【高三】2021年北京市高考数学理科试题(含答案)

2021年普通高等学校招生全国统一考试北京卷·数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则AB =（ ） A.{|01}x x ≤< B.{|12}x x -<≤ C.{|12}x x <≤ D.{|01}x x <<2. 在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ）A. 1B.iC. 1i -D. 1i +3.设函数()f x 的定义域为[0,1]，则“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）A. 33+B.12C. 13+D. 35. 双曲线22221x y a b-=过点2,3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A. 2213x y -= B. 2213y x -= C. 22123x y -= D. 22132x y -= 6.已知{}n a 和{}n b 是两个等差数列，且()15k ka kb ≤≤是常值，若1288a =，596=a ，1192b =，则3b 的值为（ ）A. 64B. 100C. 128D. 1327.已知函数()cos cos 2f x x x =-，则该函数（ ）A. 奇函数，最大值为2B. 偶函数，最大值为2C. 奇函数，最大值为98D. 偶函数，最大值为988.对24小时内降水在平地上的积水厚度（mm ）进行如下定义：小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（ ）A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨9. 已知圆22:4C x y +=，直线:L y kx m =+，则当k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为1，则m 的取值为（ ）A. 2±B. 2±C. 3±D. 3±10. 数列{}n a 是递增的整数数列，且13a ≥，123100n a a a a +++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分．11. 341()x x-的展开式中常数项为__________．12. 已知抛物线2:4C y x =，C 焦点为F ，点M 在C 上，且6FM =，则M 的横坐标是_______；作MN x ⊥轴于N ，则FMN S =_______．13. (2,1)a =，(2,1)b =-，(0,1)c =，则()a b c +⋅=_______；a b ⋅=_______．14. 若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ值___． 15. 已知()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，则()f x 有两个零点；②0k ∃<，使得()f x 有一个零点；③0k ∃<，使得()f x 有三个零点；④0k ∃>，使得()f x 有三个零点．以上正确结论的序号是_______．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 已知在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B 的大小；（2）在三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度． ①2c b =；②周长为423+；③面积为33ABC S ∆=； 17. 已知正方体1111ABCD A BC D -，点E 为11A D 中点，直线11BC 交平面CDE 于点F ．（1）求证：点F 为11B C 中点；（2）若点M 为棱11A B 上一点，且二面角M CF E --5111A M A B 的值．18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望E (X )；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的期望为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)． 19. 已知函数()232x f x x a-=+． （1）若0a =，求()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值．20. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为 （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．21. 定义p R 数列{}n a ：对p ∈R ，满足：①10a p +≥，20a p +=；②414,n n n N a a *-∀∈<；③,m n N *∀∈，{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++．（1）对前4项2，-2，0，1的数列，可以是2R 数列吗？说明理由；（2）若{}n a 是0R 数列，求5a 的值；（3）是否存在p ∈R ，使得存在p R 数列{}n a ，对任意,n N *∈满足10n S S ≥？若存在，求出所有这样的p ；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题1.B2.D3.A4.A5.A6.B7.D8.B9.C 10.C二、填空题11.-412. (1). 5 (2). 13. (1). 0 (2). 314. 512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可） 15. ①②④三、解答题16. （1）6π； （2）答案不唯一由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：=则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：2==. 17. （1）证明见解析；（2）11112A M A B =． 18. （1）①20次；②分布列见解析；期望为32011 （2）若211p =时，()()E X E Y =； 若211p >时，()()E X E Y >； 若211p <时，()()E X E Y <. 19. （1）450x y +-=；（2）函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-，最大值为1，最小值为14-. 20.（1）22154x y +=；（2）[3,1)(1,3]--⋃． 21.（1）不可以是2R 数列；理由见解析；（2）51a =；（3）存在；2p =．。

