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佰校联盟名校名师高考俱乐部百校联考2017届模拟冲刺卷（样卷）（一）理科数学考试时间：120分钟 满分：150分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设z ＝2－i (i 是虚数单位)，则z ＋5z＝( )A ．2B ．4C ．2iD ．4i2．已知函数f (x )＝x 2－a 的定义域为A ，且2∉A ，则实数a 的取值范围是( ) A.(]－∞，2 B.[)2，＋∞ C.()－∞，4 D.()4，∞ 3．命题P ：∀x ∈R ，x 3≤0的否定是( )A ．∀x ∈R ，x 3>0B ．∃x ∈R ，x 3≤0C ．∃x ∈R ，x 3>0D ．∃x ∈R ，x 3≥0 4．已知数列{}a n 满足a n (1＋2a n －1)＝a n －1，a 1＝2，则a 10等于( ) A.215 B.217 C.237 D.221第5题图5．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是( ) A ．50 B ．51 C ．25 D ．246．设二项式为⎝⎛⎭⎫ax －1x 6(a ≠0)，其展开式中x 2项的系数是x 4项的系数的5倍，则常数项的值是( )A.52 B ．－12C ．2D ．－27．若投掷一枚均匀的骰子(六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6)3次，则向上一面的最大数字和最小数字的差恰好为5的概率是( )A.16B.536C.19D.112第8题图8．执行如右图的程序框图，那么输出S 的值是( ) A ．－1 B ．0 C.12 D ．29．已知抛物线y ＝x 2上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋4对称，则y 1y 2＝( ) A.12 B.14C ．9D ．2 10．定义区间[]m ，n 的长度为n －m ，已知函数y ＝sin x 的定义域为⎣⎡⎦⎤2π3，b ，值域为⎣⎡⎦⎤－1，32，则区间⎣⎡⎦⎤2π3，b 的长度不可能．．．是( ) A.5π6 B.7π6 C.3π2 D.11π611．设|AB →|＝1，若|CA →|＝2|CB →|，则CA →·CB →的最大值为( ) A.13 B ．2 C.8＋529D ．3 12．如果a ，b ，c ，d 依次成等比数列，且abcd ＝64，b ＋c ＝2；而e ，f 满足条件：使等式121·3＋223·5＋325·7＋…＋n 2（2n －1）（2n ＋1）＝en 2＋n fn ＋2对一切n ∈N *都成立．则关于a ，b ，c ，d ，e ，f 的存在性的叙述，正确的是( )A ．a ，b ，c ，d ，e ，f 都不存在B ．a ，b ，c ，d 不存在，e ，f 存在，且e ＋f ＝5C ．e ，f 不存在，a ，b ，c ，d 存在，a ＋b ＋c ＋d ＝5D ．a ，b ，c ，d ，e ，f 都存在，且和为0第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．过圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝16的圆心的抛物线标准方程为________．14．设a →＝(1，cos x )，b →＝(3sin x ，2)，f (x )＝a →·b →.则函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫π2＋x (0≤x ≤π2)的最大值________．15．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
输出S K=K+1a =a S =S +a ∙K 是否输入a S =0,K =1结束K ≤6开始2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国2卷)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =I ，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =o，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）ABCD11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.112.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
数学理试题第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{}{}2|120,|sin 5A x Z xx B x x π=∈+-<=<,则A B 中元素的个数为(）A ．2B ．3C ．4D ．52.设向量()()2,,1,1a m b ==-，若()2b a b ⊥+，则实数m 等于（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．—3 3。
已知正项等比数列{}na 的前n 项和为nS ,且244aa =，则425S a a +等于（ ）A ．56B ．57C ．34D ．794.已知命题()()32:1,,log 202xp x x ∀∈+∞+->,则下列叙述正确的是( )A ．p ⌝为:()()321,,log 202xx x ∀∈+∞+-≤ B ．p ⌝为：()()321,,log 202x x x ∃∈+∞+-< C.p ⌝为:(]()32,1,log 202xx x ∃∈-∞+-≤D ．p ⌝是假命题5。
已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()21ax f x x =+。
若曲线()y f x =在点()()1,1f --处切线的斜率为—1,则实数a 的值为（ )A ．34- B ．43C 。
32D ．32-6。
若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知2sin 23sin b A a B =，且2c b =，则a b等于（ ）A 22B ．33C 2D 37。
已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ，且3634aa =+，则“21a <”是“510S <"的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件8.已知4cos cos sin 236ππθθθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 26πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ） A ．16 BC. D．9。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则的元素的个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】因为，，故，应选答案C。
2. 若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知为“理想复数”，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以由题设中定义的心概念可得，即，应选答案A。
3. 已知角的终边经过点，若，则的值为（）A. 27B.C.D.【答案】B4. 已知为奇函数，当时，，其中，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，则，所以，即，所以，则，所以，由几何概型的计算公式可得，应选答案D。
