相似三角形基本类型证明题

相似三角形证明题1.如图，在ABC ∆中，C ABC ∠=∠2，BD 平分ABC ∠，试说明：AB·B C = AC·CD2.已知：ΔACB 为等腰直角三角形，∠ACB=900延长BA 至E ，延长AB 至F ，∠ECF=135求证：ΔEAC ∽ΔCBF3.如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形. (1)当AC ，CD ，DB 满足怎样的关系时，ΔACP ∽ΔPDB ； (2)当ΔPDB ∽ΔACP 时，试求∠APB 的度数.4.如图，4531===∠=∠∠=∠BC DE AB D B ，，， （1）ABC ∆∽ADE ∆吗？说明理由。

（2）求AD 的长。

5.已知:如图,CE 是Rt ΔABC 的斜边AB 上的高,BG ⊥AP. 求证:CE 2=ED ·EP.6.如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F. (1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？说明理由. (2)ΔAEF 与ΔABC 相似吗？说说你的理由.7.如图，D 为ΔABC 内一点，E 为ΔABC 外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4. (1)ΔABD 与ΔCBE 相似吗？请说明理由. (2)ΔABC 与ΔDBE 相似吗？请说明理由.8.如图：⊿ABC 中，D 是AB 上一点，AD = AC ，BC 边上的中线AE 交CD 于F ，求证： DF CF AC AB ::AB C EDF9.四边形ABCD 中，AC 为AB 、AD 的比例中项，且AC 平分∠DAB ，求证：22CD BC DE BE =10.矩形ABCD 中，a AB =，b BC =，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 是垂足， 求证：2242ba ab DE +=11.如图，过平行四边形ABCD 的顶点A 的直线交BD 于P ，交CD 于Q ，并交BC 的延长线于R ，求证：22PBPD PR PQ =A BCR12.如图所示，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C(1)求证：△ABF ∽△EAD ;(2)若AB ＝4，∠BAE ＝30°， 求AE 的长；(3)在(1)(2)的条件下，若AD ＝3，求BF 长.(计算结果含根号).13.如图，P 在线段MN 上，如果PM 2= MN ·PN ，，那么，P 是线段MN 的一个黄金分割点。

三角形相似证明训练题姓名_______ 学号_______ 总分_______1、如图,P 为△ABC 边AB 上的一点,要使△ACP ∽△ABC,只要添加条件_____________;并说明理由；若△ACP ∽△ABC,你可以得到哪些结论?2、如图，AD ∥BC,AB 、CD 相交于点E ，过点E 作EF ∥AD 交AC 于点F 。

找出一对相似三角形，并说明理由。

FEDCBA3、如图，已知D 是△ABC 的边AB 上任一点，DF ∥AC 交BC 于E ．AF 交BC 于M ，且∠B=∠F ，那么△AMC ∽△BDE 吗？请说明理由.4、如图，∠1＝∠2，AE ＝12，AD ＝15，AC ＝20，AB ＝25， 证明：△ADE ∽△ABC 。

5、如图，在梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，∠BAD=90°，对角线BD ⊥DC 。

（1）△ABD 与△DCB 相似吗？请说明理由。

（2）如果AD=4，BC=9，求BD 的长。

6、如图，正方形ABCD 中，P 是BC 上一点,且BP=3PC ，Q 是CD 的中点.求证: △ADQ ∽△QCP.A BCP CD BP A Q7、已知:如图,ΔABC 中,∠ABC=2∠C,BD 平分∠ABC.求证:△ABDC ∽△ACB8、矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 是垂足． ①△ABM ∽△AED ； ②求DE的长9、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥AB ，AD 交BC 于点E ，DC ⊥BC ，与AD 交于点D ．求证：AC 2＝AE ·AD ．10、已知：ΔACB 为等腰直角三角形，∠ACB=900延长BA 至E ，延长AB 至F ，∠ECF=1350求证：ΔEAC ∽ΔCBF11、如图，AE 2＝AD ·AB ，且∠1＝∠2，试说明△BCE ∽△EBD 。

12、如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A ，再在河的这一边选定点B 和点C ，使得AB ⊥BC ，然后选定点E ，使EC ⊥BC ，确定BC 与AE 的交点D ，若测得BD =120米，DC =60米，EC =40米，你能知道小河的宽是多少吗？ABD CE12BC DAE。

相似三角形的判定1 •如图，锐角A4BC的髙CD和BE相交于点0,图中与△OD3相似的三角形有(A4个 B3个 C2个 D1个3•已知：AACB为等腰直角三角形，ZACB=90°延长BA至E,延长AB至F, ZECF二135°求证:CBF5・、如图，点C、D在线段AB上，且APCD是等边三角形.(1)当AC, CD, DB满足怎样的关系时，AACP S APDB：⑵当A PDBs A ACP时，试求ZAPB的度数.6•如图，Z1 = Z3, ZB = Z£>, AB = DE = 5, EC = 4(1)AABC- AADE吗？说明理由。

(2)求AD的长。

7.已知：如图,CE是RtAABC的斜边AB上的髙,BG丄AP・求证:CE:=ED €P.9 •如图，D为A ABC内一点，E为AABC外一点，且Z1=Z2, Z3：⑴AABD与4CBE相似吗？请说明理由.(2) A ABC与ADBE相似吗?请说明理由.AA EACs AB C判断题:⑴两个顶角相等的等浸三角形是相似的三角形。