号位封座密号场不考订装号证考准只卷名姓此级班2021 年普通高等学校招生全国统一考试( 北京卷 )理科数学考前须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2 ．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第 I卷一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，每题 5 分，共 40 分．1．集合 A x x2， B–2,0,1,2 ，那么A IB 〔〕A ． 0,1B ．–1,0,1C．–2,0,1,2 D ．–1,0,1,22．在复平面内，复数1的共轭复数对应的点位于〔〕1iA ．第一象限B ．第二象限C．第三象限 D ．第四象限3．执行如下图的程序框图，输出的s 值为〔〕A ．1B ．5C．7D ．7266124．“十二平均律〞是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要奉献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2 ．假八个单音频率为〔〕A ．3 2 f312B． 22 f C． 25 f D5．某四棱锥的三视图如下图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为〔A ． 1B． 2C．3D6．设a，b均为单位向量，那么“a3b 3a b 〞是“〞的〔〕a bA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．在平面直角坐标系中，记 d 为点 P cos,sin到直线 x my 20的最大值为〔〕A ． 1B． 2C．3D8．设集合 A x, y x y 1,ax y4, x ay2，那么〔〕A ．对任意实数 a ，2,1AB ．对任意实数a， 2,1AC．当且仅当 a 0 时， 2,1AD．当且仅当 a3 时，2,1A2第II 卷二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．设 a n是等差数列，且 a1 3 ， a2a536，那么a n的通项公式为 _10．在极坐标系中，直线cos sin a a0与圆2cos 相切，11．设函数 f x cos xπ0，假设f x fπ对任意的实数64_________．12．假设x， y 满足 x1y 2 x ，那么 2y x 的最小值是 __________ ．13．能说明“假设 f x f0对任意的 x0,2 都成立，那么 f x在 0,2 上是增函数〞为假命题的一个函数是 __________．2222x y x y1 ．假设双曲线 N 的两条渐近线与椭圆M14．椭圆 M ：a2b2 1 a b 0 ，双曲线 N：m2n2的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，那么椭圆M 的离心率为__________；双曲线 N 的离心率为 __________．三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．〔本小题 13 分〕在△ ABC 中， a7 ， b8 ， cosB 1 ．7〔 1〕求 A ；〔 2〕求AC 边上的高．16．〔本小题 14 分〕如图，在三棱柱ABC A1B1C1中， CC1平面 ABC ， D ，E ，F ，AC BB的中点，AB BC5，AC AA2．AC ， 1 1，11〔 1〕求证： AC平面 BEF ；（2〕求二面角 B CD C1的余弦值；（3〕证明：直线 FG 与平面 BCD 相交．17．〔本小题12 分〕电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0．40．2015．0．250．201．好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．〔 1〕从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；〔 2〕从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；18．〔本小题 13 分〕设函数f x ax24a 1 x 4a 3 e x．〔 1〕假设曲线 y f x 在点 1, f 1处的切线与 x 轴平行，求 a ；〔 2〕假设 f x 在 x 2 处取得极小值，求a的取值范围．〔 3〕假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ k 1 〞表示第 k 类电影得到人们喜欢，“k0 〞表示第 k 类电影没有得到人们喜欢〔k1， 2， 3， 4， 5， 6〕．写出方差D 1， D 2， D 3， D 4， D 5， D 6的大小关系．19．〔本小题 14 分〕抛物线 C : y 22 px 经过点 P 1,2 ．过点 Q 0,1 的直线 l 与抛物线 C 有两个 不同的交点 A ， B ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y 轴于 N ．〔 1〕求直线 l 的斜率的取值范围；uuuruuur uuur uuur1为定值．〔 2〕设 O 为原点， QMQO ， QNQO ，求证：120．〔本小题 14分〕设 n 为正整数，集合 A=t 1，t 2，L ， t n ， t n 0,1 , k 1,2,对于集合 A 中的任意元素x 1 , x 2 ,L , x n 和y 1 , y 2 ,L , y n ，记 M, 1 x 1 y 1x 2y 2x 2y 2Lx n y nx n y n．x 1 y 12〔 1〕当 n 3 时，假设 1,1,0 ， 0,1,1 ，求 M , 和 M, 的值；〔 2〕当 n 4 时，设 B 是 A 的子集， 且满足： 对于 B 中的任意元素 , ，当 ,相同奇数；当,不同时， M,是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；〔 3〕给定不小于 2 的 n ，设 B 是 A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元M, 0 ．写出一个集合 B ，使其元素个数最多，并说明理由．2021 年普通高等学校招生全国统一考试( 北京卷 )理 科 数学 答 案第 I卷一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，每题5 分，共 40 分． 题号 1 2 3 4 5678 答案ADBDCCCD第 II 卷二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分．9． 【答案】 a n 6n 3 10． 【答案】 1211． 【答案】2312． 【答案】 313． 【答案】 y sin x 〔答案不唯一〕 14． 【答案】 3 1 ； 2三、解答题共 6 小题，共 80 分。

