插值法的分类与应用

插值法的方法与应用

武汉科技大学城市建设学院

琚婷婷 结构工程 201108710014

【摘要】文章讨论插值法在数值分析中的中心地位和重要作用，比较插值法间的优缺点，应用以及各种方法之间的相互联系。

【关键词】插值法；应用。

1．插值问题的提出

在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，但是这些关系的显示表达式不一定都知道，通常只是由观察或测试得到一些离散数值，所以只能从这些数据构造函数的近似表达式，有时虽然给出了解析表达式，但由于解析表达式过于复杂，使用或计算起来十分麻烦。这就需要建立函数的某种近似表达，而插值法就是构造函数的近似表达式的方法。

2．插值法的数学表达

由于代数多项式是最简单而又便于计算的函数，所以经常采用多项式作为插值函数，称为多项式插值。多项式插值法有拉格朗日插值法，牛顿插值法、埃尔米特插值法，分段插值法和样条插值法等。其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插值函数f (x)的近似解析表达式。

3．常用多项式插值公式构造

(I)拉格朗日插值

n 次拉格朗日插值多项式p n (x)对可表示为

p n (x)= y i l i (x)n i=0= y i ( x −x

j x i −x j

n j ≠0i ≠j n i=0) 其中l i x ,i =0,1,2∙∙∙,n 称为插值基函数，插值余项为：

R n (x)= f (x)- p n (x)=f n +1 (ξ)

n+1 ！ (x −x i )n i=0

拉格朗日插值多项式在理论分析中非常方便，因为它的结构紧凑，利用基函

数很容易推导和形象的描述算法，但是也有一些缺点，当插值节点增加、减少或其位置变化时，整个插值多项式的结构都会改变，这就不利于实际计算，增加了算法复杂度，此时我们通常采用牛顿插值多项式算法。

(2)牛顿插值多项式

牛顿插值多项式为

N(x)=f(x0)+f x0,x1(x−x0)++⋅⋅⋅+f［x0,x1,⋅⋅⋅,x n］(x−x0)(x−x1)⋅⋅⋅(x−x n−1)用它插值时，首先要计算各阶差商，而各高阶差商可归结为一阶差商的逐次计算。一般情况讨论的插值多项式的节点都是任意分布的，但是在实际应用中，出现了很多等距节点的情形，这时的插值公式可以进一步简化，在牛顿均差插值多项式中各阶均差用相应的差分代替，就得到了各种形式的等距节点插值公式，常用的是牛顿前插与后插公式。

(3)分段插值

在整个插值区间上，随着插值节点的增多，插值多项式的次数必然增高，而高次插值会产生Runge现象，不能有效的逼近被插函数，人们提出用分段的低次多项式分段近似被插函数，这就是分段插值法。构造分段插值多项式的方法仍然是基函数法，即先在每个插值节点上构造分段线性插值基函数，再对基函数作线性组合。它的优点在于只要节点间距充分小，总能获得所要求的精度，即收敛性总能得到保证，另一优点是它的局部性质，即如果修改某个数据，那么插值曲线仅仅在某个局部范围内受到影响。

(4)Hermite插值

分段线性插值的算法简单，计算量小，然而从整体上看，逼近函数不够光滑，在节点处，逼近函数的左右导数不相等，若要求逼近函数与被逼近函数不仅在插值节点上取相同的函数值，而且还要求逼近函数与被逼近函数在插值节点上取相同的若干阶导数值，这类问题称为Hermite插值。

(5)样条插值

通常我们用到的分段三次埃尔米特插值构造的是一个整体上具有一阶光滑性的插值多项式，但在实际中，对光滑性的要求更高。如飞机外形的理论模型，舶体放样等型值线等常要求有二阶的光滑度。工程上常用的是3次样条函数s(x)。其基本思想是将插值区间n等分后，在每一个小区间上，采用分段3次Hermite

插值法导出插值函数s (x)：①在每个小区间［x i −1,x i ］上，是不高于3次的多项式p i (x) ,i =0,1,2∙∙∙,n -1；②在插值节点x i 上，s(x i )= f(x i )；③在整个区间［a,b ］上，s(x)有一阶和二阶连续导数。

4．插值法的应用

插值法除用于求函数值外，还有多种用法。

(1)数值微分方法：数值微分法就是利用等距节点上的插值多项式求函数的导数值的方法。常用的两点公式和三点公式就是用分段线性插值和分段抛物插值法导出的。值得注意的是这两种公式只适合节点处的导数值。在区间内的其他点处求导数最好用样条插值函数。

(2)数值积分法：对于积分I = f(x)b

a d x ,若被积函数不清楚或其原函数不易求，通常根据f(x)在积分区间［a,

b ］上的数据表，构造插值多项式p(x)代替f(x)，再导出积分值。

(3)数据拟合：仍然是通过给定的一组测定的离散数据求自变量与因变量的近似表达式，鉴于插值法其近似标准是在插值点处的误差为零，考虑实际应用中，有时不要求具体某些点的误差为零，从而考虑整体的误差限制，因此不要求所求函数通过所有的节点，而是要求所求近似函数反映原函数整体的变化趋势，为达到此目的可用数据拟合的方法。 参考文献

[1] 李庆扬，王能超，易大义. 数值分析[M]第五版 . 华中科技大学出版