历年平面向量高考试题汇集

高考数学试题分类汇编平面向量一． 选择题：1.（全国一5）在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ A ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c + 2.（安徽卷2）若(2,4)AB =，(1,3)AC =, 则BC =（ B ）A ． （1，1）B ．（－1，－1）C ．（3，7）D ．（-3,-7）3.（安徽卷5）在三角形ABC 中，5,3,7AB AC BC ===,则BAC ∠的大小为（ A ）A ．23πB ．56πC ．34πD ．3π 4.（北京卷4）已知ABC △中，2a =3b =60B =，那么角A 等于（ C ）A ．135B ．90C ．45D ．305.（福建卷8)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+c 2-b 3ac ,则角B 的值为A A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23π 6.（广东卷3）已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝（ B ）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)--7.（海南卷5）已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ A ）A. －1B. 1C. －2D. 28.（海南卷9）平面向量a ，b 共线的充要条件是（ D ）A. a ，b 方向相同B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量 C. R λ∃∈， b a λ= D. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=9.（湖北卷设1）)2,1(-=a ,)4,3(-=b ,则=•+c b a )2( CA.(15,12)-B.0C.3-D.11-10.（湖南卷7）在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( D )A ．23-B ．32-C ．32D ．23 11.（辽宁卷5）已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为（ A ）A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，12.（山东卷8）已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量31)(cos sin )A A =-=，，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ C ）A ．ππ63，B ．2ππ36，C ．ππ36，D ．ππ33， 13.（四川卷3）设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=( A )（Ａ）()7,3 （Ｂ）()7,7 （Ｃ）()1,7 （Ｄ）()1,314.（四川卷7）ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若5,22a b A B ==，则cos B =( B ) 5 5 5 515.（重庆卷4)若点P 分有向线段AB 所成的比为-13，则点B 分有向线段PA 所成的比是A (A)-32 (B)-12 (C) 12(D)3 二． 填空题：1.（全国二13）设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．22.（北京卷11）已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么b a •的值为 ．8-3.（湖北卷12）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,3,30,a b c ===︒则A ＝ . 6π 4.（湖南卷11）已知向量)3,1(=a ，)0,2(-=b ，则b a +=_____________________.25.（江苏卷5）a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ．76.（江苏卷13）若2BC ，则ABC S ∆的最大值 ．227.（江西卷16）如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：A ．2AC AF BC +=B ．22AD AB AF =+C ．AC AD AD AB ⋅=⋅D ．()()AD AF EF AD AF EF ⋅=⋅ 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．A 、B 、D8.（陕西卷15）关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题： ①若c a b a ⋅=⋅，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60．其中真命题的序号为 ② ．（写出所有真命题的序号）A B D E CF9.（上海卷5）若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．710.（天津卷14）已知平面向量(24)=，a ，(12)=-，b ，若()=-c a a b b ，则=c ．211.（浙江卷14）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos 312.（浙江卷16）已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b -=，则||b 的取值范围是 。

全国卷历年高考平面向量真题归类分析（2015年-2019年共14套）一、代数运算（3题）1.(2015全国2卷13)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 解：因为向量λa+b 与a+2b 平行,所以λa+b=k(a+2b),则所以．答案:2.（2017全国1卷13）已知向量，的夹角为，， ，则.解解，所以3.（2018全国2卷4）已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0 解：因为所以选B.4.（2019全国1卷7）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A.π6B.π3 C. 2π3 D. 5π6解：因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【归类分析】这类题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．解决问题的关键是熟悉公式及运算法则，求夹角公式为：121222221122cos x x y y a b a bx y x y θ+⋅==++，注意向量夹角范围为[0,]π．求模长则利用公式22a a a a ⋅==转化为向量数量积运算，注意运算结果开平方才是模长．这类题基本解题思路如下： 12,k k λ=⎧⎨=⎩，12λ=12a b 602=a 1=b 2+=a b ()22222(2)22cos602+=+=+⋅⋅⋅+a b a b a a b b 221222222=+⨯⨯⨯+=444++=122+=a b 所有相关向量统一用同一个基底表示22a a a a ⋅==求模，模长记得开平方二、几何运算（3题） 1.（2018全国1卷6）在解中，为边上的中线，为的中点，则A.B.C.D.解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.2.（2015全国1卷7）设D 为解ABC 所在平面内一点,BC →=3CD →,则 ( )A. B. C. D. 解：选A.由题知3.（2017全国2卷12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）.A. B. C. D. 解：方法一：如图所示，取的中点，联结，取的中点，由， 则()()()22PA PB PC PD PA PE ED PE EA ⋅+=⋅=+⋅+=，当且仅当，即点与点重合时，取得最小值为，故选B.（方法二见模块三第8题）AC AB AD 3431+-=AC AB AD 3431-=AC AB AD 3134+=AC AB AD 3134-=11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=1433AB AC -+ABC △P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-BC D AD AD E 2PB PC PD +=()222PE ED-=2221132422PE AD AD ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭20PE =P E 32-【归类分析】这类题主要考查利用平面向量的线性运算，解题时尽量画出符合要求的图形.平面向量基本定理是解决向量问题的出发点，通过线性运算可将平面内相关向量用同一基底表示.题目如果没有选定基底，则如何选取基底是关键，一般是选已知模长及夹角的两个不共线向量为基底，且其它向量便于用该基底表示.三、坐标运算（7题）1.（2016全国2卷3）已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m= ( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 解：a+b=(4,m-2),因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.选D.2.（2016全国3卷3）已知向量1BA 2=⎛ ⎝⎭,31BC ,2=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则∠ABC= ( )A.30°B.45°C.60°D.120°解：选A.因为BA BC ⋅=12×12=,BA =BC =1,所以cos ∠ABC=BA BC 3=2BA BC⋅,即∠ABC=30°3.（2019全国2卷3）已知AB =(2,3)，AC =(3，t)，||BC =1，则AB BC ⋅= A. -3B. -2C. 2D. 3解：由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．4.（2016全国1卷13）(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .解：由已知得:a+b=(m+1,3),所以|a+b|2=|a|2+|b|2⇔(m+1)2+32=m 2+12+12+22,解得m=-2.答案:-25.（2018全国3卷13）已知向量，，．若，则________． 解：由题可得 ，即，故答案为6.（2019全国3卷13）已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 解：因为25c a b =-，0a b ⋅=，所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>=22133a c a c ⋅==⨯⋅．7.（2017全国3卷12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（ ）. A ．3B ．C.D ．2解：由题意，作出图像，如图所示．设与切于点，联结．以点为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为 ．因为，．所以．因为切于点． 所以⊥．所以是斜边上的高．， 即的半径为．因为点在上．所以点的轨迹方程为．设点的坐标为，可以设出点坐标满足的参数方程，而，，． 因为， 所以，． 两式相加得2sin()3θϕ++≤ (其中)， 当且仅当，时，取得最大值为3．故选A.8.（2017全国2卷12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）.A. B.C. D. 方法二：如图所示建立直角坐标系，则()3,0A ，()0,1-B ,()0,1C ，设()y x P ,， 则()y x PA --=3,，()y x PB ---=,1，()y x PC --=,1，ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =BD =BD C E CE BD CE Rt BCD △BD 1222BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅==△C P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0112x μθ==01y λθ==+(22255112sin 55λμθθθϕ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin ϕcos ϕπ2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC △P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-()()()23232232222,23,2222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=----=+⋅y x y y x y x y x PC PB PA所以，当23,0==y x ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0P 时，取得最小值为，故选B. 【归类分析】这类题主要考查利用平面向量的坐标运算，渗透了数学运算、直观想象素养．对于向量坐标运算，一定要弄清楚坐标运算的本质.由于选取了平面上两个互相垂直的单位向量作为基底（单位正交基底），这大大的降低了解题的难度.因此，遇到平面向量难题时要想到建立直角坐标系，用坐标法．32-相关点尽量在坐标轴上或成对称关系，向量坐标零越多越好 (1x AB =，写出所有相关向量的坐标。

平面向量专题r r r r1．已知向量a( 5,6) ， b(6,5) ，则 a 与 bA ．垂直B ．不垂直也不平行C．平行且同向 D ．平行且反向2、已知向量a(1， n)， b( 1， n) ，若2a b与b垂直，则a（）A ．1B．2C．2D． 4r r r r r r r r r r3、若向量a, b满足| a | | b |1， a,b 的夹角为60°，则 a a a b =______ ；4、在直角ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，则下列等式不成立的是uuur （A ）ACuuur （C）AB22uuur uuur uuur 2uuur uuurAC AB（ B）BC BA BCuuur uuur uuur 2uuur uuur uuur uuur( AC AB)(BA BC) AC CD（ D）CD uuur 2AB5、在 ? ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD =2 DB，CD =1CA CB ,则= 3211(D) -2(A)(B)(C) -33336、设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点， A 、B 、 C 为该抛物线上三点，若FA FB FC =0，则|FA|+|FB|+|FC|=(A)9(B)6(C) 4(D) 3uuur uuur uuur1uuur uuur7、在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD，CA CB，则（）2DB CD321C．12A ．B．3D．333 8、已知O是△ABC所在平面内一点，uuur uuur uuur0 ，那么（D 为 BC 边中点，且2OA OB OC）uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurＡ． AO ODＢ． AO2ODＣ． AO3ODＤ． 2AO OD9、设a，b是非零向量，若函数 f (x)( xa b) g(a xb) 的图象是一条直线，则必有（）A ．a⊥b B．a∥b C．|a | | b |D．| a | | b |10、若 O、 E、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是uuur uuur uuurB .uuur uuur uuur uuur uuur uuurA ．EF OF OE EF OF OE C. EF OF OE D .11、设 a=(4,3), a 在 b 上的投影为52,b 在 x 轴上的投影为2,且 |b|＜1,则 b 为2A.(2,14)B.(2,-22D.(2,8)) C.(-2,)77uuur uuur uuurEF OF OE12、已知平面向量a(11)，， b(1， 1) ，则向量 1 a 3b （）22Ａ． (2， 1)Ｂ． ( 2，1)Ｃ． (1，0)Ｄ． (1，2) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur13、已知向量OA(4,6), OB(3,5), 且 OC OA, AC // OB, 则向量 OC 等于（ A ） 3 , 2（ B） 2 , 4（C）3,2（D ）2,4777217772114、若向量a与b不共线，agb0 ，且c = a -aga b，则向量 a 与 c 的夹角为（）agbA ． 0πC．ππB ．3D ．62uuur uuur uuur15、设A(a,1)，B(2, b)，C (4,5)O 为坐标原点，若为坐标平面上三点，OA 与 OB 在 OC 方向上的投影相同，则 a 与b满足的关系式为（）（ A ）4a5b3（B）5a4b3（ C）4a 5b14（ D）5a4b 14uuur r uuur r uuur r16、在四面体 O-ABC 中，OA a,OB b,OC c, D 为BC的中点，E为AD的中点，则 OE =（用a， b，c 表示）17、已知向量a = 2，4，b = 11，．若向量b(a +b) ，则实数的值是．r r60 ，r r，则r r r，的夹角为a b1ag a b．18、若向量 a b19、如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB ， AC 于不同的两点 M ，N ，若uuur uuuur uuur uuurn 的值为AB mAM ， AC nAN ，则m．ANB O CM20、在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线 OB 的两端点uuur uuur分别为 O(0，0) ， B(11)，，则 ABgAC．平面向量专题r r r r1．已知向量 a ( 5,6) ， b (6,5) ，则 a 与 bA ．垂直解．已知向量B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向r rr rr ra( 5,6) ， b (6,5) ， a b 30 30 0，则 a 与 b 垂直，选 A 。

