2015北京市西城一模数学试卷及答案(高质量_可编辑_纯word版)

北京市西城区2015年高三一模试卷数学（文科）2015.4一、选择题：1.设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，若A B =∅，则实数a 的范围是（ ）（A ）1a ≤ （B ）1a ≥ （C ）0a ≥ （D ）0a ≤【难度】1【考点】集合的运算【答案】B【解析】故选B2．复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【难度】1【考点】复数综合运算【答案】C【解析】令z a bi =+，则2()3a bi i ai bi b ai i +⋅=+=-+=-所以1,3a b =-=-，即1(3)z i =-+-故选C3．关于函数3()log ()f x x =-和()3x g x -=，下列说法中正确的是（ ）（A ）都是奇函数 （B ）都是偶函数（C ）函数()f x 的值域为R （D ）函数()g x 的值域为R【难度】1【考点】函数综合【答案】C【解析】3()log ()f x x =-的值域为R ，是非奇非偶函数；()3x g x -=的值域为(0,)+∞，是非奇非偶函数；故选C4. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为______.（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【难度】2【考点】算法和程序框图【答案】B【解析】该程序执行过程如下：3x =，1n =，不满足条件100x >，进入循环体；9x =，2n =，不满足条件100x >，进入循环体；27x =，3n =，不满足条件100x >，进入循环体；81x =，4n =，不满足条件100x >，进入循环体；324x =，5n =，满足条件100x >，跳出循环体；输出5n =，结束。

故选B5. 设,P Q 分别为直线0x y -=和圆22(6)2x y +-=上的点，则||PQ 的最小值为（）（A ）22 （B ）32 （C ）42 （D ）4【难度】2【考点】直线与圆的位置关系【答案】A【解析】圆心(0,6)到直线0x y -=的距离为322所以，||PQ 的最小值为22故选A6．设函数()f x 的定义域为R ，则“x ∀∈R ，(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的（）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【难度】2【考点】充分条件与必要条件【答案】B【解析】故选B7． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ）（A）7（B）152（C）233（D）476【难度】2【考点】空间几何体的三视图与直观图【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体是一个棱长为2的正方体去掉一个三棱锥去掉部分的体积为：111111326 V=⨯⨯⨯⨯=所以，该几何体的体积为：147 22266 V=⨯⨯-=故选D8. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（）（A）2枝玫瑰的价格高（B）3枝康乃馨的价格高（C）价格相同（D）不确定【难度】3【考点】二元一次不等式【组】表示的平面区域【答案】A【解析】设玫瑰的价格为x 元，康乃馨的价格为y 元，由题意得：63244420x y x y +>⎧⎨+<⎩，作出该平面区域为：由图可知不等式组表示的区域位于直线230x y -=的右侧，即满足230x y ->，所以23x y >，即2只玫瑰的价格高故选A二、填空题：9. 已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____.【难度】1【考点】数量积的应用 2【解析】设(,)b x y =，由题意得：(1,1)a b x y +=+-+， (1,1)a b x y -=---因为()()+⊥-a b a b ，所以()()0a b a b +⋅-=即22(1)(1)(1)(1)20x x y y x y +-+-+--=--=即222x y +=，所以，2b x y =+=10．函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期是____.【难度】1【考点】三角函数综合【答案】π【解析】2222()sin cos (cos sin )cos 2f x x x x x x =-=--=-22T ππ==，故答案为π 11．在区间[2,1]-上随机取一个实数x ，则x 使不等式1|1|x -≤成立的概率为____.【难度】2【考点】几何概型【答案】13【解析】1|1|x -≤⇔111x -≤-≤⇔02x ≤≤在区间[2,1]-上随机取一个实数x ，满足不等式1|1|x -≤的部分是[0,1]故所求概率为13故答案为1312．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线 C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____；渐近线方程是____.【难度】2【考点】圆锥曲线综合【答案】2213y x -=; y = 【解析】抛物线28y x =的焦点为：()2,0，所以，2224a b c +==（1） 由2c e a ==得：222224c a b a a+==（2）， 由（1）（2）解得：21a =，23b =故双曲线方程为：2213y x -=，渐近线方程为：3y x =± 故答案为2213y x -=;3y x =± 13. 设函数20,1,()4,0.x x x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩则[(1)]f f -=____；函数()f x 的极小值是____.【难度】2【考点】分段函数，抽象函数与复合函数【答案】103;2 【解析】10[(1)](3)3f f f -==， 函数图像如图：故函数()f x 的极小值是(1)2f =故答案为103;2 14. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：则组委会定做该工艺品的费用总和最低为 元.【难度】3【考点】线性规划【答案】4900【解析】设甲厂生产一等奖奖品x 个，则乙厂生产一等奖奖品3x -个，设甲厂生产一等奖奖品y 个，则乙厂生产一等奖奖品6y -个，且满足条件：030604,x y x y x N y N**≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨≤+≤⎪⎪∈∈⎩ 则费用总和500800(3)400600(6)z x x y y =+-++-3002006000x y =--+即30020060000x y z +-+= 即32600100z x y +-+= 作出可行域如图：由图可知，最优解为(3,1)A ，此时min 3003200160004900z =-⨯-⨯+=（元）故答案为4900三、解答题：15．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，且4AD DC =.（Ⅰ）求BD 的长；（Ⅱ）求sin CBD ∠的值.【难度】3【考点】解斜三角形【答案】见解析【解析】（Ⅰ）解：因为 90=∠ABC ，4=AB ，3=BC ， 所以3cos 5C =，4sin 5C =，5=AC ， 又因为DC AD 4=，所以4=AD ，1=DC .在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅ 223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以 5104=BD . （Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BD CBD C=∠， 所以154sin 5CBD=∠， 所以sin CDB ∠=16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32a =，57S a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（Ⅱ）若444,,m n a a a ++（*,m n ∈N ）成等比数列，求n 的最小值．【难度】3【考点】数列综合应用【答案】见解析【解析】（Ⅰ）解：设公差为d ， 由题意，得11122,15546,2a d a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=+⎪⎩ 解得12a =-，2d =，所以2(1)224n a n n =-+-⨯=-，212(1)232n S n n n n n =-+-⨯=-． （Ⅱ）解：因为444,,m n a a a ++成等比数列，所以2444m n a a a ++=，即2(24)4(24)m n +=+， 化简，得21(2)22n m =+-， 考察函数21()(2)22f x x =+-，知()f x 在(0,)+∞上单调递增， 又因为5(1)2f =，(2)6f =，*n ∈N ， 所以当2m =时，n 有最小值6．17．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，//EF AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =,AE AF =，点G 是EF 的中点.（Ⅰ）证明：AG ⊥CD ；（Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且13AMMC =，求证：GM //平面ABF ；（Ⅲ）已知空间中有一点O 到,,,,A B C D G 五点的距离相等，请指出点O 的位置. (只需写出结论)【难度】3【考点】立体几何综合【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G 是EF 的中点，所以 AG EF ⊥. 又因为 //EF AD ，所以 AG AD ⊥.因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以 AG ⊥平面ABCD . 因为 CD ⊂平面ABCD ，所以 AG ⊥CD .（Ⅱ）证明：如图，过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，连结NF ，因为 13AMMC =，所以14MNAMBC AC ==，因为 2BC EF =，点G 是EF 的中点，所以 4BC GF =，又因为 //EF AD ，四边形ABCD 为正方形，=.所以GF//MN，GF MNGM FN.所以四边形GFNM是平行四边形. 所以//又因为GM⊄平面ABF，FN⊂平面ABF，所以GM//平面ABF.（Ⅲ）解：点O为线段GC的中点.18．2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（Ⅱ）已知选出的120人中有6名学生，且这6人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价从这．．．．．120人中分层抽．．．．．样．所选的结果相同，现从这6人中随机选出2人，求这2人的票价和恰好为8元的概率； （Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．(只需写出结论)【难度】3【考点】概率综合【答案】见解析【解析】（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， 由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）.所以票价小于5元的有6040100+=（人）．故120人中票价小于5元的频率是10051206=． 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A ． （Ⅱ）解：记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”，由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为60:40:203:2:1=，则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）. 记票价为3元的同学为,,a b c ，票价为4元的同学为,d e ，票价为5元的同学为f ，从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：(,),(,)c a b a ,(,),(,),(,),(,),(,),d e f c d a a a b b(,),e b (,),(,),(,),(,),(,)f d e f e b c c c d (,),(,)f f d e .19．设点F 为椭圆2222 1(0)x y E a b a b +=>>：的右焦点，点3(1,)2P 在椭圆E 上，已知椭圆E 的离心率为12. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过右焦点F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，记ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t的最大值.【难度】4【考点】圆锥曲线综合【答案】见解析【解析】（Ⅰ）解：设22b a c -=，由题意，得21=a c ， 所以 2a c =，b =. 则椭圆方程为 2222143x y c c+=， 又点)23,1(P 在椭圆上，所以 2213144c c+=，解得21c =， 故椭圆方程为 22143x y +=. （Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ，设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ， 得 2222(34)84120k x k x k +-+-=.由题意，可知0>∆，则有 2221438k k x x +=+，212241234k x x k -=+， 所以直线PA 的斜率11321PAy k x -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， 所以PA PB t k k k =⨯⨯ 1212332211y y k x x --=⨯⨯-- 12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++2121212121239[()1](2)24()1k x x xx k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++ 122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++ 233()44k k k k =--⨯=--. 即 22339()4864t k k k =--=-++， 所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. 20．设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()xn g x x =，(0,)x ∈+∞. （Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上是否为单调函数，并说明理由； （Ⅱ）若当1n =时，对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤成立，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）当2n >时，若存在直线l y t =：（t ∈R ），使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，写出n 的所有可能取值. (只需写出结论)【难度】4【考点】导数的综合运用【答案】见解析【解析】（Ⅰ）解：结论：函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. 求导，得 11ln ()n n x f x x+-'=， 令 ()0f x '=，解得1e n x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以函数()f x 在区间1(0,e )n 上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减. 所以函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. （Ⅱ）解：当1n =时，函数ln ()x f x x=，e ()x g x x =，0x >. 由题意，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤恒成立， 只需当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤.因为 21ln ()x f x x-'=.令()0f x '=，解得e x =. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以max 1()(e)ef x f ==. 又因为2e (1)()x x g x x -'=. 令 ()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以min ()(1)e g x g ==.综上所述，得1e et ≤≤.（Ⅲ）解：满足条件的n 的取值集合为{3,4}.。

