A080300 平衡二叉树

平衡二叉树深度公式
平衡二叉树深度公式是指计算平衡二叉树的深度的公式。

平衡二叉树是一种特殊的二叉树，它的左右子树的深度相差不超过1，因此可以保证平衡二叉树的查找、插入和删除操作的时间复杂度都是
O(log n)。

平衡二叉树的深度公式如下：
depth = max(left_depth, right_depth) + 1
其中，left_depth表示左子树的深度，right_depth表示右子树的深度，+1表示当前节点的深度。

通过这个公式，可以方便地计算平衡二叉树每个节点的深度。

同时，由于平衡二叉树的左右子树深度相差不超过1，因此可以使用递归的方式快速计算整棵树的深度。

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平衡二叉树旋转例题摘要：I.平衡二叉树的概念及特点II.平衡二叉树旋转的定义和目的III.平衡二叉树旋转的实例解析IV.平衡二叉树旋转的操作步骤及要点V.平衡二叉树旋转的应用场景正文：I.平衡二叉树的概念及特点平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是一种特殊的二叉树结构，具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

平衡二叉树的特点是每个节点的左右子树的高度差的绝对值不超过1，这使得树的高度保持在一个相对平衡的状态，从而保证了树的稳定性和查找效率。

II.平衡二叉树旋转的定义和目的平衡二叉树旋转是一种处理树不平衡问题的方法。

当二叉树的平衡条件被破坏时，需要通过旋转操作来重新平衡树。

旋转的目的是调整树的结构，使得树的左右子树的高度差的绝对值不超过1，从而保证树的稳定性和查找效率。

III.平衡二叉树旋转的实例解析假设有一棵平衡二叉树，其结构如下：```10/4 20/2 6 8```当插入一个新的节点14 后，树的结构变为：```10/4 20/2 6 8 14```由于树的平衡条件被破坏，需要进行旋转操作。

旋转后的树结构如下：```14/4 10/2 6 8```可以看到，通过旋转操作，树的平衡条件得到了恢复。

IV.平衡二叉树旋转的操作步骤及要点平衡二叉树旋转操作分为以下两种：左旋和右旋。

左旋操作：将当前节点的右子树旋转到左子树的左侧，即将右子树的根节点提升为当前节点的左子节点，原左子节点变为右子节点。

右旋操作：将当前节点的左子树旋转到右子树的右侧，即将左子树的根节点提升为当前节点的右子节点，原右子节点变为左子节点。

旋转操作的要点是选择好旋转的中心节点，以及注意旋转后子节点关系的调整。

V.平衡二叉树旋转的应用场景平衡二叉树旋转在实际应用中主要应用于二叉查找树（Binary Search Tree）的维护。

当二叉查找树中的节点不平衡时，通过旋转操作可以调整树的结构，使得树的查询效率保持在较高的水平。

⼆叉树总结（四）平衡⼆叉树平衡⼆叉树概念AVL树是根据它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis命名的。

它是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，也被称为⾼度平衡树。

相⽐于"⼆叉查找树"，它的特点是：AVL树中任何节点的两个⼦树的⾼度最⼤差别为1。

AVL树的查找、插⼊和删除在平均和最坏情况下都是O(logn)。

如果在AVL树中插⼊或删除节点后，使得⾼度之差⼤于1。

此时，AVL树的平衡状态就被破坏，它就不再是⼀棵⼆叉树；为了让它重新维持在⼀个平衡状态，就需要对其进⾏旋转处理。

平衡⼆叉树结构：typedef int Type;typedef struct AVLTreeNode{Type key;int height; //当前节点的⾼度struct AVLTreeNode *left; // 左孩⼦struct AVLTreeNode *right; // 右孩⼦}Node, *AVLTree;平衡⼆叉树修复⽅法当插⼊⼀个元素使平衡⼆叉树不平衡时，可能出现以下的四种情况：1. LL：称为"左左"。

插⼊或删除⼀个节点后，根节点的左⼦树的左⼦树还有⾮空⼦节点，导致"根的左⼦树的⾼度"⽐"根的右⼦树的⾼度"⼤2，导致AVL树失去了平衡。

例如，在上⾯LL情况中，由于"根节点(8)的左⼦树(4)的左⼦树(2)还有⾮空⼦节点"，⽽"根节点(8)的右⼦树(12)没有⼦节点"；导致"根节点(8)的左⼦树(4)⾼度"⽐"根节点(8)的右⼦树(12)"⾼2。

1. LR：称为"左右"。

插⼊或删除⼀个节点后，根节点的左⼦树的右⼦树还有⾮空⼦节点，导致"根的左⼦树的⾼度"⽐"根的右⼦树的⾼度"⼤2，导致AVL树失去了平衡。

平衡二叉树的旋转操作及多路平衡树算法平衡二叉树是一种二叉搜索树，它的每个节点的左右子树高度差不超过1，以保证树的高度不会退化到倾斜的情况，从而保证了树的查找、删除、插入等操作的高效性。

