2020年拉萨市高一数学下期末试题带答案

2020年拉萨市高一数学下期末试题带答案
一、选择题
1．如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12
BD DC =u u u v u u u v ，4AD AC ⋅=u u u v u u u v ，则
AB BC ⋅=u u u v u u u v
A ．-45
B ．13
C ．-13
D ．-37
2．已知集合{
}
2
20A x x x =-->，则A =R ð A ．{}
12x x -<< B ．{}
12x x -≤≤
C ．}{
}
{
|12x x x x <-⋃
D ．}{}{
|1|2x x x x ≤-⋃≥
3．设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =
( ) A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
4．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若
sin 5sin 2A c
B b
=，7sin B =
，57ABC S =△，则b =（ ） A ．23
B ．27
C ．15
D ．14
5．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．20π
B ．24π
C ．28π
D ．32π
6．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）
A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥
B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥
C ．若//l α，m α⊂，则//l m
D ．若//l α，//m α，则//l m
7．已知0,0a b >>，并且111
,,2a b 成等差数列，则4a b +的最小值为（ ） A ．2
B ．4
C ．5
D ．9
8．函数2
ln ||y x x =+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．（2018年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件5,
24,1,0,
x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪
⎨
-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为 A ．6
B ．19
C ．21
D ．45
11．若tan()24
π
α+=，则
sin cos sin cos αα
αα
-=+（ ）
A ．
12
B ．2
C ．2-
D ．12
-
12．在ABC ∆中，2
cos (,b,22A b c a c c
+=分别为角,,A B C 的对边)，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
二、填空题
13．在直角ABC ∆中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在ABC ∆中随机地选取m 个点，其中有n 个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________．（答案用m ，n 表示）
14．在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为________． 15．若三点1
(2,3),(3,2),(,)2
A B C m --共线，则m 的值为 ． 16．不等式223
1()
12
x x -->的解集是______．
17．底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为___cm 2
.
18．已知2a b ==r r ，()()
22a b a b +⋅-=-r r r r ，则a r 与b r
的夹角为 .
19．等边ABC ∆的边长为2，则AB u u u v 在BC uuu
v 方向上的投影为________．
20．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
三、解答题
21．已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；
(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．
22．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是
[)70,80,[)80,90,[)90,100,[)90,100，[)100,110，[)110,120.
()1求图中m 的值；
()2根据频率分布直方图,估计这200名学生的平均分；
()3若这200名学生的数学成绩中,某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如表所示,求英语成绩在[)
90,120的人数.
分数段[)
90,100[)
100,110[)
110,120
:x y6:51:21:1
23．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[)
13,14，第二组[)
14,15，⋅⋅⋅，第五组[]
17,18.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
（2）设m,n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知[)[]
,13,1417,18.
m n∈⋃求事件“1
m n
->”发生的概率.
24．已知数列{}n a满足()*
11
21
1
2
n
n n
n n
a
a a n N b
a a
+
==∈=
+
，，，．
()1证明数列{}
n
b为等差数列；
()2求数列{}
n
a的通项公式．
25．以原点为圆心，半径为r的圆O222
:()0
O x y r r
+=>与直线380
x--=相切.（1）直线l过点(6)
-且l截圆O所得弦长为43l l的方程；
（2）设圆O与x轴的正半轴的交点为M，过点M作两条斜率分别为12
,k k
12
,k k的直线交圆O于,A B两点，且123
k k⋅=-，证明：直线AB恒过一个定点，并求出该定点坐标.