北京市西城区2015年初三一模试卷数 学 2015. 4一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．13的相反数是A.13 B.13- C.3 D.3-2．据市烟花办相关负责人介绍，2015年除夕零时至正月十五24时，全市共销售烟花爆竹 约196 000箱，同比下降了32%．将196 000用科学记数法表示应为A.51.9610⨯B.41.9610⨯C.419.610⨯D. 60.19610⨯ 3．下列运算正确的是A. 336a b ab+=B.32a a a -=C.()326a a = D.632a a a ÷=4．如图是一个几何体的直观图，则其主视图是5．甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机 抽签的方式决定各自的跑道．若甲首先抽签，则甲抽到1号跑道的概率是A. 1B.12C. 13D.146．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是7．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，如果∠BOC =70°， 那么∠BAD 等于A. 20°B. 30°C. 35°D.70°8．在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点P 在反比例函数的图象上，如果点P 的纵坐 标是3，OP=5，那么该函数的表达式为A. 12y x=B. 12y x =-C. 15y x= D. 15y x =-9．为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．这组数据的众数和中位数分别是 A. 6，4 B. 6，6 C. 4，4D. 4，610．如图，过半径为6的⊙O 上一点A 作⊙O 的切线l ，P 为⊙O 上的一个动点，作PH ⊥l 于点H ，连接P A ．如果P A =x ，AH=y ， 那么下列图象中，能大致表示y 与x 的函数关系的是二、填空题(本题共18分，每小题3分) 11．如果分式15x -有意义，那么x的取值范围是 ．12．半径为4cm ，圆心角为60°的扇形的面积为 cm 2．13．分解因式：2123m -= ．14．如图，△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 在BC 边上，当 时， △ABD ≌△ACE ．（添加一个适当的条件即可）15．如图是跷跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，以O为横板AB 的中点．．，AB 绕点O 上下转动，横板AB 的B 端最大高度h 是否会随横板长度的变化而变化 呢？一位同学做了如下研究：他先设AB=2 m ，OC=0.5 m ，通过计算得到此时的h 1，再将横板AB换成横板A ′B ′，O 为横板A ′B ′的中点，且A ′B ′=3m ，此时B ′点的最大高度为h 2，由此得 到h 1与h 2的大小关系是：h 1 h 2（填“＞”、“＝”或“＜”）．可进一步得出，h 随横板的长度的变化而 （填“不变”或“改变”）．16．如图，数轴上，点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点1A ，第2次从点1A 向右移动6个单位长度至点2A ，第3次从点2A 向左移动9个单位长度至点3A ，…，按照这种移动方式进行下去，点4A 表示的数是 ，如果点n A 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是 ．三、解答题(本题共30分，每小题5分)17()011π2008()6tan302--+-︒． 18．如图，∠C =∠E ，∠EAC =∠DAB ，AB=AD ．求证：BC=DE ．19．解不等式组 ()2035148.x x x -≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩，20．先化简，再求值：223312111a a a a a a a ++÷-++++，其中2a =．21．从北京到某市可乘坐普通列车或高铁．已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是520千米．如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且乘坐高铁比 乘坐普通列车少用3小时．求高铁的平均速度是多少千米/时． 22．已知关于x 的一元二次方程0)2()1(22=+---m m x m x . （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根； （2）若2x =-是此方程的一个根，求实数m 的值．四、解答题(本题共20分，每小题5分)23．如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ， E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE =∠BAD ，AE ⊥AC ． （1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）如果DA 平分∠BDE ，AB=5，AD=6，求AC 的长．24．在北京，乘坐地铁是市民出行时经常采用的一种交通方式．据调查，新票价改革政策的实施给北京市轨道交通客流带来很大变化．根据2015年1月公布的调价后市民当时乘坐地铁的相关调查数据，制作了以下统计表以及统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）补全扇形图；（2）题目所给出的线路中，调价后客流量下降百分比最高的线路是，调价后里程x（千米）在范围内的客流量下降最明显．对于表中客流量不降反增而且增长率最高的线路，如果继续按此变化率增长，预计2016年1月这条线路的日均客流量将达到万人次；（精确到0.1）（3）小王同学上学时，需要乘坐地铁15.9公里到达学校，每天上下学共乘坐两次．问调价后小王每周（按5天计算）乘坐地铁的费用比调价前多支出元．（不考虑使用市政一卡通刷卡优惠，调价前每次乘坐地铁票价为2元）25．如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称．作BE⊥l于点E，连接AD，DE．（1）依题意补全图形；（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED相等的角，并加以证明．26．阅读下面的材料：小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且1tan 2α=，1tan 3β=，求αβ+的度数． 小敏是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得ABD α∠=，CBE β∠=，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC ，可证得△ABC 是等腰直角三角形，因此可求得αβ+=∠ABC = °.请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tan 4α=，3tan 5β=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=αβ-，由此可得αβ-=______°.五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．已知二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点．（1）求1C 对应的函数表达式；（2）将1C 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位， 得到抛物线2C ，将2C 对应的函数表达式记为 22y x mx n =++，求2C 对应的函数表达式； （3）设323y x =+，在（2）的条件下，如果在 2-≤x ≤a 内存在．．某一个x 的值，使得2y ≤3y 成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．28． △ABC 中，AB=AC ．取BC 边的中点D ，作DE ⊥AC 于点E ，取DE 的中点F ，连接BE ，AF 交于点H ．（1）如图1，如果90BAC ∠=︒，那么AHB ∠= ︒，AFBE= ； （2）如图2，如果60BAC ∠=︒，猜想AHB ∠的度数和AFBE的值，并证明你的结论； （3）如果BAC α∠=，那么AF= ．（用含α的表达式表示）29．给出如下规定：两个图形G 1和G 2，点P 为G 1上任一点，点Q 为G 2上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G 1和G 2之间的距离． 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．（1）点A 的坐标为(1,0)A ，则点(2,3)B 和射线OA 之间的距离为________，点(2,3)C - 和射线OA 之间的距离为________；（2）如果直线y =x 和双曲线ky x=k = ；（可在图1中进 行研究）（3）点E 的坐标为(1,3)，将射线OE 绕原点O 逆时针旋转60︒，得到射线OF ，在坐标平面内所有和射线OE ，OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M ． ① 请在图2中画出图形M ，并描述图形M 的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示） ② 将射线OE ，OF 组成的图形记为图形W ，抛物线22-=x y 与图形M 的 公共部分记为图形N ，请直接写出图形W 和图形N 之间的距离．。

B 与 C 必须相
邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有
种 . （用数字作答）
14．如图，四面体 ABCD的一条棱长为 x，其余棱长均为 1 ，记四面体 ABCD的体积为 F x ，
则函数 F x 的单调增区间是
；最大值为
.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满Байду номын сангаас 13 分）
设函数
（Ⅰ）当
， 时，求函数 f ( x) 的值域；
（Ⅱ）已知函数 y = f ( x) 的图象与直线 y =1有交点，求相邻两个交点间的最短距离．
16．（本小题满分 13 分） 2014 年 12 月 28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．
2 / 13
（不
则a =
.
12．若数列 an 满足 a1
- 2，且对于任意的 m, n N＊，都有 am n am an , 则 a3
；
数列
an
前 10 项的和 S10
.
13．某种产品的加工需要 A, B, C , D, E五道工艺，其中 A必须在 D的前面完成（不一定相
邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，
D．既不充分也不必要条件
f ( x)
6． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是
()
7． 已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元，而 4 枝玫瑰与 4 枝康乃馨的价格之
和小于 20 元，那么 2 枝玫瑰和 3 枝康乃馨的价格的比较结果是 (
)
A． 2 枝玫瑰的价格高

