轴对称全章复习与巩固(基础)知识讲解与巩固练习
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初中精品数学精选精讲
B两村庄要建一个加油站,要求到
油站的位置P。
(二)等腰三角形
、周长为13,边长为整数的等腰三角形共有
、等腰三角形一腰上中线把这个三角形的周长分为
、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于(
顶角 B.
第1题第2题第3题
、已知△ABC是等边三角形,分别在AC、BC上取点E、F,且BE、AF交于点D,则∠、如图,点P是等边△ABC内一点,点P到三边的距离分别为PG,等边△ABC的高为
、如图,∠BAC=30°,(五)角平分线
、在Rt△ABC中,∠
CD=CF.
、在△ABC中,∠
10cm,求AB+AC.
、已知AB=AC,DE垂直平分EBC的度数
、已知在△ABC中,
、在△ABC中,∠C=90
、将△ABC沿着AD对折,顶点
、B为直线MN外两点,且在②|PA-PB|最大.。
2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结初中数学中,轴对称是一个重要的几何概念。
轴对称是指一个图形或者一个物体能够与某条轴线对称,即图形或物体的一部分关于轴线对称地出现在另一部分的相对位置。
轴对称的性质是常用的,它在初中数学的课本中会有详细的介绍和讲解。
以下是对初二数学期末考试轴对称知识点的总结:一、轴对称的定义和性质:1. 轴对称:如果一个图形、物体或者函数,相对于某条轴线可以对称地出现,那么就称这个图形、物体或者函数是轴对称的。
2. 轴线:轴线是指对称图形相对出现的那根线。
3. 轴对称的性质:轴对称的图形具有以下性质:- 轴线上的点不动。
- 对称轴的两侧对称,即轴线上的一点与该图形对称轴另一侧的点,关于对称轴中点对称。
- 对称轴的两侧的点与对称轴上的一点对称关系。
二、判断轴对称的方法:1. 观察法:通过观察图形是否关于某条线对称,可以判断图形是否轴对称。
如果图形可以重叠折叠,使得一个部分与另一个部分完全重合,那么这个图形就是轴对称的。
2. 对称线法:使用直尺将图形的两个对称部分的最近相对线段连接起来,如果这条线段与直尺重合,那么这条线段就是图形的对称线。
3. 折叠法:将纸张上的图形剪下来,然后将图形沿着一个假想的轴线折叠起来,如果两个对称的部分完全重合,那么这个图形就是轴对称的。
三、轴对称的常见图形:1. 一阶图形:一个点、一条线段、一条射线、一个无面积的抽象图形等。
2. 二阶图形:矩形、正方形、菱形、圆、椭圆等。
3. 三阶图形:五角星、六边形等。
四、轴对称和平移、旋转的关系:1. 平移:平移是图形在平面上沿水平方向或者垂直方向移动的变换,平移不改变图形的形状和大小,也不改变图形的轴对称性。
2. 旋转:旋转是图形围绕一个点或者直线进行旋转的变换,旋转不改变图形的形状和大小,但可能改变图形的轴对称性。
有些图形在旋转一定角度之后仍然保持轴对称,有些则不再保持轴对称。
五、轴对称的应用:1. 填充对称:将一个图形沿着对称轴镜像复制,用来填充平面空间。
新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料【巩固练习】一.选择题1. (2016•北京)甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式,下列甲骨文中,不是轴对称的是()A.B.C.D.2.(2015•威海模拟)如图,△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB,过D作直线平行于BC,交AB、AC于E、F,AB=5,AC=7,BC=8,△AEF的周长为()A.13 B.12 C.15 D.203. 以下叙述中不正确的是()A.等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B.其中有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形C.等腰三角形一定是锐角三角形D.在一个三角形中,如果两条边不相等,那么它们所对的角也不相等;反之,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么它们所对的边也不相等4.下列条件①有一个角为60°的三角形;②三个外角都相等的三角形;③一边上的高与中线重合的三角形;④有一个角为60°的等腰三角形.能判定三角形为等边三角形的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5. 如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,DE交AB于E, 且AB=BC,则下列结论中错误..的是()A.BD⊥AC B.∠A=∠EDA C.BC=2AD D.BE=ED6. 如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠BAC的角平分线AF交CD于E,则△CEF必为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形7.下列说法中不正确的是( )A.等边三角形是轴对称图形B.若两个图形的对应点连线都被同一条直线垂直平分,则这两个图形关于这条直线对称C.若△ABC ≌△111C B A ,则这两个三角形一定关于一条直线对称D.直线MN 是线段AB 的垂直平分线,若P 点使PA =PB ,则点P 在MN 上,若11P A PB ,则1P 不在MN 上8.如图所示,Rt △ABC 中,∠C =90°,AB 的垂直平分线DE 交BC 于D ,交AB 于点E .当∠B =30°时,图中不一定相等的线段有( )A .AC =AE =BEB .AD =BDC .CD =DE D .AC =BD二.填空题9. 如图,O 是 △ABC 内一点,且 OA =OB =OC ,若∠OBA =20°,∠OCB =30°,则∠OAC =_________.10. 如图,△ABC 中,∠A =90°,BD 为∠ABC 平分线,DE ⊥BC ,E 是BC 的中点,∠C 的度数为_________.11. 如图,△ABC 中,∠C =90°,D 是CB 上一点,且DA =DB =4,∠B =15°,则AC 的长为 .12.(2014•宝应县二模)如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,若BE=60cm,DE=2cm,则BC= cm.13. 点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上,将△BDE沿直线DE翻折,使点B落在B1处,DB1、EB1分别交边AC于点F、G.若∠ADF=80º,则∠CEG=.14.一个汽车车牌在水中的倒影为,则该车的牌照号码是______.15.(2016·厦门校级模拟)在等腰△ABC中,AB=AC,AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分,则这个三角形的底边长为_________.16. 三角形纸片ABC中,∠A=60°,∠B=80°,将纸片的一角折叠,使点C•落在△ABC内,如图所示∠1=30°,则∠2=_______.三.解答题17.(2015春•宜春期末)已知,在平面直角坐标系中,点M、N的坐标分别为(1,4)和(3,0),点Q是y轴上的一个动点,且M、N、Q三点不在同一直线上,当△MNQ的周长最小时,求点Q的坐标.18. 如图,上午9时,一条渔船从A 出发,以12海里/时的速度向正北航行,11时到达B 处,从A 、B 处望小岛C ,测得∠NAC =15°,∠NBC =30°.若小岛周围12.3海里内有暗礁,问该渔船继续向正北航行有无触礁危险?19.如图所示,在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点E ,若AC 平分∠DAB ,•且AB =AE ,AC =AD ,求证∠DBC =12∠DAB .20.如图所示,在△ABC 中,∠B =90°,AB =BC ,BD =CE ,M 是AC 边的中点,求证△DEM 是等腰三角形.C BADM【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ;【解析】A 、是轴对称图形,故本选项错误;B、是轴对称图形,故本选项错误;C、是轴对称图形,故本选项错误;D、不是轴对称图形,故本选项正确.2. 【答案】B;【解析】解:∵EF∥BC,∴∠EDB=∠DBC,∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠CBD,∴∠EDB=∠EBD,∴BE=ED,同理DF=CF,∴△AEF的周长是AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=5+7=12.故选B.3. 【答案】C;【解析】等腰三角形还有钝角三角形和直角三角形.4. 【答案】B;【解析】②④均能判定三角形为等边三角形.5. 【答案】C;【解析】因为BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,所以∠EBD=∠DBC=∠EDB,故B、D成立,由等腰三角形三线合一的性质知A成立.6. 【答案】A;【解析】∠CFA=∠B+∠BAF,∠CEF=∠ECA+∠EAC,而∠B=∠ECA,∠BAF=∠EAC,故△CEF为等腰三角形.7. 【答案】C;【解析】全等的两个三角形不一定关于一条直线对称.8. 【答案】D;【解析】由角平分线的性质结合∠B=30°,可知A、B、C均成立.二.填空题9. 【答案】40°;【解析】△AOB与△BOC与△AOC均为等腰三角形,∠OAC=180220302︒-⨯︒+︒()=40°.10.【答案】30°;【解析】证△BDE≌△CDE,∠ABD=∠DBE=∠C=30°.11.【答案】2;【解析】∠ADC=30°,122AC AD==.12.【答案】62;【解析】解:延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,作DF∥BC,∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AN⊥BC,BN=CN ,∵∠EBC=∠E=60°,∴△BEM 为等边三角形,∴△EFD 为等边三角形,∵BE=60,DE=2,∴DM=58,∵△BEM 为等边三角形,∴∠EMB=60°,∵AN⊥BC,∴∠DNM=90°,∴∠NDM=30°,∴NM=29,∴BN=31,∴BC=2BN=62,故答案为62.13.【答案】40°;【解析】∠BDE =18080502︒-︒=︒,∠BED =∠DEG =180°-50°-60°=70°,所以∠CEG =40°.14.【答案】 W 5236499【解析】只需将倒影沿垂直旋转180°即可,因此该车的牌照号码为:W 5236499.15.【答案】16或8;【解析】∵BD 是等腰△ABC 的中线,可设AD=CD=x ,则AB=AC=2x ,根据题意可分两种情况:①AB+AD=15,即315x =,解得5x =,此时BC=21516-=;②AB+AD=21,即321x =,解得7x =,此时BC=1578-=;经验证,这两种情况都是成立的.∴这个三角形的底边长为8或16.16.【答案】50°;【解析】∠C =40°,根据折叠图形对应角相等及三角形内角和定理,∠2=50°.三.解答题17.【解析】解:作点N 关于y 轴的对称点N′,连接MN′交y 轴于点Q ,则此时△MNQ 的周长最小,理由:∵点N 的坐标是(3,0),∴点N′的坐标是(﹣3,0),过点M 作MD⊥x 轴,垂足为点D∵点M 的坐标是(1,4)∴N′D=MD=4∴∠MN′D=45°,∴N′O=OQ=3,即点Q 的坐标是(0,3).18.【解析】解:该渔船继续向正北航行有触礁危险作CD ⊥AB 于D ,由题意AB =24,∵∠NAC =15°,∠NBC =30°∴∠ACB =15°,AB =BC =24在直角三角形BCD 中,DC =12BC =12, ∵12<12.3,∴该渔船继续向正北航行有触礁危险.19.【解析】证明:∵AC 平分∠DAB ,∴∠DAE =∠CAB在△DAE 和△CAB 中,,,,AD AC DAE CAB AE AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAE ≌△CAB (SAS ),∴∠BDA =∠ACB ,又∵∠AED =∠CEB ,∴∠ADE +∠AED =∠ACB +∠CEB ,∵∠DAE =180°-(∠ADE +∠AED ),∠DBC =180°-(∠ACB +∠CEB ), ∴∠DAE =∠DBC ,∵∠DAE =12∠DAB , ∴∠DBC =12∠DAB . 20.【解析】证明:连接BM ,∵AB =BC ,AM =MC ,∴BM ⊥AC ,且∠ABM =∠CBM =12∠ABC =45°, ∵AB =BC ,所以∠A =∠C =1802ABC ︒-∠=45°,∴∠A=∠ABM,所以AM=BM,∵BD=CE,AB=BC,∴AB-BD=BC-CE,即AD=BE,在△ADM和△BEM中,,45,,AD BEA EBMAM BM=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADM≌△BEM(SAS),∴DM=EM,∴△DEM是等腰三角形.。
