湖北省稳派教育2014年普通高等学校招生全国统一考试·押题卷(八)理科综合试题(扫描版)

绝密★启用前2014年全国普通高等学校招生统一考试理科综合能力测试物理（大纲卷带解析）试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．—质点沿x 轴做直线运动，其v-t 图象如图所示。

质点在t ＝0时位于x ＝5m 处，开始沿x 轴正向运动。

当t ＝8s 时，质点在x 轴上的位置为（ ）A ．x ＝3mB ．x ＝8mC ．x ＝9mD ．x ＝14m 2．地球表面附近某区域存在大小为150N/C 、方向竖直向下的电场。

一质量为1.00×10-4kg 、带电量为-1.00×10-7C 的小球从静止释放，在电场区域内下落10.0m 。

对此过程，该小球的电势能和动能的改变量分别为（重力加速度大小取9.80m/s 2，忽略空气阻力）（ ） A. -1.50×10-4J 和 9.95×10-3J B. 1.50×10-4J 和9.95×10-3J C. -1.50×10-4J 和 9.65×10-3J D. 1.50×10-4J 和9.65×10-3J 3．对于一定量的稀薄气体，下列说法正确的是( ) A. 压强变大时，分子热运动必然变得剧烈 B. 保持压强不变时，分子热运动可能变得剧烈 C. 压强变大时，分子间的平均距离必然变小 D. 压强变小时，分子间的平均距离可能变小4．在双缝干涉实验中，一钠灯发出的波长为589nm 的光，在距双缝1.00m 的屏上形成干涉图样。

图样上相邻两明纹中心间距为0.350cm ，则双缝的间距为（ ）A. 2.06×10－7mB. 2.06×10－4mC. 1.68×10－4mD. 1.68×10－3m5．两列振动方向相同、振幅分别为A 1和A 2的相干简谐横波相遇。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）理综试题试卷共36题，共300分。

考试时间150分钟。

注意事项：1. 考生务必将答案答在各科相应的答题卷上，在试卷上作答无效。

2.答题卡上选择题必须用2B铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔按照各科题号顺序在各科题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 S 32 Ba 137一．单选题（本题共16小题，每小题4分，共64分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，选对的得4分，选错或不选的得0分）1．下列说法正确的是A．生物体中，能产生多糖的场所有肝脏、骨胳肌、高尔基体、叶绿体和核糖体B．最能表明一个细胞的特殊功能的是细胞膜的结构而不是细胞器的数量和种类C．小麦体内的遗传物质彻底水解后可以得到一种五碳糖D．性腺的内分泌细胞中粗面内质网比较发达2．下列对实验的相关叙述，正确的是A．探索淀粉酶对淀粉和蔗糖的专一性作用时，可用碘液替代斐林试剂进行鉴定B．纸层析法分离叶绿体色素的实验结果表明，叶绿素b在层析液中溶解度最低C．若探究温度对酶活性的影响，可选择过氧化氢溶液作为底物D．检测试管中的梨汁是否有葡萄糖，可加入适量斐林试剂后，摇匀并观察颜色变化3．如图是减数第一次分裂形成的子细胞，下列有关说法正确的是A．与该细胞活动关系密切的激素是雌性激索B．该细胞中有2条染色体、4条染色单体C．若①有基因B，②上相应位点的基因是b．则b一定是基因突变导致的D．该细胞一旦分裂结束即能参与受精过程4．在探究生物的遗传物质和遗传规律的漫长岁月中，众多的学者做出了卓越的贡献：其中正确的是：A．孟德尔的假说认为基因位于同源染色体上，同源染色体分离、等位基因才分离B．艾弗里提出的有关肺炎双球菌的体外转化实验的结论，没有得到科学家的一致公认C．格里菲思的肺炎双球菌转化实验证实转化因子是DNAD．在赫尔希等的实验中若用32P只标记噬菌体，在其子代中含32P的噬菌体若占1/8，则含31P的就占7/85．有关细胞生命活动的叙述，正确的是A．原癌基因是细胞癌变时产生的B．机体再次接触过敏原发生过敏反应是因为记忆细胞快速增殖分化导致的C．细胞凋亡是由细胞内的遗传物质所控制的生理过程D．处于分裂期的细胞不合成蛋白质6．关于现代生物进化理论的内容，有关分析正确的是A．当环境条件适宜时，生物种群的基因频率不会发生变化B．生物进化的实质在于有利变异的地定向积累C．物种形成的3个环节是：突变和基因重组、自然选择和隔离D．生物多样性的形成就是新物种不断形成的过程7．下图所示：2个甲分子反应生成1个丙分子和3个乙分子，下列判断不正确的是A．根据阿伏加德罗定律可推知，1个乙分子中含有2个A原子B．该反应类型是分解反应C．反应生成的丙物质属于单质D．化学反应中分子的种类发生了改变8．日本核电站附近检测到放射性原子131I。

2014高考理综终极压轴卷8 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

可能用到的原子量：H-1 C-12 O-16 Ca-40 Fe-56 Cu-64 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分，每题一个选项符合题目要求。

1．下列有关人体代谢的叙述不正确的 Ａ一个长期偏食的人会导致必需氨基酸缺乏，但其免疫力不会比同龄人低 Ｂ长期吃富含磷脂的食物对预防脂肪肝有积极作用 Ｃ同时摄入等量蛋白质的健康中年人尿液中的尿素一般比老年人少 Ｄ严重缺铁的病人可能出现乳酸中毒 2．免疫是人体所具有的抵御外来物质侵袭的重要机能。

