华师版数学九年级上册解码专训：解直角三角形及一般应用(1)

∴sinC＝BBDC＝BD2＝
2 2，
tanC＝CBDD＝1，
∴BD＝CD＝1， 在Rt△ABD中，∠A＝30°，
∴AD＝tBanDA＝ 13＝ 3， 3
∴AC＝AD＋CD＝ 3＋1.
展示提升
1．在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA＝
(D)
A.
5 2
B.12
C.2 5 5
D.
5 5
解直角三角形及其简单应用
【学习目标】 1．理解直角三角形的概念，并能熟练地根据题目 中的已知条件解直角三角形； 2．通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三 角形，逐步培养学生分析问题解决问题的能力； 3．在教学中逐步培养学生分析问题、解决问题的 能力，渗透数形结合的数学思想和方法． 【学习重点】 根据条件解直角三角形． 【学习难点】
3．边角关系：(锐角三角函数_
b
cosA＝__c __
a
cosB＝__c__
a
tanA＝__b__
b
tanB＝__a__
自学互研
知识模块 解直角三角形 (一)自主探究
1．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，已知两直角 边长分别为a，b，如何求斜边c和锐角∠A，∠B? 2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，已知一直角 边a，锐角A，如何求b，c和∠B?
(二)合作探究 典例 如图，在相距2000米的东、西两座炮台A、B 处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它 的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的 正南方，试求敌舰与两炮台的距离．(精确到1米)
解：在Rt△ABC中， ∵∠CAB＝90°－∠DAC＝50°，
BACB＝tan∠CAB，
范例 如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离 地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，则 大树在折断之前高多少？

知2－练
1 (杭州)在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，
∠A＝40°，BC＝3，则AC的长等于( )
A．3sin 40°
B．3sin 50°
C．3tan 40°
D．3tan 50°
2 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，
P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )
A．3.5 B．4.2
答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.
总结
知2－讲
本题运用数形结合思想和定义法解题.已知斜边和一锐角
解直角三角形的一般步骤是：
（1）根据∠A+∠B=90°求出另一锐角；
（2）根据
sin
A

a c
求出a的值；
（3）根据 cos A b 求出b的值或根据勾股定理求出b的值.
c
∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1.
在△ADB中，
1
∵∠ADB＝90°，sin B＝ ∴ AB AD 3,
3
，AD＝1，
sin B
∴ BD AB2 AD2 2 2
∴BC＝BD＋DC＝ 2 2 ＋1.
知3－讲
知3－练
1 (滨州)如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC
知识点 1 已知两边解直角三角形
知1－导
1.问：在三角形中共有几个元素？ 2.问：直角三角形ABC中，∠ C=90°，a、b、c、∠A、
∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ 答：1.三个角，三条边，共六个元素。
2.(1)三边之间关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理) (2)锐角之间关系∠A+∠B=90°． (3)边角之间关系

阶段强化专训一： 求锐角三角函数值的常用方法名师点金锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解．在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比．直接用锐角三角函数的定义(第1题)1．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若CD ＝5，AC ＝6，则tan B 的值是( )A.45B.35C.34 D.432．如图，在△ABC 中， AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值．(第2题)3．如图，直线y ＝12x ＋32与x 轴交于点A ，与直线y ＝2x 交于点B.(1)求点B 的坐标； (2)求sin ∠BAO 的值．(第3题)利用同角或互余两角三角函数间的关系4．若∠A 为锐角，且sin A ＝32，则cos A ＝( )A ．1 B.32 C.22 D.125．若α为锐角，且cos α＝1213，则sin(90°－α)＝( )A.513 B.1213 C.512 D.1256．若α为锐角，且sin 2α＋cos 230°＝1，则α＝______．巧设参数7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝45，则tan B 的值为( )A.43B.34C.35D.458．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且a ，b ，c 满足b 2＝(c ＋a)(c －a)．