第十三章轴对称轴对称知识要点1.轴对称图形与轴对称轴对称图形:如果一个平面图形沿一条直线折叠;直线两旁的部分能够互相重合;这个图形就叫做轴对称图形.这条直线是它的对称轴.轴对称:把一个平面图形沿着某一条直线折叠;如果它能够与另一个图形重合;那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称;这条直线叫做对称轴.2.轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称;那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.3.线段的垂直平分线的性质和判定性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定:与一条线段两个端点距离相等的点;在这条线段的垂直平分线上.4.关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点点x;y关于x轴对称的点的坐标为x;-y;点x;y关于y轴对称的点的坐标为-x;y;温馨提示1.轴对称图形是针对一个图形而言;是指一个具有对称的性质的图形;轴对称是针对两个图形而言;它描述的是两个图形的一种位置关系.2.在平面直角坐标系中;关于x轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同;纵坐标互为相反数;关于y轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数;纵坐标相同.等腰三角形知识要点1.等腰三角形的性质性质1:等腰三角形的两个底角相等简写成“等边对等角”;性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合简写成“三线合一”.2.等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等;那么这两个角所对的边也相等简写成“等角对等边”.3.等边三角形的性质和判定方法性质:等边三角形的三个内角都相等;并且每一个角都等于60°.判定方法1:三个角都相等的三角形是等边三角形.判定方法2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.直角三角形的性质在直角三角形中;如果一个锐角等于30°;那么它所对的直角边等于斜边的一半.温馨提示1.“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中;在两个三角形中时;上述结论不一定成立.2.在应用直角三角形的性质时应注意以下两点:1必须是在直角三角形中;2必须有一个锐角等于30°.方法技巧1.等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法;当要证明同一个三角形的两个内角相等时;可尝试用“等边对等角”.2.等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法;当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时;可尝试用“等角对等边”.3.利用轴对称可以解决几何中的最值问题;本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边.13.1轴对称13.2画轴对称图形专题一轴对称图形1.2012·连云港下列图案是轴对称图形的是2.众所周知;几何图形中有许多轴对称图形;写出一个你最喜欢的轴对称图形是:______________________.答案不唯一3.如图;阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形;请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形;使它们成为轴对称图形.专题二轴对称的性质4.如图;△ABC和△ADE关于直线l对称;下列结论:①△ABC≌△ADE;②l垂直平分DB;③∠C=∠E;④BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上.其中错误的有A.0个 B.1个 C.2个 D.3个5.如图;∠A=90°;E为BC上一点;A点和E点关于BD对称;B点、C点关于DE对称;求∠ABC 和∠C的度数.6.如图;△ABC和△A′B′C′关于直线m对称.1结合图形指出对称点.2连接A、A′;直线m与线段AA′有什么关系3延长线段AC与A′C′;它们的交点与直线m有怎样的关系其他对应线段或其延长线的交点呢你发现了什么规律;请叙述出来与同伴交流.专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题7.如图;在Rt△ABC中;∠ACB=90°;AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F;若∠F=30°;DE=1;则EF的长是A.3 B.2 C D.18.如图;在△ABC中;BC=8;AB的垂直平分线交BC于D;AC的垂直平分线交BC与E;则△ADE的周长等于________.9.如图;AD⊥BC;BD=DC;点C在AE的垂直平分线上;那么线段AB、BD、DE之间有什么数量关系并加以证明.专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围10.已知点P-2;3关于y轴的对称点为Qa;b;则a+b的值是A.1 B.-1 C.5 D.-511.已知P1点关于x轴的对称点P23-2a;2a-5是第三象限内的整点横、纵坐标都为整数的点;称为整点;则P1点的坐标是__________.13.3等腰三角形13.4课题学习最短路径问题专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用1.如图在△ABC中;BF、CF是角平分线;DE∥BC;分别交AB、AC于点D、E;DE经过点F.结论:①△BDF和△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE的周长=AB+AC;④BF=CF.其中正确的是___________.填序号3.如图;已知△ABC是等腰直角三角形;∠BAC=90°;BE是∠ABC的平分线;DE⊥BC;垂足为D.1请你写出图中所有的等腰三角形;2请你判断AD与BE垂直吗并说明理由.3如果BC=10;求AB+AE的长.专题二等边三角形的性质和判定4.如图;在等边△ABC中;AC=9;点O在AC上;且AO=3;点P是AB上一动点;连接OP;以O为圆心;OP长为半径画弧交BC于点D;连接PD;如果PO=PD;那么AP的长是__________.5.如图.在等边△ABC中;∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O;且OD∥AB;OE∥AC.1试判定△ODE的形状;并说明你的理由;2线段BD、DE、EC三者有什么关系写出你的判断过程.6.如图;△ABC中;AB=BC=AC=12 cm;现有两点M、N分别从点A、点B同时出发;沿三角形的边运动;已知点M的速度为1 cm/s;点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达B点时;M、N同时停止运动.1点M、N运动几秒后;M、N两点重合2点M、N运动几秒后;可得到等边三角形△AMN3当点M、N在BC边上运动时;能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN 如存在;请求出此时M、N运动的时间.专题三最短路径问题7.如图;A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置;直线a表示输水总管道;直线b表示输煤气总管道.现要在这两根总管道上分别设一个连接点;安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼;要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短.图中;点A′是点A关于直线b的对称点;A′B分别交b、a于点C、D;点B′是点B关于直线a的对称点;B′A 分别交b、a于点E、F.则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是A.F和C B.F和E C.D和C D.D和E8.如图;现准备在一条公路旁修建一个仓储基地;分别给A、B两个超市配货;那么这个基地建在什么位置;能使它到两个超市的距离之和最小保留作图痕迹及简要说明。
初二上册数学第13章轴对称复习要点
人教版初二上册数学第13章轴对称复习要点
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(perpendicular bisector)。
轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连接线段的垂直平分线。
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。
等腰三角形的性质:
等腰三角形的'两个底角相等。
(等边对等角)
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
(三线合一)(附:顶角+2底角=180°)
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。
(等角对等边)
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