下面有关免疫的叙述中正确的是 A．B淋巴细胞与体液免疫有关，而与细胞免疫无关；T淋巴细胞与细胞免疫有关，而与体液免疫无关 B．人体免疫系统只清除外来细胞，即“非已”的成分，而不会清除自身的细胞，即属于“自己”的成分 C．尽管特异性免疫针对性强，对抗原的杀伤效果好，但机体最终将抗原清除还是要依赖非特异性免疫 D．干扰素是由效应T淋巴细胞产生的淋巴因子，其作用主要是诱导产生更多的效应T淋巴细胞，并增强效应T细胞的杀伤力 4．下列关于微生物生长所需培养基的说法正确的是 A．培养基只为微生物的生长提供碳源和氮源 B．在缺乏生长素的无氮培养基中的圆褐固氮菌能正常生长繁殖 C．培养霉菌时需将培养基的H调至碱性 D．固体培养基主要用于观察微生物的运动、鉴定菌种等 5．关于玉米遗传实验的说法正确的是A．玉米有雄花和雌花之分，是研究伴性遗传的好材料 B．在玉米遗传的每一代中，控制子叶性状的基因比控制果皮性状的基因表达的晚一些 C．Aa的玉米不断自交，不断淘汰aa能够定向改变玉米种群的基因频率 D．AaBb的玉米自交后代性状分离比是4：2：2：1，说明有一对基因显性纯合致死6．已知辛烷的燃烧热为5518kJ·mol－1，强酸与强碱在稀溶液中发生反应时的中和热为 57.3kJ·mol－1，则下列热化学方程式书写正确的是 ①C8H18（l）+25/2O2（g） 8CO2（g）+9H2O（g）；△H=－5518kJ·mol－1 ②2C8H18（l）+25O2（g） 16CO2（g）+18H2O（l）；△H=－11036kJ·mol－1 ③H+(aq) + OH－(aq) H2O(l)； △H=+57.3kJ·mol－1 ④2NaOH(aq) +H2SO4(aq) Na2SO4(aq) + 2H2O(l)；△H=－57.3kJ·mol－1 A．①③B．②③C．②④D．只有② 7．下列离子方程式中正确的是 A．向Ba(OH)2溶液中滴加NaHSO4溶液至恰好为中性： Ba2+ + OH- + H+ + SO42-=BaSO4↓+ H2O B．NH4HCO3溶液与过量KOH浓溶液共热：NH4++ OH－ NH3↑+ H2O C．稀硝酸和过量的铁屑反应：3 Fe + 8H+ +2 NO3-=3 Fe3+ +2 NO↑ + 4 H2O D．KI溶液与H2SO4酸化的H2O2溶液混合：2 I－ + H2O2 + 2 H+=2 H2O + I2 8．短周期元素X、Y、Z，其中X、Y位于同一主族，Y、Z位于同一周期。

2014年湖北省八市高三年级联考理科综合（生物部分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(本大题共6小题，共36.0分)1.下列关于细胞的生物膜系统的认识，其中错误的是A.生物膜中的磷脂在细胞膜行使功能时起重要作用B.分泌蛋白的修饰加工由内质网和高尔基体共同完成C.生物膜之间可通过具膜小泡的转移实现膜成分的更新D.生物膜系统由细胞膜、各种细胞器膜和核膜共同构成【答案】A【解析】本题考查生物膜的结构和功能，意在考查考生在识记、理解方面的能力。

难度较小。

生物膜在行使功能时起重要作用的成分是蛋白质；分泌蛋白在核糖体上合成后需要先后在内质网和高尔基体中修饰加工，最后通过细胞膜分泌到细胞外；生物膜具有流动性，可以通过具膜小泡的转移实现膜成分的更新；真核细胞的细胞膜、各种细胞器膜和核膜共同构成生物膜系统。

2.通过研究细胞大小与物质运输效率之间的关系，可探讨细胞不能无限长大的原因。

下列各项叙述中错误的是A.用含有酚酞的琼脂块浸入N a OH溶液中呈紫红色，可显示物质(N a OH)在琼脂块中的扩散速度B.相同时间内物质扩散进琼脂块的体积与其总体积之比可以反映细胞的物质运输效率C.实验证明，细胞体积越大，相对表面积越大，物质运输越快D.实验说明细胞之所以分裂的原因之一是其表面积与体积的关系限制了细胞的继续生长【答案】C【解析】本题考查细胞大小与物质运输的关系，意在考查考生在理解方面的能力。

难度中等。

在单位时间内N a OH向琼脂块内扩散的深度即N a OH的扩散速度，用含有酚酞的琼脂块浸入N a OH溶液中呈紫红色，根据紫红色出现的深度可以确定N a OH在琼脂块中的扩散速度；在相同时间内，N a OH扩散的体积（即呈紫红色部分的体积）与整个琼脂块的体积之比可以反映物质(N a OH)在琼脂块中的运输效率；实验证明，细胞体积越大，则相对表面积越小，物质运输效率越低；由于细胞越大，细胞的物质运输效率越低，从而会影响细胞的新陈代谢，故细胞不能无限长大，生物个体要生长，需要进行细胞分裂。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷(共126分)以下数据可供解题时参考：相对原子质量(原子量)：H-1 C-12 O-16 Si-28 F-19一、选择题(本题包括13小题。

每小题6分，共78分，每小题只有一个选项符合题意) 1．现代生物进化理论认为，突变和基因重组产生生物进化的原材料，下列哪种变异现象不属于此类突变的范畴A．无子西瓜 B．（豌豆）黄色圆粒（自交）→黄色皱粒、绿色圆粒C．猫叫综合征 D．红眼果蝇中出现了白眼2．下列关于新陈代谢的叙述，正确的是A．糖类在生物体内彻底氧化和体外燃烧都生成CO2和H2O，释放的能量也相等B．运动员在100米赛跑时，腿部肌肉的能量供应主要来自此时所进行的有氧呼吸C．淀粉是贮藏能量的化合物，可以为植物细胞直接供能D．在夏季晴朗的白天，温度适宜的条件下，绿色植物光合速率等于呼吸速率3．将红色荧光染料标记的小鼠细胞与绿色荧光染料标记的人细胞整合后，放到10℃的恒温箱中培育40min，其结果和说明的问题是A．两种荧光点均匀分布，细胞膜具有一定的流动性B．两种荧光点均匀分布，细胞膜的流动性不受环境影响C．两种荧光点不均匀分布，细胞膜具有选择透过性D．两种荧光点不均匀分布，细胞膜流动性受温度影响4．以下二倍体生物的细胞中含有两个染色体组的是①有丝分裂中期细胞②有丝分裂后期细胞③减数第一次分裂中期细胞④减数第二次分裂中期细胞⑤减数第一次分裂后期细胞⑥减数第二次分裂后期细胞A．①②③ B．①③⑤ C．①④⑤⑥ D．①③⑤⑥5．以下关于最多或最少的计算不正确的是A．n个碱基对组成的DNA分子片段中，其种类最多可达4nB．控制合成一个由60个氨基酸组成的蛋白质的基因中，嘌呤碱基数最少应是180个C．显微镜下观察同等直径的细胞，如果放大50倍时最多可看到视野中的20个完整的细胞，放大100倍时，最多可看到10个完整细胞D．通常情况下，分子式C63H103O45N17S2的多肽化合物中最多含有16个肽键6．生态学家研究发现，植物群落中的类胡萝卜素和叶绿素的比率（黄一绿比率）与群落的P（光合作用）／R（呼吸作用）比率呈现一定的关系，这种关系如图所示，以下判断正确的是A．有机物积累逐渐增多，黄一绿比率有增高趋向B．人工林的年平均黄一绿比率过高时，应进行适当采伐C．农作物栽培时选择b点比a点更适宜D．在作物收获季节，群落的P／R值可能在a点7．下列叙述不正确．．．的是A．漂白粉的有效成分是Ca(ClO)2 B．胆矾的成分是CuSO4·5H2OC．医疗上用的“钡餐”成分是BaSO4 D．光导纤维主要成分是Si8．用N A表示阿伏加德罗常数。