5. 若直线与抛物线相交于两点，则等于（）A. B. C. D.【答案】B6. 《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有周长为的满足，试用以上给出的公式求得的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由正弦定理及题设可设三角形的三边分别为错误！未找到引用源。
，由题意错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
，故由三角形的面积公式可得：错误！未找到引用源。
，应选答案A。
7. 某程序框图如图所示，其中，该程序运行后输出的，则的最大值为（）A. B. C. 2058 D. 2059【答案】C【解析】由题设中提供的算法流程图可知：当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
；当错误！未找到引用源。
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a =a S =S +a ∙K 是否输入a S =0,K =1K ≤6开始2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国2卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1。
31ii+=+() A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2。
设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =()A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增,共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 4。
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π 5。
设x ,y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（)A ．15-B ．9-C ．1D ．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7。
2017届安徽省百校论坛高三上学期第二次联考理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.若集合{}{}2|120,|sin 5A x Z x x B x x π=∈+-<=<，则A B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．52.设向量()()2,,1,1a m b ==-，若()2b a b ⊥+，则实数m 等于（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．-33.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244a a =，则425S a a +等于（ ）A ．56 B ．57 C ．34 D ．794.已知命题()()32:1,,log 202x p x x ∀∈+∞+->，则下列叙述正确的是（ ）A ．p ⌝为：()()321,,log 202x x x ∀∈+∞+-≤B ．p ⌝为：()()321,,log 202x x x ∃∈+∞+-<C.p ⌝为：(]()32,1,log 202x x x ∃∈-∞+-≤D ．p ⌝是假命题5.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()21ax f x x =+.若曲线()y f x =在点()()1,1f --处切线的斜率为-1，则实数a 的值为（ ） A ．34-B ．43 C.32 D ．32- 6.若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin 23sin b A a B =，且2c b =，则ab等于（ ） ABD7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3634a a =+，则“21a <”是“510S <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8.已知4cos cos sin 236ππθθθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 26πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ）A ．16B．9.已知约束条件30,230,x y x y x a +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，表示的可行域为D ，其中1a >，点()00,x y D ∈，点(),m n D ∈.若003x y -与1n m+的最小值相等，则实数a 等于（ ） A ．54 B ．32C.2 D ．3 10.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象.若函数()g x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且函数()g x 的最大负零点在区间,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．5,612ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦11.在ABCD 中，60BAD ∠=︒，E 是CD 上一点，且1,2AE AB BC AB AD λ=+=.若212AC EB AD = ，则λ等于（ ）A ．12B ．32C.2 D ．312.已知函数()()221xf x ae x a x =--+，若函数()f x 在区间()0,ln 2上有最值，则实数a的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．()1,0- C.()2,1-- D ．()(),00,1-∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()35sin ,0,21log ,0,6x x f x x x π⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩则(f f ⎡⎤=⎣⎦．14.已知非零向量,a b 满足()223,2a b a a b b =-= ，则a 与b 的夹角的余弦值为 ． 15.设函数()29sin 8cos 216f x x x =-+的最小值为m ，且与m 对应的x 最小正值为n ，则m n += ．16.已知数列{}n a 满足134223n n n a a a +++=+，且11a =，设12n n a b +=，则数列{}1n n b b +的前50项和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C所对的边分别为,,,2sin cos ,a b c A a B b ==. （1）若2c =，求sin C ； （2）求ABC ∆面积的最大值. 18. （本小题满分12分）已知函数()222cos f x x x a =--在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2. （1）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）设11016,0,,,221213235f f πππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ-的值.19. （本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12,,n n S a +成等差数列()n N *∈. （1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若()1n n b an a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=，D 为AC 边上一点.