教师课件：2020年高中数学课时跟踪检测(十九)基本不等式新人教A版必修5

a —L b课时跟踪检测（十九）基本不等式：ab < 2层级一学业水平达标1.下列结论正确的是（）1 A. 当 x >0 且 X M1 时，lg x + >2ig xB. 当x>0时, X+ I >21C. 当x >2时，x — -的最小值为2XD.当O<X W2时，X —】无最大值x1D . x +->2x解析：选C 对于A ,当x <0时，无意义，故 A 不恒成立；对于 B ,当x = 1时，X 2+ 1 2 1=2x ，故B 不成立；对于 D,当x <0时，不成立.对于 C , x + 1 > 1 ,••• 2 <1成立.故x + 1选C.解析：选B A 中，当0<x <1时, lg x <0, lg x +1ig x>2不成立; 由基本不等式知正确；C 中，由对勾函数的单调性，知1 5 1X + X 的最小值为-；D 中，由函数f （x ） = X —（在区间（0,2］上单调递增，知x — X 的最大值为2,故选B.X 22. 下列各式中，对任何实数2x 都成立的一个式子是（2B . x + 1>2x 3.设a , b 为正数，且a — b <4, 则下列各式中正确的一个是（1 1 A・a + b <11 1 B・a +b >1C.1■+ b <2 a b 解析：选B 因为ab < 一 a — b 2<4.四个不相等的正数 a , b , c , d 成等差数列，则（ 4 21A号〉.be C•呼=.be B.宁<.be D.a—. be解析：选A 因为a , b , c , d 成等差数列，则a + d = b + c ,又因为a , b , c , d 均大于1 16. 若a >0, b >0,且a +亍嗣，则a3+ b 3 4的最小值为解析：a >0, b >0,.••寸0B =亍+、^0^,即卩ab >2,当且仅当a = b =Q 2时取等号， ••• a 3 + b 3>2 ab3>2 23= 4 2,当且仅当a = b = , 2时取等号，则a 3+ b 3的最小值为4,2.答案：4 27. __________________________________________________________ 已知正数x , y 满足x 2+ 2xy — 3 = 0，则2x + y 的最小值是 __________________________________ .3 — x 2解析：由题意得，y =~2厂,3 — x 2 3x 2+ 3 3• 2x+y = 2x+ ~2F = ~~2xT = 249. (1)已知x <3,求f (x ) =+ x 的最大值; x — 30且不相等，所以b +c >2 be ,故 a -rd > bc .5.若 x >0, y >0，且 x +y =1, 则xy 有（A. 最大值641.最小值64 C.1最小值2.最小值64解析：选D 由题意xy =y xy = 2y + 8x 》2p 2y x = ^/xy , ^J xy >8, 即卩 xy 有 最小值64,等号成立的条件是 x = 4, y = 16.当且仅当 x = y = 1时，等号成立.答案：38. 若对任意x>0, 三a恒成立，则a的取值范围是1所以有xd右=十< 1 1X + x+ 32 +3 5'解析：因为x>°,所以x+ 2.当且仅当x= 1时取等号,八 1 1即x^r^xn的最大值为5，故a>5.1 3(2)已知x , y 是正实数，且x + y = 4,求- + -的最小值.x y解：⑴••• x<3,x — 3<0,44二f(x ) = x~3+x =x ~3 +(x — 3) + 3亡+ 3— x +3一 23- x +3=-1,当且仅当即x = 1时取等号, ••• f(x )的最大值为一1. ⑵•/ x , y 是正实数,1 3y 3x•••(x +y ) x + 厂4+x +7》4+ 2 3.y 3x当且仅当7= 丁,即 x = 2( 3 — 1), y = 2(3 — 3)时取“=又 x + y =4, • 1+ 3> 1+ 申,x y 2 故x +3的最小值为 x y1+i 310•设a, b, c都是正数，试证明不等式:证明：因为a>0, b>0, c>0,b a所以a+尹2,所以b+ aa b即a = b= c时，等号成立.所以氓寺+吐^ 6a b c层级二应试能力达标1. a, b€ R,则a2+ b2与2| ab|的大小关系是()2 2 2 2A. a + b >2| ab |B . a + b = 2| ab |2222C. a + b < 2| ab | D . a + b >2| ab |解析：选 A •/ a 2 + b 2 -2|ab | = (| a | - | b |) 2>0,二 a 2 + b 2>2| ab |(当且仅当 | a | = | b | 时，等号成立).1 1 12.已知实数a , b , c 满足条件a >b >c 且a + b + c = 0, abc >0，则-+二+-的值()a b cA. —定是正数 B .一定是负数 C.可能是0D .