初三数学人教版秋季班(教师版)第13讲 相似三角形--尖子班

第13讲相似三角形知识点1相似三角形的判定相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.相似三角形的判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.直角三角形相似判定定理斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.【典例】1.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为时，△ACB与△ADC 相似．2.如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）．（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值；（2）求证：△PAN∽△PMB．3.如图，已知O 是△ABC 内一点，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点．求证：△ABC∽△DEF．4.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．【方法总结】（1）在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口：①寻找另一组对应角相等：②寻找两个三角形中这个已知角的两边的比相等.（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似（此知识常用，但是有时需要证明）（3）若两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成比例，则这两个直角三角形相似.【随堂练习】1．（2018•襄州区模拟）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=_______．2．（2018•扬中市二模）如图，▱ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：△BDE是直角三角形；（2）如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由．知识点2 相似三角形的性质相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．【典例】1.如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12，∠A=58°，求AB、OC 的长和∠D的度数．2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求△DMN的面积．【方法总结】1对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．2顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．3两个三角形形状一样，但大小不一定一样．4全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．5相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等【随堂练习】1．（2018•安徽）矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为____．2．（2018•六安模拟）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1，S2，S3，S4，以下判断：①PA+PB+PC+PD的最小值为10；②若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC；③若S1=S2，则S3=S4，④若△PAB∽△PDA，则PA=2其中正确的是______（把所有正确的结论的序号都填在横线上）3．（2017秋•临清市期末）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C 以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ 与△ABC相似？试说明理由．知识点3相似三角形的综合应用【典例】1.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD 方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH=5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB 的高度．2.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=4米，BP=6米，PD=24米，求该古城墙CD的高度．3.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为．（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）【方法总结】相似三角形的应用，类型较多，主要集中在测高和测距；此类题目解题时，要把实际问题转化成几何图形，构造相似，利用相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质去求解；解题时对应边一定要找对，否则就会事倍功半【随堂练习】1．（2018•大连）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．2．（2018•滨州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC2=2AD•AO．综合运用：相似三角形1.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；（2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．2.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40cm，AD=30cm，求这个正方形的边长．3.在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．4.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长120mm，高AD为80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（Ⅰ）图中与△ABC相似的三角形是，说明理由；（Ⅱ）这个正方形零件的边长为多少？5.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．（1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．（2）求∠1+∠2的度数．6.【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长．小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第13讲----相似三角形的性质、应用与位似授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握相似三角形的性质；②掌握利用相似三角形测高的常见模型；③了解位似及相关特征；④进一步提高综合分析问题的能力及将数学应用到实际生活中的能力。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架体系搭建二、知识概念（一）黄金分割在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC ＞BC )，如果AC ＝5－12AB ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，黄金比约为0.618，一条线段的黄金分割点有2个.（二）相似三角形的性质1、相似三角形对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.3、相似三角形周长的比等于相似比.4、相似三角形面积的比等于相似比的平方.（三）利用三角形相似测量高度方法1、利用阳光下的影子测量物高根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形.在同一时刻，被测量物体的实际高度被测量物体的影长 = 某物体的实际高度某物体的影长2、利用标杆测量物高观测者的眼睛、标杆顶端、旗杆顶端“三点一线”. 3、利用镜子原理测量物高借助“反射角等于入射角”找出相等的角，得到三角形相似.（四）图形的位似1、位似图形的定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

2、图形位似的性质位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。

（1）位似图形对应线段的比等于相似比； （2）位似图形的对应角都相等；（3）位似图形对应点连线的交点是位似中心； （4）位似图形面积的比等于相似比的平方；（5）位似图形高、周长的比都等于相似比；（6）位似图形对应边互相平行或在同一直线上。