轴对称全章复习与巩固(提高)撰稿:康红梅责编:吴婷婷【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形,理解轴对称的基本性质及它们的简单应用;2. 了解垂直平分线的概念,并掌握其性质;3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念,并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂:389304 轴对称复习,本章概述】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称(1)轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质:轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.(2)轴对称定义:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质:①关于某条直线对称的两个图形形状相同,大小相等,是全等形;②如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;③两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上.(3)轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系,轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形;轴对称涉及两个图形,而轴对称图形是对一个图形来说的.联系:如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形关于这条轴对称;如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来,与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形(1)几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些点,就可以得到原图形的轴对称图形;(2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y);点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y).要点三、等腰三角形1.等腰三角形(1)定义:有两边相等的三角形,叫做等腰三角形.(2)等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等,即“等边对等角”;②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三线合一”).特别地,等腰直角三角形的每个底角都等于45°.(3)等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等边”).2.等边三角形(1)定义:三条边都相等的三角形,叫做等边三角形.(2)等边三角形性质:等边三角形的三个角相等,并且每个角都等于60°.(3)等边三角形的判定:①三条边都相等的三角形是等边三角形;②三个角都相等的三角形是等边三角形;③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、如图,由四个小正方形组成的田字格中,△ABC的顶点都是小正方形的顶点.在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形,且顶点都是小正方形的顶点,则这样的三角形(不包含△ABC本身)共有()A.1个B.2个C.3个D.4个【思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴,来找三角形.【答案】C;【解析】先把田字格图标上字母如图,确定对称轴找出符合条件的三角形,再计算个数.△HEC与△ABC关于CD对称;△FDB与△ABC关于BE对称;△GED与△ABC关于HF 对称;关于AG对称的是它本身.所以共3个.【总结升华】本题考查了轴对称的性质;确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键. 举一反三:【变式】如图,△ABC 的内部有一点P ,且D ,E ,F 是P 分别以AB ,BC ,AC 为对称轴的对称点.若△ABC 的内角∠A =70°,∠B =60°,∠C =50°,则∠ADB +∠BEC +∠CFA =( )A.180°B.270°C.360°D.480°【答案】C ;解:连接AP ,BP ,CP ,∵D ,E ,F 是P 分别以AB ,BC ,AC 为对称轴的对称点 ∴∠ADB =∠APB ,∠BEC =∠BPC ,∠CFA =∠APC ,∴∠ADB +∠BEC +∠CFA =∠APB +∠BPC +∠APC =360°.2、已知∠MON =40°,P 为∠MON 内一定点,OM 上有一点A ,ON 上有一点B ,当△PAB 的周长取最小值时,求∠APB 的度数.【思路点拨】求周长最小,利用轴对称的性质,找到P 的对称点来确定A 、B 的位置,角度的计算,可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算. 【答案与解析】解:分别作P 关于OM 、ON 的对称点1P ,2P ,连接12P P 交OM 于A ,ON 于B.则△PAB 为符合条件的三角形. ∵∠MON =40°∴∠12P PP =140°.∠1PPA =12∠PAB,∠2P PB =12∠PBA. ∴12(∠PAB +∠PBA)+∠APB =140° ∴∠PAB +∠PBA +2∠APB =280°∵∠PAB =∠1P +∠1PPA , ∠PBA =∠2P +∠2P PB ∴∠1P +∠2P +∠12P PP =180° ∴∠APB =100°【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型,将周长的三条线段的和转化为一条线段,这样取得周长的最小值. 举一反三:【变式】如图,在五边形ABCDE 中,∠BAE =120°,∠B =∠E =90°,AB =BC ,AE =DE ,在BC ,DE 上分别找一点M ,N ,使得△AMN 的周长最小时,则∠AMN +∠ANM 的度数为( ).A .100°B .110°C . 120°D . 130°【答案】C ;提示:找A 点关于BC 的对称点1A ,关于ED 的对称点2A ,连接12A A ,交BC 于M 点,ED 于N 点,此时△AMN 周长最小. ∠AMN +∠ANM =180°-∠MAN ,而2∠BAM = ∠AMN ,2∠EAN =∠ANM ,∠BAM +∠EAN +∠MAN =120°,所以∠AMN +∠ANM =120°. 3、如图,△ABC 关于平行于x 轴的一条直线对称,已知A 点坐标是(1,2),C 点坐标是(1,-4),则这条平行于x 轴的直线是( )A.直线x =-1B.直线x =-3C.直线y =-1D.直线y =-3【思路点拨】根据题意,可得A、C的连线与该条直线垂直,且两点到此直线的距离相等,从而可以解出该直线.【答案】C;【解析】解:由题意可知,该条直线垂直平分线段AC又A点坐标是(1,2),C点坐标是(1,-4)∴AC=6∴点A,C到该直线的距离都为3即可得直线为y=-1【总结升华】本题考查了坐标与图形的变化一一对称的性质与运用,解决此类题应认真观察图形,由A与C的纵坐标求得对称轴.举一反三:''【变式1】如图,若直线m经过第二、四象限,且平分坐标轴的夹角,Rt△AOB与Rt△A OB 关于直线m对称,已知A(1,2),则点'A的坐标为()A.(-1,2)B.(1,-2)C.(-1,-2)D.(-2,-1)【答案】D;''关于直线m对称,所以通过作图可知,A'的提示:因为Rt△AOB与Rt△A OB坐标是(-2,-1).【高清课堂:389304 轴对称复习:例10】【变式2】如图,ΔABC中,点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(4,3),点B的坐标为(3,1),如果要使ΔABD与ΔABC全等,求点D的坐标.【答案】解:满足条件的点D的坐标有3个(4,-1);(-1,-1);(-1,3).类型二、等腰三角形的综合应用4、(2012•牡丹江)如图①,△ABC 中.AB=AC ,P 为底边BC 上一点,PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E 、F 、H .易证PE+PF=CH .证明过程如下:如图①,连接AP .∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB, ∴ABP S △=12AB•PE,ACP S △=12AC•PF,ABC S △=12AB•CH. 又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△, ∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH.∵A B=AC ,∴PE+PF=CH. (1)如图②,P 为BC 延长线上的点时,其它条件不变,PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明:(2)填空:若∠A=30°,△ABC 的面积为49,点P 在直线BC 上,且P 到直线AC 的距离为PF ,当PF=3时,则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________. 【答案】7;4或10; 【解析】解:(1)如图②,PE=PF+CH .证明如下:∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,∴ABP S △=12AB•PE,ACP S △=12AC•PF,ABC S △=12AB•CH, ∵ABP S △=ACP S △+ABC S △, ∴12AB•PE=12AC•PF+12AB•CH, 又∵AB=AC, ∴PE=PF+CH;(2)∵在△ACH 中,∠A=30°,∴AC=2CH.∵ABC S △=12AB•CH,AB=AC , ∴12×2CH•CH=49, ∴CH=7. 分两种情况:①P 为底边BC 上一点,如图①. ∵PE+PF=CH,∴PE=CH -PF=7-3=4;②P 为BC 延长线上的点时,如图②. ∵PE=PF+CH, ∴PE=3+7=10.故答案为7;4或10.【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积,难度适中,运用面积证明可使问题简便,(2)中分情况讨论是解题的关键.5、已知,如图,∠1=12°,∠2=36°,∠3=48°,∠4=24°. 求ADB ∠的度数.【答案与解析】解:将ABD △沿AB 翻折,得到ABE △,连结CE ,则ABD ABE △≌△,∴,,BD BE ADB AEB =∠=∠∠1=∠5=12°. ∴125EBC ∠=∠+∠+∠=60° ∵3ABC ∠=∠=48°∴AB AC =.又∵∠2=36°,34BCD ∠=∠+∠=72°,ACD123B5 E∴,BDC BCD BD BC ∠=∠= ∴BE =BC∴BCE △为等边三角形. ∴.BE CE =又,AB AC AE =Q ∴垂直平分BC . ∴AE 平分BEC ∠. ∴12AEB BEC ∠=∠=30° ∴∠ADB =30°【总结升华】直接求ADB ∠很难,那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与ABD △全等的三角形,从而使其换个位置,看看会不会容易求. 举一反三:【变式】在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =80°,D 为形内一点,且∠DAB =∠DBA =10°,求∠ACD 的度数.【答案】 解:作D 关于BC 中垂线的对称点E ,连结AE ,EC ,DE ∴△ABD ≌△ACE∴AD =AE, ∠DAB =∠EAC =10° ∵∠BAC=80°,∴∠DAE =60°,△ADE 为等边三角形 ∴∠AED =60°∵∠DAB =∠DBA =10° ∴AD =BD =DE =EC ∴∠AEC =160°, ∴∠DEC =140° ∴∠DCE =20° ∴∠ACD =30° 类型三、等边三角形的综合应用6、如图所示,已知等边三角形ABC 中,点D ,E ,F 分别为边AB ,AC ,BC 的中点,M 为直线BC 上一动点,△DMN 为等边三角形.(1)如图(1)所示,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?点F是否在直线NE上?(2)如图(2)所示,当点M在BC上时,其他条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请利用图(2)证明;若不成立,请说明理由.【答案与解析】解:(1)EN=MF,点F在直线NE上.证明:连接DF,DE,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC.又∵D,E,F是△ABC三边的中点,∴DE,DF,EF为三角形的中位线.∴DE=DF=EF,∠FDE=60°.又∠MDN+∠NDF=∠MDF,∠NDF+∠FDE=∠NDE,∵△DMN为等边三角形,DM=DN,∠MDN=60°∴∠MDF=∠NDE.在△DMF和△DNE中,DF DEMDF NDE DM DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DMF≌△DNE,∴MF=NE,∠DMF=∠DNE.∵∠DMF+60°=∠DNE+∠MFN∴∠MFN=60°∴FN∥AB,又∵EF∥AB,∴E、F、N在同一直线上.(2)成立.证明:连结DE,DF,EF,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC.又∵D,E,F是△ABC三边的中点,∴DE,DF,EF为三角形的中位线.∴DE=DF=EF,∠FDE=60°.又∠MDF+∠FDN=60°,∠NDE+∠FDN=60°,∴∠MDF=∠NDE.在△DMF和△DNE中,DF DEMDF NDE DM DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DMF≌△DNE,∴MF=NE.【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定.全等是证明线段相等的重要方法.(2)题的证明可以沿用(1)题的思路.。
