(完整版)平行四边形性质判定题型分类

16cm, AC 与BD 相交于点 O, OE L AC 交AD 于丘，求厶DCE 的周长平行四边形的性质和判定一、角度的运算1、 在口 ABCD 中，若/ A -Z B = 40 ° 则/ A= __________ ，/ B = __________ .2、 在平行四边形 ABCD 中,Z A : Z B=3:2，则Z C= _______ 度，/ D= ___________ 度.3、 如图,在平行四边形 ABCD 中,BC=2AB, CAL AB 贝UZ B= _____ 度,Z CAD= _____ 度.4、 已知：如图，在 □ABCD 中，CE L AB 于E , CF 丄AD 于F ,Z 2 = 30 °求Z 1、Z 3的度数.二、求边长（取值范围）、周长1、 已知平行四边形的周长是 100cm, AB:BC=4 : 1则AB 的长是 __________________ .2、 若平行四边形周长为 54cm ,两邻边之差为 5cm ，则这两边的长度分别为 ____________ .3、 口ABCD 中，对角线 AC 和BD 交于O,若AC = 8, BD = 6，则边AB 长的取值范围是 _______ .4、 □ ABCD 的周长为60cm ，其对角线交于 O 点，若△ AOB 的周长比厶BOC 的周长多10cm , 贝H AB = __________ , BC = ___________ .5、 在口ABCD 中 CA L AB , Z BAD = 120 ° 若 BC = 10cm ,则 AC = ______ , AB = ___________ .6、 如图，平行四边形 ABCD 中,AB=5cm, BC=3cm, Z D 与Z C 的平分线分别交 AB 于F,E,求 AE, EF, BF 的长？7、□ ABC ［中, E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ ABE 向上翻折，点 A 正好落在 CD 上的点F , 若厶FDE 的周长为8,A FCB 的周长为22,求CF 的长.C B三、求面积1、在口ABCD 中，AE ± BC 于 E ,若 AB = 10cm , BC = 15cm , BE = 6cmU DABCD 的面积为2、 若在口ABCD 中，/ A = 30° AB = 7cm , AD = 6cm ，贝U 9 ABCD= _______ .3、 如图，平行四边形 ABCD 中，DE 丄AB 于E , DF 丄BC 于F ,若L ABCD 的周长为48, DE = 5, DF = 10,求 L ABCD 的面积。

初二数学平行四边形7大常见题型+知识点+误区平行四边形是初二数学必考内容，甚至于中考卷里也时常出现它的身影，而且所占分值还不少。

为此，特意给大家整理了初二数学下册必考之【平行四边形】，7大常见题型+知识点+误区！平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

表示：平行四边形用符号“□”来表示。

平行四边形性质：平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分平行四边形的面积等于底和高的积，即S□ABCD=ah，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其对边的距离，即对应的高。

平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形从对角线看：对角钱互相平分的四边形是平行四边形从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

若一条直线过平行四边形对角线的交点，则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积。

7大常见题型分析（1）利用平行四边形的性质，求角度、线段长、周长等例题1：如图，E、F在ABCD的对角线AC上，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=54°，求∠ADE的度数分析：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此可以得到DE=AE=EF=CD，多条线段相等，可设最小的角为x，即设∠EAD=∠ADE=x，根据外角等于不相邻的内角和，得到∠DEC=∠DCE=2x，由平行四边形的性质得出∠DCE=∠BCD-∠BCA=54°-x，得出方程，解方程即可。

例题2：如图，已知四边形ABCD和四边形ADEF均为平行四边形，点B，C，F，E在同一直线上，AF交CD于O，若BC=10，AO=FO，求CE的长。

分析：根据平行四边形的性质得出AD=BC=EF，AD∥BE，从而得到∠DAO=∠CFO，再加上对顶角相等，可以得到△AOD≌△FOC，根据全等三角形的性质得到AD=CF，即AD=BC=EF=CF，从而得到线段CE的长度。

平行四边形专题详解18.1 平行四边形知识框架{基础知识点{ 平行四边形的定义平行四边形的性质平行四边形的判定定理三角形中位线定理典型题型{利用平行线的性质求角度平行线间距离的运用平行四边形的证明难点题型{平行四边形间距离的应用平行四边形有关的计算平行四边形的有关证明一、基础知识点知识点1 平行四边形的定义1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。

平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD 表示为“▱ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形 2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。

3）两条平行线之间的距离：一条直线上任一点到另一直线的距离。

平行线间距离处处相等。

例1.如图，AB ∥EG ，EF ∥BC ，AC ∥FG ，A ，B ，C 分别在EF ，EG 上，则图中有 个平行四边形，可分别记作 。

例2.如图，▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=DF 。

例3.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法错误的是（）A.AB=CDB.CE=FGC.直线a，b之间的距离是线段AB的长D.直线a，b之间的距离是线段CE的长知识点2 平行四边形的性质平行四边形的性质，主要讨论：边、角、对角线，有时还会涉及对称性。

如下图，四边形ABCD是平行四边形：1）性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD（矩形的对角线才相等）；②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO（菱形对角线才平分角）4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。

平行四边形知识点归纳和题型归类平行四边形知识点归纳和题型归类要点梳理】要点一、平行四边形1.定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.性质：（1）对边相等；（2）同位角相等；（3）相邻角互补；（4）是中心对称图形。

3.面积：S = 底 ×高。

4.判定：边：（1）有两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）对边相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

角：（4）有一组对边平行，且同位角相等的四边形是平行四边形。

对角线：有一组对边相等，且互相平分的四边形是平行四边形。

要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等。

要点二、矩形1.定义：有四个角都是直角的平行四边形叫做矩形。

2.性质：（1）对边相等；（2）相邻角互补；（3）对角线相等；（4）是中心对称图形，也是轴对称图形。

3.面积：S = 长 ×宽。

4.判定：有四个角都是直角的平行四边形是矩形。

要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。

要点三、菱形1.定义：有四个边都相等的平行四边形叫做菱形。

2.性质：（1）对边相等；（2）相邻角互补；（3）对角线相等；（4）是中心对称图形，也是轴对称图形。

3.面积：S = 对角线之积的一半。

4.判定：有一组对边平行且相等的四边形是菱形。

要点四、正方形1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的平行四边形叫做正方形。

2.性质：（1）对边相等；（2）相邻角互补；（3）对角线相等；（4）是中心对称图形，也是轴对称图形；（5）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

