初中数学图形的对称、平移、旋转与位似知识点总结、经典题型、典型例题讲解及答案解析

初中数学知识归纳平移旋转和对称的基本概念初中数学知识归纳：平移、旋转和对称的基本概念数学作为一门基础学科，是培养学生逻辑思维和分析问题能力的重要工具。

在初中阶段，数学的教学内容涵盖了广泛的概念和技巧，其中平移、旋转和对称是数学中的重要概念。

本文将围绕这三个概念展开讨论，介绍它们的基本概念以及在数学中的应用。

1. 平移：平移是指在平面上把一个图形沿着规定的方向进行“平行移动”，保持图形的形状和大小不变。

平移可以由向量来描述，其中向量的大小和方向决定了平移的幅度和方向。

平移的基本概念包括起点、终点、向量以及平移矢量。

在数学中，平移有着广泛的应用。

它可以用于解决几何问题，比如寻找两个图形之间的关系以及判断两个图形是否相似。

平移还可以应用于向量的运算和矩阵的变换，这些概念在高中数学和物理学中有着重要的地位。

2. 旋转：旋转是指围绕一个中心点将图形按照一定角度进行旋转。

旋转可以通过给定旋转中心和旋转角度来确定。

旋转的基本概念包括旋转中心、旋转角度、顺时针旋转和逆时针旋转等。

旋转在数学中是一个重要的几何概念，在解决旋转对称性问题和图形变换中起着关键作用。

旋转可以通过向量运算和矩阵变换来实现，并且在建模和计算机图形学中有着广泛的应用。

3. 对称：对称是指一个图形在某种变换下保持不变或变成自身，这种变换被称为对称变换。

常见的对称变换包括中心对称和轴对称。

中心对称是指图形围绕一个中心点进行对称，而轴对称是指图形围绕一个轴线进行对称。

对称在数学中是一个重要的概念，它可以用于解决关于对称性的问题以及判断两个图形是否相等。

对称也可以应用于线性代数和几何代数中，并在图像处理和密码学中有着广泛的应用。

总结：初中数学中的平移、旋转和对称是三个基本的几何概念，它们在解决几何问题和图形变换中起着重要作用。

通过了解和掌握这些基本概念，学生可以培养几何思维和观察问题的能力，并将其应用于更高级的数学学科中。

通过本文的介绍，我们了解了平移、旋转和对称在数学中的基本概念和应用，而且对它们的关系和联系也有了更深的认识。

图形的变换一、平移1.定义：把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。

2.性质：（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动。

（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。

二、轴对称1.定义：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。

2.性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。

（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

3.判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

三、旋转1.定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2.性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

四、中心对称1.定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2.性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3.判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

五、坐标系中对称点的特征1.两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）2.关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）3.两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）一、选择题1．在图形的平移中，下列说法中错误的是（）A．图形上任意点移动的方向相同；B．图形上任意点移动的距离相同C．图形上可能存在不动点；D．图形上任意对应点的连线长相等2．如图所示图形中，是由一个矩形沿顺时针方向旋转90°后所形成的图形的是（）A．（1）（4）B．（2）（3）C．（1）（2）D．（2）（4）第4题图3.在旋转过程中，确定一个三角形旋转的位置所需的条件是（）①三角形原来的位置；②旋转中心；③三角形的形状；④旋转角．A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④4.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列图形中可由△OBC平移得到的是（）A.△COD B．△OAB C．△OAF D．△OEF5.下列说法正确的是（）A．分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形；B．两个位似图形的面积比等于位似比；C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比；D．位似图形的周长之比等于位似比的平方6.下面选项中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A.等边三角形B．等腰梯形C．五角星D．菱形7.下列图形中对称轴的条数多于两条的是（）A．等腰三角形B．矩形C．菱形D．等边三角形8.在如图所示的四个图案中既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是（）9.钟表上2时15分，时针与分针的夹角是（）A．30°B．45°C．22．5°D．15°二、填空题10.一个正三角形至少绕其中心旋转________度，就能与本身重合，一个正六边形至少绕其中心旋转________度，就能与其自身重合．11.如图，可以看作是由一个三角形通过_______次旋转得到的，每次分别旋转了__________．12.如图，在梯形ABCD中，将AB平移至DE处，则四边形ABED是_______四边形．13.已知等边△ABC，以点A为旋转中心，将△ABC旋转60°，这时得到的图形应是一个_______，且它的最大内角是______度．14.如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形的周长为30cm，则较大图形周长为________．15.将如左图所示，放置的一个Rt△ABC（∠C=90°）绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的主视图是右图所示四个图形中的_______（只填序号）．16.如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形纸，小明把矩形的一个角沿折痕翻折上去，使AB边和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判定方法是_______第16题图第17题图17.如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，•沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有_______个不同的四边形．三、解答题18.如图，平移图中的平行四边形ABCD使点A移动至E点，作出平移后的图形．19.如图，作出Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°、180°、270°后的图案，看看得到的图案是什么？20.如图，P是正方形内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若BP=3，求PP′．21.如图所示，四边形ABCD是正方形，E点在边DE上，F点在线段CB•的延长线上，且∠EAF=90°．（1）试证明：△ADE≌△ABF．（2）△ADE可以通过平移、翻转、旋转中的哪种方法到△ABF的位置．（3）指出线段AE与AF之间的关系．22.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E为BC边上的点，将直角梯形ABCD沿对角线BD 折叠，使△ABD与△EBD重合（如图中的阴影部分）．若∠A=120°，•AB=4cm，求梯形ABCD的高CD．23.如图，正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，请利用旋转知识，•证明∠APB=135°．（提示：将△ABP绕点B顺时针旋转90°至△BCP′，连结PP′）。