平衡二叉树的常见实现有AVL树、红黑树等。

其中，AVL树是以其创始人Adelson-Velsky和Landis的姓氏命名的。

平衡二叉树的平衡性是通过旋转操作来实现的。

旋转操作可以分为左旋和右旋，它们的本质是交换树中的节点和其孩子节点的位置。

以左旋为例，对于一个节点x，如果其右孩子y的左子树高度大于右子树，则进行左旋操作。

左旋操作会使得y成为x的父节点，y的左子树成为x的右子树，而x则成为y的左子树。

右旋操作也类似，不再赘述。

多路平衡树是一种类似于平衡二叉树的树结构，它允许节点有多个孩子节点。

常见的多路平衡树有B树、B+树、B*树等。

多路平衡树通过将节点的孩子节点个数限制在某个范围内，来保证树的高度不会过高。

这样一来，对于大规模数据的存储和查找操作，多路平衡树比平衡二叉树更加适用。

以B树为例，它的每个节点可以有多个孩子节点，通常包括一个元素序列和比它小的子树数序列。

一个2-3-4 B树（也称为2-3-4树）是一种B树，其中每个节点可以有1、2或3个元素和2、3或4个子节点。

当一个节点中的元素个数达到3时，需要进行分裂操作。

例如，当4插入到一个节点中，它会导致节点分裂成两个，其中3为左子节点，5为右子节点。

此时，中间的元素4会被提升成为父节点，并且左右子树分别指向新的节点。

在多路平衡树中，同样可以通过旋转操作来保持树的平衡性。

不过，与平衡二叉树不同的是，对于多路平衡树来说，旋转操作需要考虑不止一个节点的位置关系。

例如，在2-3-4 B树中，左旋操作会导致3个节点的位置变化，右旋操作会导致4个节点的位置变化。

因此，多路平衡树的旋转操作相对平衡二叉树而言，更加复杂。

同时，多路平衡树也因此在存储和查询效率上更加卓越。

总而言之，平衡二叉树和多路平衡树都是目前常见的数据结构，它们都通过树型结构的特性实现了高效的查找、删除、插入操作。

平衡⼆叉树（AVLtree）⼆叉查找树在极端情况下会演变成⼀棵只有⼀侧⼦孩⼦的树，例如每个⾮叶⼦只有左孩⼦或者右孩⼦，这时候在查找的时候就需要遍历这棵树来找到⽬标值，它的快速搜索价值就体现不出来了，如果这棵搜索树在构建的时候，能够平衡左右⼦树的⾝⾼差，使得左右⼦树⾝⾼差不超过1，那它的搜索效率就是O(lgn)，平衡⼆叉树就是这样的树，它有以下特点：1、左右⼦树的⾼度差不超过12、左右⼦树都是平衡⼆叉树，空节点也视其为⼀棵平衡⼆叉树以上有点递归定义问题的意思，平衡⼆叉树的关键特性是其任何⼀个节点为根的左右⼦树⾼度差不能超过1，因为有这个特性限制，所以在创建平衡⼆叉树的时候如果发现这个平衡被打破了，需要对树进⾏旋转操作，以恢复其平衡的性质，具体的旋转有以下⼏种情况：1、LL类型旋转(单向向右)：这种情况下是某个节点的左孩⼦的左⼦树导致该节点失衡，需要对该节点进⾏向右旋转，如下图：如上图，值为3的节点，当它只有⼀个左孩⼦2时，此时左右孩⼦的⾼度差是1，当再插⼊1时，它的左右孩⼦的⾼度差变成了2，需要对其进⾏右旋：LL_Rotate(node): leftNode=node.left;//待旋转节点的左孩⼦ leftRightNode=leftNode;//待旋转节点的左孩⼦的右孩⼦ leftNode.right=node;//更新左孩⼦节点，将⾃⼰作为作为左孩⼦的右节点，即上图中3变成了2的右孩⼦ node.left=leftRightNode;//更新⾃⼰的左孩⼦， node.height=max(node.left.height,node.right.height)+1;//更新⾼度 leftNode.height=max(leftNode.left.height,leftNode.right.height)+1;//跟新新的根节点⾼度,需要先更新node节点... return leftNode;//返回左孩⼦替代⾃⼰的位置，⽐如上图中，2替代了3的位置2、RR类型旋转(单向向左)：这种情况下是某个节点的右孩⼦的右⼦树导致该节点失衡，需要对该节点进⾏向左旋转，如下图：如上图，因为3的插⼊，根节点1的平衡因⼦变成2，需要对1进⾏左旋，⽅向与LL完全相反：RR_Rotate(node): rightNode=node.right;//获取右孩⼦ rightLeftNode=rightNode.left;//获取右孩⼦的左孩⼦ rightNode.left=node;//更新右孩⼦ node.right=rightLeftNode; node.height=max(node.left.height,node.right.height)+1; rightNode.height=max(rightNode.left.height,right.right.height)+1; return rightNode;//返回3、LR类型旋转(先左后右)：这种情况下是某个节点的左孩⼦的右⼦树导致该节点失衡，需要对该节点的左孩⼦进⾏左旋，然后再对其进⾏右旋，如下图：如上图，节点值为8的节点的左孩⼦，因为6的插⼊，导致8节点失衡，需要先对左孩⼦4进⾏左旋，由6替代4的位置，再对8进⾏右旋，由6替代8：Left_Right_Rotate(node): node.left=LL_Rotate(node.left);//对左孩⼦左旋 return RR_Rotate(node);//对⾃⼰进⾏右旋4、RL类型旋转(先右后左)：这种情况下是某个节点的右孩⼦的左⼦树导致该节点失衡，需要对该节点的右孩⼦进⾏右旋，然后再对其进⾏左旋，如下图：如上图，4的平衡因⼦因为其右孩⼦7新增了⼀个左孩⼦节点6⽽打破，需要对节点7先右旋，再对4进⾏左旋，同LR完全相反，伪代码如下：Right_Left_Rotate(node): node.right=RR_Rotate(node.right);//对右孩⼦进⾏右旋 return LL_Rotate(node);//对⾃⾝进⾏左旋节点的⾼度的获取：Get_Height(node): if node==null: return 0; leftHeight=Get_Height(node.left); rightHeight=Get_Height(node.right); return max(leftHeight,rightHeight)+1;平衡因⼦的获取，某个节点的平衡因⼦是由左右⼦树的⾼度差决定的：Get_Factor(node): return Get_Height(node.left)-Get_Height(node.right);节点的平衡调整，涉及到左旋、右旋、左右旋转、右左旋转：balance(node): if node==null return null; //左⼦树导致不平衡 if getFactor(node)==2 : //左孩⼦的左⼦树导致不平衡 if getFactor(node.left)==1: node=LL_Rotate(node) else: //左孩⼦的右⼦树导致不平衡 node=Left_Right_Rotate(node); //右⼦树导致不平衡 else if getFactor(node)==-2: 右⼦树的右孩⼦导致不平衡 if getFactor(node.right)==-1: node=RR_Rotate(node); else //右孩⼦的左⼦树导致不平衡 node=Right_Left_Rotate(node); //返回旋转后的节点 return node;树的插⼊操作：insert_val(node,val): if node==null: return new Node(val); //这⾥是⼀个递归创建过程 if val<node.val: node.left=insert_val(node.left,val); node.left.parent=node; else node.right=insert_val(node.right,val); node.right.parent=node; //返回调整后的节点 return balance(node);树的删除操作,删除操作有点复杂，需要找到那个替代⾃⼰的节点，其⽅法就是寻找删除节点的左⼦树的最⼤值；如果待删除节点没有左⼦树，则需要寻找右⼦树的最⼩值，如果待删除的节点是叶⼦节点，则直接删除即可：delete_node(node,val): if node==null: return;//没有找到，直接返回 if val < node.val: delete_node(node.left,val); else if val > node.val: delete_node(node.right,val); else: //寻找到了⽬标节点 //⽬标节点是叶⼦节点 if node.left==null && node.right==null: parent=node.parent; //待删除的节点是根节点 if parent==null: root=null; else if parent.left==node: parent.left=null; else: //删除节点 parent.right=null; else if node.left!=null: left=node.left maxNode=left while left!=null: maxNode=right; left=left.right; node.val=maxNode.val delete_node(node.left,node.val); else: //与上⾯node.left!