2021年高考数学真题试卷（北京卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（共10题；共40分）1.已知集合A={x|−1<x<1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=（）A. (−1,2)B. (−1,2]C. [0,1)D. [0,1]【答案】B【考点】并集及其运算【解析】【解答】解：根据并集的定义易得A∪B={x|−1<x≤2}，故答案为：B【分析】根据并集的定义直接求解即可.2.在复平面内，复数z满足(1−i)z=2，则z=（）A. 2+iB. 2−iC. 1−iD. 1+i【答案】 D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：z=21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，故答案为：D【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.3.已知f(x)是定义在上[0,1]的函数，那么“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：①【充分性】若函数f(x)在[0, 1]上单调递增，根据函数的单调性可知:函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1),所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”为“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分条件；②【必要性】若函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)，函数f(x)在[0, 1]上可能先递减再递增，且最大值为f(1)，所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”不是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的必要条件，所以“函数f(x)在[0, 1]上单调递增”是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分而不必要条件.故答案为：A【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可.4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A. 3+√32B. 4C. 3+√3D. 2【答案】A【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】解：由三视图可知该四面体如下图所示：该四面体为直三棱锥，其中SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=1，则SB=SC=BC=√2，则所求表面积为S=3×(12×1×1)+12×√2×√2×sin60°=3+√32故答案为：A【分析】根据三视图还原几何体，结合棱锥的表面积公式求解即可.5.双曲线C:x2a2−y2b2=1过点(√2,√3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A. x 2−y 23=1 B. x 23−y 2=1 C. x 2−√3y 23=1 D.√3x 23−y 2=1【答案】 A【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：由e =ca =2得c=2a ，则b 2=c 2-a 2=3a 2 则可设双曲线方程为：x 2a 2−y 23a 2=1 ，将点(√2,√3) 代入上式，得(√2)2a 2−(√3)23a 2=1解得a 2=1,b 2=3 故所求方程为： x 2−y 23=1故答案为：A【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可.6.{a n } 和 {b n } 是两个等差数列，其中 akb k(1≤k ≤5) 为常值， a 1=288 ， a 5=96 ， b 1=192 ，则b 3= （ ）A. 64B. 128C. 256D. 512 【答案】 B【考点】等差数列的性质【解析】【解答】解：由题意得a k b k=a 1b 1=288192=32 ， 则a 5b 5=32 ， 则b 5=23a 5=64 ， 所以b 3=b 1+b 52=192+642=128.故答案为：B【分析】根据题设条件，结合等差数列的性质求解即可.7.函数 f(x)=cosx −cos2x ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A. 奇函数，最大值为2 B. 偶函数，最大值为2 C. 奇函数，最大值为 98 D. 偶函数，最大值为 98 【答案】 D【考点】偶函数，二次函数在闭区间上的最值【解析】【解答】解：∵f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=f(x) ∴f(x)为偶函数又f(x)=cosx-cos2x=-2cos 2x+cosx+1 令t=cosx ，则y=-2t 2+t+1，t ∈[-1,1]，则当t =−12×(−2)=14时，y 取得最大值y max =(−2)×(14)2+14+1=98.故答案为：D【分析】根据偶函数的定义，利用换元法，结合二次函数的最值求解即可.8.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度．其中小雨（<10mm），中雨（10mm−25mm），大雨（25mm−50mm），暴雨（50mm−100mm），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】【解答】解：如图所示，由题意得r100=150300，则r=50则雨水的体积为V=13πr2h=13π×502×150，则降雨的厚度（高度）为H=Vπ×1002=13π×502×150π×1002=12.5(mm)故答案为：B【分析】根据圆锥的体积公式，及圆柱的体积公式求解即可.9.已知圆C:x2+y2=4，直线l:y=kx+m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m=（）A. ±2B. ±√2C. ±√3D. ±√5【答案】C【考点】点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：由题意可设弦长为n，圆心到直线l的距离为d，则d2=r2−(n2)2=4−n24，则当n取最小值2时，d取得最大值为√3，则d=√1+k2≤√3当k=0时，d取得最大值为√3，则|m|=√3解得m=±√3故答案为：C【分析】根据直线与圆的位置，以及相交弦的性质，结合点到直线的距离公式求解即可.10.数列{a n}是递增的整数数列，且a1≥3，a1+a2+⋅⋅⋅+a n=100，则n的最大值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和【解析】【解答】解：∵数列{a n}是递增的整数数列，∴n要取最大，d尽可能为小的整数，故可假设d=1∵a1=3，d=1∴a n=n+2∴S n=(3+n+2)n2=n2+5n2则S11=88<100，S12=102>100，故n的最大值为11.故答案为：C【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式求解即可.二、填空题5小题，每小题5分，共25分．（共5题；共25分）11.(x3−1x)4展开式中常数项为________．【答案】-4【考点】二项式定理，二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】解：由题意得二项展开式的通项公式为T k+1=C4k(x3)4−k(−1x )k=C4k(−1)k x12−4k令12-4k=0，得k=3故常数项为T4=T3+1=C43(−1)3=−4故答案为：-4【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可.12.已知抛物线C:y2=4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|=6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN=________．【答案】5；4√5【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用【解析】【解答】解：由题意知焦点F为（1,0），准线为x=-1，设点M为（x0,y0）,则有|FM|=x0+1=6，解得x0=5，则y0=2√5，不妨取点M为(5,2√5)则点N为(5,0)则|FN|=5-1=4则S△FMN=12×|FN|×|MN|=12×4×2√5=4√5故答案为：5，4√5【分析】根据抛物线的几何性质，结合三角形的面积公式求解即可.13.若点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ=________．【答案】5π12（满足θ=5π12+kπ,k∈Z即可）【考点】诱导公式【解析】【解答】解：由题意得{sinθ=sin(θ+π6)cosθ=−cos(θ+π6))，对比诱导公式sinα=sin(π-α)，cosα=-cos(π-α)得θ+π6=π−θ+2kπ，解得θ=5π12+kπ,k∈Z当k=0时，θ=5π12故答案为：5π12【分析】根据点的对称性，结合诱导公式求解即可.14.已知函数f(x)=|lgx|−kx−2，给出下列四个结论：①若k=0，则f(x)有两个零点；② ∃k<0，使得f(x)有一个零点；③ ∃k<0，使得f(x)有三个零点；④ ∃k>0，使得f(x)有三个零点．以上正确结论得序号是________．【答案】①②④【考点】函数的零点【解析】【解答】解：令|lgx|- kx-2=0，即y= |lgx|与y= kx+ 2有几个交点，原函数就有几个零点， ①当k= 0时，如图1画出函数图像，f(x)=|lgx|-2，解得x=100或x =1100 ， 所以有两个零点，故①项正确；②当k<0时，y= kx+2过点(0,2)，如图2画出两个函数的图像，∃k <0 ， 使得两函数存在两个交点，故②项正确；③当k<0时，y= kx+2过点(0,2)，如图3画出两个函数的图像，不存在k<0时，使得两函数存在三个交点，故③项错误；④当k>0时，y= kx+2过点(0,2)，如图4画出两个函数的图像，∃k >0 ， 使得两函数存在三个交点，故④项正确. 故答案为：①②④【分析】根据函数的零点的几何性质，运用数形结合思想求解即可.15.a ⃗=(2,1) ， b ⃗⃗=(2,−1) ， c ⃗=(0,1) ，则 (a ⃗+b ⃗⃗)⋅c ⃗= ________； a ⃗⋅b ⃗⃗= ________． 【答案】 0；3【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：由题意得a →+b →=(4,0) ， 则(a →+b →)·c →=4×0+0×1=0 ， a →·b →=2×2+1×(−1)=3 故答案为：0，3【分析】根据向量的坐标运算，及向量的数量积运算求解即可.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（共6题；共85分）16.已知在 △ABC 中， c =2bcosB ， C =2π3．