2012年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 函数y=−x2+1，−1≤x<2的值域是（）A.(−3, 0]B.(−3, 1]C.[0, 1]D.[1, 5)2. 已知命题p:∃x∈R，使sin x<12x成立．则¬p为（）A.∃x∈R,sin x=12x B.∀x∈R,sin x<12xC.∃x∈R,sin x≥12x D.∀x∈R,sin x≥12x3. cos215∘−sin215∘的值为( )A.1 2B.√22C.√32D.√624. 执行如图所示的程序框图，若输入x的值为10，则输出的x值为（）A.4B.2C.1D.05. 已知平面α，β和直线m，且m⊂α，则“α // β”是“m // β”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6. 为了得到函数y=12log2(x−1)的图象，可将函数y=log2x的图象上所有的点的（）A.纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B.纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度7. 某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A.203B.43C.6D.48. 点P(x, y)是曲线C:y=1x(x>0)上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：①|PA|=|PB|；②△OAB的周长有最小值4+2√2；③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.复数z=1+ii3，则|z|=________．已知双曲线x2a−y2b=1的渐近线方程是y＝±2x，那么此双曲线的离心率为________．在△ABC中，若∠A=120∘，c=6，△ABC的面积为9√3，则a=________．在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于14的概率是________．某同学为研究函数f(x)=√1+x2+√1+(1−x)2(0≤x≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f(x)．请你参考这些信息，推知函数的极值点是________，函数的值域是________．已知定点M(0, 2)，N(−2, 0)，直线l:kx−y−2k+2=0（k为常数）．若点M，N到直线l的距离相等，则实数k的值是________；对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，则实数k的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，S5=4a3+6，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{1S n}的前n项和公式．在一次“知识竞赛”活动中，有A1，A2，B，C四道题，其中A1，A2为难度相同的容易题，B为中档题，C为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答．(I)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；(II)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．在正方体ABCD−A′B′C′D′中，棱AB，BB′，B′C′，C′D′的中点分别是E，F，G，H，如图所示．（1）求证：AD′ // 平面EFG；（2）求证：A′C⊥平面EFG；（3）判断点A，D′，H，F是否共面？并说明理由．已知函数f(x)=x+ax2+3a2(a≠0, a∈R)．(I)求函数f(x)的单调区间；(II)当a=1时，若对任意x1，x2∈[−3, +∞)，有f(x1)−f(x2)≤m成立，求实数m的最小值．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1, 0)，且点(−1, √22)在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点Q(54, 0)，动直线l过点F，且直线l与椭圆C交于A，B两点，证明：QA→⋅QB→为定值．将一个正整数n表示为a1+a2+...+a p(p∈N∗)的形式，其中a i∈N∗，i=1，2，…，p，且a1≤a2≤...≤a p，记所有这样的表示法的种数为f(n)（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故f(4)=5）．(I)写出f(3)，f(5)的值，并说明理由；(II)证明：f(n+1)−f(n)≥1(n=1, 2,…)；(III)对任意正整数n，比较f(n+1)与12[f(n)+f(n+2)]的大小，并给出证明．