3.面积：S = 边长的平方，也可以用对角线的平方的一半求解。

4.判定：（1）有一组对边平行且相等的菱形是正方形；（2）有四个角都是直角的矩形是正方形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（4）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。

平行四边形知识点总结及分类练习题一、知识点总结平行四边形是几何学中一个重要的概念，其性质和判定方法对于理解几何学中的其他问题有着至关重要的作用。

以下是对平行四边形知识点的总结：1、定义：平行四边形是一个四边形，其中相对的两边平行且相等。

可以用符号“▭”表示。

2、性质：1)对边平行：平行四边形的对边平行且相等。

2)对角相等：平行四边形的对角相等，邻角互补。

3)平行四边形的面积等于其底乘高。

3.判定方法：1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。

5)邻角互补的四边形是平行四边形。

4.特殊平行四边形：矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，它们分别具有以下性质：1)矩形：对角线相等，四个角都是直角。

2)菱形：对角线垂直且平分，四边相等。

3)正方形：对角线垂直且相等，四个角都是直角。

二、分类练习题1、选择题：1)下列哪个条件可以判定一个四边形为平行四边形？A.一组对边相等，一组对角相等B.一组对边平行，另一组对边相等C.一组对角相等，另一组对边平行D.一组对角相等，一组邻角互补答案：(C)一组对角相等，另一组对边平行。

因为一组对角相等，另一组对边平行的四边形可以由一组对边平行，另一组对边相等的四边形经过平移得到，因此选项C正确。

其他选项都不满足平行四边形的定义或判定方法。

2)下列哪个条件可以判定一个四边形为矩形？A.三个内角都是直角B.对角线相等且互相平分C.对角线互相垂直且平分D.一组对边平行且相等，一组邻角互补答案：(B)对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