（1）若524,3BCD c b S ∆===，求DC 的长；（2）若D 是AC 的中点，且cos B BD ==ABC ∆的最短边的边长. 21. （本小题满分12分） 已知函数()3228f x x ax =-+.（1）若()0f x <对[]1,2x ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围；（2）是否存在整数a ，使得函数()()22341238g x f x ax a x a =+-+-在区间()0,2上存在极小值，若存在，求出所有整数a 的值；若不存在，请说明理由. 22. （本小题满分12分）已知函数()()ln ,xf x ax x F x e ax =-=+，其中0,0x a ><.（1）若()f x 和()F x 在区间()0,ln 3上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围； （2）若21,a e ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，且函数()()12ax g x xe ax f x -=-+的最小值为M ，求M 的最小值.参考答案一、选择题1.B {}{}3,2,1,0,1,2,|0A B x x =---=<，则{}3,2,1A B =--- ，故选B .2.C ()2b a b ⊥+ ，所以()20b a b += ，即420m -+=，得6m =.3.A 设公比为q ，由244a a =得()414425112152,226a S q a a a a -===++.4.D p ⌝为：()()321,,log 202xx x ∃∈+∞+-≤，又函数()()32log 22x f x x =+-在()1,+∞上是增函数，所以()()10f x f >=，故p 是真命题，即p ⌝是假命题.5.B 当0x >时，()()2221ax axf x x +=+′，函数()f x 是偶函数，()11f -=-′∴()11f =′，即314a =，得43a =. 6.C 由2sin 23sinb A a B =得4sin sin cos 3sin sin B A A A B =，得3cos 4A =，又.2c b =∴2222cos a b c bc A =+-，则ab=. 7.A 设公差为d ，由3634a a =+得223344a d a d +=++，即224d a =-，则由510S <得()1552a a +=()()24255681022a a a +-=<，即有22a <.选A . 8.B由已知得4sin cos 2sin 2sin 22sin 2663πππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=--=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即tan 2θ=，∴tan 26πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 9.C 作出大致可行域，则取点()1,2时，003x y -取最小值1.1n m+表示经过可行域内一点(),m n 与点()0,1-的直线的斜率，当取直线30x y +-=与x a =的交点坐标(),3a a -时，1n m +取最小值，即41aa-=，得2a =. 10.D ()()sin 22g x x ϕ=-，则函数()g x 的单调增区间为(),44k k k Z πππϕπϕ⎡⎤-+++∈⎢⎥⎣⎦， 02πϕ<< ，∴0,,344πππϕϕ⎡⎤⎡⎤∈-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则0,4,43πϕππϕ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩解得124ππϕ≤≤；由22x k ϕπ-=得()2k x k Z πϕ=+∈，∴函数()g x 的最大负零点为2πϕ-，则3212πππϕ-<-<-，解得612ππϕ<<.综上得64ππϕ<≤.11.C 由12AE AB BC =+ 得1122DE AB DC ==，即E 是CD 的中点，则()2211112222AC EB AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭，60,BAD AB AD λ∠=︒=，212AC EB AD = ，∴2260λλ--=，得2λ=或32λ=-（舍去）.12.A ()()221x f x a e x =---′，()0,ln 2x ∈ ，∴20,210xe x -<--<.当0a ≥时，()0f x <′在()0,ln 2上恒成立，即函数()f x 在()0,ln 2上单调递减，函数()y f x =在区间()0,ln 2上无最值；当0a <时，设()()221x g x a e x =---，则()20xg x ae =-<′，()g x 在()0,ln 2上为减函数，又()()01,ln 22ln 210g a g =--=--<，若函数()f x 在区间()0,ln 2上有最值，则函数()g x 有极值，即()0g x =有解，∴()010g a =-->，得1a <-.二、填空题(410sin sin 333f f f ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-=-== ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭. 14.13由2a b a b -=+得22a b b = ，∴22cos ,a b a b b <>= ，23a b = ，∴1cos ,3a b <>=.15. 3π()99cos 21cos 22388cos 2162cos 21222x x f x x x -+=+=+-++，()cos 210x +> ，∴()f x332042≥⨯-=，当且仅当9cos 228cos 222x x +=+，即1cos 22x =-时等号成立，则x 的最小正值为3n π=，∴3m n π+=.16.50201 由134223n n n a a a +++=+得123111n n n a a a ++=++，即111211n n a a +-=++，∴数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为首项，2为公差的等差数列，则13212n n a =-+，∴11243n na b n +==-，则()()114341n n b b n n +=-+11144341n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，∴125051115014201201b b b b ⎛⎫++=-=⎪⎝⎭ …. 三、解答题17.解：（1）sin sin 2sin cos ,,A BA aB b a b===，∴2sin B B =，即tan B =，∴sin B = 2c = ，∴sin 2sin 3c B C b ==. （2）由（1）得2cos 3B =，∴2244252333a c ac ac ac ac =+-≥-=，即有152ac ≤，则当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取最大值2，即有212a --=，得1a =-.∴()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则当263x ππ-=-，即12x π=-时，()f x 取最小值（1）110162sin ,2cos 21213235f f ππααββ⎛⎫⎛⎫+==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∴53sin ,cos 135αβ==， ,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴124cos ,sin 135αβ==， ∴()154833sin sin cos cos sin 656565αβαβαβ-=-=-=-. 