参考答案与试题解析2012年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】已知函数y=−x2+1，可以利用其图象以及单调性求出f(x)在−1≤x<2的值域；【解答】解：函数y=−x2+1，图象开口向下，对称轴为y轴，画出图象：由图象可得函数y在x=0处取最大值，f(x)max=f(0)=1，f(x)在x=2处取得最小值，f(x)min=f(2)=−4+1=−3，∴函数y=−x2+1，−1≤x<2的值域是(−3, 1].故选B.2.【答案】D【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】含有量词的命题的否定法则：“∃x∈R，p(x)”的否定是“∀x∈R，¬p(x)”，由此不难得到本题的答案．【解答】解：由含有量词的命题否定法则，得∵命题p:∃x∈R,sin x<12x，∴命题¬p为：∀x∈R，sin x≥12x故选：D3.【答案】C【考点】二倍角的余弦公式【解析】将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：cos215∘−sin215∘=cos(2×15∘)=cos30∘=√32．故选C.4.【答案】A【考点】程序框图【解析】按照程序的流程，写出前几次循环的结果，并同时判断各个结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到x=8，不满足判断框中的条件；经过第二次循环得到x=6，不满足判断框中的条件；经过第三次循环得到x=4，不满足判断框中的条件；经过第四次循环得到x=2，满足判断框中的条件，执行“是”，x=22=4，输出x即输出4．故选A．5.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】首先题目问的是“α // β”是“m // β”的什么条件．然后应该判断“α // β”是否可以推出“m // β”，是则充分，不是则相反．再判断“m // β”是否可以直接推出“α // β”，是则必要，否则相反；判断的时候主要应用了空间直线与平面间的位置关系．【解答】解：由于m⊂α，若“α // β”，由直线与平面的关系，故可以直接推出“m // β”成立．则是充分条件．反之．若“m // β”，不可以直接推出“α // β”成立，因平面α与平面β也可能相交．则不是必要条件．则“α // β”是“m // β”的充分不必要条件．故选C．6.【答案】A【考点】函数的图象变换【解析】根据函数图象的变换规律，可得结论．【解答】解：∵将函数y=log2x的图象上所有的点的纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，可得函数y=12log2x的图象．再把所得图象向右平移1个单位长度，可得函数y=12log2(x−1)的图象，故选A．7.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】根据三视图，还原成几何体，再根据长度关系，即可求得几何体的体积【解答】由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱为2，正四棱柱的底面边长为正方体的上底面，高为1∴原几何体的体积为V=2×2×2−13×2×2×1=2038.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】先利用导数求出过点P的切线方程：①由切线方程可求得点A、B的坐标，进而利用两点间的距离公式即可证明；②先利用两点间的距离公式求出△OAB的周长，再利用基本不等式的性质即可证明；③先假设满足条件的点M、N存在，利用等腰三角形的性质只要解出即证明存在，否则不存在．【解答】解：设动点P(m,1m )(m>0)，则y′=−1x2，∴f′(m)=−1m2，∴过动点P(m,1m )的切线方程为：y−1m=−1m2(x−m)．①分别令y=0，x=0，得A(2m, 0)，B(0,2m)．则|PA|=√m2+1m2，|PB|=√m2+1m2，∴|PA|=|PB|，故①正确；②由上面可知：△OAB的周长=2m+2m +2√m2+1m2≥2×2√m×1m+2√2√m2×1m2=4+2√2，当且仅当m=1m ，即m=1时取等号．故△OAB的周长有最小值4+2√2，即②正确．③假设曲线C上存在两点M(a,1a)，N(b,1b)，不妨设0<a<b，∠OMN=90∘．则|ON|=√2|OM|，OM→⊥MN→，所以{√b2+1b2=√2√a2+1a2a(b−a)+1a(1b−1a)=0化为{b2+1b2=2(a2+1a2)a3b=1解得{a=√3−√524b=1a，故假设成立．因此③正确．故选D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.【答案】√2【考点】复数的模【解析】把给出的复数的分母化简后利用复数的除法运算化为a+bi(a, b∈R)的形式，则复数的模可求．【解答】解：z=1+ii3=1+i−i=(1+i)⋅i−i2=−1+i，∴|z|=√(−1)2+12=√2．故答案为√2．