高考数学压轴专题2020-2021备战高考《函数与导数》分类汇编及答案解析

新数学《函数与导数》高考复习知识点

一、选择题

1．已知函数2943,02log9,0xxxfxxx，则函数yffx的零点所在区间为（ ）

A．73,2 B．1,0 C．7,42 D．4,5

【答案】A

【解析】

【分析】

首先求得0x时，fx的取值范围.然后求得0x时，fx的单调性和零点，令0ffx，根据“0x时，fx的取值范围”得到32log93xfxx，利用零点存在性定理，求得函数yffx的零点所在区间.

【详解】

当0x时，34fx.

当0x时，2932log92log9xxxfxx为增函数，且30f，则3x是fx唯一零点.由于“当0x时，34fx.”，所以

令0ffx，得32log93xfxx，因为303f，337782log981.414log393.312322f，

所以函数yffx的零点所在区间为73,2.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

2．已知全集UR，函数ln1yx的定义域为M，集合2|0?Nxxx，则下列结论正确的是

A．MNNI B．UMNIð

C．MNUU D．UMNð

【答案】A

【解析】

【分析】 求函数定义域得集合M，N后，再判断．

【详解】

由题意{|1}Mxx，{|01}Nxx，∴MNNI．

故选A．

【点睛】

本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．

3．已知3215()632fxxaxaxb的两个极值点分别为1212,xxxx，且2132xx，则函数12()()fxfx（ ）

A．1 B．16 C．1 D．与b有关

【答案】B

【解析】

【分析】

求出函数的导数，利用韦达定理得到12,,axx满足的方程组，解方程组可以得到12,,axx，从而可求12fxfx．

【详解】

2'56fxxaxa，故125xxa，126xxa，且225240aa，

又2132xx，所以122,3xaxa，故266aa，解得0a（舎）或者1a．

此时122,3xx， 3215632fxxxxb，

故1215182749623326fxfx

故选B．

【点睛】

如果fx在0x处及附近可导且0x的左右两侧导数的符号发生变化，则0xx必为函数的极值点且00fx．极大值点、极小值点的判断方法如下：

（1）在0x的左侧附近，有'0fx，在0x的右侧附近，有'0fx，则0xx为函数的极大值点；

（2）在0x的左侧附近，有'0fx，在0x的右侧附近'0fx，有，则0xx为函数的极小值点．

4．已知函数f（x）＝（k＋4k）lnx＋24xx－，k∈[4，＋∞），曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2），使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1＋x2的取值范围为

A．（85，＋∞） B．（165，＋∞） C．[85，＋∞） D．[165，＋∞）

【答案】B

【解析】

【分析】

利用过M、N点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x1+x2

的取值范围．

【详解】

由题得f′（x）=4kkx﹣24x﹣1=﹣2244xkxkx=﹣24xkxkx，（x＞0，k＞0）

由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2），

即21144kkxx﹣1=24kkx﹣224x﹣1，

化简得4（x1+x2）=（k+4k）x1x2，

而x1x2＜212()2xx，

4（x1+x2）＜（k+4k）212()2xx，

即x1+x2＞164kk对k∈[4，+∞）恒成立，

令g（k）=k+4k，

则g′（k）=1﹣24k=222kkk＞0对k∈[4，+∞）恒成立，

∴g（k）≥g（4）=5，

∴164kk≤165，

∴x1+x2＞165， 故x1+x2的取值范围为（165，+∞）.

故答案为B

【点睛】

本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题

的关键，属于中档题.

5．若函数()sin2xxfxeex，则满足2(21)()0fxfx的x的取值范围为（ ）

A．1(1,)2 B．1(,1)(,)2U

C．1(,1)2 D．1(,)(1,)2

【答案】B

【解析】

【分析】

判断函数fx为定义域R上的奇函数，且为增函数，再把2210fxfx化为221xx，求出解集即可．

【详解】

解：函数sin2xxfxeex，定义域为R，

且满足sin2xxfxeex sin2xxeexfx，

∴fx为R上的奇函数；

又'2cos222cos20xxfxeexxx恒成立，

∴fx为R上的单调增函数；

又2210fxfx，

得221fxfxfx，

∴221xx，

即2210xx，

解得1x或12x，

所以x的取值范围是1,1,2．

故选B．

【点睛】 本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．

6．三个数22323lnablnce，，的大小顺序为( )

A．b

【答案】D

【解析】

【分析】

通过证明13abc，由此得出三者的大小关系.

【详解】

132221ln63aee，由于6123ee，63228，所以132e，所以131lnln23e，即13ab.而66113232228,339，所以113223，所以11321ln2ln3ln33，即bc，所以abc.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查指数式、对数式比较大小，考查指数运算和对数运算，属于中档题.

7．设复数zabi（i为虚数单位，,abR），若,ab满足关系式2abt，且z在复平面上的轨迹经过三个象限，则t的取值范围是( )

A．[0,1] B．[1,1] C．(0,1)(1,) D．(1,)

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据复数的几何意义得到z的轨迹方程2xyt，再根据指数函数的图象，得到关于t的不等式，求解.

【详解】

由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为,xy，

2axaybt ，即2xyt ，

因为z在复平面上的轨迹经过三个象限，

则当0x时，11t 且10t ，

解得0t且1t ， 即t的取值范围是0,11,U.

故选：C

【点睛】

本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.

8．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为（ ）时，其容积最大．

A．34 B．23 C．13 D．12

【答案】B

【解析】

【分析】

设正六棱柱容器的底面边长为x,则正六棱柱容器的高为312x,则可得正六棱柱容器的容积为3233921224Vxxxxxxx,再利用导函数求得最值,即可求解.

【详解】

设正六棱柱容器的底面边长为x,则正六棱柱容器的高为312x,

所以正六棱柱容器的容积为3233921224Vxxxxxxx,

所以227942Vxxx,则在20,3上,0Vx；在2,13上,0Vx,

所以Vx在20,3上单调递增,在2,13上单调递减,

所以当23x时,Vx取得最大值,

故选:B

【点睛】

本题考查利用导函数求最值,考查棱柱的体积,考查运算能力.

9．函数log(3)1ayx（0a且1a）的图像恒过定点A，若点A在直线10mxny上，其中·0mn，则41mn的最小值为（）

A．16 B．24 C．50 D．25

【答案】D

【解析】

【分析】

由题A（4，1），点A在直线上得4m+n＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．

【详解】

令x﹣3＝1，解得x＝4，y＝1，

则函数y＝loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（4，1），

∴4m+n＝1，

∴41mn（41mn）（4m+n）＝16+14n4mmn

≥17+24n4mmn17+8＝25，当且仅当m＝n15时取等号，

故则41mn的最小值为25，

故选D．

【点睛】

本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．

10．函数1sincos1sincos1tan01sincos1sincos32xxxxfxxxxxxx的最小值为（ ）

A．1623 B．533 C．2433 D．433

【答案】B

【解析】

【分析】

利用二倍角公式化简函数fx，求导数，利用导数求函数的最小值即可.

【详解】

22222sin2sincos2cos2sincos1sincos1sincos2222221sincos1sincos2cos2sincos2sin2sincos222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx