2-4平方根法与改进的平方根法重点

数学中的平方根知识点解析及解题技巧数学中的平方根是我们在初等数学中学习的重要知识点之一。

平方根是指某个数的算术平方根，即找到一个数，使其平方等于给定的数。

在解题过程中，了解平方根的概念、性质以及一些解题技巧是非常重要的。

本文将对数学中的平方根进行解析，并提供一些解题技巧。

一、平方根的定义与性质平方根的定义：设a和b都是实数，则b是a的平方根，当且仅当b的平方等于a。

符号表达为√a = b 或 a的平方根等于b。

1. 平方根的性质：a) 非负实数的平方根是实数；b) 负数没有实数平方根，在复数域中有两个互为相反数的平方根；c) 非零数的正平方根和负平方根互为相反数。

二、平方根的求解方法在解题过程中，常见的平方根求解方法有以下几种：1. 倍增法：倍增法是一种通过逐步逼近来求解平方根的方法。

例如，对于一个非负实数a，可以从一个合适的起始值b开始，通过逐步增加b的值，使得b的平方逼近a，直到满足要求。

2. 二分法：二分法是一种通过取平均值来逐步逼近平方根的方法。

对于一个非负实数a，可以确定一个上下界b和c，使得b的平方小于a，c的平方大于a。

然后通过取b和c的平均值来逐步逼近平方根的解。

3. 牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种通过逐步逼近来求解平方根的方法。

该方法基于泰勒级数展开，通过不断逼近函数与x轴的交点来求解平方根。

三、平方根的解题技巧1. 化简被开方数：在进行平方根运算时，如果被开方数可以进行化简，可以大大简化计算过程。

例如，对于√4，可以将其化简为2，避免了对浮点数的计算。

2. 判断平方数：在求解平方根时，我们可以先判断被开方数是否为平方数。

如果是平方数，那么其平方根一定是整数。

因此，可以通过判断被开方数是否为平方数，来确定是否可以通过直接求平方根来得到答案。

3. 利用平方根的性质：在解题过程中，我们可以利用平方根的性质来简化运算。

例如，利用√ab = √a * √b，可以化简被开方数的因式分解，从而减少计算量。

平方根法和改进平方根法求解线性方程组例题与程序2、数学原理1、平方根法解n阶线性方程组Ax=b的choleskly方法也叫做平方根法，这里对系数矩阵A是有要求的，需要A是对称正定矩阵，根据数值分析的相关理论，如果A对称正定，那么系数矩阵就可以被分解为的形式，其中L是下三角矩阵，将其代入Ax=b 中，可得：进行如下分解：那么就可先计算y,再计算x，由于L是下三角矩阵，是上三角矩阵，这样的计算比直接使用A计算简便，同时你应该也发现了工作量就转移到了矩阵的分解上面，那么对于对称正定矩阵A进行Cholesky分解，我再描述一下过程吧：如果你对原理很清楚那么这一段可以直接跳过的。

设，即其中第1步，由矩阵乘法，故求得一般的，设矩阵L的前k-1列元素已经求出第k步，由矩阵乘法得于是2、改进平方根法在平方根的基础上，为了避免开方运算,所以用计算；其中，；得按行计算的元素及对元素公式对于、、计算出的第行元素后，存放在的第行相置，然后再计算的第行元素，存放在的第行、的对角元素存放在的相应位置、对称正定矩阵按分解和按分解计算量差不多，但分解不需要开放计算。