（1）求 B 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 △ABC 存在且唯一确定，并求出 BC 边上的中线的长度． ① c =√2b ；②周长为 4+2√3 ；③面积为 S ΔABC =3√34；【答案】 （1）∵c =2bcosB ，则由正弦定理可得 sinC =2sinBcosB ， ∴sin2B =sin2π3=√32， ∵C =2π3， ∴B ∈(0,π3) ， 2B ∈(0,2π3) ，∴2B =π3 ，解得 B =π6 ；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 cb =sinCsinB =√3212=√3 ，与 c =√2b 矛盾，故这样的 △ABC 不存在； 若选择②：由（1）可得 A =π6 ， 设 △ABC 的外接圆半径为 R ，则由正弦定理可得a=b=2Rsinπ6=R，c=2Rsin2π3=√3R，则周长a+b+c=2R+√3R=4+2√3，解得R=2，则a=2,c=2√3，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：√(2√3)2+12−2×2√3×1×cosπ6=√7；若选择③：由（1）可得A=π6，即a=b，则S△ABC=12absinC=12a2×√32=3√34，解得a=√3，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：√b2+(a2)2−2×b×a2×cos2π3=√3+34+√3×√32=√212.【考点】正弦定理，余弦定理，正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和的性质求解即可；（2）选择①：根据正弦定理，结合（1）进行判断即可；选择②：根据正弦定理，及余弦定理求解即可；选择③：根据三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可.17.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F．（1）证明：点F为B1C1的中点；（2）若点M为棱A1B1上一点，且二面角M−CF−E的余弦值为√53，求A1MA1B1的值．【答案】（1）如图所示，取B1C1的中点F′，连结DE,EF′,F′C，由于 ABCD −A 1B 1C 1D 1 为正方体， E,F ′ 为中点，故 EF ′∥CD ， 从而 E,F ′,C,D 四点共面，即平面CDE 即平面 CDEF ′ ， 据此可得：直线 B 1C 1 交平面 CDE 于点 F ′ ，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点 F 与点 F ′ 重合， 即点 F 为 B 1C 1 中点.（2）以点 D 为坐标原点， DA,DC,DD 1 方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴正方形，建立空间直角坐标系 D −xyz ，不妨设正方体的棱长为2，设 A 1MA1B 1=λ(0≤λ≤1) ，则： M(2,2λ,2),C(0,2,0),F(1,2,2),E(1,0,2) ，从而： MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,2−2λ,−2),CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,2),FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−2,0) ， 设平面 MCF 的法向量为： m⃗⃗⃗=(x 1,y 1,z 1) ，则： {m ⇀⋅MC⇀=−2x 1+(2−2λ)y 1−2z 1=0m ⇀⋅CF ⇀=x 1+2z 1=0 ， 令 z 1=−1 可得： m ⃗⃗⃗=(2,11−λ,−1) ， 设平面 CFE 的法向量为： n⃗⃗=(x 2,y 2,z 2) ，则： {n ⇀⋅FE⇀=−2y 2=0n ⇀⋅CF ⇀=x 2+2z 2=0， 令 z 1=−1 可得： n⃗⃗=(2,0,−1) ， 从而： m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=5,|m ⃗⃗⃗|=√5+(11−λ)2,|n ⃗⃗|=√5 ，则：cos〈m⃗⃗⃗,n⃗⃗〉=m⃗⃗⃗⃗⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗⃗|×|n⃗⃗|=√5+(11−λ)2×√5=√53，整理可得：(λ−1)2=14，故λ=12（λ=32舍去）.【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）根据正方体的性质，结合直线与平面相交的性质定理求证即可；（2）根据向量法求二面角，结合方程的思想求解即可.18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．【答案】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X可以取20，30，P(X=20)=111，P(X=30)=1−111=1011，则X的分布列:所以E(X)=20×111+30×1011=32011；（2）由题意，Y可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p，P(Y=25)=p，P(Y=30)=1−p，则E(Y)=25p+30(1−p)=30−5p，若p=211时，E(X)=E(Y)；若p>211时，E(X)>E(Y)；若p<211时，E(X)<E(Y).【考点】简单随机抽样，互斥事件与对立事件，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）①根据“k合1检测法”，结合随机抽样的定义求解即可；②根据“k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的分布列和期望求解即可；（2）根据“k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的期望求解即可.19.已知函数f(x)=3−2xx2+a．（1）若a=0，求y=f(x)在(1,f(1))处切线方程；（2）若函数f(x)在x=−1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值．【答案】（1）当a=0时，f(x)=3−2xx2，则f′(x)=2(x−3)x3，∴f(1)=1，f′(1)=−4，此时，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−1=−4(x−1)，即4x+y−5=0；（2）因为f(x)=3−2xx2+a ，则f′(x)=−2(x2+a)−2x(3−2x)(x2+a)2=2(x2−3x−a)(x2+a)2，由题意可得f′(−1)=2(4−a)(a+1)2=0，解得a=4，故f(x)=3−2xx2+4，f′(x)=2(x+1)(x−4)(x2+4)2，列表如下：所以，函数f(x)的增区间为(−∞,−1)、(4,+∞)，单调递减区间为(−1,4).当x<32时，f(x)>0；当x>32时，f(x)<0.所以，f(x)max=f(−1)=1，f(x)min=f(4)=−14.【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）根据导数研究函数的极值求得a值，再利用导数研究函数的单调性以及最值即可.20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(0,−2)，以四个顶点围成的四边形面积为4√5．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．【答案】（1）因为椭圆过A(0,−2)，故b=2，因为四个顶点围成的四边形的面积为4√5，故12×2a×2b=4√5，即a=√5，故椭圆的标准方程为：x25+y24=1.（2）设B(x1,y1),C(x2,y2)，因为直线BC的斜率存在，故x1x2≠0，故直线AB:y=y1+2x1x−2，令y=−3，则x M=−x1y1+2，同理x N=−x2y2+2.直线BC:y=kx−3，由{y=kx−34x2+5y2=20可得(4+5k2)x2−30kx+25=0，故Δ=900k2−100(4+5k2)>0，解得k<−1或k>1.又x1+x2=30k4+5k2,x1x2=254+5k2，故x1x2>0，所以x M x N>0又|PM|+|PN|=|x M+x N|=|x1y1+2+x2y2+2|=|x1kx1−1+x2kx2−1|=|2kx1x2−(x1+x2)k2x1x2−k(x1+x2)+1|=|50k4+5k2−30k4+5k225k24+5k2−30k24+5k2+1|=5|k|故5|k|≤15即|k|≤3，综上，−3≤k<−1或1<k≤3.【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可；（2）根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.21.定义R p数列{a n}：对实数p，满足：① a1+p≥0，a2+p=0；② ∀n∈N∗,a4n−1<a4n；③ a m+n∈{a m+a n+p,a m+a n+p+1}，m,n∈N∗．（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是R2数列吗？说明理由；（2）若{a n}是R0数列，求a5的值；（3）是否存在p，使得存在R p数列{a n}，对∀n∈N∗,S n≥S10？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．【答案】（1）由性质③结合题意可知0=a3∈{a1+a2+2,a1+a2+2+1}={2,3}，矛盾，故前4项2,−2,0,1的数列，不可能是R2数列.（2）性质① a1≥0,a2=0，由性质③ a m+2∈{a m,a m+1}，因此a3=a1或a3=a1+1，a4=0或a4=1，若a4=0，由性质②可知a3<a4，即a1<0或a1+1<0，矛盾；若a4=1,a3=a1+1，由a3<a4有a1+1<1，矛盾.因此只能是a4=1,a3=a1.或a1=0.又因为a4=a1+a3或a4=a1+a3+1，所以a1=12若a1=1，则a2=a1+1∈{a1+a1+0,a1+a1+0+1}={2a1,2a1+1}={1,2}，2不满足a2=0，舍去.当a1=0，则{a n}前四项为:0，0，0，1，下面用纳法证明a4n+i=n(i=1,2,3),a4n+4=n+1(n∈N)：当n=0时，经验证命题成立，假设当n≤k(k≥0)时命题成立，当n=k+1时：若i=1，则a4(k+1)+1=a4k+5=a j+(4k+5−j)，利用性质③：{a j+a4k+5−j∣j∈N∗,1≤j≤4k+4}={k,k+1}，此时可得：a4k+5=k+1；否则，若a4k+5=k，取k=0可得：a5=0，而由性质②可得：a5=a1+a4∈{1,2}，与a5=0矛盾.同理可得：{a j+a4k+6−j∣j∈N∗,1≤j≤4k+5}={k,k+1}，有a4k+6=k+1；{a j+a4k+8−j∣j∈N∗,2≤j≤4k+6}={k+1,k+2}，有a4k+8=k+2；{a j+a4k+7−j∣j∈N∗,1≤j≤4k+6}={k+1}，又因为a4k+7<a4k+8，有a4k+7=k+1.即当n=k+1时命题成立，证毕.综上可得：a1=0，a5=a4×1+1=1.（3）令b n=a n+p，由性质③可知：∀m,n∈N∗,b m+n=a m+n+p∈{a m+p+a n+p,a m+p+a n+p+1}={b m+b n,b m+b n+1}，由于b1=a1+p≥0,b2=a2+p=0,b4n−1=a4n−1+p<a4n+p=b4n，因此数列{b n}为R0数列.由（2）可知:若∀n∈N,a4n+i=n−p(i=1,2,3),a4n+4=n+1−p；S11−S10=a11=a4×2+3=2−p≥0，S9−S10=−a10=−a4×2+2=−(2−p)≥0，因此p=2，此时a1,a2,…,a10≤0，a j≥0(j≥11)，满足题意.【考点】数列的概念及简单表示法，数学归纳法，数学归纳法的证明步骤【解析】【分析】（1）根据新数列R p数列的定义进行判断即可；（2）根据新数列R p数列的定义，结合数学归纳法求解即可；（3）根据新数列R p数列的定义，结合a n与s n的关系进行判断即可.。