新人教版初中数学——图形的轴对称、平移与旋转知识点归纳及中考典型题解析一、轴对称图形与轴对称轴对称图形轴对称图形定义如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴性质对应线段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′对应点所连的线段被对称轴垂直平分区别(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴关系(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形1等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤（1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；（2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤（1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；（2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．二、图形的平移1．定义在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．3．性质（1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；（2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；（3）平移前后的图形全等．4．作图步骤（1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；（2）找出原图形的关键点；（3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．三、图形的旋转1．定义在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．2．三大要素旋转中心、旋转方向和旋转角度．3．性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．4．作图步骤（1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；（2）找出原图形的关键点；（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．四、中心对称图形与中心对称中心对称图形中心对称图形定义如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称性质对应点点A与点C，点B与点D点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′对应线段AB=CD，AD=BCAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角∠A=∠C∠B=∠D∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′区别中心对称图形是指具有某种特性的一个图形中心对称是指两个图形的关系联系把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．考向一轴对称轴对称图形与轴对称的区别与联系区别：轴对称图形是针对一个图形而言，它是指一个图形所具有的对称性质，而轴对称则是针对两个图形而言的，它描述的是两个图形的一种位置关系，轴对称图形沿对称轴对折后，其自身的一部分与另一部分重合，而成轴对称的两个图形沿对称轴对折后，一个图形与另一个图形重合.联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体时，它就成了一个轴对称图形．典例1第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，全国上下掀起喜迎冬奥热潮，下列四个汉字中是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】A【解析】A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选A．1．下列图形中不是轴对称图形的是A．B．C．D．考向二平移1．平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段平行（或共线）且相等．2．平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行或一条边共线，方向相同．3．平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两图形全等．典例2下列运动中：①荡秋千；②钟摆的摆动；③拉抽屉时的抽屉；④工厂里的输送带上的物品，不属于平移的有A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】①荡秋千，是旋转，不是平移；②钟摆的摆动，是旋转，不是平移；③拉抽屉时抽屉的运动，是平移；④工厂里的输送带上的物品运动，是平移；故选C．2．下列四组图形都含有两个可以重合的三角形，其中可以通过平移其中一个三角形得到另一个三角形的是A．B．C．D．3．如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，则A．乙比甲先到B．甲比乙先到C．甲和乙同时到D．无法确定考向三旋转通过旋转，图形中的每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．在旋转过程中，图形的形状与大小都没有发生变化．典例3 如图，在ABC △中，65BAC ∠=︒，以点A 为旋转中心，将ABC △绕点A 逆时针旋转，得AB C ''△，连接BB '，若BB'AC ∥，则BAC '∠的大小是A ．15︒B ．25︒C ．35︒D ．45︒【答案】A【解析】∵△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB ′C ′的位置， ∴AB ′=AB ，∠B ′AC ′=∠BAC =65︒， ∴∠AB ′B =∠ABB ′， ∵BB ′∥AC ，∴∠ABB ′=∠CAB =65°， ∴∠AB ′B =∠ABB ′=65°， ∴∠BAB ′=180°–2×65°=50°，∴∠BAC ′=∠B ′AC ′–∠BAB ′=65°–50°=15°， 故选A ．4．五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是A ．36°B ．60°C ．72°D ．90°5．如图将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AED ，若点B 、D 、E 在同一条直线上，∠BAC =20°，则∠ADB的度数为A．55°B．60°C．65°D．70°考向四中心对称识别轴对称图形与中心对称图形：①识别轴对称图形：轴对称图形是一类具有特殊形状的图形，若把一个图形沿某条直线对称，直线两旁的部分能完全重合，则称该图形为轴对称图形．这条直线为它的一条对称轴．轴对称图形有一条或几条对称轴．②中心对称图形识别：看是否存在一点，把图形绕该点旋转180°后能与原图形重合．典例4下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】B【解析】A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误，故选B．6．下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是A．B．C．D．1．下列四个图形中，不是轴对称图形的是A．B．C．D．2．已知点A的坐标为（3，–2），则点A向右平移3个单位后的坐标为A．（0，–2）B．（6，–2）C．（3，1）D．（3，–5）3．下列说法中正确的有①旋转中心到对应点的距离相等；②对称中心是对称点所连线段的中点；③旋转后的两个图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角；④任意一个等边三角形都是中心对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是A．把△ABC向右平移6格B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格C．把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格D．把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格5．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（–2，–2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为A．（1，–1）B．（–1，–1）C．（1，1）D．（–1，1）6．在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为__________．7．将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1=110°，则∠2=__________°．8．如图所示，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于E、F，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD面积的____．9．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°<α<90°）．若∠1=112°，则∠α=__________°．10．△ABC 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示．（1）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于原点O 成中心对称，则点A 1的坐标为__________； （2）将△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，则点B 2的坐标为__________； （3）画出△ABC 绕O 点顺时针方向旋转90°得到的△A 3B 3C 3，并求点C 走过的路径长．11．如图，在ABC △中，D 为BC 上任一点，DE AC ∥交AB 于点E DF AB ，∥交AC 于点F ，求证：点E F ，关于AD 的中点对称．12．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为（1，3），点B坐标为（2，1）；（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出点C'的坐标；（3）判断△ABC的形状．并说明理由．13．如图，已知∠BAC=40°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，使得点B与CA的延长线上的点D重合，连接CE．（1）△ABC旋转了多少度？（2）连接CE，试判断△AEC的形状．（3）若∠ACE=20°，求∠AEC的度数．1．下列四个图形中，可以由下图通过平移得到的是A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，–1），平移线段AB，使点A落在点A1（–2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为A．（–1，–1）B．（1，0）C．（–1，0）D．（3，0）4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为A．30°B．90°C．120°D．180°5．如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．216．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′=1，则A′D等于A．2 B．3 C．4 D．3 27．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为A．4 B．25C．6 D．268．如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，将等边△AOB 绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是__________．9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10 cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6 cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为__________cm．10．如图，在△ABC中，AB=AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为__________．11．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG=CH，直线GH绕点O 逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若∠α=90°，AB=9，AD=3，求AE的长．13．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α=60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．变式拓展1．【答案】A【解析】A．不是轴对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选A．2．【答案】D【解析】A、可以通过轴对称得到，故此选项错误；B、可以通过旋转得到，故此选项错误；C、可以通过轴对称得到，故此选项错误；D、可通过平移得到，故此选项正确；故选D．3．【答案】C【解析】由平移的性质可知，甲、乙两只蚂蚁的行走的路程相同，且两只蚂蚁的速度相同，所以两只蚂蚁同时到达，故选C．4．【答案】C【解析】根据旋转的性质可知，每次旋转的度数可以是360°÷5=72°或72°的倍数．故选C．5．【答案】C【解析】∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED，∴∠BAC=∠DAE=20°，AB=AE，∠BAE=90°，∴∠BEA=45°，∵∠BDA=∠BEA+∠DAE=45°+20°，∴∠BDA=65°.故选C．6．【答案】A【解析】A、是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是旋转变换图形，故本选项错误；D、是旋转变换图形，故本选项错误．1．【答案】C【解析】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选C．2．【答案】B【解析】∵将点A（3，–2）向右平移3个单位所得点的坐标为（6，–2），∴正确答案是B选项.故选B．3．【答案】C【解析】①旋转中心到对应点的距离相等，正确；②对称中心是对称点所连线段的中点，正确；③旋转后的两个图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角，正确；④任意一个等边三角形都是中心对称图形，错误．说法正确的有3个，故选C．4．【答案】D【解析】根据图象，△ABC 绕着点A 逆时针方向90°旋转与△DEF 形状相同，向右平移6格就可以与△DEF 重合．故选D ． 5．【答案】C【解析】菱形OABC 的顶点O （0，0），B （–2，–2）， 得D 点坐标为（022-，022-），即（–1，–1）． 每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60=2700°，2700°÷360°=7.5周， OD 旋转了7周半，菱形的对角线交点D 的坐标为（1，1）； 故选C ． 6．【答案】23-【解析】如图，作AH ⊥CD 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =120°， ∴AB ∥CD ，∴∠D +∠BAD =180°， ∴∠D =60°， ∵AD =AB =2，∴AH =AD ·sin60°3= ∵B ，B ′关于EF 对称， ∴BE =EB ′，当BE 的值最小时，AE 的值最大，根据垂线段最短可知，当EB ′3AH ==时，BE 的值最小， ∴AE 的最大值=23， 故答案为：23． 7．【答案】55【解析】∵1110∠=︒，纸条的两边互相平行，∴3180118011070.∠=︒-∠=︒-︒=︒根据翻折的性质，()()1121803180705522∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒．故答案为：55． 8．【答案】14【解析】根据中心对称图形的性质，得AOE COF △≌△，则阴影部分的面积等于BOC △的面积，为平行四边形ABCD 面积的14．故答案为：14． 9．【答案】22【解析】如图，∵21112∠=∠=︒（对顶角相等），∴336090211268.∠=-⨯︒-=︒︒︒ ∴'906822BAB ∠=-=︒︒︒，∴旋转角'22.BAB α∠=∠=︒故答案为：22．10．【解析】（1）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于原点O 成中心对称，则点A 1的坐标为（2，–3）．（2）将△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，则点B 2的坐标为（3，1）． （3）将△ABC 绕O 点顺时针方向旋转90°，则点C 走过的路径长=90π2180=π．11．【解析】如图，连接EF 交AD 于点O ．DE AC ∥交AB 于E DF AB ，∥交AC 于F ，∴四边形AEDF 是平行四边形， ∴点E F ，关于AD 的中点对称．12．【解析】（1）如图所示：（2）如图所示：'''A B C △即为所求：C '的坐标为()55-，； （3）2221454162091625AB AC BC =+==+==+=，，，∴222AB AC BC +=， ∴ABC △是直角三角形．13．【解析】（1）∵∠BAC =40°，∴∠BAD =140°，∴△ABC 旋转了140°．（2）由旋转的性质可知AC =AE ，∴△AEC 是等腰三角形． （3）由旋转的性质可知，∠CAE =∠BAD =140°，又AC =AE ， ∴∠AEC =（180°–140°）÷2=20°．1．【答案】D【解析】∵只有D 的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到； 故选D ． 2．【答案】B【解析】将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标横坐标增加3，即（5，1）．故选B ． 3．【答案】【解析】由点A （2，1）平移后所得的点A 1的坐标为（–2，2），可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，∴点B 的对应点B 1的坐标为（–1，0）．故选C ． 4．【答案】C【解析】∵360°÷3=120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选C ． 5．【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD =∠ACE =90°，∴∠BAC =90°， 又∵∠B =60°，∴∠ACB =30°，∴BC =2AB =6，∴AD =6，直通中考由折叠可得，∠E =∠D =∠B =60°，∴∠DAE =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴△ADE 的周长为6×3=18，故选C ． 6．【答案】B【解析】∵S △ABC =16.S △A ′EF =9，且AD 为BC 边的中线，∴S △A ′DE =12S △A ′EF =92，S △ABD =12S △ABC =8， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A 'B 'C '，∴A ′E ∥AB ，∴△DA ′E ∽△DAB ， 则2()A'DE ABD S A'D AD S =△△，即299()1816A'D A'D ==+，解得A ′D =3或A ′D =﹣37（舍），故选B ． 7．【答案】D【解析】∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置．∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于20，∴AD =DC =2，∵DE =2，∴Rt △ADE 中，AE =22AD DE +=26，故选D ．8．【答案】（﹣2，﹣23） 【解析】作BH ⊥y 轴于H ，如图，∵△OAB 为等边三角形，∴OH =AH =2，∠BOA =60°，∴BH =3OH =23，∴B 点坐标为（2，23）， ∵等边△AOB 绕点O 顺时针旋转180°得到△A ′OB ′， ∴点B ′的坐标是（﹣2，﹣23）． 故答案为：（﹣2，﹣23）． 9．【答案】10–26【解析】如图，过点A 作AG ⊥DE 于点G ，由旋转知：AD =AE ，∠DAE =90°，∠CAE =∠BAD =15°，∴∠AED =∠ADG =45°，在△AEF 中，∠AFD =∠AED +∠CAE =60°，在Rt △ADG 中，AG =DG =2AD =32， 在Rt △AFG 中，GF =3AG =6，AF =2FG =26，∴CF =AC –AF =10–26， 故答案为：10–26．10．【答案】23–2【解析】根据旋转过程可知：∠CAD =30°=∠CAB ，AC =AD =4．∴∠BCA =∠ACD =∠ADC =75°．∴∠ECD =180°–2×75°=30°．∴∠E =75°–30°=45°．过点C 作CH ⊥AE 于H 点，在Rt △ACH 中，CH =12AC =2，AH =23． ∴HD =AD –AH =4–23．在Rt △CHE 中，∵∠E =45°，∴EH =CH =2．∴DE =EH –HD =2–（4–23）=23–2．故答案为3–2．11．【解析】（1）如下图所示，点A 1的坐标是（–4，1）；（2）如下图所示，点A 2的坐标是（1，–4）；（3）∵点A （4，1），∴OA 221417+=∴线段OA 290(17)⨯π⨯=174π．12．【解析】（1）∵对角线AC的中点为O，∴AO=CO，且AG=CH，∴GO=HO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，CD=AB，CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB，且CO=AO，∠FOC=∠EOA，∴△COF≌△AOE（ASA），∴FO=EO，且GO=HO，∴四边形EHFG是平行四边形；（2）如图，连接CE，∵∠α=90°，∴EF⊥AC，且AO=CO，∴EF是AC的垂直平分线，∴AE=CE，在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2，∴AE2=（9–AE）2+9，∴AE=5．13．【解析】（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°，∵CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=12（180°–30°）=75°，∴∠ADE=90°–75°=15°；（2）如图2，∵点F是边AC中点，∴BF=12 AC，∵∠ACB=30°，∴AB=12AC，∴BF=AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转60得到△DEC，∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB，∴DE=BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE=CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF=BC，∴DF=BE，而BF=DE，∴四边形BEDF是平行四边形．。

