆==→∆t t ts v２.(1)v =tt ∆=1=tt ts ∆=∆∆1=tg t g t ∆--∆+-∆+]215[])1(21)1(5[2=t g g ∆--215 (2)g t ht t -=∆∆==→∆5]lim[)1(1ν (3) t gt t t t g t t th tvtt t t t ∆--∆+-∆+=∆∆=∆∆==)215()((21)(50020000＝t g gt ∆--2150 (4)000005)215(lim lim)(gt t g gt t h t t t -=∆--=∆∆=→∆→∆ν 3． (１）x x f x x f x x f x x f x x ∆--∆-+=∆-∆-→∆→∆)()]([lim )()(lim000000＝)()]()([lim 0,000x f xx f x x f x -=∆--∆-+-→∆(２))()()()((lim )()((lim0,00000000x f h x x h x f x f h h x f x f h h =--∆--=∆--→∆→∆（３)h h x f h x f h x f h x f h h 202000200)()((lim )()((lim -+=-+→∆→∆=0lim )()((lim 020200==-+→∆→∆h h x f h x f h h(4）xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000=)(21()()()(21lim 0,00000x f x x x x x x f x x f x =∆--∆+∆--∆+→∆4.(1）xx f x x f y x ∆-∆+='→∆)()(lim000=xxx x x x x x x x x x x ∆∆+∆+-=∆-∆+→∆→∆)()(lim 11lim 0000＝2001)(1lim )(limxx x x xx x x x x x -=∆+-=∆∆+∆-→∆→∆ (2)x xx x xx f x x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+='→∆→∆000lim )()(lim)(=xx x x x x xx x x x +∆+=+∆+-∆+→∆→∆1limlim 00=x215.解:1)5(21)5()5(21lim 2)5()5(lim00-='-=----=--→∆→∆f x f x f x f x f x x 6（１）==x x y 首先判断函数的连续性0x >时2x y =连续,0< x 时2-x y =连续,在0x =时，0])([lim )00(220=-∆+=++→∆x x x f f x0])([lim )00(220=+∆+=--→∆x x x f f x由于)00()00(-=+f f所以函数y 在0=x 处连续 下面判断可导性 在0=x 处 xf x f f x ∆-∆='+→∆+)0()(lim)0(0=xx x ∆∆++→∆20)0(lim＝0lim 0=∆+→∆x xxf x f f x ∆-∆+='-→∆-)0()0(lim)0(0=0lim )(lim 020=∆-=∆∆---→∆→∆x xx x x由于)0()0(-+'='f f 故函数在0=x 处可导 （２))1(011-x 1-x sin lim)(lim 11f x f x x =≠==→→）（∴ 函数)(x f 在1=x 处不连续,从而0=x 在处不可导。

《多元函数微积分》习题解答第三章-14页精选文档习题3-11、计算下列第二类曲线积分：（1）?-Ldx y x ,)(22L 为抛物线x y =2上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧；（2）,)()(22?+--+Ly x dyy x dx y x L 为按逆时针方向饶行的圆222a y x =+；（3）?++L xdz zdy ydx ,L 为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 上由t=0到t=2π的有向弧段;（4）?-+++Ldz y x ydy xdx ,)1(L 为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一段直线；（5）,??Ldl F 其中),,(x y F -=L 为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路，取逆时针方向；（6）Ldl F ,其中2221y x xe ye F +-=，L 按逆时针方向饶行的圆t a y t a x sin ,cos ==.解（1）化为对x 的定积分，L: x y =2，x 从0到2，所以-Ldx y x )(22=1556)5131()(20534202-=-=-?x x dx x x （2）圆周的参数方程为：t a y t a x sin ,cos ==)20(π≤≤t+--+Ly x dyy x dx y x 22)()( =--+π202)sin ()sin cos ()cos ()sin cos (1t a d t a t a t a d t a t a a =dt t a t a t a t a t a t a a ])cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(1202?---+π=ππ212022-=-?dt a a（3）L 的参数方程为：bt z t a y t a x ===,sin ,cos ，t 从0到2π，所以++Lxdz zdy ydx =)(cos )sin ()cos (sin 20t b td a t a btd t a td a ?++π=22022)cos cos sin (a dt t ab t abt t a ππ-=++-? （4）直线的参数方程为：)10(31,21,1≤≤+=+=+=t t z t y t x dt dz dt dy dt dx 3,2,===∴代入 ?-+++Ldz y x ydy xdx )1(=?-+++++++10)]1211(3)21(2)1[(dt t t t t =1376)146(10=+=+?dt t （5）三条直线段的方程分别为y=0,x 从0到1； x=1,y 从0到1； y=x,x 从1到0. 所以 ??Ldl F =?--Lxdy ydx-+-+-=0101101xdx xdx dy =0ππππ21)sin (cos )cos (sin )6(202202222022-=-=-=+-+=dt t a d ata t a d a t a dy y x xdx y x y dlF L2、一力场由以横轴正向为方向的常力F 构成，试求当一质量为m 的质点沿圆周222R y x =+按逆时针方向走过第一象限的弧段时，场力所作的功.解：由题意知，场力所作的功为dx F W L=L: 222R y x =+,x 从R 变到0，于是，w=R F dx F dx F R L-==??03、有一平面力场F ，大小等于点（x,y ）到原点的距离，方向指向原点.试求单位质量的质点P 沿椭圆12222=+by a x 逆时针方向绕行一周，力F 所作的功.解：),(y x F --=椭圆12222=+by a x 的参数方程为：t b y t a x sin ,cos ==，t 从0到2π所以，2sin 2cos )sin (sin )cos (cos 2022202220=--=--=?=??