绝密★启用前2021年一般高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回。

学科:网第一部份（选择题共40分）一、选择题共8小题，每题5分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=（A）{0，1} （B）{–1，0，1}（C）{–2，0，1，2} （D）{–1，0，1，2}（2）在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如下图的程序框图，输出的s值为（A）12（B）56（C）76（D）712（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最先用数学方式计算出半音比例，为那个理论的进展做出了重要奉献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次取得十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．假设第一个单音的频率为f ，那么第八个单音的频率为 （A ）32f （B ）322f （C ）1252f（D ）1272f（5）某四棱锥的三视图如下图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（6）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 （A ）充分而没必要要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也没必要要条件（7）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 转变时，d 的最大值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则 （A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈（B ）对任意实数a ，（2，1）A ∉ （C ）当且仅当a <0时，（2，1）A ∉（D ）当且仅当32a ≤时，（2，1）A ∉ 第二部份（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每题5分，共30分。

2021年北京高考理科数学真题及答案本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试完毕后，将本市卷和答题卡一并交回。

第一局部〔选择题共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

〔1〕假设集合{}21A x x =-<<，{}13B x x x =<->或，那么AB =〔 〕。

〔A 〕{}21x x -<<- 〔B 〕{}23x x -<< 〔C 〕{}11x x -<< 〔D 〕{}13x x <<【答案】A【难度】容易【点评】此题在高考数学〔理〕进步班讲座 第一章?集合?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

〔2〕假设复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，那么实数a 的取值范围是〔 〕。

〔A 〕(),1-∞i 〔B 〕(),1-∞-〔C 〕()1,+∞〔D 〕(1,)-+∞【答案】B 【难度】容易【点评】此题在高二数学〔理〕下学期课程讲座 第四章?复数?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

〔3〕执行如下图的程序框图，输出的s 值为〔 〕。

〔A〕2〔B〕3 2〔C〕5 3〔D〕8 5【答案】C【难度】容易【点评】此题在高考数学〔理〕进步班讲座第十三章?算法与统计?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

〔4〕假设,x y满足3,2,,xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩那么2x y+的最大值为〔〕。

〔A〕1〔B〕3〔C〕5〔D〕9 【答案】D【难度】容易【点评】此题在高考数学〔理〕进步班讲座 第二章?函数?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

〔5〕函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，那么()f x 〔 〕。

〔A 〕是奇函数，且在R 上是增函数 〔B 〕是偶函数，且在R 上是增函数 〔C 〕是奇函数，且在R 上是减函数 〔D 〕是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【难度】中等【点评】此题在高考数学〔理〕进步班讲座 第三章?函数的性质及其应用?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

2021年高考理数真题试卷（北京卷）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（共8题；共40分）1.已知复数z=2+i，则z·z̅=（）A. √3B. √5C. 3D. 5【答案】 D【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】根据z=2+i，得z̅=2−i，所以z⋅z̅=(2+i)⋅(2−i)=4+1=5，故答案为：D.【分析】根据z得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.2.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【考点】循环结构【解析】【解答】k=1，s=1， s=2×123×1−2=2 ，k<3,故执行循环体k=1+1=2， s =2×223×2−2=2 ；此时k=2<3，故继续执行循环体k=3， s =2×223×2−2=2 ，此时k=3，结束循环，输出s=2.故答案为：B.【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.3.已知直线l 的参数方程为 {x =1+3ty =2+4t （t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（ ）A. 15B. 25C. 45D. 65 【答案】 D【考点】参数方程化成普通方程【解析】【解答】消去参数t ，得直线的方程为：4x-3y+2=0， 所以（1,0）到直线的距离 d =√42+32=65.故答案为：D.【分析】将直线的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式即可求出相应的距离. 4.已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1 （a>b>0）的离心率为 12 ，则（ ）A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a=2bD. 3a=4b 【答案】 B【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】因为椭圆的离心率为 12 ，所以a=2c 故 a 2=(2c)2=4c 2=b 2+c 2 ， 所以 b 2=3c 2 ， 因此 3a 2=4b 2 ， 故答案为：B.【分析】根据椭圆的离心率，求出a 、b 、c 的关系，即可确定相应的结论. 5.若x ，y 满足|x|≤1-y ，且y≥-1.则3x+y 的最大值为（ ）A. -7B. 1C. 5D. 7 【答案】 C【考点】简单线性规划【解析】【解答】根据题意，x 、y 满足 {x ≥y −1x ≤1−y y =−1 ，作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最大值5. 故答案为：C.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值.6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。