试卷类型：A2014年普通高等学校招生全国统一考试押题卷(湖北卷)数 学(理工农医类解析)本试题卷共4页，三大题21小题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛-+201111i iA.i -B.1-C.iD.1 【答案】A解析：因为()i i i i i =-+=-+221111，所以i i i i i i -====⎪⎭⎫⎝⎛-++⨯3350242011201111，故选A . 2.已知{}1,log 2>==x x y y U ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1x x y y P ，则=P C U A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 C.()+∞,0 D. ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210,【答案】A解析：由已知()+∞=,0U .⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0P ，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞=,21P C U ,故选A .3.已知函数()x x x f cos sin 3-=，R x ∈，若()1≥x f ，则x 的取值范围为A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,3ππππ B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,232ππππC. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,656ππππ D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ【答案】B解析：由条件1cos sin 3≥-x x 得216sin ≥⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，则 652662πππππ+≤-≤+k x k ，解得ππππ+≤≤+k x k 232，Z k ∈，所以选B . 4.将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则A. 0=n B . 1=n C. 2=n D. 3≥n 【答案】C解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个 顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线 倾斜角分别为030和0150，这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n ，2=n ，所以选C.5.已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξPA. 6.0 B . 4.0 C. 3.0 D. 2.0 【答案】C 解析：如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP ，并且()()4220<<=<<ξξP P则()()()2420<-<=<<ξξξP P P3.05.08.0=-=所以选C.6.已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-xxaa x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2fA. 2 B . 415 C. 417 D. 2a 【答案】B解析：由条件()()22222+-=+-aa g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B . 7.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为A. 960.0 B . 864.0 C. 720.0 D. 576.0 【答案】B解析：21A A 、至少有一个正常工作的概率为()()211A P A P -()()94.004.018.018.011=-=-⨯--=，系统正常工作概率为()()()()864.096.09.0121=⨯=-A P A P K P ，所以选B .8.已知向量a ()3,z x +=，b ()z y -=,2，且a ⊥b .若y x ,满足不等式1≤+y x ，则z 的取值范围为A. []2,2- B . []3,2- C. []2,3- D. []3,3- 【答案】D解析：因为a ⊥b ，()()032=-++z y z x ， 则y x z 32+=，y x ,满足不等式1≤+y x ，则点()y x ,的可行域如图所示,当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=取得最小值-3 所以选D .9.若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,ϕ，那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补A . 必要而不充分条件B . 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件 【答案】C解析：若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，则K A 1A 2()0,2=-=-=a a a a b a ϕ；反之，若()0,22=--+=b a b a b a ϕ，022≥+=+b a b a两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ，则a 与b 互补，故选C.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002t M t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率．．．是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M A . 5太贝克 B . 2ln 75太贝克 C . 2ln 150太贝克 D . 150太贝克 【答案】D解析：因为()300/22ln 301tM t M -⨯-=，则()2ln 1022ln 3013030300/-=⨯-=-M M ，解得6000=M ，所以()302600tt M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D .二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在1831⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .（结果用数值表示）【答案】17【解析】二项式展开式的通项公式为rr r r x x C T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3118181rr r r x C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--31211818，令2152118=⇒=--r r r ，含15x 的项的系数为17312218=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ，故填17.12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】14528 解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B ，则A 与B 是对立事件，因为()291513272302527⨯⨯==C C B P ，所以()()145282915132711=⨯⨯-=-=B P A P ，所以填14528. 12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升. 【答案】6667解析：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意⎩⎨⎧=++=+++439874321a a a a a a a ，即⎩⎨⎧=+=+421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+6673471d d a ， 则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=，所以应该填6667. 14.如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系//Oy x （其中/y 轴与y 轴重合）所在的平面为β，0/45=∠xOx .（Ⅰ）已知平面β内有一点()2,22/P ，则点/P 在平面α内的射影P 的坐标为 ； （Ⅱ）已知平面β内的曲线/C 的方程是()02222/2/=-+-y x，则曲线/C 在平面α内的射影C 的方程是 . 【答案】()2,2,()1122=+-y x解析：（Ⅰ）设点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()y x ,，则点P 的纵坐标和()2,22/P 纵坐标相同，所以2=y ，过点/P 作Oy H P ⊥/，垂足为H ，连结PH ，则0/45=∠HP P ，P 横坐标0/45cos H P PH x ==2222245cos 0/=⨯==x ， 所以点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()2,2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得2245cos //⨯==x x x ，y y =/，所以⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x //2代入曲线/C 的方程()02222/2/=-+-y x，得()⇒=-+-0222222y x ()1122=+-y x ，所以射影C 的方程填()1122=+-y x .15.给n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当4≤n 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：由此推断，当6=n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有 种.（结果用数值表示） 【答案】43,21解析：设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ， 213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，由此推断1365435=+=+=a a a ，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求()C A -cos 的值.本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力 解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=cn=1 n=2n=3n=4∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===cCa A ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 17．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．（Ⅰ）当1=CF 时，求证C A EF 1⊥；（Ⅱ）设二面角E AF C --的大小为θ，θtan 的最小值． 本题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础 知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解 能力. 解析：ABCEA 1C 1B 119.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，n n rS a =+1 (n ∈N *，,1)r R r ∈≠-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k ∈ N *，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且2m ≥，1+m a ，m a ，2+m a 是否成等差数列，并证明你的结论.20. （本小题满分14分）平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线. （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点。

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试可能用到的相对原子质量:H1 C 12 N 14 O 16 Al 27 P 31 S 32Ca 40 Fe 56 Cu 64 Br 80 Ag 108选择题共21小题，共126分二、选择题:本题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中.第14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14．在法拉第时代，下列验证“由磁产生电”设想的实验中，能观察到感应电流的是（）A．将绕在磁铁上的线圈与电流表组成一闭合回路，然后观察电流表的变化B．在一通电线圈旁放置一连有电流表的闭合线圈，然后观察电流表的变化C．将一房间内的线圈两端与相邻房间的电流表相连，往线圈中插入条形磁铁后，再到相邻房间去观察电流表的变化D．绕在同一铁环上的两个线圈，分别接电源和电流表，在给线圈通电或断电的瞬间，观察电流表的变化15．关于通电直导线在匀强磁场中所受的安培力，下列说法正确的是（）A．安培力的方向可以不垂直于直导线B．安培力的方向总是垂直于磁场的方向C．安培力的大小与通电直导线和磁场方向的夹角无关D．将直导线从中点折成直角，安培力的大小一定变为原来的一半16．如图，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于图平面的匀强磁场（未画出）。