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题09平面向量一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅= ()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 解析：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题2．(2022新高考全国II 卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =( )A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C解析：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =． 故选C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2022新高考全国II 卷·第4题3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =( )A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +【答案】B 解析：因点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2022新高考全国I 卷·第3题4．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是 ( )A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A解析：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题5．(2020新高考II 卷(海南卷)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =( )A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第3题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+． 故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题7．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴()22131BC t =+-=，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题8．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅，所以,3a b π=．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的垂直问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题9．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512510.618-≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美 人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金 分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】 答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．【题目栏目】平面向量\线段的定比分点问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题11．(2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + c d ab 头顶咽喉肚脐足底【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )A ．B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点 在中，有即所以圆的方程为 可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+3252A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC ∆225BD AB AD =+=1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△1125125225CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=25251,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()25251,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以 其中， 所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线251551sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2552cos 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++25sin ϕ=5cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =22125BD =+1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△55CE =P FH DB λμ+A BD C BD 55A FH 2525256522r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ． 另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即 ， ，所以，设 ，即，655325AFAB ==λμ+3P λμ+AG x AB y AD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离， ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ． 法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高． 即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，． 两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤21514z -≤+13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =22125BD +=BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C 255P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0151cos 25x μθ==+02155y λθ==(其中，) 当且仅当，时，取得最大值3． 【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生 转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为 解法二：均值法2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+++=++≤5sin 5ϕ=25cos 5ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP ()0,3OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),,3PO PA x y x y⋅=--⋅--222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通 法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大． 【考点】 平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题 14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A. 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．82PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题16．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 考点：平面向量的线性运算【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第7题17．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，|a -，则a b=( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ． 考点：(1)平面向量的模；(2)平面向量的数量积 难度：B备注：常考题【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标2理科·第3题 二、多选题18．(2021年新高考Ⅲ卷·第10题)已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则 ( )A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC106⋅解析:A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin|22AP αααααααα=-+-++-==，同理222||(cos 1)sin 2|sin|2AP βββ=-+，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=--- cos cos2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选AC ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年新高考Ⅲ卷·第10题 三、填空题19．(2022年全国甲卷理科·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11解析：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=． 故答案为：11．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2022年全国甲卷理科·第13题20．(2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题)已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-解析:由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题21．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第14题22．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-． 解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第14题23．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b ==所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题24．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________． 【答案】22解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =． 2． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题25．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23． 【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题26．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ． 【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=． 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________． 【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法依题意,可设,,所以 所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行a b 60︒2a =1b =2a b +=23222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +23()2,0a =13,22b ⎛= ⎝⎭()((22,033a b +=+=()2223323a b +=+=解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的模长问题 【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题28．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ．【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题29．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\平面向量的共线问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第13题30．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______． 【答案】 解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想 难度:B备注:高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标1理科·第15题31．(2013高考数学新课标2理科·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD⋅＝________．1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：(1)5．1．2向量的线性运算；(2)5．3．1平面向量的数量积运算 难度： A备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第13题32．(2013高考数学新课标1理科·第13题)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____． 【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2． 考点: (1)5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第13题。

2024全国高考真题数学汇编平面向量及其应用章节综合一、单选题1．（2024全国高考真题）已知向量,a b满足1,22a a b ，且2b a b ，则b （）A ．12B C ．2D ．12．（2024全国高考真题）已知向量(0,1),(2,)a b x ，若(4)b b a，则x （）A ．2B ．1C ．1D ．23．（2024全国高考真题）设向量 1,,,2a x x b x，则（）A ．“3x ”是“a b”的必要条件B ．“3x ”是“//a b”的必要条件C ．“0x ”是“a b”的充分条件D ．“1x ”是“//a b”的充分条件4．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B ，294b ac ，则sin sin A C （）A ．13B ．13C ．2D ．135．（2024北京高考真题）设a ，b 是向量，则“·0a b a b”是“a b 或a b ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题6．（2024上海高考真题）已知 ,2,5,6,k a b k R ，且//a b ，则k 的值为．7．（2024天津高考真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC u u r u u r u u u r ，则；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG的最小值为．三、解答题8．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求 cos 2B A 的值．9．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A ．(1)求A ．(2)若2asin sin 2C c B ，求ABC 的周长．10．（2024北京高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，7a ，sin 2cos B B ．(1)求A ；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b ；条件②：13cos 14B；条件③：sin c A 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．11．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B ，222a b c (1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．参考答案1．B【分析】由2b a b 得22b a b，结合1,22a a b ，得22144164a b b b ，由此即可得解.【详解】因为 2b a b ，所以20b a b ，即22b a b，又因为1,22a a b ，所以22144164a b b b ，从而2b .故选：B.2．D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为 4b b a ，所以40b b a，所以240b a b即2440x x ，故2x ，故选：D.3．C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b 时，则0a b，所以(1)20x x x ，解得0x 或3，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x 时， 1,0,0,2a b ，故0a b，所以a b，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x ，解得1x ，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x 时，不满足22(1)x x ，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.4．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C ，再利用余弦定理有22134a c ac ，由正弦定理得到22sin sin A C 的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac，则由正弦定理得241sin sin sin 93A C B .由余弦定理可得:22294b ac ac ac ，即:22134a c ac，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C ，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C ，则sin sin A C .故选：C.5．B【分析】根据向量数量积分析可知0a b a b 等价于a b，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为220a b a b a b ，可得22a b ，即a b ，可知0a b a b 等价于a b ，若a b 或a b ，可得a b ，即0a b a b，可知必要性成立；若0a b a b ，即a b，无法得出a b 或a b ，例如 1,0,0,1a b，满足a b ，但a b 且a b ，可知充分性不成立；综上所述，“0a b a b”是“a b 且a b ”的必要不充分条件.故选：B.6．15【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】//a b ，256k ，解得15k ．故答案为：15．7．43518【分析】解法一：以,BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得 ，设BF BE k u u u r u u r ，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的运算律求AF DG 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得 ，设 1,3,,03F a a a，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的坐标运算求AF DG 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE ，即13CE BA ，则13BE BC CE BA BC u u u r u u r u u u u r r u u u r ，可得1,13，所以43；由题意可知：1,0BC BA BA BC，因为F 为线段BE 上的动点，设 1,0,13BF k BE k BA k BC k，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC22111563112329510k k k k，又因为 0,1k ，可知：当1k 时，AF DG 取到最小值518；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则 11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E，可得 11,0,0,1,,13BA BC BE，因为 ,BE BA BC 131，所以43 ；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x 上，设 1,3,,03F a a a，且G 为AF 中点，则13,22a G a ，可得 131,3,,122a AF a a DG a，则 22132331522510a AF DG a a a，且1,03a，所以当13a 时，AF DG 取到最小值为518 ；故答案为：43；518 .8．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ，0t ，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B ，即229254922316t t t t ，解得2t （负舍）；则4,6a c .（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B ，再根据正弦定理得sin sin a b A B ，即4sin A sin 4A ，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc ，因为 0,πA ，则sin 4A（3）法一：因为9cos 016B ，且 0,πB ，所以π0,2B，由（2）法一知sin 16B，因为a b ，则A B ，所以3cos 4A ，则3sin 22sin cos 24A A A2231cos 22cos 12148A A9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A.法二：3sin 22sin cos 24A A A，则2231cos 22cos 12148A A，因为B 为三角形内角，所以sin 16B，所以 9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A9．(1)π6A(2)2【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A 可得1sin 122A A ，即sin()1π3A ，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ，故ππ32A ，解得π6A方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A ，又22sin cos 1A A ，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A ，解得cos 2A，又(0,π)A ，故π6A方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x ，则π()2sin (0π)3f x x x，显然π6x时，max ()2f x ，注意到π()sin 22sin(3f A A A A ，max ()()f x f A ，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A 必定是极值点，即()0cos sin f A A A ，即tan 3A ，又(0,π)A ，故π6A方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ，由题意，sin 2a b A A，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b，则2cos ,2cos ,1a b a b ，此时,0a b，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A 又(0,π)A ，故π6A方法五：利用万能公式求解设tan 2A t，根据万能公式，22sin 21t A A t整理可得，2222(2(20((2t t t ，解得tan22A t 223tan 13t A t ，又(0,π)A ，故π6A（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B ，又,(0,π)B C ，则sin sin 0B C，进而cos 2B ，得到π4B ，于是7ππ12C A B，26sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ，即2ππ7πsin sin sin6412bc，解得b c 故ABC的周长为2 10．(1)2π3A；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin B 式子得3b ，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c，再利用正弦定理得到sin Csin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B，因为A 为钝角，则cos 0B，则2sin B，则7sin sin sin b a BA A，解得sin A ，因为A 为钝角，则2π3A.（2）选择①7b ，则333sin 714142B，因为2π3A ，则B 为锐角，则3B ，此时πA B ，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B ，因为B 为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B得2147，解得3b ， 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B3131335321421414,则1153153sin 7322144ABC S ab C.选择③sin c Ac 5c ，则由正弦定理得sin sin a c A C 5sin C ，解得sin C ，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ，则 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C3111533321421414，则11sin 7522144ABC S ac B △11．(1)π3B (2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B 得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C ，对比已知222a b c ，可得222cos 222a b c C ab ab，因为 0,πC ，所以sin 0C ，从而sin2C ，又因为sin C B，即1cos2B ，注意到0,πB ，所以π3B .（2）由（1）可得π3B，cos2C ，0,πC ，从而π4C ，ππ5ππ3412A ，而5πππ1sin sin sin12462A，由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c，从而,a b，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin222228ABCS ab C c c，由已知ABC的面积为323338c所以c。