【答案】√5【考点】双曲线的离心率【解析】由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±2x，知双曲线的标准方程可设为x2λ−y24λ=1，由此能求出此双曲线的离心率．【解答】∵焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±2x，∴设双曲线方程为x2λ−y24λ=1，λ>0，∴双曲线的标准方程为x2λ−y24λ=1，∴a2＝λ，b2＝4λ，c2＝5λ，∴此双曲线的离心率e=√5λ=√5．【答案】6√3【考点】余弦定理【解析】由A 的度数求出sin A 与cos A 的值，利用面积公式列出关系式，将sin A ，已知的面积与b 的值代入，求出b 的值，再利用余弦定理列出关系式，将b ，c 及cos A 的值代入，开方即可求出a 的值． 【解答】解：∵ ∠A =120∘，c =6，△ABC 的面积为9√3， ∴ 12bc sin A =3√32b =9√3，即b =6，∴ 由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bc cos A =36+36+36=108， 则a =6√3． 故答案为：6√3 【答案】12【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】设E 、F 分别为AD 、BC 的中点，可得四边形ABFE 是矩形．当点P 落在线段EF 上时，△PAB 的面积等于矩形ABFE 面积的一半，可得此时S △ABP =12S 矩形ABFE =14，由此可得当点P 落在矩形CDEF 内部或在EF 上时△PAB 的面积大于等于14，即可算出△PAB 的面积大于等于14的概率． 【解答】解：设正方形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点∵ 四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别为AD 、BC 的中点 ∴ EF // AB 且EF =AB ，可得四边形ABFE 是矩形 ∵ 正方形ABCD 面积为1，∴ AB =1且AE =12AD =12当点P 落在线段EF 上时，△PAB 的面积等于矩形ABFE 面积的一半， 此时S △ABP =12S 矩形ABFE =14因此，当点P 落在正方形ABCD 内部，且在线段EF 上或EF 的上方时， 可使△PAB 的面积大于等于14∴ △PAB 的面积大于等于14的概率为P =SCDEF S ABCD=12 故答案为：12 【答案】12,[√5, √2+1]【考点】函数单调性的性质 函数的值域及其求法 【解析】分别在Rt △PCF 和Rt △PAB 中利用勾股定理，得PA +PF =√1+x 2+√1+(1−x)2．运动点P ，可得A 、P 、B 三点共线时，PA +PF 取得最小值；当P 在点B 或点C 时，PA +PF 取得最大值．由此即可推知函数的极值点及函数f(x)的值域． 【解答】解：Rt △PCF 中，PF =√CP 2+CF 2=√1+x 2 同理可得，Rt △PAB 中，PA =√12 ∴ PA +PF =√1+x 2+√1+(1−x)2．从运动的观点看，当点P 从C 点向点B 运动的过程中，在运动到BC 的中点之前，PA +PF 的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，∵ 当点P 在BC 的中点上时，即A 、B 、P 三点共线时，即P 在矩形ADFE 的对角线AF 上时， PA +PF 取得最小值 √AE 2+EF 2=√5，当P 在点B 或点C 时，PA +PF 取得最大值 √2+1． ∴ √5≤PA +PF ≤√2+1，可得函数的极值点是 12； 函数f(x)=AP +PF 的值域为[√5, √2+1]． 故答案为：12；[√5, √2+1]． 【答案】1或13,(−∞,−17)∪(1,+∞) 【考点】 两直线的夹角 直线的倾斜角【解析】由点M(0, 2)，N(−2, 0)到直线l:kx −y −2k +2=0的距离相等，利用点到直线的距离公式求得k 的值． 由题意可得，以MN 为直径的圆与直线l:kx −y −2k +2=0相离，故圆心H(−1, 1)到直线l:kx −y −2k +2=0的距离大于半径，即2>√2，由此解得k 的范围．【解答】解：由点M(0, 2)，N(−2, 0)到直线l:kx −y −2k +2=0的距离相等可得√k 2+1=√k 2+1，解得 k =1，或 k =13．由于对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，故以MN 为直径的圆与直线l:kx −y −2k +2=0相离．而MN 的中点，即圆心为H(−1, 1)，则点H 到直线l:kx −y −2k +2=0的距离大于半径12⋅MN =√2， 即√k 2+1>√2，即 (1−3k)2>2(1+k 2)，解得 k <−17，或 k >1，故答案为 1或13； (−∞,−17)∪(1,+∞)．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【答案】 解：（1）因为S 5=4a 3+6，所以5a 1+10d =4(a 1+2d)+6．