一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O。

已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变。

不计重力。

铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为（）2A．2 B．2 C．1 D．217．如图，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上，系绕处于平衡状态。

现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定地偏离竖直方向某一角度（橡皮筋在弹性限度内）。

与稳定在竖直位置时相比，小球的高度（）A．一定升高B．一定降低C．保持不变D．升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定18．如图（a），线圈ab、cd绕在同一软铁芯上。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，则21i 1i -⎛⎫⎪+⎝⎭（ ）（A ）1- （B ）1 （C ）i - （D ）i 【答案】A【解析】因为21i 2i 11i 2i --⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，故选A ． 【点评】本题考查复数的运算，容易题．（2）【2014年湖北，理2，5分】若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =（ ）（A ）2 （B ）54 （C ）1 （D ）24【答案】D【解析】因为()77727722xrrr r r r a C x C a x x ---+⎛⎫⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令723r -+=-，得2r =，22727284C a -⋅⋅=，解得24a =，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题． （3）【2014年湖北，理3，5分】设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C C ⊆是“A B =∅”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】依题意，若A C ⊆，则U U C C C A ⊆，U B C C ⊆，可得A B =∅；若A B =∅，不能推出U B C C ⊆，故选A ．【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题． （4）【2014年湖北，理4，5分】根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0得到的回归方程为ˆybx a =+，则（ ） （A ）0a >，0b > （B ）0a >，0b < （C ）0a <，0b > （D ）0a <，0b < 【答案】B【解析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0b <，0a >，故选B ． 【点评】本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 与a 的符号，容易题． （5）【2014年湖北，理5，5分】在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）（A ）①和②（B ）③和①（C ）④和③（D ）④和② 【答案】D【解析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D ．【点评】本题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题． （6）【2014年湖北，理6，5分】若函数()f x ，()g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()f x ，()g x为区间[]1,1- 上的一组正交函数，给出三组函数：①()1sin 2f x x =，()1cos 2g x x =；②()1f x x =+，()1g x x =-；③()f x x =,()2g x x =，其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】对①1111111111sin cos sin cos 02222x x dx x dx x ---⎛⎫⎛⎫⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数；对②()()()11231111111103x x dx x dx x x ---⎛⎫+-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 不为区间[]1,1-上的正交函数；对③134111104x dx x --⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数，所以满足条件的正交函数有2组，故选C ．【点评】新定义题型，本题考查微积分基本定理的运用，容易题．（7）【2014年湖北，理7，5分】由不等式0020x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）（A ）18（B ）14 （C ）34 （D ）78【答案】D【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在2Ω内的概率为：11221172218222P ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯，故选D ．【点评】本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题． （8）【2014年湖北，理8，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）（A ）227 （B ）258 （C ）15750 （D ）355113【答案】B【解析】设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，()22L r π=，()22122375r h r h ππ=，所以218375ππ=，即π的近似值为258，故选B ．【点评】本题考查《算数书》中π的近似计算，容易题．（9）【2014年湖北，理9，5分】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）（A ）433 （B ）233（C ）3 （D ）2【答案】B【解析】设椭圆的短半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ()1a a >，半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得122PF PF a +=，1212PF PF a -=，所以11PF a a =+，21PF a a =-，因为1260F PF ∠=︒，由余弦定理得：()()()()22211114c a a a a a a a a =++--+-，所以222143c a a =+，即22221112222142a a a a a c c c c c ⎛⎫-=+≥+ ⎪⎝⎭，22111148e e e ⎛⎫∴+≤- ⎪⎝⎭，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为233，故选B ． 【点评】本题椭圆、双曲线的定义和性质，余弦定理及用基本不等式求最值，难度中等． （10）【2014年湖北，理10，5分】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--，若R x ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）（A ）11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B ）66,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】依题意，当0x ≥时，()2222223220x a x a f x a a x a x x a ⎧->⎪=-<≤⎨⎪-≤≤⎩，作图可知，()f x 的最小值为2a -，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，()f x 的最大值为2a ，因为对任意实数x 都有，()()1f x f x -≤，所以，()22421a a --≤，解得6666a -≤≤，故实数a 的取值范围是66,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B ． 【点评】本题考查函数的奇函数性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题）（11）【2014年湖北，理11，5分】设向量()3,3a =，()1,1b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= ． 【答案】3±【解析】因为()3,3a b λλλ+=+-，()3,3a b λλλ+=++，因为()()a b a b λλ+⊥-，所以()()()()33330λλλλ+-+++=，解得3λ±．【点评】本题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题． （12）【2014年湖北，理12，5分】直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += ． 【答案】2【解析】依题意，圆心()0,0到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即22a b =，2cos 4522a=︒=，所以221a b ==，故222a b +=． 【点评】本题考查直线与圆相交，点到直线的距离公式，容易题． （13）【2014年湖北，理13，5分】设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b = ． 【答案】495【解析】当123a =，则321123198123b =-=≠，当198a =，则981198783198b =-=≠；当783a =，则954459b a =-=，终止循环，故输出495b =．【点评】新定义题型，本题考查程序框图，当型循环结构，容易题． （14）【2014年湖北，理14，5分】设()f x 是定义在()0,+∞上的函数，且()0f x >，对任意0a >,0b >,0a >,0b >，若经过点()()af a ,()(),b f x ()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为a ,b 关于函数()f x 的平均数，记为[],f M a b ，例如，当()1f x =())0(1>=x x f 时，可得2f a bM c +==，即(),f M a b 为,a b 的算术平均数．（1）当()f x =________（0x >）时，(),f M a b 为,a b 的几何平均数； （2）当()f x =________（0x >）时，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【答案】（1）x （2）x （或填（1）1k x （2）2k x ，其中12,k k 为正常数均可）【解析】设()()0f x x x =>，则经过点(),a a ，(),b b -的直线方程为y a b a x a b a ---=--，令0y =，所以2abc x a b ==+，所以当()()0f x x x =>，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+．【点评】本题考查两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．） （15）【2014年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为O 的两条切线，切点分别为,A B ，过PA 的中点Q 作割线交O 于,C D 两点，若1QC =，3CD =，则PB = _______． 【答案】4【解析】由切割线定理得()21134QA QC QD =⋅=⨯+=，所以2QA =，4PB PA ==． 【点评】本题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题．（16）【2014年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是33x tty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．【答案】()3,1【解析】由33x t t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去t 得()2230,0x y x y =≥≥，由2ρ=得224x y +=，解方程组222243x y x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得1C 与2C 的交点坐标为()3,1．【点评】本题考查参数方程，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2014年湖北，理17，11分】某实验室一天的温度（单位：C ︒）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系；()103cossin,[0,24)1212f t t t t ππ=--∈．