平面向量高测试题精选〔一〕一.选择题〔共14小题〕1. 〔2021?河北〕设D 为△ ABC 所在平面内一点,前二3五,那么〔〕A疝-仁小产:豆2. 〔2021?福建〕正_L 正,|标肝, |正|二t ,假设P 点是△ ABC 所在平面内一点,A. 13B. 15C. 19D. 213. 〔2021?四川〕设四边形 ABCCfe 平行四边形,|画二6, |面=4,假设点M N 满足就二3元,而二2说,那么标•疝二〔〕A. 20B. 15C. 9D. 64. 〔2021?安徽〕△ ABC 是边长为2的等边三角形,向量 E 满足靛=2；,AC =2a +b,那么以下结论正确的选项是〔 〕 A. | b|=1 B. alb C. a?b=1 D. 〔4a+b 〕,前5. 〔2021?陕西〕对任意向量！、b,以下关系式中不恒成立的是〔 〕A. |l^b |<|a || b|B, H-b |<|| ；| 一 |E||C. 〔 a+b 〕 2=| a+b | 2D. 〔a+b 〕 ? 〔 ； Y 〕<2 -百6. 〔2021?重庆〕假设非零向量 a, 七满足|1二组1:|可,且〔1-%〕 ± 〔 3a+2b 〕,那么3 !与E 的夹角为〔〕A. —B. —C. —D.冗 4 247. 〔2021?重庆〕非零向量 * b 满足|b|=4| J ,且a ,〔2a+b 〕那么占与b A J B J C _I D __L 3 2 368. 〔2021?湖南〕在平面直角坐标系中, O 为原点,A 〔- 1, 0〕, B 〔0,立〕,C 〔3, 0〕,动点D 满足|而|=1 ,那么| OA +OB +OD l 的取值范围是〔〕且」 .「|AB| |AC| 那么再•衣的最大值等于〔A. [4, 6]B. [V19-1, V19+1]C. [2 立,2书]D.[由-1,,+1]9. 〔2021?桃城区校级模拟〕设向量%,工满足| a |= |b |=1,二后二,V ■a- c, b-c>=60° ,那么l A的最大值等于〔〕A. 2B. Vs C .& D . 110. 〔2021?天津〕菱形ABCD勺边长为2, /BAD=120 ,点E、F分别在边BGDC上,施"前,谄.,假设凝?谆1赤?正谓,那么入+尸〔〕A. B.二 C.二D 二2 3 6 1211. 〔2021?安徽〕设,,E为非零向量,|而2|十,两组向量*,离,寓,巧和宝, 斤三,斤均由2个；和2个E排列而成,假设耳?宣+中卫+E?三+五?五所有可能取值中的最小值为4| a|2,那么！与芯的夹角为〔〕A 二B 二C 二D. 0 3 3612. 〔2021?四川〕平面向量最〔1, 2〕, b= 〔4, 2〕, c=m+b 〔mGR〕,且彳与1的夹角等于W与Z的夹角,那么m=〔〕A. - 2B. - 1C. 1D. 213. 〔2021?新课标I 〕设D, E, F分别为△ ABC的三边BC CA AB的中点,那么直+而=〔〕A 二B. 一DC. : D. 一：2 214. 〔2021?福建〕设M为平行四边形ABCD寸角线的交点,O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,那么赢+5S+无+而5等于〔〕A. i"B. 2 i“C. 3 i"D. 4 i"二.选择题〔共8小题〕15. 〔2021?浙江〕设司、.为单位向量,非零向量岸x q+y., x、yGR假设司、同的夹角为30.,那么集的最大值等于_________________ .lb |16. 〔2021?北京〕点A 〔1, -1〕, B 〔3, 0〕, C 〔2, 1〕.假设平面区域D由所有满足点二次/+Nm〔1＜入02, 0＜医01〕的点P组成,那么D的面积为.17. 〔2021?湖南〕如图,在平行四边形ABC前,APIBD垂足为P,且AP=3,那么AP .正=.18. 〔2021?北京〕己知正方形ABCD勺边长为1,点E是AB边上的动点.那么而•百的值为.19. 〔2021?天津〕直角梯形ABC前,AD// BC / ADC=90 , AD=2 BC=1, P 是腰DC上的动点,那么|位+3瓦|的最小值为 .20. 〔2021?浙江〕平面向量五,百〔五产万,五卉万〕满足IT 1=1,且五与下的夹角为120.,那么|三|的取值范围是 .21. 〔2021?天津〕如图,在^ ABC中,ADLAB,前4菽那么AC ,箴=.22. 〔2021?天津〕假设等边△ ABC的边长为2加,平面内一点M满足而^^总正,那么6 3而,而=.三.选择题〔共2小题〕23. (2021?上海)定义向量0M= (a, b)的“相伴函数〞为f (x) =asinx+bcosx , 函数f (x) =asinx+bcosx的“相伴向量〞为赢=(a, b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为S.(1)设g (x) =3sin (x+21) +4sinx ,求证：g (x) GS; 2(2)h (x) =cos (x+a ) +2cosx,且h (x) GS,求其“相伴向量〞的模；(3)M(a, b) (b乎0)为圆C: (x - 2) 2+y2=1上一点,向量超的“相伴函数〞f (x)在x=x.处取得最大值.当点M 在圆C上运动时,求tan2x.的取值范围._一、_________ 2 n...........................24. (2007?四川)设F I、F2分别是椭圆工+,=1的左、右焦点.4(I)假设P是第一象限内该椭圆上的一点,且西・后己二-总,求点P的作标；(II)设过定点M (0, 2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且/AO的锐角 (其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.平面向量高测试题精选(一)参考答案与试题解析一.选择题(共14小题)1 . (2021?河北)设D为△ ABC所在平面内一点,BC-3CD,那么( )A归工:岳B折,13 0 *s, 0八一 4 一 1 - r —1 4―1 —C—,'4'. D.解：由得到如图由仙二处+8口=标亨岸冠4 国-靛)=-掷号正;应选：A.2. (2021?福建)正1京,I店|[, |正|二t,假设P点是△ ABC所在平面内一点,,那么无•五的最大值等于(A. 13B. 15C. 19D. 21解：由题意建立如下图的坐标系, 可得 A (0, 0), B (工0) , C (0, t),・•・P (1, 4),PB= (-- 1, - 4) , pc= ( - 1 , t -4),PB*PC=- (1-1) - 4 (t -4) =17-(1+4t),t由根本不等式可得l+4t>2^T^=4,.•.17-(1+4t) < 17- 4=13,当且仅当上4t即t6时取等号, .二有•五的最大值为13, 应选：A.3. 〔2021?四川〕设四边形ABCDfe平行四边形,|画二6, |初=4,假设点M N满足而二3元,而二2前,那么氤,而i=〔A. 20B. 15C. 9D. 6解：「四边形ABCM平行四边形,点M N满足面i=3元,丽二2束,.二根据图形可得：= + ?--= . ： . II,4 4洲二MI -蝴,V或•而二标？〔记-讪〕二俞-嬴•福.-1|2=・"2 . : •",・小।-r -.-,-1= ：."21二卜,2. ；3 4 2 '| 'B|=6 , | -1||=4 ,..」「'/二,：：：「12=12-3=9应选：C4. 〔2021?安徽〕△ ABC是边长为2的等边三角形,向量京E满足屈=2£AC=2g+b,那么以下结论正确的选项是〔〕A. | b|=1B. a±bC. a?b=1D. 〔4a+b〕,前解：由于三角形ABC的等边三角形,；,E满足靛=2；,应=2：+%,又正=7B+前, 所以‘：..；,・‘,所以-=2, - ；.=1X2Xcos120 =- 1,4a・b=4X 1X2Xcos120° =- 4,寸=4,所以狐・石+］士=0,即〔4a+b〕*B=0,即〔G+E〕•前=0,所以〔4；+芯〕1BC；应选D.5. 〔2021?陕西〕对任意向量！、b,以下关系式中不恒成立的是〔〕A. |a-b|<|；|| b|B. | a-b l<ll ^l -I bllC 〔髓〕2=| a+b| 2 D. 〔a+b〕? 〔a-b〕=?- b2解：选项A正确,丁 | a p b|=| 君|| b||cos < " Z>|,又|cosv；, b>| <1,,|.讶&G| %| 恒成立；选项B错误,由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|g-E l >ll』-|芯|| ；选项C正确,由向量数量积的运算可得〔a+b〕2=|a+b|2;选项D正确,由向量数量积的运算可得〔彳+E〕?〔1-b〕二2-%2.应选：B6. 〔2021?重庆〕假设非零向量a, 七满足|』=竺|可,且〔：-％〕± 〔3a+2b〕,那么3!与E的夹角为〔〕A.三B.C. 12£D.冗4 2 4解：二 ( a - b) ± ( 3 a+2b),(5-b) ? ( 3 a+2b) =0,即 3.；— 2：,2- ? =0,即就=3；-2寸金2, 3即V a, E>=三, 4应选：A7. 〔2021?重庆〕非零向量b满足lbl=4| J,且a,〔2a+b〕那么祖与b的夹角为〔〕A二B二C三D三3 2 3 6解：由非零向量之,b满足lbl=4| a l ,且a,〔2a+b〕,设两个非零向量a, b的夹角为°,所以a? 〔 2 a+ b〕=0,即2$十| |b|C os9 =.,所以cos 9 =-.,9 Q0 ,九],所以eW；应选C.8. 〔2021?湖南〕在平面直角坐标系中, O为原点,A〔- 1, 0〕, B 〔0,右〕,C 〔3, 0〕,动点D满足l而l=1 ,那么l m+55+55l的取值范围是〔〕A. [4 , 6]B. [ V19- 1, V19+1] C . [2 遮,2<7] D.[邛-1,道+1]】解：•••动点D满足|而|=1 , C 〔3, 0〕,「•可设 D (3+cos 9 , sin 9 ) (6 q0 , 2 兀)).又 A ( - 1, 0), B (0,立),, + 1+ 1= 1 - - - - ■一』I 「+"+0」= 一：:」二二二•,一F"船…,•:飞不、」=倔公斤京西河丁,〔其中sin 6二焉,8s小嚼- 1<sin 〔 9 +〔［〕〕 &1,•,•〔"-1〕 2= * - W748+2VV sin 〔 9 + 小〕< 8+2沂=〔^+1〕2,「.I OA+OB+OD|的取值范围是W7 - I,近+11.应选：D.9. 〔2021?桃城区校级模拟〕设向量I,工满足|l|=|b |=1,.泰-L V b-c>=60°,那么1看的最大值等于〔〕A. 2B.g C . & D . 1解：「I aI二I b |二1,乱〞二一, -W二.W, %的夹角为120° ,设赢二W, OB=b,0C=c那么不二^一与；CB=1一工贝4/AOB=120 ; / ACB=60丁./AOB+ ACB=180・•.A,O, B, C四点共圆.一2• • AB /. AB^/3由三角形的正弦定理得外接圆的直径当OC 为直径时,模最大,最大为 2 应选A10 . 〔2021?天津〕菱形 ABCD 勺边长为2, /BAD=120 ,点E 、F 分别在边BG DC 上,BE = k BC, DF =〔1DC,假设标?m =1, CE ?CF =- 贝U 入+医=〔〕3A. 'B. :C. ' D — 2 3 6 12解：由题意可得假设.•,？•, = 〔 ",+神〕?〔川+】,〕=",, '1+三二 + ■ - -,-i +^-D?' =2X2Xcos120° + 屈,■屈+ 入 75?菽+入标?医 7S = 一 2+4医+4入 + 入d X2X2Xcos120° =4入+4医一2入医—2=1, 「•4人+4d 一2入医=3①CE ?CF =- EC ?〔-而〕=EC*FC = 〔1 -入〕前？〔1 -医〕DC = 〔1 -入〕而？〔1 -医〕总=〔1 一入〕〔1 —医〕X2X2Xcos120° = 〔1一入一医+入医〕〔一2〕= - 2, 3即一人一〔1 +入［L = ~ —②.3 由①②求得入+医=总 故答案为：!11 .〔2021?安徽〕设己,b 为非零向量,| b|=2| a| ,两组向量工,器,工,V?和行, 々,¥3' V/均由2个日和2个b 排列而成,假设町？为+工2?方+工3?%+%？%所有可 能取值中的最小值为4|；|2,那么：与E 的夹角为〔解：由题意,设！与E 的夹角为民, 分类讨论可得]? y I + X?? y ?+工3?y § + Xq ?% =为？为+ a ?2+b ?b+b? b=10| 君| ,不满足2KA — B.3 C. D. 0②T^^T+T^r+F?丁+『??=：?；+：?%+%?：+Z?Z=5| a|1 2+4| a| 2cos 民,不满足；1 J12 J23 734 J4③7j?元+7；?卫+三?同+3?耳=4!?岸8| a| 2cos a =4| a| ：满足题意,此时COS a」2・•. W与E的夹角为—. 3应选：B.12. (2021?四川)平面向量短(1, 2), b= (4, 2), c=m+b (m GR),且W与；的夹角等于W与E的夹角,那么m=( )A. - 2B. - 1C. 1D. 2解：二向量a= (1, 2), b= (4, 2),=m + = (m+4, 2m+2 ,又丁［与；的夹角等于1与Z的夹角,k I • | a | I c |* |b |•••飞一’ — f )lai |b|二’解得m=2应选：D13. (2021?新课标I )设D, E, F分别为△ ABC的三边BC CA AB的中点,那么冠+而= ( )A. . ।B. DC. ：,D.2 2【解答】解：:D, E, F分别为AABC的三边BC, CA, AB的中点, .•.而+而=(丽+丽+ ( FE+EC) =FB+EC=1 (屈+近)=15,应选：A14. 〔2021?福建〕设M为平行四边形ABCD寸角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,那么加+而+枳+而等于〔〕A. I"B. 2 i"C. 3 I" D〕. 4 I"解：丁0为任意一点,不妨把A点看成O点,那么加+无+权+玩=1+/+而+元,・「M是平行四边形ABCD勺对角线的交点,,0 + AB+AC+AD=2AC=4OM应选：D.二.选择题〔共8小题〕15. 〔2021?浙江〕设二司为单位向量,非零向量E=x6+y G,x、yGR.假设]、, 的夹角为30.,那么集的最大值等于 2 .Ib| -------解：为单位向量,T和U的夹角等于30° ,,U・£=1X1X cos30.二亚•「非零向量Z=x4+y',•./而后二J/+ 2工y T] W +产J X2+我盯旷,. 44=,.—=I」= | I 2 = I1 2 ,旧寸J+V^v+v? *+行中+,,l打巧工0〕V〔7垮〕£故当2=-立时,&取得最大值为2,x 2 |b故答案为2 .16. 〔2021?北京〕点A 〔1, -1〕, B 〔3, 0〕, C 〔2, 1〕.假设平面区域D由所有满足获:人五+P•豆〔1＜入02, 0＜医01〕的点P组成,那么D的面积为 3 .解：设P的坐标为〔x, y〕,那么靛二(2, 1), AC= (1, 2), AP= (x—1, y+1), < 7?二工m+U 正,\ - 1=2 + |A 宿万一/ 日_解N得,y+l= X+2Uy+11<?|工-当-1<2,- K入02, 0<医01, ..•点P坐标满足不等式组,04 - £工+"|^1<1作出不等式组对应的平面区域,得到如图的平行四边形CDE极其内部其中C (4, 2), D (6, 3), E (5, 1), F (3, 0)二|CF|二；一丁一卜：二 _ 二,,点E (5, 1)到直线CF: 2x—y—6=0的距离为d1上士工^1二■还V5 5「•平行四边形CDEF勺面积为S=|CF|X d=V^x2四=3,即动点P构成的平面区域D 5的面积为3故答案为：317. (2021?湖南)如图,在平行四边形ABC前,APIBD垂足为P,且AP=3,那么族•近二18 .【解答】解：设AC与BD交于点O,那么AC=2AO/APIBD AP=3,在Rt^APO中,AOcos/ OAP=AP=3・•・I 面cos /OAP=2|瓦| XcosZOAP=2|AP|=6 ,由向量的数量积的定义可知, 6•正二|6||正|cos/PAO=3 6=18故答案为：1818. (2021?北京)己知正方形ABCD勺边长为1,点E是AB边上的动点.那么DE-CB 的值为1 .【解答】解：由于血,后=而瓜=应卜iXlcosC正♦瓦>=5丁=1.故答案为：119. (2021?天津)直角梯形 ABC 前,AD// BG / ADC=90 , AD=2 BC=1, P是腰DC 上的动点,那么|位+3瓦|的最小值为 5 .解：如图,以直线 DA DC 分另U 为x, y 轴建立平面直角坐标系,那么 A (2, 0), B (1, a), C (0, a), D (0, 0)设 P (0, b) (0<b<a)那么m =(2, - b), PB = (1, a- b),PA+3PB = (5, 3a-4b)•- IPA+3PB l =/25+ (3a-4b) 2>5-故答案为5.20. (2021?浙江)平面向量 五,J (五通,五产下)满足|T 1=1,且五与 方-五的夹角为120° ,那么|无|的取值范围是 (0,当鸟_.3解：令用 屈二无、AC =T,如以下图所示：那么由萩书-五,又二云与E-W 的夹角为120° ,・ ./ABC=60又由AC=|下一-：| 向 G (0, ^p ］ 故|五|的取值范围是(0, 二］故答案：(0,芋］21. (2021?天津)如图,在4ABC 中,ADLAB,前一画,|75 I =1,那么说・75=_立【解答】解：AC-A S=|AC IHADicosZDAC,■-n ,由正弦定理sinC sin60.得:..一•一■. .. ■:: II-,.-- . .A,,cos/DAC=sinZ BAQAC *AD= lAC |-|AD|cosZDAC= | AC|-cosZDAC= | AClsinZBAC ,在△ ABC中,由正弦定理得里L=变形得|AC|sin / BAC=|BC|sinB, sinB sin/BACAC*AD=| AC !* | AD|cosZEAC= | AC |-cosZDAC= | AC|sinZBAC ,二|BC|sinB= |BC|・-需-=V5,故答案为V3 •22. 〔2021?天津〕假设等边△ ABC的边长为273,平面内一点M满足而卫司+2而,那么6 3瓦,诬=-2 .解：以C点为原点,以AC所在直线为x轴建立直角坐标系,可得C 10,01, R 〔2"^,.〕,B〔V3,3〕,• • CB =三〕,CA二〔2^3 〕.〕,••乐翔翁二〔¥,y,“：■ , 1,"」1,MA*MB=〔亚,--〕?〔-近,-〕=-2.2 2 2 2故答案为：-2.三.选择题〔共2小题〕23. (2021?上海)定义向量 0M = (a, b)的“相伴函数〞为 f (x) =asinx+bcosx , 函数f (x) =asinx+bcosx 的“相伴向量〞为 赢=(a, b)(其中O 为坐标原点).记 平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为 S.(1)设 g (x) =3sin (x+21) +4sinx ,求证：g (x) GS; 2(2)h (x) =cos (x+a ) +2cosx,且h (x) GS,求其“相伴向量〞的模； (3)M(a, b) (b 乎0)为圆C: (x - 2) 2+y 2=1上一点,向量超的“相伴函数〞 f (x)在x=x .处取得最大值.当点 M 在圆C 上运动时,求tan2x .的取值范围.【解答】 解：(1) g (x) =3sin (x+—) +4sinx=4sinx+3cosx ,其‘相伴向量'0M = (4, 3), g (x) GS.(2) h (x) =cos (x+a) +2cosx =(cosxcos a - sinxsin a ) +2cosx =-sin a sinx+ (cos a +2) cosx 函数 h (x)的‘相伴向量’ 丽=(-sin a , cos a +2).那么 | 皿=q (一式11al —= ( cos a+2)―2=5+4曲口 .(3) OM 的'相伴函数'f ( x) =asinx+bcosx= ^^^sin (x+([)),其中cos 小=> ^ sin 小=Va 2 + b Z —,kGZ 时,f (x)取到最大值,故 x0=2k % +—-小,kGZ. 2 2-'.tanx 0=tan (2k % +- -([)) =cot ([)—, 2 b2tan x 口tan2x 0二 1-tan x o 1-(① b 也为直线OM 勺斜率,由几何意义知：-q -VI, 0) u (0, a a 3a 2 + b 2当 x+([)=2k % +___= r a b令m=,贝U tan2x0=—mq —亚,0) U ( 0,立｝.③川」 3 3rr当-亚0m<0 时,函数tan2xo=—J单调递减,,0< tan2xo<Vs；3IT当0Vm<立时,函数tan2x 0=—片单调递减,/.- 加&tan2x0<0.rr综上所述,tan2x°q -遮,0) U (0,a]. .............. 、 c 24. (2007?四川)设Fi、F2分别是椭圆工+/=1的左、右焦点.4(I)假设P是第一象限内该椭圆上的一点,且可■玩二-求点P的作标；(II)设过定点M (0, 2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且/AO的锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.】解：(I)易知a=2, b=1,钎我.•• Fi (一〃,0),F2(如,0) •设P 那么PF；・PF；二(-百一工,-y)(伤一小x +y =4 x2=i m联立,2 ,解得" 2 3n a,P?儿卜=4(n)显然x=0不满足题设条件.可设l V..V 2联立,瓦+y n = (kx+2) gn (1+£y=kx+2. 一12 * 16k1 • #1 K n- °,及i + 乂力一r.1^1+4/ 1上l+4k Z^△= (16k) 2-4? (1+4k2) ?12>016k2- (x, y) (x>0, y>0).2一/二K./- 3二- "1,又亍+yJl,£1,喙)•的方程为y=kx+2,设 A (x1, y., B (x2, Ik") z2+16kx+12=03 (1+4k2) >0, 4k2- 3>0,得①),又yM二(kxi+2) (kx2+2) =k2XiX2+2k(X1+X2) +4 ..xiX2+yiy2= (1 +k2) xiX2+2k (X1+X2) +4=(1+k2) ,—(--^5) +4 1+41 1+4 k 2_12 (1+ k2) 2k*16k .------------ 2- ------------ r+4l+4k2l+4k2l+4k2综①②可知••.k的取值范围是(-2, -亨)U (亨2)•。

