2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(二)

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题二数学（理科）本试卷共5页，23 小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污.损2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A 2,1,0,1,2, B {x|R x 1x 20}，则A BA.1,0,1B.1,0C.2,1,0D.0,1,22.已知,是相异两平面，m,n是相异两直线，则下列命题中错误的是A.若m//n,m ，则n B．若m ,m ，则//C.若m ,m//，则D．若m//,n，则m//n3.变量X服从正态分布X定点N 10,2,P X 12a，P 8X10b，则直线ax by 1过A．(1,1)B．(1,2)C．(2,1)D．(2,2)4.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“aMODb”表示a除以b的余数），若输入的a,b分别为675,125，．．则输出的 a（）A. 0B . 25C. 50D. 755.记不等式组x y 2 2 x y 2 y 2 0表示的平面区域为 ，点 M 的坐标为 x,y．已知命题 p：M ， xy的最小值为 6；A.命题p q q： M ， p qB ． 45x 2 y 220 qC.；则下列命题中的真命题是 pq 、p q 、q D ．都是假命题6.设F , F 为椭圆 C : x 122my 21的两个焦点，若点 F 在圆 F : x122( y1 2m )2 n上， 则椭圆 C 的方程为A ． x2y 2 x 2 1 B ．x 2 2 y 2 1C.22y21D ．2 x2y217.若a20 c o s x d x ，则 ( xa x2 6) 的展开式中含 x 5 项的系数为8. 12 A ．A ．24已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 fx 满足 fC ．12x 2f x， 当 D ． 24x0,1时 ，f x 2x1，则A.f6f7f11 2B.f112f 7f 6C.f7f1111f 79.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何 图f 6D . f 6f22顶点的多边形为正五边形，且PT51AT2.下列关系中正确的是A．BP TS 5151RS B．C Q TP22TSC．ES AP 5151 BQ D．AT BQ22CR10.已知函数f(x)2sin(2x6)在[a4,a](a R)上的最大值为y1，最小值为y，则2y y12的取值范围是A．[22,2]B．[2,22]C．[ 2,2]D．[22,22]11.对于任一实数序列A a,a,a, ，定义A为序列a a,a a,a a, ，它的123213243第n项是an 1an，假定序列(A)的所有项都是1，且a a1820170，则a2018A．0B．1000 C. 1009D．201812.已知M {|f ()0}，N {|g()0}，若存在M ，N，使得||1，则称函数f(x)与g(x)互为“和谐函数”.若f(x)2x 2x 3与g(x)x2ax a 3互为“和谐函数”则实数a的取值范围为A.(2,)B.[2,)C.(2,3)D.(3,)二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分.把答案填在题中的横线上.13.设复数z22 i（其中i为虚数单位），则复数z的实部为_____，虚部为_____．14.点F为双曲线E:x2y21(a 0,b 0)a2b2的右焦点，点P为双曲线上位于第二象限的点，点P关于原点的对称点为Q，且PF 2FQ，OP 5a，则双曲线E的离心率为_____．15.在数列an 中，如果存在非零常数T，使得an Ta对于任意的正整数n均成立，那么就n称数列an 为周期数列，其中T叫数列a的周期．已知数列b满n n足:b b b (n N*)，若b 1，b a(a R,a 0)当数列b的周期最小时，该数列的前2018项的和是，_____． 1 2 n16.一个正八面体的外接球的体积与其内切球的体积之比的比值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.(本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，M为A C的中点，且4a 4b cos C 3c s in B.(Ⅰ)求cos B的大小；B(Ⅱ)若ABM 450,a 52,求ABC的面积．A M C18.(本小题满分12分）为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“整治散落污染企业”等．下表是该市2016年11月份和2017年11月份的空气质量指数（AQI）（AQI指数越小，空气质量越好）统计表．根据表中数据回答下列问题：（1）将2017年11月的空气质量指数AQI数据用该天的对应日期作为样本编号，再用系统抽样方法从中抽取6个AQI数据，若在2017年11月16日到11月20日这五天中用简单随机抽样抽取到的样本的编号是19号，写出抽出的样本数据；（2）根据《环境空气质量指数（A QI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0~50（含50）时，空气质量级别为一级，用从（1）中抽出的样本数据中随机抽取三天的数据，空气质量级别为一级的天数为，求的分布列及数学期望；（3）求出这两年11月空气质量指数为一级的概率，你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？19.(本小题满分12分）C如图，底面为直角三角形的三棱柱ABC A B C中，AB AC AA1111，A BA AB A AC 60 110，点D在棱BC上，且AC //1平面ADB.1（Ⅰ）求二面角A-B C-D11的余弦值；C（Ⅱ）求AB1与平面ABC所成角的正弦值.A DB20.(本小题满分12分）已知点A（0，1）,B为y轴上的动点，以AB为边作菱形ABCD，使其对角线的交点恰好落在x轴上.（Ⅰ）求动点D的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点A的直线l交轨迹E于M、N两点，分别过点M、N作轨迹E的切线l、l12，且l1与l2交于点P.（ⅰ）证明：点P在定直线上，并写出定直线的方程；（ⅱ）求OMN的面积的最小值.21.(本小题满分12分）111已知函数f x l n xa Rx 1（Ⅰ）讨论函数f x的单调性；.（Ⅱ）若fx 有两个极值点x,x12，证明:fx x122fx f x122.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C:x y 41，曲线C:2x 1cosy sin(为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（I）求曲线C,C12的极坐标方程；（II）若射线(0)与曲线C,C12的公共点分别为A,B，求OBOA的最大值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知a 0，b 0，c 0，函数f x c a x x b．