（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？解：（1）因为31()102(cos sin )102sin()212212123f t t t t ππππ=-+=-+，又024t ≤<，所以7,1sin()131233123t t ππππππ≤+<-≤+≤，当2t =时，sin()1123t ππ+=；当14t =时，sin()1123t ππ+=-，于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．（2）依题意，当()11f t >时实验室需要降温，由（1）得()102sin()123f t t ππ=-+，故有102sin()11123t ππ-+>，即1sin()1232t ππ+<-，又024t ≤<，因此71161236t ππππ<+<，即1018t <<，在10时至18时实验室需要降温． （18）【2014年湖北，理18，12分】已知等差数列{}n a 满足：12a =，且123,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+?若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=， 解得0d =或4d =，当0d =时，2n a =；当4d =时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项 公式为2n a =或42n a n =-．（2）当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800S n >+成立，当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41．（19）【2014年湖北，理19，12分】如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别是棱1111,,,AB AD A B A D 的中点，点,P Q 分别在棱1DD ，1BB 上移动，且 ()02DP BQ λλ==<<．（1）当1λ=时，证明：直线1BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存 在，说明理由．解：解法一：（1）如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D =是正方体，知11//BC AD ，当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD的中点，所以1//FP AD ，所以1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ． （2）如图2，连接BD ，因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以//EF BD ，且12EF BD =，又,//DP BQ DP BQ =，所以四边形PQBD 是平行四边形，故//PQ BD ，且PQ BD =，从而//EF PQ ，且12EF PQ =，在Rt EBQ ∆和Rt FDP ∆中，因为BQ DP λ==，1BE DF ==，于是21DQ FP λ==+，所以四边形EFPQ 是等腰梯形．同理可证四边形PQMN 是等腰梯形． 分别取,,EF PQ MN 的中点为,,H O G ，连接,OH OG ，则,GO PQ HO PQ ⊥⊥，而GO HO O =， 故GOH ∠是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=，连接EM ，FN ，则 由//EF MN ，且EF MN =，知四边形EFNM 是平行四边形，连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==，在GOH ∆中，22222214,1()22GH OH λλ==+-=+，2222211(2)()(2)22OG λλ=+--=-+，由222OG OH GH +=，得2211(2)422λλ-+++=，解得212λ=±，故存在212λ=±，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．解法二：以D 为原点，射线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D xyz -，由已知 得(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，(2,1,0)E ，(1,0,0)F ，(0,0,)P λ，(2,0,2)BC -，(1,0,)FP λ-，(1,1,0)FE ． （1）当1λ=时，(1,0,1)FP =-，因为1(2,0,2)BC =-，所以12BC FP =，即1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ． （2）设平面EFPQ 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由00FE n FP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得00x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩，于是可取(,,1)n λλ=-，同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2,1)m λλ=--，若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则(2,2,1)(,,1)0m n λλλλ⋅=--⋅-=，即(2)(2)10λλλλ---+=，解得12λ=±．故存在1λ=，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． （20）【2014年湖北，理20，12分】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． （1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万 元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：（1）依题意，110(4080)0.250p P X =<<==，235(80120)0.750p P X =≤≤==，35(120)0.150p P X =>==由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为04134343433991(1)(1)()4()()0.9477101010p C p C p p =-+-=+⨯⨯=．（2）记水电站年总利润为Y （单位：万元）（1）安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000,()500015000Y E Y ==⨯=．（2）安装2台发电机的情形：依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，因此1(4200)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此(10000)(80)0.8P Y P X p p ==≥=+=；由此得Y 的分布列如下：所以，()E Y =（3）安装3台发电机的情形：当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，因此1(3400)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=，因此2(9200)(80120)0.7P Y P X p ==≤≤==；当120X >时，三台发电机运行，5000315000Y =⨯=，因此3(15000)(120)0.1P YP X p ==>==， 由此得所以，综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．（21）【2014年湖北，理21，14分】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ．（1）求轨迹为C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围．解：（1）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x =+，化简整理得22(||)y x x =+， 故点M 的轨迹C 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩．（2）在点M 的轨迹C 中，记212:4,:0(0)C y x C y x ==<，依题意，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x-=+⎧⎨=⎩，可得244(21)0ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时1y =，把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =，故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4（2）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+- ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-③ （ⅰ）若000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-，或12k >，即当1(,1)(,)2k ∈-∞-⋃+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点． （ⅱ）若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨≥⎩，由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<，即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C只有一个公共点，与2C 有一个公共点，当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点，故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．（ⅲ）若000x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<，即当11(1,)(0,)22k ∈--⋃时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点． 综合（1）（2）可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-⋃+∞⋃时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．（22）【2014年湖北，理22，14分】π为圆周率，e =2.71828……为自然对数的底数．（1）求函数xxx f ln )(=的单调区间； （2）求33,3,,,3,eee e ππππ这6个数中的最大数与最小数；（3）将33,3,,,3,ee e e ππππ这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=，当()0f x '>，即0x e <<时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即x e >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ， 单调递减区间为(,)e +∞． （2）因为3e π<<，所以ln33ln ,ln ln3e e πππ<<，即ln3ln ,ln ln3e e e πππ<<，于是根据函数ln ,x y x y e ==，x y π=在定义域上单调递增，可得333,3e e e e ππππ<<<<，故这6个数的最大数在3π与3π之中，最小数在3e 与3e 之中．由3e π<<及（1）的结论，得()(3)()f f f e π<<，即ln ln3ln 3eeππ<<．由ln ln33ππ<，得3ln ln3ππ<，所以33ππ>；由ln3ln 3ee <，得3ln3ln e e <，所以33e e >． 综上，6个数中最大数是3π，最小数是3e ．（3）由（2）知，3333,3e e e e πππ<<<<，又由（2）知，ln ln ee ππ<，得e e ππ<故只需比较3e 与e π和e π 与 3π的大小，由（1）知，当0x e <<时，1()()f x f e e <=，即ln 1x x e<，在上式中，令2e x π=，又2e e π<，则2ln e e ππ<，从而2ln e ππ-<，即得ln 2eππ>- ①由①得， 2.72ln (2) 2.7(2) 2.7(20.88) 3.02433.1e e e ππ>->⨯->⨯-=>，即ln 3e π>，亦即3ln ln e e π>，所以3e e π<，又由①得，33ln 66ee πππ>->->，即3ln ππ>，所以3e ππ<．综上可得，3333eee e ππππ<<<<<，即6个数从小到大的顺序为333,,,,,3e e e e ππππ．。