轴对称
轴对称(1)
学习过程:
一、探究活动(一)
1.动手做剪纸:(1)将一张长方形的纸对折;(2)在纸上画出一个你喜欢的图形;(3)沿线条剪下;(4)把纸展开;
2.观察下面的图形,它们有什么共同特征?
3.结论:
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做,这条直线就是它的。
这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。
二:尝试应用(一)
1.先想后做:下面图形是轴对称图形吗?如果是,请画出它们的对称轴。
等腰三角形等腰梯形等边三角形
平行四边形
正方形圆
2.想一想下列英文字母中,那些是轴对称图形?
3.猜字游戏(抢答)
在艺术字中,有些汉字是轴对称的,
猜猜下列是哪些字的一半?
三:探究活动(二)
1.(1).看下面两组图形,和刚才的蝴蝶,枫叶等比较,有什么不同?
第一组第二组
(2)思考: 这两幅图有什么共同点?
2.结论:
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两
个图形这条直线叫做,折叠后重合的点是对应点,
叫做。
四:尝试应用(二)
1.下面给出的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗?如果是,试着找出它们的对
称轴,并找出一对对称点。
《轴对称》的全章复习(1)【教学目标】:(1)理解5个基本概念:轴对称图形,线段的垂直平分线,轴对称变换,等腰三角形,等边三角形;(2)掌握5主要性质:轴对称的性质,线段的垂直平分线的性质,用坐标表示对称的性质,等腰三角形的性质,等边三角形的性质.(3)掌握3种图形的判定:线段的垂直平分线的判定,等腰三角形的判定,等边三角形的判定.【教学重点】:5个性质,3种图形的判定.【教学难点】:灵活运用轴对称的性质、等腰三角形的性质.【教学突破点】:用框架图使本章知识条理化、系统化.【教法、学法设计】:本课是这一章的小结与复习,为了进一步理解与巩固本章知识,明确所学知识来源于生活又服务于生活,尽量取材于学生感兴趣、贴近生活的问题,让学生在解决问题的过程中得到巩固,让学生的能力在处理问题中得到提高,让学生领悟自己尚存的不足与困难.【课前准备】:课件【教学过程设计】:一、概念复习:(1)轴对称图形,(2)线段的垂直平分线;等腰三角形,(5)等边三角形.练习一(概念的简单应用):.它的中线、角平分线、高线共有条..个相同的小正方形拼成的正方形网格,现将其中的两个小正方形涂黑(如图).请你用两种不同的方法分别在上图中再将两个空白的小正方形涂黑,使它成为轴对称图(1,-2)关于y轴对称点的坐标是_____3,-2)关于x轴的对称点是,㎝,则斜边的长为 .答案:1.2.3.B4.A与B关于x轴对称,B与E关于y轴对称,点C和点E不关于x轴对称.5.B6.正多边形对称轴的条数分别为3、4、5、6、7、…、n7.8.(1)中两个三角形关于y轴对称;(2)中四边形Ⅰ沿y轴向下平移3个单位,再沿x轴向左平移5个单位得到四边形Ⅱ;(3)中三角形Ⅰ沿y轴向下平移3个单位,再沿x轴向右平移5个单位得到三角形Ⅱ;(4)中两个三角形关于x轴对称.9.C10.B11. △PCD的周长为6cm12.略。
轴对称【学习目标】1.理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念,弄清它们之间的区别与联系,能识别轴对称图形.2.理解图形成轴对称的性质,会画一些简单的关于某直线对称的图形.3.理解线段的垂直平分线的概念,掌握线段的垂直平分线的性质及判定,会画已知线段的垂直平分线.4.能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题.【要点梳理】【高清课堂 389298 轴对称知识要点】要点一、轴对称图形轴对称图形的定义一个图形沿着某直线折叠,直线两旁的部分能完全重合,这个图形就叫做轴对称图形,该直线就是它的对称轴.要点诠释:轴对称图形是指一个图形,图形被对称轴分成的两部分能够互相重合.一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条,也可能有两条或多条,因图形而定.要点二、轴对称1.轴对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称(或说这两个图形成轴对称),这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点,也叫做对称点要点诠释:轴对称指的是两个图形的位置关系,两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合.成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是:轴对称是指两个图形,而轴对称图形是一个图形;轴对称图形和轴对称的关系非常密切,若把成轴对称的两个图形看作一个整体,则这个整体就是轴对称图形;反过来,若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形,则这两个图形关于这条直线(原对称轴)对称.要点三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称、轴对称图形的性质轴对称的性质:若两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;轴对称图形的性质:轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.要点四、线段的垂直平分线定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫线段的中垂线.性质:性质1:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;性质2:与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.要点诠释:线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法,那就是遇见线段的垂直平分线,画出到线段两个端点的距离,这样就出现相等线段,直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点,该点到三角形三顶点的距离相等,这点是三角形外接圆的圆心——外心.【典型例题】类型一、判断轴对称图形1、(2016•邵阳)下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是()A.B.C.D.【思路点拨】我们将图中的图形分别沿着某条直线对折,看看图形的两边能否重合,若重合则是轴对称图形,否则就不是.【答案】D;【解析】轴对称图形即能找到对称轴,使对称轴两边的图形重合.【总结升华】找对称轴要注意从不同的角度去观察,做到不重复、不遗漏.举一反三:【变式】(2014春•太谷县校级期末)将一张矩形的纸对折,然后用笔尖在上面扎出“B”,再把它铺平,你可见到()A. B.C.D.【答案】C.【高清课堂389298 轴对称例2】2、将一个正方形纸片依次按图,a b的方式对折,然后沿图c中的虚线裁剪,成图d样式,将纸展开铺平,所得到的图形是图中的()【答案】D;【解析】【总结升华】只需要根据对称轴补全图形就能找到答案.举一反三:【变式】将一等腰直角三角形纸片对折后再对折,得到如图所示的图形,然后将阴影部分剪掉,把剩余部分展开后的平面图形是()【答案】A;类型二、轴对称或轴对称图形的应用【高清课堂389298 轴对称例3】3、如图,将矩形纸片ABCD (图①)按如下步骤操作:(1)以过点A的直线为折痕折叠纸片,使点B恰好落在AD边上,折痕与BC边交于点E (如图②);(2)以过点E的直线为折痕折叠纸片,使点A落在BC边上,折痕EF交AD边于点F (如图③);(3)将纸片收展平,那么∠AEF的度数为()A.60°B.67.5°C.72°D.75°【答案】B;【解析】∠AEF=(180°-45°)÷2=67.5°.【总结升华】折叠所形成的图形是轴对称图形,对应角相等.举一反三:【变式1】如图,△ABC中,AB=BC,△ABC沿DE折叠后,点A落在BC边上的A'处,若点D为AB边的中点,∠A=70°,求∠BD A'的度数.【答案】100°; ∵AB =BC ,∴∠A =∠C =70°,∠B =40°又∵ΔABC 沿DE 折叠后,点A 落在BC 边上的A '处,点D 为AB 边的中点, ∴BD =D A ',∠B =∠D A 'B =40°, ∴∠BD A '=180°-40°-40°=100°.【变式2】将矩形ABCD 沿AE 折叠,得到如图所示图形. 若'CED ∠=56°,则∠AED 的大小是_______.【答案】62°;类型三、线段的垂直平分线的应用4、(2014•上城区校级模拟)数学来源于生活又服务于生活,利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题.李明准备与朋友合伙经营一个超市,经调查发现他家附近有两个大的居民区A 、B ,同时又有相交的两条公路,李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上,绘制了如下的居民区和公路的位置图.聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置!请用尺规作图确定超市P 的位置.(作图不写作法,但要求保留作图痕迹.)【思路点拨】先画角的平分线,再画出线段AB 的垂直平分线,两线的交点就是P . 【答案与解析】 解:【总结升华】本题考查了角的平分线、线段垂直平分线的性质.附录资料:《三角形》全章复习与巩固(基础)知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形,理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念,通过作三角形的三条高、中线、角平分线,提高学生的基本作图能力,并能运用图形解决问题.3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算,证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性,知道四边形没有稳定性,了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用.5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念;掌握多边形内角和及外角和,并能灵活运用公式解决有关问题,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系:定理:三角形任意两边之和大于第三边;三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释:(1)理论依据:两点之间线段最短.(2)三边关系的应用:判断三条线段能否组成三角形,若两条较短的线段长之和大于最长线段的长,则这三条线段可以组成三角形;反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,可求第三边长的取值范围. 2.