旋转、平移、轴对称、中心对称知识点总结轴对称平移旋转中心对称全等定义一个（两个）平面图形沿某条直线对折能够完全重合平面图形在它所在平面上的平行移动。

决定要素：平移的方向、平移的距离一个平面图形绕一定点按一定的方向旋转一定的角度的运动。

一个图形旋转180°能与自身重合能够完全重合的两个图形表示方法：ΔABC≌△DEF 轴对称图形成轴对称中心对称图形成中心对称全等多边形全等三角形对应边对应角一个图形；不止一条对称轴两个图形；只有一条对称轴旋转对称图形：一个图形绕内部某一点旋转一定的角度能与自身重合。

一个图形两个图形图形特征对应角相等，对应边相等①对应点间的连线平行且相等（或在同一条直线上）②对应边平行且相等（或在同一条直线上），对应角相等，图形的形状和大小不改变。

①图形上每一点都绕同一点按相同的方向和角度旋转②对应点到旋转中心的距离相等③对应边相等，对应角相等，图形的性状大小不改变连结对应点的线段必然经过对称中心，并被对称中心平分成相等的两部分。

对应边相等，对应角相等判断方法沿着某条直线对折看是否重合。

找平移的方向和距离：找一组对应点，连线即是他平移的方向和距离找旋转的方向和角度：找一组对应点，与旋转中心连线的夹角①旋转180°能否与自身重合②对应点间的连线是否经过同一点，并被这一点平分各边对应相等各角对应相等找对称轴：①找一组对应点连线，做其垂直平分线。

②找两组对应点连线，过两条中点的直线找对称中心：①找一组对应点连线找其中点②两组对应点连线的交点画法①找关键点②过每个关键点做对称轴的垂线截取与之相等的距离，标出对应点③连接对应点。