26．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为BF 与DE 的
交点，若AB a =u u u v v ,AD b =u u u v v ，试以a v ，b v 为基底表示DE u u u v 、BF u u u
v 、CG u u u v ．
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
先用AB u u u v 和AC uuu v
表示出2
A A
B B
C AB C AB ⋅=⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
再根据，12BD DC =u u u v u u u v 用用AB u u u v 和AC uuu v 表示出AD u u u v
，再根据4AD AC ⋅=u u u v u u u v 求出A AB C ⋅u u u v u u u v 的
值，最后将A AB C ⋅u u u v u u u v 的值代入2
A A
B B
C AB C AB ⋅=⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
，从而得出答案． 【详解】
()
2 A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
∵12BD DC =u u u v u u u v ，
∴111B C ?C B 222
AD A A AD AD A AD A -=-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
（），
整理可得：12 AB 33
AD AC +u u u v u u u v u u u v
＝， 2
21A A 433
AD AC AB C C ∴⋅⋅+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ＝
∴ A =-12AB C ⋅u u u v u u u v ， ∴2 =A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ．，
故选：D ． 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．
2．B
解析：B 【解析】
分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}
|12A x x x =<->或，
所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
3．C
解析：C 【解析】
∵ 集合{}1
24A ，，=，{}
2
|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =
∴{}{}
{}2
2
|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C
4．D
解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简
sin 5sin 2A c
B b
=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c ，由
sin B =
，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】
由于
sin 5sin 2A c B b
=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即5
2a c =
由于在ABC V 中，7sin 4B =
，574
ABC S =△，所以157sin 24ABC S ac B ==V ，
联立521
57sin 27sin a c ac B B ⎧
=⎪⎪
⎪=
⎨⎪⎪=
⎪⎩
，解得：5a =，2c = 由于B 为锐角，且7sin 4
B =
，所以2
3cos 1sin 4B B =-=
所以在ABC V 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=，故14b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．
5．C
解析：C 【解析】
试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．
，
，所以几何体的表面积为
．
考点：三视图与表面积．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断
C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断
D .
【详解】
l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；
l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，
//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】
本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平
行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
7．D
解析：D 【解析】 ∵
111
,,2a b
成等差数列，
()11114144559a b a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=∴+=++=+++= ⎪⎝⎭
，…， 当且仅当a =2b 即3
3,2
a b ==时“=“成立， 本题选择D 选项.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。

【详解】
由题函数定义域为0x ≠，2
2
()()ln ||ln ||()f x x x x x f x -=-+-=+=，函数为偶函数，图像关于y 轴对称，B,C 选项不符合，当0x →时，y →-∞，则函数图像大致为A 选项所示. 故选：A 【点睛】
此类题目通常根据函数的定义域，周期性，奇偶性以及值域和特殊点等来判断大致图像。

9．D
解析：D 【解析】 【分析】
分析函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，可得出结论. 【详解】
函数()lg f x x x =的定义域为{}
0x x ≠，定义域关于原点对称，
()()lg lg f x x x x x f x -=--=-=-，函数()y f x =为奇函数，排除A 、C 选项；
当01x <<时，lg 0x
<，此时()lg 0f x x x =<，排除B 选项. 故选：D. 【点睛】
本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.
10．C
解析：C 【解析】
分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.
详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在
点A 处取得最大值，联立直线方程：5
1
x y x y +=⎧⎨-+=⎩，可得点A 的坐标为：()2,3A ，据此可
知目标函数的最大值为：max 35325321z x y =+=⨯+⨯=.本题选择C 选项.
点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.
11．D
解析：D 【解析】 由tan()24
π
α+
=有
tan 11
2,tan 1tan 3
ααα+==-，所以
1
1
sin cos tan 11
31sin cos tan 12
13
αααααα---===-+++，选D.
点睛：本题主要考查两角和的正切公式以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题。

12．A
解析：A 【解析】 【分析】 根据正弦定理得到1cos sin sin 22sin A B C C ++=，化简得到sin cos 0A C =，得到2
C π
=，得到答案. 【详解】
2
cos 22A b c c +=，则1cos sin sin 22sin A B C
C
++=， 即sin cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C C +=++，即sin cos 0A C =，
sin 0A ≠，故cos 0C =，2
C π
=
.
故选：A . 【点睛】
本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.