三角形按“边”分类:⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段:(1)三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.要点诠释:三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种:锐角三角形交点在三角形内;直角三角形交点在直角顶点;钝角三角形交点在三角形外.(2)三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线.要点诠释:一个三角形有三条中线,它们交于三角形内一点,叫做三角形的重心.中线把三角形分成面积相等的两个三角形.(3)三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释:一个三角形有三条角平分线,它们交于三角形内一点,这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定,那么三角形的形状大小就完全固定了,这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释:(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变,大小固定指三条边长不改变.(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用.例如,房屋的人字梁具有三角形的结构,它就坚固而稳定;在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板,构成一个三角形,就可以使栅栏门不变形.大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构,也是这个道理.(3)四边形没有稳定性,也就是说,四边形的四条边长确定后,不能确定它的形状,它的各个角的大小可以改变.四边形的不稳定性也有广泛应用,如活动挂架,伸缩尺.有时我们又要克服四边形的不稳定性,如在窗框未安好之前,先在窗框上斜着钉一根木板,使它不变形.要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理:三角形的内角和为180°.推论:1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质:(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.(2)三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角.3.三角形的外角和:三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释:多边形通常还以边数命名,多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形,其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等.要点诠释:各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件,二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形,四个角都相等的四边形也不一定是正方形,只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.要点诠释:(1)从n边形一个顶点可以引(n-3)条对角线,将多边形分成(n-2)个三角形;(2)n边形共有(3)2n n条对角线.要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式:n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3,n是正整数) .要点诠释:(1)一般把多边形问题转化为三角形问题来解决;(2)内角和定理的应用:①已知多边形的边数,求其内角和;②已知多边形内角和,求其边数.2.多边形外角和:n边形的外角和恒等于360°,它与边数的多少无关.要点诠释:(1)外角和公式的应用:①已知外角度数,求正多边形边数;②已知正多边形边数,求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系:①n边形的内角和等于(n-2)·180°(n≥3,n是正整数),可见多边形内角和与边数n有关,每增加1条边,内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌).这里的多边形可以形状相同,也可以形状不相同.要点诠释:(1)拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°;相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件:边长相等;顶点公用;在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面,当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时,就能铺成一个平面图形.事实上,只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.(2016•丰润区二模)若三角形的两条边长分别为6cm和10cm,则它的第三边长不可能为()A.5cm B.8cm C.10cm D.17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围,进而得出答案.【答案与解析】解:∵三角形的两条边长分别为6cm和10cm,∴第三边长的取值范围是:4<x<16,∴它的第三边长不可能为:17cm.故选:D.【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系,正确得出第三边的取值范围是解题关键.【高清课堂:与三角形有关的线段例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3,4,5; (2) 3,5,9 ; (3) 5,5,8.【答案】(1)能;(2)不能;(3)能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9.【总结升华】三角形的两边a 、b ,那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4,8,则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5,注:答案不唯一,填写大于4,小于12的数都对.类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明:“已知一个三角形三边长分别为4,9,12,如何求这个三角形的面积?”小明提示:“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) .【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段.解答本题首先应找到最长边,再找到最长边所对的顶点.然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高.【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高,并且三条高所在的直线交于一点.这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部. 举一反三【变式】如图所示,已知△ABC ,试画出△ABC 各边上的高.【答案】解:所画三角形的高如图所示.4.如图所示,CD 为△ABC 的AB 边上的中线,△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ,BC =8cm ,求边AC 的长.【思路点拨】根据题意,结合图形,有下列数量关系:①AD =BD ,②△BCD 的周长比 △ACD 的周长大3.【答案与解析】解:依题意:△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm , 故有:BC+CD+BD-(AC+CD+AD)=3. 又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线,∴ AD =BD ,即BC-AC =3. 又∵ BC =8,∴ AC =5. 答:AC 的长为5cm .【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD =BD 是解答本题的关键,另外对图形中线段所在位置的观察,找出它们之间的联系,这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法. 举一反三【变式】如图所示,在△ABC 中,D 、E 分别为BC 、AD 的中点,且4ABC S △,则S 阴影为________.【答案】1类型三、与三角形有关的角5、(2014春•新泰市期末)已知:如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,AE 是∠BAC 平分线,∠B=50°,∠DAE=10°, (1)求∠BAE 的度数; (2)求∠C 的度数.【思路点拨】(1)根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°,求得∠AED 的度数;再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解;(2)根据(1)的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数,再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数. 【答案与解析】解:(1)∵AD是BC边上的高,∴∠ADE=90°.∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°,∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°.∵∠B+∠BAE=∠AED,∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°.(2)∵AE是∠BAC平分线,∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°.∵∠B+∠BAC+∠C=180°,∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°.【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质.【高清课堂:与三角形有关的角例1、】举一反三:【变式】已知,如图,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数.【答案】解:已知△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得:x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中, BD是AC边上的高,∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°-90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示,木工师傅在做完门框后,为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD),这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解:三角形的稳定性.【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用.实际生活中,将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性.