专题七平面向量与解三角形真题卷题号考点考向2023新课标1卷3 向量的数量积向量数量积的坐标运算17 解三角形正、余弦定理解三角形2023新课标2卷13 向量的数量积利用向量数量积求模长17 解三角形解三角形的综合应用2022新高考1卷3 平面向量的线性运算向量的加减及数乘运算18 解三角形正弦定理变形、三角恒等变形2022新高考2卷4 向量的数量积向量数量积的坐标运算18 解三角形正余弦定理解三角形2021新高考1卷10 向量的坐标运算求向量的模、向量数量积的坐标运算19 解三角形正、余弦定理解三角形2021新高考2卷15 向量的数量积向量数量积的运算18 解三角形正弦定理解三角形、余弦定理判断三角形的形状2020新高考1卷7 向量的数量积求向量数量积的取值范围17 解三角形正、余弦定理解三角形2020新高考2卷3 向量的线性运算向量的加、减法运算17 解三角形正、余弦定理解三角形【2023年真题】1.（2023·新课标I 卷 第3题）已知向量(1,1)a = ，(1,1).b=− 若()()a b a b λµ+⊥+，则( ) A. 1λµ+=B.1λµ+=− C. 1λµ= D. 1λµ=−2. （2023·新课标II 卷 第13题）已知向量a ，b 满足||a b − |||2|a b a b +=− ，则||b = __________ 3. （2023·新课标I 卷 第17题）已知在ABC 中，3A B C +=，2sin()sin .A C B −=(1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高.4. （2023·新课标II 卷 第17题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 面积为D 为BC 的中点，且 1.AD =(1)若3ADC π∠=，求tan B ；(2)若228b c +=，求b ，.c【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第3题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2.BD DA =记CA m =，CD n =，则CB =( )A. 32m n −B. 23m n −+C. 32m n +D. 23m n +6.（2022·新高考II 卷 第4题）已知向量(3,4)a =，(1,0)b =，c a tb =+，若,,a c b c <>=<>，则实数t =( ) A. 6−B. 5−C. 5D. 67.（2022·新高考I 卷 第18题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 2.1sin 1cos 2A BA B=++(1)若23C π=，求;B (2)求222a b c +的最小值.8.（2022·新高考II 卷 第18题）记ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为1S ，2S ，3S ，且123S S S −+，1sin .3B =(1)求ABC 的面积;(2)若sin sin A C =.b【2021年真题】9.（2021·新高考I 卷 第10题）（多选）已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin)P ββ−，3(cos (),sin ())P αβαβ++，(1,0)A ，则( )A. 12||||OP OP =B. 12||||AP AP =C. 312OA OP OP OP ⋅=⋅D. 123OA OP OP OP ⋅=⋅10.（2021·新高考I 卷 第19题 ）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，.c 已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin .BD ABC a C ∠=(1)证明：.BD b =(2)若2AD DC =，求cos .ABC ∠11.（2021·新高考II 卷 第15题）已知向量0a b c ++= ，1,2a b c === ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=__________.12.（2021·新高考II 卷 第18题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,,1, 2.a b c b a c a =+=+(1)若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；(2)是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【2020年真题】13.（2020·新高考I 卷 第7题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 ( ) A. (2,6)−B. (6,2)−C. (2,4)−D. (4,6)−14.（2020·新高考II 卷 第3题）在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =( ) A. 2CD CA +B. 2CD CA −C. 2CD CA −D. 2CD CA +15.（2020·新高考I 卷 第17题、II 卷 第17题）)在①ac =，②sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A B =，6C π=，__________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案解析】1.（2023·新课标I 卷 第3题）解：22()()()()2(1)0a b a b a a b b λµλµλµλµ+⋅+=++⋅+=+= ，所以1;λµ=−故选.D 2. （2023·新课标II 卷 第13题） 解：将原式平方：化简可得：即23b =，故||b =3. （2023·新课标I 卷 第17题）解：(1)3A B C +=，3C C π∴−=，解得.4C π=2sin()sin A C B ∴−=可化为2sin()sin()44A A πππ−=−−，即32sin()sin()44A A ππ−=−，A A A A =，整理得sin 3cos A A =， 将1cos sin 3A A =代入22sin cos 1A A +=，得210sin 19A =，29sin 10A ∴=，sin A =(2)由(1)知sin A =，1cos sin 3A A==4C π=，又sin sin AC AB B C=，sin sin AB BACC ∴== AB ∴边上的高sin 6.h AC A === 4. （2023·新课标II 卷 第17题）解：(1)ABC S =，D 为BC 的中点，ADC S ∴11sin 122AD CD ADC CD ⋅⋅∠=××=，解得2CD =，则 2.BD =过点A 作AE CD ⊥于点E ，则在ADE中，AE =12DE =，∴在Rt AEB 中，52BE BD DE =+=，tan AEB BE==(2) 在ABC 中，1()2AD AB AC =+，222222111||()(||||2)(2cos )444AD AB AC AB AC AB AC c b bc A ∴=+=++⋅=++ ，11(82cos )4bc A ∴=+，即cos 2bc A =−，又1sin 2ABC S bc A ==，sin bc A ∴，sin tan cos bc A Abc A ∴==23A π∴=，sin A =， 4.bc =再将4b c=代入228b c +=，即可解得 2.b c ==【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第3题）解：2133CD CA CB =+ ，3223.CB CD CA m n =−=−+6.（2022·新高考II 卷 第4题）解：由已知有(3,4)c t =+ ，cos a < ，cos ,c b c >=<> ，， 故9316351t t c c +++=⋅⋅ ， 解得 5.t =7.（2022·新高考I 卷 第18题）解：cos sin 2(1)1sin 1cos 2A B A B =++ ，22222cos sin 2sin cos 2212cos 1cos sin 2sin cos 2222A AB B A A A A B −∴=+−++且cos 0B ≠， cos sin 1tansin 222tan cos cos sin 1tan 222A A AB B A A A B −−∴=∴=++，tan()tan 42A B π∴−=，又A ，(0,)B π∈，(,)4244A πππ−∈−，.42AB π∴−=又23C π=，3A B π∴+=，.6B π∴=(2)由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得2222222221cos 2()1cos 242sin sin ()sin sin 4222sin sin ()1cos 2()42422AA A A a b AB A A cC A A ππππ−−−+−+++===+−−+−21cos 21sin 2sin sin 11sin 1sin A A A A A A−+−−+=++，(0,)(0,)2(0,)42A A AB ππππ∈⇒∈ −=∈ ，令1sin (1,2)t A =+∈， 则22(1)(1)1425t t y t t t −−−+==−+，(1,2)t ∈，425y t t=−+在t ∈时递减，在2)t ∈时递增，因此t =时，min5.y =− 8.（2022·新高考II 卷 第18题） 解：(1) 边长为a2，222123)S S S a b c ∴−+=−+=cos 1ac B =，由1sin 3B =得：cos B =1cos ac B ∴==，故111sin 223ABC S ac B ===(2)由正弦定理得：229.sin sin sin sin sin 4b a c ac B A C A C ===，故31sin .22b B = 9.（2021·新高考I 卷 第10题）（多选） 解：根据题意，依次分析选项：对于A 、12||||1OP OP ==，A 正确；对于B、1||AP ==，，B 不正确；对于C 、3cos ()OA OP αβ⋅=+， 12cos cos sin sin cos ()OP OP αβαβαβ⋅=−=+ ，C 正确； 对于D 、1cos OA OP α⋅=，23cos cos()sin sin ()cos (2)OP OP βαββαβαβ⋅=+−+=+ ，D 不正确； 故选.AC10.（2021·新高考I 卷 第19题 ）证明：(1)BDsin sin ABC a C ∠=，sin sin a CBD ABC∴=∠，由正弦定理可知sin sin b a ABC A =∠，得sin sin b AABC a ∠=，2sin sin sin sin a C a C acBD b A b A b a∴===， 又2b ac = ，.BD b ∴=解：(2)2AD DC = ，∴可知3bDC =，则23b AD =，在ABD 中，222222213()39cos 24233b b bc c ADB b b b +−−∠==⋅， 在BCD 中，22222210()39cos 2233bb b a a CDB b b b +−−∠==⋅， ADB CDB π∠=−∠ ，cos cos ADB CDB ∴∠=−∠， 即2222221310994233b bc a b b −−=−，整理得22261130a b c −+=， 又2b ac =，则2261130a ac c −+=，即()()2330a c a c −−=，可得32c a =或3ca =， 当32c a =时，b =， 在ABC 中，由余弦定理可得，当3c a =时，b =，此时b c a <−，不合实际，则舍去， 故：7cos .12ABC ∠=11.（2021·新高考II 卷 第15题） 解：由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，9.2a b b c c a ⋅+⋅+⋅=−故答案为：9.2−12.（2021·新高考II 卷 第18题） 解：(1)因为2sin 3sin C A =， 根据正弦定理可知()2223c a a =+=， 则4a =，故5b =，6c =，2221cos 028a b c C ab +−==>，所以C 为锐角，则sin C ，因此，11sin 4522ABC S ab C ==××=(2)显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得，又0a >，则2230a a −−<，即(1)(3)0a a +−<， 解得13a −<<，则03a <<，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈ ，故 2.a =13.（2020·新高考I 卷 第7题）解：由投影定义知，当点P 与点F 重合时，AP AB ⋅取最小值当点P 与点C 重合时，AP AB ⋅取最大值故AP AB ⋅的取值范围是(2,6).− 故选.A14.（2020·新高考II 卷 第3题）解：在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB CD DB CD AD =+=+ ()CD AC CD =++ 2.CD CA −故选：.C 15.（2020·新高考I 卷 第17题、II 卷 第17题）解：sin A B =，由正弦定理得a = ，6C π=，由余弦定理得：222cos 2a b c C ab +−==，c = ； 假设三角形存在，若选①，有ac =，则有ac =，则1, 1.a b c ==故存在满足题意的三角形， 1.c =若选②，有sin 3c A =，则有2221cos 22b c a A bc +−===−，则sin A =，故c =，6,a b ==故存在满足题意的三角形，c =若选③，有c =，由题意有,a a ，则有b c =，这和c =矛盾， 故不存在满足题意的三角形.。