19.解：（1）12,,n n S a + 成等差数列，∴122n n S a +=+， 当1n =时，11224S a a ==+， 当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，{}n a 是等比数列，∴11a =，则42a +=，得2a =-，∴数列{}n a 的通项公式为()12n n a n N -*=∈. （2）由（1）得()()121212n n n b n a n -=-=- ，则()23111325272212,n Tn n -=⨯+⨯+⨯+⨯++-…①()()2312123252232212,n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+- …②，①-②得()2111222222212n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯-- …，()()2112222212n n n -=++++-- …()()11421212n n n -=+---()2323n n =--- . ∴()2323n n T n =-+ .20.解：1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=， ∴1sin sin cos sin sin cos sin 3A A C C A A C +=，即1sin sin sin 3A B C =.（1）2c b = ，∴sin 2sin C B =，则2sin 3A =，∴18sin 23ABC S bc A ∆==，52,,3BCDBCD ABCS CD AC S AC S ∆∆∆===，∴54CD =. （2）由cos B =得sin B =， ()C A B π=-+，∴()3sin A A B =+，则sin cos A A =，得tan 1A =∴4A π=，则221264c b +=，1sin sin 3A C =且1sin sin 3B C =，∴c b ===，∴222913265105a a a +-=.解得a =，∴6b c ==.∴ABC ∆的最短边的边长21.解：（1）由()0f x <得3222882x a x x x +>=+， 设()282h x x x =+，则()3162h x x =-′， [],2x ∈ ，∴()0h x ≤′，则()h x 在[]1,2上是减函数，∴()()max 110h x h ==， ()0f x < 对[]1,2x ∀∈恒成立，即282a x x>+对[]1,2x ∀∈恒成立， ∴10a >，则实数a 的取值范围为()10,+∞.（2）()322323123g x x ax a x a =+-+ ，∴()()()22661262g x x ax a x a x a =+-=-+′，①当0a =时，()0g x ≥′，()g x 单调递增，无极值.②当0a >时，若2x a <-，或x a >，则()0g x >′；若2a x a -<<，则()0g x <′. ∴当x a =时，有极小值.()g x 在()0,2上有极小值，∴02a <<.∴存在整数1a =.③当0a <时，若x a <或2x a >-，则()0g x >′；若2a x a <<-，则()0g x <′. ∴当2x a =-时，()g x 有极小值.()g x 在()0,2上有极小值，∴022a <-<，得10a -<<.由①②③得，存在整数1a =，使得函数()g x 在区间()0,2上存在极小值. 22.解：（1）()()11,,0x ax f x a F x e a x x x-=-==+>′′， ()0,0a f x << ′在()0,+∞上恒成立，即()f x 在()0,+∞上单调递减.当10a -≤<时，()0F x >′，即()F x 在()0,+∞上单调递增，不合题意； 当1a <-时，由()0F x >′，得()ln x a >-，由()0F x <′，得()0ln x a <<-. ∴()F x 的单调减区间为()()0,ln a -，单调增区间为()()ln ,a -+∞.()f x 和()F x 在区间()0,ln 3上具有相同的单调性，∴()ln ln 3a -≥，解得3a ≤-， 综上，a 的取值范围是(],3-∞-. （2）()()111111ax ax ax g x e axe a ax e x x ---⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭′， 由110ax e x --=得到1ln x a x -=，设()()21ln ln 2,x x p x p x x x--==′，当2x e >时，()0p x >′；当20x e <<时，()0p x <′.从而()p x 在()20,e 上递减，在()2,e +∞上递增.∴()()22min 1p x p e e ==-. 当21a e ≤-时，1ln x a x -≤，即110ax e x --≤， 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()()10,0,ax g x g x +>≤′递减； 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()()10,0,ax g x g x +<≥′递增.∴()min 1g x g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设(()()222110,,ln 10t t e g h t t t e a a e ⎛⎫⎤=-∈-==-+<≤ ⎪⎦⎝⎭， ()()2110,h t h t e t =-≤′在(20,e ⎤⎦上递减.∴()()20h t h e ≥=；∴M 的最小值为0.。
输出S K=K+1a =a S =S +a ∙K 是否输入a S =0,K =1结束K ≤6开始2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国2卷)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =I ，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =o，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）ABCD11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.112.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年内蒙古百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|（x﹣2）（x+3）＜0}，B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A． B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1） D．2．已知复数z满足z（+3i）=16i（i为虚数单位），则复数z的模为（）A．B．2 C．4 D．83．已知两个随机变量x，y之间的相关关系如表所示：根据上述数据得到的回归方程为=x+，则大致可以判断（）A．＞0，＞0 B．＞0，＜0 C．＜0，＞0 D．＜0，＜04．已知向量=（2，﹣4），=（﹣3，x），=（1，﹣1），若（2+）⊥，则||=（）A．9 B．3 C．D．35．已知等比数列{a n}的前n项积为T n，若log2a2+log2a8=2，则T9的值为（）A．±512 B．512 C．±1024 D．10246．执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（）A．5 B．6 C．7 D．87．