若5b －4c ＝0，求sin A ＋sinB 的值．利用等角来替换9．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E 且AH ＝2CH ，求sin B 的值．(第9题)阶段强化专训二： 同角或互余两角的三角函数关系的应用名师点金：1.同角三角函数关系：sin 2 α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α；2．互余两角的三角函数关系：sin α＝cos(90°－α)，cos α＝sin(90°－α)，tan α·tan(90°－α)＝1.)同角间的三角函数的应用1．已知sin Acos A ＝4，求sin A －3cos A4sin A ＋cos A 的值．2．若α为锐角，sin α－cos α＝22，求sin α＋cos α的值．余角间的三角函数的应用3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是( ) A ．sin(45°－α)＝sin(45°＋α) B ．sin 2(45°－α)＋cos 2(45°＋α)＝1 C ．sin 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝1 D ．cos 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝14．计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°的值．同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用5．已知sin α·cos α＝1225(α为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为sin α和cos α.6．已知α为锐角且sin α是方程2x 2－7x ＋3＝0的一个根，求1－2sin αcos α的值．阶段强化专训三：解直角三角形的几种常见类型名师点金：解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．已知两直角边解直角三角形1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝23，b＝6，解这个直角三角形．(第1题)已知一直角边和斜边解直角三角形2．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC 的值和点B到直线MC的距离．(第2题)已知一直角边和一锐角解直角三角形3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.(1)求AC的长；(2)求BC的长．(第3题)4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，D为AC边上一点，∠BDC＝45°，求AD的长．(第4题)5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点D，且AB＝43，求AD的长．(第6题)已知非直角三角形中的边和角解直角三角形类型1 化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)7．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，且tan ∠BCD＝1 3，求∠A的三角函数值．(第7题)类型2 化解四边形问题为解直角三角形问题8．(中考·北京)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC ＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝2 2.求CD的长和四边形ABCD的面积．(第8题)类型3 化解方程问题为解直角三角形问题9．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.(1)判断△ABC的形状；(2)求sin A＋sin B的值．阶段强化专训四：利用三角函数解实际问题中的几种数学模型名师点金：利用锐角三角函数解决实际问题，关键是构造．．直角三角形，在构造时依据角(视角和方位角)或线进行构造，一般都是作垂线．．．构造一个甚至几个直角三角形．“背靠背”型(第1题)1．(2014·襄阳)如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为________ m(结果保留根号)．2．(2014·资阳)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离．(第2题)“母抱子”型3．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：如图，先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD 的长等于21米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°.(1)求AB的长；(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)(2)已知本路段对校车限速为40千米/时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？请说明理由．(第3题)“拥抱”型4．如图，小刚同学在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A 是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45 °，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE＝21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD(结果保留根号)．