2020-2021学年江苏省泰州中学高二上学期10月质量检测数学试题(解析版)

江苏省泰州中学高二第一学期期中模拟检测2020.11.6一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1.命题21,0:<+>∃aa a p ，则p 的否定为（ ） A ．21,0<+<∀a a a B ．21,0≥+<∃a a a C ．21,0<+>∀aa aD ．21,0≥+>∀aa a2. 若双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．3. 已知关于x 不等式0ax b ->的解集为(),1-∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-解集为（ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()(),12,-∞-+∞ D ．()(),21,-∞-⋃+∞4. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A. 32 B. 22 C. 13 D. 125.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x （1﹣y ）．若不等式（x ﹣a ）⊗（x +1）＜1对任意实数x 成立，则（ ） A ．﹣1＜a ＜1B ．﹣2＜a ＜0C ．0＜a ＜2D ．﹣2＜a ＜26.在公比为q 的正项等比数列{a n }中，4a ＝1，则当262a a +取得最小值时，2log q 等于（ ） A ．B ．﹣C ．D ．﹣7.在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，前三项的和为7，若存在m ，n ∈N *使得，则14m n+的最小值为（ ） A ．B ．C ．32D ．548.已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项的和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n∈N *)，则满足1 0011 000＜S 2n S n ＜1110的n的最大值为( )．A.7B.8C.9D.10二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是（）A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为C．存在点P，使PF1⊥PF2D．PF1的取值范围是[1，3]10. 数列{a n}是首项为1的正项数列，a n+1＝2a n+3,S n是数列{a n}的前n项和，则下列结论正确的是（）A．3a＝13B．数列{3na+}是等比数列C．n a＝4n﹣3D．11.设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1＞1，910a a＞1，9101 1a a --＜0，则下列结论正确的是（）A．0＜q＜1B．1011a a＞1C．S n的最大值为S10D．T n的最大值为T9 12. 下列结论不正确的是（）A．当x＞0时，B．当x＞0时，的最小值是2C．当时，的最小值是D．设x＞0，y＞0，且x+y＝2，则的最小值是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，71a =，则10S 的值为________．14. 设椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，12||22F F =，P 是C 上一点，若12PF PF a -=，且212PF F F ⊥，则椭圆C 的方程为________．15.已知x ，y 为非负实数，且满足x +2y ＝1，则的最小值是 ．16.为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a 元的一年期定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款a 元后，他的账户中一共有________元；到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．(式子要整理成最简形式） 四、解答题：本题共6小题，共70分。

则.
因此
．
故选.
二、多选题
9.
【答案】
A,C
【考点】
数列的概念及简单表示法
【解析】
利用数列的函数特性逐一分析四个选项即可得到答案．
【解答】
解：，若一个常数列是等比数列，则这个数列的各项都为一个相等的常数且不为，则公比一定为，故该选项正确；
，同一个数在数列中能重复出现，例如常数列，故该选项错误；
，数列的第项为，第项为，第项大于第项恒成立，故该选项正确；
求的值；
若（其中），设，求的最小值．
22.已知数列的前项和满足：为常数，且，．
求的通项公式；
设，若数列为等比数列，求的值；
在满足条件的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏泰州高二上数学月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
14.已知等差数列满足：，．若将，，都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则的值为________．
15.已知数列满足，前项和，则________.
16.已知数列通项公式为.
若，则数列最小项的值为________；
若数列为单调递增数列，则的取值范围是________.
四、解答题
17.等差数列中，，.
A.若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为
B.同一个数在数列中不能重复出现
C.数列是递增数列
D.数列通项的表达式是唯一的
10.设数列为等差数列，下列数列为等差数列的有( )
A.B.C.D.
11.关于等差数列和等比数列，下面四个选项中正确的是( )
A.若数列的前项和，则数列为等差数列