二、填空题
13．【解析】【分析】【详解】由题意得的三边分别为则由可得所以三角数三边分别为因为所以三个半径为的扇形面积之和为由几何体概型概率计算公式可知故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属于中档题解决 解析：
12n
m
【解析】 【分析】 【详解】
由题意得ABC ∆的三边分别为,1,2x x x ++ 则由()()2
2
221x x x +=++ 可得3n = ，所以，三角数三边分别为3,4,5，因为A B C π∠+∠+∠= ，所以三个半径为1 的扇形面积
之和为
211=22π
π⨯⨯ ，由几何体概型概率计算公式可知1122
,1342
n n m m ππ=∴=⨯⨯，故答
案为
12n
m
. 【方法点睛】
本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不
能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 14．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为
解析：1 4
【解析】
概率为几何概型，如图，满足20
x y
-<的概率为
2
11
11
22
=
14
OAB
S
S
∆
⨯⨯
=
正方形
15．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线
解析：
1
2
【解析】
试题分析：依题意有
AB AC
k k
=，即
53
1
52
2
m
--
=
+
，解得
1
2
m=.
考点：三点共线．
16．【解析】【分析】先利用指数函数的单调性得再解一元二次不等式即可【详解】故答案为【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法属中档题
解析：()
1,3
-
【解析】
【分析】
先利用指数函数的单调性得2230
x x
--<，再解一元二次不等式即可．
【详解】
2232
1
()123013
2
x x x x x
-->⇔--<⇔-<<．
故答案为()
1,3
-
【点睛】
本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题．
17．【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为 解析：
【解析】 【分析】 【详解】
圆柱的侧面积为22416ππ⨯⨯=
18．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得： 解析：60︒
【解析】 【分析】 【详解】
根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-r
r
r
r
，去括号得：
222422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-r
r r r ，1cos ,602
θθ︒⇒==
19．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析：1-
【解析】 【分析】
建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB u u u r 在BC uuu
r 方向上的投影即可.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B ，(3C ，
则：()2,0AB =uu u r ，(3BC =-u u u v ，2AB BC ⋅=-u u u r u u u r
且2AB =u u u r ，
10BC =u u u v 据此可知AB u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为212AB BC AB
⋅-==-u u u v u u u v
u u u
v .
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（1 2）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答
解析：1 3
【解析】
【分析】
【详解】
解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，
有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；
则其概率为21 63 ；
故答案为1
3
．
解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题．
三、解答题
21．（1）a n＝－2n＋5.（2）4
【解析】
（Ⅰ）设{a n}的公差为d，由已知条件，，解出a1＝3，d＝－2．所以a n＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5．
（Ⅱ）S n ＝na 1＋d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以n ＝2时，S n 取到最大值4． 22．（1）0.005m =（2）平均数为93（3）140人 【解析】 【分析】
(1)根据面积之和为1列等式解得.
(2)频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数, (3)先计算出各分数段上的成绩,再根据比值计算出相应分数段上的英语成绩人数相加即可. 【详解】
解：()1由()1020.020.030.041m ⨯+++=, 解得0.005m =.
()2频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,
即估计平均数为0.05750.4850.3950.21050.0511593⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
()3由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在[)90,100,[)100,110,[)
110,120的分别有60人,40人,10人,按照表中给的比例,则英语成绩在
[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有50人,80人,10人,所以英语成绩在[)90,120的
有140人. 【点睛】
本题考查了频率分布直方图,属中档题. 23．（1）29人；（2）35
． 【解析】 【分析】
（1）根据频率分布直方图，良好即第二三两组，计算出第二三两组的频率即可算出人数；
（2）结合频率分布直方图，计算出[)[]
13,1417,18，
两组的人数，1m n ->即两位同学来自不同的两组，利用古典概型求解概率即可. 【详解】
（1）由直方图知，成绩在[14,16)内的人数为：500.20500.3829⨯+⨯=（人）， 所以该班成绩良好的人数为29人；
（2）由直方图知，成绩在[13,14)的人数为500.063⨯=人； 成绩在[17,18]的人数为500.042⨯=人；.
事件“1m n ->”发生即这两位同学来自不同的两组， 此题相当于从这五人中任取2人，求这两人来自不同组的概率
其概率为11
232563
105
C C P C ===.
3(1)5
P m n ->=
【点睛】
此题考查用样本的频率分布估计总体分布；利用频率直方图求相关数据；古典概型及其概率的计算．
24．（1）见解析；（2）21
n a n =+ 【解析】 【分析】
（1）已知递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明.
（2）由（1）可知数列{}n b 为等差数列，确定数列{}n b 的通项公式，即可求出数列{}n a 的通项公式． 【详解】
()1证明：10a Q ≠，且有122
n
n n a a a +=
+， ∴()
*0n a n N ≠∈，
又1n n
b a =
Q ， ∴1121111222n n n n n n a b b a a a +++=
==+=+，即()
*112
n n b b n N +-=∈，且1111b a ==， ∴{}n b 是首项为1，公差为
1
2
的等差数列． ()2解：由()1知()1111112
2
2
n n n b b n -+=+-⨯=+=，即1
1
2
n
n a
+=
， 所以21
n a n =+． 【点睛】
本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法，考查了运用取倒数法求数列的通项公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.
25．（1）2x =-
或20x +-
=100x +-=；（2）(2,0). 【解析】
分析：（1）先由直线和圆相切得到圆的方程，再由垂径定理列式，分直线斜率存在与不存在两种情况得到结果；（3）联立直线和圆，由韦达定理得到交点的坐标，由这两个点写出直线方程，进而得到直线过定点. 详解：
(1)∵圆222:(0)O x y r r +=>
与直线0x y -+=
80x --=相切，
∴圆心O
到直线的距离为4d =
=，
∴圆O 的方程为：2216x y +=
若直线l 的斜率不存在，直线l 为2x =- 1x =， 此时直线l
截圆所得弦长为
若直线l 的斜率存在，设直线l
为()2y k x =+
()1y k x =-，
由题意知，圆心到直线的距离为1d == 2d =
，解得：k = 此时直线l
为100x +-=，
则所求的直线l 为2x =-
或20x +-=
-100x += （2）由题意知，()4,0M ()2,0A -，设直线()1:4MA y k x =-， 与圆方程联立得：()12224y k x x y ⎧=+⎨
+=⎩ ()
122
416y k x x y ⎧=-⎨+=⎩
， 消去y 得：()
()
2
2
2
2
11114440k x k x k +++-= ()
2
2
2
2
1111816160k x k x k +-+-=，
∴(
)2121
1611M A k x x k
-=+∴()21
21
41
1A
k x
k
-=
+，1
2
181A
k y
k -=
+ 用1
3
k -
换掉1k 得到B 点坐标 ∴2
12
13649B k x k -=+，121249B k y k =+ 12141B k y k =+
∴直线AB 的方程为21112221118444131k k k y x k k k ⎛⎫
-+=- ⎪+-+⎝⎭
整理得：()1
2
1423k y x k =
-- 则直线AB 恒过定点为()2,0.
点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
26．1()3
CG a b =-+u u u v v v
【解析】
分析：直接利用共线向量的性质、向量加法与减法的三角形法则求解即可.
详解：由题意，如图1122
DE DC CE AB CB a b =+=+=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v v
v ，
1122
BF BC CF AD AB a b =+=-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v v v ，
连接BD ，则G 是BCD V 的重心，连接AC 交BD 于点O ，则O 是BD 的中点， ∴点G 在AC 上，
∴()
2221133323
CG CO OC AC a b ==-=-⨯=-+u u u v u u u v u u u v u u u v v
v ，
故答案为 12DE a b u u u v v v =-；12
BF a b =-+u u u v v v ；
∴()
13
CG a b =-+u u u v v v ．
点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．。