已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别为A（2，0，2），B（2，1，2），C（0，2，2），D（1，2，0），画该三棱锥的三视图中的俯视图时，以xOy 平面为投影面，则得到的俯视图可以为（）A．B．C．D．8．已知过点（﹣2，0）的直线与圆O：x2+y2﹣4x=0相切与点P（P在第一象限内），则过点P 且与直线x﹣y=0垂直的直线l的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C． x+y﹣2=0 D．x+y﹣6=09．函数f（x）=（﹣1）•sinx的图象大致形状为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＜0），若y=f（x+）的图象与y=f（x﹣）的图象重合，记ω的最大值为ω0，函数g（x）=cos（ω0x﹣）的单调递增区间为（）A．（k∈Z） B．（k∈Z）C．（k∈Z） D．（k∈Z）11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点A在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．12．定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）在上恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]二、填空题（1+x﹣30x2）（2x﹣1）5的展开式中，含x3项的系数为（用数字填写答案）14．已知实数x ，y满足则z=的取值范围为 ．15．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足n （n+1）S n 2+（n 2+n ﹣1）S n ﹣1=0（n ∈N *），则S 1+S 2+…+S 2017= ．16．如图所示，三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 是边长为3的等边三角形，D 是线段AB 的中点，DE ∩PB=E ，且DE ⊥AB ，若∠EDC=120°，PA=，PB=，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 、b 、c 成等比数列，c=bsinC ﹣ccosB ．（Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）若b=2，求△ABC 的周长和面积．18．（12分）每年的4月23日为世界读书日，为调查某高校学生（学生很多）的读书情况，随机抽取了男生，女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频数分布表和女生年阅读量的频率分布直方图． 男生年阅读量的频数分布表（年阅读量均在区间内）（Ⅰ）根据女生年阅读量的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数；（Ⅱ）若年不小于40本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究年阅读量与性别的关系，完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为阅读丰富与性别有关；（Ⅲ）在样本中，从年阅读量在的学生中，随机抽取2人参加全市的征文比赛，记这2人中男生人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：，其中n=a+b+c+d19．（12分）已知矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分别为DE、CF的中点，现沿着EF翻折，使得二面角A﹣EF﹣B大小为．（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A﹣DB﹣E的余弦值．20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，点B是椭圆C的上顶点，点Q在椭圆C上（异于B点）．（Ⅰ）若椭圆V过点（﹣，），求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R， =．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+，其中a＞0．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：（1+）（1+）（1+）…（1+）＜e（n∈N*，n≥2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．23．已知函数f（x）=|3x﹣4|．（Ⅰ）记函数g（x）=f（x）+|x+2|﹣4，在下列坐标系中作出函数g（x）的图象，并根据图象求出函数g（x）的最小值；（Ⅱ）记不等式f（x）＜5的解集为M，若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，求实数λ的取值范围．2017年内蒙古百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|（x﹣2）（x+3）＜0}，B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A． B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1） D．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求出A，B中不等式的解集确定出B，找出B的补集，求出A与B补集的交集即可．【解答】解：A={x|（x﹣2）（x+3）＜0}=（﹣3，2），B={x|y=}=（﹣1，+∞），∴∁R B=（﹣∞，﹣1]∴A∩（∁R B）=（﹣3，﹣1]．故选：B．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知复数z满足z（+3i）=16i（i为虚数单位），则复数z的模为（）A．B．2 C．4 D．8【考点】A8：复数求模；A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（+3i）=16i（i为虚数单位），∴z（+3i）（﹣3i）=16i（﹣3i），∴16z=16i（﹣3i），∴z=3+i．则复数|z|==4．故选：C．【点评】本题考查了复数运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知两个随机变量x，y之间的相关关系如表所示：根据上述数据得到的回归方程为=x+，则大致可以判断（）A．＞0，＞0 B．＞0，＜0 C．＜0，＞0 D．＜0，＜0【考点】BK：线性回归方程．【分析】利用公式求出，，即可得出结论．【解答】解：样本平均数=0.2， =﹣1.7，∴==＞0，∴=﹣1.7﹣×0.2＜0，故选：C．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．4．已知向量=（2，﹣4），=（﹣3，x），=（1，﹣1），若（2+）⊥，则||=（）A．9 B．3 C．D．3【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量垂直关系推出等式，求出x，然后求解向量的模．【解答】既然：向量=（2，﹣4），=（﹣3，x），=（1，﹣1），2+=（1，x﹣8），（2+）⊥，可得：1+8﹣x=0，解得x=9．则||==3．故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，向量的模的求法，考查计算能力．5．已知等比数列{a n}的前n项积为T n，若log2a2+log2a8=2，则T9的值为（）A．±512 B．512 C．±1024 D．1024【考点】8G：等比数列的性质．【分析】利用已知条件求出a2a8的值，然后利用等比数列的性质求解T9的值．