求解, 的计算公式分别如下公式。

3、程序设计1、平方根法function[x]=pfpf(A,b)%楚列斯基分解求解正定矩阵的线性代数方程A=LL’ 先求LY=b 再用L’X=Y 即可以求出解X[n,n]=size(A);L(1,1)=sqrt(A(1,1));for k=2:nL(k,1)=A(k,1)/L(1,1);endfor k=2:n-1 L(k,k)=sqrt(A(k,k)-sum(L(k,1:k-1)、^2)); for i=k+1:n L(i,k)=(A(i,k)-sum(L(i,1:k-1)、*L(k,1:k-1)))/L(k,k);endendL(n,n)=sqrt(A(n,n)-sum(L(n,1:n-1)、^2));%解下三角方程组Ly=b 相应的递推公式如下，求出y矩阵y=zeros(n,1);%先生成方程组的因变量的位置，给定y的初始值for k=1:n j=1:k-1; y(k)=(b(k)-L(k,j)*y(j))/L(k,k);end%解上三角方程组L’X=Y递推公式如下，可求出X矩阵x=zeros(n,1);U=L;%求上对角矩阵for k=n:-1:1 j=k+1:n; x(k)=(y(k)-U(k,j)*x(j))/U(k,k);end >> A=[4,2,-4,0,2,4,0,02,2,-1,-2,1,3,2,01,14,1,-8,-3,5,6 0,-2,1,6,-1,-4,-3,32,1,-8,-1,22,4,-10,-34,3,-3,-4,4,11,1,-4 0,2,5,-3,-10,1,14,20,0,6,3,-3,-4,2,19];>> b=[0;-6;20;23;9;-22;-15;45];>>x=pfpf(A,b)x =121、148160、152810、91202、01852、改进平方根法function[x]=improvecholesky(A,b,n)%用改进平方根法求解Ax=bL=zeros(n,n); %L为n*n矩阵D=diag(n,0); %D为n*n的主对角矩阵S=L*D;for i=1:n %L的主对角元素均为1 L(i,i)=1;endfor i=1:n for j=1:n %验证A是否为对称正定矩阵if (eig(A)<=0)|(A(i,j)~=A(j,i))%A的特征值小于0或A非对称时，输出wrongdisp(wrong);break;endendendD(1,1)=A(1,1); %将A分解使得A=LDLTfor i=2:n for j=1:i-1 S(i,j)=A(i,j)-sum(S(i,1:j-1)*L(j,1:j-1)); L(i,1:i-1)=S(i,1:i-1)/D(1:i-1,1:i-1); end D(i,i)=A(i,i)-sum(S(i,1:i-1)*L(i,1:i-1));endy=zeros(n,1); % x，y为n*1阶矩阵x=zeros(n,1);for i=1:n y(i)=(b(i)-sum(L(i,1:i-1)*D(1:i-1,1:i-1)*y(1:i-1)))/D(i,i); %通过 LDy=b解得y的值endfor i=n:-1:1x(i)=y(i)-sum(L(i+1:n,i)*x(i+1:n)); %通过LTx=y解得x的值end>> A=[4,2,-4,0,2,4,0,02,2,-1,-2,1,3,2,01,14,1,-8,-3,5,6 0,-2,1,6,-1,-4,-3,32,1,-8,-1,22,4,-10,-34,3,-3,-4,4,11,1,-4 0,2,5,-3,-10,1,14,2 0,0,6,3,-3,-4,2,19];>>b=[0;-6;20;23;9;-22;-15;45];>> n=8;>>x=improvecholesky(A,b,n)x =121、148160、152810、91202、01854、结果分析和讨论平方根法和改进平方根法求解线性方程组的解为x=（121、1481，-140、1127，29、7515，-60、1528，10、9120，-26、7963，5、4259，-2、0185）T。