=null中的left相反，将left修改为right balance(node);//调节树的平衡以上AVL树的构建分析完毕，其中关键点为节点的平衡操作，创建和删除节点时使⽤到了递归操作，算是⼀个设计技巧，如下为完整的⽰例代码：package avl;import java.util.ArrayList;import java.util.List;/*** AVL 树的定义*/public class AVLTree {//根节点Node root=null;/*** 插⼊新值* @param val* @return*/public AVLTree insertVal(int val){if(root==null){root=new Node(val);}else{insertVal(root,val);}return this;* 节点的插⼊* @param node* @param val* @return*/private Node insertVal(Node node,int val){if(node==null){node=new Node(val);return node;}if(val<node.val){Node left=insertVal(node.left,val);node.left=left;left.parent=node;}else{Node right=insertVal(node.right,val);node.right=right;right.parent=node;}//调整节点node=balance(node);return node;}/*** 删除节点* @param val*/public void deleteVal(int val){deleteVal(root,val);}private void deleteVal(Node node,int val){//没有找到，直接返回if(node==null){return;}else if(val<node.val){deleteVal(node.left,val);balance(node);}else if(val>node.val){deleteVal(node.right,val);balance(node);}else{//叶⼦节点，直接删除if(node.left==null && node.right==null){Node parent=node.parent;if(parent==null){root=null;}if(parent.left==node){parent.left=null;}else{parent.right=null;}}else{//如果左⼦树不为空，寻找其最⼤的后继节点if(node.left!=null){Node left=node.left;Node maxNode=left;//注意这⾥是怎么找最⼤的后继节点的while(left!=null){maxNode=left;left=left.right;}node.val=maxNode.val;deleteVal(node.left,maxNode.val);balance(node);}else{Node right=node.right;Node maxNode=right;while(right!=null){maxNode=right;right=right.left;}node.val=maxNode.val;deleteVal(node.right,maxNode.val);balance(node);}}}* 平衡节点的操作动作* @param node* @return*/private Node balance(Node node){if(node==null){return null;}if(getFactor(node)==2){if(getFactor(node.left)==1){node= LL_Rotate(node);}else{node= LR_Rotate(node);}}else if(getFactor(node)==-2){if(getFactor(node.right)==-1){node= RR_Rotate(node);}else{node= RL_Rotate(node);}}return node;}/*** 获取节点的⾼度* @param node* @return*/private int getHeight(Node node){if(node==null){return0;}int left=getHeight(node.left);int right=getHeight(node.right);int max=Math.max(left,right);return max+1;}/*** 获取节点的平衡因⼦* @param node* @return*/private int getFactor(Node node){if(node==null){return0;}return getHeight(node.left)-getHeight(node.right); }/*** 先右后左* @param node* @return*/private Node RL_Rotate(Node node){Node right=LL_Rotate(node.right);node.right=right;right.parent=node;return RR_Rotate(node);}/*** 先左后右* @param node* @return*/private Node LR_Rotate(Node node){Node left=RR_Rotate(node.left);node.left=left;left.parent=node;return LL_Rotate(node);}/*** 单向左旋* @param node* @return*/private Node RR_Rotate(Node node){Node right=node.right,parent=node.parent; Node rightLeft=right.left;right.left=node;node.parent=right;node.right=rightLeft;if(rightLeft!=null){rightLeft.parent=node;}right.parent=parent;if(parent!=null){if(parent.left==node){parent.left=right;}else{parent.right=right;}}else{root=right;}return right;}/*** 单向右旋* @param node* @return*/private Node LL_Rotate(Node node){Node left=node.left,parent=node.parent; Node leftRight=left.right;left.right=node;node.parent=left;node.left=leftRight;if(leftRight!=null){leftRight.parent=node;}left.parent=parent;if(parent!=null){if(parent.left==node){parent.left=left;}else{parent.right=left;}}else{root=left;}return left;}/*** 先序遍历* @param node*/public void preOrder(Node node){if(node!=null){System.out.print(node);preOrder(node.left);preOrder(node.right);}}/*** 中序遍历* @param node*/public void inOrder(Node node){if(node!=null){inOrder(node.left);System.out.print(node);inOrder(node.right);}}/*** 后序遍历* @param node*/public void postOrder(Node node){if(node!=null){postOrder(node.left);postOrder(node.right);System.out.print(node);}}/*** 按层遍历树*/public void printByLevel(){System.out.println("=========================");List<Node> temp=new ArrayList<>();if(root!=null){temp.add(root);}while(temp.size()>0){List<Node> nodes=new ArrayList<>();temp.stream().forEach(obj-> {System.out.print(obj);if(obj.left!=null){nodes.add(obj.left);}if(obj.right!=null){nodes.add(obj.right);}});System.out.println();temp.clear();temp.addAll(nodes);}}public static void main(String[] args) {AVLTree tree=new AVLTree();tree.insertVal(1).insertVal(2).insertVal(3).insertVal(4).insertVal(5).insertVal(7).insertVal(6); tree.printByLevel();tree.deleteVal(6);tree.printByLevel();tree.deleteVal(4);tree.printByLevel();}}class Node{public int val;public Node left,right,parent;public Node(int val){this.val=val;}@Overridepublic String toString() {return val+"";}}View Code。