（I）当a b c1时，求不等式fx3的解集；（II）当 fx 的最小值为3时，求a b c的值，并求111a b c的最小值．2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）参考答案一、选择题：题号123456789101112ax二、填空题：13.31,2214.515. 134616.33三、解答题17. (Ⅰ) 由题设知：4sin( B C ) 4sin A 4sin B c os C 3sin C sin BB4cos B 3sin B 0 93c os 2 B , 即 cos B 25 5.………………4 分N AMC（II ）取 AB 的中点 N ，连 MN ，则 MN / / B C 且 MN5 22s in BNM sin B4 5，……………7 分由 BM MN MNsin BNM sin NBM sin ABM知： 4 5 2 1BM 4 5 2 sin 450……………9 分2 4 3S 2S BM BC sin( B 450 ) 4 5 2 ( ) 4 ABC MBC ………………12 分18.解：（1）系统抽样，分段间隔k 30 65， 抽出的样本的编号依次是 4 号、9 号、14 号、 19 号、24 号、29 号， 对应的样本数据依次是 分28 、56、94、48、40、221． (3)C k C 3k（2）随机变量 所有可能的取值为 0，1，2,3，且 P ( k ) 3 3 (k 0,1,2,3)C 3 61 9 9 1P ( 0) ， P (1) ， P( 2) ， P ( 3) ，20 20 20 20随机变量的分布列为：0 1 2 3P1209 20 9 20 1 20所以E () 01 9 9 11 2 31.5 20 20 20 20．……………9 分（3）2016 年 11 月AQI指数为一级的概率P 17 30，2017 年 11 月 AQI 指数为一级的概率P 217 30，PP ，说明这些措施是有效的．……………12 分2119. (Ⅰ)解：连 A B ，得 A B ABO , 连 OD ；111ZC'则 O D 平面 ADB1∵ AC / / 平面ADB11平面 A C B ,且 O 为 A B 的中点11A'B'2 5 5CDA BxY∴ A C / /O D ，且 D 为 BC 的中点……………2 分1AB AC AA 1， A ABA AC 60 11∴ A BAC A A , A D B C , AD B C1111设 BC2a ，又底面为直角三角形得 A D AD a , AB AC AA112a∴ A DA 90 10 ，即 A DA D 1，得 A D 1平面 ABC ……………4 分以 D 为原点， DA , DB , DA 分别为 x , y , z 1轴建立空间直角坐标系， 则由 A (a ,0,0) , B (0, a ,0) , C (0,a ,0) , A (0,0, a ) ，1AA / / B B / /C C 知： AABB CC (a ,0, a ) 111111，得B (a, a , a ) 1，C (a, a, a ) 1；∴BC(0, 2a ,0) , AB (2a , a , a ) , DB (a, a , a ) , DA (0,0, a ) 1 1111，………6 分设n( x , y , z ) 且 n平面 AB C 1 11 1，则n B C2ay 01 1n AB 2ax ay az 01 取 x1 得 n(1,0,2) ；设 n平面 DB C ，同理：且 n(1,0,1) 121 12 (8)分∴cos n , n123 3 105 2 10，故二面角A -BC -D 1 1的余弦值为3 10 10；…10 分又 DA 为平面 1ABC的法向量，且cos DA , AB111 666，∴ AB 与平面 ABC 所成角的正弦值 1 6 6.……………12 分20. 解：(Ⅰ)设 D ( x , y ) ，则由题设知：B (0, y ) ， 由 AB A D 知 x 2 ( y 1)2( y 1)2 ，得 x24 y ( y 0) 为动点 D 的轨迹 E 的方程；……………4 分x x 2 x 2(Ⅱ) （ⅰ）由(Ⅰ)知： y ' ，设 M ( x ,y )、N ( x ,y ) ，则 y 1 , y 2 2 4 4;AM ( x , 1 x 2 x 2 x 2 x 2 1 1)、AN ( x , 2 1) 由题设知： x ( 2 1) x ( 1 4 4 4 41)，得x x4 12；1 21 12 2 2 12切线xl : y y 1 ( x x ) 2的方程为x x 2 y 1 x 1 ; 2 4切线 l 2的方程为x x 2 y2 x 2 ; 2 4两者联立得： xx +x x x1 2 ,y 1 21；即点 P 在定直线 2 4y1上； (9)分（ⅱ）由(Ⅰ)及（ⅰ）知：S OMN 1 1 1OA x x ( x x ) 2 4 x x ( x x ) 2 2 22 16 2; 即点 P (0, 1) 时， (S) OMN min2 .……………12 分21. 解 ： （ Ⅰ ）1 a ( x 1) ax x f '(x ) x ( x 1)22 (2 a ) x 1 x ( x 1)2 ( x 0)，(a 2) 2 4 a (a 4) ；当 a 4 时， f '(x ) 0 ， f ( x ) 在 (0, )上单调递增；当a 4时 ，f ( x )在(0,a 2 a (a 4) 2)上 单 调 递 增 ， 在( a 2 a (a 4) a 2 a (a 4) a 2 a (a 4) , ) 上单调递减，在 (2 2 2, )上 单调递增；……………6 分（Ⅱ）由（Ⅰ）知： a 4 且 x xa 2 , x x1 121 2ax ( x 1) ax ( x 1)f ( x ) f ( x ) ln x x 1 2 2 1 a ，(x 1)(x 1) 1 2a 2 a x x a 2 a 2 a 2而 f ( 1 2 ) f ( ) ln ln (a 2) 2 2 2 a 2 22 1x x f ( x ) f ( x ) a 2 a f ( 1 2 ) 1 2 ln 2 h (a )2 2 2 2，2 1 4 ah '(a ) ( 1) 0 a 2 2 2(a 2)，得 h (a ) 在 (4,) 上为减函数，又 h (4) 0 ，即 h (a ) 0 ；则 f ( x x f (x ) f ( x ) 1 2 ) 1 2 2 2……………12 分22．解：（I ）曲线 C 的极坐标方程为 (cos sin ) 4 ，1曲 线 C 的 普 通 方 程 为 ( x 1) 2 y 2 1 ， 所 以 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 2 22cos . …………4 分（II ）设设A ( , ) ，B ( , ) ，因为 A , B 是射线与曲线 124，则 ，2 cos ，42 cossinC , C 12的公共点，所以不妨1 1 1 12 1 2 1 2 1 2 ， ，1 2 1 2 21 . 1 2| OB | 12 2cos | OA | 41(cossin)1 1(cos 2sin 21) 2 cos(2 ) 1 4 4 4，所以当| OB | 时， 8| OA | 2 1取得最大值 . ……………10 分4 23．解：（I ） fxx 1x 11x11x 1{ 或 { 1 2 x 3 3 3或{x 1 2x 1 3， 解 得{x | x 1或x 1}（II ） ．……………5 分fxc a x x b a x x b c a b c a b c 31 1 1 1 1 1 1 1 b a c a c ba b c 3a b c 3 a b c 3 a b a c b c，13 2 2 2 3 3．当且仅当a b c 1时取得最小值 3．……………10 分19．如图，在三棱柱ABC A B C 体，平面 A B C平面 AAC C , BAC90 1 1 11 11 1．（I ）证明：ACCA 1；（II ）若A B C 1 1是正三角形，AB 2 A C 2，求二面角A ABC 1的大小．3BB1CC1AA1。