2014湖北省高考压轴卷数学理 科本试卷分第I 卷（选择题）和第 II 卷(非选择题)两部分。

考试时间120分钟。

满分：150分。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑．1、设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若321i z i=+，则z =（ ）A ．1i -- B. 1i + C ．1i -+ D.1i -2、设21:1,:log 02xp q x ⎛⎫>< ⎪⎝⎭,则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、某学校用分层抽样的方法从三个年级抽取若干学生，调查“马年春节”学生参加社会实践活动情况，有关数据如下（单位：人）：年级 年级人数 年级人数 高一 1080 x 高二1350 y 高三90020则x A.24,50 B.24,30 C.30,24 D.30,504、执行如图所示的程序框图（算法流程图），则输出结果是（ ） A ．0 B.23 C. 34D. 895、已知,x y R ∈，则222211()(4)x y y x++的最小值为（ ） A ．10 B ．8 C ．9 D ．76、在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22425a b a b +=+-且222a b c bc =+-，则sin B 的值为（ ）A ．32 B. 34 C ．22 D.351B CB D 1A A 1C 1D 7、若数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n N +=-∈*，若32b =-,1012b =,则8a =（ ）(A) 0 (B) 3 (C) 8 (D) 11 8、在平面直角坐标系xOy 中，过定点()1,1Q 的直线l 与曲线:1xC y x =-交于点,M N ，则ON OQ MO OQ -=（ ）A ．2B ．．4 D ．9、函数()3sin f x x x x=--+，当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()()2cos 2sin 220f m f m θθ++-->成立，则实数m 的取值范围（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 10、正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中任取4个连接构成的三棱锥中，满足任意一条棱都不与其表面垂直的三棱锥的个数（ ）A.22B.24C.26D.28 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11、某几何体的三视图及部分数据如图所示，则此几何体的表面积是12、若实数,x y 满足+1021x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，且2z x y =+的最大值为13、已知双曲线C 的中心在原点，且左、右焦点分别为12,F F ,以12F F 为底边作正三角形，若双曲线C 与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C 的离心率为 14、函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得满足：()f x 在[],a b 上是单调函数且在[],a b 上的值域为[]2,2a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“和谐区间”。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）理科综合1.关于细胞膜结构和功能的叙述，错误．．的是（）A.脂质和蛋白质是组成细胞膜的主要物质B.当细胞衰老时，其细胞膜的通透性会发生改变C.甘油是极性分子，所以不能以自由扩散的方式通过细胞膜D.细胞产生的激素与靶细胞膜上相应受体的结合可实现细胞间的信息传递【答案】C【解析】细胞膜的基本骨架是磷脂双分子层，依据相似相溶原理（由于极性分子间的电性作用，使得极性分子组成的溶质易溶于极性分子组成的溶剂），极性分子甘油易以自由扩散的方式通过细胞膜。

2.正常生长的绿藻，照光培养一段时间后，用黑布迅速将培养瓶罩上，此后绿藻细胞的叶绿体内不．可能发生的现象是（）A.O2的产生停止B.CO2的固定加快C.A TP/ADP比值下降D.NADPH/NADP+比值下降【答案】B【解析】用黑布将培养瓶罩住，光反应停止，氧气的产生停止，A项会发生；光反应停止，[H]和ATP的产生停止，导致暗反应C3的还原速度减慢，C3在叶绿体内积累导致二氧化碳的固定减慢，B项不会发生；光反应停止，A TP的生成减少，ATP/ADP比值下降，C项会发生；光反应停止，NADPH（[H]）的产生减少，NADPH/NADP+比值下降，D项会发生。

3.内环境稳态是维持机体正常生命活动的必要条件，下列叙述错误．．的是（）A.内环境保持相对稳定有利于机体适应外界环境的变化B.内环境稳态有利于新陈代谢过程中酶促反应的正常进行C.维持内环境中Na+、K+浓度的相对稳定有利于维持神经细胞的正常兴奋性D.内环境中发生的丙酮酸氧化分解给细胞提供能量，有利于生命活动的进行【答案】D【解析】内环境保持相对稳定有利于机体适应外界环境的变化，为细胞提供一个相对稳定的生活环境，A项正确；内环境稳态可使细胞生活在温度和pH等相对稳定的环境中，有利于新陈代谢过程中酶促反应的正常进行，B项正确；静息电位的维持主要依赖于K+外流，动作电位的产生主要依赖于Na+内流，维持内环境中Na+、K+浓度的相对稳定有利于维持神经细胞的正常兴奋性，C项正确；丙酮酸的氧化分解发生在细胞内（丙酮酸的彻底氧化分解在线粒体中，不彻底氧化分解在细胞质基质中），没有发生在内环境中，D项错误。

鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 2014届高三第一次联考 理科综合试题命题学校：襄阳四中 命题人：梅军 蒋华 杨虎 审题人：吴永健 李茂炽 冯彧 刘纶武本试卷共16页,40小题,满分300分.考试用时150分钟★ 祝考试顺利 ★注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。

二、选择题：（本题共8小题，每小题6分.在每小题给出的四个选项中，第14-18题只有一项符合题目要求，第19-21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）14．用比值法定义物理量是物理学中一种常用的方法。

下面四个物理量表达式中属于比值法定义式的是A ．导体的电阻s l R ρ=B ．加速度F a m= C ．电场强度2Q E kr = D ．电容器的电容UQC = 【答案】D【考点】物理学思想方法【解析】加速度a 与F 成正比，与m 成反比，a 随F 和m 的变化而变化．不是运用比值定义法定义的．磁感应强度与放入磁场中的电流元无关，运用的是比值定义法．电场强度E 与场源电荷的电量Q 和距离场源电荷的距离r 有关，不是运用比值定义法定义的。

电阻R 与电压、电流无关，是其本身的属性，属于比值定义法。

15．在空中某一高度将一小球水平抛出，取抛出点为坐标原点，初速度方向为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正方向，得到其运动的轨迹方程为2ax y =（a 为已知量），重力加速度为g ，则根据以上条件可以求得 A ．物体距离地面的高度 B ．物体作平抛运动的初速度 C ．物体落地时的速度D ．物体在空中运动的总时间 【答案】B【考点】平抛运动【解析】212y g t =和0x t v =代入2y a x =可以求出初速度。