2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试（三）数学试卷一、选择题1. 若无穷等差数列{a n }的首项a 1>0，公差d <0，{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A.S n 单调递减 B.S n 单调递增 C.S n 有最大值 D.S n 有最小值2. 设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 若数列{a n }的通项公式是a n =(−1)n (3n −2)，则a 1+a 2+⋯+a 10=( ) A.15 B.12 C.−12 D.−154. 椭圆x 2+2y 2=4的以(1, 1)为中点的弦所在直线的方程是（ ） A.x −4y +3=0 B.x +4y −5=0 C.x −2y +1=0 D.x +2y −3=05. 若不等式x 2+ax +4<0的解集为⌀，则a 的取值范围是( ) A.[−4, 4]B.(−4, 4)C.(−∞, −4]∪[4, +∞）D.(−∞, −4)∪(4, +∞)6. 已知x >2，则函数y =4x−2+4x 的最小值是( ) A.6 B.8 C.12 D.167. 已知a =30.3,b =(12)π,c =log 5√6，则( ) A.a >b >c B.c >b >a C.a >c >b D.b >a >c8. 数列{a n }：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，称为斐波那契数列，它是由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例子引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第3项开始，每项等于其前相邻两项之和，即：a n+2=a n+1+a n ，即该数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中正确的是( ) A.S 2019=a 2020+2 B.S 2019=a 2021+2 C.S 2019=a 2020−1D.S 2019=a 2021−1二、多选题已知P 是椭圆C:x 26+y 2=1上的动点，Q 是圆D ：(x +1)2+y 2=15上的动点，则( )A.C 的焦距为√5B.C 的离心率为√306C.圆D 在C 的内部D.|PQ|的最小值为2√55设有下面四个命题，其中假命题的选项是( ） A.“若a →⋅b →>0，则a →与b →的夹角为锐角”为真命题 B.若p:∀x ∈R,2x >0,则p 的否定为：∃x ∈R,2x <0 C.“ab ≤1”是‘a ≤1或b ≤1”的充分不必要条件 D.△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B下列有关命题的说法正确的是( ) A.∃x ∈(0,π)，使得2sin x +sin x =2√2成立B.命题p:∀x ∈R ，都有cos x ≤1，则¬p:∃x ∈R ，使得cos x >1C.函数f (x )=√x +1⋅√x −1与函数g (x )=√x 2−1是同一个函数D.若x ，y ，z 均为正实数，且3x =4y =12z ，x+y z∈(n,n +1)(n ∈N )，则n =4定义在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f(a n )}仍是等比数列，则f(x)称为“保等比数列函数”．现有定义在 (−∞, 0)∪(0, +∞)上的下列函数中，是“保等比数列函数”的是( ) A.f (x )=x 3 B.f (x )=e xC.f (x )=√|x|D.f (x )=log 2|x|三、填空题方程kx 2+4y 2=4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．已知−1，a ，x ，b ，−4成等比数列，则实数x 的值是________.已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对于任意的自然数n ，都有Sn T n=2n−34n−3，则a 3+a 152(b 3+b 9)+a 3b 2+b 10=________.命题“∃x ∈[−1,4]，x 2−(a +2)x +5+a <0”为假命题，则实数a 的范围为________. 四、解答题已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1，且a 1,a 3,a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n .设集合A ={x|x 2−2x +1−m 2≤0,m >0}，集合B ={x|12x+2≥1}.(1)求出集合A 和集合B ；(2)设p:x ∈A,q:x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w 万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x 万元之间的函数关系为w =x+32（其中推广促销费不能超过5万元）．已知加工此农产品还要投入成本3(w +3w )万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为(4+30w)元/件．(1)试将该批产品的利润y 万元表示为推广促销费x 万元的函数；（利润=销售额−成本−推广促销费）(2)当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？已知椭圆L:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2． (1)求椭圆L 的标准方程；(2)过点Q (0,2)的直线l 与椭圆L 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l 的方程及|AB|的大小．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列， a 1=1，其前n 项和为S n ，S 4=S 22. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证： a n a n +1<a n +1a n +2;(3)若b n =a n a n+1，数列{b n }的前n 项积为H n ，求证H n <√2n+1.设函数y =ax 2+x −b (a ∈R,b ∈R ).(1)若b =a −54，且集合{x|y =0}中有且只有一个元素，求实数a 的取值集合；(2)求不等式y <(2a +2)x −b −2的解集；(3)当a >0,b >1时，记不等式y >0的解集为P ，集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠⌀，求1a−1b 的最大值．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试（三）数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】数列的函数特性【解析】化简可得{a n}是递减数列，且先正值，后负值；从而判断出S n有最大值．【解答】解：∵无穷等差数列{a n}的首项a1>0，公差d<0，∴{a n}是递减数列，且先正值，后负值；∴{a n}的前n项和为S n先增加，后减小；∴S n有最大值.故选C.2.【答案】D【考点】充分条件、必要条件、充要条件等比数列的性质【解析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：例如等比数列−1，−2，−4，…，满足公比q=2>1，但{a n}不是递增数列，所以充分性不成立．)n−1为递增数列，若a n=−1⋅(12<1不成立，所以必要性不成立，但q=12故“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.3.【答案】A【考点】数列的求和【解析】【解答】解：∵a n=(−1)n(3n−2)，∴a1+a2+⋯+a10=−1+4−7+10−⋯−25+28=(−1+4)+(−7+10)+⋯+(−25+28)=3×5=15．故选A.4.【答案】D【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题直线的一般式方程中点坐标公式【解析】设直线l的方程为y−1=k(x−1)，代入椭圆的方程化简，由x1+x2=4k2−4k1+2k2=2解得k值，即得直线l的方程．【解答】解：由题意得，斜率存在，设为k，则直线l的方程为y−1=k(x−1)，即kx−y+ 1−k=0，代入椭圆的方程化简得(1+2k2)x2+(4k−4k2)x+2k2−4k−2=0，∴x1+x2=4k2−4k1+2k2=2，解得k=−12，故直线l的方程为x+2y−3=0.故选D．5.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法【解析】利用一元二次函数图象，分析不等式解集为空集的条件，再求解即可．【解答】解：∵不等式x2+ax+4<0的解集为⌀，∴Δ=a2−16≤0⇒−4≤a≤4．故选A.6.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】y=4x−2+4x=4x−2+4(x−2)+8，利用基本不等式zhij求解即可.【解答】解：∵ x >2， ∴ x −2>0，∴ y =4x−2+4x =4x−2+4(x −2)+8 ≥2√4x−2⋅4(x −2)+8=16，当且仅当4x−2=4(x −2)，即x =3时等号成立，∴ 函数y =4x−2+4x 的最小值是16. 故选D . 7.【答案】 C【考点】指数式、对数式的综合比较 对数值大小的比较 对数的运算性质 【解析】【解答】解：∵ a =30.3>30=1， b =(12)π<(12)1=12，c =log 5√6>log 5√5=12，且c =log 5√6<log 55=1,∴ a >c >b . 故选C . 8.【答案】 D【考点】 数列递推式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n =(a 3−a 2)+(a 4−a 3)+(a 5−a 4)+ (a 6−a 5)+⋯(a n+2−a n+1) =a n+2−a 2=a n+2−1， 所以S 2019=a 2021−1， 故选D .【答案】 B,C【考点】 椭圆的离心率 点与圆的位置关系 点到直线的距离公式【解析】由椭圆的方程可得a ，b ，c 的值，可得A ，D 不正确，可得圆D 的圆心离左顶点最近，进而可得C 正确，B 正确 【解答】解：由椭圆方程可得，a 2=6，b 2=1，则c 2=a 2−b 2=5，则焦距2c =2√5，A 不正确； 离心率e =ca =√5√6=√306，B 正确； 设P(x, y)(−√6≤x ≤√6)，D(−1, 0)，r 2=15， 则|PD|2=(x +1)2+y 2 =(x +1)2+1−x 26=56(x +65)2+45≥45>15，所以圆D 在C 的内部，且|PQ|的最小值为√45−√15=√55，故C 正确，D 不正确. 故选BC . 【答案】 A,B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 命题的真假判断与应用 命题的否定【解析】A ，利用向量的数量积判断其真假；B ，根据全称命题的否定形式判断；C ，根据充分条件与必要条件的概念判断；D ，利用正弦定理判断． 【解答】解：A ，若a →⋅b →>0，则a →与b →的夹角为锐角”，当a →与b →的夹角为0时，也满足题意，所以该命题为假命题，故A 错误；B ，若p:∀x ∈R ，2x >0，则¬p ：∃x 0∈R ，2x 0≤0，故B 错误；C ，若ab ≤1成立，则a ≤1或b ≤1成立；反之，若a ≤1或b ≤1成立，则ab ≤1成立不正确，故“ab ≤1”是“a ≤1或b ≤1”的充分不必要条件，故C 正确；D ，命题△ABC 中，若A >B ，则a >b ，由正弦定理可得sin A >sin B ，故D 正确. 故选AB ．B,D【考点】全称命题与特称命题 命题的真假判断与应用 基本不等式在最值问题中的应用 对数的运算性质判断两个函数是否为同一函数【解析】利用三角函数的定义，全称命题的否定，函数的定义，以及对数的运算性质判断即可. 【解答】 解：A ，由于2sin x+sin x =2√2，解得：sin x =√2∉(0,1]，所以不存在x ∈(0,π)，使得sin x =√2. 故选项A 错误；B ，由全称命题的否定为特称命题可知： 命题p:∀x ∈R ，都有cos x ≤1， 则¬p:∃x ∈R ，使得cos x >1. 故选项B 正确；C ，由于函数f(x)的定义域为：{x +1≥0，x −1≥0，解得：x ≥1，函数g(x)的定义域为：x 2−1≥0， 解得：x ≥1或x ≤−1，则函数f(x)与函数g(x)的定义域不同. 故选项C 错误；D ，令3x =4y =12z =k(k >1)， 则x =lg klg 3，y =lg klg 4，z =lg klg 12， 所以x+y z =lg k lg 3+lg klg 4lg k lg 12=1lg 3+1lg 41lg 12=lg 12lg 3+lg 12lg 4 =lg 3+lg 4lg 3+lg 3+lg 4lg 4=lg 4lg 3+lg 3lg 4+2∈(n,n +1)，n ∈N . 因为1<lg 4lg 3<2，0<lg 3lg 4<1， 所以3<x+y z <5.又lg 4lg 3+lg 3lg 4>2， 所以4<x+y z<5，所以n =4. 故选项D 正确. 故选BD . 【答案】 A,C【考点】等比数列的性质 【解析】根据新定义“保比等比数列”，结合等比数列中项的定义a n ⋅a n+2=a n+12，逐一判断四个函数，即可得到结论． 【解答】解：由等比数列性质知a n ⋅a n+2=a n+12， ①当f(x)=x 3时，f(a n )f(a n+2)=a n 3a n+23=(a n+12)3=(a n+13)2=f 2(a n+1)， 故A 正确；②当f(x)=e x 时，f(a n )f(a n+2)=e a n ⋅e a n+2=e a n +a n+2≠e 2a n+1=f 2(a n+1)， 故B 不正确；③当f(x)=√|x|时，f(a n )f(a n+2)=√|a n |⋅|a n+2|=√a n+12=f 2(a n+1)， 故C 正确；④当f(x)=log 2|x|时，f(a n )f(a n+2)=log 2|a n |log 2|a n+2| ≠log 2|a n+1|2=f 2(a n+1)， 故D 不正确； 故选AC . 三、填空题【答案】 (0, 4) 【考点】椭圆的标准方程 【解析】将方程化为标准方程，由焦点在x 轴上可得k 的取值范围． 【解答】解：方程化简为：x 24+y 2k=1，由于椭圆的焦点在x 轴上， 所以k ∈(0, 4). 故答案为：(0, 4). 【答案】等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵−1，a，x，b，−9成等比数列，∴实数x=−√(−1)×(−4)=−2.故答案为：−2.【答案】1941【考点】等差数列的前n项和等差数列的性质【解析】利用等差数列的通项公式性质可得：a3+a152(b3+b9)=2a92(b3+b9)，可得a3+a152(b3+b9)+a3b2+b10=a9 b1+b11+a3b1+b11，再进行转化利用求和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵等差数列中，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；等差数列的前n项和为：S n=(a1+a n)n2．