2018高考仿真卷·理科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)一、选择题(本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M={x|x2-x≤0},N={x|-1<x<1},则M∩N=()A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤0}C.{x|0≤x<1}D.{x|0≤x≤1}2.设复数z满足(1+i)z=i,则z的共轭复数=()A.iB.iC.-iD.-i3.已知向量a=(-1,2),b=(1,3),则|2a-b|=()A. B.2 C. D.104.已知等差数列{a n}的公差为2,且a4是a2与a8的等比中项,则a n=()A.-2nB.2nC.2n-1D.2n+15.下图是1951~2016年中国年平均气温变化图.根据上图,下列结论正确的是()A.1951年以来,我国年平均气温逐年增高B.1951年以来,我国年平均气温在2016年再创新高C.2000年以来,我国年平均气温都高于1981~2010年的平均值D.2000年以来,我国年平均气温的平均值高于1981~2010年的平均值6.古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳,获得可供食用的大米,用于舂米的“石臼”由一块正方体石料凿去一部分做成(凿去的部分看成一个简单组合体).一个“石臼”的三视图如图所示,则凿去部分的体积为()A.63πB.72πC.79πD.99π7.双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与C在第一象限交于点P.若∠PF1F2=30°,则C的离心率为()A.+1B.C.D. 18.定义[x]表示不超过x的最大整数,例如[2]=2,[3.6]=3.右面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》.执行该程序框图,则输出a=()A.9B.16C.23D.309.已知函数f(x)=sin ωx的图象关于点对称,且f(x)在上为增函数,则ω=()A. B.3 C. D.610.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点且倾斜角为锐角的直线l与C交于A,B两点,过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M,若|MN|=|AB|,则l的倾斜角为()A.15°B.30°C.45°D.60°11.若函数f(x)=2x+1-x2-2x-2,对于任意x∈Z且x∈(-∞,a),f(x)≤0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1]B.(-∞,0]C.(-∞,3]D.(-∞,4]12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=4,AA1=2.过点A1作平面α与AB,AD分别交于M,N 两点,若AA1与平面α所成角为45°,则截面A1MN面积的最小值是()A.2B.4C.4D.8二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若变量x,y满足-则z=3x+y的最小值为.14.已知(1+ax)(1+x)3的展开式中x3的系数为7,则a=.15.已知函数f(x)=--则函数f(x)的零点个数为.16.将数列{a n}中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵:a1,a2,a3a4,a5,a6a7,a8,a9,a10……记数阵中的第1列数a1,a2,a4,…,构成的数列为{b n},S n为数列{b n}的前n项和.若S n=2b n-1,则a56=.三、解答题(共70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答)(一)必考题:共60分17.(12分)已知△ABC的面积为3,AC=2,BC=6,延长BC至D,使∠ADC=45°.(1)求AB的长;(2)求△ACD的面积.18.(12分)某商家为了解“双十一”这一天网购者在其网店一次性购物的情况,从这一天交易成功的所有订单中随机抽取了100份,按购物金额(单位:元)进行统计,得到的频率分布直方图如图所示.(1)该商家决定对这100份订单中购物金额不低于1 000元的订单按区间[1 000,1 200),[1 200,1 400]采用分层抽样的方法抽取6份,对买家进行售后回访,再从这6位买家中随机抽取3位赠送小礼品.求获赠小礼品的3位买家中,至少1位买家购物金额位于区间[1 200,1 400]的概率.(2)若该商家制定了两种不同的促销方案:方案一:全场商品打八折;方案二:全场购物每满200元减40元,每满600元减150元,每满1 000元减300元,以上减免只享受最高优惠.例如:购物金额为500元时,可享受最高优惠80元;购物金额为900元时,只享受最高优惠190元.利用直方图中的数据,计算说明哪种方案的优惠力度更大.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AB∥CD,AB=2CD.平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,点E在PC上,DE⊥平面PAC.(1)证明:PA⊥平面PCD;(2)设AD=2,若平面PBC与平面PAD所成的二面角为45°,求DE的长.20.(12分)已知直线l1:ax-y+1=0,直线l2:x+5ay+5a=0.(1)直线l1与l2的交点为M,当a变化时,求点M的轨迹C的方程;(2)已知点D(2,0),过点E(-2,0)的直线l与C交于A,B两点,求△ABD面积的最大值.21.(12分)已知函数f(x)=e x-ln(2x+a)-b.(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y+1=0,求a,b的值;(2)当0<a<2时,存在实数x0,使f(x0)<0,求实数b的最小整数值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4—4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,直线l与曲线C分别交于P,Q两点.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|,求直线l的斜率k.23.