急求数据结构-平衡二叉树课程设计平衡二叉树课程设计
一、什么是平衡二叉树平衡二叉树（Balanced Binary Tree），又称AVL树，是一种特殊的二叉查找树，它的每个
节点的两个子树的高度最大差别为
1，平衡二叉树的搜索、插入和删除操作只需要O(logn)的时间复杂度，而普通的二叉查找树则需要O(n)的时间复杂度。

二、平衡二叉树的特点
1、平衡二叉树的每个节点的左右子树的高度差不超过1；
2、平衡二叉树的搜索、插入和删除操作只需要O(logn)的时间复杂度；
3、平衡二叉树的高度可以保持在log2n的高度；
4、平衡二叉树可以用来建立字典和查找表，以及其他应用；
5、平衡二叉树可以用来存储已经排序的数据，以提高搜
索效率。

三、平衡二叉树的实现
1、插入操作插入新节点的操作可以分为两步：首先，将新节点插入到树中，其次，进行调整，使树保持平衡。

2、删除操作删除节点的操作可以分为三步：首先，将要删除的节点从树中移除，其次，找到要删除节点的子节点，最后，将子节点插入到树中，以保证树的平衡性。

3、查找操作查找操作是在平衡二叉树中最常见的操作，它可以在O(logn)的时间内找到目标节点。

四、平衡二叉树课程设计
1、首先，学生需要研究二叉树的基本概念，以及普通二叉查找树的实现；
2、其次，学生需要了解平衡二叉树的概念、特点，并掌握它的实现方法；
3、然后，学生需要编写一个程序，来实现平衡二叉树的插入、删除和查找操作；
4、最后，学生需要编写一个测试程序，来验证程序的正确性。