北京市西城区2015年高三一模试卷数 学〔理科〕第Ⅰ卷〔选择题 共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，假设AB =∅，则实数a 的取值范围是〔 〕〔A 〕1a ≤ 〔B 〕1a ≥ 〔C 〕0a ≥ 〔D 〕0a ≤2．复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于〔 〕 〔A 〕第一象限 〔B 〕第二象限 〔C 〕第三象限 〔D 〕第四象限 3. 在极坐标系中，曲线2cos ρ=θ是〔 〕〔A 〕过极点的直线 〔B 〕半径为2的圆 〔C 〕关于极点对称的图形 〔D 〕关于极轴对称的图形 4．执行如下图的程序框图，假设输入的x 的值为3， 则输出的n 的值为〔 〕〔A 〕4 〔B 〕5 〔C 〕6 〔D 〕75．假设函数()f x 的定义域为R ，则“x ∀∈R ，(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的〔 〕〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充分必要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件6． 一个几何体的三视图如下图，则该几何体的体积的是〔 〕〔A 〕476 〔B 〕233 〔C 〕152〔D 〕77. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是〔 〕〔A 〕2枝玫瑰的价格高 〔B 〕3枝康乃馨的价格高 〔C 〕价格相同 〔D 〕不确定 8. 已知抛物线214yx 和21516y x 所围成的封闭曲线如下图，给定点(0,)A a 三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是〔 〕〔A 〕(1,3) 〔B 〕(2,4) 〔C 〕3(,3)2〔D 〕(,4)2第Ⅱ卷〔非选择题 共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．9. 已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____.10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____.侧(左)视图正(主)视图俯视图11．在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 假设π3A =，cos B =2b =，则a =____.12．假设数列{}n a 满足12a =-，且对于任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，则3a =___；数列{}n a 前10项的和10S =____．13. 某种产品的加工需要A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中A 必须在D 的前面完成〔不一定相邻〕，其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有____种. 〔用数字作答〕 14. 如图，四面体ABCD 的一条棱长为x ，其余棱长均为1， 记四面体ABCD 的体积为()F x ，则函数()F x 的单 调增区间是____；最大值为____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值13分〕设函数π()4cos sin()3f x x x =-x ∈R . 〔Ⅰ〕当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的值域；〔Ⅱ〕已知函数()y f x =的图象与直线1=y 有交点，求相邻两个交点间的最短距离.16．〔本小题总分值13分〕2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.〔不考虑公交卡折扣情况〕BADC已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如下图．〔Ⅰ〕如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；〔Ⅱ〕从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；〔Ⅲ〕小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．(只需写出结论)17．〔本小题总分值14分〕如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，//EF AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =, AE AF =，点G 是EF 的中点.〔Ⅰ〕证明：AG ⊥平面ABCD ；〔Ⅱ〕假设直线BF 与平面ACE所成角的正弦值为9，求AG 的长；〔Ⅲ〕判断线段AC 上是否存在一点M ，使MG //平面ABF ？假设存在，求出AM MC的值；假设不存在，说明理由．18．〔本小题总分值13分〕设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x=，函数e ()xn g x x =，(0,)x ∈+∞.〔Ⅰ〕当1n =时，写出函数()1y f x =-零点个数，并说明理由；〔Ⅱ〕假设曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线1l y =：的两侧，求n 的所有可能取值. 19．〔本小题总分值14分〕设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，且点P 和1F 关于点)43,0(C 对称.〔Ⅰ〕求椭圆E 的方程；〔Ⅱ〕过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？假设存在，求出l 的方程；假设不存在，说明理由. 20．〔本小题总分值13分〕已知点列111222:(,),(,),,(,)k k k T P x y P x y P x y (*k ∈N ，2k ≥)满足1(1,1)P ，且111,i i i i x x y y --=+⎧⎨=⎩与11,1i i ii x x y y --=⎧⎨=+⎩(2,3,,i k =) 中有且仅有一个成立．〔Ⅰ〕写出满足4k =且4(3,2)P 的所有点列；〔Ⅱ〕 证明：对于任意给定的k 〔*k ∈N ，2k ≥〕，不存在点列T ，使得112k kki i i i x y ==+=∑∑；〔Ⅲ〕当21k n =-且21(,)n P n n -〔*,2n n ∈N ≥〕时，求11k ki i i i x y ==⨯∑∑的最大值．FCADB G E北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学〔理科〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9． ； 10． 2213y x -= ； 11．； 12． 8- ，682 ；13． 24 ； 14．(或写成) ，18；三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：因为3)cos 23sin 21(cos 4)(+-=x x x x f ……………… 1分 3cos 32cos sin 22+-=x x xx x 2cos 32sin -= ……………… 3分=π2sin(2)3x -， ……………… 5分因为 π02x ≤≤， 所以ππ2π2333x --≤≤， …………… 6分所以 sin(π2)13x -≤，即()2f x ≤， 其中当5π12x =时，)(x f 取到最大值2；当0=x 时，)(x f 取到最小值3-， 所以函数()f x 的值域为]2,3[-. ……………… 9分 〔Ⅱ〕依题意，得π2sin(2)13x -=，π1sin(2)32x -=， ……………… 10分 所以ππ22π36x k -=+ 或 π5π22π36x k -=+， …………… 12分 所以ππ4x k =+或 7ππ12x k =+()k ∈Z ，所以函数()y f x =的图象与直线1=y 的两个相邻交点间的最短距离为π3. …… 13分16．〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， ………………1分由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20〔人〕.所以票价小于5元的有6040100+=〔人〕． ………………2分 故120人中票价小于5元的频率是10051206=． 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A ． ………4分 〔Ⅱ〕解：X 的所有可能取值为6，7，8，9，10. ………… 5分根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为60120，40120， 20120，即12，13，16， ……………… 6分以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为12，13，16． 所以 111(6)224P X ==⨯=，11111(7)23323P X ==⨯+⨯=，1111115(8)26623318P X ==⨯+⨯+⨯=，11111(9)36639P X ==⨯+⨯=，111(10)6636P X ==⨯=，………… 8分所以随机变量X 的分布列为：……………… 9分所以1151122()67891043189363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………… 10分〔Ⅲ〕解：(20,22]s ∈． ………………13分17．〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕证明：因为AE AF =，点G 是EF 的中点，所以 AG EF ⊥. ……………1分 又因为 //EF AD ，所以 AG AD ⊥. ……………2分因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以 AG ⊥平面ABCD . ……………4分 〔Ⅱ〕解：因为AG ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以,,AG AD AB 两两垂直. 以A 为原 点，以AB ，AD ，AG 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……5分则(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,4,0)C ， 设(0)AG t t =>，则(0,1,)E t ，(0,1,)F t -，所以(4,1,)BF t =--，(4,4,0)AC =，(0,1,)AE t =. 设平面ACE 的法向量为(,,)n x y z =， 由 0AC n ⋅=，0AE n ⋅=，得440,0,x y y tz +=+=⎧⎨⎩令 1z =, 得(,,1)n t t =-.……………7分因为BF 与平面ACE 9，所以 6cos ,9||||BF n BF n BF n ⋅<>==⋅，……………8分即9=， 解得21t =或2172t =.所以1AG =或2. …………9分〔Ⅲ〕解：假设线段AC 上存在一点M ，使得MG //平面ABF ，设AM ACλ=，则 AM AC λ=，由 (4,4,0)AC =，得(4,4,0)AM λλ=， ………10分 设 (0)AG t t =>，则(0,0,)AG t =，所以 (4,4,)MG AG AM t λλ=-=--. …………11分 设平面ABF 的法向量为111(,,)x y z m =， 因为 (0,1,)AF t -=，(4,0,0)AB =，由 0AF m ⋅=，0AB m ⋅=，得1110,40,y tz x -+==⎧⎨⎩令 11z =, 得(0,,1)t m =， ……………12分 因为 MG //平面ABF ，所以 0MG m =⋅，即04t t λ+=-，解得 14λ=. 所以 14AM AC =，此时13AM MC =，所以当13AM MC =时， MG //平面ABF . ……………14分18.〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕证明：结论：函数()1y f x =-不存在零点. ……………1分 当1n =时，ln ()x f x x =，求导得21ln ()xf x x-'=， ……………2分 令()0f x '=，解得e x =. ……………3分 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以函数()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，则当e x =时，函数()f x 有最大值1(e)e f =. ……………4分 所以函数()1y f x =-的最大值为1(e)110ef -=-<，所以函数()1y f x =-不存在零点. ……………5分 〔Ⅱ〕解：由函数ln ()n x f x x =求导，得 11ln ()n n xf x x +-'=，令()0f x '=，解得1e nx =. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：…………7分 所以函数()f x 在1(0,e )n 上单调递增，在1(e ,)n+∞上单调递减， 则当1e nx =时，函数()f x 有最大值11(e )enf n =； ……………8分 由函数e ()x n g x x =，(0,)x ∈+∞求导，得 1e ()()x n x n g x x+-'=，……………9分 令 ()0g x '=，解得x n =. 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以函数()g x 在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，则当x n =时，函数()g x 有最小值e ()()ng n n=. ……………11分因为*n ∀∈N ，函数()f x 有最大值11(e )1enf n =<，所以曲线ln n xy x=在直线1l y =：的下方，而曲线e x n y x =在直线1l y =：的上方， 所以e ()1nn>， ……………12分解得e n <.所以n 的取值集合为{1,2}. ……………13分19．〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ……………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分 由椭圆定义，得 122||||4a PF PF =+=.所以 2a =，b = ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 〔II 〕解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……………… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-.………… 7分 由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分 由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， …………… 9分由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y , 得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=， 由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241kk k x +--=⋅. ……………… 10分 假设四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. …… 14分 〔注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题〕20．〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：符合条件的点列为1234(1,1),(1,2),(2,2),(3,2)T P P P P ：；或1234(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)T P P P P ：；或1234(1,1),(2,1),(3,1),(3,2)T P P P P ：．……… 3分 〔Ⅱ〕证明：由已知，得111i i i i x y x y --+=++，所以数列{}i i x y +是公差为1的等差数列． 由112x y +=，得1i i x y i +=+〔1,2,,i k =〕． ……………… 3分 故11kki i i i x y ==+∑∑1()ki i i x y ==+∑23(1)k =++++1(3)2k k =+． ……………… 5分假设存在点列T ，使得112k kk i i i i x y ==+=∑∑，则1(3)22k k k +=，即1(3)2k k k ++=． 因为整数k 和3k +总是一个为奇数，一个为偶数，且2k ≥， 而整数12k +中不含有大于1的奇因子，所以对于任意正整数k (2)k ≥，任意点列均不能满足112kkk i i i i x y ==+=∑∑．……… 8分〔Ⅲ〕解：由〔Ⅱ〕可知，1(1,2,,21)i i y i x i n =+-=-，所以1221122111()(232)kki i n n i i x y x x x x x n x --==⨯=+++-+-++-∑∑12211221()[(232)()]n n x x x n x x x --=++++++-+++，令1221n t x x x -=+++，则11[(1)(21)]kki i i i x y t n n t ==⨯=+--∑∑. ………… 10分考察关于t 的二次函数()[(1)(21)]f t t n n t =+--． 〔1〕当n 为奇数时，可得1(1)(21)2n n +-是正整数，可构造数列{}i x ：1111,2,,(1),,(1),(1)1,,222n n n n n ++++项，对应数列{}i y ：1,1,,1,2,,,,n n n 项．〔由此构造的点列符合已知条件〕而且此时，1221(1)11112(1)(1)(1)222n n x x x n n n n --+++=++++++++++个112(1)(1)2n n n =+++++-1(1)(21)2n n =+-，所以当1(1)(21)2t n n =+-时， 11k ki i i i x y ==⨯∑∑有最大值221(1)(21)4n n +-．………12分〔2〕当n 为偶数时，1(1)(21)2n n +-不是正整数，而11(1)(21)22n n +--是离其最近的正整数，可构造数列{}i x ：(221,2,,,,,(1),,(1),2,,22222nn nn n n n n ++++1)项项，对应数列{}i y ：221,1,,1,2,,1,1,2,,,,22222nn n n n n nn ++++（+1)项项，〔由此构造的点列符合已知条件〕而且此时，1221(1)2212(1)(1)2222n n nn n nn x x x n --+++=+++++++++++个个12(1)(1)2222n n n n n =++++⨯++⨯-11(1)(21)22n n =+--，所以当11(1)(21)22t n n =+--时， 11k ki i i i x y ==⨯∑∑有最大值2211(1)(21)44n n +--．……………… 13分。

（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然 亭站出站的乘客中随机选 2 人，记 X 为这 2 人乘 坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概
人数 60
50 40 30
20 10
率，求 X 的分布列和数学期望；
O
3 45
票价(元)
（Ⅲ）小李乘坐地铁从 A 地到陶然亭的票价是 5 元，返程时，小李乘坐某路
其中当 x 5π 时， f (x) 取到最大值 2；当 x 0 时， f (x) 取到最小值 3 ， 12
所以函数 f (x) 的值域为[ 3,2].
………………9
分
第 6 页 共 14 页
（Ⅱ）依题意，得 2sin(2x
π) 3
1， sin(2x
π) 3
1 2，
………………10 分
所以 2x π π 2kπ 或 2x π 56π 2kπ ，
公共电汽车所花交通费也是 5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的
路程均为 s 公里，试写出 s 的取值范围．(只需写出结论)
17．（本小题满分 14 分）
如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形， EF//AD ， 平面 ADEF 平面 ABCD ，且 BC 2EF , AE AF ，点 G 是 EF 的中点.
邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有____种. （用数字作答）
14. 如图，四面体 ABCD 的一条棱长为 x ，其余棱长均为 1，
记四面体 ABCD 的体积为 F (x) ，则函数 F (x) 的单
调增区间是____；最大值为____.
A
B
D
C 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤．

北京市西城区2015年初三一模试卷数学 2015.4一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。

1.31的相反数是 A. 31 B.-31C. 3D.-32.据市烟花办相关负责人介绍，2015年除夕零时至正月十五24时，全市共销售烟花爆竹约箱，同比下降了32%，将用科学记数法表示应为A.1.96×105B. 1.96×104C. 19.6×104D.0. 196×1063.下列运算正确的是A.3a+3b=6abB.a 3-a=a 2C. (a 2)3=a 6D.a 6÷a 3=a 24.如图是一个 几何体的直观图，则其主视图是5.甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方法决定各自的跑道，若甲首先抽签，则甲抽到1号跑道的概率是A.1B.21 C. 31D. 416.下列图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是A. B. C. D.7.如图,线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB,如果∠BOC=70°，那么∠BAD 等于 A. 20° B. 30° C. 35° D. 70°8.在平面直角坐标系xoy 中，第一象限内的点P 在反比例函数的图象上，如果点P 的纵坐标是3，OP=5，那么该函数的表达式为A.y=x 12 B. y=-x 12 C.y=x 15 D.y=-x159.为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图。

这组数据的众数和中位数分别是A.6,4B.6,6C.4,4D.4,610.如图，过半径为6的⊙O 上一点A 作⊙O 的切线l ,P 为⊙O于点H ，连接PA ，如果PA=x ,AH=y ,那么下列图象中，能大致表示y 与x A. B. C. D.A. B. C.二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.如果分式51-x 有意义，那么x 的取值范围是 . 12.半径为4cm ，圆心角为60°的扇形的面积为 cm 2. 13.分解因式：12m 2-3= .14.如图，△ABC 中，AB=AC,点D,E 在BC 边上，当 时，△ABD ≌△ACE.(添加一个适当的条件即可).15. 如图是蹊跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，以O 为横板AB 的中点．．，AB 绕点O 上下转动，横板AB 的B 端最大高度h 是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设AB=2m,OC=0.5m,通过计算得到此时的h 1，再将横板AB换成A ′B ′,O 为横板A ′B ′的中点，且A ′B ′=3m ，此时B ′点的最大高度为h 2，由此得到h 1与h 2的大小关系是：h 1 h 2（填“＞”、“=”或“＜”），可进一步得出h 随横板的长度的变化而 （填“不变 ”或“改变”）.16.如图，数轴上，点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点A 1,第2次从点A 1向右移动6个单位长度至点A 2，第3次从点A 2向左移动9个单位长度至点A 3，…，按照这种移动方式进行下去，点A 4表示的数是 ，如果点A n 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是 。