平方根知识点总结平方根是代数学中的一个重要概念，经常在各种数学问题中出现。

简单来说，平方根就是一个数与自己相乘等于指定数的操作的逆运算。

本文将为您总结平方根的知识点，并讨论相关概念、性质和应用。

一、基本概念1. 平方根的定义：对于一个非负数a，它的平方根是指满足x * x = a的非负数x。

符号√a表示a的平方根，√a ≥ 0。

2. 平方根的记法：平方根记作√a。

例如√25 = 5，√144 = 12。

二、性质与运算1. 非负数的平方根：对于任意非负实数a，都存在唯一一个非负实数x，使得x * x = a。

2. 平方根的唯一性：每个正实数只有一个正平方根，即√a是唯一的。

但负实数没有实数平方根。

3. 非零实数的平方根：对于任意非零实数a，其平方根√a的正负号取决于a的符号。

当a > 0时，√a > 0；当a < 0时，√a不存在实数解。

4. 平方根的运算性质：a) 两个非负数的积的平方根等于它们的平方根的乘积：√(ab) = √a * √b。

b) 两个非负数的商的平方根等于它们的平方根的商：√(a/b) = √a / √b（b ≠ 0）。

c) 平方根的乘方等于它的被开方数：(√a)² = a。

三、平方根的求解方法1. 估算法：通过估算被开方数的大小，可以快速确定一个近似的平方根。

2. 迭代法：通过迭代运算，逐步逼近平方根的精确值。

3. 牛顿法：利用泰勒级数近似平方根，通过迭代逼近平方根的解。

四、平方根的应用1. 几何应用：平方根在几何图形的计算中有广泛应用，如计算圆的半径或直径、计算三角形的斜边、计算四边形的对角线等。

2. 物理应用：平方根在物理学中的运动学、力学、电磁学等领域广泛应用，如计算速度、加速度、力的大小等。

3. 工程应用：平方根在工程学中的建筑、机械等领域有重要应用，如计算力的大小、材料的强度等。

4. 统计学应用：平方根在统计学中用于计算方差和标准差等。

总结：平方根是数学中一个非常重要的概念，它在各个领域均有广泛的应用。

平方根的计算方法导言：平方根（square root）是数学中常见的运算，用于求一个数的平方根。

计算平方根可以帮助我们解决很多实际问题，例如在几何学、物理学和工程学中的应用。

本文将介绍几种计算平方根的方法，并探讨它们的优缺点。

一、牛顿法（Newton's Method）牛顿法是一种迭代法，通过不断逼近平方根的值来得到更加精确的结果。

该方法基于牛顿-拉夫逊法则，其迭代公式如下：x_(x+1) = x_x - (x_x^2 - x)/(2x_x)其中，x为需要求平方根的数，x为迭代次数，x_x为迭代过程中的近似值。

通过迭代计算，x_x将逐渐逼近平方根。

牛顿法的优点是收敛速度快、迭代次数较少，适用于求解大部分整数和实数的平方根。

但是，牛顿法需要选择一个合适的初始值，否则可能导致结果偏离真实值。

二、二分法（Bisection Method）二分法是一种基于区间划分的方法，通过不断将区间缩小，逐渐逼近平方根的值。

该方法的思路是，如果一个数的平方大于待求平方根的数，那么这个数的平方根必然在该数左侧；反之，如果一个数的平方小于待求平方根的数，那么这个数的平方根必然在该数右侧。

通过不断将区间一分为二，可以逐步缩小范围。

二分法的优点是简单易实现，并且收敛性较好。

然而，与牛顿法相比，二分法的收敛速度较慢，需要更多的迭代次数。

三、连分数（Continued Fraction）法连分数法是一种将平方根表示为连分数的方法，通过截断连分数的展开式，可以近似计算平方根的值。

以求解正整数的平方根为例，设平方根为一个无限连分数：√x = x_0 + 1/(x_1 + 1/(x_2 + 1/(x_3 + 1/(x_4 + ...))))其中，x_x为连分数的系数。

通过不断截断、逼近连分数的展开，可以得到近似的平方根。

连分数法的优点是可以提供较为准确的结果，并且在计算机实现时能够保持高精度。

然而，连分数法的计算步骤繁琐，对于非整数的平方根计算较为复杂。

高中数学平方根题型解题方法论述在高中数学中，平方根是一个重要的概念和题型。

解决平方根题目需要掌握一定的方法和技巧。

本文将从平方根的定义、求解方法、考点分析以及一些实际例题进行详细论述，以帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用平方根的知识。