((2)两个等腰直角三角形是相似三角形。

((3)底角相等的两个等艮三角形是相似三角形，((4)两个直角三角形一定是相似三角形。

((5)—个钝角三角形和一个锐角三角形有可能相似n ((6)有一个角相等的两个宜角三角形是相似三角形n ((7)有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形。

( (3)三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相似.((9)所有的正三角形都相似n ( )(10)两个等艮三角形只要有一个角对应相等就相似. ( ) 2・如圍,AD/J BC, AE平分ZDAB, BE平分ZABC・ EF丄AB•证明：AAEF^AABE.3 •如尿，AABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD^CE, AD与BE相交于点F・<1)试说明△ ABD坐ZkBCEj<2)AEAF与相似吗？说说你的理也.4.如釦在AABC中’ ZBAC=90\ D为BC的中点，AE丄AD, AE交CB的延长纟壬于点E・(1)求证：AEAB^AECA.:(2)4ABE和AADC是否一定相似？妇果相似，加以说明5如杲不相似，那么增加一个怎徉的条件，A.4BE和4ADC-定相似.5・如囲在AABC中,ZC=905, D. E衽BC上,BD=DE=EC=AC,指出團中哪两个三角形棉似,并证明你的结论.A6・如團，ZkABC 申，ZBAC=90% AB=AC, D 在BC 匕 E 在AC 匕 且上ADETS 廈 (1) 求证：△ABD S /XDCE ・ (2) 台D 莊什么位贵时，AABD^ADCE ・7. 如图，在AABC 中，AB ・8cm, BC-16c 叫 点P 从点A 开始沿AB 向B 以2cE 啲速度移动‘点 Q 从点B 幵弟沿BC 向C 点^4cm,s 的速虔移动.加果P, Q 分别从、B 同时出拓 经过几秒绅ZkPB Q与△ ABC 相似？8. 如囹，已知AABC 中CE 丄AB 干E, BF 丄AC 于F,求证；△AEF S ^ACB.9 •如图、UAABC 中，ZACB=PO% AC=4, BO3,点P 在线段AB 上臥每秽1个单位的速度从点B 问点A 运动，同时点Q 曲圭段A C 上以同样的速虎从点A 向点C 运动，运动的时间用1 (单位：秒)表示.(1)求线股AB 的长；<2)求当t 为何值时，AAPQ 与AABC 相似？10・如虱在MBCD 中’ E 豹BC 边上一点'连接AE 、DE, F 为线段DE 上一点，且ZAFE=ZB .试 说明△ADF S ADEC ・11 ・如釦 已知MBC 中’ AB=2& AC=4js, BC=6? AMN 与AABC 相似，求MN 的长.3A312・如團，点E 是匹边形ABCD 的对角线BD 上一点，SZBAC-Z3DC-ZDAE ・求证：AABE^AAC D.14.已知，如團：在AABC 中，AD=CD, /ADE=ZDCB, 求还；△ABCsACDE.16・已知：D 、ElAABC^j±AB^ AC±^].^, AB=9, AD=4, AC=7.2, AE=5,求证：AABCooAAE D ・18 ・已知：如园.在△ ABC 和△ ADE 中,ZBAC=ZDAE, ZABC=ZADE. 求证：AABIX^AACE・D17 ・ 4±AABC 中，ZBAC=90c , E,求证：AABIX O ADCE ・19・如园.在正万形网格上有6个斜三角形：①②△CDB,③ADEB, @AFBG, ©AHGF,⑥△ERF 请在三角形②〜⑥中，找出与①相佩的三鱼形的序号是_〈把 前序号埴上〉并证明你的结论.20.如冒所示，在A ABC 中，AB=8cm ? BC=16cm ?点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以lens 的速庶移 动，点Q 从点B 幵始沿边BC 向点C 以2cm/啲速庚移动，如果点.P 、Q 同时出紀 经过多长时间后，厶PB ABC 相似?试说明理由■21・将两个全等的等腰宜角三角形摆成如團所示的祥子（團中所有的点、线都在同一平面内〉・ CD 请在图中找出两対相似而不全手的三角形〉话从其中一对说明埋宙.C2）你还能再找一对相似而不全等的三角形吗？请说明遅由.22・如园：己知△ABgZkADE 的边BC 、AD 相交于点0,旦Z1=Z2-Z3.求证：AABCsAADE.23.如园，APQR 罡尊边三角形，ZAPBJ20J I 乩每两个三角形沏一组写出园中所有的相 似三角形，并迭择耳中的一爼加以证明.2S.如图’已知:厶ABC 中〉ZABC-90% AB-BC,延长BC 到E,使得CE-2BC,馭CE 的中点D,连接AE 、 AD ・求iib AACD<7>AECA ・26.如阂.D 是Z\ABC 的边BC 上的一点,AB=2, BD=1, DC=3,求证：AABD^ACBA.5 I D327・已知：AABC为手瑕直角三角形，ZACB=90%延长BA至E,延长AB至F, ZECF=135S求证：AEAC^ACBF.28・如因所示'R仏ABC中’已^DZBAC=O0\ AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B, C),过点D作ZADE=45% DE交AC于点E.(1)求证：△AEIX^XDCE;(2)当AADE是等腰三角形时，求AE的长.29・如團已知AB丄BD, CD丄BD・若・4B=9, CD=4, BD-10,话问在BD上是否存在P点，使以P、4、B三点为页点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似・?若存在，求BP的长：若不存在'请说明理由.30・如臥AABCx ADEPf两个全竽的等腰直毎三角形，ZBAC=ZPDE=90\(1)若将ADEP的顶点.P放在BC上(如图1) , PD、PE分别与AC、AB相交于点F. G.求证：△PBGs^FCP;(2)肴使ADEP的顶点P与顶点A重台〔如图2) , PD-. PE与BC相交干点几G・试问APBG与AFCP还相似吗勺为什么？1・如国,在4ABC和ADEF中ZA=ZD=90\ AB=DE=3, AC=2DF=4 ・(1)判断这两个三角形杲否殆似并说明为什么？(2)能否分别过A, D在这两个三角形中各作一条湘助纵使△ ABC分黑成的两个三角形与ADEFB-割成的两个三角形分别对应相似？证明惋的结论.2 •如團，在A ABC中，AB=AC,若4 ABC^ADEF,且点A往DE上，点E在BC上，EF与AC交于点M・求证：AABE^AECM・5.己知：如图'AABC中'AD=DB, Zl=/2.求证：AABCxoAEAD.S・如图'在厶ABC中,AB=AC, ZADB=90°, ZCBE=ZCAD；求证：△BECsAADC ・10・?0g.. ZABC=ZBCD,且BC^=AB・CD・ ^15： AABC^ABCD.O11・已务Ih如图，AD是△ ABC的高,BE丄AB, AE交BC于点、F> AB・AC-AD・AE・求证:ABEFcoAACF ・13.妇團所不‘在铁角AABC中，高CD： BE相交于点、F・ <1)拷出图中所有的相似三角形，并证明一对三角形柜似3 (2)连结DE,试说明：AADEccAACB.4・如凰，集一时別一根2米长的竹竿EF嶷长GE为I球'此时，小红测得一棵被凤吹斜的杨树与地面成30。