∴a3+a152(b3+b9)=2a92(b3+b9)=a9b3+b9,∴a3+a152(b3+b9)+a3b2+b10=a9b3+b9+a3b2+b10=a9b1+b11+a3b1+b11=a3+a9b1+b11=a1+a11b1+b11=11(a1+a11)211(b1+b11)2=S11T11=2×11−34×11−3=1941.故答案为：1941.【答案】[−4,4]【考点】不等式恒成立问题命题的真假判断与应用基本不等式解：∵对任意的x∈[−1,4]，x2−(a+2)x+5+a≥0恒成立，即a(x−1)≤x2−2x+5恒成立．当x=1时，不等式为0≤4恒成立；当x∈(1,4]时，a≤x 2−2x+5x−1=x−1+4x−1.∵1<x≤4，∴0<x−1≤3，∴x−1+4x−1≥4，当且仅当x−1=4x−1时，即x=3时取$`` = "$,∴a≤4，当x∈[−1,1)时，a≥x 2−2x+5x−1=x−1+4x−1=−(1−x+41−x)，∴0<1−x≤2令t=1−x，则t∈(0,2]，∵函数y=−(t+4t)在t∈(0,2]上单调递增，∴当t=2，即x=−1时，函数y=−(t+41)取到最大值−4，∴a≥−4.综上所述，a的取值范围是[−4,4]．故答案为：[−4,4].四、解答题【答案】解：(1)由题设知公差d≠0，由a1=1,a1，a3，a9成等比数列，得1+2d1=1+8d1+2d，解得d=1或d=0（舍去），故{a n}的通项a n=1+(n−1)×1=n．(2)b n=1a n a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，T n=b1+b2+b3+⋯+b n=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1 n+1=nn+1．【考点】等比中项数列的求和等差数列的通项公式【解答】解：(1)由题设知公差d ≠0，由a 1=1,a 1，a 3，a 9成等比数列， 得1+2d 1=1+8d1+2d ，解得d =1或d =0（舍去），故{a n }的通项a n =1+(n −1)×1=n ． (2)b n =1an a n+1=1n (n+1)=1n −1n+1，T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n=1−12+12−13+13−14+⋯+1n −1n +1=1−1n +1=nn+1．【答案】解：(1)由x 2−2x +1−m 2≤0得， [x −(1−m )][x −(1+m )]≤0，再结合m >0，所以集合A ={x|1−m ≤x ≤1+m}， 由12x+2≥1得，10−xx+2≥0， 则{(10−x )(x +2)≥0,x +2≠0.所以集合B ={x|−2<x ≤10}.(2)由题意得，集合B 真包含于集合A ， 所以{1−m ≤−2,1+m ≥10,解得m ≥9.所以实数m 的取值范围{m|m ≥9}. 【考点】集合的包含关系判断及应用 元素与集合关系的判断 【解析】【解答】解：(1)由x 2−2x +1−m 2≤0得， [x −(1−m )][x −(1+m )]≤0，再结合m >0，所以集合A ={x|1−m ≤x ≤1+m}， 由12x+2≥1得，10−xx+2≥0，所以集合B ={x|−2<x ≤10}.(2)由题意得，集合B 真包含于集合A ， 所以{1−m ≤−2,1+m ≥10,解得m ≥9.所以实数m 的取值范围{m|m ≥9}. 【答案】解：(1)由题意知,y =(4+30w)w −3(w +3w )−x =w +30−9w−x =632−x2−18x+3(0≤x ≤5)．所以y =632−x 2−18x+3(0≤x ≤5).(2)∵ y =632−x2−18x+3=632−12(x +36x +3) =33−12(x +3+36x +3)≤33−12⋅2√(x +3)⋅36x+3=27(0≤x ≤5)．当且仅当x =3时，上式取“=”∴ 当x =3时，y 取最大值27．答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 根据实际问题选择函数类型 函数最值的应用【解析】（1）根据利润公式得出y 关于x 的函数； （2）利用基本不等式得出最大利润 【解答】解：(1)由题意知,y =(4+30w)w −3(w +3w )−x =w +30−9w−x =632−x2−18x+3(0≤x ≤5)．所以y =632−x 2−18x+3(0≤x ≤5).(2)∵ y =632−x 2−18x+3=33−12(x +3+36x +3)≤33−12⋅2√(x +3)⋅36x+3=27(0≤x ≤5)．当且仅当x =3时，上式取“=”∴ 当x =3时，y 取最大值27．答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元． 【答案】解：(1)由e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2=34得a 2=4b 2，又∵ 短轴长为2，可得b =1，a 2=4， ∴ 椭圆L 的标准方程为：x 24+y 2=1．(2)易知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的斜率为k(k ≠0)，直线l 的方程为：y =kx +2，则联立{y =kx +2,x 2+4y 2−4=0,消元得：(4k 2+1)x 2+16kx +12=0，Δ=16×16k 2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0， 即k 2>34．设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，∴ x 1+x 2=−16k4k 2+1，x 1⋅x 2=124k 2+1，∴ y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1⋅x 2+2k(x 1+x 2)+4 . 由题意可知OA →⊥OB →，OA →⋅OB →=0即：x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=(1+k 2)x 1⋅x 2+2k (x 1+x 2)+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，解得k 2=4>34， ∴ k =±2 ,|AB|=√1+k 2|x 1−x 2| =√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2⋅4√4k 2−31+4k 2=4√6517． 综上：直线l 的方程为：y =±2x +2，|AB|=4√6517． 【考点】圆锥曲线的综合问题 椭圆的离心率向量的数量积判断向量的共线与垂直待定系数法求直线方程 直线的一般式方程 【解析】 【解答】 解：(1)由e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a2=34得a 2=4b 2，又∵ 短轴长为2，可得b =1，a 2=4， ∴ 椭圆L 的标准方程为：x 24+y 2=1．(2)易知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的斜率为k(k ≠0)，直线l 的方程为：y =kx +2，则联立{y =kx +2,x 2+4y 2−4=0,消元得：(4k 2+1)x 2+16kx +12=0，Δ=16×16k 2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0， 即k 2>34．设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， ∴ x 1+x 2=−16k 4k 2+1，x 1⋅x 2=124k 2+1，∴ y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1⋅x 2+2k(x 1+x 2)+4 . 由题意可知OA →⊥OB →，OA →⋅OB →=0即：x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=(1+k 2)x 1⋅x 2+2k (x 1+x 2)+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，解得k 2=4>34， ∴ k =±2 ,|AB|=√1+k 2|x 1−x 2| =√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2⋅4√4k 2−31+4k 2=4√6517． 综上：直线l 的方程为：y =±2x +2，|AB|=4√6517． 【答案】(1)解：设公差为d ,∵ S 4=S 22，∴ 1+1+d +1+2d +1+3d =(1+1+d)2, 解得，d =2或d =0(舍去)， ∴ a n =2n −1.22∴2n−12n <2n2n+1，∴a na n+1<a n+1a n+2.(3)证明：∵4n2−1<4n2，即(2n+1)(2n−1)<(2n)2．即由(2)得b n=2n−12n <2n2n+1，∴(12×34×⋯×2n−12n)2<12×34×⋯×2n−12n×23×45×⋅⋅⋅×2n2n+1=12n+1，∴12×34×…×2n−12n<√2n+1n∈N∗)，∴H n<√2n+1．【考点】数列的求和等差数列的性质等差数列的通项公式【解析】【解答】(1)解：设公差为d,∵S4=S22，∴1+1+d+1+2d+1+3d=(1+1+d)2, 解得，d=2或d=0(舍去)，∴a n=2n−1.(2)证明：∵4n2−1<4n2，即(2n+1)(2n−1)<(2n)2，∴2n−12n <2n2n+1，∴a na n+1<a n+1a n+2.(3)证明：∵4n2−1<4n2，即(2n+1)(2n−1)<(2n)2．即由(2)得b n=2n−12n <2n2n+1，∴(12×34×⋯×2n−12n)2<1×3×⋯×2n−1×2×4×⋅⋅⋅×2n=1，∴ 12×34×…×2n−12n<√2n+1n ∈N ∗)，∴ H n <√2n+1．【答案】解：(1)当b =a −54时，y =ax 2+x −a +54， 由题意集合{x|y =0}中有且仅有一个元素，则：①当a =0时，x +54=0，解得x =−54，满足题意；②当a ≠0时，可令y =0，得ax 2+x −a +54=0， 此时Δ=1+4a (a −54)=0，解得a =1或14．综上所述，a 的取值集合为{0,14,1}．(2)由题意，y <(2a +2)x −b −2， 可得ax 2−(2a +1)x +2<0， 化简即(ax −1)(x −2)<0，所以①当a >0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)<0， 1∘当0<a <12时，1a >2，此时不等式的解集为(2,1a )；2∘当a =12时，则不等式化为(x −2)2<0，此时不等式的解集为⌀；3∘当a >12时，1a<2，此时不等式的解集为(1a,2)．②当a =0时，不等式可化为−x +2<0，此时不等式的解集为(2,+∞). ③当a <0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)>0.此时不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞).综上所述：当a <0时，不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞)；当a =0时，不等式的解集为(2,+∞); 当0<a <12时，不等式的解集为(2,1a )； 当a =12时，不等式的解集为⌀; 当a >12时，不等式的解集为(1a ,2)．(3)由题意集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }，即4a −2−b ≥0，所以4a ≥b +2>3， 则1a−1b ≤4b+2−1b=3b−2b (b+2)， 令t =3b −2，则t >1，此时b =t+23，所以1a−1b ≤4b+2−1b=3b−2b (b+2)=9tt+16t+10≤12，当且仅当t =16t，即t =4时，此时a =1，b =2，1a−1b有最大值为12．【考点】集合关系中的参数取值问题 基本不等式在最值问题中的应用 一元二次不等式的解法 【解析】解：(1)当b =a −54时，y =ax 2+x −a +54， 由题意集合{x|y =0}中有且仅有一个元素，则：①当a =0时，x +54=0，解得x =−54，满足题意；②当a ≠0时，可令y =0，得ax 2+x −a +54=0， 此时△=1+4a (a −54)=0，解得a =1或14．综上所述，a 的取值集合为{0,14,1}．(3)由题意集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }，对于任意正数t ，−2∈Q . 又因为P ∩Q ≠⌀，所以满足当x =−2时，函数y ≥0， 即4a −2−b ≥0，所以4a ≥b +2>3， 则1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2)， 令t =3b −2，则t ＞1，此时b =t+23， 所以1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2)=9tt+16t+10≤12，当且仅当t =16t，即t =4时，此时a =1，b =2，1a −1b 有最大值为12．解：(1)当b =a −54时，y =ax 2+x −a +54， 由题意集合{x|y =0}中有且仅有一个元素，则：①当a =0时，x +54=0，解得x =−54，满足题意；②当a ≠0时，可令y =0，得ax 2+x −a +54=0， 此时Δ=1+4a (a −54)=0，解得a =1或14．综上所述，a 的取值集合为{0,14,1}．(2)由题意，y <(2a +2)x −b −2， 可得ax 2−(2a +1)x +2<0， 化简即(ax −1)(x −2)<0，所以①当a >0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)<0，1∘当0<a <12时，1a >2，此时不等式的解集为(2,1a )；2∘当a =12时，则不等式化为(x −2)2<0，此时不等式的解集为⌀； 3∘当a >12时，1a <2，此时不等式的解集为(1a ,2)．②当a =0时，不等式可化为−x +2<0，此时不等式的解集为(2,+∞). ③当a <0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)>0.此时不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞).综上所述：当a <0时，不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞)；当a =0时，不等式的解集为(2,+∞); 当0<a <12时，不等式的解集为(2,1a )； 当a =12时，不等式的解集为⌀; 当a >12时，不等式的解集为(1a ,2)．(3)由题意集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }， 对于任意正数t ，−2∈Q .又因为P ∩Q ≠⌀，所以满足当x =−2时，函数y ≥0， 即4a −2−b ≥0，所以4a ≥b +2>3， 则1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2)，试卷第21页，总21页 所以1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2) =9tt+16t +10≤12， 当且仅当t =16t ，即t =4时，此时a =1，b =2，1a −1b有最大值为12．。

泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学（考试时间：120分钟；总分：150分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，1.经过两点的直线的倾斜角为（ ）A.B.C.D.2.若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）A. B.CD.3.平面内一点到两定点的距离之和为10，则的轨迹方程是（）A. B.C. D.4.一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（）A.米B.米C.米D.米5.若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C.D.或6.已知点在圆上，点，则满足点的个数为（ ）A.3B.2C.1D.07.设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交()()0,3,P Q -30 60 120 1502224240x y mx y m m ++-+-=m 0m <12m <1m >-2m ≥M ()()120,3,0,3F F -M 2212516x y +=2212516y x +=2212516y x -=2212516x y -=y x m =+x =m m =m ≥m ≤m <<11m -<≤m =P 22:(2)(1)4O x y -+-=()()1,2,2,2A B --6AP BP ⋅=P :10l x y +-=O ()0y kx x =≥l l x于点，再次经轴反射后与轴交于点.若，则的值为（ ）A.B. C. D.8.已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最小值为（ ）A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的德6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知中，，则关于下列说法中正确（ ）A.某一边上的中线所在直线的方程为B.某一条角平分线所在直线的方程为C.某一边上的高所在直线的方程为D.某一条中位线所在直线的方程为10.下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角的取值范围是B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C.过点且在轴，轴截距相等的直线方程为D.设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是11.已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切点为，，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是（）A.若点在直线上，则直线过定点M x y N MN =k 3223121322:16O x y +=12,2F ⎛-+ ⎝E :2160l x y -+=E O ,A B AB EO M MF ∣32ABC V ()()()1,2,1,0,3,4A B C -ABC V 2y =2y =20x y +=210x y -+=sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭1a =-210a x y -+=20x ay --=()1,2P x y 30x y +-=()()2,3,3,2A B ---(),P x y AB 11y x --(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭O 224x y +=O (),P a b O A B OP AB D P 40x y ++=AB ()1,1--B.当取得最小值时，点在圆上C.直线，关于直线对称D.与的乘积为定值4三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出过点且与圆相切的直线方程__________.（写出一条直线即可）13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________.14.已知为圆上任意一点，，则的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）已知点和直线.（1）求过点与直线平行的直线的方程；（2）求过的中点与垂直的直线的方程.16.（15分）已知以点为圆心的圆与__________，过点的动直线与圆相交于两点.从①直线相切；②圆关于直线对称.这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题.（1）求圆的方程；（2）当的方程.17.（15分）如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为.PA PB ⋅P 2232x y +=PA PB 22ax by a b +=+OP OD ()1,4A -22:(2)(3)1C x y -+-=22112x y m m+=--y m P 22(1)(1)1x y -+-=()()0,0,2,0O B PO ()()1,3,5,7A B --:34200l x y +-=A l 1l ,A B l 2l ()1,2A -()2,0B -l A ,M N270x y ++=22(3)20x y -+=210x y --=A MN =l ABO 1AB OB ==AB OB ⊥11,24P ⎛⎫⎪⎝⎭P MN AMN V MN k（1）用表示出直线的方程，并求出的坐标；（2）求锯成的的面积的最小值.18.（17分）如图，圆C ：.（1）若圆与轴相切，求圆的方程；（2）当时，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）.问：是否存在圆，使得过点的任一条直线与该圆的交点，都有？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.19.（17分）已知为圆上三点.（1）若直线过点，求面积的最大值；（2）若为曲线上的动点，且.试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.k MN M N ､AMN V ()2210x a x y ay a -++-+=C y C 4a =C x ,M N M N 222:O x y r +=M ,A B ANM BNM ∠∠=()0,3,,A B C 22:9O x y +=BC ()0,2ABC V D ()22(1)43x y y ++=≠-AD AB AC =+AB AC数学学科答案（考试时间：120分钟；总分：150分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.【答案】C【解析】由题意知，经过的直线的斜率为设该直线的倾斜角为，则，所以，即直线的倾斜角为.故选：C 2.【答案】C 3.【答案】B【解析】平面内一点到两定点的距离之和为，所以的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆，且，椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的方程为.故选：B.4.【答案】C【解析】如图建立平面直角坐标系，则圆心在轴上，设圆的半径为，则圆的方程为，拱顶离水面3米，水面宽12米，圆过点，圆的方程为，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则，当水面下降1米后，水面宽度为.PQ k ==()0180θθ≤<tan k θ==120θ=120 M ()()120,3,0,3F F -106>M 5,3,4a c b =====y 2212516y x+=y r 222()x y r r ++= ∴()6,3-221536(3),,2r r r ∴+-+=∴=∴221522524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭(),4t -244,t t =∴=±∴故选：C.5.【答案】D【解析】因为曲线，即，表示圆心为原点，半径为1的半圆，如图，当直线，即与曲线相切时，圆心到直线的距离，解得或（舍去）当直线，即与曲线相交且只有一个交点时，，综上可得，或，故选：D 6.【答案】B【解析】设点，则，由，得，即，故点的轨迹为一个圆心为､半径为的圆，又点在圆上，，半径差为，有，所以两圆相交，满足这样的点有2个.故选：B.7.【答案】B0x =≥()221,0x y x +=≥y x m =+0x y m -+=1d m =m =y x m =+0x y m -+=11m -<≤11m -<≤m =(),P x y ()()1,2,2,2AP x y BP x y =+-=+-AP BP ⊥()()22212(2)3466AP BP x x y x y x y ⋅=+++-=++-+= 22325(2)24x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭P 3,22⎛⎫-⎪⎝⎭52P 22:(2)(1)4O x y -+-=59222+=51222-=1922<<P【解析】如图，设点关于直线的对称点为：则得，即，由题意知与直线不平行，故，由，得，即为入射点，故直线的斜率为，直线的直线方程为：，令得，故，令得，故由对称性可得，由得，即，解得，得或，若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件.故，O l ()11,A x y ()1111102211x y y x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪⨯-=-⎪⎩1111x y =⎧⎨=⎩()1,1A ()0y kx x =≥l 1k ≠-10y kx x y =⎧⎨+-=⎩111x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1,,11k P P k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭AP 111111APkk k k k -+==-+AP ()111y x k-=-0y =1x k =-()1,0M k -0x =11y k =-10,1N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN =22113(1)136k k ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭21113236k k k k ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1136k k +=23k =32k =32k =y 23k =故选：B.8.【答案】B【解析】如图，设，由题可知，则，即，所以，所以点，将点的坐标代入，化简得（不同时为0，故点的轨迹是以为半径的圆，又，点在该圆外，所以的最小值为，故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AD【解析】对于A ，线段的中点为，又，所以边上的中线所在直线的方程为，故A 正确；对于B ，由A 知，只能为的角平分线，假设为的角平分线，在上任取一点，直线的方程为：，即.(),M x y :AOE MOA V V OA OM OEOA=2||OA OE OM =⋅2222||16||OEOA OM OM x y ==+22221616,x y E x y x y ⎛⎫ ⎪++⎝⎭E :2160l x y -+=2215(1)24x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,x y )M 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭22115(21)20224⎛⎫-+++-=> ⎪⎝⎭F MF =-=BC ()2,2()1,2A -BC 2y =2y =A ∠2y =A ∠2y =(),2M a AB 1y x =-+10x y +-=直线的方程为：，即，则到直线的距离为：则到直线的距离为：因为，故B 错误；对于C ，因为，而直线的高所在直线的方程为：，故C 错误；对于D ，线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为，直线的方程为：，即，所以D 正确；故选：AD.10.【答案】AD【解析】对于A ：直线的倾斜角为，则，因为，所以，故A 正确.对于B ：当时，直线与直线的斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立，若“直线与直线互相垂直”，则，故或，所以得不到，故必要性不成立，故B 错误.对于C ：截距为0时，设直线方程为，又直线过点，所以可得，所以直线方程为，当截距不为0时，设直线方程为，又直线过点，所以可得，所以直线方程为，AC ()1212y x -=+250x y -+=(),2M a AB 1d (),2M a AC 2d 12d d ≠()4212040,1,23121131AC AB CB k k k ---====-==-----AC ()2122y x x =--=-+BC ()2,2E AC ()1,3F AB ()310,1,210FD D k -==-FD 12y x -=210x y -+=θ[]tan sin 1,1θα=-∈-0πθ≤<π3π0,,π44θ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭1a =-10x y -+=20x y +-=1,1-1-210a x y -+=20x ay --=20a a +=0a =1a =-1a =-y kx =()1,2P 2k =2y x =1x ya a+=()1,2P 3a =30x y +-=所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C 错误；对于D ：如图，令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，Q 点，点是线段（含端点）上任一点，，或的取值范围是.故D 正确.故选：AD.11.【答案】ACD 【解析】【分析】根据垂直关系可得四点共圆，进而可得以为直径的圆的方程，两圆相减可得直线的方程，即可得定点坐标，根据数量积的运算律，结合基本不等式即可求解最值，进入可得点的轨迹，根据直线关于直线对称，而与直线垂直，即可判断C ，根据锐角三角函数即可求解D.【详解】设，由四点，，，共圆，且以为直径，可得圆的方程为，化简得，联立圆，可得直线的方程为，即，令，且，解得，即直线恒过定点，故A 正确，，()1,2P x y 30x y +-=2y x =()1,1Q 11y x --PQ k ()()2,3,3,2A B ---(),P x y AB 13123Q 4,12134AQ BQ k k ++==-==-+34k ∴≥14,1y k x -≤-∴-(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭OP AB P ,PA PB OP 22ax by a b +=+0OPbx ay -=(,4)P m m --P A O B OP 2222442222m m m m x y ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2240x y mx m y +-++=224x y +=AB ()440mx m y -++=()440m y x y -++=y x =440y +=1x y ==-AB ()1,1--()()2222PA PB OA OP OB OP OA OB OP OA OP OB OP OA OB OP OA OB⋅=-⋅-=⋅+-⋅-⋅=⋅+-- ()2222232cos 2842cos 1812OA OB AOP OP AOP OP OP OP=⋅∠+-=∠-+-=+-由于，当且仅当时，即时等号成立，故此时点在圆上，故B 错误，由于直线，关于直线对称，而方程为，由于直线与垂直，故直线，关于直线对称，C 正确，设，则，，所以，故D 正确，故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】或，答案不唯一13.【答案】14.【解析】设，取四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.2232OP OP +≥ 2232OP OP = 2OP = P 22x y +=PA PB OP OP 0bx ay -=22ax by a b +=+0bxay -=PAPB 22ax by a b +=+AOP θ∠=cos OA OP θ=cos OD OA θ=2cos 4cos OA OP OD OA OA θθ===4(y =34130x y +-=)31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(),,C m n PO =22222()()x y x m y n ⎡⎤⇒+=-+-⎣⎦()22224420x mx y ny m n ⇒-+-++=1111,,,2222m n C ⎛⎫==⇒ ⎪⎝⎭)PO PC PB =+≥=15.解析：（1）的斜率为，因为，所以，代入点斜式，得，化简，得.（2）的中点坐标为，因为，所以，代入点斜式，得，化简，得.16.【解析】（1）选①：因为圆与直线相切，所以圆，因此圆的方程为；选②：因为圆与圆关于直线对称，所以两个圆的半径相等，因此圆的半径为所以圆的方程为.（2）两种选择圆的方程都是，当过点的动直线不存在斜率时，直线方程为，把代入中，得显然当过点的动直线存在斜率时，设为，直线方程为，因为，所以有，即方程为：.34200x y +-=34-1l l ∥134k =-()3314y x -=-+3490x y +-=,A B ()2,2-2l l ⊥243k =()4223y x +=-43140x y --=A 270x y ++=A A 22(1)(2)20x y ++-=A 22(3)20x y -+=210x y --=A A 22(1)(2)20x y ++-=A 22(1)(2)20x y ++-=()2,0B -l 2x =-2x =-22(1)(2)20x y ++-=2y =(22+--=()2,0B -l k ()220y k x kx y k =+⇒-+=MN =22132024k ⎛+⨯=⇒= ⎝3460x y -+=综上所述：直线的方程为或.17.【答案】（1）.（2）.【解析】【小问1详解】设直线，因为直线过点，所以，即，所以，又因为，易得直线，直线，联立，解得；联立，解得，故.【小问2详解】因为，所以，所以，因为，设到直线的距离为，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.18.【答案】（1）或（2）存在，【解析】（1）因为由，可得由题意得l 3450x y -+=2x =-()()1212121:,,,1,4241414MN k k k k l y kx M N k k ⎛⎫--+⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭14:MN y kx b =+MN 11,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭1142k b =⋅+142k b =-1:42MN k l y kx =+-()()1,1,1,0A B :OA y x =:1AB x =142k y kx y x ⎧=+-⎪⎨⎪=⎩()()21412141k x k k y k -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩1421k y kx x ⎧=+-⎪⎨⎪=⎩1214x k y =⎧⎪⎨+=⎪⎩()()212121,,1,41414k k k M N k k ⎛⎫--+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭11,22OP BP k k ==-1122k -≤≤131,22k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2132144k k AN +-=-=M AN d ()()212314141k k d k k --=-=--()()2113223(23)22441321k k k S AN d k k ---=⋅=⨯⨯=--()()()()21414(1)111111132184184k k k k k ⎡⎤⎡⎤+-+-==+-+≥+=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦()1141k k =--12k =S 14225440x x y y -+-+=220x x y -+=224x y +=()22010x x a x y ay a =⎧⎨-++-+=⎩20,y ay a -+=，所以或，故所求圆的方程为或.（2）Q 令，得，即，求得，或，所以.假设存在圆，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入得，设，从而.因为的斜率之和为而因为，所以，的斜率互为相反数，即，所以，即.当直线与轴垂直时，仍然满足，即的斜率互为相反数.综上，存在圆，使得.19.解：（1）方法一设直线的方程为将代入得，令，则当，即时，方法二直线过点面积等于面积的一半设到直线的距离为，则2Δ()40a a =--=4a =0a =C 225440x x y y -+-+=220x x y -+=4a =∴0y =2540x x -+=()()140x x --=1x =4x =()()1,0,4,0M N 222:O x y r +=AB x AB ()1y k x =-222x y r +=()22222120k x k x k r +-+-=()()1122,,,A x y B x y 2221212222,11k k r x x x x k k-+==++NA NB ､()()()()()()122112121214144444k x x x x y y x x x x ⎡⎤--+--⎣⎦+=----()()()()()2222122112212222821414258258111k r k r x x x x x x x x k k k ----+--=-++=⨯-⨯+=+++ANM BNM ∠∠=NA NB ､1212044y y x x +=--228201r k-=+24r =AB x ANM BNM ∠∠=NA NB ､22:4O x y +=ANM BNM ∠∠=BC ()()11222,,,,y kx B x y C x y =+2y kx =+229x y +=()221450k x kx ++-=12112ABC S x x =⋅⋅-==V 21k t +=1ABC S t ==≥V 1t =0k =ABC V BC ()0,2,ABC ∴V OBC V O BC d (]0,2d ∈设，则当，即时，（2）设直线和直线的斜率之积为，设，则①，因为为圆上，所以化简得整理得②因为，所以从而，又因为为曲线上的动点所以，展开得，将①代入得，化简得，将②代入得1124ABC OBC S S BC d d ==⋅==V V (]20,4t d =∈ABC S =V 4t =2d =ABC V AB AC ()0m m ≠()()()112200,,,,,B x y C x y D x y 121233y y m x x --⋅=()()1212133x x y y m =--()()22122221233y y m x x --=,B C 222:O x y r +=222211229,9x y x y +=+=()()()()22122221233,99y y m y y --=--()()()()122123333y y m y y --=++()()2121223191m y y y y m +=-+--AD AB AC =+ ()()()112200,3,3,3x y x y x y -+-=-()1212,3D x x y y ++-D ()22(1)43x y y +-=≠-()()22121224x x y y +++-=()()()2222112212121222444x y x y x x y y y y +++++-++=()()()12121229933240y y y y y y m++--+-+=()()()()1212123910m y y m y y m +-++++=，整理得因为，所以，从而又，所以()()()()()()2121223119239101m m y y m y y m m ⎡⎤+⎢⎥+-+--++++=-⎢⎥⎣⎦()212501m m y y m +⋅+=-1233y y +-≠-120y y +≠250m m +=0m ≠15m =-。