一、平方根的定义和基本性质平方根是指一个数的平方等于它本身的非负实数。

例如，2的平方根为√2，因为√2 × √2 = 2。

平方根的基本性质包括：1. 非负性：平方根是非负实数，即√x ≥ 0。

2. 唯一性：一个数的平方根是唯一的，即对于非负实数x，只有一个非负实数a满足a × a = x。

3. 乘法性：(√a) × (√b) = √(a × b)，其中a和b为非负实数。

了解平方根的基本定义和性质对于解决平方根题目非常重要，可以帮助我们正确理解题目并运用相关的求解方法。

二、平方根的求解方法1. 直接开方法：对于完全平方数，可以直接开平方根。

例如，√16 = 4，因为4 × 4 = 16。

这种方法适用于求解较小的平方根。

2. 近似法：对于非完全平方数，可以使用近似法求解。

例如，要求解√2的近似值，可以使用长除法、牛顿迭代法等数值方法进行计算。

这种方法适用于求解较大的平方根或无法直接开方的平方根。

3. 平方根的性质法：对于一些特殊的平方根，可以利用平方根的性质进行求解。

例如，要求解√(a × b)，可以利用乘法性质将其拆分为√a × √b。

这种方法可以简化计算过程，提高解题效率。

三、平方根题目的考点分析平方根题目通常涉及到平方根的定义、基本性质以及求解方法。

具体的考点包括：1. 平方根的非负性：在解题过程中，需要注意平方根是非负实数的特点。

如果在计算过程中得到了负数的平方根，需要检查是否存在计算错误。

2. 完全平方数的特殊性：完全平方数的平方根是整数，可以直接开方得到结果。

在解题时，需要注意判断给定数是否为完全平方数，以选择合适的求解方法。

M A T L A B-平方根法和改进平方根法求解线性方程组例题与程序（2）设对称正定阵系数阵线方程组12345678424024000221213206411418356200216143323218122410394334411142202531011421500633421945x x x x x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢---⎢⎥⎢⎥⎢--⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥ (1,1,0,2,1,1,0,2)T x *=--二、数学原理 1、平方根法解n 阶线性方程组Ax=b 的choleskly 方法也叫做平方根法，这里对系数矩阵A 是有要求的，需要A 是对称正定矩阵，根据数值分析的相关理论，如果A 对称正定，那么系数矩阵就可以被分解为的T A=L L •形式，其中L 是下三角矩阵，将其代入Ax=b 中，可得：T LL x=b 进行如下分解：T L xL by y ⎧=⎨=⎩ 那么就可先计算y,再计算x ，由于L 是下三角矩阵，是T L 上三角矩阵，这样的计算比直接使用A 计算简便，同时你应该也发现了工作量就转移到了矩阵的分解上面，那么对于对称正定矩阵A 进行Cholesky 分解，我再描述一下过程吧： 如果你对原理很清楚那么这一段可以直接跳过的。

设T A=L L •，即1112111112112122221222221212....................................n n n n n n nn n n nn nn a a a l l l l aa a l l l l a a a l l l l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中,,1,2,...,ij ji a a i j n ==第1步，由矩阵乘法，211111111,i i a l a l l ==g 故求得111111,2,3,...i i a l l i n a === 一般的，设矩阵L 的前k-1列元素已经求出 第k 步，由矩阵乘法得112211k k kk kmkkik im km ik kkm m a l l a l l l l --===+=+∑∑, 于是11(2,3,...,n)1(),1,2,...kk k ik ik im km m kk l k l a l l i k k n l -=⎧=⎪⎪=⎨⎪=-=++⎪⎩∑ 2、改进平方根法在平方根的基础上，为了避免开方运算,所以用TLDL A =计算；其中，11122.........n d D D D d ⎤⎤⎡⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎣；得1121212212111111n n n n n d l l l d l A l l d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L M MO O O M L按行计算的L 元素及D 对元素公式 对于n i ,,2,1Λ=11(1,21)j ij ij ik jk k t a t l j i -==-=-∑…，./(1,2,)ij ij j l t d j ==…，i-1.11i i ii ik ikk d a t l -==-∑计算出LD T =的第i 行元素(1,2,i-1)ij t j =…，后，存放在A 的第i 行相置，然后再计算L 的第i 行元素，存放在A 的第i 行.D 的对角元素存放在A 的相应位置.对称正定矩阵A 按T LDL 分解和按T LL 分解计算量差不多，但T LDL 分解不需要开放计算。