绝密★启用前2021年北京市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合，，则( )A. B.C. D.2. 在复平面内，复数满足，则( )A. B. C. D.3. 设函数的定义域为，则“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为( )A.B.C.D.5. 双曲线：过点，离心率为，则双曲线的解析式为．( )A. B. C. D.6. 已知和是两个等差数列，且是常值，若，，，则的值为( )A. B. C. D.7. 已知函数，试判断该函数的奇偶性及最大值( )A. 奇函数，最大值为B. 偶函数，最大值为C. 奇函数，最大值为D. 偶函数，最大值为8. 对小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义：小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆锥形容器接了小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级( )A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨9. 已知圆：，直线：，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为( )A. B. C. D.10. 数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为( )A. B. C. D.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 展开式中常数项为．12. 已知抛物线：，的焦点为，点在上，且，则的横坐标是______ ；作轴于，则______ ．13. 已知，，，则；．14. 若与关于轴对称，写出一个符合题意的值______ ．15. 已知，给出下列四个结论：若，则有两个零点；，使得有一个零点；，使得有三个零点；，使得有三个零点．以上正确结论的序号是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。

2021年高考真题——理科数学（北京卷）解析版（2）本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。

每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．已知集合A={x∈R|3x+2＞0} B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B=A （-，-1）B （-1，-）C （-,3）D (3,+)【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。

因为，利用二次不等式可得或画出数轴易得：．故选D．【答案】D2．设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A）（B）（C）（D）【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此，故选D。

【答案】D3．设a，b∈R。

“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当时，如果同时等于零，此时是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到，因此想必要条件，故选B。

【答案】B4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A. 2 B .4 C.8 D. 16【解析】，，，，，循环结束，输出的s为8，故选C。

【答案】5.如图. ∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )A. CE·CB=AD·DBB. CE·CB=AD·ABC. AD·AB=CD ²D.CE·EB=CD ²【解析】在中，∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，所以,由切割线定理的,所以CE·CB=AD·DB。

．绝密★启用前2005 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）YCY本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题共40 分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题列出的四个选项中，选择出符合题目要求的一项.1．设合集U=R，集合M = {x | x > 1}, P = {x | x 2 > 1}，则下列关系中正确的是（）A．M=P M C．M P D【答案】C【详解】P = {x | x >1或x <-1} M = {x | x >1}易得P【名师指津】集合与集合之间关系的题目经常借助图象来观察.2．“m=1”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”2的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件图：d 版+微信1【答案】B1【详解】当 m = 时两直线斜率乘积为 -1从而可得两直线垂直,当 m = -2 时两直线一条斜率2为 0 一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此 m = 是题目中给出的两条直线垂直的充分但 2不必要条件.【名师指津】对于两条直线垂直的充要条件① k 1 , k 2 都存在时 k 1.k 2 = -1② k 1 , k 2 中有一个不存在另一个为零对于②这种情况多数考生容易忽略.3．若| a |= 1,| b |= 2, c = a + b ，且 c ⊥ a ，则向量 a 与b 的夹角为 （ ）（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°【答案】C 【详解】设所求两向量的夹角为θ→→ →→→→ →→ → →→ 2 → →c = a + bc ⊥ a∴ c . a = (a + b ). a = a + a . b = 0 →→→ → →2- | a |2 | a |1∴| a | = - | a || b | cos θ即： cos θ= → → = - → = - 2所以θ= 120o.| a || b | | b |【名师指津】→ →→ →对于 a . b =| a || b | cos θ这个公式的变形应用应该做到熟练,另外向量垂直（平行）的充 要条件 必需掌握. 4．从原点向圆 x 2 + y 2- 12 y + 27 = 0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【答案】B 【详解】将圆的方程配方得： x 2+ ( y - 6)2= 9 圆心在(0, 6) 半径为 3,如在图中 Rt ∆PAO 中, OP = 6 = 2PA ,从而得到∠AOP =30o ,购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 wor即∠AOB = 60o.可求∠BPA = 120o. P 的周长为 2π⨯ 3 = 6π1劣弧长为周长的 3【名师指津】,可求得劣弧长为2π.以数形结合的思想解决此类题,抓图中直角三角形中边角关系. 5．对任意的锐角α, β，下列不等关系中正确的是（ ）A ． sin(α+ β) > sin α+ sin βB ． sin(α+ β) > cos α+ cos βC ． cos(α+ β) < sin α+ sin βD ． cos(α+ β) < cos α+ cos β【答案】D 【详解】当 α= β= 30o时 可 排 除 A 、 B 选 项 , 当 α= β= 15o时 代 入 C 选 项 中 , 即 ：0 < cos 30o < 2 sin15o3 <2o1- cos 30o两边平方4【名师指津】4 sin 15 = 4⨯= 2 - ≈ 0.268 矛盾故选 D2特殊值反代入的解题思想在高考选择题的解决过程中经常用到.本题只是简单的两组特 殊角代入即可解决问题.特殊值解选择题关键是恰到好处地选取特殊值如：数值类经常考虑 0, ± 1 1 。