①… 因为a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 1(a 1+8d)=(a 1+2d)2．②… 由①②及d ≠0可得：a 1=2，d =2．… 所以a n =2n ．…（2）由a n =2n ，可知S n =n 2+n … 所以1S n=1n(n+1)=1n−1n+1，…所以数列{1S n}的前n 项和为1−12+12−13+...+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1，…【考点】等差数列与等比数列的综合 等差数列的通项公式 等比数列的通项公式【解析】（1）利用S 5=4a 3+6a ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，建立方程，可求数列的首项与公差，即可得到数列{a n }的通项公式；（2）利用裂项法，即可求数列{1S n }的前n 项和公式．【解答】 解：（1）因为S 5=4a 3+6，所以5a 1+10d =4(a 1+2d)+6．①… 因为a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 1(a 1+8d)=(a 1+2d)2．②… 由①②及d ≠0可得：a 1=2，d =2．… 所以a n =2n ．…（2）由a n =2n ，可知S n =n 2+n … 所以1S n=1n(n+1)=1n −1n+1，…所以数列{1S n}的前n 项和为1−12+12−13+...+1n −1n+1=1−1n+1=nn+1，…【答案】解：由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个， 它们是：(A 1, A 1)，(A 1, A 2)，(A 1, B)，(A 1, C)，(A 2, A 1)，(A 2, A 2)，(A 2, B)， (A 2, C)，(B, A 1)，(B, A 2)，(B, B)，(B, C)，(C, A 1)，(C, A 2)，(C, B)，(C, C)． (I)用M 表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M 包含的基本事件有：(A 1, A 1)，(A 1, A 2)，(A 2, A 1)，(A 2, A 2)，(B, B)，(C, C)，共有6个． 所以P(M)=616=38．(II)用N 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”， 则N 包含的基本事件有：(B, A 1)，(B, A 2)，(C, A 1)，（C, A 2,），(C, B)，共有5个． 所以P(N)=516．【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】(I)先列举出所有可能的结果有16个，找出其中事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”包含的基本事件有6个，从而求得甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率．(II)在所有的基本事件中找出事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”包含的基本事件的个数，可得甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率． 【解答】解：由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个， 它们是：(A 1, A 1)，(A 1, A 2)，(A 1, B)，(A 1, C)，(A 2, A 1)，(A 2, A 2)，(A 2, B)， (A 2, C)，(B, A 1)，(B, A 2)，(B, B)，(B, C)，(C, A 1)，(C, A 2)，(C, B)，(C, C)． (I)用M 表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M 包含的基本事件有：(A 1, A 1)，(A 1, A 2)，(A 2, A 1)，(A 2, A 2)，(B, B)，(C, C)，共有6个． 所以P(M)=616=38．(II)用N 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”， 则N 包含的基本事件有：(B, A 1)，(B, A 2)，(C, A 1)，（C, A 2,），(C, B)，共有5个． 所以P(N)=516．【答案】（1）证明：连接BC ′，在正方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，AB =C ′D ′，AB // C ′D ′． 所以，四边形ABC ′D ′是平行四边形，所以，AD ′ // BC ′．因为 F ，G 分别是BB ′，B ′C ′的中点，所以 FG // BC ′，所以，FG // AD ′． 