六年级数学奥数培优教案(下册)图形问题之蝴蝶模型

小学几何模型之蝴蝶模型准备练习梯形中的蝴蝶模型梯形的两个翅膀相等。

左=右例题1如图：在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC和BD相交于点O。

已知三角形AOD 与三角形DOC的面积分别是16平方厘米与24平方厘米，求梯形ABCD的面积。

△AOB的面积为24cm2△BOC的面积：24×24÷16=36（cm2）梯形ABCD的面积：16＋24＋24＋36=100（cm2）练习1如图：在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC和BD相交于点O。

已知三角形DOC 与三角形BOC的面积分别是35平方厘米与49平方厘米，求三角形AOD的面积。

△AOB的面积为35平方厘米△AOD的面积：35×35÷49=25（cm2）例题2如图：长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。

已知三角形ADG的面积是7平方厘米，三角形BCH的面积是9平方厘米，求四边形EGFH的面积。

连接EF四边形EGFH的面积：7＋9=16（cm2）练习2如图：长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。

已知三角形ADG的面积是24平方厘米，三角形BHC的面积是17平方厘米，求四边形GEHF的面积。

连接EF四边形EGFH的面积：24＋17=41（cm2）风筝模型例题3如图：一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。

已知其中三个小三角形的面积，求三角形CDG的面积。

△CDG的面积：3×8÷4=6（cm2）练习3如图：一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。

已知其中三个小三角形的面积，求三角形ABG的面积。

△ABG的面积：8×6÷12=4（cm2）例题4如图：四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。

已知三角形ABD的面积是30平方厘米，三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米，求三角形BOC的面积。

OC:OA=50:30=5:3△BOC和△AOB是等高模型面积比为5:3△BOC的面积为:48÷（5＋3）×5=30（cm2）练习4如图：一个园林形状如四边形ABCD，现测得三角形BCD的面积是25公顷，三角形ABC 的面积是24公顷，三角形ABD的面积是15公顷。

蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。

推导：由等积变形模型可知：二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h21h h =∴（两平行线之间高相等）三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆= ACD BCD S S ∆∆= （同底等高）即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ） 推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点M同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S OFH =∆ 421S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯四、蝴蝶模型与长方形（一） ①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b 、c//d重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。

例1：如下图所示，在梯形ABCD 中，对角线BD ，AC 相交于点O ，△AOD 的面积是6，△AOB 的面积是4，那么梯形ABCD 的面积是多少？分析：梯形ABCD 是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC 和三角形DOC 的面积，进而可以求出梯形ABCD 的面积。

解：由蝴蝶定理可知：S ∆BOC =S ∆AOD =6∴S ∆DOC =6×6÷4=9∴梯形ABCD 的面积是9+6+4+6=25答：梯形ABCD 的面积是25。

例2：如图，求阴影部分的面积。

（单位cm 2）分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”，可直接求出阴影部分的面积。

解：S 阴影=28×6÷12=14（cm 2）答：阴影部分的面积为14平方厘米。

型蝶模蝴一、蝴蝶模型与任意四边形两组相对三角形面积之积相等。

在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，由等积变形模型可知：推导：二、蝴蝶模型与梯形SS??S?S①4123SS?②21同上推导：①h DABC的高作，过点②过点A作三角形1h的高△BCD2hh??相等）（两平行线之间高21三、蝴蝶模型与平行四边形S?S?S?S（一）①4321S?SS??S②4213：①同上推导SS? S?S②（同底等高）ACD?BCDBCD?ABC??SS?S?S?即：对角平行四边形面积乘积相等（二）4231）内作两条分别平行于两组相对边的线段GH、EF（在平行四边形ABCD M垂直于GH于点HF、FG，过点E作EMGE推导：连接、EH、111SS???S?SSS同理可得：4EOH?OGF?OFH?32222S??S?SS由蝴蝶定理可知：SS??SS?①（一）4213 EOH?OFHOGE??OGF?四、蝴蝶模型与长方形S?S?SS?②4132?S?S?SS即：对角长方形面积（二）4123乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。

例1：如下图所示，在梯形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，△AOD的面积是6，△AOB的面积是4，那么梯形ABCD的面积是多少？分析：梯形ABCD是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC和三角形DOC的面积，进而可以求出梯形ABCD的面积。