(第4题)“斜截”型5．某片绿地的形状如图，其中∠A＝60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200 m，CD＝100 m．求AD，BC的长(结果精确到1 m，3≈1.732)．(第5题)阶段强化专训五：作辅助线构造直角三角形的方法名师点金：锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解．无直角、无等角的三角形作高1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋3，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长．(第1题)有直角、无三角形的图形延长某些边2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．(第2题)有三角函数值不能利用时作垂线3．如图，在△ABC 中，点D 为AB 的中点，DC ⊥AC ，sin ∠BCD ＝13，求tanA 的值．(第3题)求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝12∠BAC ，求tan ∠BPC 的值．(第4题)答案阶段强化专训一 1．C2．解：∵AD ⊥BC ，∴tan ∠BAD ＝BDAD .∵tan ∠BAD ＝34，AD ＝12，∴34＝BD12，∴BD ＝9.∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5，∴在Rt △ADC 中，AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13，∴sin C ＝AD AC ＝1213. 3．解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋32，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以B 点坐标为(1，2)；(第3题)(2)过点B 作BC ⊥x 轴于C ，如图，当y ＝0时，12x ＋32＝0，解得x ＝－3，则A(－3，0)，∴OA ＝3，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝25， ∴sin ∠BAC ＝BC AB＝225＝55，即sin ∠BAO ＝55.4．D 5.B 6.30° 7.B8．解：∵b 2＝(c ＋a)(c －a)，∴b 2＝c 2－a 2， 即c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 是直角三角形． ∵5b －4c ＝0，∴5b ＝4c ， 则bc ＝45， 设b ＝4k ，c ＝5k ，那么a ＝3k. ∴sin A ＋sin B ＝3k 5k ＋4k 5k ＝75.9．解：∵CD 是斜边AB 上的中线， ∴CD ＝AD ＝BD. ∴∠DCB ＝∠B.∵∠ACD ＋∠DCB ＝90°，∠ACD ＋∠CAH ＝90°， ∴∠DCB ＝∠CAH. ∴∠B ＝∠CAH.在Rt △ACH 中，AH ＝2CH ， ∴AC ＝5CH.∴sin B ＝sin ∠CAH ＝CH5CH ＝55.阶段强化专训二1．分析：本题可利用sin Acos A求解，在原式的分子、分母上同时除以cos A ，把原式化为关于sin Acos A 的代数式，再整体代入其值求解即可．也可直接由sin Acos A ＝4，得到sin A 与cos A 之间的数量关系，代入式子中求值．解：(方法1)原式＝（sin A －3cos A ）÷cos A（4sin A ＋cos A ）÷cos A ＝sin Acos A －34sin Acos A ＋1.∵sin Acos A ＝4，∴原式＝4－34×4＋1＝117. (方法2)∵sin Acos A ＝4，∴sin A ＝4cos A.∴原式＝4cos A －3cos A 4×4cos A ＋cos A ＝cos A 17cos A ＝117.2．分析：要求sin α＋cos α的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解．解：∵sin α－cos α＝22，∴(sin α－cos α)2＝12.即sin 2α＋cos 2α－2sinαcos α＝12.∴1－2sin αcos α＝12，即2sin αcos α＝12.∵(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sinαcos α＝1＋12＝32，又∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0. ∴sin α＋cos α＝62.3．C 点拨：∵(45°－α)＋(45°＋α)＝90°，∴sin (45°－α)＝cos (45°＋α)．sin 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝cos 2(45°＋α)＋sin 2(45°＋α)＝1.4．分析：因为tan 1°·tan 89°＝1，tan 2°·tan 88°＝1，…，tan 44°·tan 46°＝1，所以运用乘法的交换律后，本题易求．解：tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝(tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan 88°)·…·(tan 44°·tan 46°)·tan 45°＝1.点拨：互余的两角的正切值的积为1，即若α＋β＝90°，则tan α·tan β＝1.5．解：∵sin 2α＋cos 2α＝1，sinα·cos α＝1225，∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sinαcos α＝1＋2×1225＝4925.∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝75.又∵sin α·cos α＝1225， ∴以sin α，cos α为根的一元二次方程为x 2－75x＋1225＝0. 点拨：此题运用到两个方面的知识：(1)公式sin 2α＋cos 2α＝1与完全平方公式的综合运用；(2)若x 1＋x 2＝p ，x 1x 2＝q ，则以x 1，x 2为两根的一元二次方程为x 2－px ＋q ＝0.6．解：∵sin α是方程2x 2－7x ＋3＝0的一个根， ∴由求根公式，得 sin α＝－（－7）±（－7）2－4×2×32×2＝7±54.∴sin α＝12或sin α＝3(不符合题意，舍去)．∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝34.又∵cos α＞0，∴cos α＝32.∴1－2sin αcos α＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝（sin α－cos α）2＝|sin α－cos α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－32＝3－12.阶段强化专训三 1．解：∵a ＝23，b ＝6， ∴c ＝a 2＋b 2＝12＋36＝48＝43.∵tan A ＝a b ＝236＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°.2．解：∵AB ＝13，AC ＝12，∠ACB ＝90°， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝169－144＝25＝5.∴sin ∠BAC ＝BC AB＝513.设点B 到直线MC 的距离为d ，∵∠BCM ＝∠BAC ，∴sin ∠BAC ＝sin ∠BCM.∵sin ∠BCM ＝dBC ＝513， 即d5＝513，∴d ＝2513. 即点B 到直线MC 的距离为2513.3．解：(1)由题意知sin C ＝ABAC ，即12＝3AC，则AC ＝6. (2)由题意知tan C ＝ABBC ，即33＝3BC ，则BC ＝3 3.4．解：∵∠BDC ＝45°，BC ＝3， ∴CD ＝3.∵∠A ＝30°，BC ＝3，∴tan A ＝BC AC ＝3AC ＝33，即AC ＝33.∴AD ＝AC －CD ＝33－3.5．解：∵∠B ＝45°，∠C ＝90°，c ＝10， ∴∠A ＝45°.a ＝b ＝52.6．解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝43，∴∠CAB ＝60°，AC ＝AB ·sin 30°＝43×12＝2 3.又∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠CAD ＝30°. ∵cos ∠CAD ＝AC AD ＝32＝23AD ，∴AD ＝4.(第7题)7．解：过点D 作CD 的垂线交BC 于点E ，如图． 在Rt △CDE 中，∵tan ∠BCD ＝13＝DECD ，∴可设DE ＝x ，则CD ＝3x. ∵CD ⊥AC ，∴DE ∥AC.又∵点D 为AB 的中点，∴点E 为BC 的中点．∴DE ＝12AC.∴AC ＝2DE ＝2x.在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，AC ＝2x ，CD ＝3x ， ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝4x 2＋9x 2＝13x.∴sin A ＝CD AD ＝3x 13x ＝31313，cos A ＝AC AD ＝2x 13x ＝21313，tan A ＝CD AC ＝3x 2x ＝32.方法技巧：本题中出现tan ∠BCD ＝13，由于∠BCD 所在的三角形并非直角三角形，因此应用正切函数的定义，构造出一个与之相关的直角三角形进行求解．(第8题)8．解：如图，过点D 作DH ⊥AC 于H. ∵∠CED ＝45°， DH ⊥EC ，DE ＝2，∴EH ＝DE ·cos 45°＝2×22＝1，∴DH ＝1.又∵∠DCE ＝30°，∴HC ＝DHtan 30°＝3，CD ＝DHsin 30°＝2.∵∠AEB ＝45°，∠BAC ＝90°，BE ＝22，∴AB ＝AE ＝2， ∴AC ＝2＋1＋3＝3＋3，∴S 四边形ABCD ＝12×2×(3＋3)＋12×1×(3＋3)＝33＋92. 方法技巧：题目中所给的有直角和30°，45°角，因此我们可以通过构造另一个直角三角形，然后运用特殊角的三角函数值求出某些边的长，进而求出四边形的面积．9．解：(1)将方程整理，得(c －a)x 2＋2bx ＋(a ＋c)＝0，则 Δ＝(2b)2－4(c －a)(a ＋c)＝4(b 2＋a 2－c 2)． ∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即b 2＋a 2＝c 2. ∴△ABC 为直角三角形．(2)由3c ＝a ＋3b ，得a ＝3c －3b.① 将①代入a 2＋b 2＝c 2，得(3c －3b)2＋b 2＝c 2. ∴4c 2－9bc ＋5b 2＝0，即(4c －5b)(c －b)＝0. 由①可知，b ≠c ，∴4c ＝5b.∴b ＝45c.②将②代入①，得a ＝35c.∴在Rt △ABC 中，sin A ＋sin B ＝a c ＋b c ＝35＋45＝75.点拨：解决本题的突破口是由一元二次方程根与判别式的关系得到一个关于a ，b ，c 的等式．从解题过程可以看出，求三角函数时，只分析出直角三角形中三边的比例关系即可求出其值．阶段强化专训四 1．(5＋53)(第2题)2．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长度即是点A 到岸边BC 的最短距离．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x 公里， 则CD ＝AD ＝x 公里．