2014年全国高考理科数学试题及答案-浙江卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（理科）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设全集2|xNxU，集合5|2xNxA，则ACU（ ）

A. B. }2{ C. }5{ D. }5,2{

（2）已知i是虚数单位，Rba,,则“1ba”是“ibia2)(2”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

（3）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是

A. 902cm B. 1292cm

C. 1322cm D. 1382cm

4. 为了得到函数xxy3cos3sin的图像，可以将函数xy3sin2的图像（ ）

A.向右平移4个单位 B.向左平移4个单位 C.向右平移12个单位 D.向左平移12个单位

5. 在46)1()1(yx的展开式中，记nmyx项的系数为),(nmf，则)3,0(2,1()1,2()0,3(ffff） （ ）

A.45 B.60 C.120 D. 210

6. 已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23fffcbxaxxxf（ ）

A.3c B.63c C.96c D. 9c

7.在同一直角坐标系中，函数xxgxxxfaalog)(),0()(的图像可能是（ ）

8.记,max{,},xxyxyyxy，,min{,},yxyxyxxy，设,ab为平面向量，则（ ）

A.min{||,||}min{||,||}ababab

B.min{||,||}min{||,||}ababab

C.2222min{||,||}||||ababab

D.2222min{||,||}||||ababab

9. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个篮球3,3mn，从乙盒中随机抽取1,2ii个球放入甲盒中.（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为1,2ii；

（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为1,2ipi.

则

A.1212,ppEE B.1212,ppEE

C.1212,ppEE D.1212,ppEE

10. 设函数21)(xxf，),(2)(22xxxf|2sin|31)(3xxf，99,,2,1,0,99iiai，记|)()(||)()(||)()(|98991201afafafafafafIkkkkkkk，.3,2,1k则

A.321III B. 312III C. 231III D. 123III

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.

12.随机变量的取值为0,1,2，若105P，1E，则D________.

13.当实数x，y满足240,10,1,xyxyx时，14axy恒成立，则实数a的取值范围是________.

14. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.

15.设函数0,0,22xxxxxxf若2aff，则实数a的取值范围是______

16.设直线)0(03mmyx与双曲线12222byax（0ab）两条渐近线分别交于点BA,，若点)0,(mP满足PBPA,则该双曲线的离心率是__________

17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值

二、解答题：本大题共5小题，共72分

18.（本题满分14分）在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知ab，3c，22coscos3sincos3sincosABAABB

（1）求角C的大小

（2）若4sin5A，求ABC的面积

19.（本题满分14分）已知数列na和nb满足Nnaaanbn221.若na为等比数列，且.6,2231bba

（1）求na与nb；

（2）设Nnbacnnn11。记数列nc的前n项和为nS.

（i）求nS；

（ii）求正整数k，使得对任意Nn，均有nkSS.

20. （本题满分15分）如图，在四棱锥BCDEA中，平面ABC平面BCDE，90CDEBED，2ABCD，1DEBE，2AC。

（1）证明：DE平面ACD;

（2）求二面角EADB的大小

21.(本题满分15分)

如图，设椭圆,01:2222babyaxC动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.

（1） 已知直线l的斜率为k，用kba,,表示点P的坐标；

（2） 若过原点O的直线1l与l垂直，证明：点P到直线1l的距离的最大值为ba.

22.（本题满分14分）已知函数).(33Raaxxxf

（1）若xf在1,1上的最大值和最小值分别记为)(),(amaM，求)()(amaM；

（2）设,Rb若42bxf对1,1x恒成立，求ba3的取值范围. A

D

E B C

参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

1.B 2.A 3.D 4.C 5.C

6.C 7.D 8.D 9.A 10.B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。

11. 6 12. 25 13. 3[1,]2 14. 60

15.(,2] 16. 52 17. 539

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

（Ⅰ）解：由题意得1cos21cos233sin2sin22222ABAB

即3cos23cos2sin2sin22222ABAB

sin(2)sin(2)66AB

由ab，得AB，又(0,)AB，得2266AB

即23AB

所以3C

（Ⅱ）解：由43,sin,5sinsinaccAAC，得85a

由ac，得AC，从而3cos5A，故

sinsin()BAC

sincoscossinACAC

43310

所以，ABC的面积为18318sin225SacB

19.本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、求和公式、不等式性质等基础知识、同时考查运算求解能力。满分14分。

（Ⅰ）解：由题意12332...(2),6nbnaaaabb

知323(2)8bba

又由12a，得公比2q（2q，舍去），所以数列{}na的通项为

*2()nnanN

所以(1)(1)2123...2(2)nnnnnaaaa

故数列{}nb的通项为

*(1)()nbnnnN

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知*11111()()21nnnncnNabnn

所以*11()12nnSnNn

（ⅱ）因为12340,0,0,0cccc；

当5n时，1(1)[1](1)2nnnncnn

而11(1)(1)(2)(1)(2)0222nnnnnnnnnnn

得5(1)5(51)122nnn

所以，当5n时，0nc

综上，对任意*nN恒有4nSS，故4k

20.本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力、推理论证和运算求解能力。满分15分。

（Ⅰ）证明：在直角梯形BCDE中，由1,2DEBECD，得

2BDBC

由2,2ACAB，得222ABACBC，即ACBC

又平面ABC平面BCDE，从而AC平面BCDE

所以ACDE，又DEDC，从而

DE平面ACD

（Ⅱ）方法一：

作BFAD，与AD交于点F，过点F作//FGDE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DEAD，则FGAD，所以BFG是二面角BADE的平面角。

在直角梯形BCDE中，由222CDBCBD，得BDBC，又平面ABC平面BCDE，得BD平面ABC，从而

BDAB

由于AC平面BCDE，得

ACCD

在RtACD中，由2,2DCAC，得6AD

在RtAED中，由1,6EDAD，得7AE

在RtABD中，由2,2,6BDABAD，得232,33BFAFAD，从而23GF

在,ABEABG中，利用余弦定理分别可得

572cos,143BAEBG

在BFG中，2223cos22GFBFBGBFGBFGF