πππt b t a t db t b t da t a dl F W L4、有一力场F ，其力的大小与力的作用点到xoy 平面的距离成反比且指向原点，试求单位质量的质点沿直线)0(,,≠===c ct z bt y at x 从点),,(c b a 移动到)2,2,2(c b a 时，该场力所作的功.解：),,(222222222zy x z z y x y z y x x z k F ++-++-++-=直线的参数方程为：)0(,,≠===c ct z bt y at x ，t 从1到2所以，cc b a k dttc t b t a t c kt c t b t a dl F W L2ln ))(22221222222222++-=++---=?=??习题3-2答案1、解：记S 在x>0一侧为1S ，在x<0一侧为2S ，在z=h 上的部分为3S ，在z=0上的部分为4S ，在y>0一侧为5S ，在y<0一侧为6S ，则由题有--=-=-=-=-+----+-=+++++=+++=rrrrhD D D S S s s s s hr dy y r h dzy r dy dydzy r dydz y r yyy r dydz y r yy y r zdxdyydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz xdydz xdydz xdydz xdydz Q yz yz yz 22202222222222221222)(211234π22341234hr dxdy h zdxdy zdxdyydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz zdxdy zdxdy zdxdy zdxdy Q xyxyD D S S s s s s π===+++++=+++=??同理可得：??+==6523S S hr ydzdx Q π 2、解：（1）由题S y x R z S ,222---=：在xoy 面上的投影区域222:R y x D xy ≤+，()720257022520220222252222222222221052cos sin 42sin 41sin cos R tdt t R drr R r drr R r d dxdy y x R y x dxdy y x R y x zdxdy y x R RD D Sxyxyππθθθθπππ==-=-=--=----=∴（2）()221202222222e e dr e d dxdy y x edxdy y x e r D y x Sz xy-==+=++πθπ（3）将S 分成1s 和2s ，其中1S ：z=h ，222h y x ≤+取上侧，2s ：22y x z +=，h z ≤≤0x>0取下侧则=+=∴=-++-?-+++-?+--==-=ss s s s s D dxdyy x yx y x y x yx x y x y dxdy y x xy12112)]()()[(,0)(22222222(4)记S 在z=0上的部分为1S ，在x=0上的部分为2S ,在y=0上的部分为3S ,在122=+y x 上的部分为4S ,在22y x z +=上的部分为5S .有321222222=++=++=++S S S ydzdx x xzdydz zdxdy y ydzdx x xzdydz zdxdy y ydzdx x xzdydz zdxdy y.1631111102222102222224π=-+-=-+-=++dz x x x z x dx dxdz x x x z x ydzdx x xzdydz zdxdy y xz D S()()()()()()()81616316)]cos 1(cos 3cos 2[sin cos sin 3cos 2sin 32222122445102244522244222222225ππππθθθθθθθθθθθππ=-=∴-=---=--=--=-+-+++=++原式d r d dr r d dxdy y x x ydxdyy y x x y x x y xy ydzdx x xzdydz zdxdy y xyxyD D S3、解：（1）,33233y x z --=35211cos ,521cos ,531cos ,3651,33,232222222 2=???? ????+??? ????+==??? +??? ????+??-==???? ????+??? ????+??-==+??? ????+-=??-=??y z x z y z x z yz y z x z xzy z x z y z x z γβα 原式=()++=++S S dS R Q P dS R Q P 5325253cos cos cos γβα. （2）,2,2y yz x x z -=??-=?? 222222222222441111cos 44121cos 44121cos y x y z x z yx y y z x z yz y x x y z x z xz++=+??? ????+=++=+??? ????+??-=++=+??? ????+??-=γβα原式=()++++=++SSdS yx R yQ xP dS R Q P 2244122cos cos cos γβα§3-3格林公式及其应用 1．(1) y e x Q y x P -=-=,2，1,1=??-=??xQy p ，πab dxdy yPx Q D2)(=??-??=??故原式 (2) )2(,)1(--=+=y x Q y x P , y xQ x y p -=??+=??2,1 ,-=--=??-??=yD dx y x dy dxdy y P x Q 101061)1()(故原式（3）)(,)(222y x Q y x P +-=+=，x xQy x y p 2),(2-=??+=?? ?????--=--+-=--??-??=101013012311)3()24()(yD y dx y x dy dy y dxdy y P x Q 故原式（4）)sin (),cos 1(y y e Q y e P x x --=-=，)sin (,sin y y e xQy e y p x x --=??=?? 而在以)0,(π为起点)0,0(为终点的直线上=---)0,0()0,(0)sin ()cos 1(πdy y y e dx y e xx 所以原式)1(51]202sin 22cos 41[sin 21]sin )sin ([02sin 0ππππe e x e x e dxe x ydy dxe dxdy y e y y e xx x D x x xxx -=?+?+-=?-=-=---=2．4213456,4y y x Q xy x P -=+=-λ，222)1(6,12--=??=??λλx y xQxy y p 因为积分与路径无关，所以xQ y p ??=??,得3=λ -=-+=-++)2,1()0,0(1242442234579)56()56()4(dy y y dx x dy y y x dx xy x 3.(1)y x Q y x p +=+=2,2xQ y p ??==??2，是二元函数u(x,y)(的全微分. y x p x u 2+==??由，得)(221)2(),(2y xy x dx y x y x u ?++=+=? y y y x Q yu y x y u =+==??+=??)('2)('2??得，及由C y y +=221)(?，故C y xy x y x u +++=2221221),((2)x y Q x y x p 2cos 3cos 3,cos 3sin sin 4-==xQy x x y p ??==??3cos cos sin 12，是二元。