正负不确定解析：选 B 因为 a >b >c 且 a + b + c = 0, abc >0,所以 a >0, b <0, c <0,且 a =- (b + c ),因为 b <0, c <0,所以 b + c w — 2 bc ,最小值为（A. 0C. 2A. C.2 • 丫 解析：选D 子+令=丄+ ・x + y x + 2y 1 + y 1 + 2. y xx设 t =x >0,1 1 1 所以a +b +c =1 1 1 + — + 一 b + c b c ，1 1 1 1所以-乐W 2「bc ，又b + c < ——2 虫bc <0故选B.3.已知 x >0, y >0, x , a ,b , y 成等差数列，x ,c ,d , y 成等比数列，则的cd解析：选 D 由题意，知a +b =x + y , cd = xy ,所以a +b 2 cd2 2 2x + y x + y + 2xyxyxy2 1 2x + y2> 2 +xy2= 4,当且仅当x = y 时，等号成立.4. 若实数x , y 满足xy >0,则命+禺的最大值为（1 1 1 1所以-乐+ b + cW丽12t 1 2t + 1 — 1 t 1 + = + = 1+ = 1 ------------------------------------------------------------------ 1 + t 2t + 1 t + 1 2t + 1 t + 1 2t + 1 12t + 下 + 31最大值为 1 ---------- = 4 — 2飞.2.2羽 + 3 V1 4 y 25.若两个正实数 x , y 满足-+ - = 1,且不等式x + 4<m i — 3m 有解，则实数 m 的取值范✓x. V围是 ________ .y 2 y 2 1 4解析：因为不等式 x + 4<m — 3m 有解，所以x + - min <m — 3m 因为x >0, y >0,且-+ -= y y 1 44x y/4x y4x y1,所以 x + = x ++- =+ —+ 2>2- + 2 = 4,当且仅当一=可，艮卩 x = 2, 44 x y y 4x. y 4x y 4x ? ，y2y = 8时，等号是成立的，所以x + 4 min = 4,所以m — 3m >4,即(n + 1)( m — 4)>0，解得m r —1 或 m >4.答案：(—a, — 1) u (4 ,+s)1 16. _________________________________________________________ 若正数 a , b 满足a +b = 1,则3^+2 + 3b + 2的最小值为 ____________________________________ _答案：47•某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品k的年产量）x （单位：万件）与年促销费用n （mi>0）（单位：万元）满足x = 3— （ k 为常数）, 1如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为解析：由a + b = 1,知 1 13a + 2 + 3b + 2 3b + 2+ 3a + 2 3a + 23b + 279ab + 10，又 ab<a + b21 1=4（当且仅当a = b =2时等号成立），7 - 49 9ab +10<7，…9ab + 10又每件产品的销售价格为1.5 X8 + 16x 一元, 8万元，每生产1万件该产品需要再投入 16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1） 将2016年该产品的利润y （单位：万元）表示为年促销费用 m 的函数； （2）该厂家2016年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？2解：（1）由题意，可知当 m= 0 时，x = 1,A 1 = 3 — k ,解得 k = 2,「. x = 3 —:,nr+ 11 1&已知k >6,若对任意正数 x , y ,不等式3k —- x + ky > 2xy 恒成立，求实数 k 的 最小值.解：••• x >0, y >0,.不等式3k — x + ky ，冷2xy 恒成立等价于 3k —2、£ +，羽恒成立.1又 k>6，• • k min = .216=— +m + 1m + 1+ 29( m> 0).⑵••• m>0,^+1+ (m +1) >216= 8,当且仅当 器=1，即m= 3时等号成立,=4+ 8 3 ——m..y w — 8+ 29 = 21,. y max = 21.y = x1.5 X 8 + 16x—(8 + 16x + m = 4 + 8x — m2m+1 故该厂家2016年的促销费用为 3万元时，厂家的利润最大，最大利润为 21万元.? 1 1 1 ••• 2 k 3k —2 > 2,解得 k w — 3(舍去)或 k >-,。

函数的最小值为 4.