计算平方根的方法计算平方根是数学中常见的运算之一，它是指找出一个数的平方等于另一个给定数的运算过程。

平方根的计算有多种方法，下面将介绍几种常用的计算平方根的方法。

一、开方运算法开方运算法是最常用的一种计算平方根的方法。

它的基本思想是：对于一个给定的数x，如果存在一个数a，使得a的平方等于x，那么a就是x的平方根，我们可以用符号√x表示。

开方运算法的步骤如下：1. 选择一个初始猜测值a。

2. 计算a的平方，如果等于x，则a就是x的平方根。

3. 如果a的平方大于x，则将猜测值减小一点再次计算。

4. 如果a的平方小于x，则将猜测值增加一点再次计算。

5. 重复步骤3和4，直到找到一个足够接近x的猜测值a。

二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种求函数零点的数值方法，可以用来计算平方根。

它的基本思想是：对于一个给定的数x，我们可以构造一个函数f(a) = a^2 - x，如果存在一个数a，使得f(a)等于0，那么a就是x的平方根。

牛顿迭代法的步骤如下：1. 选择一个初始猜测值a。

2. 计算函数f(a)的值。

3. 如果f(a)的值接近0，那么a就是x的平方根。

4. 如果f(a)的值不接近0，那么更新猜测值 a = a - f(a) / f'(a)，其中f'(a)表示函数f(a)的导数。

5. 重复步骤2到4，直到找到一个足够接近0的猜测值a。

三、二分法二分法也是一种常用的求函数零点的数值方法，可以用来计算平方根。

它的基本思想是：对于一个给定的数x，我们可以构造一个函数f(a) = a^2 - x，如果存在一个数a，使得f(a)等于0，那么a 就是x的平方根。

二分法的步骤如下：1. 选择一个区间[a, b]，使得f(a)和f(b)的符号相反。

2. 计算区间的中点c = (a + b) / 2。

3. 如果f(c)的值接近0，那么c就是x的平方根。

4. 如果f(c)的值不接近0，那么根据f(c)和f(a)的符号确定新的区间。

七年级下册平方根知识点
平方根是一种最基本的数学运算，它在数学中的运用非常广泛。

在中学的数学课程中，平方根通常是在七年级下册开始学习的一
个重要知识点。

本文将会介绍平方根的定义、性质和运用。

一、什么是平方根？
平方根是指大于等于 0 的实数的非负平方根。

例如，2 的平方
根是 1.414，4 的平方根是 2，9 的平方根则是 3。

二、平方根的性质
1.非负数的平方根是唯一的。

2.正数的平方根仍是正数，而负数则没有实数平方根。

3.平方根运算有分配律、结合律和交换律。

例如：(a + b) 的平
方根等于 a 的平方根加上 b 的平方根。

三、平方根的运用
1.平方根的运用在几何中非常广泛。

例如，在计算三角形和圆的面积、直角三角形的斜边长度和无理数的计算等方面都会运用到平方根。

2.平方根还能够用于求解一元二次方程的根。

例如，对于方程x²+4x+3=0，我们可以使用平方根公式来解出方程的两个根：
x₁=(－4＋√(16－4×3))/2，x₂=(－4－√(16－4×3))/2。

3.平方根还可以在实际生活中应用，比如测量的不确定性时，需要计算误差范围。

在这个过程中，可以运用平方根来求出平均误差。

综上所述，平方根是一种基础且重要的数学运算，它的定义、性质和运用对于我们的数学学习和实际生活都具有重要的意义。

§ 4 平方根法与改进的平方根法4．1 平方根法（Cholesky 分解法）定理 2.3 设A 是对称正定矩阵，则存在唯一的非奇异下三角阵L ，使得T LL A =且L 的对角元皆为正数。

[证明] A 是对称正定矩阵，各阶顺序主子式均大于零，故A 可分解U L A ~= L ~ 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵。

令),,(2211nn u u u diag D =，U D P 1-=则P 单位上三角矩阵，DP L A ~=， A 对称DP L A L D P A T TT ~~===由Doolittle 分解的唯一性，L P T~= DP P A T =对任意θ≠=-x P y x 1,，由A 正定，)()(1111>===----Ay y x AP x P xAP P x Dx x T T T T T所以D 正定，D 的对角元素为正数。

令 ),,(~2211nn u u u diag D =则TT T TLLP D P D P D D P A ===~)~(~~ 唯一性T T GG LL A ==GL G GG L G LL L G L T T T TT T 111111)()()(------===1)(-T T G L 是上三角阵，G L 1-是下三角阵，所以 1)(-T T G L =G L 1-=I ， 即 G L =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n l l l l l l L21222111000 比较可得⎪⎩⎪⎨⎧+=-==-=∑∑-=-=nk i l l l a l n k l a l kk k j kj ij ik ik k j kj kk kk ,,1/)(,,2,1)(112/1112→=→→=→),,3(),,3,2(222111n i l l n i l l i i ⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=yx L b Ly b AX T⎪⎩⎪⎨⎧-=-==-=∑∑+=-=1,,1,/)(,,2,1/)(111n n k l x l y x n k ly l b y kknk j j jk k k kk k j j kj k k乘除法计算量)6(3n O 4．2 改进的平方根法（T LDL 法） T LDL A =其中L 为单位下三角阵，D 为对角矩阵。