选修4—5:不等式选讲(10分)设函数f(x)=|x-a|+(a≠0,a∈R).(1)当a=1时,解不等式f(x)≤5;(2)记f(x)的最小值为g(a),求g(a)的最小值.2018高考仿真卷·理科数学(二)1.C2.B3.C4.B5.D6.A7.A8.C9.A10.B11.D12.B13.714.215.316.1 02417.解(1)由S△ABC=3,得S△ABC=6×2sin∠ACB=3,所以sin∠ACB=,∠ACB=30°或150°.又∠ADC=45°,所以∠ACB=150°.由余弦定理得AB2=12+36-2×26cos150°=84,所以AB==2(2)在△ACD中,因为∠ACB=150°,∠ADC=45°,所以∠CAD=105°.由正弦定理得,所以CD=3+所以S△ACD=AC·CD·sin∠ACD=(3+)×2+1).18.解(1)在这100份订单中,购物金额位于区间[1000,1200)的有10份,位于区间[1200,1400]的有5份,则购物金额位于区间[1000,1400]的订单共有15份,利用分层抽样抽取6份,则位于区间[1000,1200)的有4份,位于区间[1200,1400]的有2份,设事件A表示“获赠小礼品的3位买家中,至少1位买家购物金额位于区间[1200,1400]”,则P(A)=1-(2)由直方图知,各组的频率依次为0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05,方案一:商家最高优惠的平均值为(300×0.1+500×0.2+700×0.25+900×0.3+1100×0.1+1300×0.05)×0.2=150(元);方案二:商家最高优惠的平均值为40×0.1+80×0.2+150×0.25+190×0.3+300×0.1+340×0.05=161.5(元),由于150<161.5,所以方案二的优惠力度更大.19.解(1)由DE⊥平面PAC,得DE⊥PA,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PA.又因为CD∩DE=D,所以PA⊥平面PCD.(2)取AD的中点为O,连接PO,因为PA=PD,所以PO⊥AD,则PO⊥平面ABCD,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz,如图,由AD=2得PA=PD=,OP=1,设CD=a,则P(0,0,1),D(0,1,0),C(a,1,0),B(2a,-1,0),则=(-a,2,0),=(a,1,-1),设m=(x,y,z)为平面PBC的一个法向量,由得--取m=(2,a,3a),由(1)知n==(a,0,0)为平面PAD的一个法向量, 由|cos<m,n>|=,解得a=,即CD=,所以在Rt△PCD中,PC=,由等面积法可得,DE=20.解(1)设M(x,y),由-消去a得曲线C的方程为+y2=1.(y≠-1,即点(0,-1)不在曲线C上,此对考生不作要求)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my-2,由-得(m2+5)y2-4my-1=0,则y1+y2=,y1y2=-,△ABD的面积S=2|y2-y1|=2-=2,设t=,t∈[1,+∞),则S=, 当t=2,即m=±时,△ABD面积取得最大值21.解(1)f(x)的定义域为-,因为点(0,f(0))在切线x+y+1=0上,所以f(0)=-1,所以1-ln a-b=-1.又因为f'(x)=e x-,所以f'(0)=1-=-1,所以a=1,b=2.(2)∀a∈(0,2),∃x0∈R,使f(x0)<0,即e x-ln(2x+a)-b<0,即b>e x-ln(2x+a).而对x>0,0<a<2,e x-ln(2x)>e x-ln(2x+a),只需∃x0∈R+,使b≥e x-ln x-ln2成立.令g(x)=e x-ln x-ln2,所以g'(x)=e x-,而g'(x)在(0,+∞)上单调递增,g'-2<0,g'(1)=e-1>0,则存在唯一的m,使g'(m)=0,即e m-=0.所以g(x)在(0,m)上单调递减,在(m,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(m)=e m-ln m-ln2=-lne-m-ln2=m+-ln2.所以b≥m+-ln2.而m,则1<2-ln2<m+-ln2<-ln2<2,所以b的最小整数值为2.22.解(1)直线l的参数方程为(t为参数).曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y.(2)将直线l的参数表达式代入曲线C得t2+(4cosα)t+3=0,由Δ=(4cosα)2-4×3>0⇒cos2α>,t1+t2=-4cosα,t1·t2=3,又|AP|=|t1|,|AQ|=|t2|,|PQ|=|t1-t2|,由题意知,(t1-t2)2=t1·t2⇒(t1+t2)2=5t1·t2,得(-4cosα)2=5×3,解得cos2α=,满足cos2α>,所以sin2α=,tan2α=,所以k=tanα=±23.解(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|,故f(x)=----①当x>1时,由2x+1≤5得x≤2,故1<x≤2;②当-2≤x≤1时,由3≤5得x∈R,故-2≤x≤1;③当x<-2时,由-2x-1≤5得x≥-3,故-3≤x<-2.综上,不等式的解集为[-3,2].(2)f(x)=|x-a|+--,当且仅当(x-a)0,即-x≤a(a>0)或a≤x≤-(a<0),取“=”,此步对考生不作要求所以,g(a)=,因为=|a|+2=2,当且仅当|a|=,即a=±时,取“=”, 所以,g(a)min=g(±)=2。

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国卷2试题及答案2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A ．B ．C ．D ．2．已知集合，则中元素的12i12i+=-43i 55--43i 55-+34i 55--34i 55-+(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z，≤，，A个数为A ．9B ．8C ．5D ．4 3．函数的图像大致为4．已知向量，满足，，则A ．4B ．3C ．2D ．0 5．双曲线，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．6．在中，，，则()2e e x xf x x --=a b ||1=a 1⋅=-a b (2)⋅-=a a b 22221(0,0)x y a b a b -=>>32y x=3y x=22y x =±3y =ABC△5cos2C 1BC =5AC =AB =机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ． B ． C ． D ．9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A ．B CD10．若在是减函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A ．B ．0C ．2D ．