1、如图，△ABC中，三条内角平分线交于D，过D作AD垂线，分别交AB、AC于M、N，请写出图中相似的三角形，并说明其中两对相似的正确性。

2、如图，AD为△ABC的高，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，试判断∠ADF与∠AEF的大小，并说明明理由，…3、如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AB上，且∠CAD=∠ADE=∠B，AC：BC=1：2，设△EBD、△ADC、△ABC的周长分别为m1 、m2、m3，求的值，*4、如图，已知△ABC中，D为BC中点，AD=AC，DE⊥BC，DE与AB交于E，EC与AD相交于点F，（1）△ABC与△FCD相似吗请说明理由；（2）若S =5，BD=10，求DE的长。

：5、AD是△ABC的高，E是BC的中点，EF⊥BC交AC于F，若BD＝15，DC=27，AC=45.求AF的长。

\6、已知:如图，在△PAB中,∠APB=120O,M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形。

求证: BM·PA=PN·BP7、已知：如图，D是△ABC的边AC上一点，且CD=2AD，AE⊥BC于E, 若BC=13, △BDC的面积是39, 求AE的长。

?????*8、已知：如图，在△ABC中，AB=15，AC=12，AD是∠BAC的外角平分线且AD交BC的延长线于点D，DE ∥AB交AC的延长线于点E。

《9、已知: 如图，四边形ABCD中，CB⊥BA于B，DA⊥BA于A，BC=2AD，DE⊥CD交AB于E，连结CE，求证：DE2=AE?CE】10、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F.(1)ΔABE与ΔADF相似吗请说明理由.(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长./11、如图：三角形ABC是一快锐角三角形余料，边BC＝120mm,高AD ＝80mm,要把它加工成正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少ANP12、已知：如图：FGHI 为矩形，AD ⊥BC 于D ，95GH FG ，BC ＝36cm,AD ＝12cm 。