2020-2021学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞02．已知等差数列{a n}前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n＝6n+2B．a n＝6n﹣2C．a n＝4n+2D．a n＝4n﹣23．在空间四边形OABC中，，且，则＝（）A．﹣﹣+B．﹣﹣+C．+﹣D．+﹣4．2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射．嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段．在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（）A．0.32B．0.48C．0.68D．0.825．如果向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，2），＝（1，﹣1，m）共面，则实数m 的值是（）A．﹣1B．1C．﹣5D．56．设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点M（1，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，若|BF|＝4，则|AF|＝（）A．B．3C．D．7．已知正项等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“q＞1”是“S4+S6﹣2S5＞0”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要8．若0＜x＜y＜z且xyz＝1，则下列关系式不一定成立的是（（）A．lgy+lgz＞0B．2y+2z＞4C．x+z2＞2D．x2+z＞2二、选择题（共4小题）.9．已知双曲线C：＝1，则下列说法正确的是（）A．渐近线方程为B．焦点坐标为C．顶点坐标为D．实轴长为10．设a，b，c∈R，则下列结论正确的有（）A．若a＜b，c＜0，则ac＞bc B．a+≥2C．若a＜b＜0，则D．（）2≤11．任取一个正整数m，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如取正整数m＝3，根据上述运算法，则得出3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤首次变成1（简称为7步“雹程”）．则下列叙述正确的是（）A．当m＝12时，经过9步雹程变成1B．当m＝2k（k∈N*）时，经过k步雹程变成1C．当m越大时，首次变成1需要的雹程数越大D．若m需经过5步雹程首次变成1，则m所有可能的取值集合为5，3212．已知过抛物线y2＝4x焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，直线AM⊥l交x轴于点M，直线BN⊥l交x轴于点N，则下列结论正确的有（）A．|AF|+|BF|＝|AF|•|BF|B．|MF|+|NF|＝|MF|•|NF|C．|AF|•|BF|的最小值为4D．|MF|•|NF|的最小值为16三、填空题（共4小题）.13．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，点E，F分别为AA1，A1C1的中点，则直线BE和CF所成角的余弦值为．14．椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点为F1、F2，若C上存在一点P，使得|PF1|＝2|PF2|，则C的离心率的范围是．15．如图甲是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽．它的主题图案是由一连串如图乙所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A7A8＝1，它可以形成近似的等角螺线，记OA1，OA2，OA3，…，OA8的长度组成数列{a n}（n∈N*，1≤n≤8），且b n＝，则a n＝（n∈N*，1≤n≤8），数列{b n}的前7项和为．16．已知正实数a，b满足a+2b＝1，则+的最小值为．四、解答题（共6小题，满分70分）17．已知命题p：实数t满足t2﹣7at+12a2＜0（a＜0），命题q：实数t满足曲线+＝1为椭圆．（1）若q为真，求实数t的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．18．在①b n＝a n•2an，②b n＝|a n﹣10|，③b n＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．问题：已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，a2＝2，且a1+1，a4，a8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记______，求数列{b n}的前n项和S n．19．已知点P（x，y）到定点F（0，）的距离与它到定直线l：y＝的距离的比是常数，点P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）设点Q（m，0）（m＞1），若|PQ|的最大值为，求实数m的值．20．2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成．在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润0.15万元．若进行技术指导，养羊的投资减少了x（x＞0）万元，且每万元创造的利润变为原来的（1+0.25x）倍．现将养羊少投资的x万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为0.15（a﹣0.875x）万元，其中a＞0．（1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围；（2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a的最大值．21．如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD ＝2AB＝2BC＝2，PA＝1，∠ABC＝90°．（1）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）在线段PB上是否存在点E，使得二面角E﹣AC﹣P的余弦值？若存在，指出点E的位置；若不存在，说明理由．22．已知A，B分别是双曲线E：x2﹣＝1的左，右顶点，直线l（不与坐标轴垂直）过点N（2，0），且与双曲线E交于C，D两点．（1）若＝3，求直线l的方程；（2）若直线AC与BD相交于点P，求证：点P在定直线上．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞0【分析】利用含逻辑联结词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定．解：∵命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，∴命题￢p：∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0，故选：A．2．已知等差数列{a n}前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n＝6n+2B．a n＝6n﹣2C．a n＝4n+2D．a n＝4n﹣2【分析】利用等差数列的求和公式、通项公式即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵10a1+45d＝310，20a1+190d＝1220，解得：a1＝4，d＝6，∴a n＝4+6（n﹣1）＝6n﹣2．故选：B．3．在空间四边形OABC中，，且，则＝（）A．﹣﹣+B．﹣﹣+C．+﹣D．+﹣【分析】直接利用空间向量的线性运算的应用求出结果．解：空间四边形OABC中，，如图所示：所以，，则，所以．故选：A．4．2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射．嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段．在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（）A．0.32B．0.48C．0.68D．0.82【分析】将椭圆中的a、c与椭圆形轨道中的数量关系一一对应，建立模型，再求解即可．解：实轴长2a＝200+8600+2×1740＝12280，∴a＝6140，焦距2c＝2a﹣（200+1740）×2＝12280﹣3880＝8400，∴c＝4200，∴离心率e＝＝≈0.68．故选：C．5．如果向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，2），＝（1，﹣1，m）共面，则实数m 的值是（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【分析】由各量共面，可知存在x，y，使得，列出方程组，求出实数m的值．解：∵向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，2），＝（1，﹣1，m）共面，∴存在x，y，使得，∴（2，﹣1，3）＝（﹣x+y，4x﹣y，2x+my），∴，解得x＝，y＝，m＝1．∴实数m的值是1．故选：B．6．设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点M（1，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，若|BF|＝4，则|AF|＝（）A．B．3C．D．【分析】由|BF|＝4可求得B坐标，从而求得直线AB的方程，联立抛物线与直线AB的方程，求得B坐标即可．解：不妨设B在四象限，因为|BF|＝4，所以x B+＝4，∴x B＝2，∴B（2，﹣4），∴k AB＝k BF＝，∴直线AB的方程为y＝﹣4（x﹣1），联立，可得y2+2y﹣8＝0，∴y A•y B＝﹣8，∴y B＝2，∴x B＝，则|AF|＝．故选：D．7．已知正项等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“q＞1”是“S4+S6﹣2S5＞0”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要【分析】先根据等比数列的性质可求出q的范围，然后根据充分条件、必要条件的定义可判定．解：因为S4+S6﹣2S5＞0，所以S6﹣S5＞S5﹣S4，即a6＞a5，所以a1q4（q﹣1）＞0，因为a1q4＞0，所以q＞1．“q＞1”能推出“S4+S6﹣2S5＞0”，满足充分性，“S4+S6﹣2S5＞0”能推出“q＞1”，满足必要性，所以“q＞1”是“S4+S6﹣2S5＞0”的充分必要条件．故选：C．8．若0＜x＜y＜z且xyz＝1，则下列关系式不一定成立的是（（）A．lgy+lgz＞0B．2y+2z＞4C．x+z2＞2D．x2+z＞2【分析】由已知可得yz＞1，由对数的性质即可判断选项A；由已知可得y+z＞y+＞2，由基本不等式即可判断选项B；由已知可得x＝＞，由基本不等式即可判断选项C；利用特殊值法即可判断选项D．解：由0＜x＜y＜z且xyz＝1，可得0＜x＜1，yz＞1，所以lgy+lgz＝lgyz＞lg1＝0，故A正确；由0＜x＜y＜z且xyz＝1，可得0＜x＜1，yz＞1，所以z＞，y+z＞y+＞2，所以2y+2z＞2＝2＞4，故B正确；由0＜x＜y＜z且xyz＝1，可得x＝，yz＞z2，x＝＞，所以x+z2＞+z2＞2＝2，故C正确；由0＜x＜y＜z且xyz＝1，可取x＝，y＝，z＝，此时x2+z＝＜2，故D错误．故选：D．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．已知双曲线C：＝1，则下列说法正确的是（）A．渐近线方程为B．焦点坐标为C．顶点坐标为D．实轴长为【分析】由双曲线的方程可得a，b，c的值，进而可判断各选项的正误．解：对于双曲线C：﹣＝1，所以a＝2，b＝2，c＝2，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，焦点坐标为（±2，0），顶点坐标为（±2，0），实轴长为4，因此AD选项错误，BC选项正确，故选：BC．10．设a，b，c∈R，则下列结论正确的有（）A．若a＜b，c＜0，则ac＞bc B．a+≥2C．若a＜b＜0，则D．（）2≤【分析】直接利用不等式的基本性质和作差法的应用求出结果．解：对于A：若a＜b，c＜0，则ac＞bc，故A正确；对于B：当a为正数时，才成立，故B错误；对于C：由于a＜b＜0，所以，故，故C正确，对于D：根据平方平均值和算数平均值的关系，≥0，所以，故D正确；故选：ACD．11．任取一个正整数m，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如取正整数m＝3，根据上述运算法，则得出3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤首次变成1（简称为7步“雹程”）．则下列叙述正确的是（）A．当m＝12时，经过9步雹程变成1B．当m＝2k（k∈N*）时，经过k步雹程变成1C．当m越大时，首次变成1需要的雹程数越大D．若m需经过5步雹程首次变成1，则m所有可能的取值集合为5，32【分析】根据冰雹猜想今年模拟运算即可．解：当m＝12时，12→6→3→10→5→16→8→4→2→1共9步雹程变成1，则A正确；当m＝2k（k∈N“）时，2k→2k﹣1→2k﹣2→2k﹣3→…→22→2→1经过k步雹程变成1，则B 正确；当m＝12时有9步雹程变成1，当m＝16时16→8→4→2→1有4步雹程变成1，故C错；若m需经过5步雹程首次变成1则1←2←4←8←16←5或1←2←4←8←16←32两种情况，故D正确故选：ABD．12．已知过抛物线y2＝4x焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，直线AM⊥l交x轴于点M，直线BN⊥l交x轴于点N，则下列结论正确的有（）A．|AF|+|BF|＝|AF|•|BF|B．|MF|+|NF|＝|MF|•|NF|C．|AF|•|BF|的最小值为4D．|MF|•|NF|的最小值为16【分析】A设直线斜率和交点坐标，联立方程组，把等式用斜率表示判断；B把等式用斜率表示判断；C把乘积用斜率表示判断；D把乘积用斜率表示判断．解：抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，设直线l方程为x＝ky+1（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（a，0），N（b，0），x1＝ky1+1，x2＝ky2+1，x1+x2＝k（y1+y2）+2，，⇒a＝x1+ky1＝2ky1+1，b＝x2+ky2＝2ky2+1，⇒y2﹣4ky﹣4＝0⇒y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4；对于A，|AF|＝x1+1＝ky1+2，|BF|＝x2+1＝ky2+2．|AF|+|BF|＝x1+x2+2＝k（y1+y2）+4＝4k2+4，|AF|•|BF|＝k2y1y2+2k（y1+y2）+4＝﹣4k2+2k•4k+4＝4k2+4，所以A对；对于B，|MF|+|NF|＝|a﹣1|+|b﹣1|＝2|y1|+2|y2|＝2|y1﹣y2|＝2＝8，|MF|•|NF|＝|a﹣1|•|b﹣1|＝4|y1y2|＝16，所以B错；对于C，因为|AF|•|BF|＝4k2+4，k≠0，所以C错；对于D，因为|MF|•|NF|＝|a﹣1|•|b﹣1|＝4|y1y2|＝16，所以D对．故选：AD．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，点E，F分别为AA1，A1C1的中点，则直线BE和CF所成角的余弦值为．【分析】建立坐标系求出点的坐标，利用向量法进行求解即可．解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，设AB＝AC＝AA1＝2，E，F分别为AA1，A1C1的中点，∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，0，0），E（0，0，1），C（0，2，0），B1（2，0，2），C1（0，2，2），F（0，1，2），＝（﹣2，0，1），＝（0，﹣1，2），设异面直线BE与直线CF所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴直线BE与直线CF所成角的余弦值是．故答案为：．14．椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点为F1、F2，若C上存在一点P，使得|PF1|＝2|PF2|，则C的离心率的范围是．【分析】设P点的横坐标为x，根据|PF1|＝2|PF2|，利用椭圆的第二定义，可得x关于e 的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．解：设P点的横坐标为x∵|PF1|＝2|PF2|，∴根据椭圆的第二定义，可得a+ex＝2（a﹣ex）∴3ex＝a∵x≤a，∴ex≤ea∴a≤ea，∴e≥∵0＜e＜1，∴e∈．故答案为：．15．如图甲是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽．它的主题图案是由一连串如图乙所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A7A8＝1，它可以形成近似的等角螺线，记OA1，OA2，OA3，…，OA8的长度组成数列{a n}（n∈N*，1≤n≤8），且b n＝，则a n＝（n∈N*，1≤n≤8），数列{b n}的前7项和为2﹣1．【分析】由a1，a2，a3，a4可以猜想数列{a n}的通项公式a n；由b n＝＝＝﹣，可得其前n项和S n．解：由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝2＝，可以猜想数列{a n}的通项公式为：a n＝（其中n∈N*）；在数列{b n}中，因为b n＝＝＝﹣，所以其前n项和为：S n＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝﹣1．所以S7＝﹣1＝2﹣1．故答案是：；2﹣1．16．已知正实数a，b满足a+2b＝1，则+的最小值为．【分析】由+＝+＝+﹣，利用基本不等式的性质即可得出．解：∵a＞0，b＞0，a+2b＝1，∴a＝1﹣2b＞0⇒b＜，∴1﹣b＞0，∴+＝+＝+﹣≥2﹣＝，当且仅当＝时，取得最小值．故答案为：．四、解答题（共6小题，满分70分）17．已知命题p：实数t满足t2﹣7at+12a2＜0（a＜0），命题q：实数t满足曲线+＝1为椭圆．（1）若q为真，求实数t的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据椭圆性质，通过方程组求解；（2）根据充分条件概念，通过解不等式组求解．解：（1）因为q为真，所以，解得t＞﹣9；故实数t的取值范围是t∈（﹣9，+∞）．（2）p：实数t满足t2﹣7at+12a2＜0（a＜0）⇔（t﹣3a）（t﹣4a）＜0且a＜0⇔4a＜t ＜3a且a＜0；因为p是q的充分条件，即p⇒q，所以，解得．故实数a的取值范围是a∈[，0）．18．在①b n＝a n•2an，②b n＝|a n﹣10|，③b n＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．问题：已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，a2＝2，且a1+1，a4，a8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记______，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用等差和等比数列的性质求出数列的通项公式；（2）利用裂项相消法和乘公比错位相减法的应用求出数列的和．解：（1）数列{a n}是各项均为正数的等差数列，a2＝2，且a1+1，a4，a8成等比数列．设公差为d，a2＝a1+d＝2，则解得a1＝d＝1．所以a n＝n．（2）选①时，b n＝a n•2n＝n•2n，所以①，②，①﹣②得：，整理得．选②时，b n＝|n﹣10|，当n≤10时，b n＝n﹣10，所以．当n＞10时，S n＝（9+8+…+0）+[1+2+…+（n﹣10）]＝，所以．选③时，，所以．19．已知点P（x，y）到定点F（0，）的距离与它到定直线l：y＝的距离的比是常数，点P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）设点Q（m，0）（m＞1），若|PQ|的最大值为，求实数m的值．【分析】（1）由题意列关于x，y的等式，整理可得曲线E的方程；（2）写出两点间的距离公式，利用配方法对m分类讨论求最值．解：（1）根据题意可得，，化简得，∴曲线E的方程为；（2）＝，①当，即m＞2 时，，解得（舍）；②当，即1＜m≤2 时，，解得．综上所述，实数m的值为．20．2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成．在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润0.15万元．若进行技术指导，养羊的投资减少了x（x＞0）万元，且每万元创造的利润变为原来的（1+0.25x）倍．现将养羊少投资的x万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为0.15（a﹣0.875x）万元，其中a＞0．（1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围；（2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a的最大值．【分析】（1）直接由题意列不等式，求解得答案；（2）写出网店销售利润及技术指导后养羊的利润，列不等式，分离参数a，再由基本不等式求得a的范围，即可得到a的最大值．解：（1）由题意，得0.15（1+0.25x）（10﹣x）≥0.15×10，整理得：x2﹣6x≤0，解得0≤x≤6，又x＞0，故0＜x≤6．∴x的取值范围是（0，6]；（2）由题意知，网店销售利润为0.15（a﹣0.875x）x万元，技术指导后，养羊的利润为0.15（1+0.25x）（10﹣x）万元，则0.15（a﹣0.875x）x≤0.15（1+0.25x）（10﹣x）恒成立，又0＜x＜10，∴a，又，当且仅当x＝4时等号成立，∴0＜a≤6.5，即a的最大值为6.5．21．如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD ＝2AB＝2BC＝2，PA＝1，∠ABC＝90°．（1）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）在线段PB上是否存在点E，使得二面角E﹣AC﹣P的余弦值？若存在，指出点E的位置；若不存在，说明理由．【分析】（1）以A为原点建立空间直角坐标系，求得平面PCD的法向量，设直线PB 与平面PCD所成的角为α，由sinα＝|cos＜，＞|，得解；（2）设＝λ，λ∈[0，1]，写出点E的坐标，求得平面ACE和平面PAC的法向量和，由|cos＜，＞|＝，可得关于λ的方程，解之即可．解：（1）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），C（1，1，0），P（0，0，1），∴＝（﹣1，﹣1，1），＝（﹣1，1，0），＝（1，0，﹣1），设平面PCD的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝1，z＝2，∴＝（1，1，2），设直线PB与平面PCD所成的角为α，则sinα＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．（2）假设线段PB上存在点E，使得二面角E﹣AC﹣P的余弦值，设＝λ，λ∈[0，1]，则E（λ，0，1﹣λ），∴＝（λ，0，1﹣λ），＝（1，1，0），＝（0，0，1），设平面ACE的法向量为＝（x1，y1，z1），则，即，令z1＝λ，则x1＝λ﹣1，y1＝1﹣λ，∴＝（λ﹣1，1﹣λ，λ），同理可得，平面PAC的法向量＝（1，﹣1，0），∵二面角E﹣AC﹣P的余弦值，∴|cos＜，＞|＝||＝||＝，化简得，3λ2﹣8λ+4＝0，解得λ＝或2（舍），故存在点E满足题意，且E为PB上靠近点B的三等分点．22．已知A，B分别是双曲线E：x2﹣＝1的左，右顶点，直线l（不与坐标轴垂直）过点N（2，0），且与双曲线E交于C，D两点．（1）若＝3，求直线l的方程；（2）若直线AC与BD相交于点P，求证：点P在定直线上．【分析】（1）设直线l的方程为x＝my+2，与双曲线的方程联立，设C（x1，y1），D（x2，y2），运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得m，进而得到所求直线方程；（2）分别求得直线AC，BD的方程，联立方程计算，结合y1y2＝﹣（y1+y2），化简可得所求定直线．解：（1）设直线l的方程为x＝my+2，设C（x1，y1），D（x2，y2），由可得（4m2﹣1）y2+16my+12＝0，则y1+y2＝﹣，y1y2＝，＝（2﹣x1，﹣y1），＝（x2﹣2，y2），由＝3，可得y1＝﹣3y2，即有y2＝①，﹣3y22＝②，将①代入②可得﹣3（）2＝，解得m2＝，即m＝±，可得直线l的方程为2x﹣y﹣4＝0或2x+y﹣4＝0；（2）证明：由A（﹣1，0），B（1，0），可得直线AC的方程为y＝（x+1），直线BD的方程为y＝（x﹣1），设直线AC与BD的交点为P，故（x+1）＝（x﹣1），即（x+1）＝（x﹣1），进而得到＝，又y1y2＝﹣（y1+y2），故＝＝＝﹣3，解得x＝，故点P在定直线x＝上．。

}
通项公式为
一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一
已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则
．若，则．以为直径的圆与准线相切
．设，则
．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有
已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为
一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一
设半径为，圆心为，圆方程为：代入双曲线方程，得，要使清洁球到达底部，.
二、多项选择题：本题共4
已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则
．若，则．以为直径的圆与准线相切
．设，则
．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有
已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为。

1．已知椭圆 x2 y2 1 上的点 P 到椭圆一个焦点的距离为 7，则 P 到另一焦点的距离为（ ） 25 16
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】B 2．过点 P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1 的切线，则切线方程为( )
A．3x＋4y－4＝0
B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2 或 4x－3y＋4＝0 D．y＝4 或 3x＋4y－4＝0
49
D．三角形外接圆面积为
3
11．在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到两个定点 F1(1, 0) 和 F2 (1, 0) 的距离之积等于 8，记点 P 的
轨迹为曲线 E ，则（ ） A．曲线 E 经过坐标原点 C．曲线 E 关于 y 轴对称
B．曲线 E 关于 x 轴对称
D．若点 x, y 在曲线 E 上，则 3 ≤ x ≤ 3
19.（12 分）已知抛物线 E 上的焦点为 F (0,1) . （1）求抛物线 E 的标准方程；
3
（2）过 F 作斜率为 k 的直线 l 交曲线 E 于 A 、 B 两点，若 BF 3FA ，求直线 l 的方程.
20．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 的焦点为 0, 3 、 0, 3 ，实轴长为 2 2 .
7．在 ABC 中，角 A, B,C 所对应的边分别为 a, b, c ，已知 b cos C c cos B 2b ，则 a ( ) b
1
A． 2 3
B．2
C． 2
D．1
8．如图，椭圆 C : x2 y 2 1 的右顶点为 A，上顶点为 B，动直线 l 交椭圆 C 于两点，且始终满足 4 uuur uuur
4 3
y2
2y 1
4 3

江苏省泰州中学2020-2021学年高二数学上学期期中模拟检测试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.命题21,0:<+>∃aa a p ，则p 的否定为（ ） A ．21,0<+<∀a a a B ．21,0≥+<∃a a a C ．21,0<+>∀aa aD ．21,0≥+>∀aa a 2。

若双曲线C:22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．3。

已知关于x 不等式0ax b ->的解集为(),1-∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-解集为（ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()(),12,-∞-+∞D ．()(),21,-∞-⋃+∞4。

已知椭圆错误!＋错误!＝1（a >b 〉0)的左焦点为F ,右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若错误!＝错误!错误!，则椭圆的离心率是（ ）A 。