501121141151181111ABCD A B C D -1AB BC ==13AA 1AD 1DB 15552()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π()f x (,)-∞+∞(1)(1)f x f x -=+(1)2f =(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…50-12．已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线在点处的切线方程为__________． 14．若满足约束条件 则的最大值为__________．15．已知，，则__________．16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若1F 2F 22221(0)x y C a b a b+=>>：ACP A312PF F △12120F F P ∠=︒C 231213142ln(1)y x =+(0,0),x y 25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，z x y =+sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=S SA SB 78SA SAB△的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．三、解答题：共70分。

2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅱ/Ⅲ)理科数学(二)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知集合A ={x |3<x <8}，B ={x |2x −7x +10>0}，则A ∪(RB )=A ．[2，3)B ．[2，8)C ．[3，5]D ．(5，8) 2．已知复数z 满足(i −1)(z −3i )=2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为A ．i −1B ．1+2iC ．1−iD ．1−2i 3．已知等差数列{n a }的前7项和7S =14，11a =9，则2018a =A ．2018B ．2017C ．2016D ．20154．已知双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0)的右顶点与抛物线2y =8x 的焦点重合，且其离心率e =32，则该双曲线的方程为 A ．22145x y -= B ．22154x y -= C ．22145y x -= D ．22154y x -= 5．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是 A ．34 B ．23 C ．12 D ．136．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为A ．4πB ．8πC ．10πD ．43π7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为170，则判断框内的条件可以为A ．i >5B ．i 7C ．i >9D ．i 98．已知a =132-，b =21log 32(2)-，c =14sin x π⎰dx ，则实数a ，b ，c 的大小关系是A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a 9．已知函数()f x =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0，|φ|<2π)的部分图象如图所示，把()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，则()g x 在[−23π，3π]上的单调递增区间为A ．[−23π，−712π]，[−12π，3π] B ．[−23π，−712π]∪[−12π，3π] C ．[−12π，3π] D ．[−23π，−712π] 10．已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若MN =BC =4，P A，则异面直线P A 与MN 所成角的大小是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．已知数列{n a }的首项1a =a ，其前n 项和为n S ，且满足n S +1n S -=32n +2n +4(n 2)，若对任意的n ∈N *，n a <1n a +恒成立，则正整数a 的值是A ．5B ．6C ．7D ．8 12．已知函数()f x 满足(1)f x +=1()1f x +，当x ∈[0，1]时，()f x =1()2x ，若在区间(−1，1]上，方程()f x =2x +m 只有一个解，则实数m 的取值范围为A ．[−1，−12)∪{1} B ．(−1，−12)∪{1} C ．(−1，−12] D ．(−1，1) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．二项式(m 3x)8的展开式中4x 的系数为，则m = ． 14．在平面四边形ABCD 中，已知AC =(1，3)，BD =(m ，−3)，则四边形ABCD 的面积的最大值为 ．15．若实数x ，y 满足约束条件42y x y x y k ⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≤≥，且u =2x +y +2的最小值为−4，则k = ．16．已知直线l 与椭圆22221x y a b+=(a >b >0)相切于第一象限的点P (0x ，0y )，且直线l 与x 、y 轴分别交于点A 、B ，当∆AOB (O 为坐标原点)的面积最小时，∠12F PF =60°(1F 、2F是椭圆的两个焦点)，若此时在∆12PF F 中，∠12F PF 的平分线的长度为3a m，则实数m 的值是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，2AB +2AC +AB ×AC =2BC ，且△ABC 的面积为3． (1)求∠BAC 的大小及AB AC ⋅的值； (2)若AB =4，求AD 的长． 18．(本小题满分12分)为了检验某大型乒乓球赛男子单打参赛队员的训练成果，某校乒乓球队举行了热身赛，热身赛采取7局4胜制(即一场比赛先胜4局者为胜)的规则．在队员甲与乙的比赛中，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和数学期望． 19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC −111A B C 中，侧面11ABB A 是矩形，∠BAC =90°，1AA ⊥BC ，1AA =AC =2AB =4，且1BC ⊥1AC ．(1)求证：平面1ABC ⊥平面11A ACC ；(2)设D 是11AC 的中点，判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ，使得DE ∥平面1ABC ．若存在，求二面角E−1AC −B 的余弦值．20．