因为 EF ，AD ′是异面直线，所以，AD ′⊄平面EFG ． 因为 FG ⊂平面EFG ，所以，AD ′ // 平面EFG ．（2）证明：连接B ′C ，在正方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，A ′B ′⊥平面BCC ′B ′，BC ′⊂平面BCC ′B ′，所以，A ′B ′⊥BC ′．在正方形BCC ′B ′中，B ′C ⊥BC ′，因为 A ′B ′⊂平面A ′B ′C ，B ′C ⊂平面A ′B ′C ，A ′B ′∩B ′C =B ′，所以，BC ′⊥平面A ′B ′C ． 因为 A ′C ⊂平面A ′B ′C ，所以，BC ′⊥A ′C ．因为 FG // BC ′，所以，A ′C ⊥FG ，同理可证：A ′C ⊥EF ．因为 EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EF ∩FG =F ，所以，A ′C ⊥平面EFG ．（3）点A，D′，H，F不共面．理由如下：假设A，D′，H，F共面．连接C′F，AF，HF．由（1）知，AD′ // BC′，因为BC′⊂平面BCC′B′，AD′⊄平面BCC′B′，所以，AD′ // 平面BCC′B′．因为C′∈D′H，所以，平面AD′HF∩平面BCC′B′=C′F．因为AD′⊂平面AD′HF，所以AD′ // C′F．所以，C′F // BC′，而C′F与BC′相交，矛盾．所以，点A，D′，H，F不共面．【考点】直线与平面平行的判定平面的基本性质及推论直线与平面垂直的判定【解析】（1）利用正方体的性质以及题中的条件，证明FG // AD′，再根据直线和平面平行的判定定理证得AD′ // 平面EFG．（2）利用直线和平面垂直的判定定理、性质定理证明BC′⊥A′C，A′C⊥EF，从而证明A′C⊥平面EFG．（3）点A，D′，H，F不共面，用反证法证明如下：假设A，D′，H，F共面，由（1）可证得C′F // BC′，而C′F与BC′相交，这是矛盾的，故假设不对．【解答】（1）证明：连接BC′，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，AB=C′D′，AB // C′D′．所以，四边形ABC′D′是平行四边形，所以，AD′ // BC′．因为F，G分别是BB′，B′C′的中点，所以FG // BC′，所以，FG // AD′．因为EF，AD′是异面直线，所以，AD′⊄平面EFG．因为FG⊂平面EFG，所以，AD′ // 平面EFG．（2）证明：连接B′C，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，A′B′⊥平面BCC′B′，BC′⊂平面BCC′B′，所以，A′B′⊥BC′．在正方形BCC′B′中，B′C⊥BC′，因为A′B′⊂平面A′B′C，B′C⊂平面A′B′C，A′B′∩B′C=B′，所以，BC′⊥平面A′B′C．因为A′C⊂平面A′B′C，所以，BC′⊥A′C．因为FG // BC′，所以，A′C⊥FG，同理可证：A′C⊥EF．因为EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG=F，所以，A′C⊥平面EFG．（3）点A，D′，H，F不共面．理由如下：假设A，D′，H，F共面．连接C′F，AF，HF．由（1）知，AD′ // BC′，因为BC′⊂平面BCC′B′，AD′⊄平面BCC′B′，所以，AD′ // 平面BCC′B′．因为C′∈D′H，所以，平面AD′HF∩平面BCC′B′=C′F．因为AD′⊂平面AD′HF，所以AD′ // C′F．所以，C′F // BC′，而C′F与BC′相交，矛盾．所以，点A，D′，H，F不共面．【答案】解：求导函数，可得f′(x)=−(x−a)(x+3a)(x2+3a2)2．令f′(x)=0，解得x=a或x=−3a．(I)当a>0时，f′(x)，f(x)随着x的变化如下表函数f(x)的单调递增区间是(−3a, a)，函数f(x)的单调递减区间是(−∞, −3a)，(a, +∞)．当a <0时，f′(x)，f(x)随着x 的变化如下表函数f(x)的单调递增区间是(a, −3a)，函数f(x)的单调递减区间是(−∞, a)，(−3a, +∞)． (II)当a =1时，由(I)得f(x)是(−3, 1)上的增函数，是(1, +∞)上的减函数． 又当x >1时，f(x)=x+1x 2+3>0．所以f(x)在[−3, +∞)上的最小值为f(−3)=−16，最大值为f(1)=12． 所以对任意x 1，x 2∈[−3, +∞),f(x 1)−f(x 2)≤f(1)−f(−3)=23．所以对任意x 1，x 2∈[−3, +∞)，使f(x 1)−f(x 2)≤m 恒成立的实数m 的最小值为23． 【考点】利用导数研究函数的单调性导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】(I)求导函数，分类讨论，由导数的正负，即可求函数f(x)的单调区间；(II)当a =1时，由(I)得f(x)是(−3, 1)上的增函数，是(1, +∞)上的减函数，对任意x 1，x 2∈[−3, +∞)，有f(x 1)−f(x 2)≤m 成立，等价于f(x)max −f(x)min ≤m 求实数m 的最小值． 