专题11 平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |= A 2 B ．2 C ．52D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ， 所以22||(1)12-=-+=a b ， 故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．3．【2018年高考全国I 卷文数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u v1113124444BA BA AC BA AC =++=+u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以3144EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 4．【2018年高考全国II 卷文数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.5．【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A ．3−1 B ．3+1 C ．2 D ．2−3【答案】A【解析】设，则由得，由b 2−4e ·b +3=0得因此|a −b |的最小值为圆心到直线的距离23=3减去半径1，为选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算. 6．【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r则·BC OM u u u r u u u u r 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN ，由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C 选项.【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 7．【2017年高考全国II 卷文数】设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．>a b【答案】A【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量a ，b 的模长为边长的平行四边形是矩形，从而可得a ⊥b .故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的数量积与向量的垂直.8．【2017年高考北京卷文数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算，及充分必要条件的判断，属于容易题.9．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．【答案】8【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.10．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.【答案】210-【解析】222228262cos ,||||1022(8)6⨯-+⨯⋅===-⋅+⨯-+a b a b a b ． 【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．11．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B，535(,)22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE 的斜率为3，其方程为3(23)3y x =-， 直线AE 的斜率为3-，其方程为3y x =-. 由3(23),33y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-u u u r u u u rg g .【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.12．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABAC的值是_____.【答案】3.【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE=-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC⎛⎫=-+=-+=⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g，得2213,22AB AC=u u u r u u u r即3,AB=u u u r u u r故3ABAC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)iiλ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BDλλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；25【解析】以,AB AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,令()()2212345613562456y AB BC CD DA AC BD λλλλλλλλλλλλλλ=+++++=-+-+-++≥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 00.又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =. 因为()135λλλ-+和()245λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-， 所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值， 所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值22max242025y =+==.故答案为0；25.【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.14．【2018年高考全国III 卷文数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2Q ∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12. 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.15．【2018年高考北京卷文数】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________.【答案】【解析】，，由得：，，即.【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0． 16．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u ur ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，； ∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r ；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．17．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.18．【2017年高考全国III 卷文数】已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________．【答案】2【解析】由题意可得02330,m ⋅=⇒-⨯+=a b 解得2m =. 【名师点睛】（1）向量平行：1221∥x y x y ⇒=a b ，,,∥≠⇒∃∈=λλ0R a b b a b ,111BAAC OA OB OC λλλλ=⇔=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .（3）向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b .19．【2017年高考全国I 卷文数】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b ，因为()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =． 【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0．20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OCu u u r的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得2sin 10α=，2cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222102720n m n m +=⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．21．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________． 【答案】4，25【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则2212212cos 54cos θθ-=+-⨯⨯⨯=-a b ，2212212cos 54cos θθ+=++⨯⨯⨯=+a b则54cos 54cos θθ++-=+-a b a b 令54cos 54cos y θθ=+-，则[]221022516cos 16,20y θ=+-，据此可得：()()maxmin 2025,164++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是25【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得54cos θ++-=+a b a b54cos θ-能力有一定的要求．22．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =u u u r u u u r ，AE AC λ=-u u u r u u u r ()AB λ∈R u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为________．【答案】311【解析】由题可得1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则12()33AD AE AB AC ⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r 2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=u u u r u u u r ．【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC u u u r u u u r已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．23．【2017年高考山东卷文数】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ=________．【答案】3-【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则∥a b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．（2）利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．（3）三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →共线.。

2021 年高考数学试题分类汇编5专题五平面向量1.〔15北京理科〕在中, 点, 满足, . 假设, 那么；.【答案】11 ,26【解析】试题分析: 特殊化, 不妨设, 利用坐标法, 以A为原点, AB为轴, 为轴, 建立直角坐标系, , , 那么, .考点: 平面向量2.〔15北京文科〕设, 是非零向量, “〞是“〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析: , 由得, 即, .而当时, 还可能是, 此时, 故“〞是“〞的充分而不必要条件.考点: 充分必要条件、向量共线.3.〔15年广东理科〕在平面直角坐标系中, 向量, , 。

〔1〕假设, 求tan x的值〔2〕假设与的夹角为, 求的值。

【答案】〔1〕；〔2〕.【考点定位】此题考察向量数量积的坐标运算、两角和差公式的逆用、知角求值、值知求角等问题, 属于中档题.4.〔15年广东文科〕在平面直角坐标系 中, 四边形 是平行四边形, , , 那么 〔 〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析: 因为四边形 是平行四边形, 所以 , 所以 , 应选D.考点: 1.平面向量的加法运算；2.平面向量数量积的坐标运算.5.〔15年安徽文科〕 是边长为2的等边三角形, 向量 满足 , , 那么以下结论中正确的选项是 。