湖北省教育考试院 保留版权 数学（理工类） 第1页（共16页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i 为虚数单位，21i ()1i-=+A ．1-B ．1C ．i -D ．i1．A [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－2i 2i ＝－1.故选A.2．若二项式7(2)a x x +的展开式中31x 的系数是84，则实数a =A ．2BC ．1D2．C [解析] 展开式中含1x 3的项是T 6＝C 57(2x )2⎝⎛⎭⎫a x 5＝C 5722a 5x －3，故含1x3的项的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1.故选C.3．设U 为全集.A ,B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，⊆B ∁U C ”是“A B =∅”的A ．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【答案】C[解析] 若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，则可以推出A∩B＝∅；若A ∩B＝∅，由维思图可知，一定存在C＝A，满足A⊆C，B⊆∁U C，故“存在集合C使得A ⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充要条件．故选C.4．根据如下样本数据得到的回归方程为ˆy bx a=+，则A．0b<a>，0b>B．0a>，0C．0a<，0b<b>D．0a<，04．B[解析]观察图象可知，回归直线y＝bx＋a的斜率b<0，截距a>0.故a>0，b<0.故选B.5．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）.给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为数学（理工类）第2页（共6页）数学（理工类） 第3页（共6页）A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②5．D [解析] 由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②. 故选D.6．若函数()f x , ()g x 满足11()()d 0f x g x x -=⎰，则称()f x , ()g x 为区间[1,1]-上的一组正交函数. 给出三组函数：①11()sin ,()cos 22f x x g x x ==；②()1,()1f x x g x x =+=-；③2(),()f x x g x x ==.其中为区间[1,1]-上的正交函数的组数是 A ．0 B ．1C ．2D ．36．C [解析] 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0.①⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝⎝⎛⎭⎫－12cos x 1－1＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11x ²x 2d x ＝x 441－1＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2. 故选C .7．由不等式组0,0,20x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式组1,2x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩确定的平面区图③ 图①图④图②第5题图数学（理工类） 第4页（共6页）域记为2Ω. 在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为A ．18B ．14C ．34D ．787．D [解析] 作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，S Ω1＝S △AOB ＝12³2³2＝2，S △BCE ＝12³1³12＝14，则S 四边形AOEC ＝S Ω1－S △BCE ＝2－14＝74.故由几何概型得，所求的概率P ＝S 四边形AOEC S Ω1＝742＝78.故选D.数学（理工类） 第5页（共6页）8．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 A ．227 B ．258 C ．15750D ．355113 8．B [解析] 设圆锥的底面圆半径为r ，底面积为S ，则L ＝2πr ，由题意得136L 2h ≈13Sh ，代入S ＝πr 2化简得π≈3；类比推理，若V ＝275L 2h ，则π≈258.故选B.9．已知12F F ，是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π=3F PF ∠，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A.B. C. 3 D. 2 9．A [解析] 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，平方得4a 21＝r 21＋r 22＋2r 1r 2，4a 22＝r 21－2r 1r 2＋r 22.又由余弦定理得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2，消去r 1r 2，得a 21＋3a 22＝4c 2，即1e 21＋3e 22＝4.所以由柯西不等式得⎝⎛⎭⎫1e 1＋1e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋13³3e 22≤⎝⎛⎭⎫1e 21＋3e 22⎝⎛⎭⎫1＋13＝163.所以1e 1＋1e 2≤433.故选A.10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--.若x ∀∈R ，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为A ．11[,]66-B ．[C ．11[,]33- D ．[ 10．B [解析] 因为当x ≥0时，f (x )＝12()||x －a 2＋||x －2a 2－3a 2，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12()a 2－x ＋2a 2－x －3a 2＝－x ；当a 2<x <2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋2a 2－x －3a 2＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋x －2a 2－3a 2＝x －3a 2.数学（理工类） 第6页（共6页）综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66.故选B. 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．设向量(3,3)=a ，(1,1)=-b . 若()()λλ+⊥-a b a b ，则实数λ= .11．±3 [解析] 因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.12．直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += . 12．2 [解析] 依题意得，圆心O 到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a |2＝|b |2＝1³sin 45°，得 |a |＝|b |＝1.故a 2＋b 2＝2.13．设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b = . 13．495 [解析] 取a 1＝815⇒b 1＝851－158＝693≠815⇒a 2＝693；第13题图数学（理工类） 第7页（共6页）由a 2＝693⇒b 2＝963－369＝594≠693⇒a 3＝594； 由a 3＝594⇒b 3＝954－459＝495≠594⇒a 4＝495； 由a 4＝495⇒b 4＝954－459＝495＝a 4⇒b ＝495.14. 设()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且()0f x >. 对任意0a >，0b >，若经过点(,())a f a ，(,())b f b -的直线与x 轴的交点为(,0)c ，则称c 为,a b 关于函数()f x 的平均数，记为(,)f M a b . 例如，当()1(0)f x x =>时，可得(,)2f a bM a b c +==，即(,)f M a b 为,a b 的算术平均数.（Ⅰ）当()f x = (0)x >时，(,)f M a b 为,a b 的几何平均数； （Ⅱ）当()f x = (0)x >时，(,)f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+. （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）14．(1)x (2)x (或填(1)k 1x ；(2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数)[解析] 设A (a ，f (a ))，B (b ，－f (b ))，C (c ，0)，则此三点共线：(1)依题意，c ＝ab ，则0－f （a ）c －a ＝0＋f （b ）c －b，即0－f （a ）ab －a ＝0＋f （b ）ab －b.因为a >0，b >0，所以化简得 f （a ）a ＝f （b ）b，故可以选择f (x )＝x (x >0)；(2)依题意，c ＝2aba ＋b，则0－f （a ）2ab a ＋b －a ＝0＋f （b ）2ab a ＋b－b ，因为a >0，b >0，所以化简得 f （a ）a ＝f （b ）b ，故可以选择f (x )＝x (x >0)． （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为O 外一点，过P 点作O 的两条切线，切点分别为A ,B . 过PA 的中点Q作割线交O 于C ,D 两点. 若1QC =，3CD =，则PB = .数学（理工类） 第8页（共6页）15．4 [解析] 由切线长定理得QA 2＝QC ·QD ＝1³(1＋3)＝4，解得QA ＝2.故PB ＝P A ＝2QA ＝4. 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C的参数方程是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=. 则1C 与2C 交点的直角坐标 为 . 16.()3，1 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得y ＝33x (x ≥0)，即曲线C 1的普通方程是y ＝33x (x ≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x 2＋y 2＝4，即曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x （x ≥0），x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.故曲线C 1与C 2的交点坐标为()3，1.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 【解析】（Ⅰ）因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+， 又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<，ππ1sin()1123t -≤+≤. 第15题图数学（理工类） 第9页（共6页）当2t =时，ππsin()1123t +=；当14t =时，ππsin()1123t +=-. 于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.（Ⅱ）依题意，当()11f t >时实验室需要降温.由（Ⅰ）得 ππ()102sin()123f t t =-+，故有ππ102sin()123t -+>11， 即ππ1sin()<1232t +-. 又024t ≤<，因此7πππ11π61236t <+<，即1018t <<. 在10时至18时实验室需要降温.【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4. 当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立. 当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41. 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列.数学（理工类） 第10页（共6页）（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4. 