(本小题满分12分)已知曲线C 上任意一点到点A (1，−2)的距离与到点B (2，−4)． (1)求曲线C 的方程；(2)设点P (1，−3)，过点P 作两条相异直线分别与曲线C 相交于E 、F 两点，且直线PE 和直线FE 的倾斜角互补，求线段EF 的最大值． 21．(本小题满分12分)已知函数()f x =ln()x xλ+ (λ∈R)，曲线y =()f x 在x =1处的切线与直线 (1−2ln 2)x −2y =0平行．(1)求曲线y =()f x 在x =1处的切线方程； (2)若x >0，证明：(xe −1)ln(x +1)>2x ．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l ：cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数，0 α<2π)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：2ρ=2312sin θ+(0≤θ<2π)，若直线l 与y 轴正半轴交于点M ，与曲线C 交于A 、B 两点，其中点A 在第一象限． (1)写出曲线C 的直角坐标方程及点M 对应的参数M t (用α表示)； (2)设曲线C 的左焦点为1F ，若|1F B |=|AM |，求直线l 的倾斜角α的值． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知函数()f x =|x −a |，若不等式()f x ≤2的解集为{x |1≤x ≤5}． (1)求实数a 的值；(2)若不等式(2)f x +(2)f x +≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅱ/Ⅲ)理科数学(二)答案1．B 【解析】由已知得B ={x |x <2或x >5}，则RB ={x |2 x 5}，所以A ∪(R B )=[2，8)，故选B ．2．B 【解析】解法一 依题意可得z =2i1i-+3i =2i(1i)(1i)(1i)-+-+−i=−(i −1)−i=1−2i ，其共轭复数为1+2i ，故选B ．解法二 依题意，由(i −1)(z −3i )=2i 得(−1−i)(−1+i)(z +i)=2i(−1−i)，即z+i=i(−1−i)，z =1−2i ，其共轭复数为1+2i ，故选B ．3．C 【解析】通解 设等差数列{n a }的公差为d ，则11767142109a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得111a d =-⎧⎨=⎩，所以2018a =−1+2 017=2 016．故选C ． 优解 设等差数列{n a }的公差为d ，则14=177()2a a +，即17a a +=4，所以24a =4，即4a =2，又11a =4a +7d =2+7d =9，所以d =1，2018a =4a +2 014=2+2 014=2 016．故选C ． 4．A 【解析】易知抛物线2y =8x 的焦点为(2，0)，所以双曲线的右顶点是(2，0)，所以a =2．又双曲线的离心率e =32，所以c =3，2b =2c −2a =5，所以双曲线的方程为22145x y -=，选A ．5．D 【解析】解法一 设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件A ，则P (A )=455201405453+-=++，选D ．解法二 设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件A ，其对立事件为“小明上学时到十字路口需要等待的时间少于20秒”， 则P (A )=1−40201405453+=++，选D ．6．D 【解析】作出该三视图所对应的几何体的直观图，并将其放到正方体中，如图，易知该几何体是正方体中的四棱锥S −ABC D ．由三视图知，SA =AB =AD =2，所以SC，即该几何体的外接球的直径为2，所以该几何体的外接球的体积为43，选D ．7．D 【解析】根据输出结果为170判断何时退出循环体，从而得到判断框内可以补充的条件．S =0+2=2，i =1+2=3，不满足条件，执行循环体； S =2+8=10，i =3+2=5，不满足条件，执行循环体； S =10+32=42，i =5+2=7，不满足条件，执行循环体； S =42+128=170，i =7+2=9，满足条件，退出循环体． 故判断框内的条件可以为i 9，故选D ．8．C 【解析】因为a =132-=131()2=161()4，b =21log 32(2)- =123-=121()3=161()27，所以a >b ，排除B ，D ；c =14sin x π⎰dx =−14cos x 0π=−14(cos π−cos 0)=12=121()4，所以b >c ，所以a >b >c ，选C ．9．A 【解析】解法一 由题图可知A =2，T =4(3π−12π)=π，所以ω=2，所以2×12π+φ=2π+2kπ(k∈Z )．因为|φ|<2π，所以φ=3π，因此()f x =2sin(2x +3π)．将()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到()g x =2sin(2x −3π)的图象，令−2π+2kπ 2x −3π 2π+2kπ(k ∈Z )，解得−12π+kπ x 512π+kπ(k ∈Z )，所以()g x 的单调递增区间为[−12π+kπ，512π+k π](k ∈Z )．又x ∈[−23π，3π]，所以()g x 在[−23π， 3π]上的单调递增区间为[−23π， −712π]，[−12π，3π]，选A ． 解法二 由题图可知A =2，T =4(3π−12π)=π，所以ω=2，所以2×12π+φ=2π+2kπ(k ∈Z )．因为|φ|<2π，所以φ=3π，因此()f x =2sin(2x +3π)．令−2π+2kπ 2x +3π 2π+2kπ(k ∈Z )，解得−512π+kπ x 12π+kπ(k ∈Z )，所以()f x 的单调递增区间为[−512π+kπ，12π+kπ](k ∈Z )．由于把()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，所以()g x 的单调递增区间为[−12π+kπ，512π+kπ](k ∈Z )．又x ∈[−23π，3π]，所以()g x 在[−23π，3π]上的单调递增区间为[−23π， −712π]，[−12π， 3π]，选A ． 10．A 【解析】取AC 的中点O ，连接OM 、ON ，则∠ONM 就是异面直线P A 与MN 所成的角，由此能求出异面直线P A 与MN 所成角的大小．取AC 的中点O ，连接OM 、ON ，则OM ∥12BC ，ON ∥12P A ，∴∠ONM 就是异面直线P A 与MN 所成的角．由MN =BC =4，P A =43，得OM =2，ON =23，∴cos ∠ONM =2222ON MN OM ON MN +-⋅=12164322234+-=⨯⨯， ∴∠ONM =30°，即异面直线P A 与MN 所成角的大小为30°．故选A ．11．B 【解析】由n S +1n S -=32n +2n +4(n 2)，可以得到1n S ++n S =32(1)n ++2(n +1)+4，两式相减得1n a ++n a =6n +5，故2n a ++1n a +=6n +11，两式再相减得2n a +−n a =6．