相似三角形证明计算训练题一．解答题（共29小题）1．Rt△ABC中，∠C＝90°，F为AC边上的一点，AD⊥AB交BF的延长线于点D，且AF ＝AD，DE⊥AC．（1）求证：∠CBF＝∠ABF．（2）求证：CF＝AE．（3）如果2CF＝3EF，且BD＝5，求AB的值．2．如图，已知在四边形ABCD中，E、F分别为AD、DC的中点，AD∥BC，AD：DC＝1：，AB＝10、BC＝6、EF＝4．（1）求AD的长；（2）△DEF是什么三角形？请你给出正确的判断，并加以说明；（3）求四边形ABCD的面积．3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．（1）求证：；（2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；（3）当AB＝AC时，△FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由．4．在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．5．如图，已知△ABC的两边AB、AC的中点分别为M、N．求证：MN∥BC，且MN＝BC．6．已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）EG＝EF．7．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点．求证：DE＝BC且DE∥BC．8．如图，已知△ABC中，点F是BC的中点，DE∥BC，则DG和GE有怎样的关系？请你说明理由．9．（1）如图1，在△ABC中，已知OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB．①若∠A＝50°，则∠O＝，∠P＝；②若∠A＝α，则∠O＝，∠P＝．（用含α的式子表示）（2）如图2，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，请探究∠P 与∠A，∠D的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在六边形ABCDEF中，CP，DP分别平分外角∠GCD，∠HDC，请直接写出∠P与∠A，∠B，∠E，∠F的数量关系．10．已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E和点F，AE、AF 分别与BD相交于点M、N．（1）求证：EF∥BD；（2）当MN：EF＝2：3时，求证：△AMN是等边三角形．11．如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE＝CF，求证：AE＝AF．12．点D是等腰Rt△ABC的直角边BC上一点，AD的中垂线EF分别交AC、AD、AB于E、O、F，且BC＝2．①当CD＝时，求AE；②当CD＝2（﹣1）时，试证明四边形AEDF是菱形．13．如图1，矩形铁片ABCD中，AD＝8，AB＝4；为了要让铁片能穿过直径为3.8的圆孔，需对铁片进行处理（规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔）．（1）直接写出矩形铁片ABCD的面积；（2）如图2，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，将矩形铁片的四个角去掉．①证明四边形MNPQ是菱形；②请你通过计算说明四边形铁片MNPQ能穿过圆孔．（3）如图3，过矩形铁片ABCD的中心作一条直线分别交边BC、AD于点E、F（不与端点重合），沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片．当BE＝DF＝1时，判断直角梯形铁片EBAF能否穿过圆孔，并说明理由．14．如图1，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为上的一动点．（1）问添加一个什么条件后，能使得？请说明理由；（2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；（3）如图2，在（1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论．15．在矩形ABCD中，DC＝，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．16．（根据课本习题改编）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，四边形DEFG 为△ABC的内接正方形，若设正方形的边长为x，容易算出x的长为．探究与计算：（1）如图2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为；（2）如图3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为；（3）如图4，若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．17．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6．动点P从点A出发，沿线段AB（不包括端点A，B）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点B运动；动点Q从点B出发，沿线段BC （不包括端点B，C）以每秒1个单位长度的速度，匀速向点C运动．连接DQ并延长交AB的延长线于点E，把DE沿DC翻折交BC延长线于点F，连接EF．点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒．（1）当DP⊥DF时，求t的值；（2）当PQ∥DF时，求t的值；（3）在运动的过程中，△DEF的面积是否变化？如果改变，求出变化的范围；如果不变，求出它的值．18．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，点B（4，3），E，F分别为OA，BC边上的中点，动点P从点E出发以每秒2个单位速度沿EO方向向点O运动，同时，动点Q从点F出发以每秒1个单位速度沿FB方向向点B运动．当一个点到达终点时，另一个点随之停止．连接EF、PQ，且EF与PQ相交于点M，连接AM．（1）求线段AM的长度；（2）连接BM，求∠BMA的正切值．19．如图所示，矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝4，AD＝3．（1）尺规作图：作∠ADB的平分线DM（保留作图痕迹，不写作法）；（2）设DM与AB交于点E，过点E作EF⊥BD于F，求EF的长．20．已知如图，正方形ABCD中，E为DC上一点，连接BE，作CF⊥BE于P交AD于F 点，若恰好使得AP＝AB．求证：E为DC中点．21．如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；（2）若BD＝8cm，求线段BE的长．22．如图已知四边形ABCD、AEFP，均为正方形．（1）如图1若连接BE、DP猜想BE与DP满足怎样的数量关系和位置关系；（2）如图2若四边形AEFP绕点A按逆时针方向旋转，在旋转过程中，（1）中猜想出的结论是否总成立？若成立请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3若四边形AEFP绕点A按逆时针方向继续旋转，在旋转过程中，（1）中猜想出的结论是否总成立？直接写出结论．23．（1）如图1，ABCD是一个正方形花园，要在边AD、DC的E、H处开两个门，且DE ＝CH，要修建两条小路BE、AF．那么这两条小路长度和位置各有什么关系？并证明你的结论；（2）如图2，在（1）的图形中，如果要在正方形四边E、H、F、G处各开一个门，并用小路EF、HG连接起来，如果EF⊥GH，求的值；（3）把（2）中的正方形改为矩形，如图3，AB＝a，AD＝b，其它条件不变，求的值．24．正方形ABCD中，E、F分别在边AD，AB上，且AE＝BF＝AB，EF与AC交于点P．（1）求EF：AE的值；（2）设AB＝x，四边形BCPF的面积为y，求y关于x的函数解析式．25．如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，AB长为半径画弧；②以点C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD、CD；（1）求证：∠BAE＝∠DAE；（2）当AB＝BC时，猜想四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论；（3）当AC＝8cm，BD＝6cm，现将四边形ABCD通过割补，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？26．已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E是DC上一点，连AE并延长交BC的延长线于点F，正方形CGHM的顶点G、H、M分别在△ECF的三边上．（1）当点E为DC中点时，求正方形CGHM的边长a1；（2）当时，求正方形CGHM的边长a2；（3）当、、、…、时，正方形CGHM的边长分别记为a1、a2、a3、…、a n，则a n＝．（直接写出结果）27．小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG＝FH“经过思考，大家给出了以下两个方案：（甲）过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；（乙）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N；小杰和他的同学顺利的解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索．…（1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）；（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB＝2，BC＝3（如图2），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD 的边长为1，FH 的长为（如图3），试求EG的长度．28．如图，已知在正方形ABCD中，P为BC上的一点，E是边BC延长线上一点，连接AP 过点P作PF⊥AP，与∠DCE的平分线CF，相交于点F，连接AF，与边CD相交于点G，连接PG．（1）求证：①∠P AB＝∠FPC；②AP＝FP；（2）试判断PB、DG、PC，这三条线段存在怎样的数量关系，并说明理由．29．如图，在正方形ABCD中，以对角线AC为一边作一等边△ACE，连接ED并延长交AC 于点F．（Ⅰ）求证：EF⊥AC；（Ⅱ）延长AD交CE于点G，试确定线段DG和线段DE的数量关系．第11页（共11页）。

一、选择题 1．如图所示，给出下列条件： ①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC=；④2AC AD AB =． 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C2.如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ）A ．AD BC DF CE =B ．BC DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD AD EF AF=【答案】A3.已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为(A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1【答案】B4. 如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有：A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D5.若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ）A ．1∶4B ．1∶2C ．2∶1D 2【答案】B6.（2009年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】B7.2009年宁波市）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ）A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形【关键词】位似【答案】C8.（2009年江苏省）如图，在55⨯方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）A ．先向下平移3格，再向右平移1格B ．先向下平移2格，再向右平移1格C ．先向下平移2格，再向右平移2格D ．先向下平移3格，再向右平移2格【关键词】平移【答案】D9.(2009年义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。

