函数解析式与值域
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一、求函数解析式的常用方法
1.配凑法，例：已知2(1)=32,f x x x +++求()f x
解：22(1)=32(1)(1)f x x x x x +++=+++ 2()f x x x ∴=+ 练习：已知2211()=f x x x x +
+，求()f x
2.换元法 例：已知2(
1)=lg f x x +，求()f x 解：2(1)=lg 0,f x x x +∴>，令21t x =+，1t ∴>，且21
x t =- ， 2()=lg()1f t t ∴-(1)t > 2()l g ()1
f x x ∴=-(1)x >
练习：已知1)=f x ++()f x
3.待定系数法：（前提是已知函数类型）
例：若函数f (x )是一次函数,且f (1)=2,f (2)=0，那么f (x )=
解：设所求函数解析式为()(0)f x kx b k =+≠ ，(1)2(2)20
f k b f k b =+=⎧∴⎨
=+=⎩ 24k b =-⎧∴⎨=⎩ ∴所求函数解析式为()24f x x =-+ 练习：已知二次函数()f x 满足(2)=(2)f x f x +-，且()0f x =的两个实根平方和为10，图像过点(03),，求函数()f x 的解析式.
4.消元法
例 已知函数()f x 满足12()()=3,f x f x x
+求()f x ； 解： 12()()=3,f x f x x +.....① 112()()3f f x x x ∴+=,.....② ，由①②得 1()2,f x x x =- 练习：知函数()f x 满足()3()=,f x f x x +-求()f x .
5.赋值法：
例 已知(0)=1,f 且对于任意,a b R ∈，都有()()(21),f a b f a b a b -=--+求()f x . 解：因为对任意,a b R ∈，都有()()(21),f a b f a b a b -=--+
所有令a b x ==，得()()(21),f x x f x x x x -=--+即(0)()(1),f f x x x =-+
又因为(0)=1,f 所以2()1f x x x =++。
练习：若函数()f x 对于一切实数,x y 满足: ()()()21f x y f x y x y -=--+,且(0)1f =，
求()f x 的解析式.
二、基本初等函数的值域
①一次函数(0)y kx b k =+≠的值域为R
②二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的值域：当0a >时，值域为24[)4,ac b a
-+∞； 当0a <时，值域为2
4(]4,ac b a --∞。
③反比例函数(0)k
y k x =≠的值域是{|0}y y R y ∈≠且
④指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的值域是(0),+∞
⑤对数函数log (01)a y x a a =>≠,且的值域是R
⑥sin cos tan ,,y x y x y x ===的值域分别为[11][11],,,,R --
三、求函数值域的方法
1.直接法：（适用于基本初等函数）
(1)()2||2010f x x =+ (2) ()f x = (3)1
()4f x x =-
(4)2()25f x x x =++ (5)2()22[22],,f x x x x =++∈-
2.配方法（适用于二次型函数）
(1)2()32[13],,f x x x x =++∈ (2)2()243[31],,f x x x x =-+∈--
3.分离常数法(形如(0)cx d
y a ax b +=≠+)【注：此类型可使用反函数法求值域】
(1)1
()x f x x += (2)5()4x f x x -=- (3)35
()21x f x x -=-
4.换元法（注意：换元后注意新元的取值范围）
①适用于y ax b =+±,,,a b c d 均为常数且0a ≠)
(1)2sin sin y x x =- (2)2sin cos y x x =- (3)y x =
②三角换元： (4)y x =
③遇到比较复杂的函数可使用换元法将其化简再考虑用哪种方法求值域
如：(5) 24
21x x y +=+ (6)2y = (7)2log y =
5.不等式法【注：利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”】 (1)11y x x =++ (2)222(1)1
x x y x x ++=>-+
解：(1)当0x >时，由基本不等式得：1113y x x =++≥+=，当且仅当1x x =即1x =
时，取“=”； 当0x <时，0x ->，由基本不等式得：12x x -+≥=-， 11211x x ∴++≤-+=-,当且仅当1x x
=即1x =-时,取“=”; 综上所述:函数11y x x =+
+的值域为(1][3),,-∞-⋃+∞
6.单调性法：
(1)y = (2)y = 【注意区分y =
7.求导法：
(1)3
()1216,[3,3]f x x x x =-+∈-
解：2312y x '=-，令23120y x '=->，得2x <-或2x >；令23120y x '=->，得22x -<<； ∴当[3,2][2,3]x ∈--⋃时，函数()f x 为增函数；当(2,2)x ∈-时，函数()f x 为减函数 ∴当2x =-时，函数()f x 取极大值，当2x =时，函数()f x 取极小值； 又(3)25f -=，(2)32f -=，(2)0f =，(3)7f =，∴当2x =-时，函数()f x 取最大值，
最大值为(2)32f -=；当2x =时，函数()f x 取最小值，最小值为(2)0f =；。