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
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练习
1、若x 0，求f ( x) 12 3x的最小值 x
2、已知x 0，y 0，求证 x y 2 yx
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2.基本不等式 基本不等式人教A版高中数学必修五PPT课件 （均值定理）
如果a 0, b 0，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时，取""号)
我们把 a b 叫做正数a, b的算术平均数， 2
把 ab叫做正数a, b的几何平均数。
此定理又可叙述为：
解：∵ x 0
x
x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当x 1 ,即x 1时，原式有最小值 2 x
变式、已知x 0，求x 1 的最值 x
解：∵ x 0， x 0
x 1 [( x) 1 ] 2 ( x) 1 2
x
( x)
( x)
运用均当且值仅不当等式x 的1过,程即x中，1时a、，b原必式须有最为大“正值 数 2”．
(1)a、b均为正数;
(2)a+b与ab有一个为定值;
(3)等号必须取到。பைடு நூலகம்
以上三个条件缺一不可. “一正”、“二定”、“三相等”。
构造积为定值，利用基本不等式求最值
例1、求函数y 1 x( x 3)的最小值
x3
练习:
已知x 1，求x 1 的最小值以及取得最小 值时x的值 x1
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2

，此时 x 6 。
2
下面几道题的解答可能有错，如果错了， 那么错在哪里？
１．已知函数 f (x) x 1 ，求函数的 最小值和此时x的取值． x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．
２．已知函数 f (x) x 3 (x 2) ， x2
求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件．
3.4.1《基本不等式 -均值不等式》
教学目标
• 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们
的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极 值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。 • 教学重点： • 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。 了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。
定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时取“=”）
证明： a2 b2 2ab (a b)2
当a b时，(a b)2 0
当a
b时，(a
b)2
0
a2 b2 2ab
1．指出定理适用范围： a,b R
2．强调取“=”的条件： a b
均值定理： 如果a, b∈R+，那么 a b ab
3 求函数y sin 4 其中 （0， ]
sin
2
的最小值。
解：y sin 4 2 sin • 4
sin
sin
4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
练习题： 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，
3.我们把不等式 a b ab (a≥0,b≥0)

sinx
所以函数的最小值是6.
错。因为sin x 9
sin x
三相等
高中数学人教A版必修5第三章3.4必修 五基本 不等式 课件
例2、若正数x, y满足x y 18,求xy的最大值。
解法一： x 0, y 0
x y 2 xy即2 xy 18
xy 81
当且仅当x y 9时取等号。
高中数学人教A版必修5第三章3.4必修 五基本 不等式 课件
例
已知x＞1，求x＋ 1 的最小值以及取得 最小值时x的值。 x 1
解：∵x＞1 ∴x－1＞0 构造积为定值
∴x＋ 1 ＝（x－1）＋ 1 ＋1
x 1
(x 1)
凑项法
2 x 1 1 1 3
x 1
当且仅当x－1＝ 1 时取“＝”号。
x 1
豁
然 2、注意公式的正用、逆用、变形使用。
开 3、牢记公式特征一“正”、二“定”、三 朗 “等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光
彩。
高中数学人教A版必修5第三章3.4必修 五基本 不等式 课件
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小结：运用 a b ab(a 0,b 0) 时要注意下面三条： 2
础
1
1
1
练 最大值是 6 ，此时x= 2 ,y= 3 。
习
2、正数x, y满足x y 20,则lg x lg y的 最大值是 __2__ .