北京市西城区2015年初三一模试卷数学2015. 41．13的相反数是A ．13B ．13- C ．3 D ．3- 2．据市烟花办相关负责人介绍，2015年除夕零时至正月十五24时，全市共销售烟花爆竹约196000箱，同比下降了32%．将196 000用科学记数法表示应为A ．51.9610⨯B ．41.9610⨯C ．419.610⨯D ．60.19610⨯ 3．下列运算正确的是A ．336a b ab +=B ．32a a a -= C ．236()a a = D ．632a a a ÷=4．如图是一个几何体的直观图，则其主视图是5．甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道．若甲首先抽签，则甲抽到1号跑道的概率是A ．1B ．12C ．13D ．146．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是7．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，如果∠BOC=70°，那么∠BAD等于A．20°B．30°C．35°D．70°8．在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在反比例函数的图象上，如果点P的纵坐标是3，OP=5，那么该函数的表达式为A．12yx=B．12yx=-C．15yx=D．15yx=-9．为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．这组数据的众数和中位数分别是A．6，4 B．6，6C．4，4 D．4，610．如图，过半径为6的⊙O上一点A作⊙O的切线l，P为⊙O上的一个动点，作PH⊥l于点H，连接P A．如果P A=x，AH=y，那么下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．如果分式15x-有意义，那么x的取值范围是．12．半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为cm2．13．分解因式：2123m -= ．14．如图，△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 在BC 边上，当 时， △ABD ≌△ACE ．（添加一个适当的条件即可）15．如图是跷跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，以O为横板AB 的中点．．，AB 绕点O 上下转动，横板AB 的B 端最大高度h 是否会随横板长度的变化而变化 呢？一位同学做了如下研究：他先设AB=2 m ，OC=0.5 m ，通过计算得到此时的h 1，再将横板AB换成横板A ′B ′，O 为横板A ′B ′的中点，且A ′B ′=3m ，此时B ′点的最大高度为h 2，由此得 到h 1与h 2的大小关系是：h 1 h 2（填“＞”、“＝”或“＜”）．可进一步得出，h 随横板的长度的变化而 （填“不变”或“改变”）．16．如图，数轴上，点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点1A ，第2次从点1A 向右移动6个单位长度至点2A ，第3次从点2A 向左移动9个单位长度至点3A ，…，按照这种移动方式进行下去，点4A 表示的数是 ，如果点n A 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是 ．三、解答题(本题共30分，每小题5分)17()011π2008()6tan302--+-︒．18．如图，∠C =∠E ，∠EAC =∠DAB ，AB=AD ．求证：BC=DE ．19．解不等式组 203(51)48x x x -≤⎧⎨+>-⎩20．先化简，再求值：223312111a a a a a a a ++÷-++++，其中2a =．21．从北京到某市可乘坐普通列车或高铁．已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是520千米．如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且乘坐高铁比 乘坐普通列车少用3小时．求高铁的平均速度是多少千米/时．22．已知关于x 的一元二次方程0)2()1(22=+---m m x m x . （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（2）若2x =-是此方程的一个根，求实数m 的值．四、解答题(本题共20分，每小题5分)23．如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ，E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE =∠BAD ，AE ⊥AC ．（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）如果DA 平分∠BDE ，AB=5，AD=6，求AC 的长．24．在北京，乘坐地铁是市民出行时经常采用的一种交通方式．据调查，新票价改革政策的实施给北京市轨道交通客流带来很大变化．根据2015年1月公布的调价后市民当时乘 坐地铁的相关调查数据，制作了以下统计表以及统计图．根据以上信息解答下列问题： （1）补全扇形图；（2）题目所给出的线路中，调价后客流量下降百分比最高的线路是 ，调价后里程x （千米）在 范围内的客流量下降最明显．对于表中客流量不降反增而且增长率最高的线路，如果继续按此变化率增长，预计2016年1月这条线路的日均客流量将达到 万人次；（精确到0.1）（3）小王同学上学时，需要乘坐地铁15.9公里到达学校，每天上下学共乘坐两次．问调价后小王每周（按5天计算）乘坐地铁的费用比调价前多支出 元．（不考虑使用市政一卡通刷卡优惠，调价前每次乘坐地铁票价为2元）25．如图，AB 为⊙O 的直径，M 为⊙O 外一点，连接MA 与⊙O 交于点C ，连接MB 并延长交⊙O 于点D ，经过点M 的直线l 与MA 所在直线关于直线MD 对称．作BE ⊥l 于点E ，连接AD ，DE ．（1）依题意补全图形；（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED 相等的角，并加以证明．26．阅读下面的材料：小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且1tan 2α=，1tan 3β=，求αβ+的度数． 小敏是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得ABD α∠=， CBE β∠=，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC ，可证得△ABC 是等腰直角三角形，因此可求得αβ+=∠ABC = °.请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tan 4α=，3tan 5β=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=αβ-，由此可得αβ-=______°.五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．已知二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点．（1）求1C 对应的函数表达式；（2）将1C 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线2C ，将2C 对应的函数表达式记为22y x mx n =++，求2C 对应的函数表达式；（3）设323y x =+，在（2）的条件下，如果在2x a -≤≤内存在．．某一个x 的值，使得23y y ≤成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．28．△ABC 中，AB=AC ．取BC 边的中点D ，作DE ⊥AC 于点E ，取DE 的中点F ，连接BE ，AF 交于点H ．（1）如图1，如果90BAC ∠=︒，那么AH B ∠= ︒，AFBE= ； （2）如图2，如果60BAC ∠=︒，猜想AHB ∠的度数和AFBE的值，并证明你的结论； （3）如果BAC α∠=，那么AFBE= ．（用含α的表达式表示）29．给出如下规定：两个图形1G 和2G ，点P 为1G 上任一点，点Q 为2G 上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形1G 和2G 之间的距离．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．（1）点A 的坐标为(1,0)A ，则点(2,3)B 和射线OA 之间的距离为________，点(2,3)C -和射线OA 之间的距离为________；（2）如果直线y x =和双曲线ky x=k = ； （可在图1中进行研究）（3）点E 的坐标为，将射线OE 绕原点O 逆时针旋转60︒，得到射线OF ，在坐标平面内所有和射线,OE OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M ．① 请在图2中画出图形M ，并描述图形M 的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示） ② 将射线,OE OF 组成的图形记为图形W ，抛物线22y x =-与图形M 的公共部分记为图形N ，请直接写出图形W 和图形N 之间的距离．北京市西城区2015年初三一模试卷数学试卷参考答案及评分标准2015.4一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17()011π2008()6tan302--+-︒=3362132⨯-++………………………………………………………… 4分 =32332-+=3．…………………………………………………………………………………… 5分 18．证明：如图1．∵ ∠EAC =∠DAB ，∴ 11EAC DAB ∠+∠=∠+∠．即 ∠BAC =∠DAE ． …………………… 1分 在△ABC 和△ADE 中，,,,C E BAC DAE AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩………………………3分∴ △ABC ≌△ADE ．…………………………………………………………… 4分 ∴ BC= DE ．…………………………………………………………………… 5分 19．解：()2035148.x xx -≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩， 由①，得2x ≥． ………………………………………………………………… 2分由②，得 15348x x +>-移项，合并，得 1111x >-系数化1，得 1x >-． ………………………………………………………… 4分 所以原不等式组的解集为2x ≥．…………………………………………………5分20．解： 223312111a a a a a a a ++÷-++++=()()2331111a a a a a a ++÷-+++……………………………………………………………2分 ()()2311311a a a a a a ++=⋅-+++ =111+-+a a a …………………………………………………………………………3分 =11a a -+．………………………………………………………………………………4分 当2=a 时，原式=311212=+-．………………………………………………………5分 21．解：设普通列车的平均速度为x 千米/时．…………………………………………… 1分 则高铁的平均速度是2.5x 千米/时．依题意，得40052032.5x x+=．…………………………………………………… 2分 解得 120=x ．……………………………………………………………………3分 经检验，120=x 是原方程的解，且符合题意．……………………………… 4分 所以 30052=x .．答：高铁的平均速度是300千米/时.………………………………………………… 5分 22．（1）证明： []22(1)4(2)m m m ∆=--++ 2248448m m m m =-+++284m =+．……………………………………………………………………1分∵ 28m ≥0，∴ 284m +＞0．………………………………………………………………2分∴ 方程总有两个不相等的实数根． ……………………………………… 3分（2）解：∵ 2x =-是此方程的一个根，∴ 2(2)2(2)(1)(2)0m m m --⨯---+=．整理得 220m m -=．解得 10m =，22m =．……………………………………………………… 5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（1）证明：∵ ADE BAD ∠=∠，∴ AB ∥ED ．…………………………………………………………… 1分 ∵ BD 垂直平分AC ，垂足为F ， ∴ BD AC ⊥，AF=FC ．又∵ AE AC ⊥，∴ 90EAC DFC ∠=∠=︒．∴AE ∥BD ．∴ 四边形ABDE 是平行四边形．…………………………………………2分（2）解：如图2，连接BE 交AD 于点O ． ∵ DA 平分∠BDE ，∴ ∠ADE=∠1．又∵ ADE BAD ∠=∠， ∴ ∠1=∠BAD ．∴ AB= BD ．………………………………3分 ∴ABDE 是菱形． ∵ AB=5，AD=6，∴ BD=AB=5，AD BE ⊥，132OA AD ==．在Rt △OAB 中，4OB =．∵ 1122ABD S AD OB BD AF =⋅=⋅V ， ∴ 645AF ⨯=．解得 4.8AF =． …………………………4分 ∵ BD 垂直平分AC ，∴ 29.6AC AF ==．……………………5分 注：其他解法相应给分． 24．解：（1）补全扇形图如图3所示．…………………1分 （2）2号线，52＜x ≤72 ，22.2．（各1分）………………………………………… 4分 （3）30．……………………………………… 5分 25．解：（1）依题意，补全图形如图4．……………… 1分 （2）BAD ∠．…………………………………… 2分 证明：如图5，连接BC ，CD ．∵ 直线l 与直线MA 关于直线MD 对称， ∴ 12∠=∠．………………………3分 ∵ AB 为⊙O 的直径，∴ 90ACB ∠=︒，即BC MA ⊥． 又∵ BE l ⊥，∵ cos 1MC MB =⋅∠，cos 2ME MB =⋅∠∴ MC=ME ． 又∵ C ，E 两点分别在直线MA 与直线l 可得C ，E 两点关于直线MD 对称．∴ 3BED ∠=∠． ………………… 4分 又∵ 3BAD ∠=∠，∴ BAD BED ∠=∠． ……………… 5分26．解：45． …………………………………………………1分画图见图6． ………………………………………3分 45．………………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）27．解：（1）∵ 二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，∴10,3.b c c -+=⎧⎨=-⎩………………………………1分 解得2,3.b c =-⎧⎨=-⎩…………………………………2分 ∴ 抛物线1C 的函数表达式为3221--=x x y ． …………………………………… 3分（2）∵ 22123=(1)4y x x x =----，∴ 抛物线1C 的顶点为(1,4)- ∴ 平移后抛物线2C 的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为22y x =．… 5分（3）a ≥1-（见图7）．………………………………………………………………7分28．解：（1）90，12．……………………………………………………………………… 2分 （2）结论：90AHB ∠=︒，AF BE =． 证明：如图8，连接AD ．∵ AB =AC ，∠BAC =60°，∴ △ABC 是等边三角形．∵ D 为BC 的中点，∴ AD ⊥BC ．∴ ∠1+∠2=90°．又∵ DE ⊥AC ，∴ ∠DEC =90°．∴ ∠2+∠C =90°．∴ ∠1=∠C =60°．设AB =BC=k （0k >）， 则124k CE CD ==，DE =． ∵ F 为DE 的中点，∴ 12DF DE ==，AD AB ==． ∴AD BC =，DF CE ∴ =BC AD CE DF ．…………………………………………………………3分又∵ ∠1=∠C ，∴ △ADF ∽△BCE ．………………………………………………… 4分∴AF AD BE BC ==，………………………………………………… 5分 ∠3=∠4．又∵ ∠4+∠5=90°，∠5=∠6，∴ ∠3+∠6=90°．∴ 90AHB ∠=︒．………………………………………………………6分 （3）1tan 9022α︒-（）．………………………………………………………………7分 注：写1cos 2sin αα+或其他答案相应给分．29．解：（1）3．（每空各1分）…………………………………………………… 2分（2）-1．…………………………………………………………………………… 4分（3）①如图9，过点O 分别作射线OE 、OF 的垂线OG 、OH ，则图形M 为：y 轴正半轴，∠GOH 的边及其内部的所有点（图中的阴影部分）………… 7分说明：（画图2分，描述1分）（图形M 也可描述为：y 轴正半轴，直线x y 33=下方与直线x y 33-=下方重叠的部分（含边界）） ②34 …………………………………………………………………………8分。