【解答】解：log2a2+log2a8=2，可得log2（a2a8）=2，可得：a2a8=4，则a5=±2，等比数列{a n}的前9项积为T9=a1a2…a8a9=（a5）9=±512．故选：A．【点评】本题考查的等比数列的性质，数列的应用，考查计算能力．6．执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的i值．【解答】解：模拟执行程序的运行过程，如下；S=1，i=1，S＜30；S=2，i=2，S＜30；S=4，i=3，S＜30；S=8，i=4，S＜30；S=16，i=5，S＜30；S=32，i=6，S≥30；终止循环，输出i=6．故选：B【点评】本题主要考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．7．已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别为A（2，0，2），B（2，1，2），C（0，2，2），D（1，2，0），画该三棱锥的三视图中的俯视图时，以xOy 平面为投影面，则得到的俯视图可以为（）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】找出各点在xoy平面内的投影得出俯视图．【解答】解：由题意，A（2，0，2），B（2，1，2），C（0，2，2），D（1，2，0）在xOy 平面上投影坐标分别为A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），D（1，2，0）．故选：C．【点评】本题考查了三视图的定义，简单几何体的三视图，属于基础题．8．已知过点（﹣2，0）的直线与圆O：x2+y2﹣4x=0相切与点P（P在第一象限内），则过点P 且与直线x﹣y=0垂直的直线l的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C． x+y﹣2=0 D．x+y﹣6=0【考点】J7：圆的切线方程．【分析】求出P的坐标，设直线l的方程为x+y+c=0，代入P，求出c，即可求出直线l的方程．【解答】解：由题意，切线的倾斜角为30°，∴P（1，）．设直线l的方程为x+y+c=0，代入P，可得c=﹣4，∴直线l的方程为x+y﹣4=0，故选B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．9．函数f（x）=（﹣1）•sinx的图象大致形状为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证．【解答】解：∵f（x）=（﹣1）•sinx，∴f（﹣x）=（﹣1）•sin（﹣x）=﹣（﹣1）sinx=（﹣1）•sinx=f（x），∴函数f（x）为偶函数，故排除C，D，当x=2时，f（2）=（﹣1）•sin2＜0，故排除B，故选：A【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题．10．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＜0），若y=f（x+）的图象与y=f（x﹣）的图象重合，记ω的最大值为ω0，函数g（x）=cos（ω0x﹣）的单调递增区间为（）A．（k∈Z） B．（k∈Z）C．（k∈Z） D．（k∈Z）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；HA：余弦函数的单调性．【分析】利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，利用正弦函数的周期性求得ω的值，再利用余弦函数的单调性，求得函数g（x）的增区间．【解答】解：函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＜0）=2sin（ωx﹣），若y=f（x+）的图象与y=f（x﹣）的图象重合，则为函数f（x）的周期，即=k•||，∴ω=±4k，k∈Z．记ω的最大值为ω0，则ω0=﹣4，函数g（x）=cos（ω0x﹣）=cos（﹣4x﹣）=cos（4k+）．令2k π﹣π≤4x+≤2k π，求得﹣≤x ≤﹣，故函数g （x ）的增区间为[﹣，﹣]，k ∈Z ．故选：A ．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，余弦函数的单调性，属于中档题．11．已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，点F 2关于双曲线C 的一条渐近线的对称点A 在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】设F （﹣c ，0），渐近线方程为y=x ，对称点为F'（m ，n ），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设F （﹣c ，0），渐近线方程为y=x ， 对称点为F'（m ，n ），即有=﹣，且•n=•，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e 2=5，解得e=．故选：D ．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）在上恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤2mx﹣lnx≤6对x∈恒成立，2m≥且2m≤对x∈恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得m的范围．【解答】解：∴定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）为偶函数，∵函数数f（x）在恒成立，即f（2mx﹣lnx﹣3）≥f（3）对x∈恒成立．∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈恒成立，即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈恒成立，即2m≥且2m≤对x∈恒成立．令g（x）=，则g′（x）=，在上递减，∴g（x）max=．令h（x）=，h′（x）=＜0，在上递减，∴h（x）min=．综上所述，m∈[，]．故选D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题（2017•内蒙古模拟）（1+x﹣30x2）（2x﹣1）5的展开式中，含x3项的系数为﹣260 （用数字填写答案）【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】分析x3得到所有可能情况，然后得到所求．【解答】解：（1+x﹣30x2）（2x﹣1）5的展开式中，含x3项为﹣30x2=80x3﹣40x3﹣300x3=﹣260x3，所以x3的系数为﹣260；故答案为：﹣260．【点评】本题考查了二项式定理；注意各种可能．14．已知实数x，y满足则z=的取值范围为[] ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由z=的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣1）连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：A（2，0），联立，解得B（5，6），z=的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣1）连线的斜率，∵，∴z=的取值范围为[]．故答案为：[]．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足n（n+1）S n2+（n2+n﹣1）S n﹣1=0（n∈N*），则S1+S2+…+S2017= ．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】n（n+1）S n2+（n2+n﹣1）S n﹣1=0（n∈N*），可得（S n+1）=0，S n＞0．可得S n==﹣．