普通克立格插值法在地质生产中应用——以刘庄煤矿某工作面基岩面标高控制为例张凤鸣1，鱼海峰2，高唯员3（1,2,3 徐州市地质勘探队，江苏 徐州 221000）摘 要：通过对克立格插值法原理及其变差函数的介绍，结合刘庄煤矿某工作面基岩面标高实际控制情况，分析了影响控制精度的各因素，为勘探各阶段合理布置控制点提供理论指导。
同时采用交叉验证与采样验证相结合的方法，对不同控制方案的控制精度进行评价，确定合理的评价方案，以达到服务生产的目的。
关键字：克立格插值法；变差函数；逐步控制；精度分析ABSTRACT ：Through the introduction of Kriging interpolation method and the valuation as the basis of variogram model, combining the bedrock surface elevation of actual control of the situation of Liuzhuang Coal Mine, analyzed the factors that control precision, provided theoretical guidance for the various stages of the exploration and rational arrangement of control points. At the same time, with the combination of cross-validation and sampling verification methods, evaluated the accuracy of different control programs, determined a reasonable evaluation program, achieved at the purpose of production services. The results showed that by the progressive control, the errors in the reduction factors can achieve the precisions of production.KEY WORDS ：Kriging interpolation method; variogram; progressive control; accuracy analysis引言随着计算机在地质生产中的广泛应用，很多地质计算方法、计算原理被集成在各个软件包中，地质工作者所要做的就是简单的数据输入与计算结果的输出，而忽略了各个软件的应用前提条件、产生误差因素以及计算结果精度。
本文通过对普通克立格插值法原理及其所依赖的变差函数的介绍，结合实际生产分析了控制误差因素并对计算精度在不同计算方案下进行交叉验证，旨在说明丰厚的地质基础以及对各种地质计算方法的熟悉，通过设计合理的施工方案对生产成本、生产精度控制起着重要作用。
一、克立格插值法[1]1．1 对采样点属性值赋予权重求估计值n 个采样点得到n 个属性值( i = 1 ，2 ， 3 ，… n )，通过属性值来估计某一点上的未知值z*，可以通过对各个属性值赋予不同的权重w i 后累加得到，1*ni i i z w u ==∑（u i 为第i 采样点属性值）如果该点上的真实值为z ，则误差大小是∑∑∑∑====+-=-=-=ni nj ni i i j i j i ni i i z z u w u u w w z u w z z 11122122)(*）（δ（w i ，w j 表示点i ，j 的权重）如果该点上没有采样，则无法知道真正的误差大小，所以上式不可解。
1．2 通过距离相关量求权重空间统计方法认为估计值与采样点属性值的相似程度是通过点对的距离相关量来度量的。
点对距离相关量只与采样点间的相互距离有关，而与它们的绝对位置无关。
地质工作中，采样点以及估计点的位置坐标是已知的，因而可得到采样点之间、采样点与估计点之间的距离相关量。
距离相关量c (u i ,u j )表示采样点i 和j 的距离相关关系，c (u i ,z )表示采样点i 和估计点z 的距离相关关系。
克立格算法中使用距离相关量c (u i ,u j ) 和c (u i ,z )来代替上式中的未知部分，得到：2111,2(,)(,)n n nC i j i j i i i j i w w u u w c u z c z z ====-+∑∑∑（）δ为了使误差值最小，根据极值原理，使 0iw 2∂=∂δ得到12(,)2(,)0nj i j i i w c u u c u z =-=∑ 即 ：1(,)(,)nj i j i i w c u u c u z ==∑从公式可以看出，通过采样点之间、采样点与估计点之间的距离相关量可以得到各个采样点对估计点贡献的权重w i 。
采样点属性值与相应权重乘积的线性相加得到估计值，即： 1*ni i i z w u ==∑1．3 无偏估计如果某些采样点的权重分配过大或过小，估计值就会偏向或偏离某些采样点属性值而失真。
为了达到无偏估计的目的，克立格算法中规定11ni i w ==∑。