因为矩形的定义是对角线相等的平行四边形，而对角线相等且互相平分的四边形是平行四边形，因此选项B正确。

其他选项分别是矩形的定义或判定方法的一部分，但不足以单独判定一个四边形为矩形。

特殊平行四边形知识点总结及题型一、平行四边形的性质：1、平行四边形的对边平行且相等；2、平行四边形的对角相等；3、平行四边形的对角线互相平分。

八年级下册数学《第十八章平行四边形》专题平行四边形的性质与判定【例题1】如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（ ）A．B．C．D．【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可证BE ＝BC ＝5，由勾股定理的逆定理可求∠AED ＝90°，由勾股定理可求CE 的长．【解答】解：∵AE ＝3，EB ＝5，∴AB ＝8，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ＝BC ，AB ＝CD ＝8，∴∠DCE ＝∠BCE ，∠AED ＝∠EDC ，∵CE 平分∠BCD ，∴∠DCE ＝∠BCE ，∴∠BCE ＝∠BEC ，∴BE ＝BC ＝5，∴AD ＝5，∵AD 2＝25＝16+9＝DE 2+AE 2，∴∠AED ＝90°，∴∠AED ＝∠EDC ＝90°，∴CE =故选：D ．【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，证明∠AED ＝90°是解题的关键．【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝7，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，作DG ⊥AE 于点G 并延长交BC 于点F ，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．【分析】据平行四边形的性质证明∠DAE ＝∠BEA ，∠ADF ＝∠CFD ，进而证明∠BAE ＝∠BEA 得到BE ＝BA＝5，∠CDF＝∠CFD得到CF＝CD＝5，由此即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，CD＝AB＝6，BC＝AD＝7，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∠DAE＝∠BEA，∠ADF＝∠CFD，∵AG⊥DG，∴∠AGD＝90°，∴∠DAE+∠ADF＝90°，∴∠BAE+∠CDF＝∠BAD+∠ADC﹣∠DAE﹣∠ADF＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∵∠BEA+∠CFD＝90°，∴BE＝BA＝5，∠CDF＝∠CFD，∴CE＝BC﹣BE＝2，CF＝CD＝5，∴EF＝CF﹣CE＝3，故选：C．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，证明BE＝BA＝5，CF＝CD＝5是解题的关键．【变式1-2】如图，在▱ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，AC⊥AB，E为AD的中点，并且OF ⊥BC，∠D＝53°，则∠FOE的度数是（ ）A．143°B．127°C．53°D．37°【分析】先由等角的余角相等证明∠FOC＝∠D＝53°，再根据三角形的中位线定理证明OE∥CD，则∠COE＝180°﹣∠ACD＝90°，即可求得∠FOE＝143°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠CAD＝∠OCF，∵AC⊥AB，OF⊥BC，∴∠ACD＝∠CAB＝∠OFC＝90°，∵∠D+∠CAD＝90°，∠FOC+∠OCF＝90°，∴∠FOC＝∠D＝53°，∵O为对角线AC与BD的交点，∴O为AC的中点，∵E为AD的中点，∴OE∥CD，∴∠COE＝180°﹣∠ACD＝180°﹣90°＝90°，∴∠FOE＝∠FOC+∠COE＝53°+90°＝143°，故选：A．【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等角的余角相等、直角三角形的两个锐角互余、三角形的中位线定理等知识，证明OE∥CD是解题的关键．【变式1-3】如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点C的坐标是（1，3），点A的坐标是（5，0），则点B的坐标是（ ）A．（5，3）B．（4，3）C．（6，3）D．（8，1）【分析】由平行四边形的性质可得BC∥OA，BC＝OA＝5，即可求解．【解答】解：∵点A的坐标是（5，0），∴OA＝5，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC＝OA＝5，∵点C的坐标是（1，3），∴点B坐标为（6，3），故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．【变式1-4】如图，在平行四边形ABCD中P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是（ ）A．18B．24C．23D．14【分析】根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA＝180°，求出∠PAB+∠PBA＝90°，在△APB中求出∠APB＝90°，由勾股定理求出BP，证出AD＝DP＝5，BC＝PC＝5，得出DC＝10＝AB，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA＝180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=12（∠DAB+∠CBA）＝90°，在△APB中，∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝90°；∵AP平分∠DAB，∴∠DAP＝∠PAB，∵AB∥CD，∴∠PAB＝∠DPA∴∠DAP＝∠DPA∴△ADP是等腰三角形，∴AD＝DP＝5，同理：PC＝CB＝5，即AB＝DC＝DP+PC＝10，在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8，∴BP=6，∴△APB的周长＝6+8+10＝24；故选：B．【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．【变式1-5】如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠ACE的度数是（ ）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】证△ABE是等边三角形，得AB＝AE，再证△BAC≌△AED中（SAS），得∠BAC＝∠AED＝80°，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠ADC＝60°，AD∥BC，∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE=12∠BAD＝60°，∴∠B＝∠DAE，△ABE是等边三角形，∴AB＝AE，∠AEB＝∠BAE＝60°，在△BAC和△AED中，AB=EA∠B=∠DAEBC=AD，∴△BAC≌△AED（SAS），∴∠BAC＝∠AED＝80°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝80°﹣60°＝20°，∴∠ACE＝∠AEB﹣∠EAC＝60°﹣20°＝40°．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△BAC≌△AED是解题的关键．【变式1-6】▱ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是（ ）A．3≤AB≤4B．2＜AB＜14C．1＜AB＜7D．1≤AB≤7【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得AO＝4，BO＝3，再根据三角形的三边关系可得4﹣3＜AB＜4+3，再解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=12AC，BO=12BD，∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，BO＝3，∴4﹣3＜AB＜4+3，解得1＜AB＜7．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系以及平行四边形的性质，关键是掌握“平行四边形的对角线互相平分”的性质．【变式1-7】在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（ ）A．13或14B．26或28C．13D．无法确定【分析】设∠A的平分线交BC于点E，可证明AB＝EB，再分两种情况讨论，一是EB＝5，EC＝4，则AB ＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9；二是EB＝4，EC＝5时，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，分别求出平行四边形ABCD的周长即可．【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，当EB＝5，EC＝4时，如图1，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；当EB＝4，EC＝5时，如图2，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，∴平行四边形ABCD的周长为26或28，故选：B．【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．【变式1-8】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．（1）求证：OE＝OF；（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．【分析】根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可；（2）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，由已知条件得出BC+AB＝10，即可得出▱ABCD的周长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，在△DFO和△BEO中，∠FDO=∠EBOOD=OB∠FOD=∠EOB，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴OE＝OF．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，∵EF⊥AC，∴AE＝CE，∵△BEC的周长是10，∴BC+BE+CE＝BC+BE+AE＝BC+AB＝10，∴▱ABCD的周长＝2（BC+AB）＝20．【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．【例题2】（2022•南京模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE ＝EF ＝FC ．（1）求证：DE ∥BF ；（2）若BE ⊥BC ，DE ＝6，求对角线AC 的长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD ＝BC ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∠BAC ＝∠DCA ，利用全等三角形的判定和性质得出∠AFB ＝∠CED ，再由平行线的判定即可证明；（2）根据（1）中全等三角形的性质得出DE ＝BF ＝6，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BF ＝CF ＝EF ＝6，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠BAC ＝∠DCA ，∵AE ＝FC ，∴AE +EF ＝FC +EF ，即AF ＝EC ，∴△ABF ≌△CDE （SAS ），∴∠AFB ＝∠CED ，∴DE ∥BF ；（2）解：由（1）得△ABF ≌△CDE ，∴DE ＝BF ＝6，∵BE ⊥BC ，CF ＝EF ，∴点F 为△BEC 的中点，∴BF ＝CF ＝EF ＝6，∵CF ＝EF ＝AE，∴AC＝18．【点评】此题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．【变式2-1】（2022春•西吉县校级月考）如图．已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，求证：BE＝DF．【分析】证两条线段所在的两个三角形全等．根据“AAS”可证△ABE≌△CDF或△ADF≌△CBE．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∴∠BAC＝∠DCA．∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°．在△ABE和△CDF中，∠DFC=∠BEA∠FCD=∠EAB，AB=CD∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF．【点评】此题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，熟练掌握“平行四边形的对边平行且相等”是解题关键．【变式2-2】（2022•泉山区校级三模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD的延长线上，BE＝DF，连接EF，分别交BC、AD于G、H．求证：EG＝FH．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，在△BEG与△DFH中，∠E=∠FBE=DF，∠EBG=∠FDH∴△BEG≌△DFH（ASA），∴EG＝FH．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式2-3】（2022秋•北碚区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，CB＝2AB，∠DCB的平分线交BA 的延长线于点F．（1）求证：DE＝AE；（2）若∠DAF＝70°，求∠BEA的度数．【分析】（1）根据平行四边形的性质证明A为BF的中点，然后证明△DEC≌△AEF（AAS），进而得出结论；（2）由平行四边形的对边平行证出∠CBF＝∠DAF＝70°，∠BEA＝∠EBC，由等腰三角形的性质得出∠CBE＝∠ABE，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵CE是∠DCB的平分线，∴∠DCE＝∠BCF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝DC，∴∠DCE＝∠CFB，∴∠BCF＝∠CFB，∴BC＝BF，∵BC＝2AB，∴BF＝2AB，∴A为BF的中点，∴AB＝AF，∴AB＝DC＝AF，在△DEC和△AEF中，∠DCE=∠F∠DEC=∠AEFDC=AF，∴△DEC≌△AEF（AAS），∴DE＝AE；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DA∥CB，∴∠CBF＝∠DAF＝70°，∠BEA＝∠EBC，∵△DEC≌△AEF，∴CE＝EF，∵BC＝BF，∴∠EBC＝∠FBE=12∠CBF＝35°，∴∠BEA＝35°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．【变式2-4】（2022秋•道里区校级月考）在平行四边形ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以G为顶点并且与△EHC全等的所有三角形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，由ASA证明△ADE≌△CBF，得出DE＝BF；（2）由中点的定义得出DE＝CE，由平行四边形的判定方法即可得出平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBFAD=BC，∠DAE=∠BCF∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF；（2）解：∵E是CD的中点，∴DE＝CE，∴以GH为边的平行四边形有平行四边形GHFA、平行四边形GHBF、平行四边形GHED、平行四边形GHCE．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等得出DE＝BF是解决问题（1）的关键．【变式2-5】（2021春•九龙坡区校级期中）在▱ABCD中，∠ABC＝45°，过A作AE⊥CD于E，连接BE，延长EA至F，使CE＝AF，连接DF．（1）求证：DF＝BE；（2）若DF=AD＝ADEB的周长．【分析】（1）由已知证得AB＝EF，DE＝AE，根据全等三角形的判定证得△FDE≌△BEA，根据全等三角形的性质可得结论；（2）由勾股定理得求得DE＝3，EF＝5，由（1）知，AB＝EF，BE＝DF，即可求得结论．【解答】（1）证明：∵AE⊥CD，∴∠FED＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AB＝DC，∴∠BAE＝∠FED＝90°，∠ADE＝∠ABC＝45°，∴AE＝DE，∵CE＝AF，∴AB＝EF，△FDE和△BEA中，DE=AE∠FED=∠BAE EF=AB，∴△FDE≌△BEA（SAS），∴DF＝BE；（2）在Rt△ADE中，AE＝DE，AD＝由勾股定理得：DE＝3，在Rt△FDE中，DE＝3，DF=∴EF=5，由（1）知，AB＝EF＝5，BE＝DF∴四边形ADEB的周长为：AD+DE+BE+AB＝35＝【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得AB＝EF，DE＝AE，是解决问题的关键．【变式2-6】（2022春•济南期中）如图，将▱ABCD的边BC延长到点E，使BE＝CD，连接AE交CD 于点F．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）已知BC＝CE＝3，EF＝4，FG⊥AB，求FG的长．【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB＝CD，AD∥BE，再证明∠BAE＝∠E得到AB＝BE，然后利用等边对等角等知识证得结论即可；（2）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BE，求得∠D＝∠DCE，∠DAF＝∠FEC，根据全等三角形的性质得到AF＝EF＝4，根据勾股定理得到BF=到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BE，∴∠DAE＝∠E，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠E，∴AB＝BE，∴∠BAE＝∠E，∴∠BAE＝∠DAE，∴AE平分∠BAD；（2）解：由BE＝CD，AB＝CD，∴△ABE为等腰三角形，∴AB＝BE＝6，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BE，∴∠D＝∠DCE，∠DAF＝∠FEC，∵BC ＝CE ＝3，∴AD ＝CE ，∴△ADF ≌△ECF （ASA ），∴AF ＝EF ＝4，∴BF ⊥AE ，∵AB ＝BE ＝6，∴BF==∵S △ABF =12AB •FG =12AF •BF ，∴FG =故FG【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．【例题3】如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是（ ）A．CE＝AF B．BE＝DF C．∠DAF＝∠BCE D．AF∥CE 【分析】由平行四边形的性质或全等三角形的性质进行逐一判断即可．【解答】解：若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故A选项符合题意；如图，连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，故选项B不符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CBE，在△ADF和△CBE中，∠ADF=∠CBEAD=BC，∠DAF=∠BCE∴△ADF≌△CBE（ASA），∴BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意；∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠CED，∴∠AFD＝∠CEB，在△ADF和△CBE中，∠ADF=∠CBE∠AFD=∠CEB，AD=BC∴△ADF≌△CBE（AAS），∴BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．【变式3-1】在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的有（ ）①一组对边平行，另一组对边相等②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线③一组对边平行，一组对角相等④一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：①错误．这个四边形有可能是等腰梯形；②正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形；③错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行；④正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等且平行．故是平行四边形．故选：B．【点评】本题考查平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住全等三角形的判定方法以及平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．【变式3-2】下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，BC＝CDC．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、由∠A＝∠B，∠C＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；B、由AB＝AD，BC＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；C、由AB＝CD，AD＝BC，能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；D、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．【变式3-3】四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB∥CD，∠BAD＝∠BCD；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件有（ ）A．1组B．2组C．3组D．4组【分析】根据平行四边形的5个判断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作出判断．【解答】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；②根据平行四边形的判定定理：一组对边平行，一组对角相等的四边形可得是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，还可能是等腰梯形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形；故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形．故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定定理，解题关键是准确无误的掌握平行四边形的判定定理．【变式3-4】如图，在△ABC中，D，F分别是AB，AC上的点，且DF∥BC．点E是射线DF上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形DBCE为平行四边形的是（ ）A．∠ADE＝∠E B．∠B＝∠E C．DE＝BC D．BD＝CE【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵∠ADE＝∠E，∴AB∥CE，又∵DF∥BC，∴四边形DBCE为平行四边形；故选项A不符合题意；B、∵DF∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠B＝∠E，∴∠ADE＝∠E，∴AB∥CE，∴四边形DBCE为平行四边形；故选项B不符合题意；C、∵DF∥BC，∴DE∥BC，又∵DE＝BC，∴四边形DBCE为平行四边形；故选项C不符合题意；D、由DF∥BC，BD＝CE，不能判定四边形DBCE为平行四边形；故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．【变式3-5】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（ ）A ．∠B ＝∠F B ．DE ＝EFC ．AC ＝CFD ．