对于n S +1n S -=32n +2n +4(n 2)，由n =2得1a +2a +1a =20，即2a =20−2a ，故偶数项为以20−2a 为首项，6为公差的等差数列，从而2n a =6n +14−2a ．对于n S +1n S -=32n +2n +4(n 2)，由n =3得1a +2a +3a +1a +2a =37，即3a =2a −3，从而21n a +=6n −9+2a ．由题意得20261426926926(1)142a an a n a n a n a <-⎧⎪+-<-+⎨⎪-+<++-⎩，解得234<a <203，故正整数a 的值为6．12．B 【解析】当−1 x <0，即0 x +1<1时，由(1)f x +=1()1f x +可得()f x =1(1)f x +−1，即()f x =111()2x +−1=12x +−1，如图，作出函数y=()f x 在区间(−1，1]上的图象及函数()g x =2x +m 的图象．当函数()g x 的图象过点A (1，12)时，有21+m =12，解得m =−12， 当函数()g x 的图象过点B (−1，0)时，有2(1)-+m =0，解得m =−1， 当函数()g x 的图象过点C (0，1)时，有20+m =1，解得m =1．故当方程()f x =2x +m 在(−1，1]上只有一个解，即函数()f x 与()g x 的图象只有一个交点时，由图象知，m ∈(−1，−12)∪{1}． 13．−1【解析】依题意知1r T +=(−1)r×8Cr×(m 3x )8r-×(2x)r =(−1)r ×22r×8C r ×m 8r -×x 244r -，令24−4r =4，得r =5，因为二项式(m 3x −2x)8的展开式中4x 的系数为2， 所以(−1)5×522×58C ×m 32，m =−1．14．15【解析】设AC 与BD 相交于点O ，设B ，D 到AC 的距离分别为B d ，D d ，则S 四边形ABCD =12×|AC |×B d +12×|AC |×D d =12×|AC |×(B d +D d )≤12×|AC |×|BD | =122109m ⨯+ABCD 的面积最大时， AC ·BD =1×m +3×(−3)=0，得m =9，S 四边形ABCD =15．15．−1【解析】因为u =2x +y +2，设z =2x +y ，则u =z +2，因为u =2x +y +2的最小值为−4，所以z =2x +y 的最小值为−6，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，目标函数z=2x +y 过点A (2k ，2k )时，取得最小值z min =4k +2k =−6，解得k =−1．16．52【解析】由题意，在P (0x ，0y )处的切线方程为0022yy xx a b+=1， ∵直线l 与x 、y 轴分别交于点A 、B ，∴A (20b x ，0)、B (0， 2a y )，∴AOB S ∆=12·2200ab x y ．∵202y a +202x b =1 002x y ab ，∴001x y 2ab，∴AOB S ∆ ab ，当且仅当0022y x a b ==时，∆AOB 的面积最小．设|1PF |=x ，|2PF |=y ，由余弦定理可得42c =2x +2y −xy ，∴xy =432b ， ∴12PF F S ∆=12xy sin 60°=332b ，∴12×2c ×0x =332b ，∴0x =23232b c =b ， ∴c 6，∴a 15．∵在12PF F ∆中，∠12F PF 3， ∴12×x ×3a×12+12×y ×3×1232b ， ∴1232a m⨯ (x +y )=332b ， ∴1232a m ⨯×2a =332b ，∴m =52． 17．【解析】(1)在△ABC 中，由2AB +2AC +AB ×AC =2BC 可得2222AB AC BC AB AC +-⨯⨯=−12=cos ∠BAC ，故∠BAC =120°．（1分）因为ABC S ∆=12AB ×AC ×sin ∠BAC =12×AB ×AC ×sin 120°3所以12×AB ×AC×2，解得AB ×AC =4．（3分）所以AB AC ⋅=|AB |×|AC |×cos 120°=|AB |×|AC |×(−12)=4×(−12)=−2．（4分） (2)解法一 由AB =4，AB ×AC =4得AC =1． 在△ABC 中，由余弦定理得2BC =2AB +2AC −2AB ×AC cos ∠BAC =16+1−2×4×1×(−12)=21，得BC，（6分） 由正弦定理sin sin BC ACBAC ABC=∠∠， 得sin ∠ABC=1sin AC BACBC∠==∵0°<∠ABC <60°，故cos ∠ABC=14．（8分） 在△ABD 中，2AD =2AB +2BD −2AB ×BD cos ∠ABD=16+214−2×4×132144=， 得AD=2．（12分） 解法二 由AB =4，AB ×AC =4得AC =1． 在△ABC 中，由余弦定理得2BC =2AB +2AC −2AB ×AC cos ∠BAC =16+1−2×4×1×(−12)=21，得BC，（8分）cos ∠ABC=222214AB BC AC AB BC +-==⨯⨯， 在△ABD 中，2AD =2AB +2BD −2AB ×BD cos ∠ABD=16+214−2×4×132144=，得AD =2．（12分） 【备注】三角解答题主要有以下几种题型：一是考查三角形中的三角函数问题，正、余弦定理，三角形的面积公式和三角恒等变换是解决问题的主要工具；二是解三角形的实际应用，正、余弦定理是解决问题的主要工具；三是三角函数的图象和性质，三角恒等变换是主要工具．18．【解析】(1)由题意得，甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率P =(23)4+14C (23)4×13=112243．（2分） (2)由题意知，X 的所有可能取值为4，5，6，7，且P (X =4)= (23)4+(13)4=1781， P (X =5)= 14C (23)4×13+14C ×23×(13)4=72243=827，P (X =6)=25C ( 23)4×(13)2+25C (23)2×(13)4=200729， P (X =7)=36C (23)4×(13)3+36C (23)3×(13)4=160729．（8分） 所以X 的分布列为E (X )=4×1781+5×827+6×729+7×729=729．（12分）19．【解析】(1)在三棱柱ABC −111A B C 中，侧面11ABB A 是矩形，∴1AA ⊥AB ，（1分）又1AA ⊥BC ，AB ∩BC =B ，∴1A A ⊥平面ABC ，∴1A A ⊥AC ．（2分） 又1A A =AC ，∴1A C ⊥1AC ． 又1BC ⊥1A C ，1BC ∩1AC =1C ， ∴1A C ⊥平面1ABC ，又1A C 平面11A ACC ，∴平面1ABC ⊥平面11A ACC ．（4分）图1(2)解法一 当E 为1B B 的中点时，连接AE ，1EC ，DE ，如图1，取1A A 的中点F ，连接EF ，FD ，∵EF ∥AB ，DF ∥1AC ， 又EF ∩DF =F ，AB ∩1AC =A ， ∴平面EFD ∥平面1ABC ， 则有DE ∥平面1ABC ．（6分）以 A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为1AA =AC =2AB =4，∴A (0，0，0)，B (2，0，0)，1C (0，4，4)，C (0，4，0)，E (2，0，2)，1A (0，0，4)，由(1)知，1AC =(0，4，−4)是平面1ABC 的一个法向量．