相似三角形的性质课时目标1. 掌握相似三角形的基本性质，会用相似三角形的性质定理解决简单的计算和证明问题；2. 会综合运用相似三角形的定义、判定定理和性质定理，以及比例线段的有关定理解决有关的计算问题和证明问题.知识精要一、相似三角形的性质1、相似三角形的本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2、性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.3、性质定理2：相似三角形的周长比等于相似比. 即：如果 △ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k ，那么k A C C B B A CABC AB =++++1111114、性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方. 即：如果 △ABC ∽△A′B′C′，且相似比为k ， 那么22)(k B A AB S S C B A ABC =''='''∆∆ 二、常见的三角形面积比1、如图一：△ABC 中，若BD ：CD=m ：n ，则S △ABD ：S △ACD=m ：n2、如图二：△ABC 和△BCD 同底，则两个三角形面积之比等于两个三角形BC 边上的高之比.3、蝴蝶定理：在梯形ABCD 中，若AO ：OC=m ：n ，则：(1) S △AOD ：S △COD=S △AOB ：S △BOC=m ：n (2) S △AOD ：S △AOB=S △COD ：S △BOC=m ：n (3)S △COD=S △AOB (4)S △AOD ：S △BOC=22:m n精解名题例1：两个相似三角形对应中线的比是2:2，大三角形的面积是小三角形面积的___2_____倍.例2：若把ABC ∆各边分别增加了原来的5倍，得到C B A '''∆，下面结论不成立的是（ D ）A ．ABC ∆∽CB A '''∆ B ．ABC ∆与C B A '''∆的相似比为61 C ．ABC ∆与C B A '''∆的各对应角相等 D ．ABC ∆与C B A '''∆的相似比为51【点评】注意细节，区分“扩大为”和“增加了”之间的不同.例3：△ABC 中，AB ＝12 cm ，BC ＝18 cm ，AC ＝24 cm ，若△A′B′C′∽△ABC ，且△A′B′C′的周长为81 cm ，求△A′B′C′各边的长.解：∵△ABC 中，AB ＝12 cm ，BC ＝18 cm ，AC ＝24 cm ， ∴△ABC 的周长为54cm ， ∴△ABC 与△A′B′C′的相似比为542813＝， ∴23AB BC CA A B B C C A ===''''''， ∴18A B ''=，27B C ''=，36C A ''=.【点评】周长之比等于相似比，对应边之比等于相似比.例4：已知：如图△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，BD 平分∠ABC ，47BD BC=，(1)求证：△ABD ∽△ACB ；ODC BA(2)求△ABD 与△ACB 的周长的比，△ABD 与△ACB 的面积的比. 证明：∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ， ∵∠ABC ＝2∠C ， ∴∠ABD ＝∠C ， ∵∠A 是公共角， ∴△ABD ∽△ACB.解：∵△ABD ∽△ACB ，且47BD BC=，∴△ABD 与△ACB 的相似比为47，∴△ABD 与△ACB 的周长的比为47，△ABD 与△ACB 的面积的比为2416()749=.【点评】斜交型的相似，找对应边会比较容易出错.例5：如图，△ABC 的底边BC ＝a ，高AD ＝h ，矩形EFGH 内接于△ABC ，其中E ，F 分别在边AC ，AB 上，G ，H 都在BC 上，且EF ＝2FG ，求矩形EFGH 的周长. 解：设FG ＝x ，∵EF ＝2FG ，∴EF ＝2x ， ∵EF//BC ，∴△AFE ∽△ABC ，又AD ⊥BC ，设AD 交EF 于M ，则AM ⊥EF ，∴AM EFAD BC= 即a x AD DM AD 2=- ∴axh x h 2=- 解得 x ＝2ah h a + ∴矩形EFGH 的周长为6x ＝62ahh a+.例6：在△ABC 中，D 是BC 的中点，且AD=AC ，DE ⊥BC ，与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F . (1) 求证：△ABC ∽△FCD ；ODCB A (2) 若DE =3，BC =8，求△FCD 的面积.(1)证明：∵AD=AC ∴∠ADC=∠ACD ∵DE ⊥BC ，BD=CD ∴BE=CE ∴∠EBC=∠ECB∴△ABC ∽△FCD(2)解：过A 作AH ⊥BC ，垂足H 。