平衡二叉树的公式
平衡二叉树是一种基于AVL树的数据结构，它保证了每个节点的左右子树高度差不超过1。

这种平衡性保证了平衡二叉树的查找、插入和删除操作都能在O(log n)的时间内完成。

平衡二叉树的公式如下：
- 对于任意节点N，其左子树高度为hL，右子树高度为hR，则
该节点的平衡因子BF = hL - hR。

- 对于一棵平衡二叉树，其每个节点的平衡因子都应该在[-1, 0, 1]范围内。

- 在插入和删除节点时，需要对其所在路径上的所有节点重新计算平衡因子，并进行旋转操作。

- 旋转操作分为左旋和右旋两种，具体实现可参考AVL树的旋转操作。

平衡二叉树是一种非常重要的数据结构，在实际应用中广泛使用。

了解平衡二叉树的公式和实现原理，对于提高程序性能和减少BUG都有很大的帮助。

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平衡二叉树旋转例题（最新版）目录I.平衡二叉树的概念及特点II.平衡二叉树旋转的定义和类型III.平衡二叉树旋转的实例解析IV.平衡二叉树旋转的意义和应用正文I.平衡二叉树的概念及特点平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是一种特殊的二叉树结构，具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

平衡二叉树的主要特点是保持树的左右两个子树的高度平衡，这样可以确保在插入、删除和查找操作中，树的高度不会发生显著变化，从而保证树的效率。

II.平衡二叉树旋转的定义和类型平衡二叉树旋转是指在平衡二叉树中，将某个节点作为旋转中心，将其左右子树进行旋转操作，以达到恢复平衡的目的。

平衡二叉树旋转有两种类型：左旋和右旋。

左旋是指将节点的右子树旋转到该节点的左子树上，右旋则相反，将节点的左子树旋转到右子树上。

III.平衡二叉树旋转的实例解析假设有一棵平衡二叉树，其节点存储的值依次为 3、4、2、1、7、6。

现在，将节点 4 作为旋转中心进行左旋，得到的新二叉树如下：4/2 7/1 6左旋后，节点 4 的左子树高度增加了 1，右子树高度减少了 1，树的平衡得到了恢复。

类似地，若将节点 2 作为旋转中心进行右旋，得到的新二叉树如下：2/1 6/4 7右旋后，节点 2 的左子树高度减少了 1，右子树高度增加了 1，树的平衡得到了恢复。

IV.平衡二叉树旋转的意义和应用平衡二叉树旋转在平衡二叉树的维护和操作中具有重要意义。

通过旋转操作，可以在插入、删除和查找过程中调整树的结构，保持树的平衡。

平衡二叉树旋转在实际应用中广泛使用，例如在数据库系统中，通过平衡二叉树旋转可以提高搜索效率；在文件系统中，利用平衡二叉树旋转可以实现文件的快速存储和检索。

简述二叉树的五种形态二叉树是一种常用的数据结构，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点。

根据节点的分布情况，二叉树可以分为五种形态，分别是满二叉树、完全二叉树、平衡二叉树、搜索二叉树和线索二叉树。

一、满二叉树满二叉树是指除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点的二叉树。

也就是说，满二叉树的所有层都是满的，并且最后一层的叶子节点都靠左排列。

满二叉树的节点数可以通过公式计算得到，假设树的高度为h，则节点数为2^h - 1。

满二叉树的特点是结构简单，查找速度快。

在满二叉树中，任意两个节点的路径长度都相同。

二、完全二叉树完全二叉树是指除了最后一层之外，其他层都是满的，并且最后一层的叶子节点都靠左排列的二叉树。

完全二叉树的特点是节点数较少，结构相对简单。

完全二叉树通常用数组来表示，因为它的节点之间的关系可以通过数组的下标来表示。

在完全二叉树中，任意一个节点的左子节点的下标为2i，右子节点的下标为2i+1。

三、平衡二叉树平衡二叉树是指左右子树的高度差不超过1的二叉树。

平衡二叉树的特点是查找、插入和删除的时间复杂度都为O(logn)，其中n是节点的数量。

平衡二叉树的高度可以通过节点的平衡因子来计算，平衡因子定义为左子树的高度减去右子树的高度。

平衡因子的取值范围为-1、0和1，当平衡因子的绝对值大于1时，需要通过旋转操作来调整树的平衡性。

四、搜索二叉树搜索二叉树，也称为二叉搜索树或排序二叉树，是一种特殊的二叉树。

它的特点是对于树中的任意一个节点，其左子树中的所有节点都小于它，右子树中的所有节点都大于它。

搜索二叉树的中序遍历结果是一个递增的有序序列。

搜索二叉树的特点是可以快速地查找某个节点，时间复杂度为O(logn)，其中n是节点的数量。

但是，如果搜索二叉树不平衡，即左子树或右子树过深，则会导致查找的时间复杂度退化为O(n)。

五、线索二叉树线索二叉树是对二叉树进行了优化的数据结构，它通过添加指向前驱和后继节点的线索，使得遍历操作更加高效。

平衡二叉树构造方法平衡二叉树对于二叉查找树，尽管查找、插入及删除操作的平均运行时间为O(logn)，但是它们的最差运行时间都是O(n),原因在于对树的形状没有限制。

