学业分层测评第1章 1.1.1、1.1.2-学习文档

第 1 页 学业分层测评

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[学业达标]

一、选择题

1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )

A．3 B．2

C．1 D．4

【解析】 由已知得：m2－1－12－1m－1＝3，

∴m＋1＝3，∴m＝2.

【答案】 B

2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )

A．－3 B．3

C．6 D．－6

【解析】 由平均速度和瞬时速度的关系可知，

v＝s′(1)＝limΔt→0 (－3Δt－6)＝－6.

【答案】 D

3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx＝( )

A．4 B．4x

C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2

【解析】 因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－4－(2×12－4)＝4Δx＋2(Δx)2，

所以ΔyΔx＝4Δx＋2Δx2Δx＝4＋2Δx. 第 2 页 【答案】 C

4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )

A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b

C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b

【解析】 ∵f′(x0)＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx

＝limΔx→0 aΔx＋bΔx2Δx＝limΔx→0 (a＋bΔx)＝a，

∴f′(x0)＝a.

【答案】 C

5．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且limΔx→0 fx0－3Δx－fx0Δx＝1，则f′(x0)等于( )

A．1 B．－1

C．－13 D.13

【解析】 ∵limΔx→0 fx0－3Δx－fx0Δx

＝limΔx→0[fx0－3Δx－fx0－3Δx·(－3)]

＝－3f′(x0)＝1，

∴f′(x0)＝－13.

【答案】 C

二、填空题

6．若f′(x0)＝1，则limk→0 fx0－k－fx02k＝__________.

【导学号：05410003】 第 3 页 【解析】 limk→0 fx0－k－fx02k

＝－12limk→0 fx0－k－fx0－k＝－12f′(x0)＝－12.

【答案】 －12

7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1-1-1所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，其三者的大小关系是________．

图1-1-1

【解析】 ∵v1＝st1－st0t1－t0＝kMA，

v2＝st2－st1t2－t1＝kAB，

v3＝st3－st2t3－t2＝kBC，

由图象可知：kMA

∴v3>v2>v1.

【答案】 v3>v2>v1

8．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．

【解析】 物体的速度为v＝s′(t)，

∴s′(t)＝limΔt→0 st＋Δt－stΔt

＝limΔt→0 2t＋Δt－3t＋Δt2－2t＋3t2Δt

＝limΔt→0 2Δt－6tΔt－3Δt2Δt 第 4 页 ＝2－6t.

即v＝2－6t，

所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2.

【答案】 2

三、解答题

9．已知某物体按照s(t)＝3t2＋t＋4(t的单位：s，s的单位：m)的规律做直线运动，求该物体在4 s附近的平均速度．

【解】 v＝ΔsΔt＝s4＋Δt－s4Δt

＝34＋Δt2＋4＋Δt＋4－3×42＋4＋4Δt

＝(25＋3Δt)m/s，

即该物体在4 s附近的平均速度为(25＋3Δt)m/s.

10．求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．

【解】 因为Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，故ΔyΔx＝2x＋a·Δx＋Δx2Δx＝(2x＋a)＋Δx，

limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 (2x＋a＋Δx)＝2x＋a，所以y′＝2x＋a.

[能力提升]

1．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )

A．1 B．－1

C．±1 D．33

【解析】 ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3x20Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，

∴ΔyΔx＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2，

∴f′(x0)＝limΔx→0[3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20， 第 5 页 由f′(x0)＝3，得3x20＝3，∴x0＝±1.

【答案】 C

2．如果函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，那么limx→0 fx＋1－f12x＝( )

A.12 B．1

C．2 D.14

【解析】 因为f′(1)＝1，所以limx→0 f1＋x－f1x＝1，

所以limx→0 fx＋1－f12x＝12limx→0 f1＋x－f1x＝12.

【答案】 A

3．已知f′(x0)>0，若a＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx，b＝limΔx→0 fx0－Δx－fx0Δx，c＝limΔx→0 fx0＋2Δx－fx0Δx，

d＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0－Δx2Δx，e＝limx→x0 fx－fx0x－x0，

则a，b，c，d，e的大小关系为__________．

【解析】 a＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx＝f′(x0)，

b＝limΔx→0 fx0－Δx－fx0Δx

＝－limΔx→0 fx0－Δx－fx0－Δx＝－f′(x0)，

c＝limΔx→0 fx0＋2Δx－fx0Δx

＝2limΔx→0 fx0＋2Δx－fx02Δx＝2f′(x0)， 第 6 页 d＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0－Δx2Δx＝f′(x0)，

e＝limx→x0 fx－fx0x－x0＝f′(x0)．

即c>a＝d＝e>b.

【答案】 c>a＝d＝e>b

4．某一运动物体，在x(s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)＝23x3＋x2＋2x.

(1)求在第1 s内的平均速度；

(2)求在1 s末的瞬时速度；

(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s?

【解】 (1)物体在第1 s内的平均变化率(即平均速度)为f1－f01－0＝113 m/s.

(2)ΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx

＝231＋Δx3＋1＋Δx2＋21＋Δx－113Δx

＝6＋3Δx＋23(Δx)2.

当Δx→0时，ΔyΔx→6，

所以物体在1 s末的瞬时速度为6 m/s.

(3)ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx＝

23x＋Δx3＋x＋Δx2＋2x＋Δx－23x3＋x2＋2xΔx

＝2x2＋2x＋2＋23(Δx)2＋2x·Δx＋Δx. 第 7 页 当Δx→0时，ΔyΔx→2x2＋2x＋2，

令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2，

即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s.