高中数学人教A版必修5第三章3.4必修 五基本 不等式 课件
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最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最 和

高中数学课时达标检测（十九）基本不等式新人教A 版必修5一、选择题1．下列不等式中正确的是( )A ．a ＋4a ≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x2≥2 3 解析：选D a ＜0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错； a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23解析：选B 由x (3－3x )＝3·x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立． 3．设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．4 2C ．2 6D ．8 解析：选B ∵a ，b 是实数，∴2a ＞0,2b ＞0，于是2a ＋2b ≥22a ·2b ＝2 2a ＋b ＝2 23＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取得最小值4 2. 4．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( )A ．16B ．25C ．9D ．36 解析：选B (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋x ＋1＋y 22 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.5．若－4<x <1，则f (x )＝x 2－2x ＋22x －2( ) A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1解析：选D f (x )＝x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1＋1x －1， 又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0.∴f (x )＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x －1＋1－x －1≤－1. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时，等号成立． 二、填空题6．已知x ，y 都是正数．(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________；(2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．解析：(1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．(2)xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1522＝2254， 即xy 的最大值是2254. 当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值． 答案：(1)215 (2)22547．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：因为x >0，所以x ＋1x≥2. 当且仅当x ＝1时取等号，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 8．设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式： ①a 2＋1＞a ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4；③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9＞6a .其中恒成立的是________(填序号)．解析：由于a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，故②恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥2 1ab ，故(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，故③恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不能恒成立．答案：①②③三、解答题9．求下列函数的最小值．(1)设x ，y 都是正数，且1x ＋2y ＝3，求2x ＋y 的最小值；(2)设x >－1，求y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值．解：(1)2x ＋y ＝32x ＋y3＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y (2x ＋y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ＋4≥13(24＋4)＝83.当且仅当y x ＝4x y 时等号成立，即y 2＝4x 2.∴y ＝2x . 又∵1x ＋2y ＝3，得x ＝23，y ＝43. ∴当x ＝23，y ＝43时，2x ＋y 取得最小值为83. (2)∵x >－1，∴x ＋1>0.设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝t ＋4t ＋1t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t ＋5＝9，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1取得最小值为9.10．(1)已知0＜x ＜12，求y ＝12x (1－2x )的最大值； (2)已知x >0，求y ＝2－x －4x 的最大值；(3)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值．解：(1)∵0＜x ＜12，∴1－2x ＞0.y ＝14·2x ·(1－2x )≤14·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x22＝14×14＝116.∴当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时，y 最大值＝116.(2)∵x >0，∴y ＝2－x －4x ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≤2－4＝－2，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立，y 的最大值为－2.(3)法一：∵x ，y ∈R ＋，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3. 当且仅当y x ＝3x y，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取等号． 又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 法二：∵x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ＝x ＋y 4x ＋3x ＋y 4y＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 4x ＋3x 4y ≥1＋2 y 4x ·3x 4y ＝1＋32. 当且仅当y 4x ＝3x 4y， 即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取等号．∴1x ＋3y 的最小值为1＋32.11.如右图，某公园计划建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x 米墙，求：(1)x 的取值范围；(2)最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x 米，则另一边长为144x米， 则矩形草地所需铁丝网长度为y ＝x ＋2×144x. 令y ＝x ＋2×144x≤44(x ＞0)， 解得8≤x ≤36，则x 的取值范围是[8,36]．(2)由基本不等式，得y ＝x ＋288x≥24 2.当且仅当x ＝288x ， 即x ≈17.0时，等号成立， 则y 最小值＝242≈34.0，即最少需要约34.0米铁丝网．12．(1)已知x <－2，求函数y ＝2x ＋1x ＋2的最大值；(2)求y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值；(3)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求a ＋b 的取值范围．解：(1)∵x <－2，∴x ＋2<0，－(x ＋2)>0.∴y ＝2(x ＋2)＋1x ＋2－4＝－[－2(x ＋2)＋－1x ＋2]－4≤－2 －2x ＋2·－1x ＋2－4＝－22－4.当且仅当－2(x ＋2)＝－1x ＋2(x <－2)，即x ＝－2－22时，y 取最大值－22－4.(2)令t ＝x 2＋4，则y ＝f (t )＝t ＋1t ，由f (t )＝t ＋1t (t ≥2)的单调性，知y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上是增函数，∴t ＝2时，f (t )min ＝2＋12＝52，即当x 2＋4＝2，也就是x ＝0时，y min ＝52.(3)∵a ＋b ＋3＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b22，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0.∴(a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0.又a >0，b >0，∴a ＋b ≥6.即a ＋b 的取值范围为[6，＋∞]．。

a2+14=a2+
1 2
2≥2×a×12=a,所以④正确.
