25 图形的轴对称与中心对称

初中数学知识点——轴对称与中心对称一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。

2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4.线段垂直平分线：（1）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。

（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

5.角的平分线：（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.（2）性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：（1）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；（2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；（3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。

说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等；②等腰三角形两腰上的中线相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。

轴对称与中心对称一、知识回顾(一)、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。

2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

(二)、中心对称与中心对称图形：1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够和另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

2.中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

3.中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形；（2）在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分；（3）成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

（四）、几种常见的轴对称图形和中心对称图形：轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆对称轴的条数：角有一条对称轴，即该角的角平分线；等腰三角形有一条对称轴，是底边的垂直平分线；等边三角形有三条对称轴，分别是三边上的垂直平分线；菱形有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，矩形有两条对称轴分别是两组对边中点的直线；中心对称图形：线段、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆对称中心：线段的对称中心是线段的中点；平行四边形、菱形、矩形、正方形的对称中心是对角线的交点，圆的对称中心是圆心。

轴对称与中心对称一、知识回顾(一)、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。

2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

(二)、中心对称与中心对称图形：1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够和另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

2.中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

3.中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形；（2）在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分；（3）成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

（四）、几种常见的轴对称图形和中心对称图形：轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆对称轴的条数：角有一条对称轴，即该角的角平分线；等腰三角形有一条对称轴，是底边的垂直平分线；等边三角形有三条对称轴，分别是三边上的垂直平分线；菱形有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，矩形有两条对称轴分别是两组对边中点的直线；中心对称图形：线段、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆对称中心：线段的对称中心是线段的中点；平行四边形、菱形、矩形、正方形的对称中心是对角线的交点，圆的对称中心是圆心。

初中数学知识点——轴对称与中心对称一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。

2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4.线段垂直平分线：（1）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。

（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

5.角的平分线：（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.（2）性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：（1）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；（2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；（3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。

说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等；②等腰三角形两腰上的中线相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。

初中数学知识点总结：轴对称与中心对称知识点总结一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。

2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4.线段垂直平分线：（1）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。

（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

5.角的平分线：（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.（2）性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：（1）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；（2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；（3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。

说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等；②等腰三角形两腰上的中线相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。

轴对称图形在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形（axial symmetric figure)，这条直线叫做对称轴(axis of symmetric)，并且对称轴用点画线表示；这时，我们也说这个图形关于这条直线对称。

比如圆、正方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形等。

例如等腰三角形、正方形、等边三角形、等腰梯形和圆和正多边形都是轴对轴对称图形2 示例称图形.圆有无数条对称轴，都是经过圆心的直线。

要特别注意的是线段，它有两条对称轴，一条是这条线段所在的直线,另一条是这条线段的中垂线。

大写字母A、B、C、D、E、H等等性质编辑1.对称轴是一条直线。

2.在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。

3.在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合。

4.如果两个图形关于某条直线对称，那么这条直线就是对称轴且对称轴垂直平分对称点所连线段。

5.图形对称。

定理定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形。

定理2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

定理3：两个图形关于某条直线对称，如果对称轴和某两条对称线段的延长线相交，那么交点在对称轴上。

定理3的逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

生活作用1、为了美观。

比如天安门，对称就显的美观漂亮。

2、保持平衡。

比如飞机的两翼。

3、特殊工作的需要。

比如五角星，剪纸。

对称方法编辑方法1、找出所给图形的关键点。

2、找出图形关键点到对称轴的距离。

3、找关键点的对称点。

4、按照所给图形的顺序连接各点。

画法1、找出图形的一对对称点。

2、连接对称点。

3、过这条线段的中点作这条线段的垂线。

区别区分这两个概念要注意：轴对称图形一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合；中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，关键也是抓两点：一是绕某一点旋转，二是与原图形重合。