①找关键点②过每个关键点做平移方向的平行线截取与之相等的距离，标出对应点③连接对应点。

①找关键点②连接关键点与旋转中心，将这条线段按方向和角度旋转，标出对应点③连接对应点。

①找关键点②连接关键点与对称中心，延长并截取相等的长度，标出对应点③连接对应点。

初中数学图形的平移，对称与旋转的技巧及练习题附答案解析(1)一、选择题1．直角坐标系内，点P(－2,3)关于原点的对称点Q的坐标为（）A．（2，－3）B．（2,3）C．（－2,3）D．（－2，－3）【答案】A【解析】试题解析：根据中心对称的性质，得点P（-2，3）关于原点对称点P′的坐标是（2，-3）．故选A．点睛：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）．2．在平行四边形、菱形、矩形、正方形这四种图形中，是轴对称图形的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：平行四边形不是轴对称图形，菱形、矩形、正方形都是轴对称图形．故选：C．【点睛】本题考查轴对称图形的概念，解题关键是寻找轴对称图形的对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3．下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】试题解析：选项A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该该选项错误；选项B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项错误；选项C 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项正确；选项D是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项错误.故选C.【详解】请在此输入详解！4．如图，周长为16的菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，AE ＝1，AF ＝3，P 为BD 上一动点，则线段EP ＋FP 的长最短为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】试题分析：在DC 上截取DG=FD=AD ﹣AF=4﹣3=1，连接EG ，则EG 与BD 的交点就是P ．EG 的长就是EP+FP 的最小值，据此即可求解．解：在DC 上截取DG=FD=AD ﹣AF=4﹣3=1，连接EG ，则EG 与BD 的交点就是P ． ∵AE=DG ，且AE ∥DG ，∴四边形ADGE 是平行四边形，∴EG=AD=4．故选B ．5．已知点P （a +1，12a -+）关于原点的对称点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】试题分析：∵P （1a +，12a -+）关于原点对称的点在第四象限，∴P 点在第二象限，∴10a +<，102a -+>，解得：1a <-，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是．故选C ．考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组；3．关于原点对称的点的6．下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断即可求解．【详解】解：第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；第二、三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形，第四个图形不是轴对称图形，不是中心对称图形；故选：B．【点睛】此题考查中心对称图形，轴对称图形，解题关键在于对概念的掌握Y的顶点O，A，C的坐标分别为(0,0)，(4,0)，(1,3)，则顶点B 7．如图，若OABC的坐标为（）A．(4,1)B．(5,3)C．(4,3)D．(5,4)【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B的坐标.【详解】解：∵四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，OA∥BC，∴点B的纵坐标为3，∵点O向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点C，∴点A向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点B，∴点B的坐标为：（5，3）；故选：B.本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题.8．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A ．平行四边形B ．圆C ．等边三角形D ．正六边形 【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义依次判断各项即可解答.【详解】选项A 、平行四边形是中心对称图形；选项B 、圆是中心对称图形；选项C 、等边三角形不是中心对称图形；选项D 、正六边形是中心对称图形；故选C ．【点睛】本题考查了中心对称图形的判定，熟知中心对称图形的定义是解决问题的关键.9．如图，ABC ∆是O e 的内接三角形，45A ∠=︒，1BC =，把ABC ∆绕圆心O 按逆时针方向旋转90︒得到DEB ∆，点A 的对应点为点D ，则点A ，D 之间的距离是（）A ．1B 2C 3D ．2【答案】A【解析】【分析】 连接AD ，构造△ADB ，由同弧所对应的圆周角相等和旋转的性质，证△ADB 和△DBE 全等，从而得到AD=BE=BC=1.【详解】如图，连接AD ，AO ，DO∵ABC ∆绕圆心O 按逆时针方向旋转90︒得到DEB ∆，∴AB=DE ，90AOD ∠=︒，45CAB BDE ∠=∠=︒ ∴1452ABD AOD ∠=∠=︒（同弧所对应的圆周角等于圆心角的一半）， 即45ABD EDB ∠=∠=︒，又∵DB=BD ，∴DAB BED ∠=∠（同弧所对应的圆周角相等），在△ADB 和△DBE 中 ABD EDB AB EDDAB BED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADB ≌△EBD （ASA ）,∴AD=EB=BC=1.故答案为A.【点睛】本题主要考查圆周角、圆中的计算问题以及勾股定理的运用；顶点在圆上，两边都与圆相交的角角圆周角；掌握三角形全等的判定是解题的关键.10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝9，点D 在边AB 上，且BD ＝5将线段BD 沿着BC 的方向平移得到线段EF ，若平移的距离为6时点F 恰好落在AC 边上，则△CEF 的周长为（ ）A ．26B ．20C ．15D ．13【答案】D【解析】【分析】 直接利用平移的性质得出EF ＝DB ＝5，进而得出CF ＝EF ＝5，进而求出答案．【详解】解：∵将线段BD 沿着BC 的方向平移得到线段EF ，∴EF ＝DB ＝5，BE ＝6，∵AB ＝AC ，BC ＝9，∴∠B ＝∠C ，EC ＝3，∴∠B ＝∠FEC ，∴CF ＝EF ＝5，∴△EBF 的周长为：5+5+3＝13．故选D ．【点睛】本题考查了平移的性质，根据题意得出CF 的长是解题关键．11．对于图形的全等，下列叙述不正确的是（ ）A ．一个图形经过旋转后得到的图形，与原来的图形全等B ．一个图形经过中心对称后得到的图形，与原来的图形全等C ．一个图形放大后得到的图形，与原来的图形全等D ．一个图形经过轴对称后得到的图形，与原来的图形全等【答案】C【解析】A. 一个图形经过旋转后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意；B. 一个图形经过中心对称后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意；C. 一个图形放大后得到的图形，与原来的图形不全等，故错误，符合题意；D. 一个图形经过轴对称后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意， 故选C.【点睛】本题考查了对全等图形的认识，解题的关键是要明确通过旋转、轴对称、平移等都可以得到与原图形全等的图形，而通过放大或缩小只能得到与原图形形状一样的图形，得不到全等图形.12．如图，将ABC V 沿BC 方向平移1个单位长度后得到DEF V ，若ABC V 的周长等于9，则四边形ABFD 的周长等于( )A ．13B ．12C ．11D ．10【答案】C【解析】【分析】先利用平移的性质求出AD、CF，进而完成解答．【详解】解：将△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，∴AD=CF=1，AC=DF，又∵△ABC的周长等于9，∴四边形ABFD的周长等于9+1+1=11．故答案为C．【点睛】本题主要考查了平移的性质，通过平移确定AD=CF=1是解答本题的关键．13．如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，再把以AB的中点O为顶点的平角三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三AOB角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是()A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【答案】D【解析】【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【详解】由第二个图形可知：∠AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角，那么所剪出的平面图形是360°÷60°=6边形．故选D．【点睛】本题考查了剪纸问题以及培养学生的动手能力及空间想象能力，此类问题动手操作是解题的关键．14．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.故选B.15．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD＝5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A13B5C．22D．4【答案】A【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3，由勾股定理得：AD113故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理.16．如图，在▱ABCD中，E为边AD上的一点，将△DEC沿CE折叠至△D′EC处，若∠B＝48°，∠ECD＝25°，则∠D′EA的度数为（）A ．33°B ．34°C ．35°D ．36°【答案】B【解析】【分析】 由平行四边形的性质可得∠D ＝∠B ，由折叠的性质可得∠D '＝∠D ，根据三角形的内角和定理可得∠DEC ，即为∠D 'EC ，而∠AEC 易求，进而可得∠D 'EA 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D ＝∠B ＝48°，由折叠的性质得：∠D '＝∠D ＝48°，∠D 'EC ＝∠DEC ＝180°﹣∠D ﹣∠ECD ＝107°， ∴∠AEC =180°﹣∠DEC =180°﹣107°＝73°，∴∠D 'EA ＝∠D 'EC ﹣∠AEC ＝107°﹣73°=34°.故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．17．如图，在ABC ∆中，2AB =，=3.6BC ，=60B ∠o ，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转度得到ADE ∆，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为（ ）A ．1.6B ．1.8C ．2D ．2.6【答案】A【解析】【分析】 由将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，可得AD=AB ，又由∠B=60°，可证得△ABD 是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．【详解】由旋转的性质可知，AD AB =，∵60B ∠=o ，AD AB =，∴ADB ∆为等边三角形，∴2BD AB ==，∴ 1.6CD CB BD =-=，故选：A ．【点睛】此题考查旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB18．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.图1 图2有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形②图1中，点A 到BC 上任意一点的距离都相等③图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ 【答案】B【解析】【分析】逐一对选项进行分析即可.【详解】①勒洛三角形不是中心对称图形，故①错误；②图1中，点A 到BC 上任意一点的距离都相等，故②正确；③图2中，设圆的半径为r∴勒洛三角形的周长=12032180r r ππ⨯=g g 圆的周长为2r π∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确；④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④错误故选B【点睛】本题主要考查中心对称图形，弧长公式等，掌握中心对称图形和弧长公式是解题的关键.19．等腰三角形、直角三角形、等边三角形、锐角三角形、钝角三角形和等腰直角三角形中，一定是轴对称图形的有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．2个【答案】A【解析】等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形都是轴对称图形，是轴对称图形的有3个.故选：A.20．在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选A．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．。