解：由蝴蝶定理可知：6BA O 4CD的面积是梯形答：梯形ABCD的面积是25。

2cm）2：如图，求阴影部分的面积。

（单位例，可直接求出阴影部分的分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”面积。

12 28cm（2）解：阴影6答：阴影部分的面积为14平方厘米。

求图中阴影部分的面积。

蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。

推导：由等积变形模型可知：OC AOS S BOC AOB =∆∆ OC AOS S COD AOD =∆∆ COD AODBOC AOB S S S S ∆∆∆∆=∴2431S S S S =即4321S S S S ⨯=⨯∴二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h BC AD //21h h =∴（两平行线之间高相等）121h BC S ABC ⨯⨯=∆221h BC S BDC ⨯⨯=∆BDC ABC S S ∆∆=∴ 3231S S S S +=+∴ 21S S =∴三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆= ACD BCD S S ∆∆= （同底等高） 4241S S S S +=+∴ 2324S S S S +=+ 21S S =∴ 43S S = OD OB = OC OA = 31S S =∴ 42S S =即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ）推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点MEM OG S OGE ⨯⨯=∴∆21EM OG S S ⨯==∴1平行四边形 121S S OGE =∴∆同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S OFH =∆ 421S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯432121212121S S S S ⨯=⨯∴4321S S S S ⨯=⨯∴ 四、蝴蝶模型与长方形（一）①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。