AD ＝CF【分析】利用三角形中位线定理得到DE ∥AC ，DE =12AC ，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵D ，E 分别是AB ，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AC ，DE =12AC ，A 、当∠B ＝∠F ，不能判定AD ∥CF ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项不符合题意；B 、∵DE ＝EF ，∴DE =12DF ，∴AC ＝DF ，∵AC ∥DF ，∴四边形ADFC 为平行四边形，故本选项符合题意；C 、根据AC ＝CF ，不能判定AC ＝DF ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项不符合题意；D 、∵AD ＝CF ，AD ＝BD ，∴BD ＝CF ，由BD ＝CF ，∠BED ＝∠CEF ，BE ＝CE ，不能判定△BED ≌△CEF ，不能判定CF ∥AB ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项不符合题意；故选：B ．【点评】本题考查了平行四边形的判定、三角形的中位线定理以及平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．【变式3-6】如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 上的点，连接AF ，CE ，只需添加一个条件即可证明四边形AFCE 是平行四边形，这个条件可以是 （写出一个即可）．【分析】根据▱ABCD的性质得到AD∥BC，然后由“对边相等且平行的四边形是平行四边形”添加条件即可．【解答】解：如图，在▱ABCD中，AD∥BC，则AE∥FC．当添加AE＝FC时，根据“对边相等且平行的四边形是平行四边形”可以判定四边形AFCE是平行四边形，故答案是：AE＝FC（答案不唯一）．【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题过程中注意平行四边形的判定与平行四边形的性质的综合运用．【变式3-7】平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，写出一个能使四边形AECF一定为平行四边形的条件 ．（用题目中的已知字母表示）【分析】在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边，只需证明OE＝OF．【解答】解：连接AC交BD于点O，如图：在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵AE∥CF，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，∴△AOE≌COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AECF为平行四边形；故答案为：AE∥CF．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明OE＝OF是解题的关键．【例题4】（2021•江华县一模）如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别为BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ，以AD 为边作等边△ADE ．（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）点D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 是平行四边形且∠DEF ＝30°．【分析】（1）在△ACD 和△CBF 中，根据已知条件有两边和一夹角对应相等，可根据边角边来证明全等．（2）当∠DEF ＝30°，即为∠DCF ＝30°，在△BCF 中，∠CFB ＝90°，即F 为AB 的中点，又因为△ACD ≌△CBF ，所以点D 为BC 的中点．【解答】证明：（1）由△ABC 为等边三角形，AC ＝BC ，∠FBC ＝∠DCA ，在△ACD 和△CBF 中，AC =BC ∠DCA =∠FBC CD =BF，所以△ACD ≌△CBF （SAS ）；（2）当D 在线段BC 上的中点时，四边形CDEF 为平行四边形，且角DEF ＝30度按上述条件作图，连接BE，在△AEB和△ADC中，AB＝AC，∠EAB+∠BAD＝∠DAC+∠BAD＝60°，即∠EAB＝∠DAC，AE＝AD，∴△AEB≌△ADC（SAS），又∵△ACD≌△CBF，∴△AEB≌△ADC≌△CFB，∴EB＝FB，∠EBA＝∠ABC＝60°，∴△EFB为正三角形，∴EF＝FB＝CD，∠EFB＝60°，又∵∠ABC＝60°，∴∠EFB＝∠ABC＝60°，∴EF∥BC，而CD在BC上，∴EF平行且相等于CD，∴四边形CDEF为平行四边形，∵D在线段BC上的中点，∴F在线段AB上的中点，∴∠FCD=12×60°＝30°则∠DEF＝∠FCD＝30°．【点评】本题考查了平行四边形的判定和三角形全等的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【变式4-1】如图，点B、C、E、F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）四边形ABED是平行四边形．【分析】（1）根据BC＝EF求出BC＝EF，根据垂直定义得出∠ACB＝∠DFE＝90°，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可；（2）根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，根据平行线的判定得出AB∥DE，再根据平行四边形的判定定理推出即可．【解答】证明：（1）∵BE＝CF，∴BE﹣CE＝CF﹣CE，即BC＝EF，又∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，∴∠ACB＝∠DFE＝90°，在△ABC和△DEF中，AC=DF∠ACB=∠F，BC=EF∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）由（1）知△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，∴AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，平行线的判定，平行四边形的判定等知识点，能熟记有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解此题的关键．【变式4-2】如图所示，△ABC中，D是BC边上中点，AE是∠BAC的平分线，CE⊥AE，EF∥BC交AB于点F，求证：四边形BDEF是平行四边形．【分析】延长CE交AB于M，证两三角形全等，推出E为CM中点，根据三角形中位线推出DE∥AB，根据平行四边形的判定推出即可．【解答】证明：延长CE交AB于M，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠AEM＝90°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠MAE＝∠CAE，在△MAE和△CAE中，∠AEM=∠AECAE=AE，∠MAE=∠CAE∴△MAE≌△CAE（ASA），∴CE＝EM，∵D为BC中点，∴DE∥AB，∵EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．【变式4-3】（2021秋•海阳市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，F是AC上一点，且满足2AF＝CF，连接BF与AD相交于点E．若G为线段BF上一动点，试分析当点G在何位置时，四边形AFDG为平行四边形？【分析】证DG是△BCF的中位线，得DG∥CF，2DG＝CF，则DG∥AF，再证DG＝AF，即可得出四边形AFDG为平行四边形．【解答】解：点G为线段BF的中点时，四边形AFDG为平行四边形，理由如下：∵AD是BC边的中线，∴BD＝CD，∵点G为线段BF的中点，∴DG是△BCF的中位线，∴DG∥CF，2DG＝CF，∴DG∥AF，∵2AF＝CF，∴DG＝AF，∴四边形AFDG为平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明DG为△BCF的中位线是解题的关键．【变式4-4】（2022春•顺义区校级月考）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F、E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB＝3，AD＝4，求AC的长．【分析】（1）分别证明AB∥ED，AE∥BD，得出结论；（2）利用勾股定理求出BH AF，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠BAD，∴AB∥ED，∵AE⊥AC，∴∠EAC＝90°，∵BD垂直平分AC，∴∠BFA＝90°，∴∠EAC＝∠BFA，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，（2）解：∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝∠ADB，∵∠ADE＝∠BAD，∴∠ADB＝∠BAD，∴BA＝BD，∵AB＝3，∴BD＝3过B作BH⊥AD，∴AH=HD=12AD=2，∴BH=∵BD垂直平分AC，则AF＝FC，∵S△ABD =12DA⋅BH=12DB⋅AF，∴AF =DA⋅BH DB∴AC 【点评】本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关键．【变式4-5】（2021春•西安期末）如图，在△AFC 中，∠FAC ＝45°，FE ⊥AC 于点E ，在EF 上取一点B ，连接AB 、BC ，使得AB ＝FC ，过点A 作AD ⊥AF ，且AD ＝BC ，连接CD ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．【分析】证Rt △AEB ≌Rt △FEC （HL ），得BE ＝CE ，则∠CBE ＝∠BCE ＝45°，再证出∠BCE ＝∠CAD ，得BC ∥AD ，即可证出四边形ABCD 是平行四边形；【解答】证明：∵FE ⊥AC ，∴∠FEA ＝∠FEC ＝90°，∵∠FAC ＝45°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴AE ＝EF ，∠AFE ＝∠FAE ＝45°，在Rt △AEB 和Rt △FEC 中，AB =FC AE =FE ，∴Rt △AEB ≌Rt △FEC （HL ），∴BE ＝CE ，∴∠CBE ＝∠BCE ＝45°，∵AD ⊥AF ，∴∠FAD ＝90°，∴∠CAD ＝90°﹣45°＝45°，∴∠BCE＝∠CAD，∴BC∥AD，又∵BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明Rt△AEB≌Rt△FEC是解题的关键．【变式4-6】（2022春•礼泉县期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）求证：△AEF≌△BAC；（2）四边形ADFE是平行四边形吗？请说明理由．【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BC，再由等边三角形的性质得AB＝AE，AB＝2AF，则AF＝BC，由HL即可得出结论；（2）由等边三角形的性质得∠DAC＝60°，AC＝AD，再证EF∥AD，然后由全等三角形的性质得EF＝AC，则EF＝AD，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB＝AE，AB＝2AF，∴AF＝BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，AE=BAAF=BC，∴Rt△AEF≌Rt△BAC（HL）；（2）解：四边形ADFE是平行四边形，理由如下：∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC ＝60°，AC ＝AD ，∴∠DAB ＝∠DAC +∠BAC ＝90°，∴AD ⊥AB ，又∵EF ⊥AB ，∴EF ∥AD ，由（1）得：△AEF ≌△BAC ，∴EF ＝AC ，∴EF ＝AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明Rt △AEF ≌Rt △BAC 是解题的关键．【例题5】如图，在▱ABCD 中，要在对角线BD 上找两点E 、F ，使A 、E 、C 、F 四点构成平行四边形，现有①，②，③，④四种方案，①只需要满足BE ＝DF ；②只需要满足AE ⊥BD ，CF ⊥BD ；③只需要满足AE ，CF 分别平分∠BAD ，∠BCD ，④只需要满足AE ＝CF ．则对四种方案判断正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④【分析】只要证明△ABE ≌△CDF ，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠BCD ，∴∠ABE ＝∠CDF ，①在△ABE 和△CDF 中，AB =CD ∠ABE =∠CDF BE =DF，。