平衡二叉树又称为AVL树，它或者是一棵空树，或者是有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左右子树的深度之差的绝对值不超过1。

二叉树的的平衡因子BF为：该结点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树的所有结点的平衡因子为只可能是：-1、0和1一棵好的平衡二叉树的特征：（1）保证有n个结点的树的高度为O(logn)（2）容易维护，也就是说，在做数据项的插入或删除操作时，为平衡树所做的一些辅助操作时间开销为O(1)一、平衡二叉树的构造在一棵二叉查找树中插入结点后，调整其为平衡二叉树。

若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。

首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。

然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。

当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树（1）插入点位置必须满足二叉查找树的性质，即任意一棵子树的左结点都小于根结点，右结点大于根结点（2）找出插入结点后不平衡的最小二叉树进行调整，如果是整个树不平衡，才进行整个树的调整。

（1）LL型LL型：插入位置为左子树的左结点，进行向右旋转由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1变为2，成为不平衡的最小二叉树根结点。

此时A结点顺时针右旋转，旋转过程中遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为B结点的右子树，D结点成为A结点的左孩子。

（2）RR型RR型：插入位置为右子树的右孩子，进行向左旋转由于在A的右子树C的右子树插入了结点F，A的平衡因子由-1变为-2，成为不平衡的最小二叉树根结点。

此时，A结点逆时针左旋转，遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为C的左子树，D结点成为A的右子树。

平衡二叉树数字万能法
平衡二叉树：
背景：平衡二叉树首先是二叉排序树。

基于二叉排序树，外国的两个大爷发现树越矮查找效率越高，进而发明了二叉平衡树。

定义：
平衡因子（BF，Balance factor）：BF（T）=hL-hR，其中hL和hR分别为T的左、右子树的高度。

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）（AVL树）：空树或者任一结点左、右子树高度差的绝对值不超过1，即|BF（T）<=1|。

最小不平衡子树：距离插入点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树，我们称为最小不平衡子树。

性质：
它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。

若将二叉树节点的平衡因子BF定义为该节点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树上所有节点的平衡因子只可能为-1，0，1。