初中数学图形的平移，对称与旋转的知识点总复习附解析一、选择题1．如图，在ABC V 中，60,3,5,B AB BC ∠=︒==将ABC V 绕点A 顺时针方向旋转得到,ADE V 当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为（ ）A ．3B ．2.5C ．2D ．1【答案】C【解析】【分析】 由旋转得到AD=AB ，由此证明△ADB 是等边三角形，得到BD=AB=3，即可求出CD.【详解】由旋转得AD=AB ，∵60B ∠=︒，∴△ADB 是等边三角形，∴BD=AB=3，∴CD=BC-BD=5-3=2，故选：C.【点睛】此题考查旋转的性质，等边三角形的判定及性质，根据旋转得到AD=AB 是解题的关键，由此得到等边三角形进行求解.2．在平面直角坐标系中，把点(5,2)P -先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是（ ）A ．(8,4)-B ．(8,0)-C ．(2,4)-D ．(2,0)-【答案】A【解析】【分析】根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，可得答案．【详解】∵点P （-5，2），∴先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是（-5-3，2+2），即（-8，4），故选：A ．【点睛】此题考查坐标与图形的变化，解题关键是掌握点的坐标的变化规律．3．已知点P （a +1，12a -+）关于原点的对称点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】试题分析：∵P （1a +，12a -+）关于原点对称的点在第四象限，∴P 点在第二象限，∴10a +<，102a -+>，解得：1a <-，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是．故选C ．考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组；3．关于原点对称的点的坐标．4．已知点A 的坐标为（1，3），点B 的坐标为（2，1）．将线段AB 沿某一方向平移后，点A 的对应点的坐标为（﹣2，1）．则点B 的对应点的坐标为（ ）A ．（5，3）B ．（﹣1，﹣2）C ．（﹣1，﹣1）D ．（0，﹣1）【答案】C【解析】【分析】根据点A 、点A 的对应点的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B 的对应点的坐标即可．【详解】∵A （1，3）的对应点的坐标为（﹣2，1），∴平移规律为横坐标减3，纵坐标减2，∵点B （2，1）的对应点的坐标为（﹣1，﹣1），故选C ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键．5．如图，O 是AC 的中点，将面积为216cm 的菱形ABCD 沿AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．28cmB ．26cmC ．24cmD ．22cm【答案】C【解析】【分析】 根据题意得，▱ABCD ∽▱OECF ，且AO=OC=12AC ，故四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积的14【详解】解：如图，由平移的性质得，▱ABCD ∽▱OECF ，且AO=OC=12AC 故四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积14即图中阴影部分的面积为4cm 2．故选：C【点睛】 此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用．关键是 应用相似多边形的性质解答问题.6．已知点P 的坐标为（a ，b ）（a ＞0），点Q 的坐标为（c ，3），且|a ﹣7b -，将线段PQ 向右平移a 个单位长度，其扫过的面积为20，那么a+b+c 的值为（ ） A ．12B ．15C ．17D ．20【答案】C【解析】【分析】由非负数的性质得到a=c，b=7，P（a，7），故有PQ∥y轴，PQ=7-3=4，由于其扫过的图形是矩形可求得a，代入即可求得结论．【详解】b =0，∵且|a-c|++7∴a=c，b=7，∴P（a，7），PQ∥y轴，∴PQ=7-3=4，∴将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的图形是边长为a和4的矩形，∴4a=20，∴a=5，∴c=5，∴a+b+c=5+7+5=17，故选C.【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标的平移，矩形的性质，能根据点的坐标判断出PQ∥y 轴，进而求得PQ是解题的关键．7．下面是同学们利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解．【详解】A、是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；故选A．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．8．在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选A ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9．如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A=60°，点E 在BC 边上，将菱形纸片ABCD 沿DE 折叠，点C 落在AB 边的垂直平分线上的点C′处，则∠DEC 的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【答案】D【解析】【分析】 连接BD ，由菱形的性质及60A ∠=︒，得到ABD △为等边三角形，P 为AB 的中点，利用三线合一得到DP 为角平分线，得到30ADP ∠=︒，120ADC =∠︒，60C ∠=°，进而求出90PDC ∠=︒，由折叠的性质得到45CDE PDE ∠=∠=︒，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．【详解】解：连接BD ，如图所示：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，∵60A ∠=︒，∴ABD △为等边三角形，120ADC =∠︒，60C ∠=°，∵P 为AB 的中点，∴DP 为ADB ∠的平分线，即30ADP BDP ∠=∠=︒，∴90PDC ∠=︒，∴由折叠的性质得到45CDE PDE ∠=∠=︒，在DEC V 中，()18075DEC CDE C ∠=︒-∠+∠=︒．故选：D【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．10．如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（ ）A ．66°B ．104°C ．114°D ．124°【答案】C【解析】【分析】 根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC =∠ACD =∠B′AC =12∠1，再根据三角形内角和定理可得.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ACD =∠BAC ，由折叠的性质得：∠BAC =∠B′AC ，∴∠BAC =∠ACD =∠B′AC =12∠1=22° ∴∠B =180°-∠2-∠BAC =180°-44°-22°=114°；故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．11．已知互不平行的两条线段AB，CD关于直线l对称，AB，CD所在直线交于点P，下列结论中：①AB=CD；②点P在直线l上；③若A、C是对称点，则l垂直平分线段AC；④若B、D是对称点，则PB=PD.其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】【详解】由轴对称的性质知，①②③④都正确.故选D.12．如图所示，共有3个方格块，现在要把上面的方格块与下面的两个方格块合成一个长方形的整体，则应将上面的方格块()A．向右平移1格，向下3格B．向右平移1格，向下4格C．向右平移2格，向下4格D．向右平移2格，向下3格【答案】C【解析】分析：找到两个图案的最右边移动到一条直线，最下边移动到一条直线上的距离即可．解答：解：上面的图案的最右边需向右平移2格才能与下面图案的最右边在一条直线上，最下边需向下平移4格才能与下面图案的最下面重合，故选C．13．如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，再把以AB的中点O为顶点的平角三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三AOB角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是()A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【答案】D【解析】【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【详解】由第二个图形可知：∠AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角，那么所剪出的平面图形是360°÷60°=6边形．故选D．【点睛】本题考查了剪纸问题以及培养学生的动手能力及空间想象能力，此类问题动手操作是解题的关键．14．点M(﹣2，1)关于y轴的对称点N的坐标是( )A．(﹣2，﹣1) B．(2，1) C．(2，﹣1) D．(1，﹣2)【答案】B【解析】【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．【详解】点M（-2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（2，1）．故选B．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴AB=22=5，34作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD=AB，∴AE=AE′，∵F是BC的中点，∴E′F=AB=5．故选C．16．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A．32B．5 C．4 D31【答案】B【解析】【分析】【详解】由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°，若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°－∠ACO －∠CAO=90°．在等腰Rt △ABC 中，AB=6，则AC=BC=32．同理可求得：AO=OC=3．在Rt △AOD1中，OA=3，OD 1=CD 1－OC=4，由勾股定理得：AD 1=5．故选B ．17．如图，平面直角坐标系中，已知点B (3,2)-，若将△ABO 绕点O 沿顺时针方向旋转90°后得到△A 1B 1O ，则点B 的对应点B 1的坐标是( )A ．（3，1）B ．（3，2）C ．（1，3）D ．（2，3）【答案】D【解析】【分析】 根据网格结构作出旋转后的图形，然后根据平面直角坐标系写出点B 1的坐标即可．【详解】解：△A 1B 1O 如图所示，点B 1的坐标是（2，3）．故选D ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化，熟练掌握网格结构，作出图形是解题的关键．18．如图，在ABC ∆中，90,2,4C AC BC ∠=︒==，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒，使点C 落在点E 处，点B 落在点D 处，则B E 、两点间的距离为（ ）A．10B．22C．3D．25【答案】B【解析】【分析】延长BE和CA交于点F，根据旋转的性质可知∠CAE=90︒，证明∠BAE=∠ABC，即可证得AE∥BC，得出2142EF AF AEFB FC BC====，即可求出BE．【详解】延长BE和CA交于点F∵ABC∆绕点A逆时针旋转90︒得到△AED ∴∠CAE=90︒∴∠CAB+∠BAE=90︒又∵∠CAB+∠ABC=90︒∴∠BAE=∠ABC∴AE∥BC∴2142 EF AF AEFB FC BC====∴AF=AC=2，FC=4∴BF=42∴BE=EF=12BF=22故选：B【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质．19．下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】A. 此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A 选项错误；B. 此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B 选项错误；C. 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D 选项错误．D. 此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C 选项正确；故选D.20．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转110o ，得到ADE V ，若点D 在线段BC 的延长线上，则ADE ∠的大小为( )A ．55oB ．50oC ．45oD ．35o【答案】D【解析】【分析】根据旋转的性质可得AB AD =，BAD 110∠=o ，ADE ABC ∠∠=，根据等腰三角形的性质可得ABC ADE 35∠∠==o ．【详解】如图，连接CD ，Q 将ABC V 绕点A 逆时针旋转110o ，得到ADE V ，AB AD ∴=，BAD 110∠=o ，ADE ABC ∠∠=，∴∠ABC=∠ADB=（180°-∠BAD ）÷2=35°，∴∠ADE=ABC 35∠=o ，故选D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是解本题的关键．。

旋转、平移、轴对称、中心对称知识点总结轴对称平移旋转中心对称全等定义一个（两个）平面图形沿某条直线对折能够完全重合平面图形在它所在平面上的平行移动。

决定要素：平移的方向、平移的距离一个平面图形绕一定点按一定的方向旋转一定的角度的运动。

一个图形旋转180°能与自身重合能够完全重合的两个图形表示方法：ΔABC≌△DEF 轴对称图形成轴对称中心对称图形成中心对称全等多边形全等三角形对应边对应角一个图形；不止一条对称轴两个图形；只有一条对称轴旋转对称图形：一个图形绕内部某一点旋转一定的角度能与自身重合。

一个图形两个图形图形特征对应角相等，对应边相等①对应点间的连线平行且相等（或在同一条直线上）②对应边平行且相等（或在同一条直线上），对应角相等，图形的形状和大小不改变。

①图形上每一点都绕同一点按相同的方向和角度旋转②对应点到旋转中心的距离相等③对应边相等，对应角相等，图形的性状大小不改变连结对应点的线段必然经过对称中心，并被对称中心平分成相等的两部分。

对应边相等，对应角相等判断方法沿着某条直线对折看是否重合。

找平移的方向和距离：找一组对应点，连线即是他平移的方向和距离找旋转的方向和角度：找一组对应点，与旋转中心连线的夹角①旋转180°能否与自身重合②对应点间的连线是否经过同一点，并被这一点平分各边对应相等各角对应相等找对称轴：①找一组对应点连线，做其垂直平分线。

②找两组对应点连线，过两条中点的直线找对称中心：①找一组对应点连线找其中点②两组对应点连线的交点画法①找关键点②过每个关键点做对称轴的垂线截取与之相等的距离，标出对应点③连接对应点。