（7分） 设n =(x ，y ，z)为平面1AC E 的法向量， ∵1AC =(0，4，4)，AE =(2，0，2)，∴100AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即440220y z x z +=⎧⎨+=⎩，令z=1，则x =−1，y =−1，∴n =(−1，−1，1)为平面1AC E 的一个法向量．（10分） 设1AC 与n 的夹角为θ，则cos θ342⨯=−63，由图知二面角E −1AC −B 为锐角，∴二面角E −1AC −B 的余弦值为63．（12分）图2解法二 当E 为1BB 的中点时，连接DE ，如图2，设1A C 交1AC 于点G ，连接BG ，DG ，∵BE ∥DG ，∴四边形DEBG 为平行四边形，则DE ∥BG ，又DE ⊄平面1ABC ，BG ⊂平面1ABC ，则DE ∥平面1ABC ． 求二面角E −1AC −B 的余弦值同解法一．【备注】(1)证明面面垂直的常用方法：①利用面面垂直的定义；②利用面面垂直的判定定理，转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直．两个平面垂直的证明，通常是通过线线垂直→线面垂直→面面垂直的过程来实现的．(2)二面角的计算一般转化为空间向量夹角的计算，需要注意判断空间二面角与向量夹角的关系是相等还是互补． 20．【解析】(1)设曲线C 上的任意一点为Q (x ，y )2222(1)(2)(2)(4)x y x y -++-++22， 整理得22x y +=10，即曲线C 的方程为22x y +=10．（3分） (2)由题意知，直线PE 和直线PF 的斜率存在，且互为相反数， 因为P (1，−3)，故可设直线PE 的方程为y+3=k (x −1)． 由223(1)10y k x x y +=-⎧⎨+=⎩，消去y 得(1+2k )2x −2k (k +3)x +2k +6k −1=0，（6分） 因为点P (1，−3)在圆上，所以点P 的横坐标x =1一定是该方程的解，故可得E x =22611k k k +-+，同理，F x =22611k k k--+， 所以EF k =(1)3(1)32()E F E F E F E F E F E F y y k x k x k k x x x x x x x x ---+-+-++==---=−13，故直线EF 的斜率为定值−13．（10分） 设直线EF 的方程为y=−13x +b ，则圆C 的圆心到直线EF 的距离d， 所以|EF(−103<b <103)， 所以当b =0时，|EF |max（12分）【备注】(1)求圆的方程的代数法：从圆的标准方程来讲，关键在于求出圆心坐标和半径长；从圆的一般方程来讲，若知道圆上的三个点即可求出圆的方程．因此待定系数法是求圆的方程的常用方法．(2)用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任意一条弦的垂直平分线上”等．21．【解析】(1) 因为()f x =ln()x x λ+，()f x '=2ln()xx x xλλ-++， 因为直线(1−2ln2)x −2y =0的斜率为12−ln2，且曲线y =()f x 在x =1处的切线与直线(1−2ln 2)x −2y =0平行， 所以(1)f '=11λ+−ln(1+λ)=12−ln 2， 解得λ=1，（3分）所以()f x =ln(1)x x+，(1)f =ln 2， 所以所求的切线方程为y −ln2=(12−ln 2)(x −1)，即y =(12−ln 2)x −12+2ln 2．（5分）(2)由(1)知，()f x =ln(1)x x+，当x >0时，欲证(x e −1)ln(x +1)>2x ，只需证ln(1)x x +>1x x e -，因为1x x e -=ln 1x x e e -=ln(11)1x x e e -+-，故只需证ln(1)x x+>ln(11)1x x e e -+-，即证()f x >f (xe −1)，（7分）因为()f x '=2ln(1)1xx x x-++，令()g x =1xx +−ln(x +1)．则当x >0时，()g x '=21(1)x +−11x +=−2(1)x x +<0， 故()g x 是(0，+∞)上的减函数，所以当x >0时，()g x <g (0)=−ln 1=0， 所以()f x '<0，故函数()f x =ln(1)x x+在(0，+∞)上单调递减．（9分） 故要证原不等式成立，只需证明：当x >0时，x <xe −1． 令()h x =x e −x −1，则当x >0时，()h x '=xe −1>0，（10分） 所以()h x 是(0，+∞)上的增函数， 所以当x >0时，()h x >h (0)=0， 即x >0时，x <xe −1．综上所述，当x >0时，(x e −1)ln(x +1)>2x ．（12分）【备注】求解此类题需掌握以下三点：一是明晰导数的几何意义，并利用直线方程的点斜式求出切线方程；二是转化，即把证明不等式问题转化为求函数的单调性及最值问题；三是会构造函数，对所构造的函数求导，利用导数法判断其单调性，从而证得结果． 22．【答案】(1)由2ρ=2312sin θ+得2ρ+22ρsin 2θ=3， ∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴23x +2y =1，即曲线C 的直角坐标方程为23x +2y =1．又由题意可知点M 的横坐标为0，代入x =t cos α，得t cos α，∴M t （5分）(2)由(1)知，直线l 恒过1F (0)，将cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩代入23x +2y =1，化简可得(1+2sin 2α)2t −cos αt −1=0，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，∴|1t +2t |=|M t |，即212sin cos ααα=+， 得sin α=±12，又0 α<2π，∴α=6π．（10分） 【备注】(1)参数方程化为普通方程的关键是消去参数，消去参数的常用方法有：①先由一个方程求出参数的表达式，再代入另一个方程，即代入法；②利用三角函数中的恒等式消去参数，运用最多的是sin 2α+cos 2α=1，即三角公式法；③整体观察，对两式进行四则运算，或先分离参数再运算．(2)参数方程、极坐标方程是解析几何中曲线方程的另外两种表示形式，有时解决一些问题要借助参数的几何意义，如本题的第(2)问． 23．【解析】(1)由()f x ≤2得|x −a |≤2，解得a −2≤x ≤a +2．又不等式()f x ≤2的解集为{x |1≤x ≤5}，所以2125a a -=⎧⎨+=⎩，解得a =3．（4分）(2)由(1)知()f x =|x −3|．设函数()g x =(2)f x +(2)f x +，则()g x =|2x −3|+|x −1|=334,232,1234,1x x x x x x ⎧-⎪⎪⎪-<<⎨⎪-+⎪⎪⎩≥≤，所以函数()g x 的最小值为3()2g =12． 由不等式(2)f x +(2)f x +≥m 对一切实数x 恒成立，得m ≤12． 故实数m 的取值范围为(−∞，12]． （10分）。