答案④
反思感悟要熟记重要不等式和基本不等式的形式及其成立的条件, 尽管在这两个不等式中,a,b可以换成不同的数、式,但换后的数、 式必须满足相应的条件,否则就会得出错误的结论.
变式训练 1 下列结论不成立的是( ) A.若 a,b∈R,则 a10+b10≥2a5b5 B.若 x≠0,则 x2+���1���2≥2
∴1������-1=1���-���������
=
������+������ ������
≥
2
������������������,
同理可得1������-1≥2
������������ ������
,
1������-1≥2
������������������.
由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得
因此 lg a·lg b≤
lg������+lg������ 2
2
=
lg������������ 2
2
=
lg1 000 2
2
=
3 2
2
= 94,当且仅
当 lg a=lg b,即 a=b 时等号成立,故 lg a·lg b 的最大值为94.
忽视基本不等式成立的条件致误
【典例】 求函数 y=x+1������的值域.
2������ ·2������ ,则必有 m,n>0;④
若 a∈R,则 a2+14≥a.其中正确的结论的序号是
.
思路分析从基本不等式成立的条件以及基本不等式的变形入手,对 每一个结论分别进行研究,找出其中的正确结论.

课时跟踪检测（十九） 基本不等式： ab ≤a ＋b2层级一 学业水平达标1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x >0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x≥2解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C.3．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1B.1a ＋1b ≥1C.1a ＋1b<2D.1a ＋1b≥2解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab≥214＝1. 4．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bc B.a ＋d2<bc C.a ＋d 2＝bcD.a ＋d2≤bc解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5．若x >0，y >0，且2x ＋8y＝1，则xy 有( )A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值12D ．最小值64解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab ，则a 3＋b 3的最小值为________．解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2ab3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.答案：4 27．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 解析：由题意得，y ＝3－x22x，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 答案：38．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞9．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值；(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值．解：(1)∵x <3， ∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x＋－x ＋3≤－243－x－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy， 即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 10．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6. 证明：因为a >0，b >0，c >0， 所以b a ＋ab ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋c b≥2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b ≥6，当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝bc， 即a ＝b ＝c 时，等号成立． 所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6. 层级二 应试能力达标1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( )A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2>2|ab |解析：选 A ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)．2．已知实数a ，b ，c 满足条件a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正负不确定解析：选B 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，所以a >0，b <0，c <0，且a ＝－(b ＋c )， 所以1a ＋1b ＋1c ＝－1b ＋c ＋1b ＋1c ，因为b <0，c <0，所以b ＋c ≤－2bc ， 所以－1b ＋c ≤12bc ，又1b ＋1c ≤－21bc，所以－1b ＋c ＋1b ＋1c ≤12bc－21bc ＝－32bc<0，故选B. 3．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b2cd的最小值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选 D 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，所以a ＋b2cd＝x ＋y 2xy＝x 2＋y 2＋2xy xy＝x 2＋y 2xy＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，等号成立． 4．若实数x ，y 满足xy >0，则xx ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为( )A ．2－ 2B ．2＋ 2C ．4＋2 2D ．4－2 2解析：选Dxx ＋y＋2y x ＋2y ＝11＋y x ＋2·yx1＋2·yx， 设t ＝y x>0，∴原式＝11＋t ＋2t 2t ＋1＝1t ＋1＋2t ＋1－12t ＋1＝1＋t t ＋t ＋＝1＋12t ＋1 t＋3. ∵2t ＋1t≥22，∴最大值为1＋122＋3＝4－2 2.5．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是________．