2015西城高三一模数学(理科)北京市西城区2015年高三一模试卷数学（理科）2015.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合0,1{}A=，集合{|}=>，若A B=∅，则实数B x x aa的取值范围是（）（A）1a≤（B）1a≥（C）0a≥（D）0a≤2．复数z满足i3iz⋅=-，则在复平面内，复数z对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3. 在极坐标系中，曲线2cosρ=θ是（）（A）过极点的直线（B）半径为2的圆（C）关于极点对称的图形（D）关于极轴对称的图形4．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的n的值为（）（A）4（B）5（C）6（D）75．若函数()f x的定义域为R，则“x∀∈R，(1)()f x f x+>”是“函数()f x为增函数”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ）（A ）476（B ）233（C ）152（D ）77. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ）（A ）2枝玫瑰的价格高 （B ）3枝康乃馨的价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定 8. 已知抛物线214y x 和21516yx 所封闭曲线如图所示，给定点侧俯视(0,)A a ，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a的取值范围是（ ）（A ）(1,3) （B ）(2,4) （C ）3(,3)2（D ）5(,4)2第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____.10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28yx=的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____.11．在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若π3A =，cos B =2b =，则a =____. 12．若数列{}n a 满足12a =-，且对于任意的*,m n ∈N ，都有m nm naa a +=⋅，则3a =___；数列{}na 前10项的和10S =____．13. 某种产品的加工需要A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有____种. （用数字作答）14. 如图，四面体ABCD 的一条棱长为x ，其余棱长均为1，记四面体ABCD 的体积为()F x ，则函数()F x 的单 调增区间是____；最大值为____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）设函数π()4cos sin()3f x x x =-+x ∈R . （Ⅰ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的值域； BA DC（Ⅱ）已知函数()y f x =的图象与直线1=y 有交点，求相邻两个交点间的最短距离.16．（本小题满分13分）2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示． （Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；票价(元)（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．(只需写出结论)17．（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，//EF AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =, AE AF=，点G 是EF的中点.（Ⅰ）证明：AG ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若直线BF 与平面ACE所成角的正弦值为9AG 的长；（Ⅲ）判断线段AC 上是否存在一点M ，使MG //平面ABF ？若存在，求出AM MC 的值；若不存在，说明理由．F CA D BG18．（本小题满分13分） 设*n ∈N ，函数ln ()nxf x x=，函数e ()xng x x=，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）当1n =时，写出函数()1y f x =-零点个数，并说明理由；（Ⅱ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线1l y =：的两侧，求n 的所有可能取值. 19．（本小题满分14分） 设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，且点P 和1F 关于点)43,0(C 对称. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）已知点列111222:(,),(,),,(,)k k k T P x y P x y P x y (*k ∈N ，2k ≥)满足1(1,1)P ，且111,ii ii x x y y--=+⎧⎨=⎩与11,1ii ii x x y y--=⎧⎨=+⎩(2,3,,i k=) 中有且仅有一个成立．（Ⅰ）写出满足4k =且4(3,2)P 的所有点列；（Ⅱ） 证明：对于任意给定的k （*k ∈N ，2k ≥），不存在点列T ，使得112kkkiii i x y ==+=∑∑；（Ⅲ）当21k n =-且21(,)n Pn n -（*,2n n ∈N ≥）时，求11k ki ii i x y==⨯∑∑的最大值．北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科） 2015.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．10．2213y x -= ； 11．； 12． 8- ，682；13． 24 ； 14．(或写成) ，18； 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为3)cos 23sin 21(cos 4)(+-=x x x x f ……………… 1分3cos 32cos sin 22+-=x x xxx 2cos 32sin -= ……………… 3分=π2sin(2)3x -，……………… 5分因为 π02x ≤≤，所以ππ2π2333x --≤≤，…………… 6分所以 sin(π2)13x -≤，即()2f x ≤，其中当5π12x =时，)(x f 取到最大值2；当0=x 时，)(x f 取到最小值3-，所以函数()f x 的值域为]2,3[-. ……………… 9分（Ⅱ）依题意，得π2sin(2)13x -=，π1sin(2)32x -=， ……………… 10分所以ππ22π36x k -=+或π5π22π36x k -=+， …………… 12分所以ππ4x k =+或 7ππ12x k =+()k ∈Z ，所以函数()y f x =的图象与直线1=y 的两个相邻交点间的最短距离为π3. …… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， ………………1分由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）. 所以票价小于5元的有6040100+=（人）． ………………2分故120人中票价小于5元的频率是10051206=．所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A．………4分（Ⅱ）解：X的所有可能取值为6，7，8，9，10. …………5分根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为60120，40120，20 120，即12，13，16，………………6分以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为12，13，16．所以111(6)224P X==⨯=，11111(7)23323P X==⨯+⨯=，1111115(8)26623318P X==⨯+⨯+⨯=，11111(9)36639P X==⨯+⨯=，111(10)6636P X==⨯=，…………8分所以随机变量X的分布列为：……………9分所以1151122E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. …………()67891043189363……10分（Ⅲ）解：(20,22]s∈．………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AE AF=，点G是EF的中点，所以⊥. AG EF……………1分又因为//EF AD，所以AG AD⊥.……………2分因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以AG⊥平面ABCD.……………4分（Ⅱ）解：因为AG ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以,,AG AD AB 两两垂直. 以A 为原点，以AB ，AD ，AG 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……5分则(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,4,0)C ， 设(0)AG t t =>，则(0,1,)E t ，(0,F 所以(4,1,)BF t =--，(4,4,0)AC =，AE 设平面ACE 的法向量为(,,n x y z = 由 0AC n ⋅=，0AE n ⋅=，得440,x y y tz ++=⎧⎨⎩令1z =,得(,,1)n t t =-.……………7分因为BF 与平面ACE 所成角的正弦值为9， 所以6cos ,9||||BF n BF n BF n ⋅<>==⋅， ……………8分 即9=， 解得21t=或2172t=.所以1AG =或2.…………9分（Ⅲ）解：假设线段AC 上存在一点M ，使得MG //平面ABF ，设AM ACλ=，则 AM ACλ=，由(4,4,0)AC =，得(4,4,0)AM λλ=， ………10分设 (0)AG t t =>，则(0,0,)AG t =，所以(4,4,)MG AG AM t λλ=-=--. …………11分设平面ABF 的法向量为111(,,)x y z m =，因为 (0,1,)AF t -=，(4,0,0)AB =，由 0AF m ⋅=，0AB m ⋅=，得1110,40,y tz x -+==⎧⎨⎩令11z =, 得(0,,1)t m =，……………12分因为 MG//平面ABF ，所以 0MG m =⋅，即04t t λ+=-，解得 14λ=.所以14AM AC=，此时13AM MC =， 所以当13AM MC=时，MG//平面ABF. ……………14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）证明：结论：函数()1y f x =-不存在零点. ……………1分当1n =时，ln ()x f x x=，求导得21ln ()x f x x -'=， ……………2分令()0f x '=，解得ex =. ……………3分当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以函数()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，则当ex =时，函数()f x 有最大值1(e)ef =. ……………4分所以函数()1y f x =-的最大值为1(e)110ef -=-<，所以函数()1y f x =-不存在零点. ……………5分（Ⅱ）解：由函数ln ()nx f x x =求导，得 11ln ()n n x f x x +-'=，令()0f x '=，解得1e nx =. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：…………7分 所以函数()f x 在1(0,e )n 上单调递增，在1(e ,)n+∞上单调递减，则当1enx =时，函数()f x 有最大值11(e )enf n =； ……………8分由函数e ()xng x x=，(0,)x ∈+∞求导，得1e ()()x n x n g x x +-'=，……………9分令()0g x '=，解得x n =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以函数()g x 在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增， 则当x n=时，函数()g x 有最小值e()()ng n n=. ……………11分因为*n ∀∈N ，函数()f x 有最大值11(e)1enf n =<，所以曲线ln nxy x=在直线1l y =：的下方，而曲线e x ny x=在直线1l y =：的上方，所以e()1n n>，……………12分 解得e n <. 所以n的取值集合为{1,2}. ……………13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ……………… 1分所以椭圆E的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分由椭圆定义，得 122||||4a PF PF =+=.所以2a =，b ==. ……………… 4分 故椭圆E的方程为13422=+y x . ……………… 5分（II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……………… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在， 设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-.………… 7分 由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438k k x x +=+，212241234k x x k -=+， (9)分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y ,得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=， 由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ， 则223431281k kk x +-=+，2234331241k k k x +--=⋅. (10)分若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ的中点重合，所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ………… 11分故2212123()4(1)x x x x x +-=-.………… 12分 所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k ----⋅=-+++.解得34k =.所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. …… 14分（注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：符合条件的点列为1234(1,1),(1,2),(2,2),(3,2)T P P P P ：；或1234(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)T P P P P ：；或1234(1,1),(2,1),(3,1),(3,2)T P P P P ：．……… 3分（Ⅱ）证明：由已知，得111iii i x y xy --+=++，所以数列{}iix y +是公差为1的等差数列． 由112x y +=，得1i i x y i +=+（1,2,,i k=）． (3)分 故11kki ii i x y==+∑∑1()ki i i x y ==+∑23(1)k =++++1(3)2k k =+． ……………… 5分若存在点列T ，使得112kkkiii i x y ==+=∑∑，则1(3)22k k k +=，即1(3)2k k k ++=．因为整数k 和3k +总是一个为奇数，一个为偶数，且2k ≥，而整数12k +中不含有大于1的奇因子，所以对于任意正整数k (2)k ≥，任意点列均不能满足112kkkiii i x y ==+=∑∑．……… 8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，1(1,2,,21)iiy i x i n =+-=-， 所以1221122111()(232)kk iin n i i x y x xx x x n x --==⨯=+++-+-++-∑∑12211221()[(232)()]n n x x x n x x x --=++++++-+++，令1221n t x x x -=+++，则11[(1)(21)]kki ii i x yt n n t ==⨯=+--∑∑.………… 10分考察关于t 的二次函数()[(1)(21)]f t t n n t =+--． （1）当n 为奇数时，可得1(1)(21)2n n +-是正整数， 可构造数列{}ix ：1111,2,,(1),,(1),(1)1,,222n n n n n++++项，对应数列{}iy ：1,1,,1,2,,,,n n n项．（由此构造的点列符合已知条件）而且此时，1221(1)11112(1)(1)(1)222n n x xx n n n n --+++=++++++++++个112(1)(1)2n n n =+++++-1(1)(21)2n n =+-，所以当1(1)(21)2t n n =+-时， 11kk i ii i x y ==⨯∑∑有最大值221(1)(21)4n n +-．………12分 （2）当n 为偶数时，1(1)(21)2n n +-不是正整数，而11(1)(21)22n n +--是离其最近的正整数，可构造数列{}ix ：(221,2,,,,,(1),,(1),2,,22222nn nn n n n n++++1)项项，对应数列{}iy ：221,1,,1,2,,1,1,2,,,,22222nnn n n n n n++++（+1)项项，（由此构造的点列符合已知条件）而且此时，1221(1)2212(1)(1)2222n n nn n nn x x x n --+++=+++++++++++个个12(1)(1)2222n n n n n =++++⨯++⨯-11(1)(21)22n n =+--，所以当11(1)(21)22t n n =+--时，11kki ii i x y ==⨯∑∑有最大值2211(1)(21)44n n +--．……………… 13分。