〔写出所有正确结论得序号〕①a 为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( 。

【答案】①④⑤【解析】试题分析: ∵等边三角形ABC 的边长为2, ∴ ＝2 ＝2 ,故①正确；∵ ∴ , 故②错误, ④正确；由于 夹角为 , 故③错误；又∵∴ , 故⑤正确 因此, 正确的编号是①④⑤.考点: 1.平面向量的根本概念；2.平面向量的性质.6.〔15年福建理科〕 , 假设 点是 所在平面内一点, 且 , 那么 的最大值等于〔 〕A. 13B. 15C. 19D. 21【答案】 Ax yBCA P考点: 1.平面向量数量积；2.根本不等式.7.〔15年福建文科〕设 , , ．假设 , 那么实数 的值等于〔 〕A. B. C. D.【答案】A考点: 平面向量数量积.8.〔15年新课标1理科〕M 〔x0, y0〕是双曲线C: 上的一点, F1.F2是C 上的两个焦点, 假设 ＜0, 那么y0的取值范围是〔A 〕〔- , 〕 〔B 〕〔- , 〕〔C 〕〔 , 〕 〔D 〕〔 , 〕【答案】A9.〔15年新课标1理科〕设D 为 ABC 所在平面内一点 =3 , 那么〔A 〕=+ (B)=〔C 〕=+ (D)=【答案】A【解析】由题知 = , 应选A.10.(15年新课标1文科)11.〔15年新课标2理科〕设向量 , 不平行, 向量 与 平行, 那么实数 _________.【答案】12【解析】因为向量 与 平行, 所以 , 那么 所以 .12.〔15年新课标2文科〕()1,1=-a ,()1,2=-b ,那么(2)+⋅=a b a 〔 〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析: 由题意可得 , 所以 .应选C.考点: 向量数量积.13.〔15年陕西理科〕对任意向量 , 以下关系式中不恒成立的是〔 〕A. B.C. D.【答案】B考点: 1.向量的模；2.向量的数量积.14.〔15年陕西文科〕对任意向量 , 以下关系式中不恒成立的是〔 〕A. B. C. D.【答案】B考点: 1.向量的模；2.数量积.15.〔15年天津理科〕在等腰梯形ABCD 中,//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==那么AE AF ⋅的最小值为 . 【答案】2918【解析】试题分析: 因为 , ,AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918. BA考点: 1.向量的几何运算；2.向量的数量积；3.根本不等式.16.〔15年天津文科〕在等腰梯形ABCD 中, , 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且 那么 的值为 .【答案】2918【解析】试题分析: 在等腰梯形ABCD 中,由 , 得 , , ,所以22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点: 平面向量的数量积.17.〔15年山东理科〕菱形ABCD 的边长为 , , 那么(A)232a - (B) 234a - (C) 234a (D) 232a 解析: 由菱形ABCD 的边长为 , 可知 ,, 答案选(D)18.〔15年江苏〕向量a= , b= , 假设ma+nb= ( ), 的值为______.【答案】3-【解析】试题分析: 由题意得:考点: 向量相等19.〔15年江苏〕设向量 , 那么 的值为【答案】【解析】试题分析:2(1)21(21)cos sin cos cos sin cos 6666626k k k k k ππππππππ++++=++=++因此111033124k k k a a +=⋅==∑。

专题四平面向量——2025届高考数学考点剖析精创专题卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．[2022年全国高考真题]在ABC △中，点D 在边AB 上，2BD DA =.记CA =m ，CD = n ，则CB =()A.32-m n B.23-+m nC.32+m nD.23+m n1．答案：B解析：如图，因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以33()2323CB CA AB CA AD CA CD CA CA CD =+=+=+-=-+=-+m n ，故选B.2．已知O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足((0,))||||AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹一定通过ABC △的()A.外心B.内心C.重心D.垂心2．答案：B解析：||AB AB 为AB 上的单位向量，||AC AC 为AC 上的单位向量，则||||AB ACAB AC +的方向为在BAC ∠的平分线上的向量AD的方向.又因为(0,)λ∈+∞，所以||||AB ACAB AC λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的方向与||||AB AC AB AC + 的方向相同.因为||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ，所以||||AB AC OP OA AP AB AC λ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭，所以点P 在AD 上移动，即点P 的轨迹一定通过ABC △的内心.3．[2023秋·高三·河北保定·期末联考]已知向量(2,3)=-a ，(1,2)=b ，(9,4)=c ，若正实数m ，n 满足m n =+c a b ，则11m n+的值为()A.7 10B.37C.47D.573．答案：A解析：因为(2,3)=-a，(1,2)=b，(9,4)=c，所以(2,32)(9,4) m n m n m n=+=+-+=c a b，所以29,324,m nm n+=⎧⎨-+=⎩解得2,5,mn=⎧⎨=⎩所以111172510m n+=+=.故选A.4．[2024春·高一·甘肃武威·期中联考]在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上.若13AF xAB AD=+，则x=()A.23B.45C.56D.674．答案：C解析：由题可知2()3AE AB AD=+，因为点F在BE上，所以存在实数λ使得(1)AF AB AEλλ=+-，即21223333AF AB ADλλ⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.从而有221333λ-=，解得12λ=.所以21153326x=+⨯=.故选C.5．[2024年全国高考真题]已知向量(0,1)=a，(2,)x=b，若(4)⊥-b b a，则x=() A.-2 B.-1 C.1 D.25．答案：D解析：解法一：因为(4)⊥-b b a，所以(4)0⋅-=b b a，即24=⋅b a b.因为(0,1)=a，(2,)x=b，所以224x=+b，x⋅=a b，得244x x+=，所以2(2)0x-=，解得2x=，故选D.解法二：因为(0,1)=a，(2,)x=b，所以4(2,)4(0,1)(2,)(0,4)(2,4)x x x-=-=-=-b a.因为(4)⊥-b b a，所以(4)0⋅-=b b a，所以22(4)0x x⨯+-=，所以2(2)0x-=，解得2x =，故选D.6．[2024年全国高考真题]已知向量a ，b 满足||1=a ，|2|2+=a b ，且(2)-⊥b a b ，则||=b ()A.12B.2C.2D.16．答案：B解析：由(2)-⊥b a b ，得2(2)20-⋅=-⋅=b a b b a b ，所以22=⋅b a b .将|2|2+=a b 的两边同时平方，得22444+⋅+=a a b b ，即22212416||4++=+=b b b ，解得21||2=b ，所以2||2=b ，故选B.7．[2023春·高二·长沙市第一中学·开学考试]已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是()A.(2,6)- B.(6,2)- C.(2,4)- D.(4,6)-7．答案：A解析：解法一：如图，过点P 作1PP ⊥直线AB 于1P ，过点C 作1CC ⊥直线AB 于1C ，过点F 作1FF ⊥直线AB 于1F ，||||cos AP AB AP AB PAB ⋅=⋅⋅∠，当PAB ∠为锐角时，1||cos AP PAB AP ⋅∠= ，当PAB ∠为钝角时，1||cos AP PAB AP ⋅∠=-，所以当点P 与C 重合时，AP AB ⋅ 最大，此时1||6AP AB AC AB ⋅=⋅= ，当点P 与F 重合时，AP AB ⋅最小，此时1||2AP AB AF AB ⋅=-=-，又因为点P 是正六边形ABCDEF 内的一点，所以26AP AB -<⋅<.故选A.解法二：连接AE ，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AE 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，设()00,P x y ，则013x -<<.(2,0)AB =，()00,AP x y = ，则02(2,6)AB AP x ⋅=∈- ，故选A.8．[2023春·高一·辽宁鞍山·月考联考]已知ABC △中，1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D 在BC 边上，且BD =13BC ，则线段AD 的长度为()B.2C.3⋅D.38．答案：D解析：由题意得112()333AD AB BD AB AC AB AC AB =+=+-=+，因为||1AB = ，||2AC =，60BAC ∠=︒，所以||AD ==3==，即线段AD 的长度为233.故选D.二、多项选择题9．[2024春·高一·湖南衡阳·月考校考]下列结果为零向量的是()A.()AB BC CA -+B.AB AC BD CD -+-C.OA OD AD -+D.NO OP MN MP++-9．答案：BCD解析：A 项，()2AB BC CA AB BA AB +-==-；B 项，0AB AC BD CD CB BC --+=+= ；C 项，0OA OD AD DA AD -+=+= ；D 项，0NO OP MN MP NP PN ++=-+=.故选：BCD.10．[2023春·高一·湖南·月考校考]已知向量)(1,3=a ，(2,)y =b ，()+⊥a b a ，则()A.(2,3)=-b B.向量a ，b 的夹角为34πC.12+=a b D.a 在b 上的投影向量是(1,2)-10．答案：BD解析：(1,3)= a ，(2,)y =b ，(3,3)y ∴+=+a b ，()+⊥ a b a ，31(3)30y ∴⨯++⨯=，4y ∴=-，(2,4)∴=-b ，故A 错误；2cos ,||||2⋅〈〉==-⋅a b a b a b ，又,[0,]〈〉∈πa b ，∴向量a ，b 的夹角为34π，故B 正确；1(1,3)(1,2)(2,1)2+=+-= a b ，12∴+=a b ，故C 错误；a 在b 上的投影向量为2()(1,2)||⋅⋅=-a b bb ，故D 正确.故选BD.11．[2024春·高一·湖南常德·月考校考]若正方形ABCD 中，O 为正方形ABCD 所在平面内一点，且AO x AB y AD =+，,x y ∈R ，则下列说法正确的是()A.AO可以是平面内任意一个向量B.若1x y +=，则O 在直线BD 上C.若12x y ==，13AP AO = ，则2133DP AD AB=-+D.若23OA OB OC ++=0，则6ABC BOC S S =△△11．答案：ABD解析：对于A ，由题意AB AD ⊥，又AD x AB y AD =+ ，,x y ∈R ，以{,}AB AD为基底的坐标系中，根据平面向量基本定理易知AO可以是平面内任意一个向量，故A 正确；对于B ，由向量共线的推论知，若1x y +=，则O 在直线BD 上，故B 正确；对于C ，由题设1()2AO AB AD =+ ，则1()6AP AD DP AB AD =+=+，所以1566DP AB AD =-，故C 错误；对于D ，由23OA OB OC ++=0 ，则3()OB OC OB OA AB +=-=，作E 为BC 的中点，连接OE ，则6OE AB = ，即//OE AB ，且1||||6OE AB =，如图所示，所以6ABC BOC S S =△△，故D 正确.故选ABD.三、填空题12．设D 为ABC △所在平面内一点，1433AD AB AC =-+.若BC DC λ= ()λ∈R ，则λ=__________.12．答案：-3解析：因为()BC DC λλ=∈R ，所以(0)AC AB AC AD λλλ-=-≠，即11AD AB AC λλλ-=+ ，又1433AD AB AC =-+ ，所以113λ=-，解得3λ=-.13．已知平面向量(2,)m =a ，(1,=b ，且|2||2|-=+a b a b ，则||+=a b _________.13．答案：3解析：因为|2||2|-=+a b a b ，所以22|2||2|-=+a b a b ，所以0⋅=a b .又(2,)m =a ，(1,=b ，所以20=，解得m =，所以(3,0)+=a b ，所以||3+==a b .14．[2023春·高一·山西阳泉·期中校考]如图，在矩形ABCD 中，AB =，2BC =，E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB AF ⋅= AE BF ⋅的值是__________.解析：以A 为坐标原点，直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示.则B ，(0,2)D ，2)C ，E .设(,2)F x .因为(,2)AB AF x ⋅=⋅==，所以1x =，所以(12)AE BF ⋅=⋅=四、解答题15．给定三个向量(3,2)=a ，(1,2)=-b ，(4,1)=c .（1）若λμ=+a b c ，求λμ+的值；（2）若向量k +a b 与向量2-b c 共线，求实数k 的值.15．答案：（1）139λμ+=（2）73k =-解析：（1）由题知(,2)λλλ=-b ，(4,)μμμ=c ，所以(4,2)λμλμλμ+=-++b c ，又因为λμ=+a b c ，所以43,22,λμλμ-+=⎧⎨+=⎩解得5,98,9λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以139λμ+=.（2）由题知(3,22)k k k +=-+a b ，2(6,3)-=-b c ，又因为k +a b 与2-b c 共线，所以3(3)6(22)k k -=-+，解得73k =-.16．[2024春·高一·青海西宁·月考校考]如图，AB 为半圆O 的直径，||2AB =，C为AB 上一点（不含端点）.（1）用向量的方法证明AC BC ⊥；（2）若C 是 AB 上更靠近点B 的三等分点，Q 为 AC 上的任意一点（不含端点），求QA CB ⋅的最大值.16．答案：（1）证明见解析（2）12解析：（1）证明：建立平面直角坐标系如图所示.由题意可知||1OB =，(1,0)A -，(1,0)B ，设(,)C a b，则||||1OB OC ===，得221a b +=.由于(1,)AC a b =+ ，(1,)BC a b =-，所以221110AC BC a b ⋅=-+=-=，故AC BC ⊥，即AC BC ⊥.（2）由题意知3COB π∠=，则13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，连接OQ ，设QOB θ∠=，则,3θπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，(cos ,sin )Q θθ.因为(1cos ,sin )QA θθ=--- ，13,22CB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以1131cos sin sin 22262QA CB θθθπ⎛⎫⋅=--+=-- ⎪⎝⎭ ，又,3θπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以5,666θπππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故当62θππ-=，即23θπ=时，QA CB ⋅ 取得最大值12.17．[2024春·高一·福建宁德·月考校考]如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P.（1）若8AP AC ⋅=，求AP 的长；（2）设||6AB = ，||8AC = ，π3BAC ∠=，AP x AB y AC =+，求y x -的值.17．答案：（1）2（2）27解析：（1） 在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，()22208AP AC AP AO AP AP PO AP AP ∴⋅=⋅=⋅+=⋅+=，()224APAP ∴== ，解得2AP =，故AP 长为2.（2）2AP x AB y AC x AB y AO =+=+，且B ，P ，O 三点共线，21x y ∴+=①，又6AB = ，8AC = ，π3BAC ∠=，则1cos 122AB AO AB AC BAC ⋅=⋅∠=，由AP BD ⊥可知()()20AP BO xAB y AO AO AB ⋅=+⋅-=，展开()22220y AO xAB x y AB AO -+-⋅=，化简得到3y x =②，联立①②解得17x =，37y =，故27y x -=.18．已知四边形ABCD 的顶点坐标为(4,1)A -，(3,4)B ，(1,2)D -，且(0)AB DC λλ=>.（1）若点C 在第一象限，求实数λ的取值范围；（2）若点M 为直线AC 外一点，且2355MP MA MC =+，问实数λ为何值时，点P 恰为四边形ABCD 对角线的交点.18．答案：（1）51,2⎛⎫⎪⎝⎭（2）32λ=解析：（1）因为(4,1)A -，(3,4)B ，所以(1,5)AB =- .设点C 的坐标为(,)x y ，0x >，0y >，则(1,2)DC x y =-+ .由(0)AB DC λλ=> ，得(1)1,(2)5,x y λλ-=-⎧⎨+=⎩解得11,5 2.x y λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为点C 在第一象限，所以0x >，0y >，解得512λ<<.故实数λ的取值范围是51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）由2355MP MA MC =+ 得2()3()MP MA MC MP -=- ，即23AP PC = ，所以32AP PC =.因为(0)AB DC λλ=> ，所以//AB DC ，又点P 恰为四边形ABCD 对角线的交点，所以APB CPD ∽△△，则32AB AP CD CP ==，又AB DC λ= ，所以32λ=.19．[2023春·高一·江苏常州·月考校考]如图，在直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，22CB CA ==，D ，E 分别是线段AB ，BC 上的点，满足AD AB λ= ，BE BC λ= ，(0,1)λ∈.（1）求AE BC ⋅ 的取值范围；（2）是否存在实数λ，使得AE CD ⊥ ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.19．答案：（1）(3,1)AE BC ⋅∈- （2）存在实数23λ=，使得AE CD ⊥ 解析：（1） 在直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，22CB CA ==，30B ∴∠=︒，BA =，2cos303BA BC ∴⋅=⨯︒=，()()AE BC AB BE BC AB BC BC λ∴⋅=+⋅=+⋅ 2234AB BC BC BA BC BC λλλ=⋅+=-⋅+=-+ ，(0,1)λ∈ ，(3,1)AE BC ∴⋅∈- .（2）存在.()()AE CD AB BE AD AC ⋅=+⋅- ()()AB BC AB AC λλ=+⋅- 22AB AB AC BC AB BC ACλλλ=-⋅+⋅-⋅ 2302cos15021cos 60λλλ=-+⨯⨯︒-⨯⨯⨯︒223λλ=-，令2230λλ-=，得23λ=或0λ=（舍去）.∴存在实数23λ=，使得AE CD ⊥ .。