①找关键点②过每个关键点做平移方向的平行线截取与之相等的距离，标出对应点③连接对应点。

①找关键点②连接关键点与旋转中心，将这条线段按方向和角度旋转，标出对应点③连接对应点。

①找关键点②连接关键点与对称中心，延长并截取相等的长度，标出对应点③连接对应点。

初二数学图形的对称平移与旋转试题答案及解析1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标（，）；（2）将△ABC的三个顶点的横、纵坐标都乘以－1，分别得到对应点A2、B2、C2，画出△A2B2C2，则△ABC和△A2B2C2关于对称；（3）将△ABC在网格中平移，使点B的对应点B3坐标为（－6，1），画出△A3B3C3.【答案】(1) 5，﹣3; (2)画图见解析，原点；（3）画图见解析.【解析】（1）根据题意得出各对应点坐标进而求出即可；（2）利用已知得出各对应点坐标进而求出即可；（3）利用平移规律得出各对应点平移距离，进而求出即可．试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为；（5，﹣3）；（2）如图所示：△A2B2C2即为所求，△ABC和△A2B2C2关于原点对称；（3）如图所示：△A3B3C3即为所求．【考点】1.作图-旋转变换；2.作图-轴对称变换；3.作图-平移变换．2.如图，有四块全等的直角三角形纸片，直角边长分别是1，2，请利用这四块纸片按下列要求在6×6方格纸中各拼一个图形（四块纸片都要用上，无缝隙且无重叠部分），直角顶点在格点上．（1）图甲中作出是轴对称图形而不是中心对称图形；（2）图乙中作出是中心对称图形而不是轴对称图形；（3）图丙中作出既是轴对称图形又是中心对称图形．【答案】【解析】理解轴对称中心对称的概念把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称.把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称 .根据其特征画出相应图形即可.【考点】1.轴对称；2.中心对称3.在图中，画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1，写出△ABC关于轴对称的△A2B2C2的各点坐标.【答案】画图见解析，A2（-3，-2），B2（-4，3），C2（-1，1）．【解析】利用轴对称性质，作出A、B、C关于x轴的对称点，顺次连接各点，即得到关于y轴对称的△A1B1C1；利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接各点，即得到关于x轴对称的△A2B2C2；然后根据图形写出坐标即可．试题解析：△ABC的各顶点的坐标分别为：A（-3，2），B（-4，-3），C（-1，-1）；所画图形如下所示，其中△A2B2C2的各点坐标分别为：A2（-3，-2），B2（-4，3），C2（-1，1）．【考点】作图-轴对称变换．4.如图所示，已知O是∠APB内的一点，点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，MN与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN=5cm，则△OEF的周长为 .【答案】5cm．【解析】∵O是∠APB内的一点，点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，∴OE=ME，OF=NF，∵MN=5cm，∴△OEF的周长为：OE+EF+OF=ME+EF+NF=MN=5（cm）．故答案为：5cm．【考点】轴对称的性质．5.在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？【答案】（1）作图见试题解析；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平移的性质结合图形解答．试题解析：（1）△A1B1C1如图所示；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．【考点】1．作图-轴对称变换；2．作图-平移变换．6.下列图形是四家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是（）【答案】C.【解析】根据轴对称图形的定义，沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，选项A、B、D中的图形无论怎么折叠，都不能使左右两部重合，只有选项C符合题意，选项C可左右对折或上下对折都能使直线两旁的部分重合，故选C.【考点】轴对称图形的定义.7.一个汽车牌在水中的倒影为，则该车牌照号码___________.【答案】【解析】本题是轴对称中的镜面对称问题，水面相当于一个平面镜，因为镜面对称的性质是在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称。

