八年级数学三角形全等模型要点

1 三角形全等模型巩固

三角形全等--------角平分线模型（角平分线做两边垂直、作与角平分线垂直的线段、截长补短、作平行线）

图1 （角平分线做两边垂直） 图2（作与角平分线垂直的线段）

图3 截长补短 图4截长补短

图5作平行线得到等腰三角形（△OEF为等腰三角形）

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1、 如图，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC。

2、如图9所示，在△ABC中，BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DE⊥AB于E，并且AB>AC。求证：BE－AC=AE。

BCADEFFEDCBA图9 3

3、AD是ABC的角平分线，BEAD交AD的延长线于E，EFAC∥交AB于F．

求证：AFFB．

4、如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上．DECD，EFAC． 求证：EF∥AB （角平分线模型+倍长中线模型）

D

E CF

BAFACDEB 4

5、已知：在△ABC中，B的平分线和外角ACM的平分线相交于,,DDFBC交AC于,,EABF交于求证：EFBFCE

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三角形全等———垂直模型

图1 直角都在腰内 图2 直角都在腰内

结论：△ABD全等三角形AOA

DO=DB-CO

结论：△ABE全等△BCD，EC=AB-DC

图3直角都在腰内

图4 两直角在腰外 图5 两直角在腰外 6 结论：△BDC全等△ACO，AO+BD=DO

模型特点：含有等腰直角三角形，三个直角，垂直模型又分为腰在内，腰在外的情况

如图1和图2，三个直角在两等边内侧，AB=AC。A点过Y轴，两端点作Y轴垂线。得到△AOC全等△ABD。

如图3，三个直角在两等边内侧，等腰的两个端点，其中一个端点作第三条边的垂线，另外一条边作直角边的垂线。，得到△ABE全等△BCD

如图4和图5，2个直角在两等边外侧，等腰的两端点分别作X轴的垂线，可得到△AOB全等△BCD

6、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，AB=AC，E是AB的中点，

CE⊥BD.

①求证：BE=AD ；

②求证：AC是线段ED的垂直平分线；

③△BCD是等腰三角形吗？请说明理由.

90 7

7、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证∠ADC=∠BDE。

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三角形全等---倍长中线模型

【基础知识】

三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.

主要思路：倍长中线（线段）造全等

在△ABC中 AD是BC边中线

延长AD到E， 使DE=AD，连接BE ，得到△ACD全等△EBD

作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE，得到△CFD全等△BED DABCEDABCFEDCBA 9

延长MD到N， 使DN=MD，连接CD，得到△BMD全等△CND

8、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．

（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．

（2）求证：△ACD≌△EBD．

（3）求证：AB+AC >2AD．

（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．

NDCBAMDCBA 10 9、如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．

求证：∠AEF=∠EAF．

10、.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．

求证：AD为△ABC的角平分线．

FEDCBAGFEDCBA 11

三角形全等————手拉手模型

模型特点：1、有公共的顶点

2、公共的顶点引出两个等角的等腰三角形

3、两个等腰三角形的端点互相连接

4、（左手拉左手，右手拉右手）

图一 图二

图三 图四 图五

图六 图七

结论1:拉手线和顶点围成的三角形全等

结论2：拉手线所围成的角（其中一个角）等于顶角

结论3：拉手线所围成的角的被拉手线的交点和顶点所连接的线段平分

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11、如图，点C为线段BD上一点，,ABCCDE△△都是等边三角形，AD与CE交于点,FBE与AC相交于点G．

（1）求证：≌ACDBCE；

（2）求证：ACFBCG≌

（3） 求证GF平行BD

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12、如图，△ABD和△BCE都是等边三角形，∠ABC＜105°，AE与DC交于点F．

（1）求证：AE＝DC；

（2）求∠BFE的度数；

（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．

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三角形全等-------半角模型

图1 图2

模型特点:等腰的直角，内嵌一个45°的角（或者等腰的顶角，内嵌一个顶角一半的角）。并且腰的两个端点角互补。

通过旋转三角形构造出一对全等的三角形。

如上图1，四边形ABCD为正方形，∠MAN=45°，旋转三角形三角形ADN得到三角形ABF，从而得到△AFM全等△ADM。或者旋转△ABM得到△ADE，从而得到△AMN全等△AEN。

如上图2，四边形ABCD为不规则的四边形，知道AE=AD，∠EAF=12∠BAE，旋转△BAE得到△AB”D,可以得到△AEF全等△AB”F。