2021年普通高等学校招生全国统一考试北京卷·数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则AB =（ ） A.{|01}x x ≤< B.{|12}x x -<≤ C.{|12}x x <≤ D.{|01}x x <<2. 在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ）A. 1B.iC. 1i -D. 1i +3.设函数()f x 的定义域为[0,1]，则“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）A. 33+B.12C. 13+D. 35. 双曲线22221x y a b-=过点2,3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A. 2213x y -= B. 2213y x -= C. 22123x y -= D. 22132x y -= 6.已知{}n a 和{}n b 是两个等差数列，且()15k ka kb ≤≤是常值，若1288a =，596=a ，1192b =，则3b 的值为（ ）A. 64B. 100C. 128D. 1327.已知函数()cos cos 2f x x x =-，则该函数（ ）A. 奇函数，最大值为2B. 偶函数，最大值为2C. 奇函数，最大值为98D. 偶函数，最大值为988.对24小时内降水在平地上的积水厚度（mm ）进行如下定义：小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（ ）A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨9. 已知圆22:4C x y +=，直线:L y kx m =+，则当k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为1，则m 的取值为（ ）A. 2±B. 2±C. 3±D. 3±10. 数列{}n a 是递增的整数数列，且13a ≥，123100n a a a a +++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分．11. 341()x x-的展开式中常数项为__________．12. 已知抛物线2:4C y x =，C 焦点为F ，点M 在C 上，且6FM =，则M 的横坐标是_______；作MN x ⊥轴于N ，则FMN S =_______．13. (2,1)a =，(2,1)b =-，(0,1)c =，则()a b c +⋅=_______；a b ⋅=_______．14. 若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ值___． 15. 已知()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，则()f x 有两个零点；②0k ∃<，使得()f x 有一个零点；③0k ∃<，使得()f x 有三个零点；④0k ∃>，使得()f x 有三个零点．以上正确结论的序号是_______．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 已知在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B 的大小；（2）在三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度． ①2c b =；②周长为423+；③面积为33ABC S ∆=； 17. 已知正方体1111ABCD A BC D -，点E 为11A D 中点，直线11BC 交平面CDE 于点F ．（1）求证：点F 为11B C 中点；（2）若点M 为棱11A B 上一点，且二面角M CF E --5111A M A B 的值．18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望E (X )；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的期望为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)． 19. 已知函数()232x f x x a-=+． （1）若0a =，求()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值．20. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为 （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．21. 定义p R 数列{}n a ：对p ∈R ，满足：①10a p +≥，20a p +=；②414,n n n N a a *-∀∈<；③,m n N *∀∈，{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++．（1）对前4项2，-2，0，1的数列，可以是2R 数列吗？说明理由；（2）若{}n a 是0R 数列，求5a 的值；（3）是否存在p ∈R ，使得存在p R 数列{}n a ，对任意,n N *∈满足10n S S ≥？若存在，求出所有这样的p ；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题1.B2.D3.A4.A5.A6.B7.D8.B9.C 10.C二、填空题11.-412. (1). 5 (2). 13. (1). 0 (2). 314. 512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可） 15. ①②④三、解答题16. （1）6π； （2）答案不唯一由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：=则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：2==. 17. （1）证明见解析；（2）11112A M A B =． 18. （1）①20次；②分布列见解析；期望为32011 （2）若211p =时，()()E X E Y =； 若211p >时，()()E X E Y >； 若211p <时，()()E X E Y <. 19. （1）450x y +-=；（2）函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-，最大值为1，最小值为14-. 20.（1）22154x y +=；（2）[3,1)(1,3]--⋃． 21.（1）不可以是2R 数列；理由见解析；（2）51a =；（3）存在；2p =．。

普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（理工农医类）一、选取题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合规定.（1）设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（A ）}1|{>x x （B ）}0|{>x x （C ）}1|{-<x x （D ）}11|{>-<x x x 或（2）设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（A ）y 3>y 1>y 2（B ）y 2>y 1>y 3（C ）y 1>y 2>y 3（D ）y 1>y 3>y 2（3）“232cos -=α”是“Z k k ∈+=,125ππα”（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件（4）已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．对的是 （A ）若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α （B ）若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n（C ）若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β（D ）若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β（5）极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表达曲线是（A ）圆（B ）椭圆（C ）抛物线（D ）双曲线（6）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则最小值是（A ）2（B ）3（C ）4（D ）5（7）如果圆台母线与底面成60°角，那么这个圆台侧面积与轴截面面积比为（A ）π2 （B ）π23（C ）π332 （D ）π21（8）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质三块土地上，其中黄瓜必要种植，不同种植办法共有（A ）24种 （B ）18种 （C ）12种 （D ）6种（9）若数列{}n a 通项公式是 ,2,1,2)23()1(23=--++=----n a n n n n n n ，则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于（A ）2411 （B ）2417 （C ）2419 （D ）2425 （10）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同窗均有选举权和被选举权，她们编号分别为1，2，…，k ，规定：批准按“1”，不批准（含弃权）按“0”，令 ⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij ，其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同步批准第1，2号同窗当选人数为 （A ）k k a a a a a a 2222111211+++++++ （B ）2221212111k k a a a a a a +++++++（C ）2122211211k k a a a a a a +++（D ）k k a a a a a a 2122122111+++第Ⅱ卷（非选取题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.（11）函数x tg x h x x x x x x g x x f 2)(.1,2.1||0.1,2)(),1lg()(2=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+=+=中， 是偶函数.（12）以双曲线191622=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点抛物线方程是（13）如图，已知底面半径为r 圆柱被一种平面所截，剩余某些母线长最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩余某些体积是 .（14）将长度为1铁丝提成两段，分别围成一种正方形和一种圆形，要使正方形与圆面积之和最小，正方形周长应为 .三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字阐明，证明过程或演算环节. （15）（本小题满分13分）已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --= （Ⅰ）求)(x f 最小正周期； （Ⅱ）若]2,0[π∈x ，求)(x f 最大值、最小值.（16）（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式；（Ⅱ）令).(R x x a b n n n ∈=求数列{}n b 前n 项和公式. （17）（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1底面边长3，侧棱AA 1=,233D 是CB 延长线上一点，且BD=BC.（Ⅰ）求证：直线BC 1//平面AB 1D ； （Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 大小； （Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1体积.（18）（本小题满分15分）如图，椭圆长轴A 1A 2与x 轴平行，短轴B 1B 2在y 轴上，中心为M （0，r ）（).0>>r b（Ⅰ）写出椭圆方程，求椭圆焦点坐标及离心率；（Ⅱ）直线x k y 1=交椭圆于两点);0)(,(),,(22211>y y x D y x C 直线x k y 2=交椭圆于两点).0)(,(),,(44433>y y x H y x G 求证：4343221211x x x x k x x x x k +=+；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q. 求证：|OP|=|OQ|. （证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴情形） （19）（本小题满分14分）有三个新兴城乡，分别位于A ，B ，C 三点处，且AB=AC=a ，BC=2b.今筹划合建一种中心医院，为同步以便三镇，准备建在BC 垂直平分线上P 点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若但愿点P 到三镇距离平方和为最小，点P 应位于何处？（Ⅱ）若但愿点P 到三镇最远距离为最小， 点P 应位于何处？ （20）（本小题满分14分）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上函数，且满足条件： （i ）;0)1()1(==-f f（ii ）对任意.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有 （Ⅰ）证明：对任意;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有 （Ⅱ）证明：对任意;1|)()(|],1,1[,≤--∈v f u f v u 都有（Ⅲ）在区间[－1，1]上与否存在满足题设条件奇函数)(x f y =，且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|v u v u v f u f v u v u v f u f 当当若存在，请举一例：若不存在，请阐明理由.普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理工农医类）答案一、选取题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分. （1）A （2）D （3）A （4）B （5）D （6）B （7）C （8）B （9）C （10）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. （11）)();(x g x f （12） )4(362--=x y（13）)(212b a r +π （14）44+π三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字阐明，证明过程或演算环节.（15）满分13（Ⅰ）解析：由于x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=2222(cos sin )(cos sin )sin 2cos 2sin 22cos(2)4x x x x x x x x π=+--=-=+因此)(x f 最小正周期.22ππ==T （Ⅱ）解析：由于,20π≤≤x 因此.45424πππ≤+≤x当442ππ=+x 时，)42cos(π+x 获得最大值22；当ππ=+42x 时，)42cos(π+x 获得最小值－1. 因此)(x f 在]2,0[π上最大值为1，最小值为－.2（16）满分13分.（Ⅰ）解析：设数列}{n a 公差为d ，则 ,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a因此.2n a n =（Ⅱ）解：令,21n n b b b S +++= 则由,2nn n n nx x a b ==得,2)22(4212n n n nx x n x x S +-++=- ① ,2)22(42132++-+++=n n n nx x n x x xS ② 当1≠x 时，①式减去②式，得,21)1(22)(2)1(112++---=-++=-n nn n n nx xx x nx x x x S x因此.12)1()1(212xnxx x x S n n n ----=+当1=x 时，)1(242+=+++=n n n S n 综上可得当1=x 时，)1(+=n n S n 当1≠x 时，.12)1()1(212xnxx x x S n nn ----=+（17） 满分15分.（Ⅰ）证明：CD//C 1B 1，又BD=BC=B 1C 1， ∴ 四边形BDB 1C 1是平行四边形， ∴BC 1//DB 1.又DB 1⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，∴直线BC 1//平面AB 1D. （Ⅱ）解析：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1，∵B 1B ⊥平面ABD ，∴B 1E ⊥AD ，∴∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 平面角， ∵BD=BC=AB ，∴E 是AD 中点， .2321==AC BE在Rt △B 1BE 中，.32332311===∠BEB B BE B tg ∴∠B 1EB=60°。