解析：因为不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min <m 2－3m ，因为x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，所以x ＋y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y4x＋2≥24xy ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y4x，即x ＝2，y ＝8时，等号是成立的，所以⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝4，所以m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4.答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)6．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为________．解析：由a ＋b ＝1，知13a ＋2＋13b ＋2＝3b ＋2＋3a ＋2a ＋b ＋＝79ab ＋10，又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)，∴9ab ＋10≤494，∴79ab ＋10≥47. 答案：477．某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2016年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数； (2)该厂家2016年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立， ∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2016年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．8．已知k >16，若对任意正数x ，y ，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立，求实数k 的最小值．解：∵x >0，y >0，∴不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12xy ＋k yx≥2恒成立． 又k >16，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12x y＋k y x≥2k ⎝⎛⎭⎪⎫3k －12，∴2k ⎝⎛⎭⎪⎫3k －12≥2，解得k ≤－13(舍去)或k ≥12，∴k min ＝12.。

2020年高中数学 人教A 版 必修5 课后作业本《基本不等式》一、选择题1.下列不等式正确的是( )A ．a ＋1a ≥2B ．(-a)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ≤-2C ．a 2＋1a 2≥2D ．(-a)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 2≤-22.已知m=a ＋1a＋1(a>0)，n=3x (x<1)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m>n B ．m<n C ．m=n D ．m≤n3.已知0<x<1，则x(3-3x)取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.234.已知f(x)=x ＋1x-2(x<0)，则f(x)有( ) A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为-4 D ．最小值为-45.下列不等式中正确的是( )A ．a ＋4a ≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x 2≥2 36.若-4<x<1，则f(x)=x 2－2x ＋22x －2( ) A ．有最小值1 B ．有最大值1 C ．有最小值-1 D ．有最大值-17.设f(x)=ln x,0<a<b ，若 p=f(ab)，q=f(a ＋b 2)，r=12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )A ．q=r<pB ．q=r>pC ．p=r<qD ．p=r>q二、填空题8.当x>12时，函数y=x ＋82x －1的最小值为________．9.若x ，y 均为正实数，且x ＋4y=1，则x·y 的最大值为________．10.已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．11.若正数a ，b 满足ab-(a ＋b)=1，则a ＋b 的最小值是________．12.函数y=log a (x ＋3)-1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1=0上，其中m ，n>0，则1m ＋2n的最小值为________．三、解答题13.已知不等式ax 2-3x ＋2<0的解集为A={x|1<x<b}．(1)求a ，b 的值；(2)求函数f(x)=(2a ＋b)x ＋25b －a x ＋a(x ∈A)的最小值．14.某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x(x ∈N *)的函数关系式；(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？1 a ＋1b＋1c≥9.15.已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c=1.求证：答案解析1.答案为：C ；解析：因为a 2＋1a 2中a 2>0，所以a 2＋1a 22≥a 2·1a 2，即12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥1，所以a 2＋1a2≥2.2.答案为：A ；解析：因为a>0，所以m=a ＋1a ＋1≥2a ·1a＋1=3，当且仅当a=1时等号成立． 又因为x<1，所以n=3x <31=3，所以m>n.3.答案为：B ；解析：由x(3-3x)=13×3x(3-3x)≤13×94=34，当且仅当3x=3-3x ，即x=12时等号成立．4.答案为：C ；解析：∵x<0，∴f(x)=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x -2≤-2-2=-4，当且仅当-x=1－x ，即x=-1时取等号．5.答案为：D ；解析：a<0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a=1，b=1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错，a=4，b=16， 则ab<a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．6.答案为：D ；解析：f(x)=x 2－2x ＋22x －2=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1＋1x －1， 又∵-4<x<1，∴x-1<0.∴-(x-1)>0.∴f(x)=-12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x －1＋1－x －1≤-1. 当且仅当x-1=1x －1，即x=0时等号成立．7.答案为：C ；解析：p=f(ab)=ln ab ，q=f(a ＋b 2)=ln a ＋b 2， r=12(f(a)＋f(b))=12ln ab=ln ab ，函数f(x)=ln x 在(0，＋∞)上单调递增， 因为a ＋b 2>ab ，所以f(a ＋b 2)>f(ab)，所以q>p=r.8.答案为：92； 解析：设t=2x-1，∵x>12，∴2x-1>0，即t>0，∴y=t ＋12＋8t =t 2＋8t ＋12≥2t 2·8t ＋12=92. 当且仅当t 2=8t ，即t=4， x=52时，取等号．9.