一类反应扩散方程的行波解
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一类反应扩散方程的行波解
周小燕;胡萍;梁青青
【摘 要】用试探函数法求得一类反应扩散方程的反应扩散方程通解,验证当参数m=1时解的正确性,得到连接不同平衡点的异宿轨道.可以把该解法推广到高维反应扩散方程中.
【期刊名称】《牡丹江师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(000)004
【总页数】3页(P19-21)
【关键词】反应扩散方程;行波解;平衡点;异宿轨道
【作 者】周小燕;胡萍;梁青青
【作者单位】兰州文理学院 传媒工程学院 ,甘肃 兰州 730030;兰州文理学院 传媒工程学院 ,甘肃 兰州 730030;兰州文理学院 传媒工程学院 ,甘肃 兰州 730030
【正文语种】中 文
【中图分类】O415
非线性科学是目前科学研究的热点问题之一，求解非线性偏微分方程，也是数学和物理学家研究的重要内容.研究人员提出了很多方法，构造非线性方程精确解，如齐次平衡法[1]、反散射法、双曲正切函数展开法[2-5]、Darboux变换法、试探函数法[6]、Hirota双线性法、Sine-Gonsine法[7]、齐次平衡法、辅叠加法[8]、辅助常微分方程法[9]和双函数法[10-11]，但由于问题的复杂性，至今尚无统一的方法，能够得到精确解的方程也是凤毛麟角.因此，本文用试探函数法，解出一类反应扩散方程的行波解的通解，分析不同情况下解的形式并验证．
1 反应扩散方程及行波变换
反应扩散方程(1)中，ν,k分别为扩散系数和反应系数且ν>0,k>0．
(1)
方程(1)作行波变换,
令 u=u(ξ)，ξ=x-ct.
(2)
(2)式中，c为波速，以行波解(2)带入方程(1)有：
(3)
令则方程(3)等价于
(4)
方程(3)如果直接积分是很困难的，但是若设
(5)
(5)式中，B,α为待定常数，ξ0可以视为积分常数.把(5)式带入方程(3)中有
(6)
(7) 把方程(6)和(7)带入到方程(3)中：
ea(ξ-ξ0)[2Bacm+2Bνa2m-2kBm2]+ea(ξ-ξ0)[2Bacm-4Bνa2-kBm2]+kBm+1m2-kBm2=0
上式可以等价为：
(8)
由方程(5)和(3)中知,B,α,m,k不可能为零，因此有
(9)
把上述结果带入到方程 (5)中，有
(10)
2 对解中m值的讨论
当m=1时，方程(1)就变成Fisher方程，(10)式就变成
u
该解和《物理学中的非线性方程》[12]的解完全一样，是Fisher方程的冲击波解.
当m=2时,(10)式就变成
当m=任意值 时，
u
也就是方程(1)的任意解. 3 系统的平衡点分析
当m=1时，方程(1)可视为Fisher方程．其平衡点的在文献[12]中做以详尽分析.
分析方程(4)的平衡点情况.方程(4)所对应的雅可比矩阵为：
(11)
根据(4)式，它有两个平衡位置：
(u*,P*)=(0,0)，(u*,P*)=(1，0).
特征方程和特征根分别为
(12)
对于平衡位置(u*,P*)=(0,0)，在c2>4kν时为结点，在c2<4kν时为焦点．平衡位置(u*,P*)=(1,0)为鞍点.
4 异宿轨道-连接不同平衡点
当m=1，由文献[12]可知：连接鞍点(u*,P*)=(1,0)和结点(u*,P*)=(0,0)的异宿轨道为：
(13)
(13)式恰好是方程(10)当m=1的情况，说明方程(10)的正确性.即方程(10)就是连接鞍点(u*,P*)=(1,0)和结点(u*,P*)=(0,0)的异宿轨道，且m为任意值时都成立.至此，利用试探函数法解出了方程(1)的行波解的通解，并验证了当m=1时结论的正确性．从而可知方程(10)就是方程(1)的通解.解对这类方程有一定的指导意义.
参考文献
【相关文献】
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