第七单元图形与变换第24讲平移、对称、旋转与位似中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm【答案】B【解析】根据作法可知MN是AC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可得答案.【详解】解：根据作法可知MN是AC的垂直平分线，∴DE垂直平分线段AC，∴DA=DC，AE=EC=6cm，∵AB+AD+BD=13cm，∴AB+BD+DC=13cm，∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，故选B．【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．2．如图，小明为了测量河宽AB，先在BA延长线上取一点D，再在同岸取一点C，测得∠CAD=60°，∠BCA=30°，AC=15 m，那么河AB宽为（）A．15 m B．53m C．103m D．123m【答案】A【解析】过C作CE⊥AB，Rt△ACE中，∵∠CAD=60°，AC=15m，∴∠ACE=30°，AE=12AC=12×15=7.5m，CE=AC•cos30°=15×32=1532，∵∠BAC=30°，∠ACE=30°，∴∠BCE=60°，∴BE=CE•tan60°=1532×3=22.5m，∴AB=BE﹣AE=22.5﹣7.5=15m，故选A．【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是构建直角三角形，解直角三角形求出答案．3．如图，AB是⊙O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC 与△BDA相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( )A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD·AB＝CD·BD D．AD2＝BD·CD【答案】D【解析】解：∵∠ADC=∠ADB，∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故A选项正确；∵AD=DE，∴AD DE，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，∴故B选项正确；∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故C选项正确；∵CD•AB=AC•BD，∴CD：AC=BD：AB，但∠ACD=∠ABD不是对应夹角，故D选项错误，故选：D．考点：1．圆周角定理2．相似三角形的判定4．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由（1）得x＞-1，由（2）得x≤1，所以-1＜x≤1．故选B．5．下列计算正确的是（）A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 B．（a+1）（a﹣2）＝a2+a﹣2 C．（a+b）2＝a2+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【答案】D【解析】A、原式=a2﹣4，不符合题意；B、原式=a2﹣a﹣2，不符合题意；C、原式=a2+b2+2ab，不符合题意；D、原式=a2﹣2ab+b2，符合题意，故选D6．如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是( )A．121x yx y-=⎧⎨-=⎩B．121x yx y-=-⎧⎨-=-⎩C．121x yx y-=-⎧⎨-=⎩D．121x yx y-=⎧⎨-=-⎩【答案】C【解析】两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．【详解】直线l1经过（2，3）、（0，-1），易知其函数解析式为y=2x-1；直线l2经过（2，3）、（0，1），易知其函数解析式为y=x+1；因此以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是：1 21 x yx y-=-⎧⎨-=⎩．故选C．【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．7．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依次规律，第7个图形的小圆个数是()A．56 B．58 C．63 D．72【答案】B【解析】试题分析：第一个图形的小圆数量=1×2+2=4；第二个图形的小圆数量=2×3+2=8；第三个图形的小圆数量=3×4+2=14；则第n个图形的小圆数量=n(n+1)+2个，则第七个图形的小圆数量=7×8+2=58个. 考点：规律题8．计算6m3÷(－3m2)的结果是()A．－3m B．－2m C．2m D．3m【答案】B【解析】根据单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式计算，然后选取答案即可．【详解】6m3÷（﹣3m2）=[6÷（﹣3）]（m3÷m2）=﹣2m．故选B.9．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于（）A．2 B．3 C． 4 D．6 【答案】B【解析】作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，∴BD∥CE，∴CE AE AC BD AD AB==，∵OC是△OAB的中线，∴12 CE AE ACBD AD AB===，设CE=x，则BD=2x，∴C的横坐标为2x，B的横坐标为1x，∴OD=1x，OE=2x，∴DE=OE-OD=2x﹣1x=1x，∴AE=DE=1x，∴OA=OE+AE=213x x x +=，∴S△OAB=12OA•BD=12×32xx⨯=1．故选B.点睛：本题是反比例函数与几何的综合题，熟知反比例函数的图象上点的特征和相似三角形的判定和性质是解题的关键.10．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1＋∠2的度数为（）A．90°B．120°C．270°D．360°【答案】B【解析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．【详解】∵图中是三个等边三角形，∠3=60°，∴∠ABC=180°-60°-60°=60°，∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2，∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴60°+（120°-∠2）+（120°-∠1）=180°，∴∠1+∠2=120°．故选B.【点睛】考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件_____．【答案】AC=BD．【解析】试题分析：添加的条件应为：AC=BD，把AC=BD作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又EH等于BD的一半且AC=BD，所以得到所证四边形的邻边EH与HG相等，所以四边形EFGH为菱形．试题解析：添加的条件应为：AC=BD．证明：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG=12AC；同理EF∥AC且EF=12AC，同理可得EH=12 BD，则HG∥EF且HG=EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD，所以EF=EH，∴四边形EFGH为菱形．考点：1．菱形的性质；2．三角形中位线定理．12．一个扇形的弧长是83π，它的面积是163π，这个扇形的圆心角度数是_____．【答案】120°【解析】设扇形的半径为r，圆心角为n°．利用扇形面积公式求出r，再利用弧长公式求出圆心角即可．【详解】设扇形的半径为r，圆心角为n°．由题意：1816··233rππ=,∴r＝4，∴2416 3603 nππ=∴n＝120，故答案为120°【点睛】本题考查扇形的面积的计算，弧长公式等知识，解题的关键是掌握基本知识.13．如图，点A，B，C在⊙O上，∠OBC=18°，则∠A=_______________________．【答案】72°．【解析】解：∵OB=OC，∠OBC=18°，∴∠BCO=∠OBC=18°，∴∠BOC=180°﹣2∠OBC=180°﹣2×18°=144°，∴∠A=12∠BOC=12×144°=72°．故答案为72°．【点睛】本题考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是本题的解题关键．14．已知关于x，y的二元一次方程组2321x y kx y+=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数，则k的值是_________．【答案】－1【解析】∵关于x，y的二元一次方程组23{+2=1①②+=-x y kx y的解互为相反数，∴x=-y③，把③代入②得：-y+2y=-1，解得y=-1，所以x=1，把x=1，y=-1代入①得2-3=k，即k=-1.故答案为-115．分解因式：3ax2﹣3ay2＝_____．【答案】3a（x＋y）（x－y）【解析】解：3ax2-3ay2=3a（x2-y2）=3a（x+y）（x-y）．【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为__________步．【答案】2000 3【解析】分析：由正方形的性质得到∠EDG=90°，从而∠KDC+∠HDA=90°，再由∠C+∠KDC=90°，得到∠C=∠HDA，即有△CKD∽△DHA，由相似三角形的性质得到CK：KD=HD：HA，求解即可得到结论．详解：∵DEFG是正方形，∴∠EDG=90°，∴∠KDC+∠HDA=90°．∵∠C+∠KDC=90°，∴∠C=∠HDA．∵∠CKD=∠DHA=90°，∴△CKD∽△DHA，∴CK：KD=HD：HA，∴CK：100=100：15，解得：CK=20003．故答案为：20003．点睛：本题考查了相似三角形的应用．解题的关键是证明△CKD∽△DHA．17．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝12x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为_____．【答案】6161）【解析】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是1或-1．将P的纵坐标代入函数解析式，求P点坐标即可【详解】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是1或-1．当y=1时，12x1-1=1，解得x=±6当y=-1时，12x1-1=-1，方程无解故P点的坐标为（62，）或（-62，）【点睛】此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键．18．若a，b互为相反数，则a2﹣b2=_____．【答案】1【解析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．【详解】∵a，b互为相反数，∴a+b=1，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，故答案为1．【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？【答案】10，1．【解析】试题分析：可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程求出边长的值．试题解析：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得化简，得，解得：当时，（舍去），当时，，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为1m．考点：一元二次方程的应用题．20．先化简22442x x x x -+-÷(x-4x),然后从-5<x<5的范围内选取一个合适的正整数作为x 的值代入求值. 【答案】当x=－1时，原式=1=11+2-； 当x=1时，原式=11=1+23【解析】先将括号外的分式进行因式分解，再把括号内的分式通分，然后按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．【详解】原式=22(2)4(2)x x x x x--÷- =()2(2)•(2)2(2)x x x x x x --+- =12x + ∵-5＜x ＜5，且x 为整数，∴若使分式有意义，x 只能取-1和1当x=1时，原式=13．或：当x=-1时，原式=1 21．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D ，E 在BC 边上，AD AE =．求证：BD CE =．【答案】见解析【解析】试题分析：证明△ABE ≌△ACD 即可.试题解析：法1：∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵AD=CE,∴∠ADE=∠AED,∴△ABE ≌△ACD,∴BE=CD ,∴BD=CE,法2：如图，作AF ⊥BC 于F,∵AB=AC,∴BF=CF,∵AD=AE,∴DF=EF,∴BF －DF=CF －EF,即BD=CE.22．如果a 2+2a-1=0，求代数式24()2a a a a -⋅-的值. 【答案】1【解析】221a a +=2224422a a a a a a a a -⎛⎫-⋅= ⎪--⎝⎭=()()()()2222222a a a a a a a a a +-=+=+-=1. 故答案为1.23．某汽车厂计划半年内每月生产汽车20辆，由于另有任务，每月上班人数不一定相等，实每月生产量与计划量相比情况如下表（增加为正，减少为负）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？半年内总生产量是多少？比计划多了还是少了，增加或减少多少？【答案】（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产9辆；（2）半年内总生产量是121辆．比计划多了1辆.【解析】（1）由表格可知，四月生产最多为：20+4=24；六月最少为：20-5=15，两者相减即可求解； （2）把每月的生产量加起来即可，然后与计划相比较.【详解】（1）+4－（－5）=9（辆）答：生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产9辆.（2）20×6+［+3+(－2)+(－1)+(+4)+(+2)+(－5)］=120+(+1)=121（辆），因为121＞120 121-120=1（辆）答：半年内总生产量是121辆．比计划多了1辆.【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，此题主要考查有理数的加减运算法则．24．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如表：x/元… 15 20 25 … y/件 … 25 20 15 …已知日销售量y 是销售价x 的一次函数．求日销售量y （件）与每件产品的销售价x （元）之间的函数表达式；当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？【答案】（1）40y x =-+；（2）此时每天利润为125元．【解析】试题分析：（1） 根据题意用待定系数法即可得解；（2）把x=35代入（1）中的解析式，得到销量，然后再乘以每件的利润即可得.试题解析：（1）设y kx b =+，将15x =，25y =和20x =，20y =代入，得：25152020k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：140k b =-⎧⎨=⎩， ∴40y x =-+；（2）将35x =代入（1）中函数表达式得：35405y =-+=，∴利润()35105125=-⨯=（元），答：此时每天利润为125元．25．现在，某商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物．顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果某商场还能盈利25%，这台冰箱的进价是多少元？【答案】（1）当顾客消费等于1500元时买卡与不买卡花钱相等；当顾客消费大于1500元时买卡合算；（2）小张买卡合算，能节省400元钱；（3）这台冰箱的进价是2480元．【解析】（1）设顾客购买x 元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等，根据花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物，列出方程，解方程即可；根据x 的值说明在什么情况下购物合算 （2）根据（1）中所求即可得出怎样购买合算，以及节省的钱数；（3）设进价为y 元，根据售价-进价=利润，则可得出方程即可．