相似三角形总结一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。

例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD求证：△DBE ∽△ABC例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。

二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF ∙AC=BC ∙FE例6：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。

求证：（1）MA 2=MD ∙ME ；（2）MD MEADAE =22 例7：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。

三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。

例8：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且31==AD AF AB EB 。

求证：∠AEF=∠FBD例9、在平行四边形ABCD 内，AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线， 求证：SQ ∥AB ，RP ∥BC例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD例11、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BFABCDEFGAB CD E M 12A B C DE FG 1234ABC D AB C D E FK A B CD E FABCDS PRQOAB CD EFA BCDEF O 123ABCDFE相似三角形总结（答案）例1分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。

相似三角形性质和判定专项练习30题（有答案）1．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠CDG=∠BAD．（1）求证：=；（2）当GC⊥BC时，求证：∠BAC=90°．2．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足．（1）求证：AC2=AF•AD；（2）联结EF，求证：AE•DB=AD•EF．3．如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC．（1）求证：△APC∽△ACB；（2）若AP=2，PC=6，求AC的长．4．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．5．已知：如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：AB•BC=AC•CD．6．已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S，说明AF•BE=2S的理由．7．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．8．如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：=．9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF．10．如图，△ABC、△DEF都是等边三角形，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2，问E在处时CH的长度最大？11．如图，AB和CD交于点O，当∠A=∠C时，求证：OA•OB=OC•OD．12．如图，已知等边三角形△AEC，以AC为对角线做正形ABCD（点B在△AEC，点D在△AEC外）．连接EB，过E作EF⊥AB，交AB的延长线为F．（1）猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想．（2）证明：△BEF∽△ABC，并求出相似比．13．已知：如图，△ABC中，点D、E是边AB上的点，CD平分∠ECB，且BC2=BD•BA．（1）求证：△CED∽△ACD；（2）求证：．14．如图，△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且∠BAD=∠BGD=∠C，联结AG．（1）求证：BD•BC=BG•BE；（2）求证：∠BGA=∠BAC．15．已知：如图，在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，BE，AD相交于点G，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，DF=6．（1）求AE的长；（2）求的值．16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，M是CD中点，且∠AMD=∠BMD，AP∥CD交BC延长线于P点，延长BM交PA于N点，且PN=AN．（1）求证：MN=MA；（2）求证：∠CDA=2∠ACD．17．已知：如图，在△ABC中，已知点D在BC上，联结AD，使得∠CAD=∠B，DC=3且S△ACD：S△ADB﹦1﹕2．（1）求AC的值；（2）若将△ADC沿着直线AD翻折，使点C落点E处，AE交边BC于点F，且AB∥DE，求的值．18．在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．19．如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE=60°，DE与△ABC的外角平分线CE交于点E．（1）求证：∠BAD=∠FDE；（2）设DE与AC相交于点G，连接AE，若AB=6，AE=5时，求线段AG的长．20．如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？21．已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED 交AC于点F，连接DC、AE．（1）求证：△ADE≌△DFC；（2）过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连接AH．求∠AHE的度数；（3）若BG=，CH=2，求BC的长．22．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，BE∥BC交AC于点E．（1）求证：AE•BC=AC•CE；（2）若S△ADE：S△CDE=4：3.5，BC=15，求CE的长．23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．24．在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．25．如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F．（1）求证：BF=2FP；（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．26．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E、F分别是AC，BC边上一点，且CE=AC，BF=BC，（1）求证：；（2）求∠EDF的度数．27．如图，△ABC是等边三角形，且AB∥CE．（1）求证：△ABD∽△CED；（2）若AB=6，AD=2CD，①求E到BC的距离EH的长．②求BE的长．28．如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．（1）若AC=3，AB=4，求；（2）证明：△ACE∽△FBE；（3）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．29．如图，△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，求证：（1）△ABD∽△ECA；（2）BC2=DB•CE．30．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC=CD=，又E，D为CB的三等分点．（1）证明：△ADE∽△BDA；（2）证明：∠ADC=∠AEC+∠B；（3）若点P为线段AB上一动点，连接PE，则使得线段PE的长度为整数的点P的个数有几个？请说明理由．相似三角形性质和判定专项练习30题参考答案：1．解：（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD，且∠CDG=∠BAD，∴∠ADG=∠B；∵∠BAC=∠DAG，∴△ABC∽△ADG，∴=．