【解答】解：求导函数，可得f′(x)=−(x−a)(x+3a)(x 2+3a 2)2．令f′(x)=0，解得x =a 或x =−3a ．(I)当a >0时，f′(x)，f(x)随着x 的变化如下表函数f(x)的单调递增区间是(−3a, a)，函数f(x)的单调递减区间是(−∞, −3a)，(a, +∞)． 当a <0时，f′(x)，f(x)随着x 的变化如下表函数f(x)的单调递增区间是(a, −3a)，函数f(x)的单调递减区间是(−∞, a)，(−3a, +∞)． (II)当a =1时，由(I)得f(x)是(−3, 1)上的增函数，是(1, +∞)上的减函数． 又当x >1时，f(x)=x+1x 2+3>0．所以f(x)在[−3, +∞)上的最小值为f(−3)=−16，最大值为f(1)=12．所以对任意x 1，x 2∈[−3, +∞),f(x 1)−f(x 2)≤f(1)−f(−3)=23．所以对任意x 1，x 2∈[−3, +∞)，使f(x 1)−f(x 2)≤m 恒成立的实数m 的最小值为23． 【答案】（1）解：由题意知：c =1．根据椭圆的定义得：2a =(√22)+√22，解得a =√2．所以 b 2=2−1=1． 所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1．（2）证明：当直线l 的斜率为0时，A(√2，0)，B(−√2,0)． 则 QA →⋅QB →=(√2−54,0)⋅(−√2−54,0)=−716．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x =ty +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由{x 22+y 2=1x =ty +1，可得：(t 2+2)y 2+2ty −1=0．显然△>0，则{y 1+y 2=−2tt 2+2y 1y 2=−1t 2+2.， 因为x 1=ty 1+1，x 2=ty 2+1，所以QA →⋅QB →=(x 1−54，y 1)⋅(x 2−54,y 2)=(ty 1−14)(ty 2−14)+y 1y 2=(t 2+1)y 1y 2−14t(y 1+y 2)+116=−(t 2+1)1t 2+2+14t 2t t 2+2+116=−2t 2−2+t 22(t 2+2)+116=−716，即 QA →⋅QB →=−716．综上，QA →⋅QB →=−716，即QA →⋅QB →为定值． 【考点】圆锥曲线的综合问题 椭圆的标准方程【解析】（1）由题意知：c =1，根据椭圆定义可求得a ，根据b 2=a 2−c 2可得b ；（2）分直线l 的斜率为0，不为0两种情况进行讨论：当直线l 的斜率为0时直接按照向量数量积运算即可；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x =ty +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．联立直线方程与椭圆方程消掉x 得y 的二次方程，由韦达定理及向量数量积公式代入运算可得结论； 【解答】（1）解：由题意知：c =1．根据椭圆的定义得：2a =√(−1−1)2+(√22)2+√22，解得a =√2．所以 b 2=2−1=1．所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1．（2）证明：当直线l 的斜率为0时，A(√2，0)，B(−√2,0)． 则 QA →⋅QB →=(√2−54,0)⋅(−√2−54,0)=−716．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x =ty +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由{x 22+y 2=1x =ty +1，可得：(t 2+2)y 2+2ty −1=0．显然△>0，则{y 1+y 2=−2tt 2+2y 1y 2=−1t 2+2.， 因为x 1=ty 1+1，x 2=ty 2+1，所以QA →⋅QB →=(x 1−54，y 1)⋅(x 2−54,y 2)=(ty 1−14)(ty 2−14)+y 1y 2 =(t 2+1)y 1y 2−14t(y 1+y 2)+116=−(t 2+1)1t 2+2+14t 2t t 2+2+116=−2t 2−2+t 22(t +2)+116=−716，即 QA →⋅QB →=−716．综上，QA →⋅QB →=−716，即QA →⋅QB →为定值．【答案】解：a =8，b7，B =0∘， 整理得：2−8c5=0， 解得：c3或=5， 则c 的值35． 【考点】数列与不等式的综合 数列的函数特性【解析】利用得b2a2+c2−2ac cos B ，a ，b 及B 的度数代入，利用殊角的三角函数值化，得出关于元二次，求出方程的解即可得到c 的值． 【解答】解：a =8，b7，B =0∘， 整理得：2−8c5=0， 解得：c3或=5， 则c 的值35．。