平行四边形的性质与判定一、平行四边形定义及其性质：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形对边平行且相等。

定义的几何语言表述 ∵ AB ∥CD AD ∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 。

∵四边形ABCD 是平行四边形（或在 ABCD 中） ∴ AB=CD ，AD=BC 。

例题1、如图5，AD ∥BC ，AE ∥CD ，BD 平分∠ABC ，求证AB=CE2、平行四边形除了对边平行且相等外，其对角也相等。

∵四边形ABCD 是平行四边形（或在ABCD 中） ∴ ∠A=∠C ，∠B=∠D 。

例题2、在平行四边形ABCD 中，若∠A ：∠B=2：3，求∠C 、∠D 的度数。

3、平行四边形的对角线互相平分。

例题3．已知O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，AC=24cm ，BD=38 cm ，AD= 28cm ，求三角形OBC 的周长。

5．如图，平行四边形ABCD 中，AC 交BD 于O ，AE ⊥BD 于E ，∠EAD=60°，AE=2cm,AC+BD=14cm, 求三角形BOC 的周长。

例题4：已知平行四边形ABCD ，AB=8cm ，BC=10cm,∠B=30°, 求平行四边形平行四边形ABCD 的面积。

对边分别平行 边 对边分别相等 对角线互相平分 平行四边形角 对角相等 邻角互补图（5）DCB AA B C D二、平行四边形的判定 方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形的平边形。

几何语言表达定义法：∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

∵AB=CD ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形 方法三：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

∵OA=OC ， OB= OD ∴四边形ABCD 是平行四边形 方法四：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形∵ ∠A =∠C ，∠B=∠D ，∴四边形ABCD 例1：已知：E 、F 分别为平行四边形ABCD 两边AD 、BC 的中点，连结BE 、DF 求证：2∠1∠=三、三角形中位线：三角形两边的中点连线线段（即中位线）与三角形的第三边平行，并且等于第三边的一半。

对角线取值范围问题（同三角形第三边中线取值范围）平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线长a的取值范围为( ) A．4<a<16 B．14<a<26 C．12<a<20 D．8<a<32平行四边形的判定：1：定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形4：对角线相互平分的四边形是平行四边形14.平行四边形的判定（一）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形例题1：如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC．过点A作AE⊥BC于点E；过点C作CF∥AE，交AD于点F；求证：四边形AECF为平行四边形练习：1、已知：如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BA、CA的延长线上的点，且AD=AE，连接ED并延长到F，使得EF=EC，连接AF、CF、BE．（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；证明：（1）∵△ABC为等边三角形，且AE=AD，∴由题可知∠AED=∠ADE=∠EAD=60°∴EF∥BC，又∵EC=EF，∴△ECF为等边三角形，即∠EFC=∠EDB=60°，∴CF∥BD∴四边形BCFD为平行四边形．2、如图：平行四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，AN与DM相交于点P，BN与CM相交于点Q。

试说明PQ与MN互相平分。

3、如图，在四边形ABCD中，AH、CG、BE、FD分别是∠A、∠C、∠B、∠D的角平分线，且BE∥FD，AH∥CG，证明四边形ABCD为平行四边形．15.平行四边形的判定（二）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例题1：如图，在ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G。

求证：AF＝DF【答案】解：（1）证明：如图1，连接BD、AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD。