（2）∵∠BAC=∠DAG，∴∠BAD=∠CAG；又∵∠CDG=∠BAD，∴∠CDG=∠CAG，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠DAG+∠DCG=°；∵GC⊥BC，∴∠DCG=90°，∴∠DAG=90°，∠BAC=∠DAG=90°．2．解：（1）如图，∵∠ACB=90°，CF⊥AD，∴∠ACD=∠AFC，而∠CAD=∠FAC，∴△ACD∽△AFC，∴，∴AC2=AF•AD．（2）如图，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC=∠AFC=90°，∴A、E、F、C四点共圆，∴∠AFE=∠ACE；而∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B，∴∠ACE=∠B，∠AFE=∠B；∵∠FAE=∠BAD，∴△AEF∽△ADB，∴AE：AD=BD：EF，∴AE•DB=AD•EF．3．解：（1）∵PB=PC，∴∠B=∠PCB；∵PC平分∠ACB，∴∠ACP=∠PCB，∠B=∠ACP，∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB．（2）∵△APC∽△ACB，∴，∵AP=2，PC=6，AB=8，∴AC=4．∵AP+AC=PC=6，这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾，∴该题无解．4．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠C+∠ADE=°，∵∠BFE=∠C，∴∠AFB=∠EDA，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠AED，∴△ABF∽△EAD；（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，∴∠ABE=90°，∵AB=4，∠BAE=30°，∴AE=2BE，由勾股定理可求得AE=5．证明：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠C，∴BD=CD，在△ABD和△ACB中，，∴△ABD∽△ACB，∴=，即AB•BC=AC•BD，∴AB•BC=AC•CD．6．证明：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，∵∠ECF=45°，∴∠ECF=∠B=45°，∴∠ECF+∠1=∠B+∠1，∵∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1；∴∠BCE=∠2，∵∠A=∠B，∴△ACF∽△BEC．∴，∴AC•BC=BE•AF，∴S△ABC=AC•BC=BE•AF，∴AF•BE=2S．7．（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．∴∠APB=°﹣∠APE=120°．②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴，即，所以AP•AF=12（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP 为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，∴∠AOB=120°，又∵AB=6，∴OA=，点P的路径是．②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：．所以，点P经过的路径长为或3．8．证明：∵AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，∴∠D=∠E=90°，∵∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴=．9．证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ABC+∠BDE=°，∠ACB+∠CED=°．∴∠BDE=∠CED，∵∠EDF=∠ABE，∴△DEF∽△BDE；（2）由△DEF∽△BDE，得．∴DE2=DB•EF，由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．∵∠GDE=∠EDF，∴△GDE∽△EDF．∴，∴DE2=DG•DF，∴DG•DF=DB•EF．10．解：设EC=x，CH=y，则BE=2﹣x，∵△ABC、△DEF都是等边三角形，∴∠B=∠DEF=60°，∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠HEC，∴∠BDE=∠HEC，∴△BED∽△CHE，∴，∵AB=BC=2，点D为AB的中点，∴BD=1，∴，即：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1．∴当x=1时，y最大．此时，E在BC中点11．解：∵∠A=∠C，∠AOD=∠BOC，∴△OAD∽△OCB，∴=，∴OA•OB=OC•OD．12．解：（1）猜测BE和直线AC垂直．证明：∵△AEC是等边三角形，∴AE=CE，∵四边形ABCD是正形，∴AB=CB，∵BE=BE，∴△AEB≌△CEB（SSS）．∴∠AEB=∠CEB，∵AE=CE，∴BE⊥AC；（2）∵△AEC是等边三角形，∴∠EAC=∠AEC=60°，∵BE⊥AC，∴∠BEA=∠AEC=30°，∵四边形ABCD是正形，∴∠BAC=45°，∴∠BAE=15°，∴∠EBF=45°，∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠EBF=∠BAC，∠F=∠ABC，∴△BEF∽△ACB，延长EB交AC于G，设AC为2a，则BG=a，EB=a﹣a，∴相似比是：===13．证明：（1）∵BC2=BD•BA，∴BD：BC=BC：BA，∵∠B是公共角，∴△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A，∵CD平分∠ECB，∴∠ECD=∠BCD，∴∠ECD=∠A，∵∠EDC=∠CDA，∴△CED∽△ACD；（2）∵△BCD∽△BAC，△CED∽△ACD，∴=，=，∴．14．证明：（1）∵∠DBG=∠EBC，∠BGD=∠C，∴△BDG∽△BEC，∴=，则BD•BC=BG•BE；（2）∵∠DBA=∠ABC，∠BAD=∠C，∴△DBA∽△ABC，∴=，即AB2=BD•BC，∵BD•BC=BG•BE，∴AB2=BG•BE，即=，∵∠GBA=∠ABE，∴△GBA∽△ABE，∴∠BGA=∠BAC．15．解：（1）∵在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，∴AC=AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∵BF∥AC，∴∠CBF=∠C=60°，∵AD⊥BC，∴∠FDB=90°，∴∠F=30°，∵DF=6，∴BD=2，∵AE=EC=BD=DC，∴AE=2；（2）∵∠BDF=90°，∠F=30°，BD=2，∴BF=2DB=4，∵AC∥BF，∴△AEG∽△FBG，∴=（）2=．16．证明：（1）∵AP∥CD，∴∠AMD=∠MAN，∠BMD=∠MNA，∵∠AMD=∠BMD，∴∠MAN=∠MNA，∴MN=MA．（2）如图，连接NC，∵AP∥CD，且PN=AN．∴==，∴MC=MD，∴CN为直角△ACP斜边AP的中线，∴CN=NA，∠NCA=∠NAC，∵AP∥CD，∴∠NAC=∠ACD，∴∠NCM=2∠ACD，∵∠CMN=∠DMB，∠DMA=∠BMD，∴∠CMD=∠DMA，在△CMN和△DMA中，，∴△CMN≌△DMA（SAS），∠ADM=∠NCM=2∠ACD．即：∠CDA=2∠ACD．17．解：（1）∵S△ACD：S△ADB﹦1：2，∴BD=2CD，∵DC=3，∴BD=2×3=6，∴BC=BD+DC=6+3=9，∵∠CAD=∠B，∠C=∠C，∴△ABC∽△DAC，∴=，即=，解得AC=3；（2）由翻折的性质得，∠E=∠C，DE=CD=3，∵AB∥DE，∴∠B=∠EDF，∵∠CAD=∠B，∴∠EDF=∠CAD，∴△EFD∽△ADC，∴=（）2=（）2=18．（1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；（2）解：过A作AG⊥CD，垂足为G．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BD：BG=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴ED：AG=BD：BG=2：3，∵DE=3，∴AG=，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴=（）2=．∵S△ABC=×BC×AG=×8×=18，∴S△FCD=S△ABC=．19．