答案为：116； 解析：1=x ＋4y≥24xy=4xy ，∴xy≤116，当且仅当x=4y 时等号成立．10.答案为：32； 解析：因为x ＞a ，所以2x ＋2x －a =2(x-a)＋2x －a ＋2a≥22x －a ·2x －a ＋2a=2a ＋4， 即2a ＋4≥7，所以a≥32.即a 的最小值为32.11.答案为：22＋2；解析：由于ab-(a ＋b)=1，所以ab=a ＋b ＋1，而ab≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以a ＋b ＋1≤14(a ＋b)2. 令a ＋b=t(t>0)，所以t ＋1≤14t 2，解得t≥2＋22，即a ＋b≥22＋2. 当且仅当a=b=1＋2时取等号．12.答案为：8；解析：函数y=log a (x ＋3)-1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(-2，-1)，且点A 在直线mx ＋ny ＋1=0上，∴2m ＋n=1，m ，n>0，∴1m ＋2n =⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ·(2m＋n)=4＋n m ＋4m n ≥4＋2n m ·4m n=8， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝1，n m ＝4m n，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝14，n ＝12时等号成立．13.解：(1)由题意知，1，b 是方程ax 2-3x ＋2=0的两根，且b>1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＋2＝0，ab 2－3b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.(2)由(1)得f(x)=(2×1＋2)x ＋252－1x ＋1=4x ＋25x ＋1=4(x ＋1)＋25x ＋1-4≥24x ＋1·25x ＋1-4=16.当且仅当4(x ＋1)=25x ＋1，即x=32∈A 时等号成立．∴函数f(x)的最小值为16.14.解：(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元，总支出为200＋16×(1＋2＋ (x)=200＋12x(x ＋1)·16(万元)．∴y=4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x x ＋1·16=16(-2x 2＋23x-50)． (2)年平均利润为y x =16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x =16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x .又x ∈N *，∴x ＋25x ≥2x ·25x =10，当且仅当x=5时，等号成立，此时yx ≤16×(23-20)=48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元．15.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c=1，∴1a ＋1b ＋1c =a ＋b ＋c a ＋a ＋b＋c b ＋a ＋b ＋cc=3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ba ＋ab ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ca ＋ac ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋bc ≥3＋2＋2＋2=9.当且仅当a=b=c=13时等号成立．。

2 变式3. a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和 此时a、b的值.
讲授新课
例2. (1)a,b都是正数且2a＋b＝2,求a(1＋b)
的最值和此时a、b的值.
(2) a, b是正数, a2 2b2 2, a (1 2b2 )
的最值是
.
讲授新课
例3. 已知a、b R , a b 1, y 1 1 ， ab
求y的最小值．
讲授新课
练习. (1)已知a、b R ,且a 2b 1, y 1 1 ，
ab 求y的最小值．
(2)已知a、b、c R ,且a b c 1, 求证 : 1 1 1 9.
abc (3)已知a、b、c R ,且a b c 1, 求证 : ( 1 1)( 1 1)( 1 1) 8.
3.4基本不等式：
ab a b 2
复习引入
基本不等式： a2 b2 2ab ; a b ab(a 0, b 0) .
2
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
Hale Waihona Puke 讲授新课例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值. 变式1. a,b 是正数且2a b 4，求ab的最值.
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值. 变式1. a,b 是正数且2a b 4，求ab的最值. 变式2. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
2
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
变式1. a,b 是正数且2a b 4，求ab的最值. 变式2. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
abc
课堂小结
课后作业
1. 阅读教材P.97-P.100； 2.《习案》作业三十三.

点评：本题主要考查了基本不等式 a2＋b2≥2ab 的应用．在证明 不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择不等式及常用变 形不等式来证，同时要从整体上把握不等式．
变式探究 2 已知 a、b、c 为正数，a＋b＋c＝1，且不全相等， 1 1 1 求证： ＋ ＋ >9. a b c 解析：∵a，b，c 为正数， 1 1 1 a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c 1 1 1 ∴ ＋ ＋ ＝(a＋b＋c)a＋b＋c ＝ ＋ ＋ a b c a b c b a c b c a b c a c a b ＝3＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝3＋a＋b＋b＋c＋a＋ c a a b b c c ≥3＋2＋2＋2＝9， ∵a，b，c 不全相等，∴“＝”不成立． 1 1 1 即 ＋ ＋ >9. a b c
)
2 1 1 3 解析：取 x＝ ，则 lg x ＋4 ＝lgx，故排除 A；取 x＝ π，则 2 2 1 sinx＝－1，故排除 B；取 x＝0，则 2 ＝1，故排除 D.应选 C. x ＋1 答案：C
2 新视点· 名师博客 1.对基本不等式的理解 a＋b (1)基本不等式 ab≤ 2 (a>0，b>0)又称为均值定理、均值不等 a＋b 式等，其中 2 叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的 几何平均数．定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数． a＋b 2 2 (2)不等式 a ＋b ≥2ab 和基本不等式 ab≤ 成立的条件是不 2 同的，前者要求 a，b 都是实数，后者要求 a，b 都是正数．
点评：(1)本题中对基本不等式的使用，根据条件不同采用了多种 不同形式． (2)在利用 a＋b≥2 ab时，一定要注意是否满足条件 a>0，b>0.