平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π62．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |=A B ．2C ．D ．503．【2018年高考全国I 卷文数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +4．【2018年高考全国II 卷文数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．05．【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A 1 BC ．2D ．26．【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．07．【2017年高考全国II 卷文数】设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥b B ．=a b C ．a ∥bD ．>a b8．【2017年高考北京卷文数】设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．10．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.11．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．12．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.13．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.14．【2018年高考全国III 卷文数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________． 15．【2018年高考北京卷文数】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 16．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________．17．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________． 18．【2017年高考全国III 卷文数】已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________． 19．【2017年高考全国I 卷文数】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n +=___________．21．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．22．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC λ=- ()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为________．23．【2017年高考山东卷文数】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ=________．平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |=A B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b ， 故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．3．【2018年高考全国I 卷文数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 4．【2018年高考全国II 卷文数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.5．【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A 1B C．2 D ．2【答案】A【解析】设 ，则由 得，由b 2−4e ·b +3=0得 因此|a −b |的最小值为圆心 到直线的距离21，为 选A. 【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.6．【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN ，由 可知点 分别为线段 上靠近点 的三等分点，则， 由题意可知：， ， 结合数量积的运算法则可得： . 本题选择C 选项.【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 7．【2017年高考全国II 卷文数】设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．>a b【答案】A【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量a ，b 的模长为边长的平行四边形是矩形，从而可得a ⊥b .故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的数量积与向量的垂直.8．【2017年高考北京卷文数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算，及充分必要条件的判断，属于容易题.9．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．【答案】8【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.10．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.【答案】10-【解析】2826cos ,||||10⨯-+⨯⋅===-⋅a b a b a b ．【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．11．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则B，5()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE，其方程为y x =-， 直线AE的斜率为y x =.由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以35(,)(3,1)12BD AE =-=-.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.12．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-， ()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-, 令(123456y AB BC CD DA AC BD λλλλλλλ=+++++=0.又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =. 因为()135λλλ-+和()245λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-， 所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值，所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值max y ===故答案为0；【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.14．【2018年高考全国III 卷文数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12. 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.15．【2018年高考北京卷文数】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________.【答案】【解析】 ， ，由 得： ， ，即 .【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0．16．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-，；∴2AE BF ab ⋅=-+；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-； ∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．17．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________．【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫ ⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a = 【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.18．【2017年高考全国III 卷文数】已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________．【答案】2【解析】由题意可得02330,m ⋅=⇒-⨯+=a b 解得2m =.【名师点睛】（1）向量平行：1221∥x y x y ⇒=a b ，,,∥≠⇒∃∈=λλ0R a b b a b ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++. （2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .（3）向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b .19．【2017年高考全国I 卷文数】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b ，因为()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =．【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0．20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，OA 与OC 的夹角为α，且t a n α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若O C m O A n O B =+(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100210n m n m +=⎪-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==， 所以3m n +=． 【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．21．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b则++-=a b a b令y =[]21016,20y =+， 据此可得：()()max min 4++-==++-==a b a b a b a b ， 即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得++-=a b a b能力有一定的要求．22．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2B D D C =，AE AC λ=- ()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为________． 【答案】311【解析】由题可得1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+，则12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=． 【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC 已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．23．【2017年高考山东卷文数】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ=________．【答案】3-【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则∥a b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．（2）利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．（3）三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →共线.。

高考专项-----平面向量(一)、向量的有关概念1、向量的模计算公式：(1)向量法：|a | =2a a a =⋅; (2)坐标法：设a =（x ，y ），则|a | =22y x +2、平行向量：规定：零向量与任一向量平行。

设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），λ为实数向量法：a ∥b （b ≠0）<=> a =λb坐标法：a ∥b （b ≠0）<=> x 1 y 2 – x 2 y 1 = 0 <=>2211y x y x =（y 1 ≠0 ，y 2 ≠0） 3、垂直向量：规定：零向量与任一向量垂直。

设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）向量法：a ⊥b <=> a ²b = 0 坐标法：a ⊥b <=> x 1 x 2 + y 1 y 2 = 04.平面两点间的距离公式 ,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).(二)、向量的加法（1）向量法：三角形法则（首尾相接首尾连），平行四边形法则（起点相同连对角） （2）坐标法：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a +b =（x 1+ x 2 ，y 1+ y 2）(三)、向量的减法（1）向量法：三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量） （2）坐标法：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a -b =（x 1 - x 2 ，y 1- y 2） （3）、重要结论：| |a | - |b | | ≤ |a ±b | ≤ |a | + |b |(四)、两个向量的夹角计算公式： （1）向量法：cos θ =||||b a b a ⋅（2）坐标法：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则cos θ =222221212121yx yx y y x x +++(五)、平面向量的数量积计算公式： （1）向量法：a ²b = |a | |b | cos θ（2）坐标法：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ²b = x 1 x 2 + y 1 y 2（3） a ²b 的几何意义：数量积a ²b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．（六）.1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么1. 结合律:λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律:(λ+μ)a =λa +μa;(3)第二分配律:λ(a +b )=λa +λb .2.向量的数量积的运算律：(1) a ²b= b ²a （交换律）;(2)（λa ）²b= λ（a ²b ）=λa ²b = a ²（λb ）;(3)（a +b ）²c= a ²c +b ²c.3.平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（七）.三角形的重心坐标公式 :△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++平面向量一、选择题1.已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = （ ） 2.已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么 ( )A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向3.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A.0PA PB +=B.0PC PA +=C.0PB PC +=D.0PA PB PC ++=4.已知向量a = (2,1)， a ²b = 10，︱a + b ︱= 52，则︱b ︱= A.5 B.10 C.5 D.255.设a 、b 、c 是单位向量，且a ²b ＝0，则()()a c b c -∙-的最小值为 ( )A.2-B.22-C.1-D.12-6.平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=( )A.3B.23C. 4D.27.已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ∙=∙=∙，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心8.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,( )A ．150° B.120°C.60° D.309.在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学2PA PM = ,则科网()PA PB PC ⋅+等于( )A.49 B.43 C.43- D. 49- 10.已知1,6,()2==-= a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π11.函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于 ( ).(,2)6A π-- .(,2)6B π-.(,2)6C π- .(,2)6D π12. 已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =，(sin ,sin )n B A = ，(2,2)p b a =--.若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； （2）若m ⊥p ，边长c = 2，角C = 3π，求ΔABC 的面积 .。