类型五、多边形内角和及外角和公式7.一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍,它是几边形?【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形,则它的内角和是,∴,解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数,根据条件列出关于的方程,求出的值即可,这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】(2015•徐州)若正多边形的一个内角等于140°,则这个正多边形的边数是.【答案】9.解:∵正多边形的一个内角是140°,∴它的外角是:180°﹣140°=40°,边数:360°÷40°=9.类型六、多边形对角线公式的运用8.一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式,把边数代入计算即可.【答案与解析】解:∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线,∴十二个顶点可以画12×9条对角线,但每条对角线在每个顶点都数了一次,∴实际对角线的条数应该为12×9÷2=54(条)∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数,我们可以总结出规律条,牢记这个公式,以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数,要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线,则多边形的边数是().A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C;类型七、镶嵌问题9.分别用形状、大小完全相同的①三角形木板;②四边形木板;③正五边形木板;④正六边形木板作平面镶嵌,其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形,实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。
新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)1)相交圆的位置关系:两圆相交于两点,相切于一点,相离于两点.2)内切圆和外切圆的位置关系:内切圆和外切圆的切点在圆心连线上,内切圆和外切圆的圆心连线垂直于切点所在的直线.要点诠释:在解决两圆位置关系问题时,需要注意圆心的位置关系,切点的位置关系以及圆心连线与切点所在直线的垂直关系.要点二、切线及其性质1.切线的定义:过圆上一点,且与圆相交于该点的直线叫做圆的切线.2.切线的性质:1)切线与半径的关系:切线与过切点的圆的半径垂直.2)切线定理:切线与半径的关系可以推出切线定理:过圆外一点作圆的切线,切点与此点的连线垂直于切线.3)切线的判定方法:切线与圆的位置关系可以通过勾股定理、切线定理和判别式来进行判定.要点诠释:切线是圆的一个重要性质,切线定理是判定切线的重要工具,切线的判定方法可以根据具体情况选择不同的方法.要点三、圆的面积和弧长1.圆的面积公式:S=πr².2.弧长公式:L=αr(α为圆心角的度数).3.扇形的面积公式:S=(α/360°)πr².要点诠释:圆的面积公式和弧长公式是圆的基本公式,扇形的面积公式可以通过弧长公式和圆的面积公式来推导得出.要点四、圆锥的侧面积和全面积1.圆锥的侧面积公式:S=πrl.2.圆锥的全面积公式:S=πr(l+r).要点诠释:圆锥的侧面积公式和全面积公式是圆锥的基本公式,其中l为斜高,r为底面半径.1) 两个圆是轴对称图形,其对称轴是连接两圆心的直线。
2) 相交的两个圆的连心线垂直平分它们的公共弦,相切的两个圆的连心线经过切点。
4.与圆有关的角度1) 圆心角是以圆心为顶点的角度。
圆心角的度数等于它所对应的弧的度数。
2) 圆周角是顶点在圆上,两边都与圆相交的角度。
圆周角的性质包括:①圆周角等于它所对应的弧所对应的圆心角的一半;②同弧或等弧所对应的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对应的弧相等;③90度的圆周角所对应的弦为直径;半圆或直径所对应的圆周角为直角;④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形;⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角。
初中数学轴对称教案初中数学轴对称教案(精选10篇)作为一名优秀的教育工作者,有必要进行细致的教案准备工作,借助教案可以提高教学质量,收到预期的教学效果。
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初中数学轴对称教案篇1教学目的1.使学生对整章的学习内容做一回顾,系统地把握全章的知识要点和基本技能。
2.通过例题和练习,使学生能较好地运用本章知识和技能解决有关问题。
重点、难点判断图形是否是轴对称图形,线段的垂直平分线、角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定及其应用是教学重点,而灵活运用上述性质解决问题、轴对称图案的设计是教学难点。
教学过程一、知识回顾问题1:轴对称图形的定义是什么?它是判断图形是否是轴对称图形的依据。
问题2:是否会画轴对称图形的对称轴?找出轴对称图形的任一组对称点,连结对称点,画对称点所连线段的垂直平分线,即得到该图形对称轴。
问题3:轴对称图形对称点的连线与对称轴有什么关系?轴对称图形对称点的连线被对称轴垂直平分。
问题4:线段垂直平分线、角平分线具有什么性质?线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;角平分线上的点到角两边的距离相等。
问题5:等腰三角形有什么性质?等腰三角形底边的中线、高线、顶角的平分线互相重合,等腰三角形的两个底角相等(等边对等角),等边三角形的三个角都等于60。
问题6:如何判断三角形是等腰三角形?等边三角形?如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边);有两个角是60的三角形是等边三角形,有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。
二、例题1.书本中下列是轴对称图形的有( )A.1个 D.2个 C.3个 D.4个2.所示,已知,OC平分AOB,D是OC上一点,DEOA,DFOB,垂足为E、F点,那么(1)DEF与DFE相等吗?为什么?(2)OE与OF相等吗?为什么?三、巩固练习所示,已知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点,若AB=12cm,BC=l0cm,A=491454.求△BCD的周长和DBC度数。
m CA B P 图3图2mC A B第十二章 轴对称知识点总结 我保证认真独立地完成今天的作业!签名:____________一、知识梳理1、轴对称图形____________________ ____________________________ 这条直线叫做________________。
互相重合的点叫做________________。
轴对称_______________________________________________ _ 这条直线叫做________________。
互相重合的点叫做________________。
2、轴对称图形与轴对称的区别与联系:区别________________________________________________。
联系________________________________________________。
3、轴对称的性质:_______________________________________________。
_______________________________________________。
4、线段的垂直平分线定义:________________________________________________如图2,∵CA=CB ,直线m ⊥AB 于C ,∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。
5、线段的垂直平分线性质:_______________________________________________。
如图3,∵CA=CB ,直线m ⊥AB 于C ,点P 是直线m 上的点。
∴PA=PB 。
6、等腰三角形定义:___________________________________________:7、等腰三角形性质:___________________________________________:___________________________________________:8、等腰三角形判定。
八年级数学上册“第十三章轴对称”必背知识点一、轴对称与轴对称图形的定义1. 轴对称:如果两个图形关于某一条直线对称,那么这两个图形就叫做关于这条直线的轴对称图形,这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。
2. 轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
二、轴对称的性质1. 对应点性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2. 对应线段与对应角:轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
三、线段的垂直平分线1. 定义:经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(或线段的中垂线)。
2. 性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上。
四、坐标表示轴对称1. 关于x轴对称:点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为(x, -y)。
2. 关于y轴对称:点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为(-x, y)。
五、等腰三角形与等边三角形的性质1. 等腰三角形:性质:等腰三角形的两个底角相等 (等边对等角);顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 (三线合一)。
判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)。
2. 等边三角形:性质:等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°;等边三角形具有等腰三角形所有的性质。
判定:三条边都相等的三角形是等边三角形;三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
六、特殊线段的性质1. 三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
2. 三角形三条边的垂直平分线:三角形的三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等。