1．4 通过变差函数求距离相关量克立格算法中使用变差函数[2]求得距离相关量，即假设空间点只在一维x 轴上变化，就把区域化变化量z (x )在x ,x +h 两点处的值之差的方差之半定义为z (x )在x 方向上的变差函数，记为r (x ,h )。
即()()()()()(){}22111222(,)r x h Var z x z x h E z x z x h E z x z x h =-+=-+--+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦上式是变差函数的理论形式，而在实际计算中不方便，通过二阶平稳假设，可简化为： []212()()()r h E z x z x h =-+可以看出，变差函数通过求某一方向上距离不同的点对所带信息间差平方的平均，实际上表达的是在一个方向上距某点一定距离位置上的信息与这个点上信息之间的关系，其自变量是一个矢量。
二、在刘庄煤矿13-1（11-1）煤层1300（1100）工作面基岩面标高控制中应用2．1 刘庄项目概况刘庄煤矿位于淮南潘谢矿区的西部，为新生界松散层所覆盖的较厚隐伏式煤田，松散层地层厚度为70～550m ，从上至下大致可分为三个含水层（组）和相应隔水层（组），其中底部砾石层直接覆盖在煤系地层上。
该地层中含煤多层，∠10°～20°，目前主采煤层厚为4m 左右，煤层稳定，且构造相对简单。
原设计单位在矿井设计时，留设了80m 垂高的防水煤岩柱[3]，积压了浅部煤炭资源。
通过对该矿区地质条件的进一步的认识，可以通过开展“刘庄煤矿13-1、11-1煤层合理煤岩柱留设可行性研究”工作，研究影响上提工作面的新生界下部松散层岩性结构、厚度、富水性、基岩风化带特征、覆岩结构性质与类型、回采时“二带”高度的破坏规律，以及回采时对“二带”高度的现场观测研究等综合工作，从而为刘庄煤矿1100、1300工作面提高上限的安全开采提供基础性论证。
2．2 克立格插值法在生产中指导作用在详勘设计施工中，上提工作面及其附近11个钻孔位置如图1所示。
图1 钻孔分布、基岩面标高等值线—矢量综合图（单位：m）由图1可以看出，基岩面标高各向异性显著，南北为主梯度方向（倾向）。
拟工作面附近等值线弯曲变形与整体趋势不协调，同时拟工作面内控制钻孔太少，不利于评价工作进一步展开，后期补勘4个钻孔（抽水1、抽水2、覆岩1、覆岩2），旨在加强拟工作面控制和主梯度方向的控制。
加密控制后等值线图如图2：图2 加密控制后基岩面标高等值线图（单位：m）加密后基岩面标高等值线较之加密前，拟工作面附近弯曲更为明显，说明该局部范围基岩面有着较为明显的起伏变化。
由图2基岩面标高等值线经克立格插值计算得的4个补勘钻孔标高与实际测量取得的标高比较如表1。
表1 实测基岩面标高与插值求得基岩面标高比较（单位：m）据表1：覆岩1、覆岩2的误差较大，其中后者已超过《建筑物、水体、铁路及主要井巷煤柱留设与压煤开采规程》定义的保护层厚度[4]，H保=3×4=12（m），（3—系数，4—采高），满足不了生产精度要求。
这在风化作用强烈的古地貌地带，地形起伏变化较大，在钻孔控制不够或布置不合理的情况下是常常遇见的，同时验证了加密控制的必要性与布点的合理性。
由表1及钻孔分布图结合第一目对克立格插值法原理及变差函数分析可知，控制误差因素有以下两个方面：1．区域构造情况，古地貌风化剥蚀程度。
这是因为数据的空间变异总是可以区分为受大尺度区域因素控制的规律变化及半规律变化或方向性变化，和受小尺度局部因素制约的随机变化[5]。
2．待估值点周边采样点的疏密程度及布点方式。
克立格插值法是通过统计采样点对之间距离，自动设置基本步长（滞后距），进行变差函数模型拟合的。
同时普通克立格插值法是种加权平均，权值大小由点对之间距离决定的。
2．3 通过交叉验证，确定勘探精度通过以上几点分析，在理解影响克立格插值法精度的因素基础上，运用交叉验证评价克立格插值法的精度。
所谓交叉验证就是假设研究变量为z(x)，依次删去在采样点x i（i=1，2，3,… n），其它点的属性值保持不变，利用剩下的n-1个点的属性值，插值计算被删除的采样点上的属性值z*（x），并对n 个插值计算结果与实际的结果作比较，进行误差的统计学分析。
考虑到是在原有的设计基础上进行上提的，所以只需选取上提工作面风巷附近一系列钻孔进行验证，可采用两种方案进行交叉验证。
方案1：在现有的所有钻孔基础上，进行交叉验证（表2）。
表2 在现有的所有钻孔基础上进行交叉验证（单位：m）方案2：在现有的钻孔基础上，剔除部分钻孔进行交叉验证。
现在是进行局部控制，主要研究由随机变化引起的误差。
由距离相关性可知，相距较远的两点之间几乎没有联系，却增加模型拟合的难度，同时弱化了邻近钻孔的作用[6]（尺度效应）。
现在原有的钻孔中剔除162、117、二十32、165、112等较远钻孔，经克立格插值对表2中各钻孔进行交叉验证（表3）。
表3 剔除部分钻孔进行交叉验证（单位：m）由表2与表3可知：覆岩1的误差均较大。
同处走向方向抽水1、覆岩1、十一1三个钻孔，覆岩1所处地势低洼（自动拟合变差函数模型，默认该3点应在同一水平），同时主梯度方向上没有相对较近的控制钻孔，这必将导致覆岩1估计误差较大，近一步验证了加密控制的必要性与布点的合理性。