错误! B. 错误! C. 错误! D. 错误! 5。

在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x （1﹣y )．若不等式(x ﹣a ）⊗(x +1）＜1对任意实数x 成立，则（ ) A ．﹣1＜a ＜1B ．﹣2＜a ＜0C ．0＜a ＜2D ．﹣2＜a ＜26.在公比为q的正项等比数列{a n}中，4a＝1，则当262a a+取得最小值时，2log q等于（)A．B．﹣C．D．﹣7.在正项等比数列{a n}中，a1＝1，前三项的和为7,若存在m，n∈N＊使得，则14m n+的最小值为（)A．B．C．32D．548。

已知数列{a n｝的首项a1＝1，前n项的和为S n,且满足2a n＋1＋S n＝2(n∈N＊)，则满足错误!＜错误!＜错误!的n的最大值为（）．A。

2021年高二上学期10月份测试数学试题 含答案（本试卷考试时间120分钟，满分160分，请将答案做在答题卡上）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.直线的倾斜角为 ▲ ．2. 焦点在轴上的椭圆m x2＋4y2＝1的焦距是2，则m 的值是____▲____．3.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点____▲___．4. 从点引圆的切线，则切线长是 ▲ ．5. 若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆25x2＋9y2＝1上一点，则三角形PF 1F 2的周长等于 ▲ ．6. 圆，圆，则这两圆公切线的条数为 ▲ ．7. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 ▲ ．8. 圆关于直线对称的圆的标准方程是 ▲ .9. 已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为 ▲ ．10. 圆，则圆上到直线距离为3的点共有▲ 个．11. 在平面直角坐标系中，若直线与圆心为的圆相交于，两点，且为直角三角形，则实数的值是 ▲ ．12. 已知椭圆，点依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 与直线 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为____▲ __.13. 已知圆，点在直线上，为坐标原点.若圆上存在点使得，则的取值范围为 ▲ ．14. 若对于给定的负实数，函数的图象上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点的距离为2，则的取值范围为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.（本小题满分14分）已知直线和．问：m 为何值时，有：（1）；（2）．16.（本小题满分14分）已知椭圆818x2＋36y2＝1上一点，且，．（1）求的值；（2）求过点M 且与椭圆9x2＋4y2＝1共焦点的椭圆的方程．17.（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，己知点，，、分别为线段，上的动点，且满足.（1）若，求直线的方程;（2）证明：的外接圆恒过定点（异于原点）.18.（本小题满分15分）在一个特定时段内，以点为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点正北55海里处有一个雷达观测站.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过40分钟又测得该船已行驶到点北偏东(其中，)且与点相距海里的位置.（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.19.（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆经过，，三点，是线段上的动点，、是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于、两点．（I）若，求直线的方程；（II）若是使恒成立的最小正整数，求三角形的面积的最小值．20.（本小题满分16分）已知函数,．（1）当时，求的最小值；（2）若函数图象上的点都在不等式组表示的平面区域内，求实数的取值范围；（3）若函数在上有零点，求的最小值.10月份测试数学参考答案1. 2.5 3. (0,2) 4.3 5.18 6.2 7.或8.9.10.3 11. －1 12.13.14.15.解：（1）∵，∴，得或；当m＝4时，l1：6x＋7y－5＝0，l2：6x＋7y＝5,即l1与l2重合，故舍去．当时，即∴当时，．（2）由得或；∴当或时，．16.解：(1)把M的纵坐标代入8x281＋y236＝1，得8x281＋436＝1，即x2＝9.∴x＝±3.故M的横坐标.(2)对于椭圆x29＋y24＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x2a2＋y2a2－5＝1(a2>5)，把M点坐标代入得9a2＋4a2－5＝1，解得a2＝15(a2＝3舍去)．故所求椭圆的方程为x215＋y210＝1.17. 解：（1）因为，所以，又因为，所以，所以，由，得，所以直线的斜率，所以直线的方程为，即．（2）设，则．则，因为，所以，所以点的坐标为又设的外接圆的方程为，则有解之得,,所以的外接圆的方程为，整理得，令，所以（舍）或所以△的外接圆恒过定点为．18.解：（I）如图，AB=40，AC=10，由于0<<,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行驶速度为（海里/小时）.（II）如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1=AB=40, x2=AC cos,y2=AC sin.所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域.19.解：（I）由题意可知，圆C的直径为A D，所以，圆C方程为：．当直线垂直于轴时，方程为，不合题意；当直线不垂直于轴时，设方程为：，则，解得，，当时，直线与y轴无交点，不合，舍去．所以，此时直线的方程为．（II）设，由点M在线段A D上，得，即．由AM≤2ＢM，得．依题意知，线段A D与圆至多有一个公共点，故，解得或．因为t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，所以，t=4．所以，圆C方程为：（1）当直线：时，直线的方程为，此时，；（2）当直线的斜率存在时，设的方程为：（），则的方程为：，点．所以，．又圆心Ｃ到的距离为，所以，PQ==故12EPQS BE PQ=⋅==．因为所以，．20.解：（1）（2）由题意可知，在上恒成立，把根式换元之后容易计算出；（3）422()()(1)1h x x f x x bx⎡=++++⎣=0，即，令,方程为，设，，当，即时，只需，此时，；当，即时，只需，即，此时．故的最小值为．20466 4FF2 俲Y22614 5856 塖 25824 64E0 擠NPy36818 8FD2 迒Xr21190 52C6 勆27888 6CF0 泰31013 7925 礥。

1江苏省泰州中学2021-2022学年度第一学期高二年级期中质量检测数学试题一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

130y -+=的倾斜角是 ( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．150︒2．抛物线上一点到其焦点的距离为3．则抛物线的方程为 A ．B ．C ．D ．3．已知双曲线的一个焦点为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．4．圆221:260O x y x y +-+=和圆222:60O x y x +-=的公共弦AB 的垂直平分线的方程是 ( ) A ．2330x y -+=B ．2350x y --=C ．3290x y --=D ．3270x y -+=5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用周长为72的矩形截某圆锥得到椭圆，且与矩形的四边相切．设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线的右焦点为，若以为坐标原点）为直径的圆被双曲线的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为2:2C y px =0(1,)y C ()24y x =28y x =212y x =216y x =221(0)y x m m +=≠(3,0)F ()y =±y =2y x =±12y x =±ABCD ττABCD τ22221(0)x y a b a b +=>>()2218116x y +=2211681x y +=22110064x y +=22164100x y +=2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>F (OF O C C C ()2ABC ．D ．27．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为A ．2B C ． D 8．在直角坐标系xOy 中，已知直线:cos sin 1l x y θθ⋅+⋅=，当θ变化时，动直线始终没有经过点P ．定点Q 的坐标(2,0)-，则||PQ 的取值范围为 ( ) A ．[0，2] B ．(0,2)C ．[1，3]D ．(1,3)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月月考考试数学试卷一、选择题1. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1>0”是“S2021>0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. 已知函数f(x)=x2−2x对任意的x∈R，不等式f(x)>−mx−1恒成立，则m的取值范围是（）A.[−2,1]B.(−1,0)C.(0,4)D.[1,5)3. 《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（）A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺4. 已知a>0,b>0，且3a+4b=7，则9a+3b +42a+b的最小值为（）A.43 12B.4112C.257D.2375. 已知F1，F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.(√22, 1) B.(12, 1) C.(0, √22) D.(0, 12)6. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n为数列{a n}的前n项和，则2S n+16a n+3的最小值为()A.3B.4C.2√3−2D.92二、多选题若椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和椭圆C2:x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)的离心率相同，且a1>a2，则下列结论正确的是（）A.椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点B.a1 a2=b1b2C.a12−a22<b12−b22D.a1−a2<b1−b2对于数列{a n}，若存在正整数k(k≥2)，使得a k<a k−1，a k<a k+1，则称a k是数列{a n}的“谷值”，k是数列{a n}的“谷值点”，在数列{a n}中，若a n=|n+9n−8|，则数列{a n}的“谷值点”为( )A.2B.3C.5D.7三、填空题已知“x2−x−2>0”是“2x+p>0”的必要条件，则实数p的取值范围是________．已知关于x的不等式x2−3ax+2a2<0的解集为{x|1<x<2}，则实数a的值为________.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=12(a n+1a n)，则S10=________.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)恒过定点A(1, 2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值________．四、解答题已知两个等差数列{a n}，{b n}，其中a1=1，b1=6，b3=0，记{a n}前n项和为T n，T n=n22+n2．(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)记c n=a n+b n，设S n=|c1|+|c2|+|c3|+⋯+|c n|，求S n．如图，已知椭圆的两个焦点为F1(−1,0)，F2(1,0),P为椭圆上一点，且2F1F2=PF1+ PF2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P在第二象限，∠F2F1P=120∘，△PF1F2的面积．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月月考考试数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断等比数列的前n项和【解析】【解答】解：由于数列{a n}是等比数列，所以S n=a1⋅1−q n1−q.由于1−q n1−q >0，所以S2021=a1⋅1−q20211−q>0⇔a1>0,所以“a1>0”是S2021>0的充要条件．故选C.2.【答案】C【考点】一元二次不等式与一元二次方程不等式恒成立问题【解析】将问题转化为一元二次不等式恒成立的问题，根据台的大小进行求解．【解答】解：因为f(x)=x2−2x，故不等式f(x)>−mx−1恒成立，等价于x2+(m−2)x+1>0恒成立，故只需Δ=(m−2)2−4<0，解得m∈(0,4)．故选C．3.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．【解答】解：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{a n}，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，∴ {a 1+(a 1+3d)+(a 1+6d)=31.5,S 9=9a 1+9×82d =85.5,解得a 1=13.5，d =−1，∴ 小满日影长为a 11=13.5+10×(−1)=3.5（尺）． 故选C . 4. 【答案】 C【考点】基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为a >0,b >0，且3a +4b =7， 所以9a+3b +42a+b=17[(a +3b)+(2a +b)](9a +3b +42a +b ) =17[13+9(2a+b )a+3b +4(a+3b )2a+b ]≥257，当且仅当9(2a+b )a+3b=4(a+3b )2a+b，即a =2125，b =2825时，等号成立．故选C. 5.【答案】 A【考点】 椭圆的离心率平面向量数量积的运算 【解析】由∠F 1PF 2为钝角，得到PF 1→⋅PF 2→<0有解，转化为c 2>x 02+y 02有解，求出x 02+y 02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围． 【解答】解：设P(x 0, y 0)，则|x 0|<a ， 又F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，又∠F 1PF 2为钝角，当且仅当PF 1→⋅PF 2→<0有解，即(−c −x 0, −y 0)⋅(c −x 0, −y 0)=(−c −x 0)(c −x 0)+y 02<0，即有c 2>x 02+y 02有解，即c 2>(x 02+y 02)min ． 又y 02=b 2−b 2a 2x 02，∴ x 02+y 02=b 2+c 2a 2x 02∈[b 2, a 2)， 即(x 02+y 02)min =b 2．故c 2>b 2，c 2>a 2−c 2，∴c 2a2>12，即e >√22. 又0<e <1， ∴√22<e <1.故选A ． 6. 【答案】 B【考点】 等比中项等差数列的前n 项和【解析】a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1=1，可得：a 32=a 1a 13，即(1+2d)2=1+12d ，d ≠0，解得d ．可得a n ，S n ．代入2S n +16a n +3利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值． 【解答】解：∵ a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1=1，∴ a 32=a 1a 13，∴ (1+2d)2=1+12d ，d ≠0， 解得d =2，∴ a n =1+2(n −1)=2n −1， S n =n +n(n−1)2×2=n 2， ∴2S n +16a n +3=2n 2+162n+2=(n +1)2−2(n +1)+9n +1=n +1+9n +1−2≥2√(n +1)×9n+1−2=4，当且仅当n +1=9n+1时取等号，此时n =2，且2S n +16a n +3取到最小值4.故选B ． 二、多选题【答案】 A,B【考点】不等式性质的应用 椭圆的离心率椭圆的定义和性质 椭圆的标准方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：依题意，e =c 1a 1=c 2a 2，即√1−(b 1a 1)2=√1−(b2a2)2，所以b1a 1=b2a 2，所以a1a 2=b1b 2，因此B 正确；又a 1>a 2，所以椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点，因此A 正确； 设b 1a 1=b 2a 2=m ，其中0<m <1，则有(a 12−b 12)−(a 22−b 22)=(1−m 2)(a 12−a 22)>0，即有a 12−b 12>a 22−b 22，则a 12−a 22>b 12−b 22，因此C 错误； (a 1−b 1)−(a 2−b 2)=(1−m)⋅(a 1−a 2)>0，即有a 1−b 1>a 2−b 2，则a 1−a 2>b 1−b 2，因此D 错误． 故选AB ． 【答案】 A,D【考点】 数列的应用 【解析】根据数列的通项公式，求得a 1到a 8，利用定义即可判断． 【解答】解：由a n =|n +9n −8|，得a 1=2，a 2=32，a 3=2，a 4=74，a 5=65，a 6=12，a 7=27，a 8=98， ∴ 2，7是数列{a n }的“谷值点”， 3，5不是数列{a n }的“谷值点”. 故选AD . 三、填空题【答案】 (−∞, −4] 【考点】根据充分必要条件求参数取值问题 【解析】利用不等式的性质，结合必要条件的定义即可得到结论． 【解答】解：由2x +p >0，得x >−p2，令A ={x|x >−p2}.由x 2−x −2>0，解得x >2或x <−1，令B ={x|x >2或x <−1}， 由题意知A ⊆B ， 即−p2≥2，解得p ≤−4，∴ 实数p 的取值范围是(−∞, −4]． 故答案为：(−∞, −4]． 【答案】 1【考点】一元二次不等式的解法 【解析】本题主要考查一元二次不等式的解法的应用． 【解答】解：因为关于x 的不等式x 2−3ax +2a 2<0的解集为{x|1<x <2}， 所以方程x 2−3ax +2a 2=0的两根是1，2， 所以{1−3a +2a 2=0,4−6a +2a 2=0,解得a =1． 故答案为：1． 【答案】 √10【考点】 数列的求和 等差关系的确定 等差数列的通项公式 【解析】本题考查等差数列的判断． 【解答】解：当n =1时，S 1=12(a 1+1a1)=a 1，解得a 1=1，S 1=1，当n ≥2时S n =12(S n −S n−1+1Sn −S n−1)，整理可得S n 2−S n−12=1，∴ S n 2是首项为1，公差为1的等差数列，∴ S n 2=1+(n −1)×1=n . ∵ {a n }是正项数列，∴ S n =√n ，∴ S 10=√10． 故答案为：√10． 【答案】√5+2 【考点】椭圆的准线方程 椭圆的标准方程 【解析】根据椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)恒过定点A(1, 2)，可得1a 2+4b 2=1，利用椭圆几何量之间的关系，设a 2c =1t ，等式可转化为t 2a 4−(t 2+1)a 2+5＝0，利用判别式，即可求得椭圆的中心到准线的距离的最小值．解：设椭圆的焦距为2c ，同时可设a 2c=1t，∴ c =ta 2，∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)恒过定点A(1, 2)， ∴1a2+4b 2=1，∴ b 2+4a 2=a 2b 2，∴ 5a 2−c 2=a 2(a 2−c 2)，∴ 5a 2−(ta 2)2=a 2[a 2−(ta 2)2]， ∴ t 2a 4−(t 2+1)a 2+5=0，∴ Δ=(t 2+1)2−20t 2≥0时，方程有解， ∴ t 2−2√5t +1≥0，∴ t ≥√5+2，或0<t ≤√5−2， ∴ 0<1t ≤√5−2，或1t ≥√5+2，∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)恒过定点A(1, 2)， ∴ 椭圆的中心到准线x =a 2c>1，∴ 椭圆的中心到准线的距离的最小值√5+2. 故答案为：√5+2. 四、解答题 【答案】 解：(1)由T n =n 22+n2，得当n ≥2时，a n =T n −T n−1=n 22+n2−(n−1)22−n−12=n ，a 1=1适合上式，则a n =n .由b 1=6，b 3=0，得公差d =b 3−b 13−1=0−62=−3，则b n =6+(n −1)×(−3)=9−3n . (2)由(1)知，c n =a n +b n =9−2n ， |c n |={9−2n,1≤n ≤4,2n −9,n >4.当1≤n ≤4时，S n =n ×7+9−2n2=8n −n 2；当n >4时，S n =(7+5+3+1)+1+2n−92×(n −4)=n 2−8n +32．∴ S n ={8n −n 2,1≤n ≤4,n 2−8n +32,n >4.【考点】 数列的求和等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式（1）由T n =n 22+n2，结合a n ＝T n −T n−1求得n ≥2时的通项公式，验证a 1＝1适合，即可求解a n ；由b 1＝6，b 3＝0，得公差d ，再由等差数列的通项公式可得{b n }的通项公式； （2）由（1）知，c n ＝a n +b n ＝9−2n ，分类写出|c n |，然后分类利用等差数列的前n 项和求S n ． 【解答】 解：(1)由T n =n 22+n2，得当n ≥2时，a n =T n −T n−1=n 22+n2−(n−1)22−n−12=n ，a 1=1适合上式，则a n =n .由b 1=6，b 3=0，得公差d =b 3−b 13−1=0−62=−3，则b n =6+(n −1)×(−3)=9−3n . (2)由(1)知，c n =a n +b n =9−2n ， |c n |={9−2n,1≤n ≤4,2n −9,n >4.当1≤n ≤4时，S n =n ×7+9−2n2=8n −n 2；当n >4时，S n =(7+5+3+1)+1+2n−92×(n −4)=n 2−8n +32．∴ S n ={8n −n 2,1≤n ≤4,n 2−8n +32,n >4.【答案】解：(1)设椭圆的标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦距为2c ， 由题意知c =1，F 1F 2=2，所以4=PF 1+PF 2=2a ，所以a =2， 所以b 2=a 2−c 2=4−1=3， 所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.(2)在△PF 1F 2中，PF 2=2a −PF 1=4−PF 1．由余弦定理，得PF 22=PF 12+F 1F 22−2PF 1⋅F 1F 2cos 120∘，即(4−PF 1)2=PF 12+4+2PF 1，所以PF 1=65,所以S △PF 1F 2=12F 1F 2⋅PF 1⋅sin 120∘=12×2×65×√32=3√35．【考点】圆锥曲线的综合问题 椭圆的标准方程 余弦定理 正弦定理 【解析】【解答】解：(1)设椭圆的标准方程x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦距为2c，由题意知c=1，F1F2=2，所以4=PF1+PF2=2a，所以a=2，所以b2=a2−c2=4−1=3，所以椭圆的标准方程为x 24+y23=1.(2)在△PF1F2中，PF2=2a−PF1=4−PF1．由余弦定理，得PF22=PF12+F1F22−2PF1⋅F1F2cos120∘，即(4−PF1)2=PF12+4+2PF1，所以PF1=65,所以S△PF1F2=12F1F2⋅PF1⋅sin120∘=12×2×65×√32=3√35．试卷第11页，总11页。