模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。

如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。

【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。

看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。

小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。

蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。

二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。

解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。

2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。

解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。

3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。

解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。

奥数蝴蝶模型公式蝴蝶模型是学习奥数（奥林匹克数学）的一种有效方法，它是一种综合性的数学思维模型，以其形象生动的名字而广为人知。

在这篇文章中，我将分享关于蝴蝶模型的公式以及它的指导意义。

首先，让我们来了解奥数蝴蝶模型的具体内容。

蝴蝶模型实际上是一个观察和分析问题的方法，它涉及到划分问题、寻找规律、归纳和推理等多个数学思维过程。

通过将一个复杂的问题拆解成若干简单的部分，并找到其中的规律和重要因素，我们可以更好地理解问题并解决它。

蝴蝶模型的核心是它的公式，也就是我们在学习过程中使用的具体方法。

以下是蝴蝶模型的五个关键公式：1. 抽象化（A）：问题的抽象化是将复杂的问题简化为易于理解和解决的形式。

通过抽象化，我们可以将问题转化为数学符号和模型，从而更好地理解和处理。

2. 归纳与猜想（I）：在归纳与猜想阶段，我们通过观察问题的特征、分析规律和总结已知条件，进而得出一种猜想。

这种猜想可能不是完全准确的，但它帮助我们在解决问题的过程中前进。

3. 精确化（P）：精确化是将模糊的猜想转化为确切的数学表达式或过程。

通过精确化，我们可以利用数学工具和概念来解决问题，并得出更准确的答案。

4. 证明（P）：证明是验证我们的猜想和解决方案的正确性。

通过使用数学推理和逻辑推导，我们可以证明我们的答案是准确的，并确保解决方案的可靠性。

5. 归纳与应用（I）：最后一个公式是归纳与应用，它是将我们的思维模型和解决方法应用于其他类似问题的过程。

通过归纳与应用，我们可以扩展我们的数学思维能力，并将它们应用到更广泛的领域中。

那么，蝴蝶模型对我们的学习和思维有何指导意义呢？首先，蝴蝶模型强调将问题分解为更简单的部分，并寻找其中的规律和关联。

这使我们在解决问题时有条不紊，避免陷入混乱和困惑的状态。

通过这种系统化的方法，我们可以更有效地解决复杂的数学问题。

其次，蝴蝶模型鼓励我们使用抽象化的思维方式。

通过将问题转化为数学符号和模型，我们能够更好地理解问题的本质，并运用适当的数学知识和技巧来解决问题。

小学奥数几何模型之蝴蝶模型例题+作业带答案小学几何模型之蝴蝶模型在这一节中，我们将介绍蝴蝶模型的几何形状，并通过例题和练来帮助大家更好地理解和掌握这一模型。

梯形中的蝴蝶模型蝴蝶模型通常出现在梯形中，其中梯形的两个翅膀相等，即左边等于右边。

例题1下面是一道关于梯形的例题：在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC和BD相交于点O。

已知三角形AOD与三角形DOC的面积分别是16平方厘米与24平方厘米，求梯形ABCD的面积。

解题思路：首先，我们可以计算出△AOB的面积为24平方厘米。

接着，根据相似三角形的性质，我们可以得到△BOC的面积为36平方厘米。

最后，将所有三角形的面积相加，即可得到梯形ABCD的面积为100平方厘米。

练1现在是你们自己来练的时间了。

在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC和BD相交于点O。

已知三角形DOC与三角形BOC的面积分别是35平方厘米与49平方厘米，求三角形AOD的面积。

解题思路：首先，我们可以计算出△AOB的面积为35平方厘米。

接着，根据相似三角形的性质，我们可以得到△AOD的面积为25平方厘米。

例题2下面是一道关于长方形的例题：长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。

已知三角形ADG的面积是7平方厘米，三角形BCH的面积是9平方厘米，求四边形EGFH的面积。

解题思路：我们可以通过连接EF来得到四边形EGFH。

接着，将已知的三角形面积相加，即可得到四边形EGFH的面积为16平方厘米。

练2现在是你们自己来练的时间了。

长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。

已知三角形ADG的面积是24平方厘米，三角形BHC的面积是17平方厘米，求四边形GEHF的面积。

解题思路：我们可以通过连接EF来得到四边形GEHF。

接着，将已知的三角形面积相加，即可得到四边形GEHF的面积为41平方厘米。

风筝模型除了蝴蝶模型，风筝模型也是几何学中常见的模型之一。

例题3下面是一道关于不规则四边形的例题：一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。

小学奥数_几何五大模型(蝴蝶模型)
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蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。

推导：由等积变形模型可知：OC AOS S BOC AOB =∆∆ OC AOS S COD AOD =∆∆ COD AODBOC AOB S S S S ∆∆∆∆=∴2431S S S S =即4321S S S S ⨯=⨯∴二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h BC AD //21h h =∴（两平行线之间高相等）121h BC S ABC ⨯⨯=∆221h BC S BDC ⨯⨯=∆B DC A B C S S ∆∆=∴ 3231S S S S +=+∴ 21S S =∴三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆= A C D B C D S S ∆∆= （同底等高） 4241S S S S +=+∴ 2324S S S S +=+ 21S S =∴ 43S S = OD OB = OC OA = 31S S =∴ 42S S =即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ）推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点MEM OG S OGE ⨯⨯=∴∆21EM OG S S ⨯==∴1平行四边形121S S O G E=∴∆同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S O F H =∆ 421S S E O H =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯432121212121S S S S ⨯=⨯∴4321S S S S ⨯=⨯∴ 四、蝴蝶模型与长方形（一）①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。

数学教案设计范例用蝴蝶制作数学拼图，让孩子们轻松掌握几何知识一、教学目标1. 学习几何形状。

2. 制作数学拼图。

3. 培养孩子的动手能力和创新意识。

二、教学内容1. 几何形状：圆形、正方形和三角形。

2. 数学拼图：用蝴蝶制作数学拼图。

三、教学步骤1. 回顾上节课内容，介绍今天的教学内容。

2. 引入新知识：（1）通过图片向孩子们展示圆形、正方形和三角形的形状及特点，让孩子们对几何图形有基本的了解。

（2）给孩子们讲解数学拼图的制作方法，提醒孩子们要注意蝴蝶的形状，提高孩子们的动手能力和创新意识。

3. 操练技能：（1）让孩子们用麻布或者纸板制作蝴蝶的形状。

（2）给孩子们几个几何图形的模板让他们比照做出来。

（3）让孩子们将制作好的几何图形放在蝴蝶的身上，组成完整的数学拼图。

4. 练习应用：（1）让孩子们一起展示制作好的数学拼图。

（2）通过口头问答或者写下自己思考的问题，检查孩子们是否掌握够了几何知识。

四、教学重点和难点1. 教学重点：学习几何形状和制作数学拼图，培养孩子的动手能力和创新意识。

2. 教学难点：要学会正确制作和组装数学拼图。

五、教学评价1. 组织孩子们交流，检查他们对几何知识的掌握程度，以及制作数学拼图的技能。

2. 对于不同层次的孩子，适当给予不同的评价意见，鼓励他们进一步学习和探究。

六、教学参考有关益智玩具1. 蛋糕过桥木制智力拼图2. 十字架拼图3. 大理石迷宫4. 数独益智游戏以上的益智玩具都可以作为课堂教学的程式参考，通过地图、相片等形式，吸引孩子们的兴趣，在快乐的游戏中提高他们的学习能力。