【巩固练习】一.选择题1. 如图所示,将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右..对折,接着对折后的纸片沿虚线CD向下..对折,然后剪下一个小三角形,再将纸片打开,则打开后的展开图是()2. 如图,将正方形纸片ABCD折叠,使边AB、CB均落在对角线BD上,得折痕BE、BF,则∠EBF的大小为( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°3.(2016秋·诸城市月考)下列语句中,正确的有()①关于一条直线对称的两个图形一定能重合;②两个能重合的图形一定关于某条直线对称;③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴;④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧;⑤角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等.A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4. 小明从镜中看到电子钟示数是,则此时时间是()A.12:01B.10:51C.11:59D.10:215. 已知A(4,3)和B是坐标平面内的两个点,且它们关于直线x=-3轴对称,则平面内点B的坐标是()A.(1,3)B.(-10,3)C.(4,3)D.(4,1)6.(2014•本溪校级二模)如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为()A.B.C.D.不能确定∠=︒,则7. 如图,将△ABC沿DE、HG、EF翻折,三个顶点均落在点O处.若1129∠的度数为()2A. 49°B. 50°C. 51°D. 52°8. 如图, △ABC中, ∠ACB=90°, ∠ABC=60°, AB的中垂线交BC的延长线于D,交AC于E, 已知DE=2.AC的长为()A.2B.3C. 4D.5二.填空题9. 如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2cm,点E在BC上,且AE=CE.若将纸片沿AE折叠,B重合,则AC=cm.点B恰好与AC上的点110. 在同一直角坐标系中,A(a+1,8)与B(-5,b-3)关于x轴对称,则a=___________,b=___________.11.如图所示,△ABC中,已知∠B和∠C的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,线段DE=_______.12. (2016春•淄博期中)如图,∠BAC=30°,AM是∠BAC的平分线,过M作ME∥BA交AC 于E,作MD⊥BA,垂足为D,ME=10cm,则MD= .13.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点O在△ABC内,•且∠OBC=∠OCA,∠BOC=110°,求∠A的度数为________.14. 如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为 .15.(2014•徐州模拟)如图,△ABC的面积为4cm2,BP平分∠ABC,且AP⊥BP于P,则△PBC的面积为cm2.16. 如图,六边形ABCDEF的六个内角都相等.若AB=1,BC=CD=3,DE=2,则这个六边形的周长等于_________。
轴对称全章复习与巩固(基础)【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形,理解轴对称的基本性质及它们的简单应用;2. 了解垂直平分线的概念,并掌握其性质;3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念,并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称(1)轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质:轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.(2)轴对称定义:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质:①关于某条直线对称的两个图形形状相同,大小相等,是全等形;②如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;③两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上.(3)轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系,轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形;轴对称涉及两个图形,而轴对称图形是对一个图形来说的.联系:如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形关于这条轴对称;如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来,与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形(1)几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些点,就可以得到原图形的轴对称图形;(2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y);点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y).要点三、等腰三角形1.等腰三角形(1)定义:有两边相等的三角形,叫做等腰三角形.(2)等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等,即“等边对等角”;②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三线合一”).特别地,等腰直角三角形的每个底角都等于45°.(3)等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等边”).2.等边三角形(1)定义:三条边都相等的三角形,叫做等边三角形.(2)等边三角形性质:等边三角形的三个角相等,并且每个角都等于60°.(3)等边三角形的判定:①三条边都相等的三角形是等边三角形;②三个角都相等的三角形是等边三角形;③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【典型例题】类型一、轴对称的判断与应用1、如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式,该算式的实际情况是怎样的?图1【答案与解析】该算式的情况是:120+85=205【总结升华】从镜子里看物体——左右相反举一反三:【变式】如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的().【答案】B ;提示:从水中看物体——上下颠倒2、如图,C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点,A、B•是桌面上的两个球,怎样击打A 球,才能使A 球撞击桌面边缘CF 后反弹能够撞击B 球?请画出A•球经过的路线,并写出作法.【答案与解析】解:作点A 关于直线CF 对称的点G ,连接BG 交CF 于点P ,则点P 即为A•球撞击桌面边缘CF 的位置,A•球经过的路线如下图.【总结升华】这道题利用了轴对称的性质,把AP 转化成了线段GP ,通过找A 点的对称点,从而确定点P 的位置.举一反三:【变式】(2016春•深圳校级期中)如图,∠AOB=30°,∠AOB 内有一定点P ,且OP=10.在OA 上有一点Q ,OB 上有一点R .若△PQR 周长最小,则最小周长是( )A .10B .15C .20D .30【答案】A ;提示:根据轴对称的性质,,QE QP RP RF ==,△PQF 的周长等于EF .3、如图,ΔABC 中,点A 的坐标为(0,1),点C 的坐标为(4,3),点B 的坐标为 (3,1),如果要使ΔABD 与ΔABC 全等,求点D 的坐标.【思路点拨】关于AB直线对称,且与△ABC全等的△ABD有一个,此时的△ABC与△ABD绕着AB的中点旋转180°,又可以找到两个与△ABC全等的三角形.【答案与解析】解:满足条件的点D的坐标有3个(4,-1);(-1,-1);(-1,3).【总结升华】有一条边相同的全等三角形,可以通过轴对称和旋转的方法找出,注意不要漏解.举一反三:【变式】在直角坐标系xoy中,△ABC关于直线y=1轴对称,已知点A坐标是(4,4),则点B的坐标是()A.(4,-4)B.(-4,2)C.(4,-2)D.(-2,4)【答案】C;提示:点A和点B是关于直线y=1对称的对应点,它们到y=1的距离相等是3个单位长度,所以点B的坐标是(4,-2).类型二、等腰三角形的性质与判定4、已知:一等腰三角形的两边长x,y满足方程组23328x yx y-=⎧⎨+=⎩,则此等腰三角形的周长为()A.5B.4C.3D.5或4【思路点拨】通过解方程组算出等腰三角形的两边长,由于没有指定边长是腰还是底,所以需要分类讨论,最后还要注意检验能否构成三角形.【答案】A;【解析】解:解方程组23328x yx y-=⎧⎨+=⎩得21xy=⎧⎨=⎩,当腰为1,2为底时,1+1=2,不能构成三角形,当腰为2,1为底时,能构成三角形,周长为2+2+1=5【总结升华】本题从边的方面考查等腰三角形,涉及分类讨论的思想方法.求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.举一反三:【变式】已知等腰三角形的一个内角为70°,则另两个内角的度数是()A.55°,55°B.70°,40°C.55°,55°或70°,40°D.以上都不对【答案】C;提示:当70°为顶角时,另外两个角是底角,它们的度数是相等的,为(180°-70°)÷2=55°,当70°为底角时,另外一个底角也是70°,顶角是180°-140°=40°.5、(2015秋•淮安校级期末)如图:(1)P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点,过点P作BC的垂线,交AB于点Q,交CA的延长线于点R.请观察AR与AQ,它们有何关系?并证明你的猜想.(2)如果点P沿着底边BC所在的直线,按由C向B的方向运动到CB的延长线上时,(1)中所得的结论还成立吗?请你在图(2)中完成图形,并给予证明.【思路点拨】(1)由已知条件,根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠PRC与∠AQR的关系;(2)由已知条件,根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠BQP 与∠PRC的关系.【答案与解析】解:(1)AR=AQ,理由如下:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵RP⊥BC,∴∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90°,∴∠BQP=∠PRC.∵∠BQP=∠AQR,∴∠PRC=∠AQR,∴AR=AQ;(2)猜想仍然成立.证明如下:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵∠ABC=∠PBQ,∴∠PBQ=∠C,∵RP⊥BC,∴∠PBQ+∠BQP=∠C+∠PRC=90°,∴∠BQP=∠PRC,∴AR=AQ.【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及判定;题中有两个类别的特殊三角形,等腰三角形是两个底角相等,直角三角形是两个锐角互余,还有对顶角相等的条件,为角的关系转化提供依据.举一反三:【变式1】(2016·常州)如图,已知△ABC中,AB=AC,BD、CE是高,BD与CE相交于点O.(1)求证:OB=OC;(2)若∠ABC=50°,求∠BOC的度数.【答案】(1)证明:∵AB=AC.∴∠ABC=∠ACB,∵BD、CE是高,∴∠DBC=∠ECB,∴OB=OC(2)∵∠ABC=50°,AB=AC,∴∠A=180°-2×50°=80°,∴∠BOC=180°-80°=100°.【变式2】如图,∠BAC=90°,以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD,M是BC的中点,请你探究线段DE与AM之间的数量关系.