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2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试数学试卷一、选择题1. 数列{a n }，若a 1=3，a n+1−a n =2，则a 5= ( ) A.9 B.13 C.10 D.112. 数列−12，14，−18，116，⋯的一个通项公式是( ) A.−12nB.(−1)n 2nC.(−1)n+12nD.(−1)n 2n−13. 若a <b <0，那么下列不等式中正确的是( ) A.√−a <√−b B.a 2>ab C.1a<1bD.a 2<b 24. 数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，则a n =( ) A.n 2−n +1 B.n 2+1C.(n −1)2+1D.2n5. “x =1是x 2−4x +3=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6. 设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ，若{a n }是单调递增数列，则b 的取值范围为（ ） A.(−1,+∞) B.[−2,+∞) C.(−3,+∞)D.(−92,+∞)7. 若正实数a ，b 满足a +4b =ab ，则a +9b 的最小值为( ) A.9 B.12 C.25 D.368. 在数列{a n }及{b n }中，a n+1=a n +b n +√a n 2+b n 2，b n+1=a n +b n −√a n 2+b n 2，a 1=1，b 1=1．设c n =2n (1an+1b n)，数列{c n }的前n 项和为S n ，则S 2020=（ ）A.22020−4B.22021−4C.22022−4D.22023−4二、多选题设计如图所示的四个电路图，若p ：开关S 闭合；q ：灯泡L 亮，则p 是q 的充要条件的电路图是( )A.B.C. D.下列各选项中，最大值是12的是（ ） A.y =x 2+116x 2B.y =x√1−x 2，x ∈[0,1]C.y =x 2x 4+1D.y =x +4x+2，(x >−2)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n+1=2S n (n ∈N ∗)，则下面正确的有（ ） A.S n =3n−1 B.{S n }为等比数列 C.a n =3n−1 D.{a n }为等比数列已知x +y =1，y >0，x ≠0，则12|x|+|x|y+1的值可能是（ ） A.12B.14C.34D.54三、填空题如果关于x 的不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切实数x 恒成立，则a 的取值范围是________.命题“∀x ≥2，x 2≥4”的否定是________．已知数列{a n }中， a 1=1，a n+1=2a n +3n +1，则a n =____________.设x，y是正实数，且x+y=1，则x2x+2+y2+1y+1的最小值是________.四、解答题已知数列{a n}为等差数列，a1+a2=0，a4+a5+a6=21.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n+1a n+2，求数列{b n}的前n项和T n.设p:x|x−1|≤2，q:x2−(3m−1)x−3m<0.(1)解不等式：x|x−1|≤2；(2)若p是q成立的必要不充分条件，求m的取值范围．已知函数f(x)=x2+2(1+k)x+3+k(k∈R).(1)若对∀x∈R，f(x)>0，求k的取值范围；(2)若∃k∈[−1,0],f(x)≤3，求x的取值范围．在①a5=b4+2b6，②a3+a5=4(b1+b4)，③b2S4=5a2b3三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设{a n}是公比大于0的等比数列，其前n项和为S n，{b n}是等差数列．已知a1=1，S3−S2=a2+2a1，a4=b3+b5，________．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)设T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+a n b n，求T n．为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第n年需要付出的超市维护和工人工资等费用为a n万元，已知{a n}为等差数列，相关信息如图所示．(1)求a n；(2)该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是多少？已知数列{a n}中，a2=p（P是不等于0的常数），S n为数列{a n}的前n项和，若对任意的正整数n都有S n=n(a n−a1)2.(1)证明：求a n；(2)记b n=S n+2S n+1+S n+1S n+2，求数列{b n}的前n项和T n；(3)记c n=T n−2n，是否存在正整数m，使得当n>m时，恒有c n∈(52,3)？若存在，证明你的结论，并给出一个具体的m值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试数学试卷一、选择题 1.【答案】 D【考点】等差关系的确定 等差数列的通项公式【解析】由题意得到数列{a n }为等差数列，其首项为3，公差为2，利用等差数列通项请假记录. 【解答】解：由a 1=3，a n+1−a n =2可得：数列{a n }为等差数列，其首项为3，公差为2， ∴ a n =3+2(n −1)=2n +1， ∴ a 5=11. 故选D . 2. 【答案】 B【考点】数列的概念及简单表示法 【解析】根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用(−1)n−1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式． 【解答】解：由已知中数列−12，14，−18，116，⋯可得数列各项的绝对值是一个以−12为首项，以−12公比的等比数列， 又∵ 数列所有的奇数项为负，偶数项为正， 故可用(−1)n−1来控制各项的符号， 故数列−12，14，−18，116，⋯的一个通项公式为(−1)n 2.故选B . 3.【答案】 B【考点】不等式的基本性质 【解析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．【解答】解：对于A ，∵ a <b <0，∴ −a >−b >0，∴ √−a >√−b >0，因此A 不正确； 对于B ，∵ a <b <0，∴ a 2>ab ，因此B 正确； 对于C ，∵ a <b <0，∴ 1a >1b ，因此C 不正确； 对于D ，∵ a <b <0，∴ a 2>b 2，因此D 不正确． 故选B . 4.【答案】 A【考点】 数列递推式 【解析】数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，移项可得，a n+1−a n =2n ，进行叠加，从而求出a n ； 【解答】解：数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ， ∴ a n+1−a n =2n ， a 2−a 1=2， a 3−a 2=4， ⋯a n+1−a n =2n ， 进行叠加可得，a n+1−a 1=2+4+6+⋯+2n =n(2+2n)2=n(n +1)，∴ a n+1=1+n(n +1)，∴ a n =n(n −1)+1=n 2−n +1. 故选A . 5.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性和必要性，从而得到答案． 【解答】解：若x =1，则x 2−4x +3=0，是充分条件， 若x 2−4x +3=0，则x =1或x =3，不是必要条件. 故选A ． 6.【答案】 C【考点】数列的函数特性 【解析】此题暂无解析【解答】解析：∵{a n}递增，∴a n+1−a n>0，∴(n+1)2+b(n+1)−(n2+bn)>0，∴2n+1+b>0，∴b>−2n−1(n∈N∗)，∴b>(−2n−1)max=−3，即b>−3．故选C.7.【答案】A【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】由题意得到4a +1b=1，则a+b=(a+b)(4a+1b)，利用基本不等式求解即可.【解答】解：∵a>0，b>0，a+4b=ab，∴4a +1b=1，∴a+b=(a+b)(4a +1b)=5+4ba +ab≥5+2√4ba⋅ab=9，当且仅当4ba =ab，即a=6，b=3时等号成立.故a+b的最小值为9.故选A.8.【答案】C【考点】数列递推式等比数列的前n项和【解析】首先利用关系式的组合求出数列{a n+b n}是以a1+b1＝2，以2为公比的等比数列，数列{a n b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，进一步求出数列{c n}的通项公式，最后求出数列的和．【解答】解：∵a n+1=a n+b n+√a n2+b n2，b n+1=a n+b n−√a n2+b n2，a1=1，b1=1，∴a n+1+b n+1=2(a n+b n)，a1+b1=2.∴a n+b n=2n．另一方面：a n+1b n+1=(a n+b n)2−(a n2+b n2)=2a n b n，∴a n b n=2n−1．∴c n=2n(1a n+1b n)=2n⋅a n+b na nb n=2n⋅2n2n−1=2n+1，则数列{c n}的前n项和=4(2n−1)2−1=2n+2−4.所以S2020=22022−4，故选C.二、多选题【答案】B,D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：由题知，A，电路图中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；B，电路图中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；C，电路图中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；D，电路图中，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S闭合，故D中p是q的充要条件.故选BD.【答案】B,C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用基本不等式的性质即可判断出结论．【解答】解：A，y=x2+116x2≥2√116=12，当且仅当x=±12时取等号，y的最小值是12，无最大值；B，y2=x2(1−x2)≤(x2+1−x22)2=14，y≥0，∴y≤12，当且仅当x=√22时取等号，∴y的最大值为12；C，x=0时，y=0．x≠0时，y=1x2+1x2≤12，当且仅当x=±1时取等号，y的最大值为12；D，y=x+2+4x+2−2≥2√(x+2)⋅4x+2−2=2，(x>−2)，当且仅当x=0时取等号，y的最小值为2，无最大值.故选BC.【答案】A,B【考点】数列递推式等比关系的确定【解析】首先求出S n，再求a n，即可判断.【解答】解：∵a n+1=2S n(n∈N∗)，∴S n+1−S n=2S n，即S n+1=3S n，又：S1=a1=1≠0，∴{S n}是首项为1，公比为3的等比数列，故B正确；∴S n=3n−1，故A正确；当n≥2时，a n=S n−S n−1=3n−1−3n−2=2×3n−2，又当n=1时，不符合上式，∴a n={1，n=1，2×3n−2， n≥2.故CD错误.故选AB.【答案】C,D【考点】基本不等式及其应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据条件利用消元法，转化为关于x的式子，利用基本不等式的性质即可求出式子的最值．【解答】解：由x+y=1，y>0得y=1−x>0，解得x<1且x≠0，①当0<x<1时，12|x|+|x|y+1=12x+xy+1，=12x +x2−x=x+2−x4x+x2−x，=14+(2−x4x+x2−x)≥14+2×12=54，当且仅当2−x4x =x2−x即x=23时取等号；②当x<0时，12|x|+|x|y+1=−(12x+xy+1)，=−(12x+x2−x)=2−x+x−4x+−x2−x=−14+(2−x−4x+−x2−x)≥−14+1=34，当且仅当2−x−4x=−x2−x即x=−2时取等号．综上可得，原式最小值34，可能值为34，54.故选CD.三、填空题【答案】(−2,2]【考点】函数恒成立问题一元二次不等式与二次函数一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：设f(x)=(a−2)x2+2(a−2)x−4，当a−2>0即a>2时，函数为开口向上的抛物线，显然不合题意；当a−2=0即a=2时，不等式变为−4<0，恒成立；当a−2<0即a<2时，函数为开口向下的抛物线，要使(a−2)x2+2(a−2)x−4<0恒成立，即要Δ<0，即4(a−2)2+16(a−2)<0，化简得：4(a+2)(a−2)<0，解得：−2<a<2．综上，使不等式恒成立的a的取值范围是(−2, 2]．故答案为：(−2, 2].【答案】∃x0≥2，x02<4【考点】命题的否定【解析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是：∃x0≥2，x02<4．故答案为：∃x0≥2，x02<4．【答案】3n−2n−1−1【考点】数列递推式等比数列的通项公式【解析】利用递推关系，构造等比数列，即可求出通项公式.【解答】解：由递推关系得，a n+1+1=2(a n+1)+3n，所以a n+1+1−3n+1=2(a n+1−3n)，而a1+1−31=−1≠0，则数列{a n+1−3n}是以−1为首项，2为公比的等比数列，所以a n+1−3n=−2n−1，故a n=3n−2n−1−1.故答案为：3n−2n−1−1.【答案】√2−1 2【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：令x+2=m，y+1=n，则x=m−2，y=n−1，∵x，y均为正实数，且x+y=1，∴m>2且n>1,(m−2)+(n−1)=1，即m+n=4，∴x2x+2+y2+1y+1=(m−2)2m+(n−1)2+1n=m2−4m+4m+n2−2n+2n=m+4m−4+n+2n−2=(m+n)+4m+2n−6=4m+2n−2=m+nm+m+n2n−2=(1+nm)+(m2n+12)−2=nm+m2n−12≥2√nm⋅m2n−12=√2−12，当且仅当nm =m2n时取等号，∴x2x+2+y2+1y+1取得最小值是√2−12.故答案为：√2−12.四、解答题【答案】解：(1)设数列{a n}的公差为d．由{a1+a2=0,a4+a5+a6=21,得{2a1+d=0,3a1+12d=21,解得{a1=−1,d=2,故a n=a1+(n−1)d=−1+(n−1)×2=2n−3.(2)b n=1a n+1a n−2=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)所以T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−3−12n−1+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设数列{a n}的公差为d．由{a1+a2=0,a4+a5+a6=21,得{2a1+d=0,3a1+12d=21,解得{a1=−1,d=2,故a n=a1+(n−1)d=−1+(n−1)×2=2n−3.(2)b n=1a n+1a n−2=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)所以T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−3−12n−1+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【答案】解：(1)当x≤0，不等式显然成立；当x≥1时，不等式可化为x2−x−2≤0⇒−1≤x≤2，即1≤x≤2；当x<1时，不等式可化为x2−x+2≥0，由于x2−x+2=(x−12)2+74>0，则当x<1时，不等式可化为x2−x+2≥0恒成立.综上，不等式的解集为{x|x≤2}．(2)令p的解集为A，q的解集为B，由(1)知A={x|x≤2}，由题意知B⊆A.方程x2−(3m−1)x−3m=0的两根为−1和3m.当−1=3m，即m=−13时，B=⌀，B⊆A显然成立；当−1>3m，即m<−13时，B={x|3m<x<−1}，B⊆A显然成立；当−1<3m ，即m >−13时，B ={x|−1<x <3m }，要使B ⊆A 成立，则3m ≤2，即m ≤23. 综上m ≤23．【考点】根据充分必要条件求参数取值问题 绝对值不等式的解法与证明【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当x ≤0，不等式显然成立；当x ≥1时，不等式可化为x 2−x −2≤0⇒−1≤x ≤2，即1≤x ≤2； 当x <1时，不等式可化为x 2−x +2≥0， 由于x 2−x +2=(x −12)2+74>0，则当x <1时，不等式可化为x 2−x +2≥0恒成立. 综上，不等式的解集为{x|x ≤2}． (2)令p 的解集为A ，q 的解集为B ，由(1)知A ={x|x ≤2}，由题意知B ⊆A .方程x 2−(3m −1)x −3m =0的两根为−1和3m . 当−1=3m ，即m =−13时，B =⌀，B ⊆A 显然成立；当−1>3m ，即m <−13时，B ={x|3m <x <−1}，B ⊆A 显然成立； 当−1<3m ，即m >−13时，B ={x|−1<x <3m }，要使B ⊆A 成立， 则3m ≤2，即m ≤23.综上m ≤23．【答案】解：(1)由题意知函数f(x)=x 2+2(1+k)x +3+k(k ∈R)， 因为x 2的系数大于0，所以函数图象开口向上， 又f(x)>0恒成立，所以Δ=4(1+k)2−4(3+k)<0， 解得：−2<k <1.(2)设g (k )=x 2+2(1+k )x +3+k =k (2x +1)+(x 2+2x +3)，存在实数k ∈[−1,0]，使f (x )≤3成立，可得- (2x +1)+(x 2+2x +3)≤3或0(2x +1)+(x 2+2x +3)≤3， 即为−1≤x ≤1或−2≤x ≤0，可得x 的取值范围是[−2,1]. 【考点】全称量词与存在量词 函数恒成立问题 一元二次不等式的解法【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知函数f(x)=x 2+2(1+k)x +3+k(k ∈R)， 因为x 2的系数大于0，所以函数图象开口向上， 又f(x)>0恒成立，所以Δ=4(1+k)2−4(3+k)<0， 解得：−2<k <1.(2)设g (k )=x 2+2(1+k )x +3+k =k (2x +1)+(x 2+2x +3)，存在实数k ∈[−1,0]，使f (x )≤3成立，可得- (2x +1)+(x 2+2x +3)≤3或0(2x +1)+(x 2+2x +3)≤3， 即为−1≤x ≤1或−2≤x ≤0，可得x 的取值范围是[−2,1]. 【答案】解：(1)选条件①.设等比数列{a n }的公比为q ，∵ a 1=1，S 3−S 2=a 2+2a 1， ∴ q 2−q −2=0， 解得q =2或q =−1， ∵ q >0， ∴ q =2， ∴ a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ，∵ a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6， ∴ {2b 1+6d =8,3b 1+13d =16,解得{b 1=1,d =1,∴ b n =n ，∴ a n =2n−1，b n =n ．(2)由(1)可知：a n =2n−1，b n =n ， ∴ T n =a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n=1×20+2×21+⋯+(n −1)×2n−2+n ×2n−1，∴ 2T n =1×21+2×22+⋯+(n −1)×2n−1+n ×2n ， ∴ −T n =1+21+22+⋯+2n−1−n ×2n =1−2n 1−2−n ×2n =2n −1−n ×2n ，∴ T n =(n −1)⋅2n +1． 【考点】 数列的求和等比数列的前n 项和 等比数列的通项公式 等差数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)选条件①.设等比数列{a n }的公比为q ，∵ a 1=1，S 3−S 2=a 2+2a 1， ∴ q 2−q −2=0， 解得q =2或q =−1， ∵ q >0， ∴ q =2， ∴ a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ， ∵ a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6， ∴ {2b 1+6d =8,3b 1+13d =16,解得{b 1=1,d =1,∴ b n =n ， ∴ a n =2n−1，b n =n ．(2)由(1)可知：a n =2n−1，b n =n ， ∴ T n =a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n=1×20+2×21+⋯+(n −1)×2n−2+n ×2n−1，∴ 2T n =1×21+2×22+⋯+(n −1)×2n−1+n ×2n ， ∴ −T n =1+21+22+⋯+2n−1−n ×2n =1−2n1−2−n ×2n =2n −1−n ×2n ，∴ T n =(n −1)⋅2n +1． 【答案】解：(1)由题意知，每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列， 求得：a n =a 1+4(n −1)=4n +8.(2)设公司第n 年后开始盈利，盈利为y 万元，则 y =50n −[12n +n(n−1)2×4]−72=−2n 2+40n −72.年平均盈利为yn =−2n −72n+40=−2(n +36n)+40 ≤−2×2√n ⋅36n +40=16，当且仅当n =36n，即n =6时，年平均盈利最大.故公司经营6年，其年平均获利最大，最大值是16万元. 【考点】 数列的应用基本不等式在最值问题中的应用 等差数列的通项公式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知，每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列， 求得：a n =a 1+4(n −1)=4n +8.(2)设公司第n 年后开始盈利，盈利为y 万元，则 y =50n −[12n +n(n−1)2×4]−72=−2n 2+40n −72.年平均盈利为yn =−2n −72n+40=−2(n +36n)+40 ≤−2×2√n ⋅36n +40=16，当且仅当n =36n，即n =6时，年平均盈利最大.故公司经营6年，其年平均获利最大，最大值是16万元. 【答案】解：(1)由S 1=a 1=a 1−a 12=0得a 1=0，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=na n 2−n−12a n−1，故(n −2)a n =(n −1)a n−1， 故当n >2时，a n =n−1n−2a n−1=n−1n−2⋅n−2n−3⋅⋯⋅43⋅32⋅21⋅a 2=(n −1)p ，由于n =2时a 2=p ，n =1时a 1=0，也适合该式，故对一切正整数n ， a n =(n −1)p . (2)S n =n(a n −a 1)2=n(n−1)p2，则S n+1=n(n+1)p2，S n+2=(n+1)(n+2)p2，b n=S n+2S n+1+S n+1S n+2=n+2n+nn+2=2+2(1n −1n+2)，∴T n=2n+2(1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1 n−1−1n+1+1n−1n+2)=2n+2(1+12−1n+1−1n+2)=2n+3−2(1n+1+1n+2)．(3)c n=T n−2n=3−2(1n+1+1n+2)<3对所有正整数n都成立；若c n>52，即3−2(1n+1+1n+2)>52⇒1n+1+1n+2<14，记f(n)=1n+1+1n+2，则f(n)单调递减，又f(6)=17+18>18+18=14，f(7)=18+19<18+18=14，故m=6，则当n>m时，f(n)<14．m可以取所有不小于6的正整数．【考点】数列与不等式的综合数列与函数的综合数列的求和等差关系的确定等差数列的通项公式数列的函数特性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由S1=a1=a1−a12=0得a1=0，当n≥2时，a n=S n−S n−1=na n2−n−12a n−1，故(n−2)a n=(n−1)a n−1，故当n>2时，a n=n−1n−2a n−1=n−1n−2⋅n−2n−3⋅⋯⋅43⋅32⋅21⋅a2=(n−1)p，由于n=2时a2=p，n=1时a1=0，也适合该式，故对一切正整数n，a n=(n−1)p.(2)S n=n(a n−a1)2=n(n−1)p2，则S n+1=n(n+1)p2，S n+2=(n+1)(n+2)p2，b n=S n+2S n+1+S n+1S n+2=n+2n+nn+2=2+2(1n−1n+2)，∴T n=2n+2(1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1n−1−1n+1+1n−1n+2)=2n+2(1+12−1n+1−1n+2)=2n+3−2(1n+1+1n+2)．(3)c n=T n−2n=3−2(1n+1+1n+2)<3对所有正整数n都成立；若c n>52，即3−2(1n+1+1n+2)>52⇒1n+1+1n+2<14，记f(n)=1n+1+1n+2，则f(n)单调递减，又f(6)=17+18>18+18=14，f(7)=18+19<18+18=14，故m=6，则当n>m时，f(n)<14．m可以取所有不小于6的正整数．。