平行四边形的性质和判定【知识梳理】一、什么是平行四边形？两组对边分别平行的四边形就是平行四边形．如图四边形ABCD ，AB CD AD BC ∥，∥，四边形ABCD 就是平行四边形二、平行四边形的性质：平行四边形的的边：平行四边形的对边平行且对边相等平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对称性平行四边形是中心对称图形平行四边形的周长与面积周长：邻边之和的2倍面积：底乘高（常利用面积相等来求线段的长）三、平行四边形的判定判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定五：对角线互相平分的四边形是平行四边形四、三角形中位线性质：三角形的中位线平行且等于第三边长的一半判定：点E 是三角形ABC △的中点，且DE BC ∥，则点D 为AB 中点【诊断自测】1．下列说法错误的是（）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．3．四边形ABCD中，AB=7cm，BC=5cm，CD=7cm，当AD=cm时，四边形ABCD 是平行四边形．4．如图所示，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有个平行四边形．【考点突破】类型一：平行四边形的性质例1、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13B．17C．20D．26答案：B解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．故选：B．例2、如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为．答案：50°．解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠C=∠ABF．又∵∠C=40°，∴∠ABF=40°．∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠BEF=90°﹣40°=50°．故答案是：50°．例3、如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是．答案：1＜a＜7．解析：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=AC=4，OD=BD=3，在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3．即1＜a＜7；故答案为：1＜a＜7．例4、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．答案：见解析解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===2，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4．类型二:平行四边形的判定例5、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A 出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）A．4s B．3s C．2s D．1s答案：B解析：设运动时间为t秒，则CP=12﹣3t，BQ=t，根据题意得到12﹣3t=t，解得：t=3，故选B．例6、四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①∠ABC=∠ADC，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC，其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（）A．4组B．3组C．2组D．1组答案：B解析：如图，①∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，∵∠ABC=∠ADC，∴∠BAD=∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形；②∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；③∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形；④∵AB∥CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．∴其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有3组．故选B．例7、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．答案：见解析解析：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．例8、如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上（1）给出以下条件；①OB=OD，②∠1=∠2，③OE=OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．答案：见解析解析：证明：（1）选取①②，∵在△BEO和△DFO中，∴△BEO≌△DFO（ASA）；（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，∴EO=FO，BO=DO，∵AE=CF，∴AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形．类型三：平行四边形的性质和判定例9、如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．答案：见解析解析：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DG=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M为EF的中点，OM=3，∴EF=2OM=6．由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6．例10、如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．答案：见解析解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，∴CM∥AN，AM∥CN，∴四边形AMCN是平行四边形．（2）∵四边形AMCN是平行四边形，∴CM=AN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∴DM=BN，∠MDE=∠NBF，在△MDE和△NBF中，，∴△MDE≌△NBF，∴ME=NF=3，在Rt△DME中，∵∠DEM=90°，DE=4，ME=3，∴DM===5，∴BN=DM=5．例11、如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．答案：见解析解析：证明：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF．类型三：中位线定理例12、如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE答案：B解析：∵DE是△ABC的中位线，∴E为AC中点，∴AE=EC，∵CF∥BD，∴∠ADE=∠F，在△ADE和△CFE中，∵，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=FE．故选B．例13、如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）．答案：见解析解析：证明：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD∥EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．∵EF∥CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵BM=CM．EM∥CG，∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．【易错精选】1．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°2．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2B．3C．4D．63．已知：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（0，﹣1）．点D在坐标平面内，且以A、B、C、D四个点构成的四边形是平行四边形，则这样的D点有个．4．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当=时，四边形ADFE是平行四边形．【精华提炼】一、平行四边形的性质：平行四边形的的边：平行四边形的对边平行且对边相等平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分平行四边形是中心对称图形二、平行四边形的判定判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定五：对角线互相平分的四边形是平行四边形【本节训练】训练【1】如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC ⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm训练【2】已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE=DCB．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE训练【3】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC 为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是．训练【4】在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于．基础巩固一．填空题1．如图，△ABC的面积为12cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，则梯形DBCE 的面积为cm2．2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长是cm．3．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是．4．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．5．如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为cm．二、选择题1．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（）A．5B．7C．9D．112．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm3．如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则ABCD的面积是（）A．30B．36C．54D．724．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE 的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m5．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=5，AM平分∠BAD，交BC于点M，点E，F分别是AB，CD的中点，DM与EF交于点N，则NF的长等于（）A．0.5B．1C．D．2三、简答题1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=2DE，连接CF．判断四边形BCFE的形状，并证明．2．在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB=12，AC=20．（1）求证：BD=DE；（2）求DM的长．巅峰突破1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为．2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．3．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，AH⊥CD于H，M为AD的中点，MN ∥AB，连接NH，如果∠D=68°，则∠CHN=．4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF 分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．参考答案【诊断自测】1、D解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误；故选：D．2、解：可以添加：AD∥BC（答案不唯一）．3、5．解：当AD=5cm时，四边形ABCD是平行四边形，∵AB=7cm，BC=5cm，CD=7cm，AD=5cm，∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：5．4、3个.解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有▱ADFE、▱BFED、▱CFDE三个．故答案为：3个【易错精选】1、C解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；故选：C．2、C解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故选：C．3、3解：如图，D点共有3个，故答案为：3．4、．解：当=时，四边形ADFE是平行四边形．理由：∵=，∴∠CAB=30°，∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，∴∠FEA=∠BAC，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．故答案为：．【本节训练】1、B解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．2、D解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE=DC，OE∥DC，∴OE∥AB，∴∠BOE=∠OBA，∴选项A、B、C正确；∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴选项D错误；故选：D．3、4解：∵四边形ADCE是平行四边形，∴BC∥AE，∴当DE⊥BC时，DE最短，此时∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE=AB=4，∴DE的最小值为4．故答案为4．4、2解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠DAE，∵平行四边形ABCD的周长是16，∴AB+BC=8，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴BC=5，∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2；故答案为：2．基础巩固一、填空题1、解：∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE是三角形的中位线，∴DE=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵△ABC的面积为12cm2，∴△ADE的面积为3cm2，∴梯形DBCE的面积=12﹣3=9cm2，故答案为：9．2、解：∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5．故答案为5．3、解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即D为CE中点，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=3，∴CE==2，∴AB=，故答案为：．4、解：如图，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC．DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，故答案为．5、解：∵EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，∴BC=2EF，AB=2AE，AC=2AF，∴BC+AB+AC=2（EF+AE+AF）=12（cm）．故答案为：12．二、选择题1、解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=7．故选B．2、解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．3、解：作DE∥AM，交BC的延长线于E，则ADEM是平行四边形，∴DE=AM=9，ME=AD=10，又由题意可得，BM=BC=AD=5，则BE=15，在△BDE中，∵BD2+DE2=144+81=225=BE2，∴△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°，过D作DF⊥BE于F，则DF==，∴S▱ABCD=BC•FD=10×=72．故选D．4、解：∵D，E为AC和BC的中点，∴AB=2DE=2200m，故选：B．5、解：过点M作MG∥AB交AD于点G，∵AD∥BC，AB∥MG，∴四边形ABMG是平行四边形，∴∠AGM=∠ABM．∵AM平分∠BAD，∴∠GAM=∠MAB，∴∠AMB=∠AMG．在△AGM与△ABM中，，∴△AGM≌△ABM，∴AB=AG=3，∴四边形ABMG是菱形，∴MC=5﹣3=2．∵EF∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，∴NF是△DCM的中位线，∴NF=MC=1．故选B．三、简答题1、证明：连接DE，FG，∵BD、CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC边中点，∴DE∥BC，DE=BC，同理：FG∥BC，FG=BC，∴DE∥FG，DE=FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF=DG．2、（1）证明：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAE∵AD⊥BD∴∠ADB=∠ADE=90°在△ADB与△ADE中∴△ADB≌△ADE∴BD=DE（2）∵△ADB≌△ADE∴AE=AB=12∴EC=AC﹣AE=8∵M是BC的中点，BD=DEDM=EC=4巅峰突破1、解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．2．解：∵BD=AD，BE=EC，∴DE=AC=4cm，DE∥AC，∵CF=FA，CE=BE，∴EF=AB=3cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．故答案为14．3．解：连接MH，∵AH⊥CD于H，M为AD的中点，∴MH=AD=DM，∴∠D=∠MHD=68°，∵MN∥AB，∴∠NMH=∠MHD=68°，又∵MN=AB=AD，∴MN=MH，∴∠MHN=（180°﹣68°）÷2=56°，∴∠CHN=180°﹣∠DHM﹣∠MHN=56°．故答案为：56°4．解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形∴DQ=CP当P从B运动到C时，∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，CP=21﹣2t∴16﹣t=21﹣2t解得t=5当P从C运动到B时，∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，CP=2t﹣21∴16﹣t=2t﹣21，解得t=，∴当t=5或秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，即解得t=9（秒）若点P返回时，CP=2（t﹣），则解得t=15（秒）．故当t=9或15秒时，以C ，D ，Q ，P 为顶点的梯形面积等60cm 2；（3）当PQ=PD 时作PH ⊥AD 于H ，则HQ=HD∵QH=HD=QD=（16﹣t ）由AH=BP 得解得秒；当PQ=QD 时QH=AH ﹣AQ=BP ﹣AQ=2t ﹣t=t ，QD=16﹣t ，∵QD 2=PQ 2=t 2+122∴（16﹣t ）2=122+t 2解得（秒）；当QD=PD 时DH=AD ﹣AH=AD ﹣BP=16﹣2t ，∵QD 2=PD 2=PH 2+HD 2=122+（16﹣2t ）2∴（16﹣t ）2=122+（16﹣2t ）2即3t 2﹣32t+144=0∵△＜0，∴方程无实根，当点P 从C 向B 运动时，观察图象可知，只有PQ=PD ，由题意：2t ﹣26=（16﹣t ），t=．综上可知，当秒或秒或秒时，△PQD是等腰三角形．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OB=OD，∵DG=BG，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．第３１／３１页。