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，由三角形的外角性质得，∠ADE+∠FDE=∠BAD+∠B，∵∠ADE=60°，∴∠BAD=∠FDE；（2）解：如图，过点D作DH∥AC交AB于H，∵△ABC为等边三角形，∴△BDH是等边三角形，∴∠BHD=60°，BD=BH，∴∠AHD=°﹣60°=120°，∵CE是△ABC的外角平分线，∴∠ACE=（°﹣60°）=60°，∴∠DCE=60°+60°=120°，∴∠AHD=∠DCE=120°，又∵AH=AB﹣BH，CD=BC﹣BD，∴AH=CD，在△AHD和△DCE中，，∴△AHD≌△DCE（ASA），∴AD=DE，∵∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE=∠DEA=60°，AE=AD=5，∵∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=60°﹣∠CAD，∠EAG=∠DAE﹣∠CAD=60°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠EAG，∴△ABD∽△AEG，∴=，即=，解得AG=．20．解：（1）设x秒时，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ面积为8cm2，由题意得（6﹣x）•2x=8，解之，得x1=2，x2=4，经过2秒时，点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；或经4秒，点P到距离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处，△PBQ的面积为8cm2，综上所述，经过2秒或4秒，△PBQ的面积为8cm2；（2）当P在AB上时，经x秒，△PCQ的面积为：×PB×CQ=×（6﹣x）（8﹣2x）=12.6，解得：x1=（不合题意舍去），x2=，经x秒，点P移动到BC上，且有CP=（14﹣x）cm，点Q移动到CA上，且使CQ=（2x﹣8）cm，过Q作QD⊥CB，垂足为D，由△CQD∽△CAB得，即QD=，由题意得（14﹣x）•=12.6，解之得x1=7，x2=11．经7秒，点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使△PCQ的面积等于12.6cm2．经11秒，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，14＞10，点Q已超出CA的围，此解不存在．综上所述，经过7秒和秒时△PCQ的面积等于12.6cm221．（1）证明：如图，∵线段DB顺时针旋转60°得线段DE，∴∠EDB=60°，DE=DB．∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°．∴∠EDB=∠B．∴EF∥BC．∴DB=FC，∠ADF=∠AFD=60°．∴DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC=120°，△ADF是等边三角形．∴AD=DF．∴△ADE≌△DFC．（2）解：由△ADE≌△DFC，得AE=DC，∠1=∠2．∵ED∥BC，EH∥DC，∴四边形EHCD是平行四边形．∴EH=DC，∠3=∠4．∴AE=EH．∴∠AEH=∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=60°．∴△AEH是等边三角形．∴∠AHE=60°．（3）解：设BH=x，则AC=BC=BH+HC=x+2，由（2）四边形EHCD是平行四边形，∴ED=HC．∴DE=DB=HC=FC=2．∵EH∥DC，∴△BGH∽△BDC．∴．即．解得x=1．∴BC=3．22．（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AEC=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠DCE，∴∠DCE=∠EDC，∴DE=CE，∴=，即AE•BC=AC•CE；（2）∵S△ADE：S△CDE=4：3.5，∴AE：CE=4：3.5，∴=，∵由（1）知=，∴=，解得DE=6，∵DE=CE，∴CE=8．23．（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．24．（1）证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，∴AC=BE．在△ACD与△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD=EF，即EF=CD；（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG=EQ：EH．∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sinB==，∴EQ=BE．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH==，∴EH=AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：=：3．25．（1）证明：如图1，连接PN，∵N、P分别为△ABC边BC、CA的中点，∴PN∥AB，且．∴△ABF∽△NPF，∴．∴BF=2FP．（2）解：如图2，取AF的中点G，连接MG，∴MG∥EF，AG=GF=FN．∴△NEF∽△NMG，∴S△NEF=S△MNG=×S△AMN=××S△ABC=S．26．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ADC∽△CDB，∴=；（2）解：∵CE=AC，BF=BC，∴===，又∵∠A=∠BCD，∴∠ACD=∠B，∴△CED∽△BFD，∴∠CDE=∠BDF，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠BDF+∠CDF=∠CDB=90°．27．解；（1）∵AB∥CE，∴∠A=∠DCE，又∵∠ADB=∠EDC，∴△ABD∽△CED；（2）①过点E作EH⊥BF于点H，∵△ABC是等边三角形，△ABD∽△CED，AB=6，AD=2CD，∴==，∠A=∠ACB=60°，∴CE=3，∵AB∥CE，∴∠A=∠DCE=60°，∴∠ECH=°﹣∠ACB﹣∠DCE=°﹣60°﹣60°=60°，∴EH=CE•sin60°=3×=；②在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，CE=3，∴CH=CE•cos60°=3×=，∴BH=BC+CH=6+=，∴BE===3．28．（1）解：∵AC=AC′，AB=AB′，∴由旋转可知：∠CAB=∠C′AB′，∴∠CAB+∠EAC′=∠C′AB′+∠EAC′，即∠CAC′=∠BAB′，又∵∠ACB=∠AC′B′=90°，∴△ACC′∽△ABB′，∵AC=3，AB=4，∴==；（2）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，（1分）∴∠CAC′=∠BAB′，∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，∴∠ACC′=∠ABB′，（3分）又∵∠AEC=∠FEB，∴△ACE∽△FBE．（4分）（3）解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．理由：在△ACC′中，∵AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C====90°﹣α，（6分）在Rt△ABC中，∠ACC′+∠BCE=90°，即90°﹣α+∠BCE=90°，∴∠BCE=90°﹣90°+α=α，∵∠ABC=α，∴∠ABC=∠BCE，（8分）∴CE=BE，由（2）知：△ACE∽△FBE，∴△ACE≌△FBE．（9分）29．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，∴∠DAB+∠CAE=60°，∵∠ABC是△ABD的外角，∴∠DAB+∠D=∠ABC=60°，∴∠CAE=∠D，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACE=120°，∴△ABD∽△ECA；（2）∵△ABD∽△ECA，∴=，即AB•AC=BD•CE，∵AB=AC=BC，∴BC2=BD•CE30．（1）证明：∵AC=CD=DE=EB=，又∠C=90°，∴AD=2，∴=，==，∴=，又∵∠ADE=∠BDA，∴△ADE∽△BDA；（2）证明：∵△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠B，又∵∠ADC=∠AEC+∠DAE，∴∠ADC=∠AEC+∠B；（3）解：∵点P为线段AB上一动点，根据勾股定理得：AE==，BE=，∴PE的最大值为．作EF⊥AB，则EF=，则PE的最小值为∴≤EP≤，∵EP为整数，即EP=1，2，3，结合图形可知PE=1时有两个点，所以PE长为整数的点P个数为4个．。

