学业分层测评第1章 1.1.1、1.1.2-学习文档
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第 1 页 学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1.函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为( )
A.3 B.2
C.1 D.4
【解析】 由已知得:m2-1-12-1m-1=3,
∴m+1=3,∴m=2.
【答案】 B
2.一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是( )
A.-3 B.3
C.6 D.-6
【解析】 由平均速度和瞬时速度的关系可知,
v=s′(1)=limΔt→0 (-3Δt-6)=-6.
【答案】 D
3.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及附近一点(1+Δx,-2+Δy),则ΔyΔx=( )
A.4 B.4x
C.4+2Δx D.4+2(Δx)2
【解析】 因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-4-(2×12-4)=4Δx+2(Δx)2,
所以ΔyΔx=4Δx+2Δx2Δx=4+2Δx. 第 2 页 【答案】 C
4.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则( )
A.f′(x)=a B.f′(x)=b
C.f′(x0)=a D.f′(x0)=b
【解析】 ∵f′(x0)=limΔx→0 fx0+Δx-fx0Δx
=limΔx→0 aΔx+bΔx2Δx=limΔx→0 (a+bΔx)=a,
∴f′(x0)=a.
【答案】 C
5.设函数y=f(x)在x=x0处可导,且limΔx→0 fx0-3Δx-fx0Δx=1,则f′(x0)等于( )
A.1 B.-1
C.-13 D.13
【解析】 ∵limΔx→0 fx0-3Δx-fx0Δx
=limΔx→0[fx0-3Δx-fx0-3Δx·(-3)]
=-3f′(x0)=1,
∴f′(x0)=-13.
【答案】 C
二、填空题
6.若f′(x0)=1,则limk→0 fx0-k-fx02k=__________.
【导学号:05410003】 第 3 页 【解析】 limk→0 fx0-k-fx02k
=-12limk→0 fx0-k-fx0-k=-12f′(x0)=-12.
【答案】 -12
7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1-1-1所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为v1,v2,v3,其三者的大小关系是________.
图1-1-1
【解析】 ∵v1=st1-st0t1-t0=kMA,
v2=st2-st1t2-t1=kAB,
v3=st3-st2t3-t2=kBC,
由图象可知:kMA ∴v3>v2>v1. 【答案】 v3>v2>v1 8.一物体位移s和时间t的关系是s=2t-3t2,则物体的初速度是__________. 【解析】 物体的速度为v=s′(t), ∴s′(t)=limΔt→0 st+Δt-stΔt =limΔt→0 2t+Δt-3t+Δt2-2t+3t2Δt =limΔt→0 2Δt-6tΔt-3Δt2Δt 第 4 页 =2-6t. 即v=2-6t, 所以物体的初速度是v0=2-6×0=2. 【答案】 2 三、解答题 9.已知某物体按照s(t)=3t2+t+4(t的单位:s,s的单位:m)的规律做直线运动,求该物体在4 s附近的平均速度. 【解】 v=ΔsΔt=s4+Δt-s4Δt =34+Δt2+4+Δt+4-3×42+4+4Δt =(25+3Δt)m/s, 即该物体在4 s附近的平均速度为(25+3Δt)m/s. 10.求函数y=x2+ax+b(a,b为常数)的导数. 【解】 因为Δy=[(x+Δx)2+a(x+Δx)+b]-(x2+ax+b)=2x·Δx+(Δx)2+a·Δx=(2x+a)·Δx+(Δx)2,故ΔyΔx=2x+a·Δx+Δx2Δx=(2x+a)+Δx, limΔx→0 ΔyΔx=limΔx→0 (2x+a+Δx)=2x+a,所以y′=2x+a. [能力提升] 1.若f(x)=x3,f′(x0)=3,则x0的值是( ) A.1 B.-1 C.±1 D.33 【解析】 ∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3-x30=3x20Δx+3x0(Δx)2+(Δx)3, ∴ΔyΔx=3x20+3x0Δx+(Δx)2, ∴f′(x0)=limΔx→0[3x20+3x0Δx+(Δx)2]=3x20, 第 5 页 由f′(x0)=3,得3x20=3,∴x0=±1. 【答案】 C 2.如果函数y=f(x)在x=1处的导数为1,那么limx→0 fx+1-f12x=( ) A.12 B.1 C.2 D.14 【解析】 因为f′(1)=1,所以limx→0 f1+x-f1x=1, 所以limx→0 fx+1-f12x=12limx→0 f1+x-f1x=12. 【答案】 A 3.已知f′(x0)>0,若a=limΔx→0 fx0+Δx-fx0Δx,b=limΔx→0 fx0-Δx-fx0Δx,c=limΔx→0 fx0+2Δx-fx0Δx, d=limΔx→0 fx0+Δx-fx0-Δx2Δx,e=limx→x0 fx-fx0x-x0, 则a,b,c,d,e的大小关系为__________. 【解析】 a=limΔx→0 fx0+Δx-fx0Δx=f′(x0), b=limΔx→0 fx0-Δx-fx0Δx =-limΔx→0 fx0-Δx-fx0-Δx=-f′(x0), c=limΔx→0 fx0+2Δx-fx0Δx =2limΔx→0 fx0+2Δx-fx02Δx=2f′(x0), 第 6 页 d=limΔx→0 fx0+Δx-fx0-Δx2Δx=f′(x0), e=limx→x0 fx-fx0x-x0=f′(x0). 即c>a=d=e>b. 【答案】 c>a=d=e>b 4.某一运动物体,在x(s)时离开出发点的距离(单位:m)是f(x)=23x3+x2+2x. (1)求在第1 s内的平均速度; (2)求在1 s末的瞬时速度; (3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s? 【解】 (1)物体在第1 s内的平均变化率(即平均速度)为f1-f01-0=113 m/s. (2)ΔyΔx=f1+Δx-f1Δx =231+Δx3+1+Δx2+21+Δx-113Δx =6+3Δx+23(Δx)2. 当Δx→0时,ΔyΔx→6, 所以物体在1 s末的瞬时速度为6 m/s. (3)ΔyΔx=fx+Δx-fxΔx= 23x+Δx3+x+Δx2+2x+Δx-23x3+x2+2xΔx =2x2+2x+2+23(Δx)2+2x·Δx+Δx. 第 7 页 当Δx→0时,ΔyΔx→2x2+2x+2, 令2x2+2x+2=14,解得x=2, 即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s.