北京市西城区2015年初三一模试卷数学2015. 4一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．13的相反数是A.13B.13- C.3 D.3-2．据市烟花办相关负责人介绍，2015年除夕零时至正月十五24时，全市共销售烟花爆竹 约196 000箱，同比下降了32%．将196 000用科学记数法表示应为A.51.9610⨯B.41.9610⨯C.419.610⨯D. 60.19610⨯3．下列运算正确的是A. 336a b ab +=B.32a a a -= C.()326a a = D.632a a a ÷=4．如图是一个几何体的直观图，则其主视图是5．甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机 抽签的方式决定各自的跑道．若甲首先抽签，则甲抽到1号跑道的概率是A. 1B.12C. 13D.146．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是7．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，如果∠BOC =70°， 那么∠BAD 等于A. 20°B. 30°C. 35°D.70°8．在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点P 在反比例函数的图象上，如果点P 的纵坐 标是3，OP=5，那么该函数的表达式为A. 12y x =B. 12y x =-C.15y x =D.15y x=-9．为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．这组数据的众数和中位数分别是 A. 6，4 B. 6，6C. 4，4D. 4，610．如图，过半径为6的⊙O 上一点A 作⊙O 的一个动点，作PH ⊥l 于点H ，连接P A ．那么下列图象中，能大致表示y 与x二、填空题(本题共18分，每小题3分) 11．如果分式15x -有意义，那么x 的取值范围是 ．12．半径为4cm ，圆心角为60°的扇形的面积为 cm 2．13．分解因式：2123m -= ．14．如图，△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 在BC 边上，当 时， △ABD ≌△ACE ．（添加一个适当的条件即可）15．如图是跷跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，以O为横板AB 的中点．．，AB 绕点O 上下转动，横板AB 的B 端最大高度h 是否会随横板长度的变化而变化 呢？一位同学做了如下研究：他先设AB=2 m ，OC=0.5 m ，通过计算得到此时的h 1，再将横板AB换成横板A ′B ′，O 为横板A ′B ′的中点，且A ′B ′=3m ，此时B ′点的最大高度为h 2，由此得 到h 1与h 2的大小关系是：h 1 h 2（填“＞”、“＝”或“＜”）．可进一步得出，h 随横板的长度的变化而（填“不变”或“改变”）．16．如图，数轴上，点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点1A ，第2次从点1A 向右移动6个单位长度至点2A ，第3次从点2A 向左移动9个单位长度至点3A ，…，按照这种移动方式进行下去，点4A 表示的数是 ，如果点n A 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是 ．三、解答题(本题共30分，每小题5分)17()011π2008()6tan302--+-︒． 18．如图，∠C =∠E ，∠EAC =∠DAB ，AB=AD ．求证：BC=DE ． 19．解不等式组()2035148.x x x -≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩，20．先化简，再求值：223312111a a a a a a a ++÷-++++，其中2a =．21．从北京到某市可乘坐普通列车或高铁．已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是520千米．如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且乘坐高铁比 乘坐普通列车少用3小时．求高铁的平均速度是多少千米/时． 22．已知关于x 的一元二次方程0)2()1(22=+---m m x m x . （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根； （2）若2x =-是此方程的一个根，求实数m 的值．四、解答题(本题共20分，每小题5分)23．如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ， E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE =∠BAD ，AE ⊥AC ． （1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）如果DA 平分∠BDE ，AB=5，AD=6，求AC 的长．24．在北京，乘坐地铁是市民出行时经常采用的一种交通方式．据调查，新票价改革政策的实施给北京市轨道交通客流带来很大变化．根据2015年1月公布的调价后市民当时乘坐地铁的相关调查数据，制作了以下统计表以及统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）补全扇形图；（2）题目所给出的线路中，调价后客流量下降百分比最高的线路是，调价后里程x（千米）在范围内的客流量下降最明显．对于表中客流量不降反增而且增长率最高的线路，如果继续按此变化率增长，预计2016年1月这条线路的日均客流量将达到万人次；（精确到0.1）（3）小王同学上学时，需要乘坐地铁15.9公里到达学校，每天上下学共乘坐两次．问调价后小王每周（按5天计算）乘坐地铁的费用比调价前多支出元．（不考虑使用市政一卡通刷卡优惠，调价前每次乘坐地铁票价为2元）25．如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称．作BE⊥l于点E，连接AD，DE．（1）依题意补全图形；（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED相等的角，并加以证明．26．阅读下面的材料：小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且1tan 2α=，1tan 3β=，求αβ+的度数． 小敏是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得ABD α∠=， CBE β∠=，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC ，可证得△ABC 是等腰直角三角形，因此可求得αβ+=∠ABC =°.请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tan 4α=，3tan 5β=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=αβ-，由此可得αβ-=______°.五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．已知二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点． （1）求1C 对应的函数表达式；（2）将1C 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位， 得到抛物线2C ，将2C 对应的函数表达式记为22y x mx n =++，求2C 对应的函数表达式；（3）设323y x =+，在（2）的条件下，如果在 2-≤x ≤a 内存在．．某一个x 的值，使得2y ≤3y 成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．28．△ABC 中，AB=AC ．取BC 边的中点D ，作DE ⊥AC 于点E ，取DE 的中点F ，连接BE ，AF 交于点H ．（1）如图1，如果90BAC ∠=︒，那么AH B ∠=︒，AFBE=； （2）如图2，如果60BAC ∠=︒，猜想AHB ∠的度数和AFBE的值，并证明你的结论；（3）如果BAC α∠=，那么AFBE=．（用含α的表达式表示）29．给出如下规定：两个图形G 1和G 2，点P 为G 1上任一点，点Q 为G 2上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G 1和G 2之间的距离． 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．（1）点A 的坐标为(1,0)A ，则点(2,3)B 和射线OA 之间的距离为________，点(2,3)C - 和射线OA 之间的距离为________；（2）如果直线y =x 和双曲线ky x=，那么k =；（可在图1中进 行研究）（3）点E 的坐标为(1,3)，将射线OE 绕原点O 逆时针旋转60︒，得到射线OF ，在坐标平面内所有和射线OE ，OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M ． ① 请在图2中画出图形M ，并描述图形M 的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示） ② 将射线OE ，OF 组成的图形记为图形W ，抛物线22-=x y 与图形M 的 公共部分记为图形N ，请直接写出图形W 和图形N 之间的距离．。