平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定一、知识要点:(一）．平行四边形的性质、判定：Ⅰ.平行四边形的性质边角对角线对称性平行四边形Ⅱ.平行四边形的判定：边的四边形是平行四边形角对角线（二)。

特殊四边形的性质、判定：Ⅰ。

特殊四边形的性质边角对角线对称性面积公式矩形菱形正方形梯形直角梯形等腰梯形Ⅱ。

特殊四边形的判定：是矩形是菱形是正方形是等腰梯形二、题型: (一)平行四边形: (Ⅰ) 性质的应用：1．（2012江苏苏州）如图，在平行四边形ABCD 中,E 是AD 边上的中点．若∠ABE=∠EBC ，AB=2，则平行四边形ABCD 的周长是 12 ．GFEDCBA1题图 2题图 3题图2．(2012山东潍坊)如图，在△ABC 中,AB ＝BC ，AB ＝12cm ，F 是AB 边上的一点，过点F 作FE ∥BC 交CA 于点E ，过点E 作ED ∥AB 交于BC 于点D ,则四边形BDEF 的周长是 24cm ．3．(2012重庆綦江县）如图，在□ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE 、△ADF ，延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A 、E 之间，连结CG 、CF ，则以下四个结论一定正确的是（ B )①△CDF ≌△EBC ②∠CDF ＝∠EAF ③△ECF 是等边三角形 ④CG ⊥AEA ．只有①②B ．只有①②③C ．只有③④D ．①②③④4．（2012青海西宁)如图1，在□ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O,如果AC=14,BD=8，AB=x ，那么x 的取值范围是 3﹤x ﹤11 .4题图 5题图 5．（2011年桂林市、百色市）如图，□ABCD 中，AC ，BD 为对角线，BC ＝6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为( C ）．A ．3B ．6C ．12D ．24 （Ⅱ） 判定: ⑴选择条件型1．(2012 四川成都）已知四边形ABCD ，有以下四个条件:①//AB CD ；②AB CD =；③//BC AD ;④BC AD =．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有（ C ）（A ）6种 （B ）5种 （C)4种 （D ）3种 ⑵补充条件型2．(2012宁夏回族自治区)点A 、B 、C 是平面内不在同一条直线上的三点，点D 是平面内任意一点，若A 、B 、C 、D 四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D 有 （ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.下面命题中,正确的是( D ）A. 一组对角相等的四边形是平行四边形B. 一组对角互补的四边形是平行四边形C 。