只要二叉树上有一个节点的平衡因子的绝对值大于1，那么这颗平衡二叉树就失去了平衡。

平衡二叉树平衡因子平衡二叉树平衡因子指的是左子树高度和右子树高度之差，它是保持平衡二叉树平衡的重要因素。

在平衡二叉树中，每个节点的平衡因子为-1、0或1。

平衡二叉树（AVL树）是一种高效的数据结构，它的时间复杂度为O(logn)，可以在非常快的时间内完成数据的查找、插入和删除操作。

但是，如果平衡二叉树的平衡因子不合适，就会导致树的高度增加，使得查找、插入和删除操作的效率变低。

因此，平衡二叉树的平衡因子非常重要。

下面，我们来分步骤阐述平衡二叉树的平衡因子：第一步：计算节点的高度平衡二叉树的高度是指从根节点到叶子节点的最长路径的长度。

因此，计算节点的高度需要从底部开始向上递归计算。

节点的高度等于其子节点中高度最大的节点的高度加一，如果节点没有子节点，那么它的高度为零。

第二步：计算节点的平衡因子计算节点的平衡因子需要知道其左子树和右子树的高度。

节点的平衡因子等于左子树的高度减去右子树的高度。

如果平衡因子为-1、0或1，则节点是平衡的，否则节点需要被调整。

第三步：调整平衡如果平衡因子不为-1、0或1，那么需要对节点进行调整，使其重新保持平衡。

调整平衡的方法有四种：左旋、右旋、左右旋、右左旋。

左旋和右旋是最基本的调整方法，左右旋和右左旋是组合方法。

左旋：如果节点的平衡因子为2，那么需要进行左旋操作。

左旋是指将节点向左旋转，使其右子树的高度减一，左子树的高度加一。

右旋：如果节点的平衡因子为-2，那么需要进行右旋操作。

右旋是指将节点向右旋转，使其左子树的高度减一，右子树的高度加一。

左右旋：如果节点的平衡因子为2且其右子树的平衡因子为-1，那么需要进行左右旋操作。

左右旋是指将节点先进行右旋，再进行左旋。

右左旋：如果节点的平衡因子为-2且其左子树的平衡因子为1，那么需要进行右左旋操作。

右左旋是指将节点先进行左旋，再进行右旋。

总结：平衡二叉树的平衡因子是保持树平衡的重要因素。

计算节点高度和平衡因子，及时进行平衡调整，是平衡二叉树实现高效的关键。

平衡二叉树的概念
平衡二叉树（Balanced Binary Tree），又称为AVL树，是一种特殊的二叉搜索树（Binary Search Tree）结构。

平衡二叉树的定义是：对于任意节点，其左子树和右子树的高度之差不超过1，并且左子树和右子树也都是平衡二叉树。

平衡二叉树的设计目的是为了解决普通二叉搜索树在插入、删除等操作时产生不平衡的问题，导致树的高度过高，从而影响搜索的效率。

通过保持树的平衡，平衡二叉树能够保证在最坏情况下的平均时间复杂度为O(log n)，其中n是树中节点的数量。

为了保持平衡，平衡二叉树中的每个节点存储了额外的信息，通常是节点的高度。

当在平衡二叉树中插入或删除节点时，需要通过旋转操作来调整树的结构，以满足平衡条件。

旋转操作包括左旋和右旋，通过交换节点的位置来调整树的平衡。

平衡二叉树的应用非常广泛，特别是在需要高效地进行搜索、插入和删除操作的场景中，例如数据库和搜索引擎的索引结构、红黑树等。

通过保持树的平衡，平衡二叉树能够在较小的时间复杂度内完成这些操作，提高了数据结构的效率和性能。

动态查找树之平衡二叉树（Balanced Binary Tree，AVL树一、平衡二叉树的概念平衡二叉树(Balanced binary tree)是由阿德尔森-维尔斯和兰迪斯(Adelson-Velskii and Landis)于1962年首先提出的，所以又称为AVL树。

定义：平衡二叉树或为空树,或为如下性质的二叉排序树:（1）左右子树深度之差的绝对值不超过1;（2）左右子树仍然为平衡二叉树.平衡因子BF=左子树深度－右子树深度.平衡二叉树每个结点的平衡因子只能是1，0，-1。

若其绝对值超过1，则该二叉排序树就是不平衡的。

如图所示为平衡树和非平衡树示意图：二、平衡二叉树算法思想若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。

首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。

然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。

当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。

失去平衡的最小子树是指以离插入结点最近，且平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树。

假设用A表示失去平衡的最小子树的根结点，则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况。

（1）LL型平衡旋转法由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。

故需进行一次顺时针旋转操作。

即将A的左孩子B向右上旋转代替A 作为根结点，A向右下旋转成为B的右子树的根结点。

而原来B的右子树则变成A的左子树。

（2）RR型平衡旋转法由于在A的右孩子C 的右子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。

故需进行一次逆时针旋转操作。

即将A的右孩子C向左上旋转代替A 作为根结点，A向左下旋转成为C的左子树的根结点。

而原来C的左子树则变成A的右子树。

（3）LR型平衡旋转法由于在A的左孩子B的右子数上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。

平衡二叉树的最大深度计算公式
平衡二叉树是一种特殊的二叉树，它的左子树和右子树的高度差不超过1。

这种特殊的性质使得平衡二叉树的查找效率非常高，因为它的高度比普通二叉树低很多。

计算平衡二叉树的最大深度是很重要的一个问题，因为它直接关系到平衡二叉树的性能。

平衡二叉树的最大深度可以使用递归算法来计算。

对于一个平衡二叉树，它的最大深度等于它左子树的最大深度和右子树的最大深度中较大的一个加一。

因此，可以用下面的公式来计算平衡二叉树的最大深度：
maxDepth(root) = max(maxDepth(root.left),
maxDepth(root.right)) + 1
其中，root是平衡二叉树的根节点。

这个公式的意思是，如果一个节点有左子树和右子树，那么它的深度就是它左子树的深度和右子树的深度中较大的一个加一。

如果一个节点没有左子树或右子树，那么它的深度就是1。

使用这个公式可以很方便地计算平衡二叉树的最大深度。

需要注意的是，这个公式的时间复杂度是O(n)，其中n是平衡二叉树的节点数。

因此，在计算平衡二叉树的最大深度时，需要注意平衡二叉树的节点数不能太大，否则时间复杂度会很高。

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平衡⼆叉树的定义及基本操作（查找、插⼊、删除）及代码实现⽂章⽬录平衡⼆叉树的定义 为了避免树的⾼度增长过快，降低⼆叉排序树的性能，我们规定在插⼊和删除⼆叉树结点时，要保证在任意结点的左、右⼦树⾼度差的绝对值不超过1，将这样的树称为平衡⼆叉树（Balanced Binary Tree），简称平衡树（AVL）。

此外，AVL树⼜称为⾼度平衡的⼆叉查找树。

 定义结点左⼦树与右⼦树的⾼度差为该结点的平衡因⼦，则平衡⼆叉树结点的平衡因⼦的值只可能是-1，0或1 。

平衡⼆叉树可定义为：或者是⼀棵空树，或者是具有下列性质的⼆叉树：它的左⼦树和右⼦树都是平衡⼆叉树，且左⼦树和右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。

平衡⼆叉树的结点类型描述：typedef struct AVLNode{int data;//数据域int bf;//平衡因⼦struct AVLNode *lchild,*rchild;//指针域}AVLNode,*AVLTree;平衡⼆叉树的查找 平衡⼆叉树上进⾏查找的过程与⼆叉排序树相同，详细完整代码请参照。

因此，在查找过程中，与给定值进⾏⽐较的关键字个数不超过树的深度。

 可以证明，含有n个结点的平衡⼆叉树的最⼤深度为O(log n)，因此平衡⼆叉树的平均查找长度为O(log n)。

22平衡⼆叉树的平衡旋转 ⼆叉排序树保证平衡的基本思想如下： 每当在⼆叉排序树中插⼊（或删除）⼀个结点时，⾸先检查其插⼊路径上的结点是否因为此次操作导致了不平衡。