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：∵n（n+1）S n2+（n2+n﹣1）S n﹣1=0（n∈N*），∴（S n+1）=0，S n＞0．∴n（n+1）S n﹣1=0，∴S n==﹣．∴S1+S2+…+S2017=+…+=．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA=，PB=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为13π．【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积．【分析】由题意得PA2+PB2=AB2，即可得D为△PAB的外心，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心，在△DEC中求解OC，即可得到球半径，【解答】解：由题意，PA2+PB2=AB2，因为，∴AD⊥面DEC，∵AD⊂PAB，AD⊂ABC，∴面APB⊥面DEC，面ABC⊥面DEC，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，∵D 为△PAB 斜边中点，∴在△DEC 中，过D 作直线与DE 垂直，过O 1作直线与DC 垂直，两条垂线交于点O ，则O 为球心．∵∠EDC=90°，∴，又∵，∴OO 1=，三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径R=，三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为4πR 2=13π， 故答案为：13π．【点评】本题考查了几何体的外接球的表面积，解题关键是要找到球心，求出半径，属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）（2017•内蒙古模拟）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 、b 、c 成等比数列，c=bsinC ﹣ccosB ．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 的周长和面积．【考点】HP ：正弦定理；HT ：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据题意，由正弦定理可得sinC=sinBsinC ﹣sinCcosB ，进而变形可得1=sinC ﹣cosB ，由正弦的和差公式可得1=2sin （B ﹣），即可得B ﹣的值，计算可得B 的值，即可得答案；（Ⅱ）由余弦定理可得（a+c ）2﹣3ac=12，又由a 、b 、c 成等比数列，进而可以变形为12=（a+c ）2﹣36，解可得a+c=4，进而计算可得△ABC 的周长l=a+b+c ，由面积公式S △ABC=acsinB=b 2sinB 计算可得△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若c=bsinC ﹣ccosB ，由正弦定理可得sinC=sinBsinC ﹣sinCcosB ，又由sinC≠0，则有1=sinC﹣cosB，即1=2sin（B﹣），则有B﹣=或B﹣=，即B=或π（舍）故B=；（Ⅱ）已知b=2，则b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=12，又由a、b、c成等比数列，即b2=ac，则有12=（a+c）2﹣36，解可得a+c=4，所以△ABC的周长l=a+b+c=2+4=6，面积S△ABC =acsinB=b2sinB=3．【点评】本题考查正弦、余弦定理的应用，关键利用三角函数的恒等变形正确求出B的值．18．（12分）（2017•内蒙古模拟）每年的4月23日为世界读书日，为调查某高校学生（学生很多）的读书情况，随机抽取了男生，女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频数分布表和女生年阅读量的频率分布直方图．男生年阅读量的频数分布表（年阅读量均在区间内）（Ⅰ）根据女生年阅读量的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数；（Ⅱ）若年不小于40本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究年阅读量与性别的关系，完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为阅读丰富与性别有关；（Ⅲ）在样本中，从年阅读量在的学生中，随机抽取2人参加全市的征文比赛，记这2人中男生人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：，其中n=a+b+c+d【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）求出前三组频率之和，即可根据女生的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数；（Ⅱ）根据所给数据得出2×2列联表，求出K2，即可判断是否有99%的把握认为月底丰富与性别有关；（Ⅲ）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）前三组频率之和为：0.1+0.2+0.25=0.55，∴中位数位于第三组，设中位数为a，由题可知：，解得a=38．∴该校女生年阅读量的中位数约为38．（Ⅱ）≈2.849＜6.635，∴没有99%的把握认为阅读丰富与性别有关．（Ⅲ）年阅读量在的学生中，男生2人，女生4人．由题意得ξ的可能取值为0，1，2.，，．所以的分布列为．【点评】本题考查频率分布直方图，考查概率的计算，考查ξ的分布列和期望，考查独立性检验知识的运用，属于中档题．19．（12分）（2017•内蒙古模拟）已知矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分别为DE、CF的中点，现沿着EF翻折，使得二面角A﹣EF﹣B大小为．（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A﹣DB﹣E的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取EB的中点M，连接PM，QM，证明：平面PMQ∥平面BCD，即可证明PQ∥平面BCD；（Ⅱ）建立坐标系，利用向量方法，即可求二面角A﹣DB﹣E的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取EB的中点M，连接PM，QM，∵P为DE的中点，∴PM∥BD，∵PM⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴PM∥平面BCD，同理MQ∥平面BCD，∵PM∩MQ=M，∴平面PMQ∥平面BCD，∵PQ⊂平面PQM，∴PQ∥平面BCD；（Ⅱ）解：在平面DFC内，过F作FC的垂线，则∠DFC=，建立坐标系，则E（2，0，0），C（0，1，0），B（2，1，0），D（0，﹣1，﹣），A（2，﹣1，），∴=（﹣2，﹣2，），=（0，2，﹣），=（0，1，0），设平面DAB的一个法向量为=（x，y，z），则，取=（0，，），同理平面DBE的一个法向量为=（，0，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣DB﹣E的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，考查向量方法的运用，是中档题．20．（12分）（2017•内蒙古模拟）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，点B是椭圆C的上顶点，点Q在椭圆C上（异于B点）．（Ⅰ）若椭圆V过点（﹣，），求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R， =．