【答案】ED=2AM解:连接DE,∵∠BAC=90°,M是BC的中点∴AM=BM=MC=12 BC∠EAD=∠BAC=90°,AE=AB,AC=AD∴△ABC≌△AED∴ED=BC∴ED=2AM类型三、等边三角形的性质与判定6、如图,设D为等边△ABC内一点,且AD=BD,BP=AB, ∠DBP=∠DBC.求∠BPD的度数.【答案与解析】解:如图,连接CD,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC,又AD=BD,DC是公共边,∴△BDC≌△ADC(SSS),∴∠DCB=∠DCA=12×60°=30°,∠DBC=∠DAC,∵∠DBP=∠DBC,∴∠DAC=∠DBP,又已知BP=AB,∴BP=AC,∴△DBP≌△DAC(SAS),∴∠P=∠ACD=30°.【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质,在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.举一反三:【变式】(2014秋•东胜区校级期中)如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE 都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE于H.(1)求证:△BCE≌△ACD;(2)求证:FH∥BD.【答案】证明:(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形,∴BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60°,∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD,∴在△BCE和△ACD中,∵,∴△BCE≌△ACD (SAS).(2)由(1)知△BCE≌△ACD,则∠CBF=∠CAH,BC=AC又∵△ABC和△CDE都是等边三角形,且点B、C、D在同一条直线上,∴∠ACH=180°﹣∠ACB﹣∠HCD=60°=∠BCF,在△BCF和△ACH中,∵,∴△BCF≌△ACH (ASA),∴CF=CH,又∵∠FCH=60°,∴△CHF为等边三角形∴∠FHC=∠HCD=60°,∴FH∥BD.【巩固练习】一.选择题1. (2016•北京)甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式,下列甲骨文中,不是轴对称的是()A.B.C.D.2.(2015•威海模拟)如图,△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC、∠ACB,过D 作直线平行于BC ,交AB 、AC 于E 、F ,AB=5,AC=7,BC=8,△AEF 的周长为( )A .13B . 12C . 15D . 203. 以下叙述中不正确的是( )A .等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B .其中有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形C .等腰三角形一定是锐角三角形D .在一个三角形中,如果两条边不相等,那么它们所对的角也不相等;反之,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么它们所对的边也不相等4.下列条件①有一个角为60°的三角形;②三个外角都相等的三角形;③一边上的高与中线重合的三角形;④有一个角为60°的等腰三角形.能判定三角形为等边三角形的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个5. 如图,BD 是△ABC 的角平分线,DE ∥BC ,DE 交AB 于E, 且AB =BC ,则下列结论中错误..的是( )A .BD⊥ACB .∠A=∠EDAC .BC =2AD D .BE =ED6. 如图,△ABC 中,∠ACB =90°,CD 是AB 边上的高,∠BAC 的角平分线AF 交CD 于E ,则△CEF 必为( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形7.下列说法中不正确的是( )A.等边三角形是轴对称图形B.若两个图形的对应点连线都被同一条直线垂直平分,则这两个图形关于这条直线对称C.若△ABC ≌△111C B A ,则这两个三角形一定关于一条直线对称D.直线MN 是线段AB 的垂直平分线,若P 点使PA =PB ,则点P 在MN 上,若11P A PB ,P不在MN上则18.如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线DE交BC于D,交AB于点E.当∠B =30°时,图中不一定相等的线段有()A.AC=AE=BE B.AD=BD C.CD=DE D.AC=BD二.填空题9. 如图,O是△ABC内一点,且 OA=OB=OC,若∠OBA=20°,∠OCB=30°,则∠OAC=_________.10. 如图,△ABC中,∠A=90°,BD为∠ABC平分线,DE⊥BC,E是BC的中点,∠C的度数为_________.11. 如图,△ABC中,∠C=90°,D是CB上一点,且DA=DB=4,∠B=15°,则AC的长为.12.(2014•宝应县二模)如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,若BE=60cm,DE=2cm,则BC= cm.13. 点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上,将△BDE沿直线DE翻折,使点B落在B1处,DB1、EB1分别交边AC于点F、G.若∠ADF=80º,则∠CEG=.14.一个汽车车牌在水中的倒影为,则该车的牌照号码是______.15.(2016·厦门校级模拟)在等腰△ABC中,AB=AC,AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分,则这个三角形的底边长为_________.16. 三角形纸片ABC中,∠A=60°,∠B=80°,将纸片的一角折叠,使点C•落在△ABC内,如图所示∠1=30°,则∠2=_______.三.解答题17.(2015春•宜春期末)已知,在平面直角坐标系中,点M、N的坐标分别为(1,4)和(3,0),点Q是y轴上的一个动点,且M、N、Q三点不在同一直线上,当△MNQ的周长最小时,求点Q的坐标.18. 如图,上午9时,一条渔船从A出发,以12海里/时的速度向正北航行,11时到达B处,从A、B处望小岛C,测得∠NAC=15°,∠NBC=30°.若小岛周围12.3海里内有暗礁,问该渔船继续向正北航行有无触礁危险?19.如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,若AC平分∠DAB,•且AB =AE,AC=AD,求证∠DBC=12∠DAB.20.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC,BD=CE,M是AC边的中点,求证△DEM 是等腰三角形.CEBADM【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D;【解析】A、是轴对称图形,故本选项错误;B、是轴对称图形,故本选项错误;C、是轴对称图形,故本选项错误;D、不是轴对称图形,故本选项正确.2. 【答案】B;【解析】解:∵EF∥BC,∴∠EDB=∠DBC,∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠CBD,∴∠EDB=∠EBD,∴BE=ED,同理DF=CF,∴△AEF的周长是AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=5+7=12.故选B.3. 【答案】C;【解析】等腰三角形还有钝角三角形和直角三角形.4. 【答案】B;【解析】②④均能判定三角形为等边三角形.5. 【答案】C;【解析】因为BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,所以∠EBD=∠DBC=∠EDB,故B、D成立,由等腰三角形三线合一的性质知A成立.6. 【答案】A;【解析】∠CFA=∠B+∠BAF,∠CEF=∠ECA+∠EAC,而∠B=∠ECA,∠BAF=∠EAC,故△CEF为等腰三角形.7. 【答案】C;【解析】全等的两个三角形不一定关于一条直线对称.8. 【答案】D;【解析】由角平分线的性质结合∠B=30°,可知A、B、C均成立.二.填空题9. 【答案】40°;【解析】△AOB与△BOC与△AOC均为等腰三角形,∠OAC=180220302︒-⨯︒+︒()=40°.10.【答案】30°;【解析】证△BDE≌△CDE,∠ABD=∠DBE=∠C=30°.11.【答案】2;【解析】∠ADC=30°,122AC AD==.12.【答案】62;【解析】解:延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,作DF∥BC,∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AN⊥BC,BN=CN,∵∠EBC=∠E=60°,∴△BEM为等边三角形,∴△EFD为等边三角形,∵BE=60,DE=2,∴DM=58,∵△BEM为等边三角形,∴∠EMB=60°,∵AN⊥BC,∴∠DNM=90°,∴∠NDM=30°,∴NM=29,∴BN=31,∴BC=2BN=62,故答案为62.13.【答案】40°;【解析】∠BDE =18080502︒-︒=︒,∠BED =∠DEG =180°-50°-60°=70°,所以∠CEG =40°.14.【答案】 W 5236499【解析】只需将倒影沿垂直旋转180°即可,因此该车的牌照号码为:W 5236499.15.【答案】16或8;【解析】∵BD 是等腰△ABC 的中线,可设AD=CD=x ,则AB=AC=2x ,根据题意可分两种情况:①AB+AD=15,即315x =,解得5x =,此时BC=21516-=;②AB+AD=21,即321x =,解得7x =,此时BC=1578-=;经验证,这两种情况都是成立的.∴这个三角形的底边长为8或16.16.【答案】50°;【解析】∠C =40°,根据折叠图形对应角相等及三角形内角和定理,∠2=50°.三.解答题17.【解析】解:作点N 关于y 轴的对称点N′,连接MN′交y 轴于点Q ,则此时△MNQ 的周长最小,理由:∵点N 的坐标是(3,0),∴点N′的坐标是(﹣3,0),过点M 作MD⊥x 轴,垂足为点D∵点M 的坐标是(1,4)∴N′D=MD=4∴∠MN′D=45°,∴N′O=OQ=3,即点Q 的坐标是(0,3).18.【解析】解:该渔船继续向正北航行有触礁危险作CD ⊥AB 于D ,由题意AB =24,∵∠NAC =15°,∠NBC =30°∴∠ACB =15°,AB =BC =24在直角三角形BCD 中,DC =12BC =12, ∵12<12.3,∴该渔船继续向正北航行有触礁危险.19.【解析】证明:∵AC 平分∠DAB ,∴∠DAE =∠CAB在△DAE 和△CAB 中,,,,AD AC DAE CAB AE AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAE ≌△CAB (SAS ),∴∠BDA =∠ACB ,又∵∠AED =∠CEB ,∴∠ADE +∠AED =∠ACB +∠CEB ,∵∠DAE =180°-(∠ADE +∠AED ),∠DBC =180°-(∠ACB +∠CEB ), ∴∠DAE =∠DBC ,∵∠DAE =12∠DAB , ∴∠DBC =12∠DAB . 20.【解析】证明:连接BM ,∵AB =BC ,AM =MC ,∴BM ⊥AC ,且∠ABM =∠CBM =12∠ABC =45°, ∵AB =BC ,所以∠A =∠C =1802ABC ︒-∠=45°, ∴∠A =∠ABM ,所以AM =BM ,∵BD =CE ,AB =BC ,∴AB -BD =BC -CE ,即AD =BE ,在△ADM和△BEM中,,45,,AD BEA EBMAM BM=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADM≌△BEM(SAS),∴DM=EM,∴△DEM是等腰三角形.。