若导致了不平衡，则先找到插⼊路径上离插⼊结点最近的平衡因⼦的绝对值⼤于1的结点A，再对以A为根的⼦树，在保持⼆叉排序树特性的前提下，调整各结点的位置关系，使之重新达到平衡。

 ⼀般可将失去平衡后进⾏调整的规律归纳为下列四种情况：LL平衡旋转，RR平衡旋转，LR平衡旋转，RL平衡旋转。

LL平衡旋转（右单旋转） 由于在结点A的左孩⼦（L）的左⼦树（L）上插⼊了新结点，A的平衡因⼦由1增⾄2，导致了以A为根的⼦树失去平衡。

平衡二叉树最大深度公式在计算机科学中，平衡二叉树是一种特殊的二叉树，它的左右子树的高度差不超过1。

平衡二叉树的一个重要性质是，它的搜索、插入、删除操作的时间复杂度都是O(log n)。

因此，平衡二叉树在计算机科学中有着广泛的应用。

平衡二叉树的最大深度是指树中从根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。

计算平衡二叉树的最大深度是很重要的，因为它可以帮助我们评估平衡二叉树的性能。

如果平衡二叉树的最大深度太大，那么搜索、插入、删除操作的时间复杂度就会变得很高，这会影响平衡二叉树的性能。

在本文中，我们将介绍平衡二叉树的最大深度公式，并通过一个例子来说明如何计算平衡二叉树的最大深度。

平衡二叉树的最大深度公式平衡二叉树的最大深度可以通过以下公式计算：maxDepth(root) = 1 + max(maxDepth(root.left),maxDepth(root.right))其中，root是平衡二叉树的根节点。

maxDepth(root.left)表示左子树的最大深度，maxDepth(root.right)表示右子树的最大深度。

max函数返回两个参数中的最大值。

因此，maxDepth(root)表示根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。

通过递归的方式，我们可以计算平衡二叉树的最大深度。

具体而言，我们首先计算左子树的最大深度，然后计算右子树的最大深度，最后返回左右子树中的最大值加1。

这样，我们就可以得到平衡二叉树的最大深度。

计算平衡二叉树的最大深度为了说明如何计算平衡二叉树的最大深度，我们考虑以下平衡二叉树：1/2 3/4 5我们可以使用上述公式来计算这棵平衡二叉树的最大深度。

首先，根节点的值为1，因此我们需要计算左右子树的最大深度。

左子树的最大深度为2，因为左子树的根节点为2，左子树的左子树为空，左子树的右子树的最大深度为1（因为右子树只有一个叶子节点5）。

因此，我们可以得到maxDepth(root.left) = 2。

平衡二叉树的生成过程1. 平衡因子（Balance Factor）：平衡因子是指左子树的高度减去右子树的高度，即平衡因子 = 左子树的高度 - 右子树的高度。

平衡因子的取值范围为-1、0和1，如果平衡因子的绝对值超过1，则称该树为不平衡树。

2.AVL树：AVL树是一种平衡二叉树，它的平衡因子在任何时刻都是在合法范围内的，即平衡因子的绝对值不超过1接下来，我们将详细介绍平衡二叉树的生成过程。

1.插入新节点：首先，我们从根节点开始，将新节点插入到合适的位置。

如果新节点的值小于当前节点的值，则将其插入到当前节点的左子树中；如果新节点的值大于当前节点的值，则将其插入到当前节点的右子树中。

如果当前节点为空，则将新节点作为当前节点，并返回。

2.调整树结构：在插入新节点之后，需要检查树的平衡性。

如果插入新节点导致树的不平衡，则需要进行相应的调整。

（1）LL旋转：当新节点插入到当前节点的左子树的左子树中时，需要进行LL旋转。

LL旋转是指，将当前节点的左子树向右旋转，使当前节点变成其左子树的右子树，其左子树的右子树变成当前节点的左子树。

LL旋转的具体步骤如下：-将当前节点的左子树的右子树变成新节点的左子树；-将当前节点的左子树变成新节点的右子树；-将新节点变成当前节点的左子树。

（2）RR旋转：当新节点插入到当前节点的右子树的右子树中时，需要进行RR旋转。

RR旋转是指，将当前节点的右子树向左旋转，使当前节点变成其右子树的左子树，其右子树的左子树变成当前节点的右子树。

RR旋转的具体步骤如下：-将当前节点的右子树的左子树变成新节点的右子树；-将当前节点的右子树变成新节点的左子树；-将新节点变成当前节点的右子树。

（3）LR旋转：当新节点插入到当前节点的左子树的右子树中时，需要进行LR旋转。

LR旋转是指，先对当前节点的左子树进行RR旋转，然后对当前节点进行LL旋转。

即先右旋再左旋。

LR旋转的具体步骤如下：-对当前节点的左子树进行RR旋转；-对当前节点进行LL旋转。