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a和b的关系，将（﹣，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，求得P的横坐标，求得丨BP丨，利用直线垂直的斜率关系求得丨BQ丨，由=，根据函数零点的判断即可存在k∈R， =．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的离心率e===，则a2=2b2，将点（﹣，）代入椭圆方程，解得：a2=4，b2=2，∴椭圆的标准方程为：，（Ⅱ）由题意的对称性可知：设存在存在k＞0，使得=，由a2=2b2，椭圆方程为：，将直线方程代入椭圆方程，整理得：（1+2k2）x2+4kbx=0，解得：x P=﹣，则丨BP丨=×，由BP⊥BQ，则丨BQ丨=×丨丨=•，由=．，则2×=•，整理得：2k3﹣2k2+4k﹣1=0，设f（x）=2k3﹣2k2+4k﹣1，由f（）＜0，f（）＞0，∴函数f（x）存在零点，∴存在k∈R， =．【点评】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式，考查函数零点的判断，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•内蒙古模拟）已知函数f（x）=lnx﹣ax+，其中a＞0．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：（1+）（1+）（1+）…（1+）＜e（n∈N*，n≥2）．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出lnx＜x﹣，令x=1+（n≥2），得到ln（1+）＜（﹣），累加即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，令h（x）=﹣ax2+x﹣a，记△=1﹣4a2，当△≤0时，得a≥，若a≥，则﹣ax2+x﹣a≤0，f′（x）≤0，此时函数f（x）在（0，+∞）递减，当0＜a＜时，由﹣ax2+x﹣a=0，解得：x1=，x2=，显然x1＞x2＞0，故此时函数f（x）在（，）递增，在（0，）和（，+∞）递减；综上，0＜a＜时，函数f（x）在（，）递增，在（0，）和（，+∞）递减，a≥时，函数f（x）在（0，+∞）递减；（Ⅱ）证明：令a=，由（Ⅰ）中讨论可得函数f（x）在区间（0，+∞）递减，又f（1）=0，从而当x∈（1，+∞）时，有f（x）＜0，即lnx＜x﹣，令x=1+（n≥2），则ln（1+）＜（1+）﹣==（+）＜=（﹣），从而：ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣+﹣）=（1+﹣﹣）＜（1+）=，则有ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜，可得（1+）（1+）（1+）…（1+）＜e （n ∈N *，n ≥2）． 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查不等式的证明以及导数的应用，是一道中档题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）（2017•东莞市二模）已知平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos θ．（Ⅰ）求曲线C 1的极坐标方程与曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R ）与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|PQ|的长度．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH ：参数方程化成普通方程．【分析】（I ）曲线C 1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得普通方程，展开利用互化公式可得极坐标方程．曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos θ，即ρ2=2ρcos θ，利用互化公式可得直角坐标方程．（II ）把直线θ=（ρ∈R ）代入ρcos θ+2ρsin θ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=即可得出．【解答】解：（I ）曲线C 1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得： +（y+1）2=9，展开为：x 2+y 2﹣2x+2y ﹣5=0，可得极坐标方程：ρcos θ+2ρsin θ﹣5=0．曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos θ，即ρ2=2ρcos θ，可得直角坐标方程：x 2+y 2=2x ．（II ）把直线θ=（ρ∈R ）代入ρcos θ+2ρsin θ﹣5=0， 整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，∴ρ1+ρ2=2，ρ1•ρ2=﹣5，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|===2．【点评】本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程及其应用、参数方程化为普通方程、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（2017•内蒙古模拟）已知函数f（x）=|3x﹣4|．（Ⅰ）记函数g（x）=f（x）+|x+2|﹣4，在下列坐标系中作出函数g（x）的图象，并根据图象求出函数g（x）的最小值；（Ⅱ）记不等式f（x）＜5的解集为M，若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，求实数λ的取值范围．【考点】3O：函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据函数解析式作出函数g（x）的图象，并根据图象求出函数g（x）的最小值；（Ⅱ）记不等式f（x）＜5的解集为M，可得p，q∈（﹣，3），若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，利用绝对值不等式，即可求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数g（x）=f（x）+|x+2|﹣4=|3x﹣4|+|x+2|﹣4，图象如图所示，由图象可得，x=，g（x）有最小值﹣；（Ⅱ）由题意，|3x﹣4|＜5，可得﹣＜x＜3，∴p，q∈（﹣，3），∴|p+q+pq|≤|p|+|q|+|pq|＜3+3+3×3=15，∴λ≥15．【点评】本题考查函数的图象，考查绝对值不等式的运用，考查数形结合的数学思想，属于中档题．。
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国2卷)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2B ．3C ．4D ．59.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．23310.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）输出S K=K+1a =a S =S +a ∙K 是否输入a S =0,K =1结束K ≤6开始ABCD11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.1 12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（） A.2- B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
