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2
准线方程为
x 3. 2
(2)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且 p 2, p 4,
故所求抛物线的标准方程为x2=-8y.
2
【变式练习】
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程.
(1)焦点是(0,-3);
x2=-12y
(2)准线是x 1.
2
y2=2x
2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程.
设M(x,y)是抛物线上任意一点,
点M到l的距离为d.
l
设 FK ( pp>0),
则焦点F的坐标为( p ,0),准线的方程为x p .
2
2
由抛物线的定义,抛物线就是点的集合
P M MF d ,
化 列设建简式点系
所以
x
p 2 2
y2
x
p 2
· H yd M(x, y)
两边平方,整理得
y2 2 px( p> 0)
K O··F x
其中p为正常数,它的几何
意义是:
l
焦点到准线的距离.
方程 y2 = 2px(p>0)表示焦点在x轴正
半轴上的抛物线.
焦点F的坐标为(: p,0),准线l的方程为: x p.
2
2
抛物线的标准方程还有哪些不同形式?
若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下,你能根据
解: 抛物线焦点F(- p , 0),准线l:x p
2
2
y
MF dM l
M N
p (9) 10 2
p2
x
FO
抛物线方程为:y2 4x
M (9, y)代入:y2 4x,得y 6
M (9, 6)
一个定义:平面内与一个定点F的距离和一条定直线l (l不 经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
思考题 : M是抛物线y2 = 2px(P>0)上一点,
p 若点M 的横坐标为X0,则点M到焦点的距离
+ —2 X 是———0———————.
. y M
焦半径公式:
.
OF
x
MF
x0
p 2
应用提高
抛物线 y2 2 px( p 0)上有一点M,其横坐标为-9, 它到焦点的距离为10,求抛物线方程和M点的坐标.
点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线. 由抛物线定义知:
p 2
4,
p 8.
故点 M的轨迹方程为 y2 16x .
例3.求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程。
解:当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时,把A(-3,2)
.y A
代入x2 =2py,得p= 9 4
当焦点在x轴的负半轴上时,
O
x
把A(-3,2)代入y2 = -2px,
观察铅笔尖随着三角 板的移动过程,可以 发现,点P始终满足 |PF|= |PC|(三角板的 直角顶点记作B),即 点P到定点F的距离 和点P到定直线l的距 离相等.
抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F H
和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛 物线.
l
准线
d M·
C
焦点
·F
点F叫做抛物线的焦点,
2.3.1 抛物线及其标准方程
生活中存在着各种形式的抛物线
抛物线的生活实例
喷泉
赵州桥
探照灯
一.抛物线的定义:
y
y=ax2
y=axy2=+acx2+bx+c
o
x
思考: 抛物
线是一个怎样 的对称图形?
抛物线
如图,先将一把直尺固定在画板上再把一个直角三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘 (记作直线D,然后取一根细绳,它的长度与另一条直角边AC相等,细绳的一端固定在三角 板顶点A处,另一端固定在画板上的点F处.
上述办法求出它的标准方程吗?
源自文库
l
· N M ·F
ly
· N M · H O F x
· · · ·
F M
l
N
y
F M
l
O NH
x
yyyy
.
x2 2 py( p 0)
oooo
x xxx
y2 2 px( p 0)
y2 2 px( p 0)
x2 2 py( p 0)
四种抛物线及其它们的标准方程
解:二次函数 y = ax2 化为:x2=
其中2p=
1 a
1
a
y
,表示抛物线
①当a>0时,
p 2
=
1 4a
,抛物线的开口向上
焦点坐标是(0 ,41a),准线方程是: y=
1 4a
②当a<0时,
p 2
=
1 ,抛物线的开口向下
4a
焦点坐标是(0 ,41a ),准线方程是: y=
1 4a
求抛物线方程的方法:-----轨迹法,定义法
解:将x 3代入抛物线方程y2 2x,得y 6
6 2,点A在抛物线内部。 如图,设抛物线上点P到准线l : x 1的距离PQ为d,
2 由定义知: PA + PF = PA +d, 由图可知,当AP l时,PA +d最小,最小值为7,
2
此时P点纵坐标为2,代入y2 2x,得x 2.点P的坐标为2,2.