北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科） 2015.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．2 10．2213y x -=11．7 12．8- 682 13．2414．6(0,]2 (或写成6(0,)2) 18注：第12，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为3)cos 23sin 21(cos 4)(+-=x x x x f ……………… 1分 3cos 32cos sin 22+-=x x xx x 2cos 32sin -= ……………… 3分=π2sin(2)3x -， ……………… 5分因为 π02x ≤≤， 所以ππ2π2333x --≤≤， ……………… 6分所以 sin(3π2)123x --≤≤， 即3()2f x -≤≤， 其中当5π12x =时，)(x f 取到最大值2；当0=x 时，)(x f 取到最小值3-， 所以函数()f x 的值域为]2,3[-. ……………… 9分（Ⅱ）依题意，得π2sin(2)13x -=，π1sin(2)32x -=， ……………… 10分 所以ππ22π36x k -=+或 π5π22π36x k -=+， ……………… 12分所以ππ4x k =+或 7ππ12x k =+()k ∈Z ，所以函数()y f x =的图象与直线1=y 的两个相邻交点间的最短距离为π3. …… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， ………………1分由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）.所以票价小于5元的有6040100+=（人）． ………………2分 故120人中票价小于5元的频率是10051206=． 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A ． ………………4分 （Ⅱ）解：X 的所有可能取值为6，7，8，9，10. ……………… 5分根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为60120，40120， 20120，即12，13，16，……………… 6分以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为12，13，16．所以 111(6)224P X ==⨯=，11111(7)23323P X ==⨯+⨯=，1111115(8)26623318P X ==⨯+⨯+⨯=，11111(9)36639P X ==⨯+⨯=，111(10)6636P X ==⨯=，……………… 8分所以随机变量X 的分布列为： X 678910 P14 13 518 19 136FCAD BG Ez xy……………… 9分所以1151122()67891043189363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………… 10分（Ⅲ）解：(20,22]s ∈． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G 是EF 的中点，所以 AG EF ⊥. ……………1分 又因为 //EF AD ，所以 AG AD ⊥.……………2分因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以 AG ⊥平面ABCD . ……………4分 （Ⅱ）解：因为AG ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以,,AG AD AB 两两垂直. 以A 为原 点，以AB ，AD ，AG 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……5分则(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,4,0)C ， 设(0)AG t t =>，则(0,1,)E t ，(0,1,)F t -， 所以(4,1,)BF t =--，(4,4,0)AC =，(0,1,)AE t =. 设平面ACE 的法向量为(,,)n x y z =，由 0AC n ⋅=，0AE n ⋅=，得440,0,x y y tz +=+=⎧⎨⎩令 1z =, 得(,,1)n t t =-. ……………7分因为BF 与平面ACE 所成角的正弦值为69，所以 6cos ,9||||BF n BF n BF n ⋅<>==⋅， ……………8分即222691721t t t =+⋅+， 解得21t =或2172t =.所以1AG =或342. ……………9分（Ⅲ）解：假设线段AC 上存在一点M ，使得MG //平面ABF ，设AM ACλ=，则 AM AC λ=，由 (4,4,0)AC =，得(4,4,0)AM λλ=， ……………10分 设 (0)AG t t =>，则(0,0,)AG t =，所以 (4,4,)MG AG AM t λλ=-=--. ……………11分 设平面ABF 的法向量为111(,,)x y z m =， 因为 (0,1,)AF t -=，(4,0,0)AB =， 由 0AF m ⋅=，0AB m ⋅=，得1110,40,y tz x -+==⎧⎨⎩令 11z =, 得(0,,1)t m =， ……………12分 因为 MG //平面ABF ，所以 0MG m =⋅，即04t t λ+=-，解得 14λ=. 所以14AM AC =，此时13AM MC =， 所以当13AM MC =时， MG //平面ABF . ……………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：结论：函数()1y f x =-不存在零点. ……………1分 当1n =时，ln ()x f x x =，求导得21ln ()xf x x-'=， ……………2分 令()0f x '=，解得e x =. ……………3分 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：x (0,e) e (e,)+∞()f x ' +0 -()f x↗↘所以函数()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，则当e x =时，函数()f x 有最大值1(e)e f =. ……………4分 所以函数()1y f x =-的最大值为1(e)110ef -=-<，所以函数()1y f x =-不存在零点. ……………5分 （Ⅱ）解：由函数ln ()n x f x x =求导，得 11ln ()n n xf x x +-'=，令()0f x '=，解得1e nx =. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：x1(0,e )n1e n1(e ,)n+∞()f x ' +0 -()f x↗↘……………7分 所以函数()f x 在1(0,e )n 上单调递增，在1(e ,)n+∞上单调递减， 则当1e nx =时，函数()f x 有最大值11(e )enf n =； ……………8分 由函数e ()x n g x x =，(0,)x ∈+∞求导，得 1e ()()x n x n g x x +-'=， ……………9分令 ()0g x '=，解得x n =. 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：x(0,)n n(,)n +∞()g x ' -0 +()g x↘↗所以函数()g x 在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，则当x n =时，函数()g x 有最小值e ()()ng n n=. ……………11分因为*n ∀∈N ，函数()f x 有最大值11(e )1enf n =<， 所以曲线ln n xy x =在直线1l y =：的下方，而曲线e x n y x=在直线1l y =：的上方，所以e()1nn>， ……………12分 解得e n <.所以n 的取值集合为{1,2}. ……………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ……………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分 由椭圆定义，得 122||||4a PF PF =+=.所以 2a =，223b a c =-=. ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 （II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……………… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. …………… 7分 由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y , 得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=， 由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241k k k x +--=⋅. ……………… 10分若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k ----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：符合条件的点列为1234(1,1),(1,2),(2,2),(3,2)T P P P P ：；或1234(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)T P P P P ：；或1234(1,1),(2,1),(3,1),(3,2)T P P P P ：．……… 3分 （Ⅱ）证明：由已知，得111i i i i x y x y --+=++，所以数列{}i i x y +是公差为1的等差数列．由112x y +=，得1i i x y i +=+（1,2,,i k =）． ……………… 3分故11kki i i i x y ==+∑∑1()ki i i x y ==+∑23(1)k =++++1(3)2k k =+． ……………… 5分 若存在点列T ，使得112k kki i i i x y ==+=∑∑，则1(3)22k k k +=，即1(3)2k k k ++=． 因为整数k 和3k +总是一个为奇数，一个为偶数，且2k ≥， 而整数12k +中不含有大于1的奇因子，所以对于任意正整数k (2)k ≥，任意点列均不能满足112kkk i i i i x y ==+=∑∑． ………… 8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，1(1,2,,21)i i y i x i n =+-=-，所以1221122111()(232)kki i n n i i x y x x x x x n x --==⨯=+++-+-++-∑∑12211221()[(232)()]n n x x x n x x x --=++++++-+++， 令1221n t x x x -=+++，则11[(1)(21)]kki i i i x y t n n t ==⨯=+--∑∑. ……………… 10分考察关于t 的二次函数()[(1)(21)]f t t n n t =+--．（1）当n 为奇数时，可得1(1)(21)2n n +-是正整数，可构造数列{}i x ：1111,2,,(1),,(1),(1)1,,222n n n n n ++++项，对应数列{}i y ：1,1,,1,2,,,,n n n 项．（由此构造的点列符合已知条件）而且此时，1221(1)11112(1)(1)(1)222n n x x x n n n n --+++=++++++++++个112(1)(1)2nn n =+++++-1(1)(21)2n n =+-， 所以当1(1)(21)2t n n =+-时， 11k ki i i i x y ==⨯∑∑有最大值221(1)(21)4n n +-．……………12分（2）当n 为偶数时，1(1)(21)2n n +-不是正整数，而11(1)(21)22n n +--是离其最近的正整数，可构造数列{}i x ：(221,2,,,,,(1),,(1),2,,22222nn n n n n n n ++++1)项项，对应数列{}i y ：221,1,,1,2,,1,1,2,,,,22222nn n n n n nn ++++（+1)项项，（由此构造的点列符合已知条件）而且此时，1221(1)2212(1)(1)2222n n nn n nn x x x n --+++=+++++++++++个个12(1)(1)2222nn n nn=++++⨯++⨯-11(1)(21)22n n =+--，所以当11(1)(21)22t n n =+--时， 11k ki i i i x y ==⨯∑∑有最大值2211(1)(21)44n n +--．……………… 13分。

北京市西城区2015年初三一模试卷数学试卷参考答案及评分标准 2015. 4一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17()01112π2008()6tan302--+-︒=3362132⨯-++………………………………………………………… 4分 =32332-+=3．…………………………………………………………………………………… 5分 18．证明：如图1．∵ ∠EAC =∠DAB ，∴ 11EAC DAB ∠+∠=∠+∠．即 ∠BAC =∠DAE ． …………………… 1分 在△ABC 和△ADE 中，,,,C E BAC DAE AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩………………………3分∴ △ABC ≌△ADE ．…………………………………………………………… 4分 ∴ BC = DE．…………………………………………………………………… 5分 19．解：()2035148.x x x -≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩，由①，得2x ≥． ………………………………………………………………… 2分由②，得 15348x x +>-．移项，合并，得 1111x >-．系数化1，得 1x >-． ………………………………………………………… 4分所以原不等式组的解集为2x ≥．…………………………………………………5分20．解： 223312111a a a a a a a ++÷-++++=()()2331111a a a a a a ++÷-+++……………………………………………………………2分 ()()2311311a a a a a a ++=⋅-+++ =111+-+a a a …………………………………………………………………………3分 =11a a -+．………………………………………………………………………………4分 当2=a 时，原式=311212=+-．………………………………………………………5分 21．解：设普通列车的平均速度为x 千米/时．…………………………………………… 1分 则高铁的平均速度是2.5x 千米/时．依题意，得40052032.5x x+=．…………………………………………………… 2分 解得 120=x ．……………………………………………………………………3分 经检验，120=x 是原方程的解，且符合题意．……………………………… 4分 所以 30052=x .．答：高铁的平均速度是300千米/时.………………………………………………… 5分 22．（1）证明： []22(1)4(2)m m m ∆=--++ 2248448m m m m =-+++284m =+．……………………………………………………………………1分∵ 28m ≥0，∴ 284m +＞0．………………………………………………………………2分∴ 方程总有两个不相等的实数根． ……………………………………… 3分（2）解：∵ 2x =-是此方程的一个根，∴ 2(2)2(2)(1)(2)0m m m --⨯---+=．整理得 220m m -=．解得 10m =，22m =．……………………………………………………… 5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1）证明：∵ ADE BAD ∠=∠，∴ AB ∥ED ．…………………………………………………………… 1分 ∵ BD 垂直平分AC ，垂足为F ， ∴ BD AC ⊥，AF=FC ．又∵ AE AC ⊥，∴ 90EAC DFC ∠=∠=︒． ∴AE ∥BD ．∴ 四边形ABDE 是平行四边形．…………………………………………2分（2）解：如图2，连接BE 交AD 于点O ． ∵ DA 平分∠BDE ，∴ ∠ADE=∠1．又∵ ADE BAD ∠=∠， ∴ ∠1=∠BAD ．∴ AB= BD ．………………………………3分 ∴ ABDE 是菱形． ∵ AB=5，AD=6，∴ BD=AB=5，AD BE ⊥，132OA AD ==． 在Rt △OAB 中，224OB AB OA -=．∵ 1122ABD S AD OB BD AF =⋅=⋅V ， ∴ 645AF ⨯=．解得 4.8AF =． …………………………4分∵ BD 垂直平分AC ，∴ 29.6AC AF ==．……………………5分 注：其他解法相应给分． 24．解：（1）补全扇形图如图3所示．…………………1分 （2）2号线，52＜x ≤72 ，22.2．（各1分）………………………………………… 4分 （3）30．……………………………………… 5分 25．解：（1）依题意，补全图形如图4．……………… 1分 （2）BAD ∠．…………………………………… 2分 证明：如图5，连接BC ，CD ．∵ 直线l 与直线MA 关于直线MD 对称， ∴ 12∠=∠．………………………3分 ∵ AB 为⊙O 的直径，∴ 90ACB ∠=︒，即BC MA ⊥． 又∵ BE l ⊥，∵ cos 1MC MB =⋅∠，cos 2ME MB =⋅∠， ∴ MC=ME ． 又∵ C ，E 两点分别在直线MA 与直线l 上， 可得C ，E 两点关于直线MD 对称．图3∴ 3BED ∠=∠． ………………… 4分 又∵ 3BAD ∠=∠，∴ BAD BED ∠=∠． ……………… 5分26．解：45． …………………………………………………1分画图见图6． ………………………………………3分 45．………………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 27．解：（1）∵ 二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，∴10,3.b c c -+=⎧⎨=-⎩ ………………………………1分解得2,3.b c =-⎧⎨=-⎩…………………………………2分∴ 抛物线1C 的函数表达式为3221--=x x y ． …………………………………… 3分 （2）∵ 22123=(1)4y x x x =----，∴ 抛物线1C 的顶点为(1,4)- ∴ 平移后抛物线2C 的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为22y x =．… 5分 （3）a ≥1-（见图7）．………………………………………………………………7分28．解：（1）90，12．……………………………………………………………………… 2分 （2）结论：90AHB ∠=︒，AF BE ． 证明：如图8，连接AD ．∵ AB =AC ，∠BAC =60°， ∴ △ABC 是等边三角形． ∵ D 为BC 的中点， ∴ AD ⊥BC ． ∴ ∠1+∠2=90°．又∵ DE ⊥AC ，∴ ∠DEC =90°． ∴ ∠2+∠C =90°． ∴ ∠1=∠C =60°． 设AB =BC=k （0k >），则124kCE CD ==，DE =． ∵ F 为DE 的中点，∴ 12DF DE ==，AD AB ==．∴AD BC =，DF CE =． ∴ =BC AD CE DF ．…………………………………………………………3分 又∵ ∠1=∠C ，∴ △ADF ∽△BCE ．………………………………………………… 4分∴AF AD BE BC ==，………………………………………………… 5分 ∠3=∠4． 又∵ ∠4+∠5=90°，∠5=∠6， ∴ ∠3+∠6=90°．∴ 90AHB ∠=︒．………………………………………………………6分（3）1tan 9022α︒-（）．………………………………………………………………7分注：写1cos 2sin αα+或其他答案相应给分．29．解：（1）313．（每空各1分）…………………………………………………… 2分（2）-1．…………………………………………………………………………… 4分（3）①如图9，过点O 分别作射线OE 、OF 的垂线OG 、OH ，则图形M 为：y 轴正半轴，∠GOH 的边及其内部的所有点（图中的阴影部分）．……………………………………………………………………………… 7分 说明：（画图2分，描述1分）（图形M 也可描述为：y 轴正半轴，直线x y 33=下方与直线x y 33-=下方重叠的部分（含边界）） ②34．…………………………………………………………………………8分。