在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°，由tan ∠ABD ＝AD BD ，即tan60°＝xBD ，得BD＝xtan 60°＝33x 公里．又BC ＝4公里，所以33x ＋x ＝4，解得x ＝6－23.即这个标志性建筑物的底部A 到岸边BC 的最短距离为(6－23)公里． 3．解：(1)由题意得，在Rt △ADC 中，AD ＝CD tan 30°＝2133＝213≈36.33(米)．在Rt △BDC 中，BD ＝CDtan 60°＝213＝73≈12.11(米)，所以AB ＝AD －BD ≈36.33－12.11＝24.22≈24.2(米)．(2)校车从A 到B 用时2秒，所以速度约为24.2÷2＝12.1(米/秒)，因为12.1米/秒43.56千米/时，大于40千米/时，所以这辆校车在AB 路段超速．4．解：∵∠CBE ＝45°，CE ⊥AE ，∴CE ＝BE. ∴CE ＝21米，∴AE ＝AB ＋BE ＝6＋21＝27(米)． 在Rt △ADE 中，∵∠DAE ＝30°，∴DE ＝AE ×tan 30°＝27×33＝93(米)，∴CD ＝CE －DE ＝(21－93)米．即该屏幕上端与下端之间的距离CD 为(21－93)米．(第5题)5．解：延长AD ，BC 交于点E.在Rt△ABE中，由AB＝200 m，∠A＝60°，得BE＝AB·tan A＝2003(m)．AE＝ABcos 60°＝400 (m)．在Rt△CDE中，∵CD＝100 m，∠DEC＝90°－∠A＝30°，∴CE＝2CD＝200(m)，DE＝CDtan∠CED＝1003(m)，∴AD＝AE－DE＝400－1003≈227(m)，BC＝BE－CE＝2003－200≈146(m)．阶段强化专训五1．解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D.设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD·tan B＝x·tan 60°＝3x. 在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴∠CAD＝90°－∠C＝45°，∴∠C＝∠CAD，∴CD＝AD＝3x.∵BC＝1＋3，∴3x＋x＝1＋3，解得x＝1，即BD＝1.在Rt△ABD中，∵cos B＝BD AB，∴AB＝BDcos B＝1cos 60°＝2.2．解：延长BC ，AD ，相交于点E. ∵∠A ＝60°，∠B ＝90°，∴∠E ＝30°.在Rt △ABE 中，BE ＝ABtan E ＝2tan 30°＝23，在Rt △CDE 中，EC ＝2CD ＝2，∴DE ＝EC ·cos 30°＝2×32＝ 3.∴S 四边形ABCD ＝S Rt △ABE －S Rt △ECD ＝12AB ·BE －12CD ·ED ＝12×2×23－12×1×3＝332.点拨：本题看似是四边形问题，但注意到∠B ＝90°，∠A ＝60°，不难想到延长BC ，AD ，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决．3．解：过点B 作BE ⊥CD ，交CD 的延长线于点E. ∵点D 是AB 的中点，∴AD ＝DB.又∵∠ACD ＝∠BED ＝90°，∠ADC ＝∠BDE ， ∴△ACD ≌△BED ，∴CD ＝DE ，AC ＝BE.在Rt △CBE 中，sin ∠BCE ＝BEBC ＝13，∴BC ＝3BE.∴CE ＝BC 2－BE 2＝22BE ，∴CD ＝12CE ＝2BE ＝2AC.∴tan A ＝CD AC ＝2ACAC＝2.方法点拨：构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键． 4．解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，(第4题)∵AB ＝AC ＝5， ∴BE ＝12BC ＝12×8＝4，∠BAE ＝12∠BAC. ∵∠BPC ＝12∠BAC ，∴∠BPC ＝∠BAE.在Rt △BAE 中，由勾股定理得 AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3，∴tan ∠BPC ＝tan ∠BAE ＝BE AE ＝43.。

华师版数学九年级上册解码专训
23.2.1 解直角三角形及方位角的应用
课后作业：方案（A）
一、教材题目：P125练习T2，T3，P128练习T2
1．在Rt△ABC中，根据下列条件，解直角三角形（∠C=90°）；
（1）∠A=30°，c=8；（2）a=35，c=352；
（3）a=14，∠A=36°；（4）a=30，b=15.
2．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=8，AD=6，∠D=43°.求四边形的面积（精确到0.01）.
3．一船向东航行，上午9：00到达灯塔C的西南60n mile的A处，上午10:00 到达灯塔C的正南的B处.
(1)画出示意图；
（2）求这船的航行速度（结果保留根号）.
二、补充题目：部分题目来源于《典中点》
7．(2015·牡丹江)在△ABC中，AB＝122，AC＝13，cos B＝
2
2
，则BC的长
为 ( )
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝36，解这个直角三角形．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知b＝10，∠B＝60°，解这个直角三角形．13.(中考·常德)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中
线，∠C＝45°，sin B＝1
3
，AD＝1.
(1)求BC的长；
(2)求tan ∠DAE的值．
14.(2015·连云港)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为AC延长线。