求其焦点坐
先定位,后定量
3、设抛物线 y2 8x上一点P到y轴的距离是4,
则点P到该抛物线焦点的距离是( B )
求抛物线方程的方法:-----待定系数法
例1:(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点
坐标和准线方程. (2)已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方程.
解:(1)因为p=3,故抛物线的焦点坐标为 (,3 ,0)
p 0 的坐标轴上.
②一次项系数的符号决定
x2 2py 了抛物线的开口方向.
p 0
四种抛物线的标准方程对比
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2 mx
m 4
,
0
xm 4
x2 my
0,
m 4
ym 4
巩固提升:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2 = 20x
(2)y=2x2
(3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0
F (0, -
p )
2
p y=
2
抛物线的四种标准方程对比
图形
标准方程
y2 2 px
p 0
1.抛物线的四种标准方程形 式上有什么共同特点?
左边都是平方项,
右边都是一次项.
y2 2 px 2.如何根据抛物线的标准方
p 0
程来判断抛物线的焦点位置 及开口方向?
x2 2 py ①焦点在一次项字母对应
焦点坐标
(1) (2) (3) (4)
(5,0) (0,—1 )
8
(- —5 ,0)
8
(0,-2)
准线方程
x= -5 y= - —1
8
x= —5
8
y=2
2、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1)焦点是 F(3,0) ;
(2)准线方程是 x 1 ;
4
(3)焦点到准线的距离是2.
小结:已知抛物线的标准方程 标和准线方程.
图
.
.
形
焦点位置 x轴的
x轴的
正半轴上 负半轴上
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2=2px(p>0)
p F ( ,0)
2 x=- p
2
y2=-2px (p>0)
F(-
p ,0)
2
p x=
2
.
.
y轴的
y轴的
正半轴上 负半轴上
x2=2py (p>0)
p F (0, )
2 y=- p
2
x2=-2py (p>0)
(1)y=8x2; (2)x2+8y=0.
焦点 (0, 1 ),准线 y 1
32
32
焦点 (0, 2),准线 y 2
【提升总结】(1)用待定系数法求抛物线标准方程,应
先确定抛物线的形式,再求p值.(2)求抛物线的
焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程.
思考:试讨论抛物线y = ax2 的开口方向、焦点 坐标和准线方程。
2
得p=
3
∴抛物线的标准方程为x2
=
9
y或y2 = 4
x
。
2
3
利用抛物线的定义解题
例4:已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又 有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出此时P点的坐标
思路点拨:由定义知,抛物线上点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线 l 的距离 d,所以, 求|PA|+|PF|的问题可转化为求|PA|+d 的问题.
直线l 叫做抛物线的准线.
想一想:定义中当直线l 经过定 点F,则点M的轨迹是什么?
一条经过点F且 垂直于l 的直线
l
·F ······
二. 抛物线的标准方程
化 列设建简式点系
以过点F且垂直于直线 l 的直线为x轴,垂足为K.以
FK的中点O为坐标原点建
立直角坐标系xOy.
· H yd M(x,y) K O··F x
例2点M到点F(4,0)的距离比它到直线l: x+5=0 的距离小 1, 求点M的轨迹方程。
解(直接法):设 M(x,y),则由已知,得
|MF|+1=|x+5|
l
y
.M
即 (x 4)2 y2 1 x 5 化简得 y2 16x 即为点 M的轨迹方程 .
o
.
Fx
另解(定义法):
由已知,得点M到点F(4,0)的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离.
两类问题: 1.求抛物线标准方程; 2.已知方程求焦点坐标和准线方程.
三项注意: 1.定义的前提条件:直线l不经过点F;
2.p的几何意义:焦点到准线的距离;
3.标准方程表示的是顶点在原点,对称轴为坐 标轴的抛物线.
四种形式: 抛物线的标准方程有四种: y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0), x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).