（3）AO:OC＝几何图形之蝴蝶模型学生/课程年级六年级学科数学授课教师日期时段核心内容蝴蝶定理课型一对一/一对N教学目标1、熟悉运用三角形性质：等高三角形面积比等于底边比2、掌握蝴蝶定理的应用重、难点蝴蝶定理的应用。

知识梳理1．等高三角形面积比等于底边比。

如：2．蝴蝶模型，如下图，在任意四边形中，有（1）；（2）；上述结论我们叫做蝴蝶定理。

它为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

导学一知识点讲解 1我爱展示1.如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：（1）三角形BGC的面积是多少？（2）AG∶GC＝（）2.四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图）所示。

如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的，且AO＝2，DO＝3，那么CO的长度是DO的长度的（）倍。

3.如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少？知识点讲解 2例 1. 四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。

求四边形ABCD的面积是多少？我爱展示1. 四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为15平方厘米。

求四边形ABCD的面积是多少？知识点讲解 3例 1. 如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且△ADG的面积比△EFG的面积大6平方厘米。

△ABC的面积是多少平方厘米？我爱展示1. 如图所示，已知正方形ABCD的边长是4。

E、P、F分别是AD、CE、BP的中点，求△DBF的面积是多少？知识点讲解 4例 1. 如图，长方形ABCD中，BE∶EC＝2∶3，DF∶FC＝1∶2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积是多少？我爱展示1.如图，边长为1的正方形ABCD中，BE＝2EC，CF＝FD，求三角形AEG的面积．2.（拓展迁移）如图：△ABC的面积是2平方厘米。

组合蝴蝶数学教案教案标题：组合蝴蝶数学教案教案目标：1. 通过组合蝴蝶数学活动，培养学生对组合数学的兴趣和理解。

2. 帮助学生掌握组合数学的基本概念和技巧。

3. 促进学生的逻辑思维和问题解决能力。

教案步骤：引入活动（5分钟）：1. 制作一些彩色的蝴蝶模板，并将它们分成几个不同的部分，例如：头部、身体、翅膀等。

2. 向学生展示这些蝴蝶模板，并引导他们思考如何通过不同的组合方式来创建新的蝴蝶。

讲解组合数学的基本概念（10分钟）：1. 解释组合数学的定义，即从给定的元素集合中选择若干元素进行排列组合的数学方法。

2. 引导学生理解组合数学中的排列和组合的概念，并给予简单的例子进行说明。

实践活动：组合蝴蝶（25分钟）：1. 将学生分成小组，每个小组分发一些蝴蝶模板和彩色笔。

2. 要求学生通过组合不同的蝴蝶部分，创造出尽可能多的不同蝴蝶样式。

3. 引导学生记录他们所创造的蝴蝶样式的数量，并鼓励他们思考如何通过计算来确定有多少种可能的组合方式。

讨论和总结（10分钟）：1. 邀请学生分享他们所创造的蝴蝶样式，并统计不同小组所得到的蝴蝶数量。

2. 引导学生思考如何用组合数学的方法来计算蝴蝶的总数，并帮助他们理解组合数学在实际生活中的应用。

3. 总结本次活动，强调组合数学的重要性和应用领域。

课堂延伸（5分钟）：1. 鼓励学生在日常生活中寻找更多的组合数学应用例子，并与同学分享。

2. 提供一些额外的组合数学练习题，帮助学生巩固所学知识。

教案评估：1. 观察学生在实践活动中的参与程度和创造力。

2. 检查学生对组合数学基本概念的理解和运用能力。

3. 评估学生在课堂延伸中的表现和思考能力。

教案拓展：1. 引导学生研究更复杂的组合数学问题，如排列组合的计算方法和应用。

2. 组织数学竞赛或小组讨论，让学生运用组合数学知识解决实际问题。

3. 鼓励学生自主学习和探索组合数学的更多领域，如图论和概率统计等。

希望这个教案能够帮助到您，如果您需要进一步的指导或有任何问题，请随时告诉我。