相似三角形精选好题解答题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题（本大题共25小题，共200.0分）1.如图,在中，，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．为何值时,；是否存在某一时刻，使∽？若存在，求出此时AP的长；若不存在,请说明理由；当时,求的值．2.如图，中，于是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证:∽．3.如图，已知四边形ABCD中，的延长线与AD的延长线交于点E．若，求BC的长；若,求AD的长．注意：本题中的计算过程和结果均保留根号4.如图，在中，点D在BC边上，点E在AD边上，．求证：∽；若，求AE的长．5.如图,在四边形ABCD中，,交BC于点F，连接AF．求CF的长；若,求AB的长．6.如图,在锐角三角形ABC中，点分别在边上，于点于点．求证:∽；若,求的值．7.如图，在中，，点D是BC边的中点,．求AD和AB的长;求的值．8.从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图1,在中，CD为角平分线，，求证：CD为的完美分割线．在中，是的完美分割线,且为等腰三角形,求的度数．如图中，是的完美分割线,且是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．9.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为,测得大楼顶端A的仰角为点在同一水平直线上,已知，求障碍物两点间的距离结果精确到参考数据：10.如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图已知长方体货厢的高度BC为米，，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD 的长结果保留根号11.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡AB的坡度:米,米：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比求点B距水平面AE的高度BH；求广告牌CD的高度．测角器的高度忽略不计，结果精确到米参考数据：12.如图，在中,，动点P从点C出发，沿CA方向运动;动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为点的运动速度为，那么运动几秒时,和相似?13.如图所示，，点P从点B出发,沿BC向点C以的速度移动,点Q从点C出发沿CA向点A以的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？14.如图,小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为，顶部的仰角为,已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长精确到参考值：．15.如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处三点在同一直线上，又测得主教学楼顶端A的仰角为，已知测角器CD的高度为米，请计算主教学楼AB的高度,结果精确到米16.已知：如图，是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，．求证：∽；如果,求DC的长．17.如图,CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角，求树高结果保留根号18.钓鱼岛自古就是中国的领土,中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测一日,中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛设N、M为该岛的东西两端点最近距离为15海里即海里，在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向，航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东方向其中N、M、C在同一条直线上,求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离精确到海里参考数据：．19.探究证明：如图1，矩形ABCD中，点M、N分别在边上,，求证：．如图2，矩形ABCD中，点M在边BC上,分别交于点E、点F，试猜想与有什么数量关系？并证明你的猜想．拓展应用：综合、的结论解决以下问题：如图3,四边形ABCD中,，点分别在边上,求的值．20.如图，在某次数学活动课中，小明为了测量校园内旗杆AB的高度,站在教学楼CD上的E处测得旗杆底端B的仰角的度数为，测得旗杆顶端A的仰角的度数为，旗杆底部B处与教学楼底部C处的水平距离BC为9m，求旗杆的高度结果精确到．【参考数据：】21.已知,如图，在四边形ABCD中,,延长AD、BC相交于点求证：∽；．22.如图,在中，点D为BC边的任意一点，以点D为顶点的的两边分别与边交于点E、F，且与互补．如图1，若为BC的中点时,则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论；如图2，若为BC的中点时，那么中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出DE与DF的关系并说明理由;如图3,若，且，直接写出______ ．23.放风筝是大家喜爱的一种运动,星期天的上午小明在市政府广场上放风筝如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上,风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为已知点在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？风筝线均为线段，，最后结果精确到1米．24.禁渔期间,我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可以船只,测得A、B两处距离为200海里,可疑船只正沿南偏东方向航行，我渔政船迅速沿北偏东方向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截求该可疑船只航行的平均速度结果保留根号．25.某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地,如图，其中A、B、C三地在同一直线上,D地在A地北偏东方向，在C地北偏西方向，C地在A 地北偏东方向且，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？最后结果保留整数,参考数据：答案和解析【答案】1。