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）专题09平面向量1．【2022年全国乙卷理科03】已知向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=1,|b ⃑⃑|=√3,|a ⃑−2b ⃑⃑|=3，则a ⃑⋅b⃑⃑=（ ） A ．−2B ．−1C ．1D ．22．【2022年新高考1卷03】在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=m ⃑⃑ ，CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=n ⃑ ，则CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（ ） A ．3m ⃑⃑ −2n ⃑B ．−2m ⃑⃑ +3n ⃑C ．3m ⃑⃑ +2n ⃑D ．2m ⃑⃑ +3n ⃑3．【2022年新高考2卷04】已知向量a ⃑=(3,4),b ⃑⃑=(1,0),c ⃑=a ⃑+tb ⃑⃑，若<a ⃑,c ⃑>=<b ⃑⃑,c ⃑>，则t =（ ） A ．−6B ．−5C ．5D ．64．【2020年全国3卷理科06】已知向量a ，b 满足|a|=5，|b|=6，a ⋅b =−6，则cos ⟨a,a +b ⟩=（ ） A ．−3135 B ．−1935 C ．1735D ．19355．【2020年山东卷07】已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范用是（ ） A ．(−2,6) B ．(−6,2) C ．(−2,4)D ．(−4,6)6．【2020年海南卷07】已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范用是（ ） A ．(−2,6) B ．(−6,2) C ．(−2,4)D ．(−4,6)7．【2019年全国新课标2理科03】已知AB →=（2，3），AC →=（3，t ），|BC →|＝1，则AB →•BC →=（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2D ．38．【2019年新课标1理科07】已知非零向量a →，b →满足|a →|＝2|b →|，且（a →−b →）⊥b →，则a →与b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．【2018年新课标1理科06】在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=（ ）真题汇总A ．34AB →−14AC →B ．14AB →−34AC →C ．34AB →+14AC →D ．14AB →+34AC →10．【2018年新课标2理科04】已知向量a →，b →满足|a →|＝1，a →⋅b →=−1，则a →•（2a →−b →）＝（ ） A ．4B ．3C ．2D ．011．【2017年新课标2理科12】已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →•（PB →+PC →）的最小值是（ ） A ．﹣2 B ．−32 C ．−43D ．﹣112．【2017年新课标3理科12】在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →=λAB →+μAD →，则λ+μ的最大值为（ ） A ．3B ．2√2C ．√5D ．213．【2016年新课标2理科03】已知向量a →=（1，m ），b →=（3，﹣2），且（a →+b →）⊥b →，则m ＝（ ）A ．﹣8B ．﹣6C ．6D ．814．【2016年新课标3理科03】已知向量BA →=（12，√32），BC →=（√32，12），则∠ABC ＝（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°15．【2015年新课标1理科07】设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →=3CD →，则（ ）A ．AD →=−13AB →+43AC →B ．AD →=13AB →−43AC →C ．AD →=43AB →+13AC →D ．AD →=43AB →−13AC →16．【2014年新课标2理科03】设向量a →，b →满足|a →+b →|=√10，|a →−b →|=√6，则a →•b →=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．517．【2021年新高考1卷10】已知O 为坐标原点，点P 1(cosα,sinα)，P 2(cosβ,−sinβ)，P 3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，则（ ） A ．|OP 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|OP 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ | B ．|AP 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AP 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ | C ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OP ⃑⃑⃑⃑⃑ 3=OP 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OP 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OP 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =OP 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OP 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑18．【2022年全国甲卷理科13】设向量a ⃑，b ⃑⃑的夹角的余弦值为13，且|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=3，则(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅b ⃑⃑=_________．19．【2021年全国甲卷理科14】已知向量a =(3,1),b ⃑ =(1,0),c =a +kb ⃑ ．若a ⊥c ，则k =________． 20．【2021年全国乙卷理科14】已知向量a =(1,3),b ⃑ =(3,4)，若(a −λb ⃑ )⊥b ⃑ ，则λ=__________． 21．【2021年新高考2卷15】已知向量a +b ⃑ +c =0⃑ ，|a |=1，|b ⃑ |=|c |=2，a ⋅b ⃑ +b ⃑ ⋅c +c ⋅a =_______．22．【2020年全国1卷理科14】设a,b 为单位向量，且|a +b|=1，则|a −b|=______________. 23．【2020年全国2卷理科13】已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________. 24．【2019年新课标3理科13】已知a →，b →为单位向量，且a →•b →=0，若c →=2a →−√5b →，则cos ＜a →，c →＞= ．25．【2018年新课标3理科13】已知向量a →=（1，2），b →=（2，﹣2），c →=（1，λ）．若c →∥（2a →+b →），则λ＝ ．26．【2017年新课标1理科13】已知向量a →，b →的夹角为60°，|a →|＝2，|b →|＝1，则|a →+2b →|＝ ． 27．【2016年新课标1理科13】设向量a →=（m ，1），b →=（1，2），且|a →+b →|2＝|a →|2+|b →|2，则m ＝ ﹣2 ． 28．【2015年新课标2理科13】设向量a →，b →不平行，向量λa →+b →与a →+2b →平行，则实数λ＝ ． 29．【2014年新课标1理科15】已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →=12（AB →+AC →），则AB →与AC →的夹角为 ．30．【2013年新课标1理科13】已知两个单位向量a →，b →的夹角为60°，c →=t a →+（1﹣t ）b →．若b →•c →=0，则t ＝ ．31．【2013年新课标2理科13】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →•BD →= ．1．已知向量a ⃑,b ⃑⃑满足|b ⃑⃑|=2，a ⃑与b ⃑⃑的夹角为60∘，则当实数λ变化时，|b ⃑⃑−λa ⃑|的最小值为（ ） A ．√3B ．2C ．√10D ．2√32．已知△ABC 为等边三角形，AB =2，设点P 、Q 满足AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(1−λ)AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，λ∈R ，若BQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅CP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−32，则λ=（ ） A ．18B ．14C ．12D ．343．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，则向量OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑在向量CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑上的投影向量为模拟好题（ ）A ．12CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ B ．√32OC⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．−12CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ D ．−√32OC⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 4．已知P 是等边三角形ABC 所在平面内一点，且AB =2√3，BP =1，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅CP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最小值是（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．25．已知单位向量a ⃑与向量b ⃑⃑=(0,2)垂直，若向量c ⃑满足|a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑|=1，则|c ⃑|的取值范围为（ ） A ．[1,√5−1]B ．[√3−12,√3+12]C ．[√5−1,√5+1]D ．[√3+12,3]6．已知向量a ⃑，b ⃑⃑ 满足a ⃑=(√3,1)，a ⃑·b ⃑⃑＝4，则|b ⃑⃑|的最小值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．27．在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是BC,CD 的中点，DE 交AF 于点G ，则AG⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（ ）A ．25AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−45BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ B ．25AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+45BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．−25AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+45BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ D ．−25AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑−BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 8．已知点O 为△ABC 所在平面内的一点，且OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑= OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−2，则△ABC 的面积为（ ） A ．√3B ．2√3C ．3√3D ．5√349．在△ABC 中，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=9，sin (A +C )=cosAsinC ，S △ABC =6，P 为线段AB 上的动点，且CP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=x ⋅CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑|CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+y ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，则2x +1y 的最小值为（ ） A ．116+√63B ．116C ．1112+√63D ．111210．△ABC 中，AC =√2，AB =2，A =45°，P 是△ABC 外接圆上一点，AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则λ+μ的最大值是（ ） A ．√2+12B ．√2−12C ．√3−√22D ．√3+√2211．已知复数z 1对应的向量为OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，复数z 2对应的向量为OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则（ ） A ．若|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⊥OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ B ．若(OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⊥(OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑)，则|z 1|=|z 2|C ．若z 1与z 2在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 1z 2=|z 1z 2|D ．若|z 1|=|z 2|，则z 12=z 22 12．已知△ABC 是半径为2的圆O 的内接三角形，则下列说法正确的是（ ） A ．若角C =π3，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12 B ．若2OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑ ，则|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=4 C ．若|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的夹角为π3 D ．若(BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2，则AB 为圆O 的一条直径 13．中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当AB =2时，BD =√5−1，则下列结论正确的为（ ）A ．|DE⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|DH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑| B ．AF⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BJ ⃑⃑⃑⃑⃑=0 C ．AH⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=√5+12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ D ．CB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=JC ⃑⃑⃑⃑⃑−JH ⃑⃑⃑⃑⃑ 14．已知△ABC 中，AB =3,AC =5,BC =7,O 为△ABC 外接圆的圆心，I 为△ABC 内切圆的圆心，则下列叙述正确的是（ ） A ．△ABC 外接圆半径为14√33B ．△ABC 内切圆半径为√32C ．AO ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =8D ．AI⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =1 15．定义平面向量的一种运算“Θ”如下：对任意的两个向量a ⃑=(x 1,y 1)，b ⃑⃑=(x 2,y 2)，令a ⃑Θb ⃑⃑=(x 1y 2−x 2y 1,x 1x 2+y 1y 2)，下面说法一定正确的是（ ） A ．对任意的λ∈R ，有(λa ⃑)Θb ⃑⃑=λ(a ⃑Θb⃑⃑) B ．存在唯一确定的向量e ⃑使得对于任意向量a ⃑，都有a ⃑Θe ⃑=e ⃑Θa ⃑=a ⃑成立 C ．若a ⃑与b ⃑⃑垂直，则(a ⃑Θb ⃑⃑)Θc ⃑与a ⃑Θ(b ⃑⃑Θc ⃑)共线 D ．若a ⃑与b ⃑⃑共线，则(a ⃑Θb ⃑⃑)Θc ⃑与a ⃑Θ(b ⃑⃑Θc ⃑)的模相等16．在平面直角坐标系xOy 中，r >0，⊙M ：(x −r )2+y 2=3r 24与抛物线C ：y 2=4x 有且仅有两个公共点，直线l 过圆心M 且交抛物线C 于A ，B 两点，则OA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=______．17．已知△ABC 是等边三角形，E ，F 分别是AB 和AC 的中点，P 是△ABC 边上一动点，则满足PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BE⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅CF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的点P 的个数为______． 18．已知平面向量e 1⃑⃑⃑⃑,e 2⃑⃑⃑⃑满足|2e 2⃑⃑⃑⃑−e 1⃑⃑⃑⃑|=2，设a =e 1⃑⃑⃑⃑+4e 2⃑⃑⃑⃑,b ⃑ =e 1⃑⃑⃑⃑+e 2⃑⃑⃑⃑，若1≤a ⋅b ⃑ ≤2，则|a |的取值范围为________．19．已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，A =π3，c =3，asinB =√3,D,E 分别为线段AB,AC 上的动点，ADAB =CECA ，则DE 的最小值为__________.20．在平行四边形ABCD 中，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=3,|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=1，则AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=___________. 21．已知非零向量a ⃑,b⃑⃑ 满足|a ⃑|=|b ⃑⃑| ，且(a ⃑+b ⃑⃑)⊥b ⃑⃑，则a ⃑ 与b ⃑⃑的夹角为_______． 22．已知半径为1的圆O 上有三个动点A ，B ，C ，且|AB |=√2，则AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最小值为______． 23．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λBC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，DF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=μDC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑．若λ+μ=23，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最小值为___________． 24．设a ⃑,b ⃑⃑为不共线的向量，满足c ⃑=λa ⃑+μb ⃑⃑,3λ+4μ=2(λ,μ∈R )，且|c ⃑|=|a ⃑−c ⃑|=|b ⃑⃑−c ⃑|，若|a ⃑−b ⃑⃑|=3，则(|a ⃑|⋅|b ⃑⃑|)2−(a ⃑⋅b⃑⃑)2的最大值为________． 25．已知平面向量a ,b ⃑ ,c 满足|a |=1,|b ⃑ |=|c |=2√2，且(a −b ⃑ )⋅(a −c )=0，θ=⟨a,b ⃑ ⟩(0≤θ≤π4)，则b ⃑ ⋅(a ⃑ −c )|a⃑ −c |的取值范围是_____________．。