绝密★本科目考试启用前第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A ={x |–2<x <1}，B ={x |x <–1或x >3}，则AB =（A ）{x |–2<x <–1} （B ）{x |–2<x <3} （C ）{x |–1<x <1}（D ）{x |1<x <3}【答案】A 【解析】试题分析：利用数轴可知{}21A B x x =-<<-，故选A.【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.（2）若复数()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(–∞，1) （B ）(–∞，–1) （C ）(1，+∞) （D ）(–1，+∞) 【答案】B【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ .（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A）2 （B）32（C）53（D）85【答案】C【考点】循环结构【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.（4）若x，y满足32xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，则x + 2y的最大值为（A）1 （B）3 （C）5 （D）9 【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当2z x y =+过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D.【考点】线性规划【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值时常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y xb b =-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如 ()()22z x a y b =-+-；（3）斜率型：形如y b z x a-=-，而本题属于截距形式. （5）已知函数1()3()3xx f x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】试题分析：()()113333xxxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A.【考点】函数的性质【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.（6）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【考点】向量，充分必要条件【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若p q ⇔，那么p ，q 互为充要条件；若,p q q p ≠>≠>，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知:,p x A ∈:q x B ∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若A B =，那么p ，q 互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断. （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）32（B）23（C）22（D）2【答案】B【考点】三视图【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093 【答案】D【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

55552021 年高考北京卷数学 (理)班级：＿＿＿＿＿ 学号：＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿ 成绩：＿＿＿＿＿一、选择题共 8 小题。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 己知复数 z = 2 + i, 那么 z · z = ()(A) √3 (B) √5(C) 3(D) 52. 执行如下图的程序框图, 输出的 s 值为 ( ) (A) 1(B) 2(C) 3(D) 43. 直线 l 的参数方程为x = 1 + 3t ,(t 为参数), 那么点 (1, 0) 到直线 l 的距离是 ()y = 2 + 4t (A) 1 (B) 2 (C) 4(D) 64. 椭圆 x2 y21 (a > b > 0) 的离心率为 1 , 那么 ()a 2 +b 2= 2(A) a 2 = 2b 2 (B) 3a 2 = 4b 2 (C) a = 2b (D) 3a = 4b 5. 假设 x , y 满足 |x | ™ 1 − y , 且 y “ −1, 那么 3x + y 的最大值为 ( ) (A) −7(B) 1(C) 5(D) 72 E 26. 在天文学中, 天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述. 两颗星的星等或亮度满足 m 2 − m 1 = 5 lg E 1 , 其中星等为 m k 的星的亮度为 E k (k = 1, 2). 太阳的星等是 −26.7,天狼星的星等是 −1.45, 那么太阳与天狼星的亮度的比值为 ( )# – # – # – # – # –7. 设点 A , B , C 不共线, 那么 “AB 与 AC 的夹角为锐角〞 是 “|AB + AC | > |BC |〞 的 ( ) (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件8. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线, 曲线 C : x 2 + y 2 = 1 + |x |y 就是其中之一 (如图). 给出以下三个结论:①曲线 C 恰好经过 6 个整点 (即横、纵坐标均为整数的 点);②曲线上任意一点到原点的距离都不超过 √2; ③曲线 C 所围成的 “心形〞 区域的面积小于 3. 其中, 所有正确结论的序号是 ()(A) ① (B) ② (C) ①② (D) ①②③ 二、填空题共 6 小题。