图形轴对称与轴对称图形、中心对称，镜面对称【知识要点】一、轴对称图形与图形轴对称1.轴对称图形定义：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．注意：有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．2.图形轴对称：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．3. 轴对称图形的性质：如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线4.轴对称与轴对称图形的区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．二、轴对称变换1.定义：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到2.轴对称变换的性质：（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）•经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分3.作一个图形关于某条直线的轴对称图形：（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．三、坐标系相关1.点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）2.点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）3.点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）4.点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）；5.点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；四、镜面对称1.镜面对称是关于关于面的对称2..镜面对称的两个图形全等，并且两个图形到镜面的距离相等五、中心对称1.中心对称图形定义：一个图形绕着某点旋转180°后能与自身重合，这种图形叫做中心对称图形，该点叫做对称中心2.中心对称：一个图形绕着某点旋转180°后能与另一个图形重合，这那么这两个图形成中心对称3.性质：①成中心对称的两个图形全等②对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分【典型练习】1．如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是( )①②③④A．①②③ B．②③④ C．③④① D．④①②2．下列图形中，不是轴对称图形的是( )A．有两个角相等的三角形B．有一个角为45º的直角三角形C．有一个内角为30º，一个内角为120º的三角形D．有一个内角为30º的直角三角形3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( )A．过顶点的直线B．顶角的平分线C．底边的垂直平分线D．腰上的高说明：等腰三角形的对称轴应该是底边的垂直平分线，而腰上的高与顶角的平分线都是线段，根据对称轴的定义，对称轴应该是直线，另外，过顶点的直线有无数多条，所以C 正确，A、B、D都是错误的，答案为C．4．下列图形中，不是轴对称图形的是( )A．角 B．等边三角形 C．线段 D．不等边三角形5．正五角星的对称轴的条数是( )A．1条 B．2条 C．5条 D．10条6．下列图形中有4条对称轴的是( )A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形7．下列说法中，正确的是( )A．两个全等三角形组成一个轴对称图形B．直角三角形一定是轴对称图形C．轴对称图形是由两个图形组成的D．等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形8．如图，ΔABC和ΔA’B’C’关于直线对称，下列结论中：①ΔABC≌ΔA’B’C’；②∠BAC’≌∠B’AC；③l垂直平分CC’；④直线BC和B’C’的交点不一定在l上，正确的有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2 = 5cm，则ΔPMN的周长是( )A． 3cm B． 4cm C． 5cm D． 6cm10．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A．等边三角形B．平行四边形C．等腰梯形D．菱形（注意平行四边形不是轴对称图形，同学们易犯错误）11．在平面上一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是( )A．180°B．90°C．270°D．360°12．下列几组图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形，完全正确的一组是( )A．正方形、菱形、矩形、平行四边形B．正三角形、正方形、菱形、矩形C．正方形、菱形、矩形D．平行四边形、正方形、等腰三角形13．下列命题正确的个数是( )①两个全等三角形必关于某一点中心对称②关于中心对称的两个三角形是全等三角形（注意比较命题①、②的真假）③两个三角形对应点连线都经过同一点，则这两个三角形关于该点成中心对称（没有说明被这一点平分）④关于中心对称的两个三角形，对应点连线都经过对称中心A．1B．2C．3D．414。

数学对称符号做法数学中的对称性是一个重要的概念，它涉及到许多不同的符号和表示方法。

以下是对数学对称符号做法的详细介绍，包括轴对称、中心对称、镜面对称、旋转对称、平移对称、对称群表示、对称性定理、对称函数、对称矩阵和对称空间等方面。

1. 轴对称：轴对称是指一个图形关于一条直线对称。

在数学中，我们通常使用符号“≌”来表示两个图形是轴对称的。

如果一个图形关于直线l对称，我们可以在图形上标注一条虚线l，并在图形两侧分别画出对应的点。

2. 中心对称：中心对称是指两个图形关于一个点对称。

在数学中，我们通常使用符号“≌”来表示两个图形是中心对称的。

如果一个图形关于点o对称，我们可以将图形上的任意一点p替换为点p'，使得点p和点p'关于点o对称。

3. 镜面对称：镜面对称是指一个图形关于一个平面镜像对称。

在数学中，我们通常使用符号“≌”来表示两个图形是镜面对称的。

如果一个图形关于平面α对称，我们可以将图形上的任意一点p替换为点p'，使得点p和点p'关于平面α对称。

4. 旋转对称：旋转对称是指一个图形绕某一点旋转一定角度后与原图重合。

在数学中，我们通常使用符号“≌”来表示两个图形是旋转对称的。

如果一个图形绕点o旋转θ角度后与原图重合，我们可以将图形上的任意一点p替换为点p'，使得点p和点p'绕点o旋转θ角度后重合。

5. 平移对称：平移对称是指一个图形沿某一直线方向移动一定距离后与原图重合。

在数学中，我们通常使用符号“≌”来表示两个图形是平移对称的。

如果一个图形沿直线l方向移动距离d后与原图重合，我们可以将图形上的任意一点p替换为点p'，使得点p和点p'沿直线l方向移动距离d后重合。

6. 对称群表示：对称群是描述对称性的一组数学符号和表示方法。

在数学中，我们通常使用群论的方法来研究对称群的结构和性质。

通过使用群论的语言，我们可以更深入地理解对称性的本质和规律。

中心对称图形判断窍门是什么怎样推断一个图形是否是中心对称图形呢？绕某一点旋转并以原图形重合,则是中心对称图形。

若不能,则是轴对称图形。

下面与大家一起来了解中心对称的窍门是什么？中心对称图形推断技巧在平面内，把一个图形绕某肯定点旋转180°，假如它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，旋转后两个图形上能够重合的点叫做关于对称中心的对称点。

常见的中心对称图形有：线段，矩形，菱形，正方形，平行四边形，圆,边数为偶数的正多边形等。

例如：正偶数边形是中心对称图形，正奇数边形不是中心对称图形；正六角形是中心对称图形，等腰梯形不是中心对称图形；等边三角形（正三角形）不是中心对称图形，反比例函数的图像双曲线是以原点为对称中心的中心对称图形。

中心对称和轴对称的区分一、性质不同中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，关键也是抓两点：一是绕某一点旋转，二是与原图形重合；轴对称图形肯定要沿某直线折叠后直线两旁的部分相互重合，关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分相互重合。

二、定理不同对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段且使中心对称图形的面积被平分。

成中心对称的两个图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分。

中心对称是两个图形间的位置关系，而中心对称图形是一种具有独特特征的图形。

假如两个图形关于某条直线对称，那么这条直线就是对称轴且对称轴垂直平分对称点所连线段。

假如两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

两个图形关于某条直线对称，假如对称轴和某两条对称线段的延长线相交，那么交点在对称轴。