当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立. 当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41. 19．（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ， 11A B ，11A D 的中点，点P ，Q 分别在棱1DD ，1BB 上移动，且(02)DP BQ λλ==<<.（Ⅰ）当1λ=时，证明：直线1BC ∥平面EFPQ ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.数学（理工类） 第11页（共6页）几何方法：（Ⅰ）证明：如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D -是正方体，知BC 1∥AD 1. 当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1．所以BC 1∥FP ．而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1BC ∥平面EFPQ ．（Ⅱ）如图2，连接BD ．因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且12EF BD =．又DP BQ =，DP ∥BQ ， 所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ =BD ， 从而EF ∥PQ ，且12EF PQ =. 在R t △EBQ 和R t △FDP 中，因为BQ DP λ==，1BE DF ==，于是EQ FP =EFPQ 是等腰梯形． 同理可证四边形PQMN 是等腰梯形．分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ，第19题图第19题解答图2EC 1D 1 B 1 A 1BACD PQ FMN第19题解答图1EC 1D 1 B 1 A 1 BA CDPQFMN第19题解答图3G O H数学（理工类） 第12页（共6页）则GO PQ ⊥，HO PQ ⊥，而GO HO O =，故GOH ∠是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=． 连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF MN =，知四边形EFNM 是平行四边形． 连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==. 在△GOH 中，24GH =，2222112OH λλ=+-=+，222211(2)(2)2OG λλ=+--=-+， 由222OG OH GH +=，得2211(2)422λλ-+++=，解得1λ=±，故存在1λ=±，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 向量方法：以D 为原点，射线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D －xyz ． 由已知得(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，(2,1,0)E ，(1,0,0)F ，(0,0,)P λ．1(2,0,2)BC =-，(1,0,)FP λ=-，(1,1,0)FE =．（Ⅰ）证明：当1λ=时， (1,0,1)FP =-，因为1(2,0,2)BC =-，所以12BC FP =，即BC 1∥FP ．而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1BC ∥平面EFPQ ．（Ⅱ）设平面EFPQ 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则由0,0,FE FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得0,0.x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩ 于是可取(,,1)λλ=-n ．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2,1)λλ=--m ．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则(2,2,1)(,,1)0λλλλ⋅=--⋅-=m n ，即(2)(2)10λλλλ---+=，解得1λ=±．故存在1λ=，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．数学（理工类） 第13页（共6页）20．（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站. 过去50年的水文资料显示，水库年．入流量．．．X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和. 单位：亿立方米）都在40以上. 其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年. 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（Ⅰ）求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率； （Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元. 欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【解析】（Ⅰ）依题意，110(4080)0.250p P X =<<==，235(80120)0.750p P X =≤≤==， 35(120)0.150p P X =>==.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为04134343433991C (1)C (1)()4()()0.9477101010p p p p =-+-=+⨯⨯=.（Ⅱ）记水电站年总利润为Y (单位：万元).（1）安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000Y =，()500015000E Y =⨯=.（2）安装2台发电机的情形.依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，因此1(4200)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此23(10000)(80)0.8P Y P X p p ==≥=+=；由此得Y 的分布列如下（3）安装3台发电机的情形.依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，数学（理工类） 第14页（共6页）因此1(3400)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=，因此(9200)(80120)P Y P X ==≤≤=2p 0.7=；当120X >时，三台发电机运行，此时5000315000Y =⨯=，因此3(15000)(120)0.1P Y P X p ==>==，由此得Y 的分布列如下综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台. 21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的 轨迹为C .（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -. 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.【解析】（Ⅰ）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x =+，化简整理得22(||)y x x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩（Ⅱ）在点M 的轨迹C 中，记1:C 24y x =，2:C 0(0)y x =<.依题意，可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+由方程组21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩ 可得244(21)0.ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =. 故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4.（2）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-. ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则 由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-. ③数学（理工类） 第15页（共6页）（ⅰ）若00,0,x ∆<⎧⎨<⎩ 由②③解得1k <-，或12k >.即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.（ⅱ）若00,0,x ∆=⎧⎨<⎩ 或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩ 由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<.即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点.当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点.故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.（ⅲ）若00,0,x ∆>⎧⎨<⎩ 由②③解得112k -<<-，或102k <<.即当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合（1）（2）可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-+∞时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点. 22．（本小题满分14分）π为圆周率，e 2.71828=为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数ln ()xf x x=的单调区间； （Ⅱ）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数；（Ⅲ）将3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论. 【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()∞0,+．因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=． 当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减．数学（理工类） 第16页（共6页）故函数()f x 的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+∞． （Ⅱ）因为e 3π<<，所以eln 3eln π<，πln e πln 3<，即e e ln 3ln π<，ππln e ln 3<．于是根据函数ln y x =，e x y =，πx y =在定义域上单调递增，可得 e e 33ππ<<，3ππe e 3<<．故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中． 由e 3π<<及（Ⅰ）的结论，得(π)(3)(e)f f f <<，即ln πln3lneπ3e<<． 由ln πln3π3<，得3πln πln 3<，所以π33π>； 由ln 3ln e3e<，得e 3ln 3ln e <，所以e 33e <． 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，e e 3π3ππ3<<<，e 33e <．又由（Ⅱ）知，ln πlneπe<，得e ππe <． 故只需比较3e 与e π和πe 与3π的大小．由（Ⅰ）知，当0e x <<时，1()(e)e f x f <=，即ln 1e x x <．在上式中，令2e πx =，又2e e π<，则2e eln ππ<，从而e 2ln ππ-<，即得eln π2π>-． ① 由①得，e 2.72eln πe(2) 2.7(2) 2.7(20.88) 3.0243π 3.1>->⨯->⨯-=>，即eln π3>，亦即e 3ln πln e >，所以3e e π<． 又由①得，3e3ln π66e ππ>->->，即3ln ππ>，所以π3e π<． 综上可得，e 3e π3π3e πe π3<<<<<，即6个数从小到大的顺序为e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3．。