2020届重庆市北碚区高三上学期第一次诊断性考试数学试题(解析版)

第 1 页 共 18 页 2020届重庆市北碚区高三上学期第一次诊断性考试数学试题

一、单选题

1．要得到函数2sinyx的图象,只需将函数2cos(2)4yx的图象上所有的点（ ）

A．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8个单位长度

B．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4个单位长度

C．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4个单位长度

D．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8个单位长度

【答案】B

【解析】2cos(2)2sin(2)424yxx，即2sin(2)4yx，所以要得到函数2sinyx的图像，先将横坐标伸长到原来的12，变为2sin()4yx；再向右平移4个单位即可得到2sinyx，应选答案B．

2．已知集合0,1,|,,ABzzxyxAyA，则集合B的子集个数为（ ）

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】D

【解析】分析：先求出集合B中的元素，从而求出其子集的个数．

详解：由题意可知，

集合B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2}，

则B的子集个数为：23=8个，

故选D．

点睛：本题考察了集合的子集个数问题，若集合有n个元素，其子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.

3．已知角的终边经过点5,12P，则3sin2的值等于( )

A．513 B．1213 C．513 D．1213 第 2 页 共 18 页 【答案】C

【解析】首先求得cos的值，然后结合诱导公式整理计算即可求得最终结果.

【详解】

由三角函数的定义可得：2255cos13512，

则32sin5cos13.

本题选择C选项.

【点睛】

本题主要考查终边相同的角的三角函数定义，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4．函数22xfxlogx的零点个数为

A．0 B．1

C．2 D．3

【答案】C

【解析】画出2xy与2ylogx的图象(如图所示)，它们有2个交点，所以函数fx的零点个数为2.故选C．

5．若f(x)=ln(x2-2ax+1+a)在区间,1上递减,则实数a的取值范围为（ ）

A．[1,2) B．[1,2] C．[1,) D．[2,)

【答案】B

【解析】由外函数对数函数是增函数，可得要使函数2()ln(21)fxxaxa在,1上递减，需内函数二次函数的对称轴大于等于1，且内函数在,1上的最小值大于0，由此联立不等式组求解．

【详解】 第 3 页 共 18 页 解：令2()21gxxaxa，其对称轴方程为xa，

外函数对数函数是增函数，

要使函数2()ln(21)fxxaxa在,1上递减，

则1(1)1210agaa…，即：12a．

实数a的取值范围是1,2．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．

6．若4cos5,是第三象限的角,则1tan21tan2（ ）

A．12 B．12 C．2 D．-2

【答案】A

【解析】试题分析：∵4cos5，为第三象限，∴3sin5,

∵2sin211tancoscossin(cossin)2222221tansincossin(cossin)(cossin)222222221cos2

2231()1sin1sin154cos2cossin225．

【考点】同角间的三角函数关系，二倍角公式．

7．已知函数()xefxmxx (e为自然对数的底数)，若0fx在0,上恒成立，则实数m的取值范围是（ ） 第 4 页 共 18 页 A．(,2) B．(,)e C．2,4e D．2,4e

【答案】D

【解析】分析：不等式0xemxx在0,上恒成立等价于2xemx在0,上恒成立，可利用导数求2xegxx在0,上的函数的最小值.

详解：因为0xemxx在0,上恒成立，故在0,上不等式2xemx总成立，

令2xegxx，则32'xexgxx.

当0,2x时，'0gx，故gx在0,2上为减函数；

当2,x时，'0gx，故gx在2,上为增函数；

所以2min24egxg，故24em，故选D.

点睛：含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，注意利用导数来求新函数的最值.

8．非零向量abrr，满足：abarrr，0aabrrr，则abrr与br夹角的大小为

A．135° B．120°

C．60° D．45°

【答案】A

【解析】先化简0aabrrr得2=aabrrr，再化简abarrr得2barr，最后求abrr与br的夹角.

【详解】

因为0aabrrr，所以220=aabaabrrrrrr，，

因为abarrr，所以2222aaabbvvvvv，

整理可得22babvvv，

所以有2barr， 第 5 页 共 18 页 设abrr与br的夹角为，

则2cosabbabbabbabrrrrrrrrrrr 2222222||aaarrr，

又0180，所以135，

故选A．

【点睛】

本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

9．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段,ACCB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段的比例中项，即满足510.6182ACBCABAC．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点.在ABC中，若点,PQ为线段BC的两个黄金分割点，在ABC内任取一点M，则点M落在APQ内的概率为（ ）

A．512 B．52 C．514 D．522

【答案】B

【解析】根据几何概型概率求解.测度为面积.

【详解】

由题意得所求概率为几何概型概率，测度为面积.

即所求概率为5151(1)2252,APQABCBCBCSPQBQBPSBCBCBC

选B.

【点睛】 第 6 页 共 18 页 本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.

10．在ABC中，36ABAC，tan3A，点D，E分别是边AB，AC上的点，且3DE，记ADE，四边形BCED的面积分别为1S，2S，则12SS的最大值为（ ）

A．14 B．38 C．13 D．512

【答案】C

【解析】分析：设ADx，(06,02)AEyxy，又tan3A，所以0120A，利用余弦定理和基本不等式求得3xy，再利用三角形的面积公式，即可求解结果．

详解：设ADx，(06,02)AEyxy，

因为tan3A，所以0120A，

所以22202cos12023DExyxyxyxyxy，

又3DE，所以3xy，当且仅当3xy时等号成立，

所以01021sin12011121121212326sin1201123xySxySxyxy，故选C．

点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

11．设fx是定义在R上的函数，其导函数为fx，若1fxfx，02018f，则不等式2017xxefxe（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）

A．,00, B．,0217,U

C．2017, D．0,

【答案】D

【解析】构造函数xxgxefxe，通过求导及已知不等式，可得出gx为递增第 7 页 共 18 页 函数，再将原不等式化为0gxg可解得．

【详解】

解：令xxgxefxe，则1xxxxgxefxefxeefxfx，

∵1fxfx，∴10fxfx，

∴0gx，gx在R上为单调递增函数，

∵001201812017gf

∴原不等式可化为0gxg，

根据gx的单调性得0x

故选：D．

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解题的关键，属中档题．

12．已知ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且3CPuuur，则PCPAPBuuuruuuruuur的取值范围是（

）

A．0,12 B．30,2 C．0,6 D．0,3

【答案】A

【解析】

以点B为坐标原点， BC所在直线为x轴，过点B与BC垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则00B，、13A，、20C， 设

Pxy，因为3CPuuuv所以P点轨迹为

2223xy

令233xcosysin则1333PAcossinuuuv，