【详解】解：设顾客购买x 元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等．根据题意，得300+0.8x ＝x ，解得x ＝1500，所以当顾客消费等于1500元时，买卡与不买卡花钱相等；当顾客消费少于1500元时，300+0.8x >x 不买卡合算；当顾客消费大于1500元时，300+0.8x <x 买卡合算；（2）小张买卡合算，3500﹣（300+3500×0.8）＝400，所以，小张能节省400元钱；（3）设进价为y 元，根据题意，得（300+3500×0.8）﹣y ＝25%y ， 解得 y ＝2480答：这台冰箱的进价是2480元．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 26．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？【答案】（1）y=﹣20x+1600；（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元；（3）超市每天至少销售粽子440盒．【解析】试题分析：（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；（3）先由（2）中所求得的P 与x 的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x 的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式即可求解．试题解析：（1）由题意得，y =70020(45)x --=201600x -+；（2）P=(40)(201600)x x --+=220240064000x x -+-=220(60)8000x --+，∵x≥45，a=﹣20＜0，∴当x=60时，P 最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元；（3）由题意，得220(60)8000x --+=6000，解得150x =，270x =，∵抛物线P=220(60)8000x --+的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润，又∵x≤58，∴50≤x≤58，∵在201600y x =-+中，20k =-＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x=58时，y 最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒．考点：二次函数的应用．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC=30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD=BA ，则tan ∠DAC 的值为（ ）A ．2+3B ．23C ．3+3D ．33【答案】A 【解析】设AC=a ，由特殊角的三角函数值分别表示出BC 、AB 的长度，进而得出BD 、CD 的长度，由公式求出tan ∠DAC 的值即可.【详解】设AC=a ，则BC=30AC tan ︒=3a ，AB=30AC sin ︒=2a ， ∴BD=BA=2a ，∴CD=（2+3）a ，∴tan ∠DAC=2+3.故选A.【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值.2．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC 和BD 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC ，OB=3OD ），然后张开两脚，使A ，B 两个尖端分别在线段a 的两个端点上，当CD=1.8cm 时，则AB 的长为（ ）A ．7.2 cmB ．5.4 cmC ．3.6 cmD ．0.6 cm【答案】B 【解析】由已知可证△ABO ∽CDO,故CD OC AB OA = ,即1.813AB =. 【详解】由已知可得，△ABO ∽CDO,所以，CD OC AB OA= ,所以，1.813 AB=，所以，AB=5.4故选B【点睛】本题考核知识点：相似三角形. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.3．如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A．28cm2B．27cm2C．21cm2D．20cm2【答案】B【解析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．【详解】解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC∽矩形FDCE，则AB BD DF DC=设DF=xcm，得到：68 = x6解得：x=4.5，则剩下的矩形面积是：4.5×6=17cm1．【点睛】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．4．如右图,⊿ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°则∠C的大小为（）A．62°B．56°C．60°D．28°【答案】A【解析】连接OB ．在△OAB 中，OA=OB （⊙O 的半径），∴∠OAB=∠OBA （等边对等角）；又∵∠OAB=28°，∴∠OBA=28°；∴∠AOB=180°-2×28°=124°；而∠C=12∠AOB （同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）， ∴∠C=62°；故选A5．如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】∵a ＜0，∴抛物线的开口方向向下，故第三个选项错误；∵c ＜0，∴抛物线与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，故第一个选项错误；∵a ＜0、b ＞0，对称轴为x=2b a＞0， ∴对称轴在y 轴右侧，故第四个选项错误．故选B ．6．在刚刚结束的中考英语听力、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）A．中位数是9 B．众数为16 C．平均分为7.78 D．方差为2【答案】A【解析】根据中位数，众数，平均数，方差等知识即可判断；【详解】观察图象可知，共有50个学生，从低到高排列后，中位数是25位与26位的平均数，即为1．故选A．【点睛】本题考查中位数，众数，平均数，方差的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．12B．2 C．55D．255【答案】A【解析】分析：连接AC，根据勾股定理求出AC、BC、AB的长，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，根据正切的定义计算即可．详解：连接AC，由网格特点和勾股定理可知，2,22,10AB BC==AC2+AB2=10，BC2=10，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∴tan∠ABC=21222ACAB==.点睛：考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理及其逆定理的应用，熟记锐角三角函数的定义、掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．8．如图直线y＝mx与双曲线y=kx交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=1S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．【详解】根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S△ABM＝1S△AOM＝1，S△AOM＝12|k|＝1，则k＝±1．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝1．故选B．【点睛】本题主要考查了反比例函数y＝kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．9．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人【答案】C【解析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：12x（x-1）=55，化简得：x2-x-110=0，解得：x1=11，x2=-10（舍去），故答案为C.【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.10．如图，AB是⊙O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC 与△BDA相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( )A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD·AB＝CD·BD D．AD2＝BD·CD 【答案】D【解析】解：∵∠ADC=∠ADB，∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故A选项正确；∵AD=DE，∴AD DE，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，∴故B选项正确；∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故C选项正确；∵CD•AB=AC•BD，∴CD：AC=BD：AB，但∠ACD=∠ABD不是对应夹角，故D选项错误，故选：D．考点：1．圆周角定理2．相似三角形的判定二、填空题（本题包括8个小题）11．从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是_____．【答案】1 3【解析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】列表如下：﹣2 ﹣1 2﹣2 2 ﹣4﹣1 2 ﹣22 ﹣4 ﹣2由表可知，共有6种等可能结果，其中积为正数的有2种结果，所以积为正数的概率为13，故答案为13． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．12．因式分解：x 2﹣3x+（x ﹣3）=_____． 【答案】 (x-3)(x+1)；【解析】根据因式分解的概念和步骤，可先把原式化简，然后用十字相乘分解，即原式=x 2﹣3x+x ﹣3 =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣3）（x+1）；或先把前两项提公因式，然后再把x-3看做整体提公因式：原式=x （x ﹣3）+（x ﹣3）=（x ﹣3）（x+1）. 故答案为（x ﹣3）（x+1）．点睛：此题主要考查了因式分解，关键是明确因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.再利用因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），进行分解因式即可.13．若x 2+kx+81是完全平方式，则k 的值应是________． 【答案】±1 【解析】试题分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值． 解：∵x 2+kx+81是完全平方式， ∴k=±1． 故答案为±1． 考点：完全平方式．14．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，5CE =，F 为DE 的中点．若CEF ∆的周长为18，则OF 的长为________．【答案】72【解析】先根据直角三角形的性质求出DE 的长，再由勾股定理得出CD 的长，进而可得出BE 的长，由三角形中位线定理即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BO DO =，BC CD =，90BCD ︒∠=．在Rt DCE ∆中，F 为DE 的中点， ∴12CF DE EF DF ===． ∵CEF ∆的周长为18，5CE =， ∴18513CF EF +=-=， ∴13DE DF EF =+=．在Rt DCE ∆中，根据勾股定理，得2213512DC =-=， ∴12BC =， ∴1257BE =-=．在BDE ∆中，∵BO DO =，F 为DE 的中点， 又∵OF 为BDE ∆的中位线，∴1722OF BE ==． 故答案为：72.【点睛】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中． 15．已知23-是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是________． 【答案】23+【解析】通过观察原方程可知，常数项是一未知数，而一次项系数为常数，因此可用两根之和公式进行计算，将2-3代入计算即可． 【详解】设方程的另一根为x 1，又∵x=2-3，由根与系数关系，得x 1+2-3=4，解得x 1=2+3． 故答案为：23+ 【点睛】解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后适当选择一个根与系数的关系式求解． 16．如图，AB=AC ，要使△ABE ≌△ACD ，应添加的条件是 （添加一个条件即可）．【答案】AE=AD （答案不唯一）．【解析】要使△ABE ≌△ACD ，已知AB=AC ，∠A=∠A ，则可以添加AE=AD ，利用SAS 来判定其全等；或添加∠B=∠C ，利用ASA 来判定其全等；或添加∠AEB=∠ADC ，利用AAS 来判定其全等．等（答案不唯一）．17．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是_____cm．【答案】42【解析】先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可出圆锥的高.【详解】圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长为1206180π⨯=4πcm∴圆锥的底面半径为2，故圆锥的高为2262-=42cm【点睛】此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，解题的关键是熟知圆的相关公式.18．如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=_____．【答案】60°【解析】先根据垂直的定义，得出∠BAD=60°，再根据平行线的性质，即可得出∠D的度数．【详解】∵DA⊥CE，∴∠DAE=90°，∵∠1=30°，∴∠BAD=60°，又∵AB∥CD，∴∠D=∠BAD=60°，故答案为60°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，内错角相等．三、解答题（本题包括8个小题）19．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为_____．【答案】11【解析】将x=2代入方程找出关于m的一元一次方程，解一元一次方程即可得出m的值，将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论． 【详解】将x=2代入方程，得：1﹣1m+3m=0， 解得：m=1．当m=1时，原方程为x 2﹣8x+12=（x ﹣2）（x ﹣6）=0， 解得：x 1=2，x 2=6， ∵2+2=1＜6，∴此等腰三角形的三边为6、6、2， ∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=11． 【点睛】考点：根与系数的关系；一元二次方程的解；等腰三角形的性质20．计算:2344(1)11x x x x x ++-+÷++. 【答案】22x x -+ 【解析】括号内先进行通分，进行分式的加减法运算，然后再与括号外的分式进行分式乘除法运算即可.【详解】原式=()22311112x x x x x ⎛⎫-+-⨯ ⎪+++⎝⎭ =()()()2x 22112x x x x +-+⨯++=22x x -+. 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握有关分式的运算法则是解题的关键. 21．如图，在平面直角坐标系中，直线y 1=2x ﹣2与双曲线y 2=kx交于A 、C 两点，AB ⊥OA 交x 轴于点B ，且OA=AB ．求双曲线的解析式；求点C 的坐标，并直接写出y 1＜y 2时x 的取值范围．【答案】（1）24y x=；（1）C （﹣1，﹣4），x 的取值范围是x ＜﹣1或0＜x ＜1． 【解析】（1）作高线AC ，根据等腰直角三角形的性质和点A 的坐标的特点得：x=1x ﹣1，可得A 的坐标，从而得双曲线的解析式；（1）联立一次函数和反比例函数解析式得方程组，解方程组可得点C 的坐标，根据图象可得结。