市西城区2015年高三一模试卷数 学（理科） 2015.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）1a ≤（B ）1a ≥（C ）0a ≥（D ）0a ≤2．复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 3. 在极坐标系中，曲线2cos ρ=θ是（ ） （A ）过极点的直线 （B ）半径为2的圆（C ）关于极点对称的图形 （D ）关于极轴对称的图形 4．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3， 则输出的n 的值为（ ） （A ）4（B ）5（C ）6（D ）75．若函数()f x 的定义域为R ，则“x ∀∈R ，(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ）（A ）476（B ）233（C ）152（D ）77. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ） （A ）2枝玫瑰的价格高（B ）3枝康乃馨的价格高（C ）价格相同（D ）不确定 8. 已知抛物线214yx 和21516y x 所围成的封闭曲线如图所示，给定点(0,)A a 三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(1,3)（B ）(2,4)（C ）3(,3)2（D ）5(,4)2第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____.10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____.侧(左)视图正(主)视图俯视图11．在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若π3A =，cos B =2b =，则a =____.12．若数列{}n a 满足12a =-，且对于任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，则3a =___；数列{}n a 前10项的和10S =____．13. 某种产品的加工需要A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有____种.（用数字作答） 14.如图，四面体ABCD 的一条棱长为x ，其余棱长均为1， 记四面体ABCD 的体积为()F x ，则函数()F x 的单 调增区间是____；最大值为____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）设函数π()4cos sin()3f x x x =-x ∈R . （Ⅰ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）已知函数()y f x =的图象与直线1=y 有交点，求相邻两个交点间的最短距离.16．（本小题满分13分）2014年12月28日开始，市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）BADC已知在地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．(只需写出结论)17．（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，//EF AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =,AE AF =，点G 是EF 的中点.（Ⅰ）证明：AG ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若直线BF 与平面ACE所成角的正弦值为9，求AG 的长；（Ⅲ）判断线段AC 上是否存在一点M ，使MG //平面ABF ？若存在，求出AM MC的值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x=，函数e ()xn g x x =，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）当1n =时，写出函数()1y f x =-零点个数，并说明理由；（Ⅱ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线1l y =：的两侧，求n 的所有可能取值. 19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，且点P 和1F 关于点)43,0(C 对称.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由. 20．（本小题满分13分）已知点列111222:(,),(,),,(,)k k k T P x y P x y P x y (*k ∈N ，2k ≥)满足1(1,1)P ，且111,i i ii x x y y --=+⎧⎨=⎩与11,1i i ii x x y y --=⎧⎨=+⎩(2,3,,i k =) 中有且仅有一个成立．（Ⅰ）写出满足4k =且4(3,2)P 的所有点列；（Ⅱ） 证明：对于任意给定的k （*k ∈N ，2k ≥），不存在点列T ，使得112k kki i i i x y ==+=∑∑；（Ⅲ）当21k n =-且21(,)n P n n -（*,2n n ∈N ≥）时，求11k ki i i i x y ==⨯∑∑的最大值．FCADB G E市西城区2015年高三一模试卷参考答案与评分标准高三数学（理科）2015.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．B2．C 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9； 10．2213y x -=；11；12．8-，682；13．24； 14． (或写成) ，18； 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为3)cos 23sin 21(cos 4)(+-=x x x x f ……………… 1分 3cos 32cos sin 22+-=x x x x x 2cos 32sin -=……………… 3分=π2sin(2)3x -，………………5分因为π02x ≤≤， 所以ππ2π2333x --≤≤， …………… 6分所以sin(π2)13x -≤，即()2f x ≤， 其中当5π12x =时，)(x f 取到最大值2；当0=x 时，)(x f 取到最小值3-， 所以函数()f x 的值域为]2,3[-.……………… 9分（Ⅱ）依题意，得π2sin(2)13x -=，π1sin(2)32x -=， ……………… 10分所以ππ22π36x k -=+或π5π22π36x k -=+，…………… 12分所以ππ4x k =+或7ππ12x k =+()k ∈Z ，所以函数()y f x =的图象与直线1=y 的两个相邻交点间的最短距离为π3.…… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”，………………1分由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）.所以票价小于5元的有6040100+=（人）．………………2分 故120人中票价小于5元的频率是10051206=． 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A ． ………4分 （Ⅱ）解：X 的所有可能取值为6，7，8，9，10. …………5分根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为60120，40120， 20120，即12，13，16，………………6分 以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为12，13，16．所以 111(6)224P X ==⨯=，11111(7)23323P X ==⨯+⨯=，1111115(8)26623318P X ==⨯+⨯+⨯=，11111(9)36639P X ==⨯+⨯=，111(10)6636P X ==⨯=，…………8分所以随机变量X 的分布列为：………………9分所以1151122()67891043189363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：(20,22]s ∈． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G 是EF 的中点，所以AG EF ⊥.……………1分 又因为//EF AD ，所以AG AD ⊥. ……………2分 因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以AG ⊥平面ABCD . ……………4分（Ⅱ）解：因为AG ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以,,AG AD AB 两两垂直. 以A 为原 点，以AB ，AD ，AG 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……5分则(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,4,0)C ， 设(0)AG t t =>，则(0,1,)E t ，(0,1,)F t -，所以(4,1,)BF t =--，(4,4,0)AC =，(0,1,)AE t =. 设平面ACE 的法向量为(,,)n x y z =， 由0AC n ⋅=，0AE n ⋅=，得440,0,x y y tz +=+=⎧⎨⎩令1z =, 得(,,1)n t t =-. ……………7分因为BF 与平面ACE 9，所以6cos ,9||||BF n BF n BFn ⋅<>==⋅，……………8分9=，解得21t =或2172t =.所以1AG =或2. …………9分（Ⅲ）解：假设线段AC 上存在一点M ，使得MG //平面ABF ，设AM ACλ=，则 AM AC λ=，由 (4,4,0)AC =，得(4,4,0)AM λλ=，………10分 设(0)AG t t =>，则(0,0,)AG t =，所以(4,4,)MG AG AM t λλ=-=--. …………11分 设平面ABF 的法向量为111(,,)x y z m =， 因为 (0,1,)AF t -=，(4,0,0)AB =，由0AF m ⋅=，0AB m ⋅=，得1110,40,y tz x -+==⎧⎨⎩令11z =, 得(0,,1)t m =，……………12分 因为 MG //平面ABF ，所以0MG m =⋅，即04t t λ+=-，解得 14λ=. 所以 14AM AC =，此时13AM MC =，所以当13AM MC =时，MG //平面ABF .……………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：结论：函数()1y f x =-不存在零点.……………1分 当1n =时，ln ()x f x x =，求导得21ln ()xf x x-'=，……………2分 令()0f x '=，解得e x =.……………3分 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以函数()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，则当e x =时，函数()f x 有最大值1(e)e f =. ……………4分 所以函数()1y f x =-的最大值为1(e)110ef -=-<，所以函数()1y f x =-不存在零点. ……………5分 （Ⅱ）解：由函数ln ()n x f x x =求导，得 11ln ()n n xf x x +-'=，令()0f x '=，解得1e nx =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：…………7分所以函数()f x 在1(0,e )n 上单调递增，在1(e ,)n+∞上单调递减， 则当1e nx =时，函数()f x 有最大值11(e )enf n =；……………8分 由函数e ()x n g x x =，(0,)x ∈+∞求导，得 1e ()()x n x n g x x+-'=，……………9分 令 ()0g x '=，解得x n =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以函数()g x 在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，则当x n =时，函数()g x 有最小值e ()()ng n n=. ……………11分因为*n ∀∈N ，函数()f x 有最大值11(e )1enf n =<，所以曲线ln n xy x=在直线1l y =：的下方，而曲线e x n y x =在直线1l y =：的上方， 所以e ()1nn>，……………12分解得e n <.所以n 的取值集合为{1,2}. ……………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -，………………1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，………………2分 由椭圆定义，得 122||||4a PF PF =+=.所以 2a =，b == ………………4分故椭圆E 的方程为13422=+y x .………………5分 （II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分.………………6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-.…………7分 由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=，………………8分 由题意，可知0∆>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………9分由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y , 得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=， 由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241kk k x +--=⋅. ………………10分 若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-，…………11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. …………12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. ……14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：符合条件的点列为1234(1,1),(1,2),(2,2),(3,2)T P P P P ：；或1234(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)T P P P P ：；或1234(1,1),(2,1),(3,1),(3,2)T P P P P ：．……… 3分 （Ⅱ）证明：由已知，得111i i i i x y x y --+=++，所以数列{}i i x y +是公差为1的等差数列． 由112x y +=，得1i i x y i +=+（1,2,,i k =）．………………3分故11kki i i i x y ==+∑∑1()ki i i x y ==+∑23(1)k =++++1(3)2k k =+．………………5分若存在点列T ，使得112k kk i i i i x y ==+=∑∑，则1(3)22k k k +=，即1(3)2k k k ++=． 因为整数k 和3k +总是一个为奇数，一个为偶数，且2k ≥， 而整数12k +中不含有大于1的奇因子，所以对于任意正整数k (2)k ≥，任意点列均不能满足112kkk i i i i x y ==+=∑∑．……… 8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，1(1,2,,21)i i y i x i n =+-=-，所以1221122111()(232)kki i n n i i x y x x x x x n x --==⨯=+++-+-++-∑∑12211221()[(232)()]n n x x x n x x x --=++++++-+++，令1221n t x x x -=+++，则11[(1)(21)]kki i i i x y t n n t ==⨯=+--∑∑. …………10分考察关于t 的二次函数()[(1)(21)]f t t n n t =+--． （1）当n 为奇数时，可得1(1)(21)2n n +-是正整数，可构造数列{}i x ：1111,2,,(1),,(1),(1)1,,222n n n n n ++++项，对应数列{}i y ：1,1,,1,2,,,,n n n 项．（由此构造的点列符合已知条件）而且此时，1221(1)11112(1)(1)(1)222n n x x x n n n n --+++=++++++++++个112(1)(1)2n n n =+++++-1(1)(21)2n n =+-，所以当1(1)(21)2t n n =+-时，11k ki i i i x y ==⨯∑∑有最大值221(1)(21)4n n +-．………12分（2）当n 为偶数时，1(1)(21)2n n +-不是正整数，而11(1)(21)22n n +--是离其最近的正整数，可构造数列{}i x ：(221,2,,,,,(1),,(1),2,,22222nn n n n n n n ++++1)项项，对应数列{}i y ：221,1,,1,2,,1,1,2,,,,22222nn n n n n nn ++++（+1)项项，（由此构造的点列符合已知条件）而且此时，1221(1)2212(1)(1)2222n n nn n nn x x x n --+++=+++++++++++个个12(1)(1)2222n n n n n =++++⨯++⨯-11(1)(21)22n n =+--， 所以当11(1)(21)22t n n =+--时，11k ki i i i x y ==⨯∑∑有最大值2211(1)(21)44n n +--．……………… 13分。