由������
������
+
������=1,得������
������
������
+
������≥2
������
������ ������
·
������ ������
=
������ ,
������������
∴xy≥36.∴x+y≥2 ������������=12.
这显然是错误的,因为两个不等式中,不能同时取得“等号”,即不
剖析:应用基本不等式
������������
≤
������+������ ������
求最值的条件是“一正、二定、
三相”等,具体如下:
2. 基本不等式
一正:
a,b都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是正数,否则就会得出错误的答案.
例如,当x<0时,函数f(x)=x+������������≥2 ������ × ������������=2,所以函数f(x)的最小值是2.由于f(-2)=-2+−������������=-������������<2, 那么显然这是一个错误的答案.其原因是当x<0时,������<0,不符合基本不等式中a,b均为正数.
4. 例题学习
解析:∵a>0,b>0,a≠b,∴������+������
������
>
������������,
∵a2+b2>2ab,∴
������������+������������ ������
>
������������,
∴选项A,B,C中, ������������最小.

结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有 a2b22ab
当且仅当ab时，等号成立.
重要不等式
高中数学人教A版必修5第三章不等式 3.4 基本不等式 课件
高中数学人教A版必修5第三章不等式 3.4 基本不等式 课件
西
工
大
附
中
重德博学崇实创新
探究 a2b22ab
如a果 0,b0,我们 a, b 用 分别 a,b代 ,能小于它们积的2倍
两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均 数
“=”成立条 件
ab
ab
高中数学人教A版必修5第三章不等式 3.4 基本不等式 课件
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西
工
大
附
中
公式理解
重德博学崇实创新
下面说法正确吗？
(1)x2y2 2xy√
D
u 形的角度
重德博学崇实创新 D
HG
C
a
A
EF
A E(FGH) b
C
B
u 数的角度
B
a2+b2－2ab=(a－b)2 0
a2b22ab
当且仅 a当 b时等号.成立
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西
工
大
附
中
重德博学崇实创新
当 a、b为任意实数时，a2b22ab
都成立吗？
不等式中，不等关 系与字母形式无关
(2)m212m √
(3)x0时， x12 x
√
(4)若 xy 0,则 xy2xy×
x0,y0
高中数学人教A版必修5第三章不等式 3.4 基本不等式 课件

=
13a+19
+
1 9
3������-1
=
13a-19
+
1 9
3������-1
+
29≥2
1 3
������-
1 9
·
1 9
3������-1
+
2 9
=
49,当且仅当13a-19
=
1
9
3������-1
,即
a=23时,取
等号,所以 ab 的取值范围是
4 9
,
+
∞
.
(方法二)由1������ + 1������=3,得 a+b=3ab.
①若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值. ②若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值.
(2)运用基本不等式求最值的注意点:
①a,b一定为正数; ②a+b与ab有一个为定值,才能求另一个的最值; ③等号必须能取到.
以上三点可简记为“一正、二定、三相等”,且三个条件缺一不可.
2.做一做:
(1)函数 f(x)=x+9������(x<0)的最大值为
;
(2)若正数 a,b 满足 2a+3b=8,则 ab 的最大值是
.
解析(1)由于 x<0,所以 f(x)=x+9������=- (-������) +
-
9 ������
≤-2
(-������)·
-
9 ������
=-6,
当且仅当-x=-9������,即 x=-3 时,函数取最大值-6.